Аппроксимация нелинейных элементов. Аппроксимация нелинейных характеристик. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Преобразование сигналов в нелинейных

радиотехнических цепях

Большинство процессов (нелинейное усиление сигналов, модуляция,

демодуляция, ограничение, генерация, умножение, деление и перенос частоты и т. д.), связанных с преобразованием спектра сигналов, осуществляют с помощью нелинейных и параметрических цепей. В нелинейных цепях параметры элементов зависят от входных воздействий, и процессы, протекающие в них, описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом к ним неприменим принцип суперпозиции. Эти цепи отличаются большим разнообразием и поэтому не существует общих методов их анализа.

Анализ нелинейных цепей мы ограничим рассмотрением только их определённого класса. Это радиотехнические цепи, анализ которых проводится в основном с помощью вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями занимают параметрические цепи, которые являются линейными и к которым применим принцип суперпозиции. Однако в спектре выходного сигнала таких цепей могут появиться новые частоты. Параметрические цепи описывают линейными дифференциальными уравнениями с переменными (т. е. зависящими от времени) коэффициентами. Теория этих уравнений по сравнению с теорией линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложна. Некоторые параметрические цепи работают в существенно нелинейном режиме. Это позволяет методологически объединить параметрические цепи с нелинейными цепями, тем более что результат обработки сигнала связан с преобразованием его спектра.

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях – весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от её параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удаётся осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент (НЭ) отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность НЭ означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Строго говоря, безынерционных (резистивных, или омических, т.е. только поглощающих энергию входного сигнала) практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы, – обладают инерционными свойствами. В то же время современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.

Нелинейные динамические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями, в этих системах нелинейность обязательно присутствует. Нелинейную цепь можно определить не только по входящим в нее элементам, но и по внешним признакам, к числу которых при гармоническом входном сигнале относят:

ü отличие от синусоидальной формы выходного сигнала ;

ü появление в спектре выходного колебания гармоник входного сигнала;

ü нелинейность передаточной амплитудной характеристики;

ü зависимость фазы усиленного сигнала от амплитуды.

Известны и используют следующие методы анализа нелинейных цепей при прохождении через них детерминированных сигналов:

Ø линеаризация характеристик нелинейного элемента (НЭ) при

фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи;

Ø аналитические, как правило, приближенные способы решения системы

нелинейных уравнений, описывающих работу устройства;

Ø спектральный, оценивающий нелинейные свойства цепи по спектру

выходного сигнала;

Ø численные способы решения системы нелинейных уравнений с

помощью компьютера;

Наиболее часто используют метод анализа нелинейных цепей, основанный на линеаризации характеристик НЭ при фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи.

Линеаризация (от лат. linearis – линейный) – метод приближённого

представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование

нелинейной системы заменяют анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь при определённом «режиме» работы системы, а если система переходит из одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Вместе с тем, применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и количественные свойства нелинейной системы.

В качестве примера нелинейных цепей, точнее элементов, можно привести полупроводниковый выпрямительный диод, оставляющий от синусоидального сигнала только однополярные (положительные или отрицательные) полусинусоиды, или трансформатор, насыщение сердечника которого магнитным полем приводит к «затуплению» вершин синусоиды (а с точки зрения частотного спектра, это сопровождается появлением гармоник основной частоты, а иногда и частот меньшей в кратное число раз основной частоты – субгармоник).

При использовании метода линеаризации анализ прохождения сигнала

через нелинейную цепь сравнительно просто осуществить, если нелинейный

элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное изменение отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных (резистивных, или омических, т. е. поглощающих энергию сигнала) НЭ практически не существует. Все НЭ – диоды, транзисторы, микросхемы, электровакуумные приборы и т. д. – обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам, и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.1.

Рис.1. Структурная схема нелинейного устройства

Согласно этой схеме, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключён фильтр (линейная цепь).

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями.

В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяющий нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществлять требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией , которую в общем виде можно записать так:

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ в качестве воздействия наиболее удобно рассматривать входное напряжение , а отклика – выходной ток , связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

...................... (1)

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольтамперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладает и нелинейный двухполюсник (полупроводниковый диод), и нелинейный четырёхполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольтамперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально) большинства НЭ имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. Как правило, не имеет большого смысла проектирование систем анализа и обработки сигналов по высокоточным формулам, если снижение погрешности расчётов и соответствующее усложнение систем не дает ощутимого эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации – представление исходных сложных функций простыми и удобными для практического использования относительно простыми функциями (или их набором) таким образом, чтобы отклонение от в области её задания было наименьшим по определенному критерию приближения. Функции называют функциями аппроксимации. Нахождение аналитической функции по экспериментальной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента называют аппроксимацией.

В радиотехнике и теории передачи информации используются несколько способов аппроксимации характеристик НЭ – степеннáя, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломаная).Наибольшее распространение получили аппроксимация степенны м полиномом и кусочно-линейная аппроксимация сложных функций.

Аппроксимация ВАХ степенным полиномом

Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах входных сигналов (как правило, доли вольта) в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и её производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенн го полинома используют ряд Тейлора:

где – постоянные коэффициенты;

– значение напряжения , относительно которого ведётся разложение в ряд и называемое рабочей точкой.

Постоянные коэффициенты ряда Тейлора определяются известной формулой

. .................. (3)

Оптимальное число членов ряда берётся в зависимости от требуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удаётся достаточно точно осуществить полиномом не выше второй-третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда (2) необходимо задаться диапазоном , нескольких возможных значений напряжения и положением рабочей точки в этом диапазоне. Если требуется определить коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается точек со своими координатами . Для упрощения расчётов одну точку совмещают с рабочей точкой , имеющей координаты ; ещё две точки выбираются на границах диапазона и . Остальные точки располагают произвольно, но с учётом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2), составляют систему из уравнений, которая решается относительно известных коэффициентов ряда Тейлора.

2.7.1 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ И АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Все цепи, рассматриваемые до сих пор , относились к классу линейных систем. Элементы таких цепей R, L и С являются постоянными и не зависят от воздействия. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если элементы электрической цепи R, L и С зависят от воздействия , то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для колебательного RLC -контура, сопротивление которого зависит от напряжения u c , получим:

. (1)

Такой колебательный контур является нелинейным. Элемент электрической цепи, параметры которого зависят от воздействия, называется нелинейным . Различают резистивные и реактивные нелинейные элементы.

Для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u , т. е, нелинейная характеристика i = F(u). Наиболее распространенными резистивными нелинейными элементами являются ламповые и полупроводниковые приборы, используемые для усиления и преобразования сигналов. На рисунке 12.1 приведена ВАХ типового нелинейного элемента (полупроводникового диода).

Для резистивных нелинейных элементов важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется .

Рисунок 12.1 - ВАХ нелинейного элемента

По ВАХ нелинейного элемента можно определить сопротивление как

(2)

где U 0 - приложенное к нелинейному элементу постоянное напряжение ;

I 0 = F(U 0 ) — протекающий по цепи постоянный ток . Это сопротивление постоянному току (или статическое) . Оно зависит от приложенного напряжения.

Пусть на нелинейный элемент действует напряжение u = U 0 + U m cos w t , причем амплитуда U m , переменной составляющей достаточно мала (рисунок 12.2 ), так что тот небольшой участок ВАХ в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным . Тогда ток. протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение : i = I 0 + I m cos w t.

Определим сопротивление R диф как отношение амплитуды переменного напряжения U m к амплитуде переменного тока I m (на графике это отношение приращения напряжения D u к приращению тока D i ):

(3)

Рисунок 12.2 - Воздействие малого гармонического сигнала на нелинейный элемент

Это сопротивление называется дифференциальным (динамическим) и представляет собой сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде R диф =du/di.

Приборы, имеющие падающие участки на ВАХ, называются приборами с отрицательным сопротивлением, так как на этих участках производные di/du < 0 и du/di < 0.

К нелинейным реактивным элементам относятся нелинейная емкость и нелинейная индуктивность. Примером нелинейной емкости может служить любое устройство обладающее нелинейной вольт-кулонной характеристикой q = F(u) (например, вариконд и варикап). Нелинейной индуктивностью является катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения.

Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействия. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.

Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = a u 2 . Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u 1 + u 2 , то отклик i = a (u 1 + u 2 ) 2 = a u 1 2 + a u 2 2 + 2 a u 1 u 2 отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (a u 1 2 + a u 2 2 ) наличием компоненты 2 a u 1 u 2 , которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.

Рассмотрим вторую отличительную особенность нелинейных цепей . Пусть u = u 1 + u 2 = U m1 cos w 0 t + U m2 cos W t ,

где U m1 и U m2 - амплитуды напряжений u 1 и u 2 .

Тогда ток в нелинейном элементе с ВАХ i = a u 2 будет иметь вид:

(4)

На рисунке 12.3 построены спектры напряжения и тока. Все спектральные компоненты тока оказались новыми , не содержащимися в напряжении. Таким образом, в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты . В этом смысле нелинейные цепи обладают гораздо большими возможностями, чем линейные, и широко используются для преобразований сигналов, связанных с изменением их спектров.

При изучении же теории нелинейных цепей можно не учитывать устройство нелинейного элемента и опираться только на его внешние характеристики подобно тому, как при изучении теории линейных цепей не рассматривают устройство резисторов конденсаторов и катушек и пользуются только их параметрами R, L и С .

Рисунок 12.3 - Спектры напряжения и тока квадратичного нелинейного элемента

Иллюстрация указанного воздействия на реальный полупроводниковый диод

2.7.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Как правило, ВАХ нелинейных элементов i = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков . Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями , приходится прибегать к аппроксимации.

Обозначим заданную таблично или графически ВАХ нелинейного элемента i = F V (u), а аналитическую функцию , а ппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a 0 , a 1 , a 2 , … , a N ). где a 0 , a 1 , … , a N — коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a 0 , a 1 , … , a N функции F(u) находятся из условия:

, (5)

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь u k , k = 1, 2, ..., G — выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N должны быть такими, чтобы минимизировать величину

(6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции i = F(u) рядом Тейлора в окрестности точки u = U 0 :

(7)

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью . Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U 0 ) = I 0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U 0 , а второй ч лен

- (8)

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке , т. е. при u = U 0 .

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой к оэффициенты a 0 , a 1 , …, a N аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной F x (u) в выбранных точках (узлах интерполяции) u k = 1, 2, ..., N+1.

Д) Степенная (полиномиальная ) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

(9)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точки U 0 , называемой рабочей . Тогда используют степенной полином

(10)

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия , поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции . Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами .

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке характеристики используются степенные полиномы первой степени (N = 1 ) с различными значениями коэффициентов a 0 , a 1 , …, a N .

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

Воздействие гармонического сигнала на цепь с нелинейным элементом

При исследовании свойств электрических цепей явлением гистерезиса, как правило, можно пренебречь. Лишь при исследовании цепей, в основе действия которых лежит это явление (например, работы запоминающих магнитных устройств с прямоугольной петлей гистерезиса), гистерезис необходимо учитывать.

На рис. 15.11, а изображена типичная симметричная характеристика у = f(x).

Для нелинейной индуктивности роль х играет мгновенное значение индукции роль у - мгновенное значение напряженности поля Н. Для нелинейного конденсатора у - это напряжение - заряд q. Для нелинейных резисторов (например, тиритовых сопротивлений) роль х играет напряжение, у - ток.

Существует большое число различных аналитических выражений, в той или иной мере пригодных для аналитического описания характеристик нелинейных элементов . При выборе наиболее подходящего аналитического выражения для функции у = f(x) исходят не только из того, что кривая, описываемая аналитическим выражением, должна достаточно близко всеми своими точками расположиться к опытным путем полученной кривой в предполагаемом диапазоне перемещений рабочей точки на ней, но учитывают и те возможности, которые выбранное аналитическое выражение дает при анализе свойств электрических цепей.

В дальнейшем для аналитического описания симметричных характеристик по типу рис. 15.11, а будем пользоваться гиперболическим синусом:

В этом выражении - числовые коэффициенты; а выражается в тех единицах, что - в единицах, обратных единицам так что произведение есть величина безразмерная. Для определения неизвестных коэффициентов следует на полученной опытным путем зависимости у = f(x) в предполагаемом рабочем диапазоне произвольно выбрать две наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая, подставить координаты этих точек в уравнение (15.1) и затем решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Пусть координаты этих точек (рис. 15.11, а). Тогда

Отношение

Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения коэффициента . Следовательно,

Пример 147. Кривая намагничивания трансформаторной стали изображена на рис. 15.11, б. Найти коэффициенты а и .

Решение. Выбираем две точки на кривой:

По уравнению (15.2) имеем Задаемся произвольными значениями и производим подсчеты:

По результатам подсчетов строим кривую и по ней находим . Далее определяем

Пунктирная кривая на рис. 15.11, б построена по уравнению . § 15.14. Понятие о функциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя

Функции Бесселя выражают степенными рядами и для них составлены таблицы. Функцию Бесселя от аргумента обозначают , где - порядок функции Бесселя. Общее выражение для в виде степенного ряда можно записать так:

Таблица 15.1

Рисунок 6.3

Первое семейство характеристик в (6.1) носит название входных, второе– выходных характеристик (полагается, что полюс 1 выступает в качестве входа нелинейного элемента, а полюс 2 – в качестве выхода). Общий вид входных характеристик транзистора приведен на рисунке 6. 3, б, выходных - на рисунке 6. 3, в. Поскольку третье семейство в (6. 2) характеризует влияние выходного напряжения на входное, оно называется характеристикой обратной связи по напряжению. Четвертое семейство представляет собой характеристики прямой передачи по току или сквозные характеристики.

Как и нелинейные двухполюсники, трехполюсные элементы в режиме “малого” сигнала хорошо описываются дифференциальными параметрами, которые могут быть определены путем дифференцирования статических характеристик. Так, из первого семейства может быть найден параметр

который называется дифференциальным входным сопротивлением. Семейство 2 позволяет найти дифференциальную выходную проводимость

При помощи нелинейных цепей решается целый ряд весьма важных для практики задач. Отметим некоторые из них.

1. Преобразование переменного тока в постоянный. Устройства, реализующие такое преобразование, называются выпрямителями.

2. Преобразование постоянного тока в переменный. Производится при помощи устройств, которые в радиотехнике называются автогенераторами, а в промышленной электронике – инверторами.

3. Умножение частоты, то есть получение на выходе устройства напряжения, частота которого в несколько раз больше частоты входного сигнала. Реализуется данная функция в умножителях частоты.

4. Преобразователи частоты - изменение частоты несущего колебания без изменения вида и характера модуляции.

5. Осуществление различных видов модуляции; устройства, позволяющего осуществить модуляцию, называются модуляторами.

6. Демодуляция сигналов, то есть выделение из высокочастотного колебания низкочастотного управляющего сигнала; устройства, осуществляющие демодуляцию, носят название демодуляторов или детекторов.

7. Стабилизация напряжения или тока, то есть получение на выходе устройства напряжения или тока, практически не изменяющихся по величине при изменяющихся в широком диапазоне входном напряжении и сопротивлении нагрузки.

8. Преобразование формы сигнала; например, напряжения синусоидальной формы в прямоугольное.

9. Повышение мощности сигнала.

10. Преобразование и запоминание дискретных сигналов.

Аппроксимация нелинейных характеристик

Как отмечалось в предыдущем разделе, аналитическая форма представления статических характеристик нелинейных элементов является наиболее удобной для практического использования. Для получения аналитического описания характеристик используется, как правило, один из двух подходов. Первый предполагает выполнение анализа физических процессов, имеющих место в рассматриваемом элементе, составление уравнений, описывающих эти процессы, и затем поиск аналитического выражения для статической характеристики путем решения составленных уравнений. Достоинством такого подхода является то, что получаемые соотношения характеризуются параметрами, имеющими конкретный физический смысл. Однако данному подходу присущи и существенные недостатки. Во-первых, необходима достаточно достоверная информация о физических процессах, протекающих в элементе. Во-вторых, уравнения, описывающие внутренние процессы в реальных элементах, как правило достаточно сложны, аналитическое решение их возможно только при введение значительных упрощающих допущений. В результате полученное аналитическое выражение может в весьма малой степени отражать реальную статическую характеристику.

Второй подход основан на аппроксимации характеристик нелинейных элементов, найденных экспериментальным путем.

Режимы работы элементов могут быть различными. В одних режимах токи и напряжения элемента изменяются только в небольшой окрестности некоторой точки покоя, в других режимах область изменения токов и напряжений охватывает всю характеристику или большую ее часть. В соответствии с этим аппроксимирующая эту характеристику функция должна с наибольшей точностью воспроизводить рабочий участок. Чем меньше рабочий участок кривой, тем более простой может быть выбрана функция, аппроксимирующая этот участок характеристики.

Существуют различные способы аппроксимации:

1) линейная;

2) нелинейная;

3) кусочно-линейная;

4) кусочно-нелинейная.

Линейная аппроксимация используется при работе нелинейного элемента в режиме малого сигнала. Аппроксимация нелинейной функции в этом случае осуществляется, как правило, касательной, проведенной или рассчитанной в точке характеристики, в окрестности которой происходят изменения токов и напряжений. В случае нелинейного резистивного двухполюсника такую аппроксимацию можно интерпретировать как замену при расчете нелинейного сопротивления линейным, числено равным дифференциальному сопротивлению. Достоинством линейной аппроксимации является возможность перехода от анализа нелинейной цепи к анализу линейной (линеаризованной) цепи, который является значительно проще. Недостаток- точность такой аппроксимации низкая и даже в режиме малого сигнала погрешность расчета может быть значительной.

При нелинейной аппроксимации используются чаще всего различные степенные ряды.

Предположим, что к нелинейному двухполюснику приложено некоторое постоянное воздействие , которое определяет его исходный рабочий режим. Это воздействие будем называть “смещением”. При этом –– значение функции в исходной точке. Если исходное воздействие изменить на некоторую величину , то, представляя новое значение функции в виде ряда Тейлора, получим

где - значения производных функции f (x) в точке .

Так как , то вместо (6. 3) можно записать

Последнее соотношение представляет собой разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки и является аналитическим описанием характеристики элемента. Полученная формула представляет собой степенной ряд. Чем большее число членов ряда учитывается, тем точнее будет выражаться действительная характеристика. Оставляя в разложении слагаемых, получаем многочлен -ой степени. Таким образом, аппроксимация характеристик полиномами приводит к следующим уравнениям:

а) если , то ; (6. 4)

б) если , то . (6. 5)

Коэффициенты , необходимо подбирать таким образом, чтобы аппроксимирующее уравнение с приемлемой точностью описывали рабочий участок характеристики. Чтобы не усложнять расчеты, количество членов аппроксимирующих уравнений (6. 4) и (6. 5) стараются ограничить как можно меньшим числом.

Наряду со степенными полиномами, для нелинейной аппроксимации могут использоваться и другие виды функций (экспоненциальная, тригонометрическая и т. п.). Преимущества данного подхода к получению аналитического описания нелинейных характеристик, заключается, во-первых, в возможности нахождения сколь угодно точного выражения и, во-вторых, в отсутствии необходимости знаний о принципе действия рассматриваемого элемента. Недостаток - коэффициенты аппроксимирующих выражений не имеют физического смысла, их численные значения невозможно оценивать и корректировать из общих, теоретических положений. Незначительное изменение хода характеристики или рассмотрения аппроксимируемого участка может приводить к существенным изменениям численных значений коэффициентов , .

В практике радиотехнических расчетов широко применяется метод кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае характеристика нелинейного элемента заменяется некоторой совокупностью отрезков прямых линий, совпадающей с реальной кривой с удовлетворительной точностью. Пример кусочно-линейной аппроксимации N-образной ВАХ приведен на рисунке 6. 4. Очевидно, что аппроксимирующие соотношения для каждого участка будут различными.

Рисунок 6. 4

Такой метод сохраняя достоинства линейной аппроксимации, позволяет по сравнению с ней значительно повысить точность описания характеристик и, в тоже время, существенно упрощает сам процесс аппроксимации в сравнении с нелинейной аппроксимацией.

Недостатком кусочно-линейной аппроксимации является усложнение алгоритма расчета электрической цепи из-за необходимости постоянного контроля значений переменных. Данная процедура не создает сложностей, если в анализируемой цепи имеется только один элемент, для которого использована кусочно-линейная аппроксимация, но может оказаться чрезмерно трудоемкой с ростом числа таких элементов.

Кусочно-нелинейная аппроксимация используется в случаях, когда ни один из трех рассмотренных методов аппроксимации не дает удовлетворительного результата либо из-за низкой точности, либо из-за сложности полученных соотношений (чрезмерно большое количество членов при аппроксимации степенными полиномами, очень большое количество отрезков при кусочно-линейной аппроксимации). Иногда к кусочно-нелинейной аппроксимации прибегают в случаях, когда в результате анализа физических процессов в элементе получено соотношение, хорошо описывающие значительный участок статической характеристики, но мало приемлемое при каком-либо качественном изменении режима работы нелинейного элемента (например, явление пробоя электронно-дырочного перехода в полупроводниковых приборах). Достаточно часто такая аппроксимация позволяет с требуемой точностью описать характеристику при сравнительно небольшом числе участков, описываемых различными соотношениями (как правило, 2 - 3 участка).

Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально; реже удается найти их из теоретического анализа. Для исследования необходимо подобрать функцию аппроксимации такую, которая, будучи довольно простой, отражала бы все возможные особенности экспериментальной снятой характеристики с достаточной степенью точности. Чаще всего используют следующие способы аппроксимации вольт-амперных характеристик двухполюсников: кусочно-линейная, степенная, показательная аппроксимация.

Кусочно-линейная аппроксимация

Такую аппроксимацию обычно применяют при рассчете процессов в нелинейных уравнениях в случае больших амплитуд внешних воздействий. Данный способ основан на апроксимации характеристик нелинейных элементов, т.е. на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. На рисунке показана входная характеристика реального транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами – напряжением начала характеристики Uн и крутизной S. Математическая форма аппроксимированной ВАХ такова:

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0,2-0,8 В: крутизна характеристики тока базы iб(Uбэ) около 10мА/В. Крутизна характеристики iк(Uбэ) тока коллектора в зависимости от напряжения база-эмиттер, то величина 10мА/В должна быть умножена на h21э – коэффициент усиления тока базы. Поскольку h21э = 100-200, указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт.

Степенная аппроксимация

Степенную аппроксимацию широко используют при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия. Этот способ основан на разложении нелинейной вольт-амперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U0.

количество членов разложения зависит от заданной точности. Рассмотрим пример:

Входная характеристика транзистора. Рабочая точка U0=0,7В. Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0,5; 0,7 и 0,9 В.

Необходимо решить систему уравнений:

Спектральный состав тока в нелинейном элементе при внешнем гармоническом воздействии

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательного соединения источника гармонического сигнала Uс(t) = coswt, источника постоянного напряжения смещения U0 и безинерционного нелинейного элемента. Для этого рассмотрим рисунок.

Ток в цепи имеет синусоидальную форму.

Форма тока и напряжения оказываются различными.

Причина искажения кривой тока проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, т.к. , а дифференциальная крутизна ВАХ на разных участках различна.

Рассмотрим задачу аналитически.

Пусть нам известна нелинейная функция i(u)=i(Uc,U0). На нелинейный элемент действует напряжение сигнала Uc(t)=Umcos(wt+j).

Безразмерная величина x=wt+j, тогда I(x)=I(Umcosx, U0) – переодическая функция относительно аргумента x с периодом 2T. Представим ее рядом Фурье с коэффициентами .

Функция i(x) четная, поэтому ряд Фурье будет содержать только косинусные составляющие: .

Амплитудные коэффициенты гармонии

Две последние формулы дают общее решение задачи о спектре тока в нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии:

т.е. ток, кроме постоянной составляющей I0, содержит бесконечную последовательность гармонии с амплитудами In. Амплитуды гармонии зависят от параметров Um и U0, а также от вида аппроксимирующей функции.

Рассмотрим каким образом зависит от вида аппроксимирующей функции.

Кусочно-линейная

i(U)=

Подано напряжение u(t)=U0+Umcoswt.

График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства:

U0+Umcosq=Uн Þ .

Степенная аппроксимация.

Пусть в окрестности рабочей точки U0 ВАХ нелинейного элемента