Что представляет собой функция многих переменных. Функции нескольких переменных. Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

Рассматривая функции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у, выражается формулой Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S; S есть функция двух переменных.

Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, выражается формулой . Здесь V есть функция трех переменных х.

Пример 3. Дальность R полета снаряда, выпущенного с начальной скоростью . Из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом , выражается формулой если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесь - ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений эта формула дает определенное значение R, т. е. R является функцией двух переменных

Пример 4. и Здесь и есть функция четырех переменных

Определение 1. Если каждой паре значений двух не зависимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины , то мы говорим, что есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области

Символически функция двух переменных обозначается так:

Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически - с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше четырех примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных. Так, для

первого примера можно составить следующую таблицу:

В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х и у, проставлено соответствующее значение функции

Если функциональная зависимость получается в результате измерений величины z при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая z как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей.

Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х и у.

Определение 2. Совокупность пар значений при которых определяется функция называется областью определения или областью существования этой функции.

Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой в плоскости то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости, ограниченные линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такая постоянная С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е. .

Пример 5. Определить естественную область определения функции

Аналитическое выражение имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость

Пример 6. .

Для того чтобы имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны удовлетворять неравенству или

Все точки координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.

Пример 7. .

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство или .

Это значит, что областью определения функции является половина плоскости, расположенная над прямой не включая самой прямой (рис. 166).

Пример 8. Площадь треугольника 5 представляет собой функцию основания и высоты

Областью определения этой функции является область как основание треугольника и его высота не могут быть ни отрицательными, ни нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения является, очевидно, вся плоскость Оху.

Функции многих переменных

§1. Понятие функции многих переменных.

Пусть имеется n переменных величин . Каждый набор
обозначает точку n - мерного множества
(п -мерный вектор).

Пусть даны множества
и
.

Опр . Если каждой точке
ставится в соответствие единственное число
, то говорят, что задана числовая функция n переменных:

.

называют областью определения,
- множеством значений данной функции.

В случае n =2 вместо
обычно пишут x , y , z . Тогда функция двух переменных имеет вид:

z = f (x , y ).

Например,
- функция двух переменных;

- функция трех переменных;

Линейная функция n переменных.

Опр . Графиком функции n переменных называется n - мерная гиперповерхность в пространстве
, каждая точка которой задается координатами

Например, графиком функции двух переменных z = f (x , y ) является поверхность в трехмерном пространстве, каждая точка которой задается координатами (x , y , z ) , где
, и
.

Поскольку график функции трех и более переменных изобразить не представляется возможным, в основном мы будем (для наглядности) рассматривать функции двух переменных.

Построение графиков функций двух переменных является довольно сложной задачей. Существенную помощь в ее решении может оказать построение так называемых линий уровня.

Опр . Линией уровня функции двух переменных z = f (x , y ) называется множество точек плоскости ХОУ , являющихся проекцией сечения графика функции плоскостью, параллельной ХОУ. В каждой точке линии уровня функция имеет одно и то же значение. Линии уровня описываются уравнением f (x , y )=с , где с – некоторое число. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести одну из них.

Опр . Поверхностью уровня функции n переменных y = f (
) называется гиперповерхность в пространстве
, в каждой точке которой значение функции постоянно и равно некоторому значению с . Уравнение поверхности уровня: f (
)=с.

Пример . Построить график функции двух переменных

.

.

При с=1:
;
.

При с=4:
;
.

При с=9:
;
.

Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых уменьшается с ростом z .

§2. Предел и непрерывность функции многих переменных.

Для функций многих переменных определяются те же понятия, что и для функции одной переменной. Например, можно дать определения предела и непрерывности функции.

Опр . Число А называется пределом функции двух переменных z = f (x , y ) при
,
и обозначается
, если для любого положительного числа найдется положительное число , такое, что если точка
удалена от точки
на расстояние меньше , то величины f (x , y ) и А отличаются меньше чем на .

Опр . Если функция z = f (x , y ) определена в точке
и имеет в этой точке предел, равный значению функции
, то она называется непрерывной в данной точке.

.

§3. Частные производные функции многих переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных
.

Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например , положив
. Тогда функция
есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке :

.

Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции
по в точке
и обозначается:
;
;
;
.

Разность называется частным приращением по и обозначается
:

Учитывая приведенные обозначения, можно записать

.

Аналогично определяется

.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.

Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Например, функция
имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

;
;

;
.

и
- смешанные частные производные.

Пример. Найти частные производные второго порядка для функции

.

Решение.
,
.

,
.

,
.

Задание .

1. Найти частные производные второго порядка для функций

,
;

2. Для функции
доказать, что
.

Полный дифференциал функции многих переменных.

При одновременном изменении величин х и у функция
изменится на величину , называемую полным приращением функции z в точке
. Так же, как и в случае функции одной переменной, возникает задача о приближенной замене приращения
на линейную функцию от
и
. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции:

Полный дифференциал второго порядка:

=
.

=
.

В общем виде полный дифференциал п -го порядка имеет вид:

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция z = f (x , y ) определена в некоторой окрестности точки M(x , y ) и - некоторое направление, задаваемое единичным вектором
. Координаты единичного вектора выражаются через косинусы углов, образуемых вектором и осями координат и называемых направляющими косинусами:

,

.

При перемещении точки M(x , y ) в данном направлении l в точку
функция z получит приращение

называемое приращением функции в данном направлении l .

Если ММ 1 =∆l , то

Т

О

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным осям Ox и Oy . Нетрудно показать, что

Пример . Вычислить производную функции
в точке (1;1) по направлению
.

Опр . Градиентом функции z = f (x , y ) называется вектор с координатами, равными частным производным:

.

Рассмотрим скалярное произведение векторов
и
:

Легко видеть, что
, т.е. производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора направления .

Поскольку
, то скалярное произведение максимально, когда векторы одинаково направлены. Таким образом, градиент функции в точке задает направление наискорейшего возрастания функции в этой точке, а модуль градиента равен максимальной скорости роста функции.

Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции.

Теорема . Пусть задана дифференцируемая функция z = f (x , y ) и в точке
градиент функции не равен нулю:
. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня.

Локальный экстремум функции двух переменных

Пусть функция
определена и непрерывна в некоторой окрестности точки
.

Опр . Точка
называется точкой локального максимума функции
, если существует такая окрестность точки , в которой для любой точки
выполняется неравенство:

.

Аналогично вводится понятие локального минимума.

Теорема (необходимое условие локального экстремума) .

Для того, чтобы дифференцируемая функция
имела локальный экстремум в точке
, необходимо, чтобы все ее частные производные первого порядка в этой точке были равны нулю:

Итак, точками возможного наличия экстремума являются те точки, в которых функция дифференцируема, а ее градиент равен 0:
. Как и в случае функции одной переменной, такие точки называются стационарными.

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Определение (для функции двух переменных). Пусть X , Y и Z - множества. Если каждой паре (x , y ) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z , то говорят, что задана функция двух переменных z = f (x , y ) .

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x ; y ) плоскости xOy .

Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной .

Множество D называется областью определения функции z , а множество E – множеством её значений . Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

соответствует частное значение функции

Область определения функции нескольких переменных

Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f (x , y ) , то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y , для которых выражение f (x , y ) имеет смысл и принимает действительные значения . Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной . Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных - соответствующее множество точек абстрактного n -мерного пространства.

Область определения функции двух переменных с корнем n -й степени

В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n - натуральное число :

если n - чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть

если n - нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y .

Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени

:

если a - положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y ;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .

Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения большие или равное нулю: ;

если - отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения логарифмической функции двух переменных

Логарифмическая функция двух переменных определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения функции - вся плоскость x0y

Область определения функции - вся плоскость x0y , кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции .

Область определения функции - множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения функции - вся плоскость x0y .

Область определения дроби как функции двух переменных

Если функция задана формулой , то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .

Область определения линейной функции двух переменных

Если функция задана формулой вида z = ax + by + c , то область определения функции - вся плоскость x0y .

Пример 1.

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

Умножаем всё неравенство на и получаем

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .

Скачать с Depositfiles

Лекции 1-4

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Контрольные вопросы.

Частное и полное приращение функции нескольких переменных (ФНП).

Предел функции нескольких переменных. Свойства пределов ФНП.

Непрерывность ФНП. Свойства непрерывных функций.

Частные производные первого порядка.

Определение : если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных соответствует определенное значение переменной w, то будем называть w функцией независимых переменных :

(1)

Определение : областью определения D ( f ) функции (1) называется совокупность таких наборов чисел
, при которых определена функция (1).

Область D ( f ) может быть открытой или замкнутой. Например для функции:

D (f ) будут все точки пространства, для которых выполняется неравенство (замкнутый шар), а для функции (открытый шар).

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном функции двух переменных, т.к. во-первых, принципиального различия между двумя и большим числом переменных нет, увеличение числа переменных ведет лишь к громоздкости выкладок. Во-вторых, случай двух переменных допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

Геометрическим изображением функции двух переменных
является некоторая поверхность, которая может быть задана явно или неявно. Например: a )
— явное задание (параболоид вращения), б)
— неявное задание (сфера).

При построении графика функции часто пользуются методом сечений .

Пример . Построить график функции .
Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости
– парабола.

– в плоскости
–парабола.

– в плоскости
– окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками
и
(евклидова) пространства
называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностью радиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

О

пределение . Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность
точки , целиком принадлежащая множеству (т.е.
).

Определение . Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.

Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение . Множество называется открытым , если все его точки – внутренние.

Определение . Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом
). Заметим, что множество
является замкнутым и называется замыканием множества .

Пример . Если , то . При этом .

Частное и полное приращение функции.

Если одна независимая переменная (например, х ) получает приращение  х , а другая переменная не меняется, то функция получает приращение:

которое называется частным приращением функции по аргументу х .

Если же все переменные получают приращения, то функция получает полное приращение:

Например, для функции
будем иметь:

Предел функции нескольких переменных.

Определение . Будем говорить, что последовательность точек
сходится при
к точке
, если при .

В этом случае точку
называют пределом указанной последовательности и пишут:
при
.

Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно
,
(т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости ).

Определение . Число называют пределом функции
при
, если для

такое, что
, как только.

В этом случае пишут
или
при
.

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке
на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример . Найти
.

Пусть стремление к предельной точке
происходит по прямой
. Тогда
.

Предел, очевидно, не существует, так как число
зависит от .

Свойства пределов ФНП :

Если существуют и
, то: , Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.

Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Пример . Найти частные производные функции
.

Имеем:
,
.