• Aproximace nelineárních prvků. Aproximace nelineárních charakteristik. Aproximace charakteristik nelineárních prvků

    Převod signálů na nelineární

    radiotechnika řetězy

    Většina procesů (nelineární zesílení signálu, modulace,

    demodulace, omezování, generování, násobení, dělení a přenos frekvence atd.) spojené s převodem spektra signálů, se provádí pomocí nelineárních a parametrických obvodů. V nelineárních obvodech závisí parametry prvků na vstupních akcích a procesy v nich probíhající jsou popsány nelineárními diferenciálními rovnicemi. V tomto případě se na ně zásada superpozice nevztahuje. Tyto řetězce jsou velmi rozmanité, a proto neexistují žádné obecné metody pro jejich analýzu.

    Omezíme analýzu nelineárních obvodů na zvážení pouze jejich určité třídy. Jedná se o rádiové obvody, jejichž analýza se provádí především pomocí proudově-napěťových charakteristik nelineárních prvků. Mezipolohu mezi lineárními a nelineárními obvody zaujímají parametrické obvody, které jsou lineární a platí pro ně princip superpozice. Ve spektru výstupního signálu takových obvodů se však mohou objevit nové frekvence. Parametrické obvody jsou popsány lineárními diferenciálními rovnicemi s proměnnými (tj. časově závislými) koeficienty. Teorie těchto rovnic je složitější než teorie lineárních rovnic s konstantními koeficienty. Některé parametrické obvody pracují v podstatě v nelineárním režimu. To umožňuje metodicky kombinovat parametrické obvody s nelineárními obvody, zejména proto, že výsledek zpracování signálu je spojen s transformací jeho spektra.

    Aproximace charakteristik nelineárních prvků

    V obecném případě je analýza procesu konverze signálu v nelineárních obvodech velmi obtížným úkolem, který je spojen s problémem řešení nelineárních diferenciálních rovnic. V tomto případě je princip superpozice nepoužitelný, protože parametry nelineárního obvodu pod vlivem jednoho zdroje vstupního signálu se liší od jeho parametrů při zapojení více zdrojů. Studium nelineárních obvodů však lze provádět poměrně jednoduchými metodami, pokud nelineární prvek (NE) splňuje podmínky setrvačnosti. Fyzicky znamená NE setrvačnost okamžité vytvoření odezvy na výstupu po změně vstupní akce. Přísně vzato prakticky neexistují žádné setrvačné (odporové neboli ohmické, tedy pouze pohlcující energii vstupního signálu). Všechny nelineární prvky - diody, tranzistory, analogové a digitální mikroobvody - mají inerciální vlastnosti. Moderní polovodičová zařízení jsou přitom svými frekvenčními parametry zcela perfektní a lze je idealizovat z hlediska setrvačnosti.


    Nelineární dynamické systémy jsou popsány nelineárními diferenciálními rovnicemi, v těchto systémech je nelinearita nutně přítomna. Nelineární obvod může být určen nejen svými základními prvky, ale také vnějšími vlastnostmi, které s harmonickým vstupním signálem zahrnují:

    ü rozdíl od sinusového tvaru výstupního signálu;

    výskyt harmonických složek vstupního signálu ve spektru výstupního kmitání;

    ü nelinearita přenosové amplitudové charakteristiky;

    ü závislost fáze zesíleného signálu na amplitudě.

    Následující metody pro analýzu nelineárních obvodů jsou známé a používají se, když jimi procházejí deterministické signály:

    Ø linearizace charakteristik nelineárního prvku (NE) at

    filtrování vyšších harmonických signálu na výstupu obvodu;

    Ø Analytické, zpravidla přibližné metody řešení soustavy

    nelineární rovnice popisující činnost zařízení;

    Ø spektrální, odhadující nelineární vlastnosti obvodu ze spektra

    výstupní signál;

    Ø numerické metody řešení soustavy nelineárních rovnic s

    používat počítač;

    Nejčastěji používanou metodou je analýza nelineárních obvodů, založená na linearizaci charakteristik NE při filtrování vyšších harmonických signálu na výstupu obvodu.

    Linearizace (z lat. linearis - lineární) - metoda přibližné

    reprezentace uzavřených nelineárních systémů, ve kterých studovat

    nelineární systém je nahrazen analýzou lineárního systému, v jistém smyslu ekvivalentnímu původnímu. Linearizační metody jsou omezené, to znamená, že ekvivalence původního nelineárního systému a jeho lineární aproximace je zachována pouze v určitém "režimu" systému, a pokud se systém přepne z jednoho režimu provozu do druhého, pak by měl i jeho linearizovaný model být změněn. Zároveň lze pomocí linearizace zjistit mnoho kvalitativních a kvantitativních vlastností nelineárního systému.

    Jako příklad nelineárních obvodů, či spíše prvků lze uvést polovodičovou usměrňovací diodu, která ze sinusového signálu zanechává pouze unipolární (kladné nebo záporné) půlsinusové vlny, nebo transformátor, jehož nasycení jádra s magnetickým polem vede k "otupení" vrcholů sinusoidy (a z hlediska frekvenčního spektra je to doprovázeno výskytem harmonických základních frekvencí a někdy frekvencí, které jsou násobkem základní frekvence menší než základní frekvence - subharmonické).

    Při použití metody linearizace analýza signálové cesty

    prostřednictvím nelineárního obvodu je relativně snadné implementovat, pokud je nelineární

    prvek splňuje podmínky setrvačnosti. Fyzicky nesetrvačnost nelineárního prvku (NE) znamená okamžitou změnu odezvy na jeho výstupu po změně vstupní akce. Přísně vzato, prakticky neexistují žádné inerciální (odporové nebo ohmické, tj. absorbující energii signálu) NE. Všechny NE - diody, tranzistory, mikroobvody, vakuová zařízení atd. - mají inerciální vlastnosti. Moderní polovodičová zařízení jsou přitom svými frekvenčními parametry zcela dokonalá a lze je z hlediska setrvačnosti idealizovat.

    Většina nelineárních rádiových obvodů a zařízení je určena blokovým schématem na obr.1.

    Obr. 1. Strukturní schéma nelineárního zařízení

    Podle tohoto schématu vstupní signál přímo ovlivňuje nelineární prvek, k jehož výstupu je filtr připojen (lineární obvod).

    V těchto případech lze proces v radioelektronickém nelineárním obvodu charakterizovat dvěma na sobě nezávislými operacemi.

    V důsledku první operace dochází u nesetrvačného nelineárního prvku k takové transformaci tvaru vstupního signálu, při které se v jeho spektru objevují nové harmonické složky. Druhou operaci provádí filtr, který vybírá požadované spektrální složky převedeného vstupního signálu. Změnou parametrů vstupních signálů a použitím různých nelineárních prvků a filtrů je možné provést požadovanou transformaci spektra. Mnoho schémat modulátorů, detektorů, samooscilátorů, usměrňovačů, násobičů, děličů a frekvenčních měničů je redukováno na takový pohodlný teoretický model.

    Nelineární obvody se zpravidla vyznačují složitým vztahem mezi vstupním signálem a výstupní odezvou, který lze obecně zapsat jako:

    V nelineárních obvodech s neinerciálními NE je nejvýhodnější uvažovat vstupní napětí jako náraz a výstupní proud jako odezvu, přičemž vztah mezi nimi je určen nelineární funkční závislostí:

    ...................... (1)

    Tento poměr může analyticky reprezentovat obvyklou charakteristiku proudu a napětí NE. Tuto charakteristiku má jak nelineární dvousvorková síť (polovodičová dioda), tak nelineární čtyřsvorková síť (tranzistor, operační zesilovač, digitální mikroobvod) pracující v nelineárním režimu při různých amplitudách vstupního signálu. Charakteristiky proudového napětí (pro nelineární prvky jsou získávány experimentálně) většiny NE mají složitý tvar, takže jejich reprezentace analytickými výrazy je poměrně obtížný úkol. Zpravidla nemá velký smysl navrhovat systémy pro analýzu a zpracování signálů pomocí vysoce přesných vzorců, pokud snížení chyb ve výpočtech a odpovídající komplikace systémů nedává hmatatelný efekt na zvýšení přesnosti zpracování dat. Za všech těchto podmínek vyvstává problém aproximace - reprezentace původních komplexních funkcí jednoduchými a pro praktické použití vhodnými relativně jednoduchými funkcemi (nebo jejich souborem) tak, že odchylka od oblasti jeho přiřazení je nejmenší podle určitého aproximačního kritéria. Funkce se nazývají aproximační funkce. Nalezení analytické funkce z experimentální proudově-napěťové charakteristiky nelineárního prvku se nazývá aproximace.

    V radiotechnice a teorii přenosu informace se používá několik metod aproximace charakteristik NE - výkonové, exponenciální, po částech lineární (lineární-přerušovaná čára). s m polynomiální a po částech lineární aproximace komplexních funkcí.

    Aproximace IV charakteristik mocninným polynomem

    Tento typ aproximace je zvláště účinný pro malé amplitudy vstupního signálu (obvykle zlomky voltu) v případech, kdy NE charakteristika má tvar hladké křivky, tzn. křivka a její derivace jsou spojité a nemají žádné skoky. Nejčastěji se při aproximaci používá Taylorova řada jako mocninný polynom:

    kde jsou konstantní koeficienty;

    - hodnota napětí , vzhledem k níž se expanze provádí v sérii a je volána pracovní bod.

    Konstantní koeficienty Taylorovy řady jsou určeny známým vzorcem

    . .................. (3)

    Optimální počet členů v řadě se bere v závislosti na požadované přesnosti aproximace. Čím více členů řady je vybráno, tím je aproximace přesnější. Aproximaci charakteristik lze obvykle provést poměrně přesně polynomem ne vyšším než druhý nebo třetí stupeň. Pro nalezení neznámých koeficientů řady (2) je nutné nastavit rozsah , několik možných hodnot napětí a polohu pracovního bodu v tomto rozsahu. Pokud je potřeba určit koeficienty řady, pak se na dané charakteristice vyberou body se svými souřadnicemi . Pro zjednodušení výpočtů je jeden bod kombinován s pracovním bodem se souřadnicemi; jsou vybrány další dva body na hranicích rozsahu a . Zbývající body jsou uspořádány libovolně, ale s přihlédnutím k důležitosti přibližné části CVC. Dosazením souřadnic vybraných bodů do vzorce (2) vznikne soustava rovnic, která je řešena s ohledem na známé koeficienty Taylorovy řady.

    2.7.1 NELINEÁRNÍ OBVODY A PŘIBLÍŽENÍ CHARAKTERISTICKÝCH VLASTNOSTÍ NELINEÁRNÍCH PRVKŮ

    Všechno dosud zvažované řetězce, patřil do třídy lineárních systémů. Prvky takových řetězců R, L a C jsou konstantní a nezávislé na expozici.Lineární obvody jsou popsány lineárními diferenciálními rovnicemis konstantními koeficienty.

    Pokud prvky elektrického obvodu R, L a C závisí na dopadu, Že řetězec je popsán nelineárnídiferenciální rovnice aje nelineární. Například, pro oscilační RLC -obvod, jehož odpor závisí na napětí u c, dostaneme:

    . (1)

    Takový oscilační obvodje nelineární.Prvek elektrického obvodu, jehož parametryzávisí na vlivu, nazývá se nelineární. Existují odporové a reaktivní nelineární prvky.

    Pro nelineární odporovýprvek je charakteristickýnelineární spojení mezi proudem i a napětím u, tj. nelineární charakteristika i = F(u). Nejběžnějšími odporovými nelineárními prvky jsou elektronky a polovodičová zařízení používaná k zesílení a převodu signálů. Na Obrázek 12.1 ukazuje IV charakteristika typického nelineárního prvku(polovodičová dioda).

    Pro odporové nelineární prvky důležitým parametrem je jejich odpor, který na rozdíl od lineárních rezistory není konstantní, ale závisí na tom, v jakém bodě CVC je určeno.

    Obrázek 12.1 - CVC nelineárního prvku

    Podle CVC nelineární prveklze určit odpor. Jak

    (2)

    kde U 0 - aplikováno na nelineární prvekkonstantní tlak;

    I 0 = F(U 0 ) protékající řetězem stejnosměrný proud . Toto je stejnosměrný odpor (nebo statický). Záleží na použitém napětí.

    Nechat nelineární prvek je ovlivněn napětí u \u003d U 0 + U m cos wt a amplituda U m , variabilní složka stačí malý (obrázek 12.2), takže jeden malý úsek I–V charakteristiky, ve kterém působí střídavé napětí, lze považovat za lineární. Pak aktuální. protékající nelineárním prvkem, opakuje napětí ve tvaru: i \u003d I 0 + I m cos w t.

    Definujme odpor R rozdíl jako Poměr amplitudy střídavého napětí U m na AC amplitudu já m (na grafu je to poměr přírůstku napětí D u na aktuální přírůstek D i):

    (3)

    Obrázek 12.2 - Vliv malého harmonického signálu na nelineární prvek

    Tento odpor se nazývá diferenciální (dynamický)a představujeodpor nelineárního prvku vůči střídavému proudu o malé amplitudě. Obvykle jít na limittyto přírůstky a určitdiferenciální odpor ve formě R rozdíl \u003d du / di.

    Zařízení, která mají klesající úseky na I–V charakteristice, se nazývají zařízení se záporným odporem, protože v těchto úsecích jsou derivace di/du< 0 и du/di < 0.

    Nelineární reaktivní prvky zahrnují nelineární kapacitu a nelineární indukčnost. Příkladem nelineární kapacity je jakékoli zařízení, které má nelineární volt-coulombovu charakteristiku q = F(u) (například varicond a varicap). Nelineární indukčnost je cívka s feromagnetickým jádrem, protékající silným proudem, přivádějící jádro do magnetického nasycení.

    Jeden z nejdůležitější vlastnosti nelineárních obvodůje to?nejsou prováděnyprincip překrytí. Proto je nemožné předpovědět výsledek působení součtu signálů, pokud jsou známy reakce obvodu na každý člen akce.Vyplývá to z toho, co bylo řečenonevhodnost pro analýzu nelineárních obvodů času a spektrálních metod,používané v teorii lineárních obvodů.

    Opravdu, nech voltampérové ​​charakteristiky(CVC) nelineárního prvku je popsán výrazem i = a u 2. Pokud na takové prvek provozuje komplexní signál u = u 1 + u 2 , pak odezva i = a (u 1 + u 2 ) 2 = a u 1 2 + a u 2 2 + 2 a u 1 u 2 se liší od součtu reakcí na působení každé složky zvlášť(a u 1 2 + a u 2 2 ) přítomnost složky 2 a u 1 u 2, který se objeví pouze v případě současného působení obou složek.

    Zvažte to druhécharakteristický rys nelineárních obvodů. Nechť u = u 1 + u 2 = U m1 cos w 0 t + U m2 cos W t ,

    kde U m1 a U m2 - amplitudy stresu u 1 a u 2.

    Pak proudu v nelineárním prvku s CVC i \u003d a u 2 bude vypadat takto:

    (4)

    Obrázek 12.3 znázorňuje spektra napětí a proudu. Všechnospektrální složky proudu se ukázaly jako nové, Ne držel v napětí. Tím pádem,v nelineárních obvodech se objevují nové spektrální složky. V tomto smyslu mají nelineární obvody mnohem větší potenciál než lineární a jsou široce používány pro transformace signálu související se změnou jejich spekter.

    Při studiu teorie nelineárních obvodůje možné ignorovat zařízení nelineárního prvkua spoléhat pouze na jeho vnější charakteristiky, stejně jako při studiu teorie lineárních obvodů neuvažují zařízení rezistorů kondenzátorů a cívek a používají pouze jejich parametry R, L a C.

    Obrázek 12.3 - Spektra napětí a proudu kvadratického nelineárního prvku

    Ilustrace naznačeného efektu na skutečné polovodičové diodě

    2.7.2 Aproximace charakteristik nelineárních prvků

    Obvykle, CVC nelineárních prvků i = F(u) získané experimentálně.tak nejčastějijsou uvedeny ve formě tabulek nebo grafů. Na zabývat se analytickými výrazy, účty pro uchýlit se k aproximaci.

    Označit daný tabulkově nebo graficky CVC nelineárního prvku i = F V (u) a analytická funkce, A přibližující se daná charakteristika, i = F(u, a 0 , a 1 , a 2 , … , a N ). kde a 0 , a 1 , … , a N jsou koeficienty této funkce, být nalezenjako výsledek aproximace.

    A) V Čebyševově metodě koeficienty a 0 , a 1 , … , a N funkce F(u) se zjistí z podmínky:

    , (5)

    tj. oni jsou stanoveny v procesu minimalizace maximální odchylky analytické funkce od dané. Zde u k, k = 1, 2, ..., G zvolené hodnoty napětí u

    S aproximací střední kvadratické hodnoty koeficienty a 0 , a 1 , …, a N musí být aby se hodnota minimalizovala

    (6)

    B) Taylorova aproximace funkcena základě reprezentace funkce i = F(u) poblíž Taylora v blízkosti bodu u = U 0:

    (7)

    a stanovení koeficientů tento rozklad. Li omezíme se na první dva termíny expanzedo Taylorovy řady, pak budeme hovořit o nahrazení komplexní nelineární závislosti F(u) je jednodušší lineární závislost. Takový náhrada se nazývá linearizace charakteristik.

    První expanzní termín F(U 0) = I 0 představujestejnosměrný proud v pracovním bodě pro u = U 0 a druhý člen

    - (8)

    rozdílová strmost charakteristiky proud-napětí v pracovním bodě, tj. pro u = U 0 .

    B) nejvíce společný přístupdanou funkcije interpolace(metoda vybraných bodů), při kterých koeficientech a 0 , a 1 , …, a N aproximační funkce F(u) se zjišťují z rovnosti této funkce a dané F x (u) ve vybraných bodech(uzly interpolace) u k = 1, 2, ..., N+1.

    E) Moc (polynom ) přiblížení. Dostalo toto jménoaproximace CVC mocninnými polynomy:

    (9)

    Někdy je vhodné vyřešit problém aproximacedaná vlastnostv blízkosti bodu U 0 , nazývané pracovní. Pak použít mocninný polynom

    (10)

    Výkonová aproximaceširoký použité v analýzepráce nelineárnízařízení, která jsou napájena relativněmalé vnější vlivy, Proto je vyžadována dostatečně přesná reprodukce nelinearity charakteristikyv blízkosti provozního bodu.

    E) Po částech lineární aproximace.V případech, kdynelineární prvek je vystaven namáhání s velkými amplitudami,může dovolit vícepřibližné nahrazení charakteristiky nelineárního prvku a používat více jednoduché aproximační funkce. Nejčastěji při analýze činnosti nelineárního prvku v tomto režimu skutečné charakteristika je nahrazenasegmenty přímek s různým sklonem.

    Z matematického hlediska to znamená, že na každém nahrazovaném úseku charakteristiky jsou použity mocninné polynomy prvního stupně ( N=1 ) s různými koeficienty a 0 , a 1 , …, a N .

    Tím pádem, úkolem aproximace CVC nelineárních prvků je vybrat typ aproximační funkce a určit její koeficientyjednou z výše uvedených metod.

    Vliv harmonického signálu na obvod s nelineárním prvkem

    Při studiu vlastností elektrických obvodů lze fenomén hystereze zpravidla zanedbat. Pouze při studiu obvodů založených na tomto jevu (například provoz magnetických paměťových zařízení s pravoúhlou hysterezní smyčkou) je třeba brát v úvahu hysterezi.

    Na Obr. 15.11, a ukazuje typickou symetrickou charakteristiku y \u003d f (x).

    U nelineární indukčnosti hraje roli x okamžitá hodnota indukce, roli y okamžitá hodnota intenzity pole H. U nelineárního kondenzátoru je y napětí - náboj q . U nelineárních rezistorů (např. tiritových odporů) hraje roli x napětí, y proud.

    Existuje velké množství různých analytických výrazů, které jsou více či méně vhodné pro analytický popis charakteristik nelineárních prvků. Při volbě nejvhodnějšího analytického výrazu pro funkci y \u003d f (x) se vychází nejen z toho, že křivka popsaná analytickým výrazem by měla být dostatečně blízká všemi svými body experimentálně získané křivce v očekávaném rozsahu. posunutí pracovního bodu na něm, ale zohlednit a možnosti, které zvolený analytický výraz dává při analýze vlastností elektrických obvodů.

    V budoucnu bude pro analytický popis symetrických charakteristik podle typu Obr. 15.11, ale použijeme hyperbolický sinus:

    V tomto výrazu - číselné koeficienty; a vyjadřuje se v těch jednotkách, které - v jednotkách převrácených na jednotky, takže součin je bezrozměrná veličina. Pro určení neznámých koeficientů je třeba libovolně vybrat dva nejcharakterističtější body, kterými musí analytická křivka procházet experimentálně získanou závislostí y \u003d f (x) v zamýšleném provozním rozsahu, dosadit souřadnice těchto bodů do rovnice (15.1 ) a následně řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.

    Nechť souřadnice těchto bodů (obr. 15.11, a). Pak

    přístup

    Pro určení koeficientu se používá transcendentální rovnice (15.2). Proto,

    Příklad 147. Magnetizační křivka transformátorové oceli je znázorněna na Obr. 15.11, b. Najděte koeficienty a a .

    Řešení. Vyberte dva body na křivce:

    Podle rovnice (15.2) máme Nastavíme libovolné hodnoty a provedeme výpočty:

    Na základě výsledků výpočtů sestavíme křivku a najdeme z ní. Dále definujeme

    Tečkovaná křivka na Obr. 15.11, b je postaveno podle rovnice. § 15.14. Koncept Besselových funkcí. Při analýze nelineárních obvodů jsou široce používány Besselovy funkce, které jsou řešením Besselovy rovnice

    Besselovy funkce jsou vyjádřeny mocninnými řadami a jsou pro ně sestaveny tabulky. Besselova funkce argumentu je označena , kde je pořadí Besselovy funkce. Obecný výraz pro ve formě mocninné řady lze zapsat takto:

    Tabulka 15.1

    Obrázek 6.3

    První skupina charakteristik v (6.1) se nazývá vstupní, druhá - výstupní charakteristika (předpokládá se, že pól 1 funguje jako vstup nelineárního prvku a pól 2 - jako výstup). Celkový pohled na vstupní charakteristiky tranzistoru je na obr. 6. 3, b, výstup - na obr. 6. 3, c. Obr. Protože třetí rodina v (6.2) charakterizuje vliv výstupního napětí na vstup, nazývá se napěťová zpětnovazební charakteristika. Čtvrtou skupinou jsou charakteristiky přenosu stejnosměrného proudu neboli průchozí charakteristiky.

    Stejně jako nelineární dvoupólové jsou třípólové prvky v režimu "malého" signálu dobře popsány diferenciálními parametry, které lze určit diferenciací statických charakteristik. Takže z první rodiny lze najít parametr

    který se nazývá diferenciální vstupní impedance. Rodina 2 vám umožňuje najít rozdílovou výstupní vodivost

    Pomocí nelineárních obvodů se řeší řada pro praxi velmi důležitých problémů. Všimněme si některých z nich.

    1. Převeďte AC na DC. Zařízení, která takovou konverzi realizují, se nazývají usměrňovače.

    2. Převeďte DC na AC. Vyrábí se pomocí zařízení, která se v radiotechnice nazývají autogenerátory a v průmyslové elektronice invertory.

    3. Násobení frekvence, tedy získání napětí na výstupu zařízení, jehož frekvence je několikanásobně větší než frekvence vstupního signálu. Tato funkce je implementována v násobičích frekvence.

    4. Frekvenční měniče - změna frekvence nosné vlny bez změny typu a charakteru modulace.

    5. Implementace různých typů modulace; zařízení umožňující modulaci se nazývají modulátory.

    6. Demodulace signálů, tj. výběr nízkofrekvenčního řídicího signálu z vysokofrekvenčního kmitání; zařízení provádějící demodulaci se nazývají demodulátory nebo detektory.

    7. Stabilizace napětí nebo proudu, to znamená získání napětí nebo proudu na výstupu zařízení, jehož velikost se při změně vstupního napětí a odporu zátěže v širokém rozsahu prakticky nemění.

    8. Konverze průběhu; například napětí od sinusového průběhu po obdélníkový průběh.

    9. Zvýšení síly signálu.

    10. Konverze a ukládání diskrétních signálů.

    Aproximace nelineárních charakteristik

    Jak bylo uvedeno v předchozí části, pro praktické použití je nejvhodnější analytická forma znázornění statických charakteristik nelineárních prvků. K získání analytického popisu charakteristik se zpravidla používá jeden ze dvou přístupů. První zahrnuje provedení analýzy fyzikálních procesů, které probíhají v uvažovaném prvku, sestavení rovnic popisujících tyto procesy a následné hledání analytického výrazu pro statickou charakteristiku řešením formulovaných rovnic. Výhodou tohoto přístupu je, že výsledné vztahy jsou charakterizovány parametry, které mají konkrétní fyzikální význam. Tento přístup má však také značné nevýhody. Za prvé, jsou vyžadovány dostatečně spolehlivé informace o fyzikálních procesech probíhajících v prvku. Za druhé, rovnice popisující vnitřní procesy v reálných prvcích jsou zpravidla značně komplikované, jejich analytické řešení je možné pouze při zavedení podstatných zjednodušujících předpokladů. Výsledkem je, že výsledný analytický výraz může ve velmi malé míře odrážet skutečnou statickou charakteristiku.


    Druhý přístup je založen na aproximaci charakteristik nelineárních prvků zjištěných experimentálně.

    Provozní režimy prvků mohou být různé. V některých režimech se proudy a napětí prvku mění pouze v malém okolí určitého klidového bodu, v jiných režimech oblast změny proudů a napětí pokrývá celou charakteristiku nebo její většinu. V souladu s tím by funkce aproximující tuto charakteristiku měla reprodukovat pracovní oblast s největší přesností. Čím menší je pracovní úsek křivky, tím jednodušší může být zvolena funkce aproximující tento úsek charakteristiky.

    Existují různé metody aproximace:

    1) lineární;

    2) nelineární;

    3) po částech lineární;

    4) po částech nelineární.

    Lineární aproximace se používá při provozu nelineárního prvku v režimu malého signálu. Aproximace nelineární funkce se v tomto případě provádí zpravidla tečnou, zakreslenou nebo vypočítanou v bodě charakteristiky, v jehož blízkosti dochází ke změnám proudů a napětí. V případě nelineární odporové dvousvorkové sítě lze takovou aproximaci interpretovat jako nahrazení při výpočtu nelineárního odporu lineárním, číselně rovným diferenciálnímu odporu. Výhodou lineární aproximace je možnost přejít od analýzy nelineárního obvodu k analýze lineárního (linearizovaného) obvodu, která je mnohem jednodušší. Nevýhodou je, že přesnost takové aproximace je nízká a i v režimu s nízkým signálem může být chyba výpočtu značná.

    V nelineární aproximaci se nejčastěji používají různé mocninné řady.

    Předpokládejme, že na nelineární dvoukoncovou síť je aplikována určitá konstantní akce, která určuje její počáteční provozní režim. Tento efekt budeme nazývat „posun“. V tomto případě je hodnota funkce v počátečním bodě. Pokud se počáteční akce změní o nějakou hodnotu , pak, představující novou hodnotu funkce ve formě Taylorovy řady, dostaneme

    kde jsou hodnoty derivací funkce f (x) v bodě .

    Od , místo (6. 3) můžeme psát

    Posledním vztahem je rozvoj funkce f(x) v Taylorově řadě v okolí bodu a je analytickým popisem charakteristiky prvku. Výsledný vzorec je mocninná řada. Čím více členů řady je zohledněno, tím přesněji bude vyjádřena skutečná charakteristika. Ponecháním členů v expanzi dostaneme polynom tého stupně. Aproximace charakteristik pomocí polynomů tedy vede k následujícím rovnicím:

    a) jestliže , pak ; (6.4)

    b) pokud , tak . (6.5)

    Koeficienty musí být zvoleny tak, aby aproximační rovnice popisovala pracovní úsek charakteristiky s přijatelnou přesností. Aby se výpočty nekomplikovaly, snaží se počet členů aproximačních rovnic (6. 4) a (6. 5) omezit na co nejmenší počet.

    Spolu s mocninnými polynomy lze pro nelineární aproximaci použít i další typy funkcí (exponenciální, trigonometrické atd.). Výhody tohoto přístupu k získání analytického popisu nelineárních charakteristik jsou za prvé v možnosti nalezení libovolně přesného vyjádření a za druhé v absenci potřeby znalostí o principu fungování uvažovaného prvku. Nevýhodou je, že koeficienty aproximačních výrazů nemají fyzikální význam, jejich číselné hodnoty nelze odhadnout a opravit z obecných, teoretických ustanovení. Nepatrná změna průběhu charakteristiky nebo zohlednění aproximované oblasti může vést k významným změnám v číselných hodnotách koeficientů, .

    V praxi radiotechnických výpočtů je široce používána metoda po částech lineární aproximace. V tomto případě je charakteristika nelineárního prvku nahrazena určitým souborem segmentů přímek, které se shodují s reálnou křivkou s uspokojivou přesností. Příklad po částech lineární aproximace CVC ve tvaru N je znázorněn na obrázku 6. 4. Je zřejmé, že aproximační vztahy pro každou sekci budou různé.

    Obrázek 6.4

    Tato metoda při zachování výhod lineární aproximace umožňuje ve srovnání s ní výrazně zlepšit přesnost popisu charakteristik a zároveň výrazně zjednodušuje samotný proces aproximace ve srovnání s nelineární aproximací.

    Nevýhodou po částech lineární aproximace je složitost algoritmu pro výpočet elektrického obvodu z důvodu nutnosti neustálého sledování hodnot proměnných. Tento postup nečiní potíže, pokud je v analyzovaném řetězci pouze jeden prvek, pro který se používá po částech lineární aproximace, ale může být nadměrně pracný s nárůstem počtu takových prvků.

    Po částech nelineární aproximace se používá v případech, kdy žádná ze tří uvažovaných aproximačních metod neposkytuje uspokojivý výsledek, ať už kvůli nízké přesnosti, nebo kvůli složitosti získaných vztahů (nadměrně velký počet členů při aproximaci mocninnými polynomy, velmi velký počet segmentů při po částech -lineární aproximace). Někdy se k částečné nelineární aproximaci přistupuje v případech, kdy se v důsledku analýzy fyzikálních procesů v prvku získá vztah, který dobře popisuje významnou část statické charakteristiky, ale je stěží přijatelný pro jakoukoli kvalitativní změnu v prvku. provozní režim nelineárního prvku (např. jev rozpadu přechodu elektron-díra v polovodičových součástkách). Poměrně často taková aproximace umožňuje popsat charakteristiku s požadovanou přesností pro relativně malý počet úseků popsaných různými poměry (zpravidla 2–3 úseky).

    Zpravidla se CVC nelineárních prvků získává experimentálně; méně často je lze zjistit z teoretického rozboru. Pro studium je nutné zvolit takovou aproximační funkci, která by jako zcela jednoduchá odrážela všechny možné rysy experimentálních charakteristik s dostatečnou přesností. Nejčastěji se používají tyto metody aproximace proudově-napěťových charakteristik dvousvorkových sítí: po částech lineární, výkonová, exponenciální aproximace.

    Po částech lineární aproximace

    Taková aproximace se obvykle používá při výpočtu procesů v nelineárních rovnicích v případě velkých amplitud vnějších vlivů. Tato metoda je založena na aproximaci charakteristik nelineárních prvků, tzn. o přibližném nahrazení skutečné charakteristiky segmenty přímek s různým sklonem. Obrázek ukazuje vstupní charakteristiku reálného tranzistoru aproximovanou dvěma úsečkami.

    Aproximaci určují dva parametry - napětí začátku charakteristiky Un a strmost S. Matematický tvar aproximovaného CVC je následující:

    Napětí začátku vstupní charakteristiky bipolárních tranzistorů je řádově 0,2-0,8 V: strmost základní proudové charakteristiky ib (Ube) je asi 10 mA / V. Strmost charakteristiky ik (Ube) kolektorového proudu v závislosti na napětí báze-emitor, pak hodnotu 10mA/V je nutné vynásobit h21e - činitel zesílení základního proudu. Od h21e \u003d 100-200 je uvedený sklon řádově několik ampér na volt.

    Výkonová aproximace

    Výkonová aproximace je široce používána při analýze činnosti nelineárních zařízení, která jsou vystavena relativně malým vnějším vlivům. Tato metoda je založena na rozšíření nelineární proudově-napěťové charakteristiky i(u) v Taylorově řadě, sbíhající se v blízkosti pracovního bodu U0.

    počet expanzních členů závisí na dané přesnosti. Zvážit příklad:

    Vstupní charakteristika tranzistoru. Pracovní bod U0=0,7V. Jako aproximační uzly volíme body 0,5; 0,7 a 0,9 V.

    Je nutné vyřešit soustavu rovnic:


    Spektrální složení proudu v nelineárním prvku při externím harmonickém působení

    Uvažujme obvod sestávající ze sériového zapojení zdroje harmonického signálu Uc(t) = coswt, zdroje konstantního předpětí U0 a nesetrvačného nelineárního prvku. Chcete-li to provést, zvažte obrázek.

    Proud v obvodu je sinusový.

    Forma proudu a napětí jsou různé.

    Důvod zkreslení proudové křivky je jednoduchý: nestejné přírůstky proudu odpovídají stejným přírůstkům napětí, protože. a rozdílový sklon CVC je v různých úsecích odlišný.

    Zvažme problém analyticky.

    Dejte nám vědět nelineární funkci i(u)=i(Uc,U0). Nelineární prvek je ovlivněn signálovým napětím Uc(t)=Umcos(wt+j).

    Bezrozměrná veličina x=wt+j, pak I(x)=I(Umcosx, U0) je periodická funkce vzhledem k argumentu x s ​​periodou 2T. Představte si to vedle Fouriera s koeficienty .

    Funkce i(x) je sudá, takže Fourierova řada bude obsahovat pouze kosinové složky: .

    Amplitudové faktory harmonie

    Poslední dva vzorce poskytují obecné řešení problému spektra proudu v nelineárním prvku při harmonickém externím působení:

    těch. proud kromě konstantní složky I0 obsahuje nekonečnou sekvenci harmonie s amplitudami In. Amplitudy harmonie závisí na parametrech Um a U0 a také na tvaru aproximační funkce.

    Uvažujme, jak to závisí na typu aproximační funkce.

    Po částech lineární

    i(U)=

    Přiložené napětí u(t)=U0+Umcoswt.

    Aktuální graf má podobu kosinusových pulzů s ořezem. Mezní úhel proudových impulsů je určen z rovnice:

    U0+Umcosq=Un Þ .

    Přibližný výkon.

    Nechť v blízkosti pracovního bodu U0 CVC nelineárního prvku

    Přečtěte si více: