C definice lineární závislosti řetězce. Lineární kombinace řádků nebo sloupců matic. §4.9. Hodnost matice

Nechat

Sloupce matice dimenzí. Lineární kombinace maticových sloupců nazývaná sloupcová matice s některými nazývanými reálnými nebo komplexními čísly lineární kombinační koeficienty. Pokud v lineární kombinaci vezmeme všechny koeficienty rovné nule, pak se lineární kombinace rovná matici nulového sloupce.

Sloupce matice se nazývají lineárně nezávislé , je-li jejich lineární kombinace rovna nule pouze tehdy, když jsou všechny koeficienty lineární kombinace rovny nule. Sloupce matice se nazývají lineárně závislé , pokud existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je nenulové, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule

Podobně lze uvést definice lineární závislosti a lineární nezávislosti řádků matice. V následujícím textu jsou všechny věty formulovány pro sloupce matice.

Věta 5

Pokud je mezi sloupci matice nula, pak jsou sloupce matice lineárně závislé.

Důkaz. Uvažujme lineární kombinaci, ve které jsou všechny koeficienty rovné nule pro všechny nenulové sloupce a jedna pro všechny nulové sloupce. Je roven nule a mezi koeficienty lineární kombinace je nenulový koeficient. Proto jsou sloupce matice lineárně závislé.

Věta 6

Li maticové sloupce jsou lineárně závislé, to je vše maticové sloupce jsou lineárně závislé.

Důkaz. Pro definitivnost budeme předpokládat, že první sloupce matice lineárně závislé. Pak podle definice lineární závislosti existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je nenulové a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule.

Udělejme lineární kombinaci všech sloupců matice, včetně zbývajících sloupců s nulovými koeficienty

Ale . Proto jsou všechny sloupce matice lineárně závislé.

Následek. Mezi lineárně nezávislými sloupci matice jsou všechny lineárně nezávislé. (Toto tvrzení lze snadno dokázat rozporem.)

Věta 7

Aby byly sloupce matice lineárně závislé, je nutné a postačující, aby alespoň jeden sloupec matice byl lineární kombinací ostatních.

Důkaz.

Nutnost. Nechť jsou sloupce matice lineárně závislé, to znamená, že existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je nenulové, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule.

Předpokládejme pro jistotu, že. To znamená, že první sloupec je lineární kombinací zbytku.

Přiměřenost. Nechť alespoň jeden sloupec matice je lineární kombinací ostatních, například , kde jsou nějaká čísla.

Potom je lineární kombinace sloupců rovna nule a mezi čísly v lineární kombinaci je alespoň jedno (at ) odlišné od nuly.

Nechť hodnost matice je . Je volán jakýkoli nenulový vedlejší řád 1 základní . Nazývají se řádky a sloupce, na jejichž průsečíku je základna základní .

Pojem pořadí matice úzce souvisí s pojmem lineární závislosti (nezávislosti) jejích řádků nebo sloupců. V budoucnu budeme prezentovat materiál pro řádky, pro sloupce je prezentace podobná.

V matrice A Označme jeho řádky takto:

Říká se, že dva řádky matice jsou stejné, jestliže jejich odpovídající prvky jsou stejné: , jestliže , .

Aritmetické operace na řádcích matice (násobení řádku číslem, přidání řádků) jsou zavedeny jako operace prováděné po prvku:

Čára E nazývaná lineární kombinace strun..., matice, pokud je rovna součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly:

Řádky matice se nazývají lineárně závislé, pokud existují čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Věta 3.3Řádky matice jsou lineárně závislé, pokud alespoň jeden řádek matice je lineární kombinací ostatních.

□ Vskutku, nechť pro definitivnost ve vzorci (3.3), tedy

Řádek je tedy lineární kombinací zbývajících řádků. ■

Pokud je lineární kombinace řádků (3.3) rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovné nule, pak se řádky nazývají lineárně nezávislé.

Věta 3.4.(o hodnosti matice) Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými jsou lineárně vyjádřeny všechny její ostatní řádky (sloupce).

□ Nechte matici A velikost m n má hodnost r(r min). To znamená, že existuje nenulová moll r-tý řád. Jakýkoli nenulový vedlejší r Tý řád bude nazýván základem minor.

Pro definitivu budiž základ menší přední nebo rohový moll. Potom jsou řádky matice lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, to znamená, že jedna z těchto strun je například lineární kombinací ostatních. Odečtěte od prvků r- 1. řádku prvky 1. řádku vynásobené , dále prvky 2. řádku vynásobené , ... a prvky ( r- 1) - tý řádek vynásobený . Na základě vlastnosti 8 se při takových transformacích matice její determinant D nezmění, ale od r- řádek se nyní bude skládat pouze z nul, pak D = 0 je rozpor. Proto je náš předpoklad, že řádky matice jsou lineárně závislé, nesprávný.

Zavolejme na linky základní. Ukažme, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. jakýkoli řetězec je vyjádřen základními.

Uvažujme moll (r +1) prvního řádu, který získáme doplněním příslušné moll o prvky jiné řady. i a sloupec j. Tato vedlejší je nula, protože hodnost matice je r, takže jakákoli moll vyššího řádu je nula.

Rozbalením podle prvků posledního (přidaného) sloupce dostaneme

Kde se modul posledního algebraického doplňku shoduje se základem moll D a tedy odlišné od nuly, tzn. 0.

3. Voevodin V.V., Kuzněcov Yu.A. Matice a výpočty - M.: Nauka, 1984.-320s.

4. Ilyin V.A., Poznyak E.G. Lineární algebra - M.: “Science”, 1978. - 304 s.

Uvažujme libovolnou, ne nutně čtvercovou, matici A o velikosti mxn.

Hodnost matice.

Pojem pořadí matice je spojen s pojmem lineární závislosti (nezávislosti) řádků (sloupců) matice. Zvažme tento koncept pro struny. U sloupců - podobně.

Označme stoky matice A:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s jestliže a kj =a sj , j=1,2,…,n

Aritmetické operace na řádcích matice (sčítání, násobení číslem) jsou zavedeny jako operace prováděné prvek po prvku: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Řádek e se nazývá lineární kombinaceřádky e 1, e 2,…, e k, pokud se rovná součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Nazývají se přímky e 1, e 2,…, e m lineárně závislé, pokud existují reálná čísla λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , ne všechna se rovna nule, že lineární kombinace těchto řetězců je rovna nulovému řetězci: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Kde 0 =(0,0,…,0) (1)

Je-li lineární kombinace rovna nule právě tehdy, jsou-li všechny koeficienty λ i rovny nule (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), pak řádky e 1, e 2,..., e m se nazývají lineárně nezávislý.

Věta 1. Aby struny e 1 , e 2 ,…, e m byly lineárně závislé, je nutné a postačující, aby jedna z těchto strun byla lineární kombinací zbývajících strun.

Důkaz. Nutnost. Nechť řetězce e 1, e 2,…, e m jsou lineárně závislé. Pro jistotu nechť (1) λ m ≠ 0, pak

Že. řetězec e m je lineární kombinací zbývajících strun. Atd.

Přiměřenost. Nechť jedna ze strun, například e m, je lineární kombinací zbývajících strun. Pak budou čísla taková, že platí rovnost, která lze přepsat do formuláře

kde alespoň 1 z koeficientů (-1) se nerovná nule. Tito. řádky jsou lineárně závislé. Atd.

Definice. Vedlejší k-tý řád matice A o velikosti mxn se nazývá determinant k-tého řádu s prvky ležícími v průsečíku libovolných k řádků a libovolných k sloupců matice A. (k≤min(m,n)). .

Příklad., nezletilí 1. řádu: =, =;

Nezletilí 2. řádu: , 3. řádu

Matice 3. řádu má 9 minoritních 1. řádu, 9 minoritních 2. řádu a 1 minoritní 3. řádu (determinant této matice).

Definice. Hodnost matice A je nejvyšším řádem nenulových minoritních hodnot této matice. Označení - rg A nebo r(A).

Vlastnosti maticového pořadí.

1) hodnost matice A nxm nepřesahuje menší z jejích rozměrů, tzn.

r(A)

2) r(A)=0, když jsou všechny prvky matice rovny 0, tzn. A=0.

3) Pro čtvercovou matici A n-tého řádu r(A)=n, když A je nedegenerované.

(Hodnota diagonální matice se rovná počtu jejích nenulových diagonálních prvků).

4) Pokud je hodnost matice rovna r, pak matice má alespoň jednu minoritní hodnotu řádu r, která se nerovná nule, a všechny minority vyšších řádů jsou rovna nule.

Pro úrovně matice platí následující vztahy:

2) r(A+B)< r(A)+r(B); 3) r(AB)

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);

5) r(AB)=r(A), pokud B je čtvercová nesingulární matice.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, kde n je počet sloupců matice A nebo řádků matice B.

Definice. Volá se nenulová moll řádu r(A). základní moll. (Matice A může mít několik základních nezletilých). Řádky a sloupce, na jejichž průsečíku je základna, se nazývají příslušně základní struny A základní sloupy.

Věta 2 (o základu vedlejší). Podkladové řádky (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Libovolný řádek (libovolný sloupec) matice A je lineární kombinací základních řádků (sloupců).

Důkaz. (Pro struny). Pokud by základní řádky byly lineárně závislé, pak by podle věty (1) jeden z těchto řádků byl lineární kombinací jiných základních řádků, pak, aniž byste změnili hodnotu základního vedlejšího, můžete od tohoto řádku odečíst naznačenou lineární kombinaci a získat nulový řádek, což je v rozporu se skutečností, že základ minor je odlišný od nuly. Že. základní řádky jsou lineárně nezávislé.

Dokažme, že libovolný řádek matice A je lineární kombinací základních řádků. Protože při libovolných změnách řádků (sloupců) si determinant zachovává vlastnost být roven nule, pak bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že základ minor je v levém horním rohu matice

A=, těch. umístěných na prvních r řádcích a prvních r sloupcích. Nechť 1£j£n, 1£i£m. Ukažme, že determinant (r+1) řádu

Jestliže j£r nebo i£r, pak je tento determinant roven nule, protože bude mít dva stejné sloupce nebo dva stejné řádky.

Je-li j>r a i>r, pak je tento determinant minoritou (r+1)-tého řádu matice A. Od Hodnost matice je r, což znamená, že jakákoli minorita vyššího řádu je rovna 0.

Rozbalením podle prvků posledního (přidaného) sloupce dostaneme

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj Arj +a ij A ij =0, kde poslední algebraický doplněk A ij se shoduje se základem moll M r a proto A ij = M r ≠0.

Vydělením poslední rovnosti A ij můžeme prvek a ij vyjádřit jako lineární kombinaci: , kde .

Opravme hodnotu i (i>r) a zjistíme, že pro libovolné j (j=1,2,...,n) jsou prvky i-tého řádku e i lineárně vyjádřeny prostřednictvím prvků řádků e 1, e 2,...,e r, tj. e. I-tý řádek je lineární kombinací základních řádků: . Atd.

Věta 3. (nutná a postačující podmínka, aby se determinant rovnal nule). Aby byl determinant n-tého řádu D roven nule, je nutné a postačující, aby jeho řádky (sloupce) byly lineárně závislé.

Důkaz (str. 40). Nutnost. Pokud je determinant n-tého řádu D roven nule, pak menší báze jeho matice je řádu r

Jeden řádek je tedy lineární kombinací ostatních. Potom podle věty 1 jsou řádky determinantu lineárně závislé.

Přiměřenost. Pokud jsou řádky D lineárně závislé, pak podle věty 1 je jeden řádek A i lineární kombinací zbývajících řádků. Odečtením zadané lineární kombinace od řetězce A i beze změny hodnoty D získáme nulový řetězec. Proto podle vlastností determinantů D=0. atd.

Věta 4. Při elementárních transformacích se hodnost matice nemění.

Důkaz. Jak se ukázalo při zvažování vlastností determinantů, při transformaci čtvercových matic se jejich determinanty buď nemění, nebo se násobí nenulovým číslem, případně mění znaménko. V tomto případě je zachován nejvyšší řád nenulových nezletilých původní matice, tzn. hodnost matice se nemění. Atd.

Jestliže r(A)=r(B), pak A a B jsou ekvivalent: A~B.

Věta 5. Pomocí elementárních transformací můžete matici zmenšit na stupňovitý pohled. Matice se nazývá postupně, pokud má tvar:

A=, kde a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Podmínku r≤k lze vždy dosáhnout transpozicí.

Věta 6. Hodnost matice stupně se rovná počtu jejích nenulových řádků .

Tito. Hodnost krokové matice se rovná r, protože existuje nenulová moll řádu r:

Všimněte si, že řádky a sloupce matice lze považovat za aritmetické vektory rozměrů m A n, resp. Velikostní matici lze tedy interpretovat jako množinu m n-rozměrné popř n m-rozměrné aritmetické vektory. Analogicky s geometrickými vektory zavádíme pojmy lineární závislosti a lineární nezávislosti řádků a sloupců matice.

4.8.1. Definice. Čára
volal lineární kombinace strun s šancemi
, pokud všechny prvky tohoto řádku mají následující rovnost:

,
.

4.8.2. Definice.

Struny
se nazývají lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému řádku, tzn. jsou čísla, která nejsou všechna rovna nule

,
.

4.8.3. Definice.

Struny
se nazývají lineárně nezávislé, je-li nulové řadě rovna pouze jejich triviální lineární kombinace, tzn.

,

4.8.4. Teorém. (Kritérium pro lineární závislost řádků matice)

Aby byly řádky lineárně závislé, je nutné a postačující, aby alespoň jeden z nich byl lineární kombinací ostatních.

Důkaz:

Nutnost. Nechte čáry
jsou lineárně závislé, pak existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému řádku:

.

Bez ztráty obecnosti předpokládejme, že první z koeficientů lineární kombinace je nenulový (jinak lze řádky přečíslovat). Vydělením tohoto poměru , dostáváme

,

to znamená, že první řádek je lineární kombinací ostatních.

Přiměřenost. Nechť jeden z řádků např. , je tedy lineární kombinací ostatních

to znamená, že existuje netriviální lineární kombinace strun
, rovná se nulovému řetězci:

což znamená čáry
jsou lineárně závislé, což je potřeba dokázat.

Komentář.

Podobné definice a tvrzení lze formulovat i pro sloupce matice.

§4.9. Hodnost matice.

4.9.1. Definice. Menší objednávka matrice velikost
nazývaný determinant pořadí s prvky umístěnými na průsečíku některé z nich linky a sloupců.

4.9.2. Definice. Nenulová podřadná objednávka matrice velikost
volal základní menší, jsou-li všechny nezletilé matice v pořádku
se rovnají nule.

Komentář. Matice může mít několik základních minoritních skupin. Je zřejmé, že všechny budou stejného pořadí. Je také možné, že matice velikost
menší objednávka se liší od nuly a nezletilí jsou v pořádku
neexistuje, tzn
.

4.9.3. Definice. Volají se řádky (sloupce), které tvoří základ minor základnířádky (sloupce).

4.9.4. Definice. Pořadí matice se nazývá řád jejího základu menší. Hodnost matice označený
nebo
.

Komentář.

Všimněte si, že kvůli rovnosti řádků a sloupců determinantu se hodnost matice při transpozici nemění.

4.9.5. Teorém. (Invariance pořadí matice při elementárních transformacích)

Hodnost matice se během jejích elementárních transformací nemění.

Žádný důkaz.

4.9.6. Teorém. (O základní moll).

Podkladové řádky (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Libovolný řádek (sloupec) matice může být reprezentován jako lineární kombinace jejích základních řádků (sloupců).

Důkaz:

Udělejme důkaz pro struny. Důkaz výpisu pro sloupce lze provést analogicky.

Nechť hodnost matice velikosti
rovná se , A
− základní moll. Bez ztráty obecnosti předpokládáme, že základ minor je umístěn v levém horním rohu (v opačném případě lze matici pomocí elementárních transformací redukovat do této podoby):

.

Nejprve dokažme lineární nezávislost základních řádků. Důkaz provedeme kontradikcí. Předpokládejme, že základní řádky jsou lineárně závislé. Potom podle věty 4.8.4 může být jeden z řetězců reprezentován jako lineární kombinace zbývajících základních řetězců. Pokud tedy od tohoto řádku odečteme zadanou lineární kombinaci, dostaneme nulový řádek, což znamená, že vedlejší
se rovná nule, což odporuje definici základu minor. Tím jsme získali rozpor, proto byla prokázána lineární nezávislost základních řádků.

Dokažme nyní, že každý řádek matice může být reprezentován jako lineární kombinace základních řádků. Pokud číslo příslušného řádku od 1 do r, pak to samozřejmě může být reprezentováno jako lineární kombinace s koeficientem rovným 1 pro čáru a nulové koeficienty pro zbývající řádky. Nyní ukažme, že pokud číslo řádku z
na
, může být reprezentován jako lineární kombinace základních řetězců. Zvažte matici minor
, získaný ze základu minor
přidání řádku a libovolný sloupec
:

Ukažme, že tento nezletilý
z
na
a pro libovolné číslo sloupce od 1 do .

Ve skutečnosti, pokud číslo sloupce od 1 do r, pak máme determinant se dvěma stejnými sloupci, který je evidentně roven nule. Pokud číslo sloupce z r+1 komu a číslo řádku z
na
, To
je minorita původní matice vyššího řádu než základ minor, což znamená, že je rovna nule z definice základu minor. Bylo tedy prokázáno, že nezletilý
je nula pro libovolné číslo řádku z
na
a pro libovolné číslo sloupce od 1 do . Když to rozbalíme přes poslední sloupec, dostaneme:

Zde
− odpovídající algebraické sčítání. Všimněte si toho
, protože proto
je základní moll. Proto prvky linky k mohou být reprezentovány jako lineární kombinace odpovídajících prvků základních řádků s koeficienty nezávislými na čísle sloupce :

Dokázali jsme tedy, že libovolný řádek matice může být reprezentován jako lineární kombinace jejích základních řádků. Věta byla prokázána.

Přednáška 13

4.9.7. Teorém. (Na úrovni nesingulární čtvercové matice)

Aby čtvercová matice nebyla singulární, je nutné a postačující, aby hodnost matice byla rovna velikosti této matice.

Důkaz:

Nutnost. Nechte čtvercovou matici velikost n je tedy nedegenerovaná
determinantem matice je tedy základ menší, tzn.

Přiměřenost. Nechat
pak je řád menšího základu roven velikosti matice, proto je menší základ determinantem matice , tj.
podle definice základního moll.

Následek.

Aby čtvercová matice byla nesingulární, je nutné a postačující, aby její řádky byly lineárně nezávislé.

Důkaz:

Nutnost. Protože čtvercová matice není singulární, její pořadí se rovná velikosti matice
to znamená, že determinant matice je základ menší. Proto podle věty 4.9.6 na menší bázi jsou řádky matice lineárně nezávislé.

Přiměřenost. Protože všechny řádky matice jsou lineárně nezávislé, její pořadí není menší než velikost matice, což znamená
tedy podle předchozí věty 4.9.7 matice je nedegenerovaná.

4.9.8. Metoda ohraničení nezletilých pro zjištění hodnosti matice.

Všimněte si, že část této metody již byla implicitně popsána v důkazu základní vedlejší věty.

4.9.8.1. Definice. Menší
volal hraničící vzhledem k nezletilému
, je-li získán od nezletilého
přidáním jednoho nového řádku a jednoho nového sloupce do původní matice.

4.9.8.2. Postup pro zjištění hodnosti matice metodou bordering minors.

Najdeme jakoukoli aktuální minoritu matice, která se liší od nuly.

Počítáme všechny nezletilé, kteří s tím sousedí.

Pokud jsou všechny rovny nule, pak aktuální minor je základní a hodnost matice se rovná pořadí aktuálního minoru.

Pokud je mezi hraničícími nezletilými alespoň jeden nenulový, pak se to považuje za aktuální a postup pokračuje.

Pomocí metody ohraničení nezletilých zjistíme hodnost matice

.

Je snadné specifikovat aktuální nenulový druhořadý moll, kupř.

.

Vypočítáme nezletilé, kteří s ním sousedí:

V důsledku toho, protože všechny hraniční nezletilé třetího řádu jsou rovny nule, pak jsou vedlejší
je základní, tzn

Komentář. Z uvažovaného příkladu je zřejmé, že metoda je značně pracná. Proto se v praxi mnohem častěji používá metoda elementárních transformací, o které bude řeč dále.

4.9.9. Zjištění hodnosti matice metodou elementárních transformací.

Na základě věty 4.9.5 lze tvrdit, že hodnost matice se při elementárních transformacích nemění (to znamená, že hodnosti ekvivalentních matic jsou stejné). Hodnost matice je tedy rovna hodnosti krokové matice získané z původní matice elementárními transformacemi. Hodnost krokové matice je zjevně rovna počtu jejích nenulových řádků.

Pojďme určit hodnost matice

metodou elementárních transformací.

Představme si matrici krokovat zobrazení:

Počet nenulových řádků výsledné stupňovité matice je tedy tři,

4.9.10. Hodnost systému lineárních prostorových vektorů.

Uvažujme systém vektorů
nějaký lineární prostor . Pokud je lineárně závislý, pak v něm lze rozlišit lineárně nezávislý subsystém.

4.9.10.1. Definice. Hodnost vektorového systému
lineární prostor nazývá se maximální počet lineárně nezávislých vektorů tohoto systému. Hodnost vektorového systému
označený jako
.

Komentář. Pokud je systém vektorů lineárně nezávislý, pak je jeho hodnost rovna počtu vektorů v systému.

Zformulujme větu ukazující souvislost mezi pojmy hodnosti soustavy vektorů v lineárním prostoru a hodností matice.

4.9.10.2. Teorém. (Na úrovni soustavy vektorů v lineárním prostoru)

Hodnost systému vektorů v lineárním prostoru je rovna hodnosti matice, jejíž sloupce nebo řádky jsou souřadnicemi vektorů v nějakém základu lineárního prostoru.

Žádný důkaz.

Následek.

Aby byl systém vektorů v lineárním prostoru lineárně nezávislý, je nutné a postačující, aby hodnost matice, jejíž sloupce nebo řádky jsou souřadnicemi vektorů v určité bázi, byla rovna počtu vektorů v systému.

Důkaz je zřejmý.

4.9.10.3. Věta (O rozměru lineární skořepiny).

Dimenze lineárních trupových vektorů
lineární prostor rovná se hodnosti tohoto vektorového systému:

Žádný důkaz.