Analýza excelového regresního modelu. Konrad Carlberg. Regresní analýza v aplikaci Microsoft Excel

Balíček MS Excel vám umožňuje provést většinu práce velmi rychle při konstrukci lineární regresní rovnice. Je důležité pochopit, jak interpretovat výsledky. Chcete-li sestavit regresní model, vyberte Nástroje\Analýza dat\Regrese (v aplikaci Excel 2007 se tento režim nachází v části Data/Analýza dat/Regrese). Poté zkopírujte získané výsledky do bloku pro analýzu.

Téma: KORELAČNÍ A REGRESNÍ ANALÝZA VVYNIKAT

LAB #1

1. STANOVENÍ KOEFICIENTU PÁROVÉ KORELACE V PROGRAMUVYNIKAT

korelace- jedná se o neúplný, pravděpodobnostní vztah mezi ukazateli, který se projevuje pouze v mase pozorování.

Párová korelace- toto je vztah mezi dvěma ukazateli, z nichž jeden je faktoriální a druhý efektivní.

Vícenásobná korelace vzniká interakcí více faktorů s ukazatelem výkonnosti.

Nezbytné podmínky pro aplikaci korelační analýzy:

1. Přítomnost dostatečně velkého počtu pozorování o velikosti studovaného faktoru a ukazatelů výkonnosti.

2. Studované faktory by měly být kvantifikovány a reflektovány v různých zdrojích informací.

Použití korelační analýzy nám umožňuje řešit následující problémy:

1. Určete změnu ukazatele výkonnosti pod vlivem jednoho nebo více faktorů.

2. Stanovte relativní míru závislosti ukazatele výkonnosti na každém faktoru.

Cvičení 1.

K dispozici jsou údaje za 20 zemědělských podniků. Nalézt korelační koeficient mezi výnosy obilných plodin a kvalitou půdy a posoudit její význam. Údaje jsou uvedeny v tabulce.

Stůl. Závislost výnosu obilí na kvalitě půdy

Pro zjištění korelačního koeficientu použijte funkci CORREL.

Významnost korelačního koeficientu je kontrolována kritériem Student.

Pro uvažovaný příklad r=0,99, n=18.

Chcete-li najít kvantil Studentova rozdělení, použijte funkci STUDISP s následujícími argumenty: Pravděpodobnost –0,05, stupně svoboda –18.

Porovnáním hodnoty t-statistiky s kvantilem Studentova rozdělení vyvodte závěry o významnosti párového korelačního koeficientu. Pokud je vypočtená hodnota t-statistiky větší než kvantil Studentova rozdělení, pak je významná hodnota korelačního koeficientu.

KONSTRUKCE REGRESNÍHO MODELU KOMUNIKACE MEZI DVOU HODNOTAMI

Úkol 2.

Podle úkolu 1:

1) sestavení regresní rovnice (lineární model), která charakterizuje přímý vztah mezi kvalitou půdy a produktivitou;

2). zkontrolujte přiměřenost výsledného modelu.

1 - tím způsobem.

1. Na listu aplikace Excel vyberte pole volných buněk o pěti řádcích a dvou sloupcích.

2. Vyvolejte funkci LINEST.

3. Zadejte pro funkci následující argumenty: Get_value_y Produktivita, centr/ha;Get_value_X- sloupec hodnot ukazatelů Kvalita půdy, skóre; Konstanta -1, Stat - 1(umožňuje vypočítat ukazatele používané k testování přiměřenosti modelu. Pokud statistika - 0, pak se takové ukazatele nebudou počítat.

4. Stiskněte kombinaci kláves ctrl- Posun- Vstupte.

Vybrané buňky zobrazují koeficienty modelu a také indikátory, které umožňují zkontrolovat přiměřenost modelu (tabulka 2).

A 1 , A 0 jsou koeficienty modelu;

S E 1 S E 0 jsou standardní chyby koeficientů. Čím je model přesnější, tím jsou tyto hodnoty menší.

R 2 – koeficient determinace. Čím je větší, tím je model přesnější.

F– statistiky pro testování významnosti modelu.

n- k-1 – počet stupňů volnosti (n-velikost vzorku, k-počet vstupních proměnných; v tomto příkladu n=20, k=1)

Q R je součet čtverců v důsledku regrese;

Q E je součet čtverců chyb.

5. Pro kontrolu adekvátnosti modelu najděte kvantil Fisherova rozdělení F F . pomocí funkce FROZDĚLENÍ. Chcete-li to provést, v libovolné volné buňce zadejte funkci FROZDĚLENÍ s následujícími argumenty: Pravděpodobnost – 0,05, stupně svobody _1–1, stupně svobody _2–18. Pokud F> F f , pak je model adekvátní počátečním datům

6. Zkontrolujte adekvátnost sestrojeného modelu pomocí vypočtené hladiny významnosti (P). Zadejte funkci FRAŠPLE s následujícími argumenty: X– hodnota statistiky F, Stupně_svobody_1–1, Stupně_svobody_2– 18. Pokud vypočtená hladina významnosti P<α =0,05, то модель адекватна исходным данным.

2. způsob.

Stanovení koeficientů modelu se získáním indikátorů pro kontrolu jeho přiměřenosti a významnosti koeficientů.

Vyberte si tým Služba/analýza dat/regrese. V dialogovém okně instalace: vstupní intervalY– hodnoty indikátorů Produktivita, centr/ha,vstupní intervalX– hodnoty indikátorů Kvalita půdy, skóre.

Zaškrtávací políčko Tagy. V oblasti Možnosti výstupu vyberte přepínač výstupní interval a určete buňku, ze které začne výstup výsledků. Klepnutím na tlačítko OK zobrazíte výsledky.

Interpretace výsledků.

Požadované koeficienty modelu jsou ve sloupci Kurzy:

Pro tento příklad je modelová rovnice:

Y = 2,53 + 0,5 X

V tomto příkladu se zvýšením kvality půdy o jeden bod vzroste výnos obilných plodin v průměru o 0,5 c/ha.

Kontrola přiměřenosti modelu se provádí podle vypočtené hladiny významnosti P uvedené ve sloupci VýznamF. Pokud je vypočtená hladina významnosti nižší než daná hladina významnosti α =0,05, pak je model adekvátní.

Testování statistické významnosti koeficienty modelu se provádí podle vypočtených hladin významnosti P uvedených ve sloupci P-význam. Pokud je vypočtená hladina významnosti nižší než daná hladina významnosti α =0,05, pak je odpovídající koeficient modelu statisticky významný.

NásobekR – korelační koeficient. Čím více se jeho hodnota blíží 1, tím bližší je vztah mezi studovanými ukazateli. V tomto příkladu R= 0,99. To nám umožňuje dojít k závěru, že kvalita půdy je jedním z hlavních faktorů, na kterých závisí výnos obilných plodin.

R-náměstí – koeficient determinace. Získává se kvadraturou korelačního koeficientu - R 2 \u003d 0,98. Ukazuje, že výnos obilných plodin je z 98 % závislý na kvalitě půdy, zatímco ostatní faktory tvoří 0,02 %.

3. způsob. GRAFICKÁ METODA SESTAVENÍ MODELU.

Nezávisle vytvořte bodový graf, který odráží vztah mezi výnosem a kvalitou půdy.

Získejte lineární model závislosti výnosů plodin na kvalitě půdy.

V předchozích poznámkách se pozornost často soustředila na jedinou číselnou proměnnou, jako jsou výnosy podílových fondů, doba načítání webové stránky nebo spotřeba nealkoholických nápojů. V této a následujících poznámkách zvážíme metody předpovídání hodnot číselné proměnné v závislosti na hodnotách jedné nebo více dalších číselných proměnných.

Materiál bude ilustrován přesným příkladem. Prognóza objemu prodeje v obchodě s oblečením. Síť diskontních obchodů s oblečením Sunflowers se již 25 let neustále rozšiřuje. Společnost však v současné době nemá systematický přístup k výběru nových provozoven. Místo, kde společnost hodlá otevřít novou prodejnu, se určuje na základě subjektivních úvah. Kritériem výběru jsou výhodné podmínky pronájmu nebo představa manažera o ideálním umístění prodejny. Představte si, že jste vedoucím oddělení speciálních projektů a plánování. Dostali jste za úkol vypracovat strategický plán pro otevírání nových prodejen. Tento plán by měl obsahovat předpověď ročních tržeb v nově otevřených prodejnách. Domníváte se, že prodejní prostor přímo souvisí s příjmy a chcete tuto skutečnost zohlednit ve svém rozhodovacím procesu. Jak vytvoříte statistický model, který předpovídá roční tržby na základě velikosti nové prodejny?

Regresní analýza se obvykle používá k predikci hodnot proměnné. Jeho cílem je vyvinout statistický model, který předpovídá hodnoty závislé proměnné nebo odpovědi z hodnot alespoň jedné nezávislé nebo vysvětlující proměnné. V této poznámce budeme zvažovat jednoduchou lineární regresi - statistickou metodu, která umožňuje předpovídat hodnoty závislé proměnné Y hodnotami nezávisle proměnné X. Následující poznámky budou popisovat vícenásobný regresní model určený k predikci hodnot nezávislé proměnné Y hodnotami několika závislých proměnných ( Xi, X2, …, Xk).

Stáhněte si poznámku ve formátu nebo formátu, příklady ve formátu

Typy regresních modelů

Kde ρ 1 je autokorelační koeficient; Li ρ 1 = 0 (žádná autokorelace), D≈ 2; Li ρ 1 ≈ 1 (pozitivní autokorelace), D= 0; Li ρ 1 = -1 (negativní autokorelace), D ≈ 4.

V praxi je použití Durbin-Watsonova kritéria založeno na srovnání hodnoty D s kritickými teoretickými hodnotami d L A d U pro daný počet pozorování n, počet nezávislých proměnných modelu k(pro jednoduchou lineární regresi k= 1) a hladina významnosti α. Li D< d L , hypotéza nezávislosti náhodných odchylek je zamítnuta (proto existuje pozitivní autokorelace); Li D > d U, hypotéza není zamítnuta (tj. neexistuje autokorelace); Li d L< D < d U není dost důvodů k rozhodnutí. Když vypočtená hodnota D překročí 2, tedy d L A d U není porovnáván samotný koeficient D a výraz (4 – D).

Pro výpočet Durbin-Watsonovy statistiky v Excelu přejdeme na spodní tabulku na Obr. 14 Výběr zůstatku. Čitatel ve výrazu (10) se vypočítá pomocí funkce = SUMMQDIFF(pole1, pole2) a jmenovatel = SUMMQ(pole) (obr. 16).

Rýže. 16. Vzorce pro výpočet Durbin-Watsonovy statistiky

V našem příkladu D= 0,883. Hlavní otázka zní: jakou hodnotu Durbin-Watsonovy statistiky bychom měli považovat za dostatečně malou na to, abychom dospěli k závěru, že existuje pozitivní autokorelace? Je nutné korelovat hodnotu D s kritickými hodnotami ( d L A d U) v závislosti na počtu pozorování n a hladina významnosti α (obr. 17).

Rýže. 17. Kritické hodnoty statistiky Durbin-Watson (fragment tabulky)

V problému objemu prodeje v obchodě dodávajícím zboží až domů tedy existuje jedna nezávislá proměnná ( k= 1), 15 pozorování ( n= 15) a hladina významnosti α = 0,05. Proto, d L= 1,08 a dU= 1,36. Protože D = 0,883 < d L= 1,08, mezi rezidui je pozitivní autokorelace, nelze použít metodu nejmenších čtverců.

Testování hypotéz o sklonu a korelačním koeficientu

Výše uvedená regrese byla použita pouze pro prognózování. Stanovit regresní koeficienty a predikovat hodnotu proměnné Y pro danou proměnnou hodnotu X byla použita metoda nejmenších čtverců. Kromě toho jsme vzali v úvahu směrodatnou chybu odhadu a koeficient smíšené korelace. Pokud reziduální analýza potvrdí, že podmínky použitelnosti metody nejmenších čtverců nejsou porušeny a jednoduchý lineární regresní model je na základě dat vzorku adekvátní, lze tvrdit, že mezi proměnnými v populaci existuje lineární vztah.

aplikacet -kritéria pro sklon. Kontrolou, zda je sklon populace β 1 roven nule, lze určit, zda existuje statisticky významný vztah mezi proměnnými X A Y. Pokud je tato hypotéza zamítnuta, lze tvrdit, že mezi proměnnými X A Y existuje lineární vztah. Nulová a alternativní hypotéza jsou formulovány následovně: H 0: β 1 = 0 (žádný lineární vztah), H1: β 1 ≠ 0 (existuje lineární vztah). A-převorství t-statistika se rovná rozdílu mezi sklonem vzorku a hypotetickým sklonem populace, děleno standardní chybou odhadu sklonu:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / Sb 1

Kde b 1 je sklon přímé regrese na základě údajů ze vzorku, β1 je hypotetický sklon přímé obecné populace, a statistiky testů t Má to t- distribuce s n-2 stupně svobody.

Zkontrolujme, zda existuje statisticky významný vztah mezi velikostí prodejny a ročním obratem při α = 0,05. t-kritéria se při použití zobrazí spolu s dalšími parametry Balíček analýzy(volba Regrese). Úplné výsledky analytického balíčku jsou uvedeny na Obr. 4, fragment související s t-statistikou - na obr. 18.

Rýže. 18. Výsledky aplikace t

Protože počet obchodů n= 14 (viz obr. 3), kritická hodnota t-statistiku na hladině významnosti α = 0,05 lze zjistit vzorcem: t L=STUDENT.INV(0,025;12) = -2,1788, kde 0,025 je polovina hladiny významnosti a 12 = n – 2; t U\u003d STUDENT.INV (0,975; 12) \u003d +2,1788.

Protože t-statistika = 10,64 > t U= 2,1788 (obr. 19), nulová hypotéza H 0 je odmítnut. Na druhé straně, R-hodnota pro X\u003d 10,6411, vypočtená podle vzorce \u003d 1-STUDENT.DIST (D3, 12, TRUE), je přibližně rovna nule, takže hypotéza H 0 je znovu odmítnut. Skutečnost, že R-hodnota je téměř nulová, což znamená, že pokud by neexistoval skutečný lineární vztah mezi velikostí prodejny a ročními tržbami, bylo by téměř nemožné ji najít pomocí lineární regrese. Proto existuje statisticky významný lineární vztah mezi průměrným ročním prodejem prodejny a velikostí prodejny.

Rýže. 19. Testování hypotézy o sklonu obecné populace na hladině významnosti 0,05 a 12 stupňů volnosti

aplikaceF -kritéria pro sklon. Alternativním přístupem k testování hypotéz o sklonu jednoduché lineární regrese je použití F-kritéria. Odvolej to F-kritérium se používá k testování vztahu mezi dvěma rozptyly (viz podrobnosti). Při testování hypotézy sklonu je mírou náhodných chyb rozptyl chyb (součet čtverečních chyb dělený počtem stupňů volnosti), takže F-test používá poměr rozptylu vysvětleného regresí (tj SSR děleno počtem nezávislých proměnných k), na odchylku chyby ( MSE=S YX 2 ).

A-převorství F-statistika se rovná středním čtvercovým odchylkám v důsledku regrese (MSR) děleným odchylkou chyby (MSE): F = MSR/ MSE, Kde MSR=SSR / k, MSE =SSE/(n– k – 1), k je počet nezávislých proměnných v regresním modelu. Testovací statistiky F Má to F- distribuce s k A n– k – 1 stupně svobody.

Pro danou hladinu významnosti α je rozhodovací pravidlo formulováno takto: jestliže F > FU, nulová hypotéza je zamítnuta; jinak se neodmítá. Výsledky, prezentované ve formě souhrnné tabulky analýzy rozptylu, jsou uvedeny na Obr. 20.

Rýže. 20. Tabulka analýzy rozptylu pro testování hypotézy statistické významnosti regresního koeficientu

Podobně t-kritérium F-kritéria se při použití zobrazí v tabulce Balíček analýzy(volba Regrese). Kompletní výsledky práce Balíček analýzy znázorněno na Obr. 4, fragment související s F-statistika - na obr. 21.

Rýže. 21. Výsledky aplikace F- Kritéria získaná pomocí Excel Analysis ToolPack

F-statistika je 113,23 a R-hodnota blízká nule (buňka VýznamF). Je-li hladina významnosti α 0,05, určete kritickou hodnotu F-ze vzorce lze získat rozdělení s jedním a 12 stupni volnosti F U\u003d F. OBR (1-0,05; 1; 12) \u003d 4,7472 (obr. 22). Protože F = 113,23 > F U= 4,7472 a R- hodnota blízká 0< 0,05, нулевая гипотеза H 0 odchyluje, tzn. Velikost obchodu úzce souvisí s jeho ročním objemem prodeje.

Rýže. 22. Testování hypotézy o sklonu obecné populace na hladině významnosti 0,05, s jedním a 12 stupni volnosti

Interval spolehlivosti obsahující sklon β 1 . Chcete-li otestovat hypotézu existence lineárního vztahu mezi proměnnými, můžete sestavit interval spolehlivosti obsahující sklon β 1 a ujistit se, že hypotetická hodnota β 1 ​​= 0 patří do tohoto intervalu. Střed intervalu spolehlivosti obsahující sklon β 1 je sklon vzorku b 1 a jeho hranicemi jsou množství b 1 ±t n –2 Sb 1

Jak je znázorněno na Obr. 18, b 1 = +1,670, n = 14, Sb 1 = 0,157. t 12 \u003d STUDENT.OBR (0,975; 12) \u003d 2,1788. Proto, b 1 ±t n –2 Sb 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342 nebo + 1,328 ≤ p1 ≤ +2,012. Sklon populace tedy s pravděpodobností 0,95 leží v rozmezí od +1,328 do +2,012 (tj. od 1 328 000 USD do 2 012 000 USD). Protože tyto hodnoty jsou větší než nula, existuje statisticky významný lineární vztah mezi ročním prodejem a plochou prodejny. Pokud by interval spolehlivosti obsahoval nulu, nebyl by mezi proměnnými žádný vztah. Kromě toho interval spolehlivosti znamená, že každých 1 000 m2. stop má za následek zvýšení průměrného prodeje o 1 328 000 USD na 2 012 000 USD.

Používánít -kritéria pro korelační koeficient. byl zaveden korelační koeficient r, což je míra vztahu mezi dvěma číselnými proměnnými. Lze jej použít ke zjištění, zda existuje statisticky významný vztah mezi dvěma proměnnými. Označme korelační koeficient mezi populacemi obou proměnných symbolem ρ. Nulová a alternativní hypotéza jsou formulovány takto: H 0: ρ = 0 (žádná korelace), H 1: ρ ≠ 0 (existuje korelace). Kontrola existence korelace:

Kde r = + , Pokud b 1 > 0, r = – , Pokud b 1 < 0. Тестовая статистика t Má to t- distribuce s n-2 stupně svobody.

V problému obchodního řetězce Slunečnice r2= 0,904 a b 1- +1,670 (viz obr. 4). Protože b 1> 0, korelační koeficient mezi ročním obratem a velikostí prodejny je r= +√0,904 = +0,951. Otestujme pomocí nulové hypotézy, že mezi těmito proměnnými neexistuje žádná korelace t- statistika:

Na hladině významnosti α = 0,05 by měla být nulová hypotéza zamítnuta, protože t= 10,64 > 2,1788. Lze tedy tvrdit, že mezi ročními tržbami a velikostí prodejny existuje statisticky významný vztah.

Při diskuzi o závěrech o populačních sklonech jsou intervaly spolehlivosti a kritéria pro testování hypotéz vzájemně zaměnitelné nástroje. Výpočet intervalu spolehlivosti obsahující korelační koeficient se však ukazuje jako obtížnější, protože forma výběrového rozdělení statistiky r závisí na skutečném korelačním koeficientu.

Odhad matematického očekávání a predikce jednotlivých hodnot

Tato část pojednává o metodách odhadu očekávané odezvy Y a predikce jednotlivých hodnot Y pro dané hodnoty proměnné X.

Konstrukce intervalu spolehlivosti. V příkladu 2 (viz výše část Metoda nejmenších čtverců) regresní rovnice umožnila předpovědět hodnotu proměnné Y X. Při problému výběru místa pro maloobchodní prodejnu je průměrný roční prodej v obchodě o rozloze 4000 m2. stop se rovnal 7,644 milionům dolarů. Tento odhad matematického očekávání obecné populace je však bodem. pro odhad matematického očekávání obecné populace byl navržen koncept intervalu spolehlivosti. Podobně lze představit koncept interval spolehlivosti pro matematické očekávání odpovědi pro danou hodnotu proměnné X:

Kde , = b 0 + b 1 X i– proměnná predikované hodnoty Y na X = X i, S YX je střední kvadratická chyba, n je velikost vzorku, Xi- daná hodnota proměnné X, µ Y|X = Xi– matematické očekávání proměnné Y na X = Х i,SSX=

Analýza vzorce (13) ukazuje, že šířka intervalu spolehlivosti závisí na několika faktorech. Na dané hladině významnosti vede zvýšení amplitudy fluktuací kolem regresní přímky, měřené pomocí střední kvadratické chyby, ke zvětšení šířky intervalu. Na druhou stranu je podle očekávání nárůst velikosti vzorku doprovázen zúžením intervalu. Šířka intervalu se navíc mění v závislosti na hodnotách Xi. Pokud je hodnota proměnné Y předpovězené pro množství X, blízko průměrné hodnoty , interval spolehlivosti se ukazuje být užší než při předpovídání odezvy pro hodnoty daleko od průměru.

Řekněme, že při výběru místa pro prodejnu chceme vybudovat 95% interval spolehlivosti pro průměrné roční tržby ve všech prodejnách o rozloze 4000 metrů čtverečních. chodidla:

Proto je průměrný roční objem prodeje ve všech prodejnách o rozloze 4000 metrů čtverečních. stop, s 95% pravděpodobností leží v rozmezí od 6,971 do 8,317 milionů dolarů.

Vypočítejte interval spolehlivosti pro předpokládanou hodnotu. Kromě intervalu spolehlivosti pro matematické očekávání odezvy pro danou hodnotu proměnné X, je často nutné znát interval spolehlivosti pro predikovanou hodnotu. Přestože vzorec pro výpočet takového intervalu spolehlivosti je velmi podobný vzorci (13), tento interval obsahuje predikovanou hodnotu a nikoli odhad parametru. Interval pro předpokládanou odpověď YX = Xi pro konkrétní hodnotu proměnné Xi se určuje podle vzorce:

Předpokládejme, že při výběru místa pro maloobchodní prodejnu chceme vybudovat 95% interval spolehlivosti pro předpokládaný roční objem prodeje v prodejně o rozloze 4000 metrů čtverečních. chodidla:

Proto předpokládaný roční objem prodeje na 4 000 m2. stop, s 95% pravděpodobností leží v rozmezí od 5,433 do 9,854 milionů dolarů Jak můžete vidět, interval spolehlivosti pro předpokládanou hodnotu odezvy je mnohem širší než interval spolehlivosti pro její matematické očekávání. Je to proto, že variabilita v predikci jednotlivých hodnot je mnohem větší než v odhadu očekávané hodnoty.

Úskalí a etické problémy spojené s používáním regrese

Potíže spojené s regresní analýzou:

• Ignorování podmínek použitelnosti metody nejmenších čtverců.
• Chybný odhad podmínek použitelnosti metody nejmenších čtverců.
• Špatný výběr alternativních metod v rozporu s podmínkami použitelnosti metody nejmenších čtverců.
• Aplikace regresní analýzy bez hlubší znalosti předmětu studia.
• Extrapolace regrese za rozsah vysvětlující proměnné.
• Záměna statistických a kauzálních vztahů.

Rozšířené používání tabulek a statistického softwaru odstranilo výpočetní problémy, které bránily použití regresní analýzy. To však vedlo k tomu, že regresní analýzu začali využívat uživatelé, kteří nemají dostatečnou kvalifikaci a znalosti. Jak se uživatelé dozvědí o alternativních metodách, když řada z nich nemá vůbec ponětí o podmínkách použitelnosti metody nejmenších čtverců a neví, jak zkontrolovat jejich implementaci?

Výzkumník by se neměl nechat unést broušením čísel – výpočtem posunu, sklonu a smíšeného korelačního koeficientu. Potřebuje hlubší znalosti. Ukažme si to na klasickém příkladu převzatém z učebnic. Anscombe ukázal, že všechny čtyři datové sady zobrazené na Obr. 23 mají stejné regresní parametry (obr. 24).

Rýže. 23. Čtyři umělé datové soubory

Rýže. 24. Regresní analýza čtyř umělých datových souborů; hotovo Balíček analýzy(kliknutím na obrázek se obrázek zvětší)

Z pohledu regresní analýzy jsou tedy všechny tyto datové soubory zcela totožné. Pokud by tam analýza skončila, přišli bychom o spoustu užitečných informací. To dokazují bodové grafy (obr. 25) a reziduální grafy (obr. 26) vytvořené pro tyto soubory dat.

Rýže. 25. Bodové grafy pro čtyři datové sady

Bodové grafy a grafy reziduí ukazují, že tato data se od sebe liší. Jediná množina rozložená podél přímky je množina A. Graf reziduí vypočítaný ze množiny A nemá žádný vzor. Totéž nelze říci o množinách B, C a D. Bodový graf vynesený pro množinu B ukazuje výrazný kvadratický vzor. Tento závěr potvrzuje graf reziduí, který má parabolický tvar. Bodový graf a graf zbytků ukazují, že datová sada B obsahuje odlehlou hodnotu. V této situaci je nutné vyloučit ze souboru dat odlehlou hodnotu a analýzu zopakovat. Technika zjišťování a odstraňování odlehlých hodnot z pozorování se nazývá analýza vlivu. Po vyloučení odlehlé hodnoty může být výsledek přehodnocení modelu zcela odlišný. Bodový graf vynesený ze souboru dat D ilustruje neobvyklou situaci, ve které je empirický model vysoce závislý na jediné odpovědi ( X 8 = 19, Y 8 = 12,5). Takové regresní modely je třeba počítat obzvláště pečlivě. Bodové a reziduální grafy jsou tedy základním nástrojem regresní analýzy a měly by být její nedílnou součástí. Bez nich není regresní analýza důvěryhodná.

Rýže. 26. Grafy reziduí pro čtyři soubory dat

Jak se vyhnout nástrahám regresní analýzy:

• Analýza možného vztahu mezi proměnnými X A Y vždy začněte bodovým grafem.
• Před interpretací výsledků regresní analýzy zkontrolujte podmínky její použitelnosti.
• Vyneste rezidua versus nezávislá proměnná. To umožní určit, jak empirický model odpovídá výsledkům pozorování, a odhalit porušení stálosti rozptylu.
• K otestování předpokladu normální distribuce chyb použijte histogramy, grafy stonků a listů, krabicové grafy a grafy normálního rozdělení.
• Pokud nejsou splněny podmínky použitelnosti metody nejmenších čtverců, použijte alternativní metody (například kvadratické nebo vícenásobné regresní modely).
• Pokud jsou splněny podmínky použitelnosti metody nejmenších čtverců, je nutné otestovat hypotézu o statistické významnosti regresních koeficientů a sestrojit intervaly spolehlivosti obsahující matematické očekávání a predikovanou hodnotu odezvy.
• Vyhněte se predikci hodnot závislé proměnné mimo rozsah nezávislé proměnné.
• Mějte na paměti, že statistické závislosti nejsou vždy kauzální. Pamatujte, že korelace mezi proměnnými neznamená, že mezi nimi existuje kauzální vztah.

Souhrn. Jak ukazuje blokové schéma (obr. 27), poznámka popisuje jednoduchý lineární regresní model, podmínky jeho použitelnosti a způsoby testování těchto podmínek. Považováno t-kritérium pro testování statistické významnosti sklonu regrese. K predikci hodnot závislé proměnné byl použit regresní model. Příklad je považován za související s výběrem místa pro maloobchod, ve kterém je studována závislost ročního objemu prodeje na ploše prodejny. Získané informace umožňují přesněji vybrat místo pro prodejnu a předvídat její roční tržby. V následujících poznámkách bude diskuse o regresní analýze pokračovat, stejně jako o vícenásobných regresních modelech.

Rýže. 27. Blokové schéma noty

Jsou použity materiály z knihy Levin et al Statistika pro manažery. - M.: Williams, 2004. - str. 792–872

Pokud je závislá proměnná kategorická, měla by se použít logistická regrese.

Metoda lineární regrese nám umožňuje popsat přímku, která nejlépe odpovídá řadě uspořádaných dvojic (x, y). Rovnice pro přímku, známá jako lineární rovnice, je uvedena níže:

ŷ je očekávaná hodnota y pro danou hodnotu x,

x je nezávislá proměnná,

a - segment na ose y pro přímku,

b je sklon přímky.

Na obrázku níže je tento koncept znázorněn graficky:

Obrázek výše ukazuje přímku popsanou rovnicí ŷ =2+0,5x. Úsečka na ose y je bod, kde přímka protíná osu y; v našem případě a = 2. Sklon úsečky b, poměr stoupání úsečky k délce úsečky, má hodnotu 0,5. Kladný sklon znamená, že čára stoupá zleva doprava. Pokud b = 0, čára je vodorovná, což znamená, že mezi závislými a nezávislými proměnnými není žádný vztah. Jinými slovy, změna hodnoty x neovlivní hodnotu y.

ŷ a y se často zaměňují. V grafu je zobrazeno 6 uspořádaných dvojic bodů a přímka podle dané rovnice

Tento obrázek ukazuje bod odpovídající uspořádané dvojici x = 2 a y = 4. Všimněte si, že očekávaná hodnota y podle přímky u X= 2 je ŷ. Můžeme to potvrdit následující rovnicí:

ŷ = 2 + 0,5х =2 +0,5(2) =3.

Hodnota y je skutečný bod a hodnota ŷ je očekávaná hodnota y pomocí lineární rovnice pro danou hodnotu x.

Dalším krokem je určení lineární rovnice, která maximálně odpovídá množině uspořádaných dvojic, o tom jsme hovořili v minulém článku, kde jsme tvar rovnice určili pomocí .

Použití Excelu k definici lineární regrese

Chcete-li použít nástroj regresní analýzy zabudovaný do Excelu, musíte aktivovat doplněk Balíček analýzy. Najdete ji kliknutím na záložku Soubor –> Možnosti(2007+), v dialogovém okně, které se objeví Možnostivynikat přejděte na kartu Doplňky. V terénu Řízení Vybrat doplňkyvynikat a klikněte Jít. V okně, které se zobrazí, zaškrtněte políčko vedle analytický balíček, klikněte OK.

V záložce Data ve skupině Analýza objeví se nové tlačítko Analýza dat.

Abychom demonstrovali, jak doplněk funguje, použijeme data , kde chlap a dívka sdílejí stůl v koupelně. Zadejte údaje pro náš příklad koupelny do sloupců A a B prázdného listu.

Přejděte na kartu Data, ve skupině Analýza klikněte Analýza dat. V okně, které se objeví Analýza dat vybrat Regrese jak je znázorněno na obrázku a klikněte na OK.

V okně nastavte požadované parametry regrese Regrese, jak je vidět na obrázku:

Klikněte OK. Níže uvedený obrázek ukazuje získané výsledky:

Tyto výsledky jsou v souladu s těmi, které jsme získali nezávislými výpočty v .

Regresní analýza je jednou z nejpopulárnějších metod statistického výzkumu. Lze jím určit míru vlivu nezávislých proměnných na závisle proměnnou. Funkce Microsoft Excel má nástroje navržené k provádění tohoto typu analýzy. Pojďme se podívat, jaké to jsou a jak je používat.

Abyste však mohli používat funkci, která vám umožňuje provádět regresní analýzu, musíte nejprve aktivovat analytický balíček. Teprve poté se na pásu karet Excelu objeví nástroje potřebné pro tento postup.

Nyní, když přejdeme na kartu "Data", na pásu karet v panelu nástrojů "Analýza" uvidíme nové tlačítko - "Analýza dat".

Typy regresní analýzy

Existuje několik typů regresí:

• parabolický;
• Napájení;
• logaritmický;
• exponenciální;
• demonstrace;
• hyperbolický;
• lineární regrese.

O implementaci posledního typu regresní analýzy v Excelu si povíme podrobněji později.

Lineární regrese v Excelu

Níže je jako příklad uvedena tabulka, která ukazuje průměrnou denní teplotu vzduchu na ulici a počet zákazníků prodejny pro odpovídající pracovní den. Pojďme pomocí regresní analýzy zjistit, jak přesně mohou povětrnostní podmínky v podobě teploty vzduchu ovlivnit návštěvnost maloobchodní provozovny.

Obecná rovnice lineární regrese vypadá takto: Y = a0 + a1x1 + ... + axk. V tomto vzorci Y znamená proměnnou, jejíž vliv se snažíme studovat. V našem případě se jedná o počet kupujících. Význam X jsou různé faktory, které ovlivňují proměnnou. Možnosti A jsou regresní koeficienty. To znamená, že určují význam konkrétního faktoru. Index k označuje celkový počet těchto stejných faktorů.

Analýza výsledků analýzy

Výsledky regresní analýzy se zobrazí ve formě tabulky na místě určeném v nastavení.

Jedním z hlavních ukazatelů je R-čtverec. Označuje kvalitu modelu. V našem případě je tento koeficient 0,705 nebo asi 70,5 %. To je přijatelná úroveň kvality. Vztah menší než 0,5 je špatný.

Další důležitý ukazatel se nachází v buňce na průsečíku čáry "Křižovatka Y" a sloupec "koeficienty". Zde je uvedeno, jakou hodnotu bude mít Y, a v našem případě je to počet kupujících, přičemž všechny ostatní faktory jsou rovné nule. V této tabulce je tato hodnota 58,04.

Hodnota v průsečíku grafu "Proměnná X1" A "koeficienty" ukazuje úroveň závislosti Y na X. V našem případě se jedná o úroveň závislosti počtu zákazníků prodejny na teplotě. Koeficient 1,31 je považován za poměrně vysoký ukazatel vlivu.

Jak vidíte, je poměrně snadné vytvořit tabulku regresní analýzy pomocí aplikace Microsoft Excel. S daty získanými na výstupu však může pracovat pouze vyškolený člověk a pochopit jejich podstatu.