ТАУ. Оператор Лапласа и передаточные функции. Уравнение лапласа Оператор лапласа в криволинейной системе координат
Рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор-
ными свойствами. Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование:
В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы:
1. Если - скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим
где P, Q, R - дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим
Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты
3. Вычисляя векторное произведение , получим
Для постоянной функции и = с получим
а для постоянного вектора с будем иметь
Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V - линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например,
- скалярный дифференциальный оператор.
Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения.
Пример 1. Доказать, что
По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем
или
Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается.
Пример 2. Пусть u(xty,z) - скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) - векторная дифференцируемая функция. Доказать, что
4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде
Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем. Так как ие - постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что
а (на последнем шаге мы опустили индекс е).
В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому
В итоге получаем
Замечай ие 2. Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором - он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор ,
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_i\
- коэффициенты Ламе .
Цилиндрические координаты
В цилиндрических координатах вне прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r=0
:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Сферические координаты
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left(rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f=f(r)
в n
-мерном пространстве:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.
Параболические координаты
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
Цилиндрические параболические координаты
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.
Общие криволинейные координаты и римановы пространства
Пусть на гладком многообразии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
задана локальная система координат и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{ij}
- риманов метрический тензор на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
, то есть метрика имеет вид
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j
.
Обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g^{ij}
элементы матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (g_{ij})^{-1}
и
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}
.
Дивергенция векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F
, заданного координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F^i
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}
) на многообразии X
вычисляется по формуле
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)
,
а компоненты градиента функции f - по формуле
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.
Оператор Лапласа - Бельтрами на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).
Значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
Применение
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
Вариации и обобщения
- Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
- Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.
См. также
Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"
Литература
Ссылки
| |||||||||||||||||||