Общая схема построения математической модели. Пример математической модели. Определение, классификация и особенности. Построение экономико-математической модели

Моделированияе Моделирование – это изучение реальной системы (оригинала), путем замещения его новым объектом его моделью, имеющего с ней определенное объектное соответствие и позволяющее прогнозировать ее функциональные особенности, т.е. при моделировании экспериментируют не самим объектом, а объектом, который называют заменителем.

Процесс моделирования включает несколько этапов:

1. Постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию.

2. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта.

3. Выбор модели, хорошо функционирующие основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающиеся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть грамосткой.

4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью.

5. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре пункта.

Существует классический и системный подход к решению задач моделирования. Суть метода заключается в следующем: Реальный объект, подлежащий к исследованию, разбивается на отдельные компоненты Д и выбираются определенные цели Ц формирования отдельных компонентов модели К . Затем на основе исходных данных создаются компоненты модели, совокупн6ость которых, с учетом их соотношений, объединяются в модель. Данный метод является индуктивным, т.е. построение модели происходит от частного к общему.

Классический метод используется для моделирования относительно простых систем, например, САУ.Системный подход Суть метода заключается в том, чтобы на основе исходных данных Д , которые известны из анализа внешней среды, с учетом ограничений, которые накладываются на систему и в соответствии с поставленной целью Ц , формируются требования Т и модели объекта. На базе этих требований строится подсистема П и элементы подсистем Э и с помощью критерия выбора КВ осуществляется выбор наилучшей модели, т.е. построение модели происходит от общего к частному.

Системный подход используется для моделирования сложных систем.

Классификация видов моделирования 1. По способу построения модели.а) Теоретические (аналитические) – строятся по данным о внутренней структуре на основе соотношений, вытекающих из физических данных. б) Формальные – по зависимости между выходом и входом в систему. Строится на основе принципа черного ящика.в) Комбинированные.2. По изменению переменных во времени.а) Статические.б) Динамические.Статическая модель описывает состояние объекта и не содержит производных х и у (входных и выходных) сигналов по времени.Математическая модель б) описывает статику объема с распределенными по длине координатами.Динамическая модель описывает переходные процессы во времени и содержит производные у i dt .Динамическая модель, в зависимости от способа получения, представляется в виде дифференциального уравнения переходной импульсной или частотной характеристики в виде передаточной функции.Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частотных производных.3. По зависимости переменных модулей от пространственных координат.а) С распределенными параметрами.б) С сосредоточенными параметрами.4. По принципу построения.а) Стохастические.б) Детерминированные.Если х и у (вход и выход) постоянные или известные величины (детерминированные), то модель называется стохастическая.Если х и у случайные (вероятные) величины, то модель называется стохастической.

Стохастические модели содержат вероятные элементы и представляют собой систему зависимости, полученную в результате статического исследования действующего объекта.

Детерминированная – это система функциональных зависимостей, построенная с использованием теоретического подхода.

Детерминированные модели имеют ряд преимуществ. Их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании. Они качественно, более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели.

Если информация об объекте моделирования не обладает достаточно высокой полнотой или из-за его значительной сложности, невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенны, то применяют статическую модель.

5. По зависимости параметров модели от переменных.

а) Зависимые (нелинейные).

б) Независимые (линейные).

Если параметры (коэффициенты) модели зависят от переменных или последнее мультипликативные, то модель является нелинейной.

Модель считают линейной при непрерывном отклике на входное воздействие и при аддетивности от параметров модели.

Адетивность величин - это свойство, заключающее в том, что значение величины целого объекта равно сумме значений соответствующих частот целого при любом разбиении объекта на части.

Мультипликативность величин – это свойство, заключающееся в том, что значение величины целого объекта равно произведению значения величины соответствующих частей целого при любом разбиении объекта на части.

6. По приспособляемости модели.

а) Адаптивные.

б) Неадаптивные.

Адаптивная – это модель, структура и параметры которой изменяются так, чтобы некоторая мера погрешности между выходными переменными модели и объекта была минимальна.

Они делятся на поисковые и беспоисковые.

В поисковых моделях автоматический оптимизатор варьирует параметры модели так, чтобы получилось минимальная мера ошибки между выходными моделями объекта.

Лекция № 2

Математические схемы моделирования

Основные подходы к построению математической модели системы

Исходная информация при построении математической модели, процесса функционирования систем служат данные о назначении и условии работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования систем S и позволяет сформулировать требования и разрабатываемой математической модели М .

Математическая схема – это звено, при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования процесса, с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель → математическая схема → математическая модель.

Каждая система S характеризуется набором свойств, отражающих поведение системы и условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой ε .

Полнота модели регулируется в основном выбором границы системой S и внешней средой Е .

Задачу упрощения модели помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

Введем следующее обозначение:

1) Совокупность входных воздействий на систему

.

2) Совокупность воздействий внешней среды

.

3) Совокупность внутренних или собственных параметров системы

.

4) Совокупность выходных характеристик системы

Наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают при переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования, что объясняется участием в этом творческом процессе коллективов разных специальностей: специалистов в области систем, которые требуется моделировать (заказчиков), и специалистов в области машинного моделирования (исполнителей). Эффективным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватности перехода от содержательного описания системы к ее математической схеме, а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ: аналитическом или имитационном, а возможно, и комбинированном, т. е. аналитико-имитационном. Применительно к конкретному объекту моделирования, т. е. к сложной системе, разработчику модели должны помочь конкретные, уже прошедшие апробацию для данного класса систем математические схемы, показавшие свою эффективность в прикладных исследованиях на ЭВМ и получившие название типовых математических схем.

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы, исследуемой (проектируемой) системы 5. Эта информация определяет основную цель моделирования системы £ и позволяет сформулировать требования к разрабатываемой математической модели А/. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяет выбор математической схемы .

Математические схемы.

Введение понятия "математическая схема" позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При пользовании математической схемой исследователя системы 5* в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования. Например, представление процесса функционирования информационно-вычислительной системы коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде .

Математическую схему можно определить, как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка "описательная модель - математическая схема - математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель".

Каждая конкретная система Л 1 характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется в основном выбором границы "система.У-среда £>>. Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные. Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т. д.).

Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования, т. е. системы 5, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему

совокупность воздействий внешней среды

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

совокупность выходных характеристик системы

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае х„ г/, А*,

у у являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы 5 входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными , которые в векторной форме имеют соответственно вид х (/)=(*! (О, х 2 (0> -" х *х(0)*

" (0=("1 (0. "2(0. . "^(0; л (/)=(*! (0. Л 2 (0. ■ . Л -Н (0). а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид у (0=(у 1 0), у 2 (0" > У.гШ

Процесс функционирования системы 5 описывается во времени оператором /* 5 , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени уДг) для всех видов у= 1, п у называется выходной траекторией у ((). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы Б и обозначается Г 5 . В общем случае закон функционирования системы Е 5 может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования системы 5 является понятие алгоритма функционирования Л 5 , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий х (/), воздействий внешней среды V (г) и собственных параметров системы И (/). Очевидно, что один и тот же закон функционирования системы 5 может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования Л $ .

Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени /, т. е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами) .

Для статических моделей математическая модель (2.1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта У и {X, V , Я}, что в векторной форме может быть записано как

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены

через свойства системы 5 в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы 5 характеризуется векторами

где *; = *!(/"), *2=*2(0" " **=**(0 в момент /"е(/ 0 , 7); *1 =^(0, *2=*2(П" , *£=**(*") в момент /"б(/ 0 , 7) и т. д., £=1, п г.

Если рассматривать процесс функционирования системы 5 как последовательную смену состояний (/), г 2 (/), г к (/), то они

могут быть интерпретированы как координаты точки в ^-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний {г} называется пространством состояний объекта моделирования Z t причем г к е Z.

Состояния системы 5 в момент времени полностью

определяются начальными условиями 7° = (2° 1 ,. 2 2 °, г ° к) [где

*°1 = *1(*о)" *°г = *2 (^о)" -" *°*=**(*о)]" входными воздействиями х (/), внутренними параметрами к (/) и воздействиями внешней среды V (0, которые имели место за промежуток времени - / 0 , с помощью двух векторных уравнений

Первое уравнение по начальному состоянию г° и экзогенным переменным х, V, И определяет вектор-функцию (/), а второе по полученному значению состояний г (/) - эндогенные переменные на выходе системы у (/). Таким образом, цепочка уравнений объекта "вход - состояния - выход" позволяет определить характеристики системы

В общем случае время в модели системы Я может рассматриваться на интервале моделирования (О, Т) как непрерывное, так и дискретное, т. е. квантованное на отрезки д линой А/ временных единиц каждый, когда Т=тА1, где т- 1, т Т - число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {х (/), ь (/), И (г)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (/) .

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т. е. если

можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды V (/) и стохастические внутренние параметры И (/) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые схемы.

Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени- конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем - системы массового обслуживания и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей . Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).

Математические схемы, рассматриваемые в последующих параграфах данной главы, должны помочь оперировать различными подходами в практической работе при моделировании конкретных систем.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Факультеты ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ, ЗДО

Специальность 220201 - УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Направление бакалавриата 220200 - АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

Моделирование систем: рабочая программа, методические указания для самостоятельной работы и контрольные задания. - Вологда: ВоГТУ, 2008. - 22 с.

Приводится рабочая программа дисциплины с указанием тематики основных разделов, методические указания со ссылками на источники информации, контрольные задания и список литературы.

Предназначена для студентов дневной и заочной форм обучения, обучающихся по направлению: 220200 – автоматизация и управление и специальности 220201 – управление и информатика в технических системах и по направлению бакалавриата: 220200 – автоматизация и управление.

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составитель: В.Н. Тюкин, канд. техн. наук, доцент

Рецензент: Е.В. Несговоров, канд. техн. наук, доцент

кафедры УиВС ВоГТУ

За основу программы приняты требования Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования к минимуму содержания и уровню подготовки инженеров по специальности 210100 - управление и информатика в технических системах, введенного с 10.03.2000 г.

Требования к знаниям и умениям по дисциплине

В результате изучения дисциплины студенты должны:

1. Студент должен иметь представление:

О модели и моделировании;

О роли моделирования при исследовании, проектировании и эксплуатации систем;

О назначении ЭВМ при моделировании систем;

О программных и технических средствах моделирования систем.

2. Студент должен знать:

Назначение и требования, предъявляемые к модели;

Классификацию видов моделирования систем;

Принципы подхода в моделировании систем;

Математические схемы моделирования систем;

Основные этапы моделирования систем.

3. Студент должен уметь:

Получать математические модели систем;

Проводить формализацию и алгоритмизацию процесса функционирования систем;

Строить концептуальные и машинные модели систем;

Получать и интерпретировать результаты моделирования.

Требования к минимуму содержания дисциплины

Классификация моделей и виды моделирования; примеры моделей систем; основные положения теории подобия; этапы математического моделирования; принципы построения и основные требования к математическим моделям систем; цели и задачи исследования математических моделей систем; общая схема разработки математических моделей; формализация процесса функционирования системы; понятие агрегатной модели; формы представления математических моделей; методы исследования математических моделей систем и процессов; имитационное моделирование; методы упрощения математических моделей; технические и программные средства моделирования.

Т а б л и ц а 1

Распределение часов учебного плана по формам обучения и видам занятий

Т а б л и ц а 2

Распределение часов самостоятельной работы студента по видам работ

ПРОГРАММА КУРСА

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Современное состояние проблемы моделирования систем.

В.2. Использование моделирования при исследовании, проектировании и

управлении систем.

Литература: стр. 4-6.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

1.1. Определение модели и моделирования. Требования, предъявляемые к модели. Назначение модели.

1.2. Принципы подхода в моделировании систем.

1.3. Классификация видов моделирования систем.

1.4. Возможности и эффективность моделирования систем на вычислительных машинах.

Литература: стр. 6-34.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ

2.1. Основные подходы к построению математических моделей систем. Математическая схема общего вида.

2.2. Непрерывно-детерминированные модели (D - схемы).

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F - схемы).

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р - схемы).

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы).

2.6. Обобщенные модели (A - схемы).

Литература: стр. 35-67, стр.168-180.

3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ И АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА

ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ

3.1. Последовательность разработки и машинной реализации моделей систем.

3.2. Построение концептуальной модели системы и ее формализация.

3.3. Алгоритмизация модели и ее машинная реализация.

3.4. Получение и интерпретация результатов моделирования.

Литература: стр. 68-89.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

4.1. Канонические формы моделей динамических систем и методы их исследования.

4.2. Имитационное моделирование.

4.3. Статистическое моделирование.

4.4. Программные и технические средства моделирования систем.

Литература: .

ЦЕЛЬ КУРСА

“Понять - значит построить модель”.

У.Томсон (Кельвин)

Реальные производственные объекты представляют собой, как правило, большие системы, исследование которых является весьма сложной задачей. Основной целью курса является выработка методического подхода к задаче моделирования больших систем и систем управления ими. Эта основная задача может быть разделена на ряд подзадач, также являющихся целями курса:

Знакомство с методами анализа и принципами подхода к моделированию систем;

Изучение основ математического моделирования систем;

Изучение принципов и аппарата моделирования систем;

Знакомство с методами моделирования в проектировании и эксплуатации систем;

Изучение программных и технических средств моделирования систем;

Приобретение практических навыков построения моделей больших систем и методов обработки результатов моделирования.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Курс “Моделирование систем управления” должен дать студенту современный мощный рабочий инструмент инженера для эффективной разработки и эксплуатации автоматизированных производственных систем. Именно моделирование является средством, позволяющим без капитальных затрат решить проблему построения больших систем, к которым относится и современное автоматизированное производство.

Важность изучаемого курса заключается также в овладении приемами и технологией практического решения задач моделирования процессов функционирования систем на ЭВМ.

Студенты должны изучить материал курса в основном самостоятельно. По наиболее сложным вопросам курса, а также по вопросам, недостаточно освещенным в литературе, читаются лекции. Практические навыки по моделированию студенты получают на практических и лабораторных занятиях. Кроме того, в процессе изучения курса, студенты заочного обучения выполняют контрольную работу.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение курса следует начать с ознакомления с современным производством, которое можно рассматривать как сложную систему взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, в которой в качестве технологического объекта управления выступает материально-производственная система, а роль регулятора выполняет информационно-управляющая система. Повышение эффективности реализации процессов управления в производстве требует широкого внедрения автоматизированных систем управления, создаваемых с применением экономико-математических методов и средств информационно-вычислительной техники. В настоящее время полное и всестороннее исследование автоматизированных систем управления на всех этапах разработки, начиная с обследования объекта управления и составления технического задания на проектирование и кончая внедрением системы в эксплуатацию, невозможно без методов моделирования на ЭВМ.

Необходимо уяснить, что методологической основой моделирования является диалектико-материалистический метод познания и научного исследования. Обобщенно моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса.

Основными принципами моделирования являются .

Принцип информативной достаточности. Определяет уровень априорных сведений, при котором может быть создана адекватная модель.

Принцип осуществимости. Определяется вероятностью достижения цели моделирования за конечное время.

Принцип множественности моделей. Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реальной системы, которые влияют на выбранный показатель эффективности.

Принцип агрегирования. Модель объекта представлять из агрегатов (подсистем), которые пригодны для описания стантартными математическими схемами.

Принцип параметризации. Модель должна иметь в своем составе подсистемы, характеризующиеся параметрами.

Основные понятия моделирования систем

“Определите значение слов,

И вы избавите человечество

От половины его заблуждений”.

Изучая этот раздел важно уяснить основные понятия, определения, цели и принципы моделирования.

Модель это изображение оригинала на основе принятых гипотез и аналогий, а моделирование - представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.

Основное требование которому должна удовлетворять модель адекватность объекту. Адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев. Модель адекватна объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.

Моделирование решает задачи изучения и исследования объектов, предсказания их функционирования, синтеза структуры, параметров и алгоритмов поведения.

При управлении модели позволяют оценивать ненаблюдаемые переменные процесса, прогнозировать состояние процесса при имеющихся или выбираемых управлениях и автоматически синтезировать оптимальные стратегии управления.

При проектировании и эксплуатации автоматизированных систем возникают многочисленные задачи, требующие оценки количественных и качественных закономерностей процессов функционирования систем, проведения структурного, алгоритмического и параметрического синтеза. Решение этих проблем в настоящее время невозможно без использования различных видов моделирования, что обусловлено особенностями больших систем, такими как сложностью структур, стохастичностью связей между элементами и внешней средой, неоднозначностью алгоритмов поведения, большом количестве параметров и переменных, неполнотой и недетерминированностью исходной информации. Математическое моделирование позволяет существенно уменьшить время проектирования, во многих случаях позволяет найти оптимальное решение, исключить метод натурных проб и ошибок, перейти к параллельному процессу проектирования.

В настоящее время при анализе и синтезе больших систем получил развитие системный подход, предполагающий последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды. Модель в этом случае создается под поставленную проблему, а моделирование заключается в решении проблемы цели, проблемы построения модели, проблемы работы с моделью. Для правильно выбранной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы не существенные для данного исследования.

В основе классификации видов моделирования систем лежат различные признаки, такие как степень полноты модели, характер математического описания. Важное место занимает математическое моделирование, представляющее собой процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование включает в себя аналитическое и имитационное. Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта, используя структурное подобие объекта и модели, т.е. каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставиться в соответствие элемент модели.

Техническим средством решения инженерных задач на базе моделирования является ЭВМ. Машинный эксперимент с моделью дает возможность исследовать процесс функционирования в любых условиях, сокращает продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом, обладает гибкостью варьирования параметров, структуры, алгоритмов моделируемой системы, является единственным практически реализуемым методом исследования процесса функционирования систем на этапе их проектирования.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое модель и моделирование?

2.Сформулируйте основные требования предъявляемые к модели.

3.Какова роль моделирования при исследовании и проектировании систем и управлении?

4.Дайте определения системы, внешней среды, функционирования системы.

5.В чем смысл системного подхода в моделировании?

6.Перечислите признаки классификации видов моделирования систем.

7.Расскажите о математическом моделировании и его видах.

8.В чем отличие аналитического и имитационного моделирования?

9.Что такое кибернетическое моделирование?

10.Роль и назначение ЭВМ при моделировании.

Математические схемы моделирования систем

“Высшее назначение математики -

Находить порядок в хаосе,

Который нас окружает “.

При изучении этого раздела прежде всего необходимо обратить внимание на понятия математических схем моделирования как общего вида, так и типовых.

Математическую схему определяют как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка “описательная модель - математическая схема - математическая модель”. Математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели.

Модель объекта моделирования, т.е. систему, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных воздействий на систему, совокупность воздействий внешней среды, совокупность внутренних (собственных) параметров системы и совокупность выходных характеристик системы. Входные воздействия, воздействия внешней среды, внутренние параметры являются независимыми (э к з о г е н н ы м и) переменными, а выходные характеристики системы являются зависимыми (э н д о г е н н ы м и) переменными. Математическая схема моделирования общего вида задается оператором, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные.

В практике моделирования пользуется типовыми математическими схемами, которые не обладают общностью, но имеют преимущества простоты и наглядности. К ним относятся детерминированные, стохастические и агрегатные типовые модели. В качестве детерминированных моделей используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретное время - разностные уравнения и конечные автоматы. В качестве стохастических моделей для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем - системы массового обслуживания. Агрегатные модели отображают системный характер объектов, которые расчленяются на конечное число частей, сохраняя связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Типовые математические схемы (D- ,F- ,P- ,Q- ,A-) позволяют формализовать достаточно широкий класс больших систем, с которыми приходится иметь дело в практике исследования и проектирования производственных задач.

Вопросы для самопроверки

1.Какова роль математической схемы моделирования?

2.Что представляет собой математическая схема общего вида?

3.Назовите основные формы представления непрерывно-детерминированных моделей.

4.Дайте описание дискретного конечного автомата.

5.Перечислите способы задания работы F - автоматов.

6.Каким образом задается вероятностный автомат.

7.Что представляет собой СМО? Назовите основные элементы СМО.

8.Что такое транзакт?

9.Раскажите о символике Q-схем. Как графически изображаются: источник заявок, канал обслуживания, накопитель, клапан, потоки событий. Приведите пример изображения СМО в символике Q - схем.

10.Какова структура агрегатной системы?

Модель сложной системы, рассмотренная ранее, представляет собой математическую схему моделирования общего вида. На практике для формализации концептуальных моделей ряда систем выгоднее применять типовые математические схемы моделирования, учитывающие с одной стороны способ представления времени в модели (непрерывная переменная или дискретная), а с другой стороны степень случайности моделируемых процессов. По этим признакам различают следующие математические схемы моделирования (классы ММ).

Непрерывно – детерминированные модели (D – схемы).

Дискретно – детерминированные модели (F – схемы).

Дискретно – вероятностные модели (P – схемы).

Непрерывно - вероятностные модели (Q – схемы).

Сетевые модели (N – схемы).

Агрегатные модели (А – схемы).

Непрерывно-детерминированные модели . В этих моделях время t полагается непрерывной переменной, а случайными факторами в системе пренебрегают. Математический аппарат моделей – теория дифференциальных и интегральных уравнений, с помощью которой достигается адекватное описание динамических систем. Наиболее глубоко разработан операторный метод описания и исследования процессов функционирования динамических систем и их структур.

Примером непрерывно – детерминированной модели одноканальной системы автоматического управления является неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

В этом уравнении x(t)- входное воздействие; y(t) – выходная величина, характеризующая положение объекта управления; - внутренние параметры системы.

Если динамическая система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, то его линеаризуют и решают как линейное.

Применение непрерывно – детерминированных моделей позволяет количественно осуществлять не только анализ динамических систем, но и оптимальный синтез их.

Дискретно-детерминированные модели . В дискретно–детерминированных (ДД) моделях время t является дискретной переменной , где – шаг дискретизации, а – дискретные моменты времени.

Основной математический аппарат, используемый при построении ДД – моделей – это теория разностных уравнений и аппарат дискретной математики, в частности, теория конечных автоматов.

Разностное уравнение – это уравнение, содержащее конечные разности искомой функции

где – соответственно состояние системы и внешнее воздействие в дискретные моменты времени .

В прикладных задачах ДД – модели в виде (2.6) часто возникают как промежуточные при исследовании НД – моделей на ЭВМ, когда аналитическое решение дифференциального уравнения получить не удается и приходится применять разностные схемы.

Кратко рассмотрим теорию конечных автоматов, которая используется для построения ДД – моделей.

Конечный автомат – это математическая модель дискретной системы, которая под действием входных сигналов вырабатывает выходные сигналы , и которая может иметь некоторые изменяемые внутренние состояния ; здесь – конечные множества.

Конечный автомат характеризуется: входным алфавитом ; выходным алфавитом ; внутренним алфавитом состояний ; начальным состоянием ; функцией переходов ; функцией выходов .

Процесс функционирования конечного автомата таков. В –м такте на вход автомата, находящегося в состоянии , поступает входной сигнал , на который автомат реагирует переходом на –м такте в состояние и выдачей выходного сигнала Например, конечный автомат Мили описывается следующими рекуррентными соотношениями:

Дискретно–вероятностные модели . В дискретно–вероятностной модели учитываются случайные элементы исследуемой сложной системы. Основной математический аппарат, используемый при построении и исследовании ДВ – моделей, – это теория разностных стохастических уравнений и теория вероятностных автоматов.

Разностное стохастическое уравнение – это такое уравнение, которое содержит случайные параметры или случайные входные воздействия .

Пусть на вероятностном пространстве определен случайный – вектор параметров и случайная последовательность входных воздействий

Нелинейное разностное стохастическое уравнение порядка имеет вид , (2.8)

где заданные начальные состояния системы; заданная функция переменных.

Решением этого уравнения является определенная на множестве случайная последовательность состояний моделируемой системы:

Если функция линейная по , то (2.8) примет вид:

(2.9)

где вектор параметров.

Другой математический аппарат построения ДВ – моделей сложных систем представляет теория вероятностных автоматов.

Вероятностный автомат, определенный на множестве , есть конечный автомат, в котором функция переходов и функция выходов являются случайными функциями, имеющими некоторые вероятностные распределения.

Примем обозначения для вероятностных распределений – начальное распределение вероятностей, – вероятность события, состоящего в том, что находящийся в –м такте в состоянии автомат под воздействием входного сигнала выдаст выходной сигнал и перейдет на –м такте в состояние

Математическая модель вероятностного автомата полностью определяется пятью элементами: .

Непрерывно – вероятностные модели . При построении и исследовании НВ – моделей используется теория стохастических дифференциальных уравнений и теория массового обслуживания.

Стохастическое дифференциальное уравнение (в форме Ито) имеет вид:

где – случайный процесс, определяющий состояние системы в момент времени ; – стандартный винеровский случайный процесс; – коэффициенты диффузии и переноса. НВ – модель часто используется при моделировании стохастических систем управления, процессов обмена.

Теория массового обслуживания разрабатывает и исследует математические модели различных по своей природе процессов функционирования систем, например: поставок сырья и комплектующих изделий некоторому предприятию; заданий, поступающих на ЭВМ от удаленных терминалов; вызов на телефонных станциях и т.д. Для функционирования таких систем характерна стохастичность: случайность моментов времени появления заявок на обслуживание и т.д.

Система, описываемая как система массового обслуживания (СМО), состоит из приборов обслуживания . Прибор обслуживания состоит из накопителя заявок , в котором могут одновременно находиться заявок , и канала обслуживания заявок; – емкость накопителя , то есть число мест в очереди на обслуживание заявок в канале .

На каждый элемент прибора поступают потоки событий; в накопитель – поток заявок , на канал – поток «обслуживаний» . Поток заявок представляет последовательность интервалов времени между моментами появления заявок на входе СМО и образует подмножество неуправляемых переменных СМО. А поток представляет собой последовательность интервалов времени между моментами начала и окончания обслуживания заявок и образует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные СМО, образуют выходной поток – последовательность интервалов времени между моментами выхода заявок. Не обслуженные заявки, но покинувшие СМО по различным причинам, образуют выходной поток потерянных заявок.

Сетевые модели используют для формализации причинно – следственных связей в сложных системах с параллельными процессами. В основе этих моделей лежит сеть Петри. При графической интерпретации сеть Петри представляет собой граф особого вида, состоящий из вершин двух типов – позиций и переходов , соединенных ориентированными дугами, причем каждая дуга может связывать лишь разнотипные вершины (позицию с переходом или переход с позицией). Вершины-позиции обозначаются кружками, вершины-переходы – черточками. С содержательной точки зрения переходы соответствуют событиям, присущим исследуемой системе, а позиции – условиям их возникновения.

Таким образом, совокупность переходов, позиций и дуг позволяет описать причинно-следственные связи, присущие системе, но в статике. Чтобы сеть Петри «ожила», вводят еще один вид объектов сети – так называемые фишки или метки позиций, которые перемещаются по переходам сети при условии наличия метки во входной позиции и отсутствии метки в выходной позиции. Расположение фишек в позициях сети называется разметкой сети .

Агрегатные модели . Анализ существующих задач приводит к выводу о том, что комплексное решение проблем возможно лишь в том случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую математическую схему моделирования. Такой подход к формализации процесса функционирования сложной системы предложен Бусленко Н.П. и базируется на понятии «агрегата».

При агрегатном описании сложная система разбивается по подсистемы, сохраняя при этом связи обеспечивающие взаимодействие их. Если подсистема оказывается сложной, то процесс расчленения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи могут считаться удобными для математического описания.

В результате этого получается многоуровневая конструкция из взаимосвязанных элементов объединенных в подсистемы различных уровней. Элементами агрегатной модели являются агрегаты. Связи между агрегатами и внешней средой осуществляются с помощью операторов сопряжения. Сам агрегат тоже может рассматриваться как агрегатная модель, то есть разбиваться на элементы следующего уровня.

Любой агрегат характеризуется множествами: моментов времени T , входных X и выходных Y сигналов, состояний агрегата Z в каждый момент времени t . Процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний в моменты поступлений входных сигналов x и изменений состояний между этими моментами и .

Моменты скачков , не являющиеся моментами поступления входных сигналов называют особыми моментами времени , а состояния особыми состояниями агрегатной схемы. В множестве состояний Z выделяют подмножество , что если достигает , то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала y .

Математические схемы моделирования систем

Достоинства и недостатки имитационного моделирования

Основные достоинства имитационного моделирования при исследовании сложных систем:

· возможность исследовать особенности процесса функционирования системы S в любых условиях;

· за счет применения ЭВМ существенно сокращается продолжительность испытаний по сравнению с натурным экспериментом;

· результаты натурных испытаний реальной системы или ее частей можно использовать для проведения имитационного моделирования;

· гибкость варьирования структуры, алгоритмов и параметров моделируемой системы при поиске оптимального варианта системы;

· для сложных систем – это единственный практически реализуемый метод исследования процесса функционирования систем.

Основные недостатки имитационного моделирования:

· для полного анализа характеристик процесса функционирования систем и поиска оптимального варианта требуется многократно воспроизводить имитационный эксперимент, варьируя исходные данные задачи;

· большие затраты машинного времени.

Эффективность машинного моделирования. При моделировании необходимо обеспечить максимальную эффективность модели системы. Эффективность обычно определяется как некоторая разность между какими-то показателями ценности результатов, полученных при эксплуатации модели, и теми затратами, которые были вложены в ее разработку и создание.

Эффективность имитационного моделирования может оцениваться рядом критериев:

· точностью и достоверностью результатов моделирования,

· временем построения и работы с моделью М ,

· затратой машинных ресурсов (время и память),

· стоимостью разработки и эксплуатации модели.

Наилучшей оценкой эффективности является сравнение полученных результатов с реальными исследованиями. С помощью статистического подхода с определенной степенью точности (в зависимости от числа реализаций машинного эксперимента) получают усредненные характеристики поведения системы.

Суммарные затраты машинного времени складываются из времени по вводу и выводу по каждому алгоритму моделирования, времени на проведение вычислительных операций, с учетом обращения к оперативной памяти и внешним устройствам, а также сложности каждого моделирующего алгоритма и планирования экспериментов.

Математические схемы. Математическая модель – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, множеств, векторов, матриц и т.п.) и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием.

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы «система S – среда Е ». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы, отбросив второстепенные.

При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Формальная модель объекта. Модель объекта (системы S ) можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы:

· совокупность входных воздействий на систему

x i = X , i = ;

· совокупность воздействий внешней среды

v j = V , j = ;

· совокупность внутренних (собственных) параметров систем

h k = H, k = ;

· совокупность выходных характеристик системы

y j = Y, j = .

В общем случае x i , v j , h k , y j являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

Входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными ) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид (t ) = (x 1 (t ), x 2 (t ), …, x nX (t )); (t ) = (v 1 (t ), v 2 (t ), …, v nV (t )); (t ) = (h 1 (t ), h 2 (t ), …, h nН (t )), а выходные характеристики являются зависимыми (эндогенными ) переменными и в векторной форме имеют вид: (t ) = (у 1 (t ), у 2 (t ), …, у nY (t )). Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F S , который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

(t ) = F S (,,, t ). (2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y j (t ) для всех видов j = называется выходной траекторией (t ). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы F S , который задается в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической, табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Алгоритмом функционирования A S называется метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий (t ), воздействий внешней среды (t ) и собственных параметров системы (t ). Один и тот же закон функционирования F S системы S может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A S .

Математические модели называются динамическими (2.1), если математические соотношения описывают поведение объекта (системы) моделирования во времени t , т.е. отражают динамические свойства.

Для статических моделей математическая модель представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H } в определенный момент, что в векторной форме может быть записано как

= f (, , ). (2.2)

Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т.д. Эти соотношения могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами

" = (z" 1, z" 2, …, z" k ) и "" = (z"" 1 , z"" 2 , …, z"" k ),

где z" 1 = z 1 (t" ), z" 2 = z 2 (t" ), …, z" k = z k (t" ) в момент t" Î (t 0 , T ); z"" 1 = z 1 (t"" ), z"" 2 = z 2 (t"" ), …, z"" k = z k (t"" ) в момент t"" Î (t 0 , T ) и т.д. k = .

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z 1 (t ), z 2 (t ), …, z k (t ), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k -мерном фазовом пространстве . Причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всех возможных значений состояний {} называется пространством состояний объекта моделирования Z , причем
z k Î Z .

Состояния системы S в момент времени t 0 < t* £ T полностью определяются начальными условиями 0 = (z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k ) [где z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k (t 0)], входными воздействиями (t ), внутренними параметрами (t ) и воздействиями внешней среды (t ), которые имели место в промежутке времени t* – t 0 , c помощью двух векторных уравнений

(t ) = Ф( 0 , , , , t ); (2.3)

(t ) = F(, t ). (2.4)

Первое уравнение по начальному состоянию 0 и экзогенным переменным , , определяет вектор-функцию (t ), а второе по полученному значению состояний (t ) – эндогенные переменные на выходе системы (t ). Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход – состояния – выход» позволяет определить характеристики системы

(t ) = F[Ф( 0 , , , , t )]. (2.5)

В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т ) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезки длиной Dt временных единиц каждый, когда T = m Dt , где m = – число интервалов дискретизации.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {(t ), (t ), (t )} вместе с математическими связями между ними и характеристиками (t ).

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды (t ) и стохастические внутренние параметры (t ) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями

(t ) = f (, t ). (2.6)

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.

Типовые математические схемы. В практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы : дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри, агрегативные системы и т.д.

Типовые математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные, интегродифференциальные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени, конечные автоматы и конечно-разностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания. Для анализа причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно параллельно протекает несколько процессов, применяют сети Петри. Для описания поведения непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем (например АСОИУ) можно применять обобщенный (универсальный) подход на основе агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.

Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (D -схемы); дискретно-детерминированный (F -схемы); дискретно-стохастический (Р -схемы); непрерывно-стохастический (Q -схемы); сетевой (N -схемы); обобщенный или универсальный (а -схемы).

2.2. Непрерывно-детерминированные модели (D -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одного или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями частных производных , иначе при рассмотрении функции одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями .

Математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет

" (t ) = (, t ); (t 0) = 0 , (2.7)

где " = d /dt , = (y 1 , y 2 , …, y n ) и = (f 1 , f 2 , …, f n ) – n -мерные векторы; (, t ) – вектор-функция, которая определена на некотором (n +1)-мерном (, t ) множестве и является непрерывной.

Математические схемы такого вида называются D-схемами (англ. dynamic), они отражают динамику изучаемой системы, и в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, обычно служит время t .

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

y" (t ) = f (y , t ). (2.8)

Рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных схем различной природы: механической S M (колебание маятника, рис.2.1, а ) и электрической S K (колебательный контур, рис.2.1, б ).

Рис. 2.1. Элементарные системы

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

m M l M 2 (d 2 F (t )/dt 2) + m M gl M F (t ) = 0,

где m M , l M – масса и длина подвеса маятника; g – ускорение свободного падения; F (t ) – угол отклонения маятника в момент времени t .

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника

T M = 2p.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

L K (d 2 q (t )/dt 2) + (q (t )/C K) = 0,

где L K , C K – индуктивность и емкость конденсатора; q (t ) – заряд конденсатора в момент времени t .

Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период электрических колебаний

T M = 2p.

Очевидно, что введя обозначения h 2 = m M l M 2 = L K , h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1/C K , F (t ) = q (t ) = z (t ), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

h 2 (d 2 z (t )/dt 2) + h 1 (dz (t )/dt ) + h 0 z (t ) = 0, (2.9)

где h 0 , h 1 , h 2 – параметры системы; z (t ) – состояние системы в момент
времени t .

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение маятника (системы S M) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы S К).

Если изучаемая система S (маятник или контур) взаимодействует с внешней средой Е , то появляется входное воздействие x (t ) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура), и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид:

h 2 (d 2 z (t )/dt 2) + h 1 (dz (t )/dt ) + h 0 z (t ) = x (t ). (2.10)

С точки зрения общей математической модели (см. п. 2.1) x (t ) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т.е. выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y = z .

Возможные приложения D -схемы . Для описания линейных систем управления, как любой динамической системы, неоднородные дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты

где , ,…, – неизвестная функция времени и ее производные; и – известные функции.

Используя, например пакет программ VisSim, предназначенный для имитационного моделирования процессов в системах управления, которые можно описать дифференциальными уравнениями, промоделируем решение обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения

где – некоторая искомая функция времени на отрезке при нулевых начальных условиях, примем h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Представив заданное уравнение относительно наивысшей из производных, получим уравнение

которое можно промоделировать, используя набор стандартных блоков пакета VisSim: арифметические блоки – Gain (умножение на константу), Summing-Junction (сумматор); блоки интегрирования – Integrator (численное интегрирование), Transfer Function (задание уравнения, представленного в виде передаточной функции); блоки задания сигналов – Const (константа), Step (единичная функция в виде «ступеньки»), Ramp (линейно нарастающий сигнал); блоки-приемники сигналов – Plot (отображение во временной области сигналов, которые анализируются исследователем в ходе моделирования).

На рис. 2.2 изображено графическое представление данного дифференциального уравнения. Входу крайнего левого интегратора соответствует переменная , входу среднего интегратора – , а входу крайнего правого интегратора – . Выход крайнего правого интегратора соответствует переменной y .

Частным случаем динамических систем, описываемых D -схемами, являются системы автоматического управления (САУ ) и регулирования (САР ). Реальный объект представляется в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2.3, где обозначены эндогенные переменные: (t ) – вектор входных (задающих) воздействий; (t ) – вектор возмущающих воздействий; " (t ) – вектор сигналов ошибки; "" (t ) – вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные: (t ) – вектор состояния системы S ; (t ) – вектор выходных переменных, обычно (t ) = (t ).

Рис. 2.2. Графическое представление уравнения

Управляющая система – это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект достигает заданной цели, можно судить (для одномерной системы) по координате состояния y (t ). Разность между заданным y зад (t ) и действительным y (t ) законом изменения управляемой величины есть ошибка управления " (t ) = y зад (t ) – y (t ). Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е. x (t ) = y зад (t ), то " (t ) = x (t ) – y (t ).

Системы, для которых ошибки управления " (t ) = 0 во все моменты времени, называются идеальными . На практике реализация идеальных систем невозможна. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной y (t ) согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). Параметры системы должны обеспечивать требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе. Если система устойчива, то анализируют поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной y (t ) в переходном процессе, время переходного процесса и т.п. Порядок дифференциального уравнения и значение его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы.

Рис. 2.3. Структура системы автоматического управления:

УC – управляющая система; OУ – объект управления

Таким образом, использование D -схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники.

2.3. Дискретно-детерминированные модели (F -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности дискретно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Система представляется в виде автомата как некоторого устройства с входными и выходными сигналами, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Конечным автоматом называется автомат, у которого множества внутренних состояний, входных и выходных сигналов являются конечными множествами.

Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F -схему ), характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством Х входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); начальным состоянием z 0 , z 0 Î Z ; функцией переходов j(z , x ); функцией выходов y(z , x ). Автомат, задаваемый F -схемой: F = áZ , X , Y , y, j, z 0 ñ, функционирует в дискретном времени, моментами которого являются такты, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t -му такту при t = 0, 1, 2, …, через z (t ), x (t ), y (t ). При этом по условию z (0) = z 0 , а z (t )ÎZ , x (t )ÎX , y (t )ÎY .

Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0, 1, 2, … дискретного времени F -автомат находится в определенном состоянии z (t ) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z (0) = z 0 . В момент t , будучи в состоянии z (t ), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x (t )ÎX и выдать на выходном канале сигнал y (t ) = y[z (t ), x (t )], переходя в состояние z(t +1) = j[z (t ), x (t )], z (t )Î Z , y (t )ÎY . Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита X на множество слов выходного
алфавита Y . Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z 0 , подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита x (0), x (1), x (2), …, т.е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита y (0), y (1), y (2), …, образуя выходное слово.

Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t -м такте на вход автомата, находящегося в состоянии z (t ), подается некоторый сигнал x (t ), на который он реагирует переходом (t +1)-го такта в новое состояние z (t +1) и выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для F -автомата первого рода, называемого также автоматом Мили ,

z (t +1) = j[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.15)

y (t ) = y[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.16)

для F -автомата второго рода

z (t +1) = j[z (t ), x (t )], t = 0, 1, 2, …; (2.17)

y (t ) = y[z (t ), x (t – 1)], t = 1, 2, 3,…. (2.18)

Автомат второго рода, для которого

y (t ) = y[z (t )], t = 0, 1, 2, …, (2.19)

т.е. функция выхода не зависит от входной переменной x (t ), называется автоматом Мура .

Таким образом, уравнения (2.15)-(2.19), полностью задающие
F -автомат, являются частным случаем уравнений (2.3) и (2.4), когда
система S – детерминированная и на её единственный вход поступает дискретный сигнал X .

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (2.16), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x (t ) определенный выходной сигнал y (t ), т.е. реализует логическую функцию вида

y (t ) = y[ x (t )], t = 0, 1, 2, … .

Эта функция называется булевой, если алфавит X и Y , которым принадлежат значения сигналов x и y , состоят из двух букв.

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F -автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (2.15)-(2.19) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F -автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины x , он может, как следует из (2.15)-(2.19), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Возможные приложения F -схемы. Чтобы задать конечный F -автомат, необходимо описать все элементы множества F = <Z , X , Y , y, j, z 0 >, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние z 0 , в котором автомат находится в состоянии t = 0. Существуют несколько способов задания работы F -автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

В табличном способе задаются таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. Первый слева столбец соответствует начальному состоянию z 0 . На пересечении i -й строки и k -го столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение j(z k , x i ) функции переходов, а в таблице выходов – соответствующее значение y(z k , x i ) функции выходов. Для F -автомата Мура обе таблицы можно совместить.

Описание работы F -автомата Мили таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется табл. 2.1, а описание F -автомата Мура – таблицей переходов (табл. 2.2).

Таблица 2.1

Таблица 2.2

Примеры табличного способа задания F -автомата Мили F 1 приведены в табл. 2.3, а для F -автомата Мура F 2 – в табл. 2.4.

Таблица 2.3

Таблица 2.4

При графическом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x k вызывает переход из состояния z i в состояние z j , то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z i c вершиной z j , обозначается x k . Для того чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производится так: если входной сигнал x k действует на состояние z i , то получается дуга, исходящая из z i и помеченная x k ; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y = y(z i , x k ). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x k , действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z j , то дугу, направленную в z i и помеченную x k , дополнительно отмечают выходным
сигналом y = y(z j , x k ).

На рис. 2.4. а , б приведены заданные ранее таблицами F -автоматы Мили F 1 и Мура F 2 соответственно.

Рис. 2.4. Графы автоматов а – Мили и б – Мура

При матричном задании конечного автомата матрица соединений автомата квадратная С =||с ij ||, строки соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояния перехода. Элемент с ij = x k /y s , стоящий на пересечении
i -й строки и j -го столбца, в случае автомата Мили соответствует входному сигналу x k , вызывающему переход из состояния z i в состояние z j , и выходному сигналу y s , выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F 1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

x 2 / y 1 – x 1 / y 1

C 1 = x 1 / y 1 – x 2 / y 2 .

x 1 / y 2 x 2 /y 1 –

Если переход из состояния z i в состояние z j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c ij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.

Для F -автомата Мура элемент с ij равен множеству входных сигналов на переходе (z i ,z j ), а выход описывается вектором выходов

= y(z k ) ,

i -я компонента которого – выходной сигнал, отмечающий состояние z i .

Для рассмотренного выше F -автомата Мура F2 матрицы соединений и вектор выходов имеют вид:

– x 1 – x 2 – у 1

– x 2 – – x 1 у 1

C 2 = – x 2 – – x 1 ; = у 3

x 2 – x 1 – – у 2

x 2 – x 1 – – у 3

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания F -автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. А в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Для F -автомата состояние z k называется устойчивым, если для любого входа x i ÎX , для которого j(z k , x i ) = z k , имеет место j(z k ,x i ) = у k . F -автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z k ÎZ устойчиво.

Таким образом, понятие в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах управления. С помощью F- автомата можно описать объекты, для которых характерно наличие дискретных состояний, и дискретный характер работы во времени – это элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т.д.

2.4. Дискретно-стохастические модели (Р -схемы)

Основные соотношения . Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе на вероятностных (стохастических) автоматах. В общем виде вероятностный автомат
Р-схемы (англ. probabijistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем, и может быть описано статистически.

Введем математическое понятие Р -автомата, используя понятия, введенные для F -автомата. Рассмотрим множество G , элементами которого являются всевозможные пары (x i , z s ), где x i и z s – элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции j и y, что с их помощью осуществляются отображения G ®Z и G®Y, то говорят, что F = X, Y, j, y> определяет автомат детерминированного типа.

Рассмотрим более общую математическую схему. Пусть
Ф – множество всевозможных пар вида (z k , y i ), где у i – элемент выходного подмножества Y . Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

При этом b kj = 1, где b kj – вероятности перехода автомата в состояние z k и появления на выходе сигнала y j , если он был в состоянии z s и на его вход в этот момент времени поступил сигнал x i . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G . Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P = называется вероятностным автоматом
(Р -автоматом).

Возможные приложения P -схемы. Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z , что можно представить соответственно в виде:

При этом z k = 1 и q j = 1, где z k и q j - вероятности перехода
Р -автомата в состояние z k и появления выходного сигнала y k при условии, что
Р z s и на его вход поступил входной сигнал x i .

Если для всех k и j имеет место соотношение q j z k = b kj , то такой
Р -автомат называется вероятностным автоматом Мили . Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния Р -автомата и его выходного сигнала.

Пусть теперь определение выходного сигнала Р- автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющих следующий вид:

Здесь s i = 1, где s i – вероятность появления выходногосигнала y i при у словии, что Р -автомат находился в состоянии z k .

Если для всех k и i имеет место соотношение z k s i = b ki ,то такой
Р -автомат называется вероятностным автоматом Мура. Понятие
Р -автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детерминированным
F -автоматом. Частным случаем Р- автомата, задаваемого как P =X, Y , B >, являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминированно. Если выходной сигнал
Р -автомата определяется детерминированно, то такой автомат называется
Y -. Аналогично,
Z -детерминированным вероятностным автоматом называется Р -автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 2.1. Пусть задан Y -детерминированный P -автомат

На рис. 2.5 показан ориентированный граф переходов этого автомата. Вершины графа сопоставляются состояниям автомата, а дуги – возможными переходами из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода p ij , а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого P -автомата в состояниях z 2 и z 3 .

Рис. 2.5. Граф вероятностного автомата

При использовании аналитического подхода можно записать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. При этом начальное состояние z 0 можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияние на значения финальных вероятностей. Тогда имеем

где с k – финальная вероятность пребывания Р -автомата в состоянии z k .

Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки с 1 + с 2 + с 3 + с 4 = 1. Тогда, решая систему уравнений, получим с 1 = 5/23, с 2 = 8/23, с 3 = 5/23,
с 4 = 5/23. Таким образом, с 2 + с 3 = 13/23 = 0,5652. Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y -детерминированного
Р -автомата на его выходе формируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.

Подобные Р -автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е.

2.5. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы)

Основные соотношения . Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотрим на примере типовых математических Q- схем – систем массового обслуживания (англ. queueing system).

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например: потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т.е. стохастический характер процесса их функционирования.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью {t n } = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n £ … }, где t n – момент наступления п- го события – неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между п- м и (n – 1)-м событиями {t n }, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {t n }, где t n = t n – t n -1 , п ³ 1, t 0 = 0, т.е. t 1 = t 1 . Потоком неоднородных событий называется последовательность {t n , f n }, где t n – вызывающие моменты; f n – набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i -го прибора обслуживания П i (рис. 2.6), состоящего из накопителя заявок H i , в котором может одновременно находиться j i = заявок, где L i H – емкость
i -гo накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) K i . На каждый элемент прибора обслуживания П i поступают потоки событий: в накопитель H i поток заявок w i , на канал K i - поток обслуживаний и i .

Рис. 2.6. Прибор обслуживания заявок

Заявки, обслуженные каналом K i , и заявки, покинувшие прибор П i по различным причинам необслуженными (например, из-за переполнения накопителя H i ), образуют выходной поток y i Î Y, т.е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

Обычно, поток заявок w i ÎW, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе K i , образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u i ÎU, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.

Процесс функционирования прибора обслуживания П i можно представить как процесс изменения состояний его элементоввовремени z i (t ). Переход в новое состояние для П i означает изменение количества заявок, которые в нем находятся (в канале K i и в накопителе H i ). Таким образом, вектор состояний для П i имеет вид: , где z i H – состояние накопителя H i (z i H = 0 – накопитель пуст, z i H = 1 – в накопителе имеется одна заявка, ..., z i H = L i H – накопитель полностью заполнен); L i H – емкость накопителя Н i , измеряемая числом заявок, которые в нем могут поместиться; z i k – состояние канала K i (z i k = 0 – канал свободен, z i k = 1 – канал занят).

Возможные приложения Q- схем. В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а
Q- схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания П i . Если каналы К i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q- схема), а если приборы П i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q- схема). Таким образом, для задания Q- схемы необходимо использовать оператор сопряжения R , отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.