Одз сложных функций. Область допустимых значений (ОДЗ), теория, примеры, решения. Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные "сложные" функции - это всего лишь их сочетания и комбинации.
1. Дробная функция - ограничение на знаменатель.
2. Корень четной степени - ограничение на подкоренное выражение.
3. Логарифмы - ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.
3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумент.
Для тангенса:
4. Обратные тригонометрические функции.
Арксинус | Арккосинус | Арктангенс, Арккотангенс |
Далее решаются следующие примеры на тему "Область определения функций".
Пример 1 | Пример 2 |
Пример 3 | Пример 4 |
Пример 5 | Пример 6 |
Пример 7 | Пример 8 |
Пример 9 | Пример 10 |
Пример 11 | Пример 12 |
Пример 13 | Пример 14 |
Пример 15 | Пример 16 |
Пример нахождения области определения функции №1
Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:
y = 2x + 3 - уравнение задает прямую на плоскости.
Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?
Попробуем подставить значение х=0
Так как y = 2·0 + 3 = 3 - получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.
Попробуем подставить значение х=10
так как y = 2·10 + 3 = 23 - функция существует при взятом значении переменной х=10 .
Попробуем подставить значение х=-10
так как y = 2·(-10) + 3 = -17 - функция существует при взятом значении переменной х=-10 .
Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.
Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.
Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R
Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)
Сделаем вывод:
Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.
Пример нахождения области определения функции №2
Задана функция вида:
y = 10/(x + 5) - уравнение гиперболы
Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не
обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.
При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 - функция существует.
При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 - функция существует.
При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функция в этой точке не существует.
Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.
В нашем случае:
x + 5 = 0 → x = -5 - в этой точке заданная функция не существует.
x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5
Для наглядности изобразим графически:
На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.
Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5
Формы записи ответа: D(f)=R\{-5} илиD(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x∈ R\{-5} илиx∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)
Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.
Пример нахождения области определения функции №3
Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:
Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем - неотрицательна.
2х - 8 ≥ 0
Решим простое неравенство:
2х - 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4
Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4
или D(f)=
. Остается найти пересечение множеств таких значений x
, что x∈D(f 2)
и f 2 (x)∈D(f 1)
:
Чтобы arcsinx>0 вспомним свойства функции арксинус . Арксинус возрастает на всей области определения [−1, 1] и обращается в ноль при x=0 , следовательно, arcsinx>0 для любого x из промежутка (0, 1] .
Вернемся к системе:
Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал (0, 1] .
Ответ:
(0, 1] .
Теперь давайте перейдем к сложным функциям общего вида y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Область определения функции f в этом случае находится как .
Пример.
Найти область определения функции .
Решение.
Заданную сложную функцию можно расписать как y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) , где f 1 – sin , f 2 – функция корень четвертой степени, f 3 – lg .
Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪ ∪ [ 3 , + ∞) .
При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.
Область определения суммы, разности и произведения функций
Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:
Когда функция f f считается суммой n функций f 1 , f 2 , … , f n , иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) , тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f 1 , f 2 , … , f n . Данное утверждение можно записать как:
D (f) = D (f 1) D (f 2) . . . D (f n)
Пример 1
Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .
Решение
Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7 ,степенной с показателем 1 , постоянной, функции тангенса.
По таблице определения видим, что D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = (− ∞ , + ∞) , D (f 3) = (− ∞ , + ∞) , причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .
Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f 1 , f 2 , f 3 и f 4 . То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π 2 + π · k , k ∈ Z .
Ответ: все действительные числа кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .
Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:
Определение 2
Когда функция f считается произведением n функций f 1 , f 2 , f 3 и f n , тогда существует такая функция f , которую можно задать при помощи формулы y = f 1 (x) · f 2 (x) · … · f n (x) , тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.
Запишется D (f) = D (f 1) D (f 2) . . . D (f n)
Пример 2
Найти область определения функции y = 3 · a r c t g x · ln x .
Решение
Правая часть формулы рассматривается как f 1 (x) · f 2 (x) · f 3 (x) , где за f 1 является постоянной функцией, f 2 является арктангенсом, f 3 – логарифмической функцией с основанием e . По условию имеем, что D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = (− ∞ , + ∞) и D (f 3) = (0 , + ∞) . Мы получаем, что
D (f) = D (f 1) D (f 2) D (f n) = (- ∞ , + ∞) (- ∞ , + ∞) D (0 , + ∞) = (0 , + ∞)
Ответ : область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.
Необходимо остановиться на нахождении области определения y = C · f (x) , где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.
Функция y = C · f (x) – произведение постоянной функции и f . Область определения – это все действительные числа области определения D (f) . Отсюда видим, что область определения функции y = C · f (x) является - ∞ , + ∞ D (f) = D (f) .
Получили, что область определения y = f (x) и y = C · f (x) , где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y = x считается [ 0 , + ∞) , потому как область определения функции y = - 5 · x - [ 0 , + ∞) .
Области определения y = f (x) и y = − f (x) совпадают, что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.
Пример 3
Найти область определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x .
Решение
Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 .
f 1 (x) = log 3 x и f 2 (x) = 3 · 2 x . Тогда получим, что D (f) = D (f 1) D (f 2) .
Область определения записывается как D (f 1) = (0 , + ∞) . Приступим к области определения f 2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D (f 2) = (− ∞ , + ∞) .
Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что
D (f) = D (f 1) D (f 2) = (0 , + ∞) - ∞ , + ∞
Ответ : (0 , + ∞) .
Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 является множество действительных чисел.
Рассмотрим y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n + 1) -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R .
Пример 4
Найти область определения f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 .
Решение
Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 и f 2 (x) = 3 · x - ln 5 . Выше было показано, что D (f 1) = R . Область определения для f 2 является совпадающей со степенной при показателе – ln 5 , иначе говоря, что D (f 2) = (0 , + ∞) .
Получаем, что D (f) = D (f 1) D (f 2) = - ∞ , + ∞ (0 , + ∞) = (0 , + ∞) .
Ответ : (0 , + ∞) .
Область определения сложной функции
Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y = f 1 (f 2 (x)) . Известно, что D (f) является множеством всех x из определения функции f 2 , где область определения f 2 (x) принадлежит области определения f 1 .
Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 (f 2 (x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D (f 2) и f 2 (x) ∈ D (f 1) . В стандартном обозначении это примет вид
x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1)
Рассмотрим решение нескольких примеров.
Пример 5
Найти область определения y = ln x 2 .
Решение
Данную функцию представляем в виде y = f 1 (f 2 (x)) , где имеем, что f 1 является логарифмом с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .
Для решения необходимо использовать известные области определения D (f 1) = (0 , + ∞) и D (f 2) = (− ∞ , + ∞) .
Тогда получим систему неравенств вида
x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x 2 ∈ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 2 > 0 ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞)
Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.
Ответ : (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) .
Пример 6
Найти область определения функции y = (a r c sin x) - 1 2 .
Решение
Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y = f 1 (f 2 (x)) , где f 1 является степенной функцией с показателем - 1 2 , а f 2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D (f 1) = (0 , + ∞) и D (f 2) = [ − 1 , 1 ] . Теперь найдем все множества значений x , где x ∈ D (f 2) и f 2 (x) ∈ D (f 1) . Получаем систему неравенств вида
x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - 1 , 1 a r c sin x ∈ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 1 , 1 a r c sin x > 0
Для решения a r c sin x > 0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [ − 1 , 1 ] , причем обращается в ноль при х = 0 , значит, что a r c sin x > 0 из определения x принадлежит промежутку (0 , 1 ] .
Преобразуем систему вида
x ∈ - 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ - 1 , 1 x ∈ (0 , 1 ] ⇔ x ∈ (0 , 1 ]
Область определения искомой функции имеет интервал равный (0 , 1 ] .
Ответ: (0 , 1 ] .
Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y = f 1 (f 2 (… f n (x)))) . Область определения такой функции ищется из x ∈ D (f n) f n (x) ∈ D (f n - 1) f n - 1 (f n (x)) ∈ D (f n - 2) . . . f 2 (f 3 (. . . (f n (x))) ∈ D (f 1) .
Пример 7
Найти область определения y = sin (l g x 4) .
Решение
Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 (f 2 (f 3 (x))) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.
Имеем, что по условию D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = [ 0 , + ∞) , D (f 3) = (0 , + ∞) . Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x ∈ D (f 3) , f 3 (x) ∈ D (f 2) , f 2 (f 3 (x)) ∈ D (f 1) . Получаем, что
x ∈ D (f 3) f 3 (x) ∈ D (f 2) f 2 (f 3 (x)) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞
Условие lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞ аналогично условию l g x ∈ [ 0 , + ∞) , значит
x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ≥ lg 1 ⇔ x ∈ (0 , + ∞) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1 , + ∞)
Ответ : [ 1 , + ∞) .
При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.
Область определения дроби
Рассмотрим функцию вида f 1 (x) f 2 (x) . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f 2 (х) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 .
Запишем функцию y = f 1 (x) f 2 (x) в виде y = f 1 (x) · (f 2 (x)) - 1 . Тогда получим произведение функций вида y = f 1 (x) с y = (f 2 (x)) - 1 . Областью определения функции y = f 1 (x) является множество D (f 1) , а для сложной y = (f 2 (x)) - 1 определим из системы вида x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 .
Значит, x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 .
Пример 8
Найти область определения y = t g (2 · x + 1) x 2 - x - 6 .
Решение
Заданная функция дробная, поэтому f 1 – сложная функция, где y = t g (2 · x + 1) и f 2 – целая рациональная функция, где y = x 2 − x − 6 , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде
x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0
Представление сложной функции y = f 3 (f 4 (x)) , где f 3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z , а f 4 – это целая рациональная функция y = 2 · x + 1 с областью определения D (f 4) = (− ∞ , + ∞) . После чего приступаем к нахождению области определения f 1:
x ∈ D (f 4) 2 · x + 1 ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) 2 x + 1 ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z
Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y = t g (2 · x + 1) x 2 - x - 6 . Тогда получаем, что
x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ∈ - ∞ , + ∞ x 2 - x - 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ≠ - 2 x ≠ 3
Ответ: множество действительных чисел, кроме - 2 , 3 и π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z .
Область определения логарифма с переменной в основании
Определение 3Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1 . Отсюда видно, что функция y = log f 2 (x) f 1 (x) имеет область определения, которая выглядит так:
x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1
А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:
y = log a f 1 (x) log a f 2 (x) , a > 0 , a ≠ 1 . После чего можно приступать к области определения дробной функции.
Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y = log a f 1 (x) и y = log a f 2 (x) можно определить из получившейся системы вида x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 и x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 . Иначе эту область можно записать в виде y = log a f 1 (x) log a f 2 (x) , a > 0 , a ≠ 1 , что означает нахождение y = log f 2 (x) f 1 (x) из самой системы вида
x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 log a f 2 (x) ≠ 0 = x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1
Пример 9
Обозначить область определения функции y = log 2 · x (x 2 - 6 x + 5) .
Решение
Следует принять обозначения f 1 (x) = x 2 − 6 · x + 5 и f 2 (x) = 2 · x , отсюда D (f 1) = (− ∞ , + ∞) и D (f 2) = (− ∞ , + ∞) . Необходимо приступить к поиску множества x , где выполняется условие x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) > 0 , f 2 (x) ≠ 1 . Тогда получаем систему вида
x ∈ (- ∞ , + ∞) x 2 - 6 x + 5 > 0 x ∈ (- ∞ , + ∞) 2 · x > 0 2 · x ≠ 1 ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ (- ∞ , 1) ∪ (5 , + ∞) x ∈ (- ∞ , + ∞) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞)
Отсюда видим, что искомой областью функции y = log 2 · x (x 2 - 6 x + 5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) .
Ответ: 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) .
Область определения показательно-степенной функции
Показательно-степенная функция задается формулой вида y = (f 1 (x)) f 2 (x) . Ее область определениявключает в себя такие значения x , которые удовлетворяют системе x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 .
Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y = a log a (f 1 (x)) f 2 (x) = a f 2 (x) · log a f 1 (x) , где где a > 0 , a ≠ 1 .
Пример 10
Найти область определения показательно-степенной функции y = (x 2 - 1) x 3 - 9 · x .
Решение
Примем за обозначение f 1 (x) = x 2 − 1 и f 2 (x) = x 3 - 9 · x .
Функция f 1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D (f 1) = (− ∞ , + ∞) . Функция f 2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y = f 3 (f 4 (x)) , а f 3 – квадратным корнем с областью определения D (f 3) = [ 0 , + ∞) , а функция f 4 – целой рациональной, D (f 4) = (− ∞ , + ∞) . Получаем систему вида
x ∈ D (f 4) f 4 (x) ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 3 - 9 · x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) ⇔ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞)
Значит, область определения для функции f 2 имеет вид D (f 2) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 .
Получаем систему вида x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) x 2 - 1 > 0 ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) x ∈ (- ∞ , - 1) ∪ (1 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 3 , - 1 ∪ [ 3 , + ∞)
Ответ: [ − 3 , − 1) ∪ [ 3 , + ∞)
В общем случае
Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.
Таблицы основных результатов
Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф
Расположим функции и их области определения.
Функция | Ее область определения |
Прямая пропорциональность y = k · x |
R |
Линейная y = k · x + b | R |
Обратная пропорциональность y = k x |
- ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞ |
Квадратичная y = a · x 2 + b · x + c | R |
y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 | R |
Целая рациональная | R |
y = C · f (x) , где C - число | D (f) |
Дробная y = f 1 (x) f 2 (x) В частности, если f 1 (x) , f 2 (x) - многочлены |
Множество всех x , которые одновременно удовлетворяют условиям |
y = f (x) n , где n - четное | x ∈ D (f 1) , f (x) ≥ 0 |
y = log f 2 (x) f 1 (x) В частности, y = log a f 1 (x) В частности, y = log f 2 (x) a |
x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) > 0 , f 2 (x) ≠ 1 x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) , f 2 > 0 , f 2 (x) ≠ 1 |
Показательно-степенная y = (f 1 (x)) f 2 (x) | x ∈ D (f 1) , x ∈ D (f 2) , f 1 (x) > 0 |
Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y = x 2 - 4 x - 2 и y = x + 2 являются разными функциями, так как первая определяется на (− ∞ , 2) ∪ (2 , + ∞) , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y = x 2 - 4 x - 2 = x - 2 x + 2 x - 2 = x + 2 видно, что функция имеет смысл при x ≠ 2 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тип задания: 13
Условие
а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
б) \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].
Показать решениеРешение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac{9\pi }4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac{7\pi }3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac{5\pi }3.
Ответ
а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac{5\pi }3, \frac{7\pi }3, \frac{9\pi }4.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt {tgx}=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right] ;
Показать решениеРешение
а) ОДЗ: \begin{cases} tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end{cases}
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
\left[\!\!\begin{array}{l} 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end{array}\right.
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi {12}+\frac{\pi n}2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right].
x=\frac\pi {12}, x=\frac{5\pi }{12}; x=\pi ; x=\frac{13\pi }{12}; x=\frac{17\pi }{12}.
Ответ
а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) \pi; \frac\pi {12}; \frac{5\pi }{12}; \frac{13\pi }{12}; \frac{17\pi }{12}.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left(\frac{7\pi }2;\,\frac{9\pi }2\right].
Показать решениеРешение
а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 9}4=\frac{1\pm3}4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac{2\pi }3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac{11\pi }3, x_2=4\pi , x_3 =\frac{13\pi }3.
Ответ
а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac{11\pi }3, 4\pi , \frac{13\pi }3.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac{11+5ctg\left(\dfrac{3\pi }2-x\right) }{1+tgx}.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left(-2\pi ; -\frac{3\pi }2\right).
Показать решениеРешение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left(\frac{3\pi }2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac{11+5tgx}{1+tgx}.
Заметим, что \frac{11+5tgx}{1+tgx}= \frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+\frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac{6}{1+tgx}. Отсюда \cos x =\frac{\dfrac65}{1+tgx}, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac{3\sqrt 2}5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
\frac{\sqrt 2}{2}<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Действительно, \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{5\sqrt 2}{10}<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Заметим также, что \left(\frac{3\sqrt 2}5\right) ^2=\frac{18}{25}<1^2=1, значит \frac{3\sqrt 2}5<1.
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем: