Frekvenční spektrum Walshovy funkce. Walshova transformace a její aplikace na zpracování signálů. Reprezentace signálů Walshovými funkcemi

1. Spektrum sinusoidy (obr. 14.14, a) na bázi Walshových funkcí.

V tomto případě je vhodné přirovnat expanzní interval k hodnotě T.

Přejdeme do bezrozměrného času, zapíšeme oscilaci ve tvaru Omezme se na 16 funkcí a nejprve zvolíme Walshovo řazení. Protože je daná funkce vzhledem k bodu lichá, jsou všechny koeficienty pro sudé Walshovy funkce v řadě (14.27), tj. pro rovné nule.

Ty ze zbývajících osmi funkcí, které se shodují s funkcemi Rademacher a mají periodicitu v intervalu , vedou k nulovému koeficientu kvůli paritě v určených intervalech.

Pouze čtyři koeficienty ze 16 se tedy nerovnají nule: A (1), A (5), A (9) a A (13). Stanovme tyto koeficienty vzorcem (14.28). Integrandy, které jsou produkty signálů (viz obr. 14.14, a) a odpovídající funkce jsou znázorněny na obr. 14.14, b - e. Kusová integrace těchto produktů dává

Spektrum uvažovaného signálu na základě Walshových funkcí (seřazených podle Walshe) je znázorněno na Obr. 14.15 hodin

Rýže. 14.14. Hradlování segmentu sinusoidy s Walshovými funkcemi

Rýže. 14.15. Spektra sinusoidy na základě Walshových funkcí, uspořádaná podle Walshe (a), Paleyho (b) a Hadamarda (c). základní velikost

Při řazení podle Paleyho a Hadamarda má spektrum stejného signálu podobu znázorněnou na obr. 14.15, b a c. Tato spektra byla získána ze spektra na Obr. 14.15, ale přeskupením koeficientů podle tabulky (viz obr. 14.13), ukazující vztah mezi způsoby řazení Walshových funkcí (pro ).

Pro snížení zkreslení při obnově oscilace omezeným počtem Walshových funkcí je třeba dát přednost řazení, které zajistí monotónní pokles spektra. Jinými slovy, nejlepší uspořádání je, když každá další spektrální složka není větší (v modulu) než předchozí, tj. V tomto smyslu je nejlepší uspořádání při reprezentaci segmentu sinusoidy, jak vyplývá z Obr. 14.15, objednává Paley a nejhorší je rozkaz Hadamard.

Obnova původního signálu (viz obr. 14.14, a) se šestnácti Walshovými funkcemi je znázorněna na Obr. 14.16 (dvanáct spektrálních koeficientů zmizí) Tato konstrukce samozřejmě nezávisí na způsobu uspořádání funkcí. Je zřejmé, že pro uspokojivější aproximaci sinusového kmitání na Walshově bázi je zapotřebí výrazné zvýšení počtu spektrálních složek.

Mimo interval (0,1), řada (14.27), jak je uvedeno v § 14.4, popisuje periodické pokračování, v tomto příkladu harmonickou funkci.

2. Spektrum harmonického kmitání (obr. 14.17) na bázi Walshových funkcí. Stejně jako v předchozím příkladu je uvažován jeden cyklus harmonického kmitání s periodou. Při přechodu do bezrozměrného času zapíšeme kmitání ve tvaru

Walshovo spektrum funkce je definováno v příkladu 1. Definice spektra funkce na intervalu ) je zcela podobná.