Элементы теории синтеза линейных частотных фильтров. Проектирование (синтез) линейных цифровых фильтров. Передаточная функция фильтра Баттерворта

Общая теория синтеза линейных электрических цепей не входит в задачу курса «Радиотехнические цепи и сигналы».

В данной главе рассматриваются лишь некоторые частные, специфические для синтеза радиоцепей вопросы:

синтез активных четырехполюсников в виде каскадного соединения элементарных невзаимодействующих (развязанных) звеньев первого или второго порядка;

построение избирательных цепей, не содержащих катушек индуктивности (интегральные микросхемы);

элементы синтеза дискретных (цифровых) цепей и соотношение между АЧХ и ФЧХ цифровых фильтров.

Синтез аналоговых цепей в данной главе проводится лишь в частотной области, т. е. по заданной передаточной функции; для цифровых цепей рассмотрен синтез и по заданной импульсной характеристике (кратко).

Известно, что передаточная функция линейного четырехполюсника однозначно определяется своими нулями и полюсами на -плоскости (аналоговые цепи) или на z-плоскости (цифровые цепи). Поэтому выражение «синтез по заданной передаточной функции» эквивалентно выражению «синтез по заданным нулям и полюсам передаточной функции». Существующая теория синтеза четырехполюсников рассматривает цепи, передаточная функция которых имеет конечное число нулей и полюсов, иными словами, цепи, состоящие из конечного числа звеньев с сосредоточенными параметрами. Излагаемый ниже материал ориентирован на четырехполюсники с небольшим числом звеньев, которые характерны для фильтров нижних частот, верхних частот, заградительных фильтров и т. д., широко применяемых в радиоэлектронных устройствах.

Министерство образования и науки РФ

Бийский технологический институт (филиал)

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»
Р.Г. Гареева
синтез линейных частотных фильтров

Бийск

Издательство Алтайского государственного технического

университета им. И.И. Ползунова

УДК 621.372.54(076.5)

Рецензент: Александрович В.М., к.ф.-м.н.,

Доцент каф. ИУС БТИ АлтГТУ

Гареева, Р.Г.

С
Г 20
интез линейных частотных фильтров: методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов» / Р.Г. Гареева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2011. – 21 с.

Методические рекомендации содержат краткое изложение теоретических сведений об электрических фильтрах, их типах и основных характеристиках. Подробно рассмотрена задача синтеза непрерывных фильтров типа Баттерворта низких частот, а на их основе – полосовых фильтров и фильтров верхних частот.

УДК 621.372.54(076.5)

Рассмотрены и одобрены

На заседании кафедры МСИА.

Протокол № 10 от 30.12.2010 г.

© Гареева Р.Г., 2011

БТИ АлтГТУ, 2011

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Электрические фильтры

Фильтрация или фильтрование является широко распространенным и применяемым технологическим процессом.

Электрическими фильтрами называют устройства, включаемые в электрическую цепь и предназначенные для пропускания токов или напряжений определенных частот и ослабления токов или напряжений других частот. Электрические фильтры создаются из катушек индуктивности, конденсаторов и резисторов.

Теорию фильтров принято делить на две обширные области, тесно связанные между собой, – анализ и синтез. Задачей анализа является нахождение внешних и внутренних харак­теристик электрической системы, структура которой задана зара­нее, например, в виде принципиальной схемы. Задача синте­за диаметрально противоположна – внешняя характе­ристика, такая как частотный коэффициент передачи напря­жения, входное или выходное сопротивление и т.д., счита­ется известной. Требуется найти структуру цепи, реализую­щую эту характеристику.

В отличие от анализа синтез цепи, как правило, явля­ется неоднозначной процедурой. Поэтому среди множества структур с одинаковыми свойствами необходимо отыскать ту, которая в определенном смысле оптимальна. Так, всегда желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов. Во многих случаях нужно, чтобы цепь была малочувствительна к выбору номи­налов входящих в нее элементов.

Рассмотрим простейшую задачу син­теза частотных фильтров, представляющих собой линейные четырехполюсники, образованные элементами L , С и R . Исходные данные для синтеза во всех случаях будут задаваться амплитудно-частотными характеристиками.

1.2 Типы электрических фильтров

Различают следующие типы фильтров:

1) Фильтры низких частот (ФНЧ) . Основное назначение таких устройств – с минимальным ослаблением передавать на выход сигналы, частоты которых не превосходят заданную граничную частоту, называемую частотой среза фильтра . Сигналы с более высокими частотами должны существенно ослабляться.

Для ФНЧ с частотой среза идеальная амплитудная частотная характеристика (АЧХ) описывается формулой

И представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Фильтр низких частот

2) Фильтры верхних частот (ФВЧ) . Основное назначение ФВЧ – максимальное ослабление сигналов, частоты которых не превосходят заданную граничную частоту среза , и минимальное ослабление сигналов с частотами выше (рисунок 2).

Рисунок 2 – Фильтр верхних частот

3) Полосовые фильтры (ПФ) . Полосовые фильтры должны пропускать сигналы с частотами, находящимися в некоторой полосе вблизи частоты , называемой центральной частотой полосы пропускания , или нескольких частот
... (в этом случае фильтр называется многополосным ) (рисунок 3).

Рисунок 3 – Полосовой фильтр

4) Режекторные (заграждающие) фильтры (РФ) . Основное назначение таких фильтров состоит в подавлении сигналов, частоты которых имеют значение или расположены в узкой полосе относительно частоты (рисунок 4).

Рисунок 4 – Режекторный фильтр

1.3 С войства физически реализуемых фильтров

Рассмотрим более общую, чем частотная, характеристику системы – передаточную функцию
. В большинстве практических случаев её получают путем замены переменной
в частотной характеристике
на переменную
, где  – абсцисса сходимости.

Вводят передаточную функцию по аналогии с частотной характеристикой
по соотношению:

,

Где
– изображения по Лапласу функций
:

,
.

Для линейных систем с постоянными параметрами передаточная функция имеет вид:

, (1)

Где
– постоянная величина;

– корни полинома числителя (нули передаточной функции);

– корни полинома знаменателя (полюсы передаточной функции).

Для устойчивости электрического фильтра необходимо, чтобы полюсы его передаточной функции обладали отрицательной действительной частью, то есть чтобы они располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости, образуя комплексно-сопряженные пары (рисунок 5).

Рисунок 5 – Расположение полюсов устойчивой системы

Обычно вводят ещё дополнительное условие – число нулей передаточной функции G (p ) не должно превышать число полюсов (степень полинома числителя функции должна быть меньше степени полинома знаменателя m n).

В отличие от полюсов нули функции G (p ) устойчивой линейной системы могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной p . Системы, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называются минимально-фазовыми .

Расположение нулей функции G (p ) связано с топологической структурой цепи. В теории цепей доказывается, что минимально-фазо-вым будет любой четырехполюсник, для которого передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. Для электрических фильтров необходимо, чтобы система была минимально-фазовой.

Для физической реализуемости электрического фильтра необходимо выполнение критерия Пэли–Винера: частотная характеристика должна быть такой, чтобы существовал интеграл

(2)

Рассмотренные ранее частотные характеристики идеальных фильтров (рисунки 1–4) заведомо нереализуемы, поскольку обращение в нуль функции H () делает невозможным существование интеграла (2).

Идеальные характеристики необходимо аппроксимировать такими аналитическими зависимостями H (), которые бы стремились к нулю, но его не достигали.

1.4 Мощностные характеристики фильтров

При расчете степени пропускания или непропускания фильтром сигнала определенной частоты удобно пользоваться мощностными или энергетическими характеристиками.

Коэффициентом передачи мощности принято называть квадрат модуля частотной характеристики:

В отличие от комплексной частотной характеристики функция
вещественна, что гораздо удобнее для задания исходных данных при синтезе фильтра. Согласно формуле (3) коэффициент передачи мощности является четной функцией частоты.

Если в функции вместо переменной  подставить переменную p , то получают передаточную функцию мощности :

. (4)

Формула (4) устанавливает следующий факт: если точка
является особой точкой (нулем или полюсом) функции G (p ), то функция K p (p ) будет иметь такую же особую точку как при
так и при

Иными словами, особые точки передаточной функции мощности имеют квадрантную симметрию , то есть располагаются на комп-лексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат (рисунок 6). Это свойство дает возможность восстанавливать передаточную функцию G (p ) по известной функции K p (p ).

Рисунок 6 – Полюсы, находящиеся в квадрантной симметрии

1.5 Этапы синтеза электрических фильтров

Синтез частотных фильтров обычно начинают с выбора некоторой идеализированной функции, которая описывает частотную зависимость коэффициента передачи мощности K p ().

Поскольку идеализированная частотная характеристика, как правило, физически нереализуема, то второй этап синтеза состоит в её аппроксимации такой функцией, которая может принадлежать физически реализуемой системе.

По виду передаточной функции проводят реализацию цепи, то есть получают принципиальную схему фильтра, включая номиналы входящих элементов.

1.6 Синтез непрерывных фильтров низких частот

Исторически реализация фильтров началась с непрерывных фильтров, для которых уже были созданы типовые устройства, составлены справочники и т.д. Непрерывные фильтры служат прототипами для дискретных фильтров.

Начнем с рассмотрения физически реализуемых характеристик фильтров низких частот, поскольку, используя ФНЧ, можно получить фильтры и других типов.

Для ФНЧ с частотой среза идеальная частотная зависимость коэффициента передачи мощности описывается формулой

(имеются в виду физические частоты >0) и представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 – Коэффициент передачи мощности для ФНЧ

Такая характеристика нереализуема для физических систем, поскольку противоречит критерию Пэли–Винера (2).

Задача подбора допустимой аппроксимирующей функции неоднозначна. Аппроксимировать крутой срез можно многочисленными функциями, однако каждый раз придется сталкиваться с противоречиями: либо ослаблять сигнал в полосе пропускания
, либо слабо подавлять его вне полосы пропускания
, либо то и другое вместе.

1.6.1 Фильтры Баттерворта

Один из способов аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ состоит в использовании коэффициента передачи мощности следующего вида:

, (5)

Где
– безразмерная нормированная частота ;

n – целое число, называемое порядком фильтра .

В общем случае коэффициент передачи мощности (5) может содержать произвольный масштабный множитель.

Фильтр низких частот, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта (по имени ученого, предложившего аппроксимирующую функцию (5)). При любом n такой тип фильтра реализуем.

В полосе пропускания фильтра Баттерворта, то есть при , коэффициент передачи мощности плавно уменьшается с ростом частоты. Особо следует отметить гладкость (отсутствие пульсаций) рассматриваемой функции.

На частоте среза, независимо от порядка системы,
. Чем выше порядок n , тем точнее описывается идеальная низкочастотная характеристика (рисунок 8).

Порядок фильтра обычно подбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами
. Для оценки степени ослабления сигнала используют величину

Выражаемую в децибелах.

Рисунок 8 – Коэффициент передач мощности фильтров Баттерворта при n = 1 и n = 5

При
, т.е. на частоте входного сигнала, ослабление, вносимое фильтром, составляет
.

Если частота сигнала значительно превышает частоту среза фильтра (
), то из формулы (5) следует, что
, а ослабление составляет

1.6.2 Передаточная функция фильтра Баттерворта

Для того чтобы в дальнейшем синтезировать структуру цепи, необходимо от коэффициента передачи мощности, выбранного в форме (5), перейти к передаточной функции G (p ). Для этого введем нормированную комплексную частоту
и запишем передаточную функцию мощности в виде:

, (7)

Откуда ясно, что на плоскости функция
не имеет нулей и имеет 2n полюсов, которые являются корнями уравнения

, (8)

Используя полярную форму записи, запишем корень в виде:

Все корни уравнения (8) лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, поэтому
. Следовательно,

Окончательно получим

Рассмотрим отдельно четные и нечетные порядки фильтров.

1) n – четное число.

В этом случае

Откуда
.

Например, для
получим четыре корня, соответствующие углам:

.

Для
получим восемь корней, соответствующих углам:

Расположение корней на комплексной плоскости для приведенных примеров показано на рисунке 9.

Рисунок 9 – Полюсы коэффициента передачи мощности

Фильтра Баттерворта при n = 2 и n = 4

2) n – нечетное число.

В этом случае

Откуда
.

Например, для
получим два корня, соответствующие углам:

Для
получим шесть корней, соответствующих углам:

Расположение корней для приведенных примеров показано на рисунке 10.

Рисунок 10 – Полюсы коэффициента передачи мощности

фильтра Баттерворта при n = 1 и n = 3

Общая закономерность при любом n такова: все полюсы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, равном . Для фильтров с нечетными номерами существуют два корня, расположенные на действительной оси; для фильтров с четными номерами действительные корни отсутствуют.

Чтобы перейти к передаточной функции фильтра Баттерворта, разложим знаменатель функции
на сомножители:

Теперь воспользуемся тем, что полюсы передаточной функции мощности имеют квадрантную симметрию, то есть их число и конфигурация расположения в обеих полуплоскостях одинаковы. Это позволяет считать, что только полюсы, расположенные в левой полуплоскости, отвечают синтезируемому фильтру. Их «зеркальные копии» в правой полуплоскости относятся к функции
и во внимание не принимаются.Таким образом, передаточная функция фильтра Баттерворта примет вид (нумерация корней в левой полуплоскости ведется с 1 до n ):

Фильтр Баттерворта 1-го порядка.

Имеем:
;

Выбираем устойчивый корень: .

Передаточная функция запишется в виде:

.

Учитывая, что
, окончательно получим:

. (11)

Таким образом, в процессе аппроксимации идеальной характеристики низкочастотного фильтра с заданной частотой среза с использованием аппроксимации Баттерворта 1-го порядка получен полюс
.

Фильтр Баттерворта 2-го порядка.

Имеем:
.

Согласно (9)

Выберем устойчивые корни и пронумеруем их:

Для звеньев 2-го порядка корни всегда будут комплексно-сопря-женными.

Передаточная функция звена примет вид:

.

Осуществим переход

(12)

Общее выражение для передаточной функции звеньев 2-го порядка имеет вид:

, (13)

Где – собственная частота колебаний системы;

z – коэффициент затухания системы (при
звено называют колебательным , при
– апериодическим ).

Из сравнения функций (12) и (13) следует, что фильтр Баттерворта 2-го порядка представляет собой колебательное звено с коэффициентом затухания
и собственной частотой колебаний, равной частоте среза фильтра
.

Фильтр Баттерворта 3-го порядка.

Имеем:
и

Выберем устойчивые корни и пронумеруем их.

Первый корень соответствует звену 1-го порядка с передаточной функцией
.

.

Таким образом, фильтры Баттерворта нечетных порядков представляют собой последовательное соединение звена 1-го порядка и нескольких звеньев 2-го порядка с различными коэффициентами затухания. Фильтры четного порядка строятся путем последовательного соединения звеньев 2-го порядка с различными коэффициентами затухания.

1.7 Синтез фильтра верхних частот

Фильтр верхних частот предназначен для того, чтобы с малым ослаблением пропускать колебания, частоты которых превышают частоту среза . Если известна реализация ФНЧ, схема ФВЧ с такой же частотой среза может быть получена достаточно просто. Для этого используется прием, известный в теории цепей как преобразование частоты .

Перейдем от переменной р , использованной для описания ФНЧ, к новой частотной переменной , такой, что Гц, на частоте, равной Гц, обеспечивал бы ослабление сигнала не хуже, чем дБ.

2. На основе п. 1 осуществить синтез полосового фильтра Баттерворта, центральная частота полосы пропускания которого в 2 раза выше частоты среза ФНЧ.

Вариант 2.

1. Осуществить синтез фильтра Баттерворта низких частот, который бы при частоте среза, равной Гц, на частоте, равной Гц, обеспечивал бы ослабление сигнала не хуже, чем дБ.

2. На основе п. 1 осуществить синтез фильтра Баттерворта верхних частот, частота среза которого равна частоте среза ФНЧ.

2.2 Цель и задачи лабораторной работы

Целью лабораторной работы является синтез фильтров Баттерворта различного типа (ФНЧ, ФВЧ, ПФ), обеспечивающих заданное ослабление сигнала.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач :

1. 
   расчет по соотношениям (5), (6) наименьшего порядка фильтра Баттерворта низких частот, обеспечивающего заданное ослабление сигнала;
2. 
   определение по выражениям (9) или (10) углов, соответствующих полюсам передаточной функции мощности;
3. 
   формирование из устойчивых полюсов звеньев, образующих фильтр (определение их количества и порядка);
4. 
   вывод выражений для передаточных функций отдельных звеньев 1-го или 2-го порядков по аналогии с выражениями (11), (12); для звеньев 2-го порядка расчет коэффициентов затухания согласно выражению (15);
5. 
   расчет АЧХ отдельных звеньев и фильтра в целом, построение их графиков;
6. 
   расчет передаточной функции ФВЧ или ПФ с применением подстановки (16) или (17) в передаточной функции каждого из звеньев, образующих ФНЧ;
7. 
   расчет и построение графика АЧХ ФВЧ или ПФ, сравнение с аналогичной характеристикой ФНЧ.

2.3 Защита лабораторной работы

Защита лабораторной работы осуществляется в течение семестра согласно расписанию занятий. Она проводится в виде индивидуального собеседования при наличии у студента программной части, содержащей решение поставленной задачи, и отчета, который должен включать тему и цель лабораторной работы, теоретическую и практическую части, а также заключение или выводы.
ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.
2. 
   Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы / С.И. Баскаков. – М.: Высшая школа, 2005. – 462 с.
3. 
   Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – М: Питер, 2002. – 604 с.

Гареева Рената Гегелевна

синтез линейных частотных фильтров

по дисциплине «Преобразование измерительных сигналов»

Редактор Соловьева С.В.

Подписано в печать 15.02.2011. Формат 6084 1/16

Усл. п. л.  1,2. Уч.-изд. л.  1,3

Печать  ризография, множительно-копировальный
аппарат «RISO EZ300»

Тираж 65 экз. Заказ 201143

Издательство Алтайского государственного

Технического университета

656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46

Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ

Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ

59305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27

Подобные документы

Предназначение полосовых резонансных частотных фильтров. Элементы последовательного и параллельного колебательного контура. Анализ частотных свойств различных цепей с помощью амплитудно-частотных характеристик. Пример расчета полосового LC-фильтра.

курсовая работа, добавлен 21.11.2013


Расчет и обоснование частоты заданного генератора. Построение графиков исследуемых характеристик. Определение аналитических выражений для коэффициента передачи. Вычисление ослабления сигнала при изменении частоты в два раза в заданной полосе задержания.

лабораторная работа, добавлен 20.12.2015


Характеристика этапов разработки рекурсивных фильтров. Специфика режекторного фильтра произвольной частоты, деформация частотной шкалы. Типы рекурсивных частотных фильтров, особенности метода размещения нулей и полюсов. Описание селекторных фильтров.

статья, добавлен 15.11.2018


Определение предназначения линейных четырехполюсников, обладающих избирательными свойствами. Расчет полосового LC-фильтра. Определение амплитудного спектра радиоимпульсов. Формирование требований к полосовому фильтру. Расчет полюсов ARC-фильтра.

курсовая работа, добавлен 01.10.2017


Синтез адаптивного фильтра-наблюдателя главных гармоник выходных сигналов (напряжений и токов) преобразователя частоты (ПЧ) с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), в котором отсутствует дифференцирование сигналов. Улучшение фильтрующих свойств фильтра.

статья, добавлен 29.09.2018


Определение среднего номинального выпрямленного тока, сопротивления нагрузки, коэффициента сглаживания фильтра. Расчет токов короткого замыкания. Разработка электрической принципиальной схемы преобразователя. Расчет и выбор элементов фильтра и диодов.

курсовая работа, добавлен 24.01.2013


Характеристика основных видов аналоговых фильтров. Изучение задач синтеза частотно-избирательных цепей. Выбор минимального порядка фильтра. Моделирование с использованием программного комплекса Micro-Cap. Анализ основ выбора операционного усилителя.

курсовая работа, добавлен 21.01.2015


Построение графика временной зависимости выходного напряжения как реакции на входной скачок напряжения. Проведение компенсации ослабления высоких частот с помощью фильтра верхних частот. Выбор схемы и расчет элементов резистивных цепей усилителя.

курсовая работа, добавлен 26.01.2015


Расчёт выпрямителя, элементов фильтра и трансформатора. Выбор типа магнитопровода и проверка его на соответствие величин холостого хода. Определение значений сечений проводов обмотки, сопротивление каждой обмотки в нагретом состоянии, потерь напряжения.

контрольная работа, добавлен 26.03.2014


Теоретические основы процесса фильтрования. Современная классификация фильтров периодического действия. Принцип работы барабанного вакуума. Расчет требуемой поверхности зоны фильтрования, подбор по каталогам стандартного фильтра и определение их числа.

Лекция № 15.

Проектирование (синтез) линейных цифровых фильтров.

Под проектированием (синтезом) цифрового фильтра понимают выбор таких коэффициентов системной (передаточной) функции, при которых характеристики получающегося фильтра удовлетворяют заданным требованиям. Строго говоря, в задачу проектирования входит и выбор подходящей структуры фильтра (см. лекцию № 14) с учетом конечной точности вычислений. Это особенно актуально при реализации фильтров в аппаратурном виде (в виде специализированных БИС или цифровых сигнальных процессоров). Поэтому в целом проектирование цифрового фильтра состоит из следующих этапов:

1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов фильтра и системной функции, удовлетворяющей конкретным требованиям.
2. Выбор схемы построения фильтра, то есть преобразование системной функции в конкретную структурную схему фильтра.
3. Оценка эффектов квантования, то есть эффектов, связанных с конечной точностью представления чисел в цифровых системах, обладающих конечной разрядностью.
4. Проверка методами моделирования удовлетворяет ли полученный фильтр заданным требованиям.

Методы синтеза цифровых фильтров можно классифицировать по различным признакам:

1. по типу получаемого фильтра:
   • методы синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой;
   • методы синтеза фильтров с бесконечной импульсной характеристикой;
2. по наличию аналогового прототипа:
   • методы синтеза с использованием аналогового прототипа;
   • прямые методы синтеза (без использования аналогового прототипа).

На практике КИХ-фильтрам часто отдают предпочтение, для этого имеются следующие причины. Во-первых, КИХ-фильтры обеспечивают возможность точного вычисления выходного сигнала при ограниченном входном по свертке, не требующей усечения импульсной характеристики. Во-вторых, фильтры с конечной импульсной характеристикой могут иметь строго линейную ФЧХ в полосе пропускания, что позволяет проектировать фильтры с амплитудной характеристикой, не искажающей входные сигналы. В-третьих, КИХ-фильтры всегда устойчивы и, при введении соответствующей конечной задержки, физически реализуемы. Кроме того, КИХ-фильтры могут быть реализованы не только по нерекурсивным схемам, но и с использованием рекурсивных форм.

Отметим недостатки КИХ-фильтров:

1. Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов. Поэтому при использовании обычной свертки необходимо выполнять большой объем вычислений. Только разработка на основе высокоэффективного алгоритма БПФ методов быстрой свертки позволила КИХ-фильтрам успешно конкурировать с БИХ-фильтрами, имеющими острые срезы в частотной характеристике.
2. Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации. В некоторых приложениях такая некратная задержка может вызвать определенные трудности.

Один из вариантов проектирования цифровых фильтров связан с заданной последовательностью отсчетов импульсной характеристики, которые используют для получения и анализа его частотной характеристики (частотного коэффициента передачи).

Получим условие, при котором нерекурсивный фильтр имеет строго линейную ФЧХ. Системная функция такого фильтра имеет вид:

, (15.1)

где коэффициенты фильтра являются отсчетами импульсной характеристики. Преобразование Фурье от является частотной характеристикой фильтра, периодической по частоте с периодом. Представим ее для действительной последовательности в виде: Получим условия, при которых импульсная характеристика фильтра будет обеспечивать строгую линейность его фазовой характеристики. Последнее означает, что фазовая характеристика должна иметь вид:

(15.2)

где – постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации. Запишем частотную характеристику в виде:

(15.3)

Приравнивая действительные и мнимые части, получим:

, (15.4)

. (15.5)

Откуда:

. (15.6)

Существует два возможных решения уравнения (15.6). Одно (при) не представляет интереса, другое соответствует случаю. Перекрестно умножая члены уравнения (15.6), получим:

(15.7)

Поскольку уравнение (15.7) имеет вид ряда Фурье, то решение уравнения должно удовлетворять следующим условиям:

, (15.8)

и (15.9)

Из условия (15.8) следует, что для каждого существует только одна фазовая задержка, при которой может достигаться строгая линейность фазовой характеристики фильтра. Из (15.9) следует, что при заданном, удовлетворяющем условию (15.8), импульсная характеристика должна обладать вполне определенной симметрией.

Целесообразно рассмотреть использование условий (15.8) и (15.9) отдельно для случаев четного и нечетного. Если нечетное число, то целое число, то есть задержка в фильтре равна целому числу интервалов дискретизации. В этом случае центр симметрии приходится на отсчет. Если же четное число, то дробное число, и задержка в фильтре равна нецелому числу интервалов дискретизации. Например, для получаем, и центр симметрии импульсной характеристики лежит посредине между двумя отсчетами.

Значения коэффициентов импульсной характеристики используют для вычисления частотной характеристики КИХ-фильтров. Можно показать, что для симметричной импульсной характеристики с нечетным числом отсчетов выражение для действительной функции, принимающей положительные и отрицательные значения, имеет вид:

, (15.10)

где

Чаще всего при проектировании КИХ-фильтра исходят из требуемой (или желаемой) частотной характеристики с последующим вычислением коэффициентов фильтра. Существуют несколько методов расчета таких фильтров: метод проектирования с помощью окон, метод частотной выборки, метод расчета оптимального (по Чебышеву) фильтра. Рассмотрим идею проектирования методом окон на примере КИХ-фильтра нижних частот.

Прежде всего, задается желаемая частотная характеристика проектируемого фильтра. Например, возьмем идеальную непрерывную частотную характеристику ФНЧ с коэффициентом передачи, равным единице на низких частотах и равным нулю на частотах, превышающих некоторую частоту среза . Дискретным представлением идеального ФНЧ является периодическая характеристика, которая может быть задана отсчетами на интервале периодичности, равном частоте дискретизации. Определение коэффициентов фильтра низких частот методами обратного ДПФ (либо аналитическим способом, либо с помощью программы, реализующей обратное ДПФ) дает бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики, которая имеет форму классической функции.

Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка эта последовательность усекается – из нее выбирается центральный фрагмент нужной длины. Простое усечение отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию прямоугольного окна , задаваемого специальной функцией Из-за усечения отсчетов первоначально заданная частотная характеристика искажается, так как она представляет собой свертку в частотной области дискретной частотной характеристики и ДПФ функции окна:

, (15.11)

где ДПФ В результате в полосе пропускания частотной характеристики возникают пульсации, обусловленные боковыми лепестками.

Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьшения уровня лепестков в полосе задерживания усеченная импульсная характеристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям. Таким образом, метод проектирования КИХ-фильтров с помощью окон представляет собой метод уменьшения разрывов окна путем использования окон, отличных от прямоугольного. При этом весовая функция (окно) должна обладать следующими свойствами:

• ширина главного лепестка частотной характеристики окна, содержащего по возможности большую часть общей энергии, должна быть малой;
• энергия в боковых лепестках частотной характеристики окна должна быстро уменьшаться при приближении к.

В качестве весовых функций используют окна Хэмминга, Кайзера, Блэкмена, Чебышева и др.