Понятие функции. График функции. Способы заданий функций. Понятие функции одной переменной
Тема 4 . Функция одной переменной.
Время: 2 часа
Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.
План лекции:
Понятие функции.
Числовые функции. График функции. Способы задания функции.
Обратная функция.
Сложная функция.
Понятие функции.
Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества Х
и Y
. Соответствие f
, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией
и записывается
или
. Говорят ещё, что функция отображает множество Х
на множество Y
.
X
X
Y
Y
X
Y
Y
. .
X
Например, соответствия
f
и
g
, изображённые на рисунке, являются функциями, а
и
u
‒ нет. В случае
‒ не каждому соответствует элемент
. В случае
и
‒ не соблюдается условие однозначности.
Элемент
, который соответствует данному , называют образом
элемента х.
Все элементы , которым соответствует данный
, называют полным прообразом
элемента у
.
Множество Х
называется областью определения
функции f
и обозначается D
(f
). Множество всех
, для которых существует прообраз в Х
, называется множеством значений
функции f
и обозначается Е
(f
).
Числовые функции. График функции. Способы задания.
Пусть задана функция
. Если элементами множеств Х
и Y
являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией
. В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать
.
Переменная х называется аргументом или независимой переменной , а у ‒ функцией или зависимой переменной . Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости .
Частное значение
функции
при х=а
записывают
. Например, если
, то
,
Г
М (х ;у )
у
х
1
О
рафиком функцииназывается множество всех точек плоскости Оху , для каждой из которых х является значением аргумента, а у ‒ соответствующее значение функции.
Например, графиком функции
является верхняя полуокружность радиуса R
=1 с центром О
(0;0).
Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение функции.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ : функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции
является отрезок
.
Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию
.
Графический способ : задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.
Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.
Основные характеристики функций.
Функция
, определённая на множестве D
, называется чётной
, если
выполняются условия
и
; нечётной
, если
выполняются условия
и
.
График чётной функции симметричен относительно оси Оу , а нечётной ‒ относительно начала координат.
Например,
,
,
‒ чётные функции, а
,
‒ нечётные функции;
,
‒ функции общего вида.
Пусть функция
определёна на множестве D
и пусть
. Если для любых значений аргументов
из неравенства
вытекает неравенство:
а)
, то функция называется возрастающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);
б)
, то функция называется неубывающей
на множестве ;
в)
, то функция называется убывающей
на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);
г)
, то функция называется невозрастающей
на множестве .
‒2 О 1 3 4 х
у
Апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке
, не убывает на
, возрастает на
.
Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными . Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности .
Ф
у=М
у
х
у= ‒М
Ункцию, определённую на множестве D
называют ограниченной
, что для всех
выполняется неравенство:
.
:
.
Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у =‒М и у=М .
Функция
, определённая на множестве D
, называется периодической
на этом множестве, если существует такое число T
>0
, что при каждом
значение
и
. При этом число Т
называется периодом функции
. Если Т
‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ
, где
Так, для
периодами будут числа
Основной период (наименьший положительный) ‒ это период
. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т
, удовлетворяющее равенству
.
Обратная функция.
Пусть задана функция
с областью определения D
и множеством значений Е
. Если для каждого
существует единственный прообраз в D
, то можно поставить в соответствие элементам
элементы
, т.е. определить функцию
с областью определения Е
и множеством значений D
. Такая функция
называется обратной
к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными.
. Заметим, что для функции
промежуточным аргументом
сложной функции.
Например,
, есть суперпозиция двух функций
и
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Основные определения и понятия
Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными .
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных , или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
2) положительное направление, указываемое стрелкой;
3) масштаб для измерения длин.
Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие , т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.
Абсолютной величиной (или модулем ) действительного числа x называется неотрицательное действительное число Рx Р, определяемое следующим образом: Рx Р = x , если x ? 0, и Рx Р = -x , если x < 0.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.
упорядоченной , если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность
Переменная величина называется возрастающей (убывающей ), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными . Переменная величина называется ограниченной , если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:
M ? x ? M, т.е. Рx Р? M.
Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y .
Переменная x называется в этом случае аргументом , или независимой переменной , а множество X - областью определения функции.
Запись y = f(x) означает, что y является функцией x . Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток ) (a, b ), т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a < x < b ; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток ) , т.е. совокупность значений x , удовлетворяющих условию a ? x ? b ; полуинтервал (т.е. a < x ? b ) или (т.е. a ? x < b ); бесконечный интервал (a, + ?) (т.е. a < x < + ?) или (- ?, b ) (т.е. - ? < x < b ) или (- ?, + ?) (т.е. - ? < x < + ?); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.
Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).
Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x . График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной , если для любого значения x . График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.
Функция f(x) называется периодической , если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство.
Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число?, для которого f(x + ?) = f(x) при любом x . Следует иметь в виду, что f(x + k?) = f(x) , где k - любое целое число.
Функции задаются:
1) аналитически (в виде формулы), например, ;
2) графически (в виде графика);
3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.
Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:
1. Степенная функция : , где? - действительное число.
2. Показательная функция : , где a > 0, a ? 1.
3. Логарифмическая функция : , где a > 0, a ? 1.
4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x ,
y = sec x, y = cosec x.
5. Обратные тригонометрические функции :
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x ,
y = arccosec x .
Если y является функцией от u , а u есть функция от x , то y также зависит от x . Пусть y = F(u ), u = ?(x ). Тогда y = F(?(x )). Последняя функция называется функцией от функции , или сложной функцией. Например, y = sin u , u = . Функция y = sin () есть сложная функция от x .
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x) , где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Например, y = Рx Р = ; ; .
Пример 1 . Найти, если.
Решение . Найдём значения данной функции при x = a и x = b :
Тогда получим
Пример 2 . Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:
Решение . а) Так как, то
т.е. f(- x) = - f(x). Следовательно, функция нечётная.
б) Имеем, т.е.
f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
в) Здесь,т.е.
f(- x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
г) Здесь. Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Пример 3
Решение . Функция определена, если 2x - 1 ? 0, т.е. если. Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:
Пример 4 . Найти область определения функции.
Решение . Функция определена, если x - 1 ? 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ? 1 и x > - 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: (- 1, 1) и (1, + ?).
Пример 5. Найти область определения функции
Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 -2x ? 0, а второе при. Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем
Следовательно, областью определения будет сегмент
Функция одной переменной
Функции одной переменной.
Введение
В математике основополагающими понятиями являются понятие множества, элемента множества. Математический анализ имеет дело, в основном, с числовыми множествами.
В дальнейшем будем использовать следующую символику:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
С – множество комплексных чисел;
Î - | знак принадлежности: х Î Х – элемент х принадлежит множеству Х, х Ï Х – х не принадлежит множеству Х; | |
Ì - | знак включения: Х Ì У – множество Х есть подмножество У; | |
È - | знак объединения: Х È У – множество, элементы которого принадлежат Х или У; | |
Ç - | знак пересечения множеств: Х Ç У – множество, элементы которого принадлежат и Х и У одновременно; | |
\ - | знак вычитания множеств: Х \ У – множество, состоящее из элементов множества Х, не принадлежащих У; | |
" - | квантор всеобщности, читается: «для любого», «для всех», «каждый», «всякий» и т. п. ; | |
$ - | квантор существования, читается: «существует», «найдется»; | |
Ù - | логическое «и» (конъюнкция); | |
Ú - | логическое «или» (дизъюнкция); | |
Þ - | знак следствия, читается: «следует», «выполняется», «влечет за собой»; | |
Û - | знак эквивалентности, читается: «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»; | |
| или: | - знаки описания (расшифровки), читаются: «такой, что...», «для которых выполняется...», и т. п. | |
Например, символьная запись "х ÎN $ y ÎN: (y > x Ú y < x ) читается «для любого натурального числа х найдется натуральное число у такое, что либо y > x , либо y < x ».
Как известно, каждому действительному числу ставится в соответствие единственная точка на числовой прямой. Поэтому в дальнейшем договоримся отождествлять термины «действительное число» и «точка» числовой прямой. Для числовых промежутков будем использовать следующие обозначения:
[a ; b ] или a £ x £ b – замкнутый промежуток или отрезок с началом в точке а и концом в точке b ;
(a ; b ) или a < x < b – открытый промежуток или интервал ;
(a ; b ] или a < x £ b ,
[a ; b ) или a £ x < b
– полуоткрытые промежутки или полуинтервалы;
[a ; +¥) или x ³ a , (–¥; b ] или x £ b – лучи;
(a ; +¥) или x > a , (–¥ ; b ) или x < b – открытые лучи;
(–¥ ; +¥) или –¥ < х < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).
В науке и практике приходится иметь дело с разного рода величинами. Одни из них в конкретных условиях остаются неизменными (постоянными), другие – меняются (переменные). Например, объем аудитории, банки – постоянны, а объем воздушного шарика – переменный.
В математическом анализе нас будет интересовать только численное выражение той или иной величины, а не ее природа, т.е. будем рассматривать абстрактные величины. Поэтому, постоянной величиной мы будем называть ту величину, которая принимает фиксированное, конкретное (пусть даже неизвестное) значение. Обозначать это будем: х – const. Чаще всего постоянные обозначают начальными буквами латинского алфавита: a , b , c , ... или греческими a, b, e, l, ... .
Переменной величиной считаем ту, которая может принимать произвольные числовые значения из некоторого множества чисел. Обозначают переменные чаще всего буквами конца латинского алфавита: х , у , z , t ,... . Множество, из которого переменная величина принимает значения, называют областью определения этой переменной и пишут: x ÎD.
Функция одной переменной
Наряду с понятием множества и элемента множества, к основным понятиям математики относят и понятие соответствия. Определенный вид соответствий носит название функции.
Пусть заданы множество Х с элементами х и множество У, состоящее из элементов у (множества Х и У – не пустые, элементы их могут быть любой природы).
Определение 1.1 Если каждому элементу х ÎХ по некоторому закону (правилу) f поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, то говорят, что на множестве Х задана функция y = f (x ), х ÎХ или отображение f : Х → У множества Х в множество У.
При этом принята терминология:
х – независимое переменное, или аргумент,
Х – область определения функции, а каждый элемент х ÎХ – значение аргумента,
у – зависимое переменное, или функция от аргумента х ,
У – область значений функции, а каждый элемент у
ÎУ такой, что
y
= f
(x
) для некоторого х
ÎХ, называется значением функции.
В зависимости от множеств Х и У, функции имеют специфические названия и обозначения:
если Х, У – подмножества множества действительных чисел R, то функция у = f (x ) называется действительной функцией действительного аргумента или функцией одной переменной;
если ХÌR, УÌС – комплексная функция действительного аргумента, обозначается z = f (x );
если ХÌС, У ÌС – комплексная функция комплексного аргумента, обозначается w = f (z );
если ХÌN, УÌR – функция натурального аргумента или последовательность у п = f (п );
если ХÌR 2 (т.е. множество точек (x , у ) плоскости), УÌR, z ÎУ – действительная функция двух переменных z = f (x , у );
если ХÌR п (п -мерное арифметическое пространство), УÌR – действительная функция п переменных и = f (x 1 ,х 2 , …, х п ). Эту и перечисленные выше функции называют числовыми функциями;
если ХÌ R, УÌ V 2 (множество геометрических векторов на плоскости) –векторная функция скалярного аргумента, `r (t )= x (t ) +y (t ) ;
если ХÌ R 2 , УÌ V 2 – векторная функция двух скалярных аргументов, `F (x , y ) = P(x , y ) + Q(x , y ) ;
В математическом анализе, в основном, изучаются числовые функции. Рассмотрим сначала действительную функцию одного переменного. Поскольку и аргументом, и функцией при этом является действительная числовая величина, то часто будем употреблять ее в женском роде: независимая переменная, зависимая переменная.
В этом случае определение 1.1 может быть перефразировано так:
Определение 1.2 Если каждому значению переменной х из числового множества ХÌR по некоторому закону f поставлено в соответствие определенное действительное число у , то говорят, что на множестве Х задана числовая функция у = f (x ). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у – зависимой переменной (функцией), Х – областью определения функции и обозначают Х = D(f ) .
Множество значений, которые принимает у , называется областью значений функции и обозначается Е(f ) . Буква f символизирует то правило, по которому устанавливается соответствие между х и у . Наряду с буквой f используются и другие буквы: y = g (x ), y = h (x ), y = u (x ) . Также функцию можно обозначить z = j(t ), x = f (z ) , s = S (p ) и т. п., т.е. и независимая переменная, и зависимая могут обозначаться любыми буквами латинского алфавита.
Две функции равны тогда и только тогда, когда они имеют одну область определения и при каждом значения аргумента принимают одно и то же значение.
Задать функцию – значит, указать правило, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Основные способы задания функции:
1) Аналитический – с помощью одной или нескольких формул, например
y = sin3x + x 2 , ,
(последние две функции иногда называют кусочно-аналитическими или ступенчатыми функциями). Если функция задана аналитически (формулой), то под областью определения понимают множество значений аргумента х , для которых по заданной формуле можно вычислить соответствующее значение у (т.е. выполнимы все операции, указанные в формуле).
Если в формуле, описывающей функцию, зависимая переменная выражена через независимую переменную, то такая функция называется явно заданной . Приведенные выше функции заданы явно.
Если же равенство, описывающее функцию, не разрешено относительно зависимой переменной, то функция называется неявно заданной , например
х 2 + 3ху – у 3 = 1 или ln(x +3y ) = y 2 .
Неявно заданная функция может быть представлена в форме
где t – параметр, принимающий значения из некоторого множества. Такую функцию называют параметрически заданной функцией . Например,
, t Î R определяет функцию у = (х –1) 2 ,
определяет функцию .
Параметрическое задание функции широко применяется в механике: если х = х (t ) и у = у (t ) законы изменения координат движущейся точки, то уравнения определяю траекторию движения.
2) Словесный . Например, «целая часть числа» – наибольшее целое, не превосходящее х . Эту функцию обозначают у = [x ].
3) Табличный . Например
х | х 1 | х 2 | х 3 | ... |
у | у 1 | у 2 | у 3 | ... |
Так задаются функции, обычно получаемые по результатам опыта, эксперимента, расчета.
4) Графический.
Определение 1.3. Графиком функции у = f (x ) называется геометрическое место точек координатной плоскости ХОУ с координатами (х , f (x )), где х ÎD(f ).
Изображение функциональной зависимости в виде линии (графика) и является графическим заданием функции . Например, показания осциллографа, электрокардиограмма и т.п. – это графическое представление зависимости между изучаемыми величинами.
Заметим, что для однозначной функции ее график имеет только одну точку пересечения с любой прямой х = а , а Î D(f ).
Свойства функций.
I. Функция у = f (x ), x ÎD, называется ограниченной на множестве D, если существуют действительные числа А, В такие, что " x ÎD выполняется условие A £ f (x ) £ B. График такой функции расположен в некоторой горизонтальной полосе между прямыми у = А и у = В (рис.1а). Если таких чисел А и В не существует, то функция называется неограниченной на множестве D.
Если " x ÎD Þ f (x ) £ B, то функция ограничена сверху (рис.1 б).
Если " x ÎD Þ f (x ) ³ А, то функция ограничена снизу (рис.1в).
Ограниченными в своей области определения являются функции у = sin x и y = cos x , т.к. для всех значений х выполняется
–1 £ sin x £ 1 и –1 £ cos x £ 1.
Функция ограничена сверху, т.к. для всех действительных значений х выполняется условие у £ 1. Примером ограниченной снизу функции служит показательная функция у = , т.к. > 0 для всех действительных значений х .
II. Функция у = f (x ), x ÎD, называется возрастающей , если для любых значений аргумента х 1 , х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие f (x 1) < f (x 2) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, Рис.2а).
Функция у = f (x ), x ÎD, называется убывающей , если "х 1 ,х 2 ÎD таких, что х 1 < х 2 , выполняется условие (f (x 1) > f (x 2) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, рис.2б). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями. Если строгие неравенства заменить нестрогими, то соответственно функция будет называться неубывающей и невозрастающей.
|
III. Функция у = f (x ), x ÎD, называется четной , если
" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).
График четной функции симметричен относительно оси ОУ (рис.3а).
Функция у = f (x ), x ÎD, называется нечетной , если
" х ÎD Þ (–х ÎD и f (–x ) = f (x )).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3б).
IV. Функция у = f (x ), x ÎD, называется периодической , если
$ Т > 0: "х ÎD Þ (х ± ТÎD и f (x ) = f (x ± Т)).
|
Рассмотрим два числовых множества X и Y . Правило f , по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y , называется числовой функцией , заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y .
Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:
1) множество Х (область определения функции);
2) множество Y (область значений функции);
3) правило соответствия f (сама функция).
Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x 3 . В этом случае правило f есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y , пишут y = f(x). Здесь "х " называют независимой переменной или аргументом , а "y " -зависимой переменной (т.к. выражение типа x 3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х ) или функцией от х . О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у . Например, если х=2 , то функция f(x) =x 3 принимает значение у= f(2) =2 3 =8 .
Существуют несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x 2 . Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.
Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x) ). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".
Табличный способ . Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x) , соответствующие каждому х . Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
T, 0 С | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 17 |
Несмотря на повсеместное внедрение компьютеров большинство функций, с которыми приходится сталкиваться специалисту-географу в повседневной деятельности, до сих пор представлены в виде табличного или графического задания. Табличные зависимости получаются в результате регистрации результатов опытов, лабораторных анализов, периодических замеров атмосферных или иных физических параметров. К сожалению, по таблице можно найти лишь те значения функции, значения аргумента которых имеются в таблице. В то же время часто возникают задачи, требующие нахождения значения функции для значения аргумента, не входящего в таблицу. Кроме того этот способ не дает достаточно наглядного представления о характере изменения функции с изменением независимого переменного. От этого недостатка свободны графики, полученные в результате работы автоматических приборов, но и графическое задание не всегда может быть достаточным для дальнейших исследований. Например, такая функция иногда должна в целях исследования протекания природного процесса подвергаться каким-либо математическим операциям, в том числе, дифференцированию или интегрированию. Таким образом, во многих случаях важно знать аналитическое задание функции. Так как точного аналитического задания функции, полученной в результате экспериментальной работы не существует, то для целей исследования применяют следующий прием: функцию, заданную таблично (функцию, заданную графически всегда можно представить в табличном виде) заменяют на некотором отрезке другой функцией более простой, близкой в некотором смысле к данной и имеющей аналитическое выражение. Существует два основных приема такой замены - интерполирование и аппроксимация функции-таблицы.