Как привести значения матрицы к нулю. Матрицы. Виды матриц. Основные термины. Матрица, виды матриц, действия над матрицами

При решении и исследовании системы линейных уравнений Еажную роль играют приведенные ступенчатые матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ступенчатая матрица называется приведенной, если матрица, составленная из всех ее основных столбцов, является единичной матрицей.

Приведенная ступенчатая матрица не имеет нулевых строк, и все ведущие элементы ее строк равны единице.

ТЕОРЕМА 3.4. Любая ненулевая матрица строчечно эквивалентна приведенной ступенчатой матрице.

Доказательство. Пусть - ненулевая матрица ранга . По теоремам 3.2 и 3.3, она строчечно эквивалентна ступенчатой матрице, например матрице В, состоящей из ненулевых строк. Разделим каждую строку матрицы В на ее ведущий элемент.

В результате получим ступенчатую матрицу С, у которой все ведущие элементы строк равны единице. Далее, при помощи цепочки строчечных элементарных преобразований матрицы С обращаем в нуль все ненулевые элементы, расположенные над ведущими элементами. В результате получим матрицу D, основные столбцы которой образуют единичную матрицу. Следовательно, D есть искомая приведенная ступенчатая матрица, строчечно эквивалентная исходной матрице А.

ТЕОРЕМА 3.5. Всякая квадратная -матрица с линейно независимыми строками строчечно эквивалентна единичной -матрице Е.

Доказательство. Пусть А - -матрица с линейно независимыми строками. При помощи цепочки неособенных элементарных строчечных преобразований ее можно привести к некоторой ступенчатой -матрице Пусть - ведущие элементы матрицы С. Тогда

Из неравенств (2) следует, что Поэтому матрица С имеет вид

т. е. является верхнетреугольной матрицей с ненулевыми элементами на главной диагонали. Умножим первую строку матрицы на вторую - на и т. д. В результате получим строчечно эквивалентную матрицу

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

7. Теорема про розклад визначника по елементам рядка.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца позволяет свести вычисление определителя - го порядка () к вычислению определителей порядка .

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки или столбца, который содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель - го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, стали равными нулю. Таким образом, вычисление определителя - го порядка, если он отличен от нуля, сведется к вычислению одного определителя - го порядка.

Задача 3.1. Вычислить определитель

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на -5, получим

Разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

В полученном определителе 3-го порядка обратим в нуль все элементы первого столбца, кроме первого. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-1), к третьей, умноженной на 5, прибавим первую, умноженную на 8. Так как умножали третью строку на 5, то (для того, чтобы определитель не изменился) умножим его на . Имеем

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

8. Теорема Лапласа(1). Теорема про чужі доповнення(2)

1)Определительравенсуммепроизведений элементов какой-либо строки на ихалгебраическиедополнения.

2)Суммапроизведенийэлементовкакой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки равна нулю (теорема об умножении на чужие алгебраические дополнения).

9. Арифметичні векторні простори .

Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (α, β) своих координат; числа α и β можно понимать также как координаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (α, β, γ) определяет точку или вектор с координатами α, β, γ. Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а 1 х + b 1 у = с 1 ,

а 2 х + b 2 у = с 2

каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис. 26), а решение (α, β) - как точка пересечения этих прямых или как вектор с координатами аир (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).

Рис. 26

Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.

В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с n неизвестными x 1 , х 2 , ..., х n называется совокупность уравнений вида

а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... + а 1n х n = b 1 ,

а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... + а 2n х n = b 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

а m1 х 1 + а m2 х 2 + ... + а mn х n = b m ,

где a ij и b i - произвольные действительные числа. Число уравнений в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных а ij имеют двойную нумерацию: первый индекс i указывает номер уравнения, второй индекс j - номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (α 1 , α 2 , ..., α n), обращающих каждое уравнение в верное равенство.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при n > 3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного n геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел (α 1 , α 2 , ..., α n) называется n-мерным арифметическим вектором, а сами числа α 1 , α 2 , ..., α n - координатами этого вектора.

Для обозначения векторов используется, как правило, жирный шрифт и для вектора а с координатами α 1 , α 2 , ..., α n сохраняется обычная форма записи:

а = (α 1 , α 2 , ..., α n).

По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Сложение и умножение n-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если

а = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)

Два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор

α + β = (α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , ..., α n + β n). (3)

Произведением вектора а на число λ называется вектор

λа = (λα 1 , λα 2 , ..., λα n). (4)

Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством L n .

Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,

где λ i - действительные числа. Например, линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами λ и μ - это вектор

λа + μb = (λα 1 + μβ 1 , λα 2 + μβ 2 , ..., λα n + μβ n).

В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, j, k (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:

a = xi + yj + zk,

где х, у, z - действительные числа (координаты вектора а).

В n-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е 1 , e 2 , ..., e n:

а = а 1 е 1 + а 2 е 2 + ... + а n е n , (6)

причем коэффициенты α 1 , α 2 , ..., α n совпадают с координатами вектора а.

Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:

Система векторов а 1 , а 2 , ..., а k называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

в которой хотя бы один из коэффициентов h 1 , λ 2 , ..., λ k отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой.

Так, векторы

а 1 = (1, 0, 1, 1), а 2 = (1, 2, 1, 1), а 3 = (2, 2, 2, 2)

линейно зависимы, поскольку

a 1 + a 2 - а 3 = 0.

Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k ≥ 2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если система состоит из двух векторов a 1 , а 2 , то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, а 1 = λа 2 ; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов а 1 и а 2 . Точно так же линейная зависимость системы I из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности.

Нетрудно убедиться, что векторы е 1 , е 2 , ..., е n из системы (5) линейно независимы. Следовательно, в n-мерном пространстве существуют системы из n линейно независимых векторов. Можно показать, что всякая система из большего числа векторов линейно зависима.

Всякая система a 1 , а 2 , ..., а n из n линейно независимых векторов n-мерного пространства L n называется его базисом.

Любой вектор а пространства L n раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса a 1 , а 2 , ..., а n:

а = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n .

Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.

Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в n-мерном случае определить скалярное произведение а · b векторов, полагая

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие - понятие подпространства. Подмножество V пространства L n называется подпространством этого пространства, если

1) для любых векторов а, b, принадлежащих V, их сумма а + b также принадлежит V;

2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа λ вектор λа также принадлежит V.

Например, множество всех линейных комбинаций векторов e 1 , е 2 из системы (5) будет подпространством пространства L n .

В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов a 1 , a 2 , ..., a k , что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Указанная система векторов называется базисом подпространства V.

Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство L n есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства L n по подпространству V.

В заключение подчеркнем, что если в теории n-мерного арифметического пространства вместо действительных чисел (т. е. элементов поля действительных чисел) рассматривать элементы произвольного поля F, то все определения и факты, приведенные выше, сохранили бы силу.

В теории кодирования важную роль играет случай, когда поле F поле вычетов Z p , которое, как мы знаем, конечно. В этом случае соответствующее n-мерное пространство также конечно и содержит, как нетрудно видеть, р n элементов.

Понятие пространства, как и понятия группы и кольца, допускает также и аксиоматическое определение. За подробностями мы отсылаем Питателя к любому курсу линейной алгебры.

10. Лінійна комбінація. Лінійно залежні та незалежні системи векторів.

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".

Ведущими элементами являются в первой строке - , во второй строке - , в четвертой строке . Заметим, что ведущий элемент в строке не обязан быть единственным (см. вторую строку).

Теорема. Любая матрица путем конечного числа элементарных преобразований строк может быть сведена к приведенному виду.

Доказательство.

Пусть матрица имеет вид

Воспользуемся определением приведенной матрицы.

Если первая строка нулевая, переходим ко второй и т.д., пока не найдем ненулевую строку. В ненулевой строке (пусть это будет -я строка) выбираем ненулевой элемент (пусть это будет элемент ).

Совершим над матрицей следующие элементарные преобразования:

Очевидно, после этого все элементы -го столбца, кроме элемента , станут нулевыми. Затем выбираем следующую ненулевую строку, в ней ненулевой элемент и производим аналогичные преобразования со строками матрицы. За конечное число шагов переберем все ненулевые строки, после чего получаем матрицу, которая по определению будет приведенной.

Пример 14. Пусть . Сведём матрицу к приведённому виду.

Решение.

Возьмём в качестве ведущего элемент (ведущие элементы будем выделять круглыми скобками) и выполним указанные преобразования:

На следующем шаге в качестве ведущего возьмём элемент , выполним указанные преобразования и в итоге получим.