Uveďte interpolaci. Stanovení mezihodnoty lineární interpolací

Existuje situace, kdy potřebujete najít mezivýsledky v poli známých hodnot. V matematice se tomu říká interpolace. V Excelu lze tuto metodu použít jak pro tabulková data, tak pro vykreslování grafů. Pojďme se podívat na každou z těchto metod.

Hlavní podmínkou, za které lze interpolaci použít, je, že požadovaná hodnota musí být uvnitř datového pole a nesmí překročit jeho limit. Pokud máme například sadu argumentů 15, 21 a 29, pak při hledání funkce pro argument 25 můžeme použít interpolaci. A najít odpovídající hodnotu pro argument 30 - už ne. To je hlavní rozdíl mezi tímto postupem a extrapolací.

Metoda 1: Interpolace pro tabulková data

Nejprve zvažte použití interpolace pro data, která se nacházejí v tabulce. Vezměme si například pole argumentů a jim odpovídajících funkčních hodnot, jejichž poměr lze popsat lineární rovnicí. Tyto údaje jsou uvedeny v tabulce níže. Musíme najít odpovídající funkci pro argument 28 . Nejjednodušší způsob, jak to udělat, je s operátorem PŘEDPOVĚĎ.

Metoda 2: interpolace grafu pomocí jeho nastavení

Postup interpolace lze použít i při vykreslování funkce. Je relevantní, pokud tabulka, na které je graf založen, neurčuje odpovídající funkční hodnotu pro jeden z argumentů, jako na obrázku níže.

Jak vidíte, graf byl opraven a mezera byla odstraněna pomocí interpolace.

Metoda 3: Interpolace grafu s funkcí

Graf můžete také interpolovat pomocí speciální funkce ND. V zadané buňce vrátí hodnoty null.

Bez běhání si to můžete ještě usnadnit Průvodce funkcí, ale pomocí klávesnice zadejte hodnotu do prázdné buňky "#N/A" bez uvozovek. Ale to už záleží na tom, jak je to pro kterého uživatele výhodnější.

Jak vidíte, v programu Excel můžete pomocí funkce interpolovat jako tabulková data PŘEDPOVĚĎ, stejně jako grafika. V druhém případě to lze provést pomocí nastavení grafu nebo pomocí funkce ND, což způsobuje chybu "#N/A". Volba, kterou metodu použít, závisí na prohlášení o problému a také na osobních preferencích uživatele.

Tento termín má jiné významy, viz Interpolace. O funkci viz: Interpolant.

Interpolace, interpolace (z lat. interpolis - « vyhlazený, obnovený, obnovený; převedeny"") - ve výpočetní matematice metoda hledání mezilehlých hodnot veličiny z existující diskrétní sady známých hodnot. Termín „interpolace“ poprvé použil John Vallis ve svém pojednání Aritmetika nekonečna (1656).

Ve funkcionální analýze je interpolace lineárních operátorů částí, která považuje Banachovy prostory za prvky určité kategorie.

Mnoho z těch, kteří se zabývají vědeckými a inženýrskými výpočty, musí často pracovat se sadami hodnot získaných empiricky nebo náhodným výběrem. Zpravidla je na základě těchto množin potřeba sestrojit funkci, na kterou by mohly padat další získané hodnoty s vysokou přesností. Takový úkol se nazývá aproximace. Interpolace je typ aproximace, při které křivka konstruované funkce prochází přesně dostupnými datovými body.

Existuje také problém blízký interpolaci, který spočívá v aproximaci nějaké komplexní funkce jinou, jednodušší funkcí. Pokud je určitá funkce pro produktivní výpočty příliš složitá, můžete zkusit vypočítat její hodnotu v několika bodech a sestavit z nich, tedy interpolovat, jednodušší funkci. Použití zjednodušené funkce vám samozřejmě neumožňuje získat stejné přesné výsledky, jaké by poskytla původní funkce. Ale v některých třídách problémů může zisk v jednoduchosti a rychlosti výpočtů převážit výslednou chybu ve výsledcích.

Měli bychom také zmínit zcela jiný druh matematické interpolace, známý jako „operátorská interpolace“. Mezi klasické práce o operátorové interpolaci patří Riesz-Thorinův teorém a Marcinkiewiczův teorém, které jsou základem mnoha dalších prací.

Definice

Uvažujme systém neshodných bodů x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\tečky ,N))) z nějaké domény D ( \displaystyle D) . Nechť jsou hodnoty funkce f (\displaystyle f) známé pouze v těchto bodech:

Yi = f (xi), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Problém interpolace je najít funkci F (\displaystyle F) z dané třídy funkcí takovou, že

F(xi) = yi, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

Volají se body x i (\displaystyle x_(i)). interpolační uzly a jejich totalita je interpolační mřížka.
Dvojice (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) se nazývají datové body nebo základní body.
Rozdíl mezi "sousedními" hodnotami Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - krok interpolační mřížky. Může být jak variabilní, tak konstantní.
Funkce F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolační funkce nebo interpolant.

Příklad

1. Řekněme, že máme tabulkovou funkci, jako je ta níže, která pro více hodnot x (\displaystyle x) určuje odpovídající hodnoty f (\displaystyle f) :

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolace nám pomáhá zjistit, jakou hodnotu může mít taková funkce v jiném bodě, než jsou zadané body (např X = 2,5).

K dnešnímu dni existuje mnoho různých metod interpolace. Výběr nejvhodnějšího algoritmu závisí na odpovědích na otázky: jak přesná je zvolená metoda, jaké jsou náklady na její použití, jak hladká je interpolační funkce, kolik datových bodů vyžaduje atd.

2. Najděte mezihodnotu (lineární interpolací).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000)) (0.0.2)-*0 (1900000-6) 15.5))(1))=16.1993)

V programovacích jazycích

Příklad lineární interpolace pro funkci y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Uživatel může zadat číslo mezi 1 a 10.

Fortran

program interpol celé číslo i reálné x, y, xv, yv, yv2 rozměr x(10) rozměr y(10) volání prisv(x, i) volání func(x, y, i) write(*,*) "zadejte číslo: " read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) then yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end podprogram

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, stav; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter číslo: "); cin >> ob; system("echo Například 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; stav = x2 + (pi * skolko); cout

Interpolační metody

Interpolace nejbližšího souseda

Nejjednodušší interpolační metodou je interpolace nejbližšího souseda.

Interpolace polynomy

V praxi se nejčastěji používá interpolace polynomy. Je to dáno především tím, že polynomy se snadno počítají, lze snadno analyticky najít jejich derivace a množina polynomů je hustá v prostoru spojitých funkcí (Weierstrassova věta).

Lineární interpolace
Newtonův interpolační vzorec
Metoda konečných rozdílů
IMN-1 a IMN-2
Lagrangeův polynom (interpolační polynom)
Aitkenovo schéma
funkce spline
kubický spline

Reverzní interpolace (výpočet x dané y)

Lagrangeův polynom
Inverzní interpolace podle Newtonova vzorce
Inverzní Gaussova interpolace

Interpolace funkcí s více proměnnými

Bilineární interpolace
Bikubická interpolace

Jiné interpolační metody

Racionální interpolace
Trigonometrická interpolace

Související pojmy

Extrapolace - metody pro nalezení bodů mimo daný interval (prodloužení křivky)
Aproximace - metody pro konstrukci přibližných křivek

Reverzní interpolace

na třídě funkcí z prostoru C2, jejichž grafy procházejí body pole (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Řešení. Ze všech funkcí, které procházejí referenčními body (xi, f(xi)) a patří do zmíněného prostoru, je to právě kubický splajn S(x), který splňuje okrajové podmínky S00(a) = S00(b) = 0 který poskytuje extrémní (minimální) funkcional I(f).

Často v praxi nastává problém hledání dané hodnoty funkce hodnoty argumentu. Tento problém je řešen metodami reverzní interpolace. Pokud je daná funkce monotónní, pak nejjednodušší způsob, jak provést zpětnou interpolaci, je nahradit funkci argumentem a naopak a následně interpolovat. Pokud daná funkce není monotónní, nelze tuto techniku použít. Potom, aniž bychom měnili role funkce a argumentu, zapíšeme ten či onen interpolační vzorec; pomocí známých hodnot argumentu a za předpokladu, že je funkce známá, vyřešíme výslednou rovnici s ohledem na argument.

Odhad zbývajícího členu při použití první metody bude stejný jako u přímé interpolace, pouze derivace přímé funkce musí být nahrazeny derivacemi funkce inverzní. Odhadneme chybu druhé metody. Pokud dostaneme funkci f(x) a Ln (x) je Lagrangeův interpolační polynom vytvořený pro tuto funkci nad uzly x0, x1, x2, . . . , xn, tedy

f (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x − x0). . . (x − xn) .

Předpokládejme, že potřebujeme najít hodnotu x¯ takovou, že f (¯x) = y¯ (je dáno y¯). Budeme řešit rovnici Ln (x) = y¯ . Pojďme získat nějakou hodnotu x¯. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme:

Mn+1


f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Aplikováním Langrangeova vzorce dostaneme
(x¯ − x¯) f0 (η) =


kde η je mezi x¯ a x¯. If je interval, který obsahuje x¯ a x¯ a min

z posledního výrazu vyplývá:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

V tomto případě se samozřejmě předpokládá, že jsme rovnici Ln (x) = y¯ vyřešili přesně.

Použití interpolace pro tabelaci

Teorie interpolace má aplikace při sestavování tabulek funkcí. Po obdržení takového problému musí matematik před zahájením výpočtů vyřešit řadu otázek. Musí být zvolen vzorec, podle kterého se budou výpočty provádět. Tento vzorec se může lišit místo od místa. Obvykle jsou vzorce pro výpočet funkčních hodnot těžkopádné, a proto se používají k získání některých referenčních hodnot a pak pomocí subtabulací zahušťují tabulku. Vzorec, který udává referenční hodnoty funkce, musí poskytovat požadovanou přesnost tabulek s přihlédnutím k následující podtabulce. Pokud chcete kompilovat tabulky s konstantním krokem, musíte nejprve určit jeho krok.

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

Nejčastěji se tabulky funkcí sestavují tak, že je možná lineární interpolace (tedy interpolace pomocí prvních dvou členů Taylorova vzorce). V tomto případě bude zbývající termín vypadat takto

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Zde ξ patří do intervalu mezi dvěma sousedními tabulkovými hodnotami argumentu, ve kterém se nachází x, a t je mezi 0 a 1. Součin t(t − 1) má největší modulo

hodnota v t = 12. Tato hodnota se rovná 14. Tak,

Je třeba pamatovat na to, že vedle této chyby - chyby metody bude při praktickém výpočtu mezihodnot stále existovat neodstranitelná chyba a chyba zaokrouhlení. Jak jsme viděli dříve, fatální chyba v lineární interpolaci se bude rovnat chybě tabulkových hodnot funkce. Chyba zaokrouhlení bude záviset na výpočetních prostředcích a na výpočetním programu.

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

Předmětový rejstřík

dělené rozdíly druhého řádu, 8 prvního řádu, 8

spline, 15

interpolační uzly, 4

Zpět První Předchozí Další Poslední Přeskočit index

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Jak provést interpolaci

Vzorec pro interpolaci tabulkových dat

Používá se ve 2. kroku, kdy množství NXR (Q, t) z podmínky je prostřední mezi 100 t a 300 t.

(Výjimka: pokud se Q rovná 100 nebo 300 podle podmínky, pak interpolace není nutná).

y Ó- Vaše počáteční množství NHR z podmínky v tunách

(odpovídá písmenu Q)

y 1 – menší

(z tabulek 11–16, obvykle 100).

y 2 – více nejblíže vaší hodnotě množství NCR v tunách

(z tabulek 11–16, obvykle 300).

X 1 y 1 (X 1 umístěný naproti y 1 ), km.

X 2 - tabulková hodnota hloubky šíření oblaku kontaminovaného vzduchu (G t), resp y 2 (X 2 umístěný naproti y 2 ), km.

X 0 - požadovaná hodnota G T odpovídající y Ó(podle vzorce).

Příklad.

NCR - chlor; Q = 120 t;

Typ SVSP (stupeň vertikálního odporu vzduchu) - inverze.

Nalézt G T- tabulková hodnota hloubky šíření oblaku kontaminovaného vzduchu.

Prohlédneme si tabulky 11-16 a najdeme údaje, které odpovídají vašemu stavu (chlór, inverze).

Vhodný stůl 11.

Výběr hodnot y 1 , y 2, X 1 , X 2 . Důležité - měříme rychlost větru 1 m/s., měříme teplotu - 20°C.

Nahraďte vybrané hodnoty ve vzorci a najděte X 0 .

Důležité - výpočet je správný, pokud X 0 bude mít hodnotu někde mezi X 1 , X 2 .

1.4. Lagrangeův interpolační vzorec

Algoritmus navržený Lagrangeem pro konstrukci interpolace

funkce podle tabulek (1) zajišťuje konstrukci interpolačního polynomu Ln(x) ve tvaru

Je zřejmé, že splnění podmínek (11) pro (10) určuje splnění podmínek (2) zadání interpolačního problému.

Polynomy li(x) jsou zapsány následovně

Všimněte si, že ani jeden faktor ve jmenovateli vzorce (14) není roven nule. Po výpočtu hodnot konstant ci je můžete použít k výpočtu hodnot interpolované funkce v daných bodech.

Lagrangeův interpolační polynomický vzorec (11), který bere v úvahu vzorce (13) a (14), lze zapsat jako

qi (x − x0) (x − x1) K (x − xi −1) (x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organizace ručních výpočtů podle Lagrangeova vzorce

Přímá aplikace Lagrangeova vzorce vede k velkému počtu výpočtů stejného typu. U tabulek malých rozměrů lze tyto výpočty provádět jak ručně, tak v softwarovém prostředí.

V první fázi uvažujeme algoritmus výpočtů prováděných ručně. V budoucnu by se stejné výpočty měly opakovat v prostředí

Microsoft Excel nebo OpenOffice.org Calc.

Na Obr. 6 ukazuje příklad zdrojové tabulky interpolované funkce definované čtyřmi uzly.

Obr.6. Tabulka obsahující počáteční data pro čtyři uzly interpolované funkce

Do třetího sloupce tabulky zapíšeme hodnoty koeficientů qi vypočítané podle vzorců (14). Níže je záznam těchto vzorců pro n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Dalším krokem při implementaci ručních výpočtů je výpočet hodnot li(x) (j=0,1,2,3), provedený pomocí vzorců (13).

Napišme tyto vzorce pro verzi tabulky, kterou uvažujeme, se čtyřmi uzly:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Vypočítejme hodnoty polynomů li(xj) (j=0,1,2,3) a zapišme je do buněk tabulky. Hodnoty funkce Ycalc(x) podle vzorce (11) budou získány jako výsledek sečtení hodnot li(xj) v řádcích.

Formát tabulky, která obsahuje sloupce vypočtených hodnot li(xj) a sloupec hodnot Ycalc(x), je znázorněn na obr.8.

Rýže. 8. Tabulka s výsledky ručních výpočtů provedených podle vzorců (16), (17) a (11) pro všechny hodnoty argumentu xi

Po dokončení tvorby tabulky znázorněné na obr. 8, pomocí vzorců (17) a (11) je možné vypočítat hodnotu interpolované funkce pro libovolnou hodnotu argumentu X. Například pro X=1 vypočítáme hodnoty li(1) (i= 0,1,2,3):

10(1) = 0,7763; 11(1)= 3,5889; 12(1) = -1,5155; 13(1) = 0,2966.

Sečtením hodnot li(1) dostaneme hodnotu Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Implementace interpolačního algoritmu pomocí Lagrangeových vzorců v prostředí programu Microsoft Excel

Implementace interpolačního algoritmu začíná, stejně jako u ručních výpočtů, psaním vzorců pro výpočet koeficientů qi. 9 ukazuje sloupce tabulky s danými hodnotami argumentu, interpolované funkce a koeficientů qi. Napravo od této tabulky jsou vzorce, které jsou zapsány v buňkách sloupce C pro výpočet hodnot koeficientů qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Rýže. 9 Tabulka koeficientů qi a výpočetní vzorce

Po zadání vzorce q0 do buňky C2 se protáhne buňkami z C3 do C5. Poté jsou vzorce v těchto buňkách opraveny podle (16) do tvaru znázorněného na Obr. 9.

Ycalc(xi),

Implementací vzorců (17) zapíšeme vzorce pro výpočet hodnot li(x) (i=0,1,2,3) do buněk sloupců D, E, F a G. Do buňky D2 pro výpočet hodnoty l0(x0), zapíšeme vzorec:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

získáme hodnoty l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Formát odkazu $A2 umožňuje roztáhnout vzorec podél sloupců E, F, G a vytvořit tak výpočetní vzorce pro výpočet li(x0) (i=1,2,3). Přetažením vzorce přes řádek se nezmění index sloupce argumentů. Pro výpočet li(x0) (i=1,2,3) po nakreslení vzorce l0(x0) je nutné je opravit podle vzorců (17).

Do sloupce H dáme excelovské vzorce pro sčítání li(x) podle vzorce

(11) algoritmus.

Na Obr. 10 ukazuje tabulku implementovanou v prostředí programu Microsoft Excel. Znakem správnosti vzorců zapsaných v buňkách tabulky a provedených výpočetních operací je výsledná diagonální matice li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), opakováním výsledků znázorněných na obr. 8 a sloupec hodnot odpovídající hodnotám interpolované funkce v uzlech původní tabulky.

Rýže. 10. Tabulka hodnot li(xj) (j=0,1,2,3) a Ycalc(xj)

Pro výpočet hodnot v některých mezilehlých bodech to stačí

Do buněk sloupce A, počínaje buňkou A6, zadejte hodnoty argumentu X, pro které chcete určit hodnoty interpolované funkce. Zvýraznit

v posledním (5.) řádku tabulky buněk od l0(xn) do Ycalc(xn) a roztáhněte vzorce zapsané ve vybraných buňkách na řádek obsahující poslední

daná hodnota argumentu x.

Na Obr. 11 ukazuje tabulku, ve které je výpočet hodnoty funkce ve třech bodech: x=1, x=2 a x=3. Do tabulky byl přidán další sloupec s čísly řádků zdrojové datové tabulky.

Rýže. 11. Výpočet hodnot interpolovaných funkcí pomocí Lagrangeových vzorců

Pro větší přehlednost zobrazení výsledků interpolace zkonstruujeme tabulku, která obsahuje sloupec hodnot argumentu X uspořádaný vzestupně, sloupec počátečních hodnot funkce Y(X) a sloupec

Řekněte mi, jak používat interpolační vzorec a který z nich při řešení problémů v termodynamice (tepelné inženýrství)

Ivan Šestakovič

Nejjednodušší, ale často ne dostatečně přesná interpolace je lineární. Když už máte dva známé body (X1 Y1) a (X2 Y2) a potřebujete najít hodnoty Y dne nějakého X, který je mezi X1 a X2. Pak je vzorec jednoduchý.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Mimochodem, tento vzorec funguje také pro hodnoty X mimo interval X1..X2, ale to se již nazývá extropolace a ve značné vzdálenosti od tohoto intervalu dává velmi velkou chybu.
Existuje mnoho dalších rohoží. interpolační metody - doporučuji přečíst si učebnici nebo se prohrabat na internetu.
Není vyloučena ani metoda grafické interpolace - ručně nakreslete graf přes známé body a pro požadované X najděte z grafu Y. ;)

Román

Máte dva významy. A přibližně závislost (lineární, kvadratická, ..)
Graf této funkce prochází vašimi dvěma body. Potřebujete hodnotu někde mezi. No vyjádři se!
Například. V tabulce je při teplotě 22 stupňů tlak nasycených par 120 000 Pa a při 26 124 000 Pa. Poté při teplotě 23 stupňů 121000 Pa.

Interpolace (souřadnice)

Na mapě (obrázku) je souřadnicová mřížka.
Má několik dobře známých kontrolních bodů (n>3), které mají dvě hodnoty x,y - souřadnice v pixelech a souřadnice v metrech.
Je nutné najít mezilehlé hodnoty souřadnic v metrech, znát souřadnice v pixelech.
Lineární interpolace není vhodná - příliš mnoho chyb mimo čáru.
Takto: (Xc - souřadnice v metrech x x, Xp - souřadnice x x x, Xc3 - požadovaná hodnota x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Jak najít stejný vzorec pro nalezení Xc a Yc, pokud nejsou dány dva (jako zde), ale N známé referenční body?

Joka kapradina lowd

Soudě podle zapsaných vzorců, shodují se osy souřadnicových systémů v pixelech a metrech?
To znamená, že Xp -> Xc je interpolováno nezávisle a Yp -> Yc je interpolováno nezávisle. Pokud ne, pak je potřeba použít dvourozměrnou interpolaci Xp,Yp->Xc a Xp,Yp->Yc, která úkol poněkud zkomplikuje.
Dále se předpokládá, že souřadnice Xp a Xc spolu souvisí nějakou závislostí.
Pokud je znám charakter závislosti (nebo se předpokládá, že např. předpokládáme, že Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), pak je možné získat parametry této závislosti (pro danou závislost a, b, c) pomocí regresní analýzy (Metoda nejmenších čtverců). V této metodě, pokud zadáte určitou závislost Xc(Xp), můžete získat vzorec pro parametry závislosti na referenčních datech. Tato metoda umožňuje zejména najít lineární vztah, který nejlépe vyhovuje danému souboru dat.
Nevýhoda: Při této metodě se souřadnice Xc získané z dat řídicích bodů Xp mohou lišit od uvedených. Jako například aproximační přímka vedená skrz experimentální body neprochází přesně těmito body samotnými.
Pokud je vyžadována přesná shoda a povaha závislosti není známa, měly by být použity interpolační metody. Matematicky nejjednodušší je Lagrangeův interpolační polynom, procházející přesně referenčními body. Vzhledem k vysokému stupni tohoto polynomu s velkým počtem řídicích bodů a špatnou kvalitou interpolace je však lepší jej nepoužívat. Výhodou je poměrně jednoduchý vzorec.
Je lepší použít spline interpolaci. Podstatou této metody je, že v každém řezu mezi dvěma sousedními body je studovaná závislost interpolována polynomem a podmínky hladkosti jsou zapsány ve spojovacích bodech dvou intervalů. Výhodou této metody je kvalita interpolace. Nevýhody - odvodit obecný vzorec je téměř nemožné, koeficienty polynomu v každé sekci musíte najít algoritmicky. Další nevýhodou je obtížná generalizace na 2D interpolaci.

Jsou případy, kdy je požadováno znát výsledky hodnocení funkce mimo známou oblast. Tato otázka je zvláště důležitá pro postup prognózování. Excel má několik způsobů, jak to udělat. Pojďme se na ně podívat na konkrétních příkladech.

Metoda 2: extrapolace pro graf

Postup extrapolace pro graf můžete provést nakreslením trendové čáry.

Nejprve sestavíme samotný graf. Chcete-li to provést, vyberte kurzorem a podržte levé tlačítko myši celou oblast tabulky, včetně argumentů a odpovídajících hodnot funkce. Poté přejděte na kartu "Vložit", klikněte na tlačítko "Plán". Tato ikona se nachází v bloku "diagramy" na panelu nástrojů. Zobrazí se seznam dostupných možností grafu. Dle svého uvážení z nich vybíráme nejvhodnější.

Po sestavení grafu z něj odstraňte další řádek argumentu tak, že jej vyberete a kliknete na tlačítko Vymazat na klávesnici počítače.

Dále musíme změnit dělení horizontální stupnice, protože nezobrazuje hodnoty argumentů, jak potřebujeme. Chcete-li to provést, klikněte pravým tlačítkem myši na diagram a v zobrazeném seznamu se zastavte na hodnotě "Vybrat data".

V otevřeném okně výběru zdroje dat klikněte na tlačítko "Změna" v bloku pro úpravu popisku vodorovné osy.

Otevře se okno nastavení štítku osy. Umístíme kurzor do pole tohoto okna a poté vybereme všechna data ve sloupci "X" bez jeho jména. Poté klikněte na tlačítko OK.

Po návratu do okna výběru zdroje dat zopakujte stejný postup, tedy klikněte na tlačítko OK.

Nyní je náš graf připraven a můžete přímo začít budovat trendovou linii. Klikneme na graf, po kterém se na pásu karet aktivuje další sada karet - "Práce s grafy". Přesun na kartu "Rozvržení" a klikněte na tlačítko "Trendová linie" v bloku "Analýza". Klikněte na položku "Lineární aproximace" nebo "Exponenciální aproximace".

Trendová čára je přidána, ale je zcela pod čarou samotného grafu, protože jsme nespecifikovali hodnotu argumentu, ke kterému by se měla snažit. Chcete-li to provést, znovu klikněte na tlačítko "Trendová linie", ale nyní vyberte položku "Pokročilé možnosti trendové linie".

Spustí se okno Formát čáry trendu. V kapitole "Možnosti trendové linie" je tam blok nastavení "Předpověď". Stejně jako v předchozí metodě, vezměme argument pro extrapolaci 55 . Jak vidíte, graf má zatím délku do argumentu 50 včetně. Ukazuje se, že jej budeme muset prodloužit o další 5 Jednotky. Na vodorovné ose můžete vidět, že 5 jednotek se rovná jednomu dílku. Takže toto je jedno období. V terénu "Vpřed" zadejte hodnotu "1". Klikněte na tlačítko "Zavřít" v pravém dolním rohu okna.

Jak vidíte, graf byl prodloužen o zadanou délku pomocí trendové čáry.

Zvažovali jsme tedy nejjednodušší příklady extrapolace pro tabulky a grafy. V prvním případě se použije funkce PŘEDPOVĚĎ a ve druhém - trendová čára. Ale na základě těchto příkladů lze řešit i mnohem složitější prognostické problémy.

Nejjednodušší a nejčastěji používanou formou lokální interpolace je lineární interpolace. Spočívá v tom, že dané body ( X i , y i) na ( i = 0,1, ..., n) jsou spojeny úsečkami a funkcí F(X) se najíždí křivkou s vrcholy v daných bodech.

Rovnice každého segmentu přerušované čáry jsou obecně odlišné. Protože existuje n intervalů ( X i - 1, X i), pak se pro každý z nich použije rovnice přímky procházející dvěma body jako rovnice interpolačního polynomu. Zejména pro i-tý interval lze napsat rovnici přímky procházející body ( X i -1, y i -1 ) A ( X i , y i), tak jako

y=ai x+bi, x i-1 xx i

a i =

Při použití lineární interpolace je tedy nutné nejprve určit interval, do kterého hodnota argumentu x spadá, a poté jej dosadit do vzorce (*) a najít přibližnou hodnotu funkce v tomto bodě.

Obrázek 3-3 Graf závislosti lineární interpolace.

Řešení profesionálního problému

Udržování experimentálních dat

ORIGIN:=0 Začátek datového pole - počítání od nuly

i:=1..6 Počet prvků v poli

Experimentální data uspořádaná do dvou vektorů

Proveďme interpolaci pomocí vestavěných funkcí MathCad

Lineární interpolace

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Interpolace kubické páteře

CS:= cspline(x,y)

Stavíme krychlový spline podle experimentálních dat

Lf(x i):=linterp(x,y,xi)

Interpolace pomocí B-Spline

Nastavte pořadí interpolace. Vektor u musí mít (n-1) méně prvků než vektor X, kde první prvek musí být menší nebo roven prvnímu prvku X a poslední je větší nebo rovno poslednímu prvku x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Stavíme B-spline podle experimentálních dat

BSf(x i):=(BS, x,y,xi)

Sestavíme graf všech aproximačních funkcí na jedné souřadnicové rovině.

Obrázek 4.1-Graf všech aproximačních funkcí na jedné souřadnicové rovině.

Závěr

Ve výpočetní matematice hraje zásadní roli interpolace funkcí, tzn. konstrukce dané funkce jiné (obvykle jednodušší), jejíž hodnoty se v určitém počtu bodů shodují s hodnotami dané funkce. Kromě toho má interpolace praktický i teoretický význam. V praxi často nastává problém s obnovením spojité funkce z jejích tabulkových hodnot, například těch, které byly získány v průběhu nějakého experimentu. Pro výpočet mnoha funkcí se ukazuje jako efektivní je aproximovat pomocí polynomů nebo zlomkových racionálních funkcí. Teorie interpolace se využívá při konstrukci a studiu kvadraturních vzorců pro numerickou integraci, k získání metod řešení diferenciálních a integrálních rovnic. Hlavní nevýhodou polynomiální interpolace je, že je nestabilní na jedné z nejpohodlnějších a běžně používaných mřížek – mřížce s ekvidistantními uzly. Pokud to problém dovolí, lze tento problém vyřešit výběrem mřížky s Čebyševovými uzly. Pokud si však nemůžeme libovolně zvolit interpolační uzly, nebo potřebujeme algoritmus, který není příliš náročný na výběr uzlů, pak může být racionální interpolace vhodnou alternativou k polynomiální interpolaci.

Mezi výhody spline interpolace patří vysoká rychlost zpracování výpočtového algoritmu, protože spline je po částech polynomiální funkce a během interpolace se současně zpracovávají data pro malý počet měřicích bodů patřících do právě uvažovaného fragmentu. Interpolovaná plocha popisuje prostorovou variabilitu různých měřítek a zároveň je hladká. Posledně uvedená okolnost umožňuje přímou analýzu geometrie a topologie povrchu pomocí analytických postupů

Interpolace je typ aproximace, při které křivka konstruované funkce prochází přesně dostupnými datovými body.

Definice

Uvažujme systém neshodných bodů () z nějaké oblasti. Nechť jsou hodnoty funkce známé pouze v těchto bodech:

Problémem interpolace je najít z dané třídy funkcí takovou funkci, která

Příklad

1. Předpokládejme, že máme tabulkovou funkci, jako je ta popsaná níže, která pro několik hodnot určuje odpovídající hodnoty:


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolace nám pomáhá zjistit, jakou hodnotu může mít taková funkce v jiném než specifikovaném bodě (například kdy X = 2,5).

2. Najděte mezihodnotu (lineární interpolací).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2