Doplnění základu systému vektorů. Existence báze vektorového prostoru

Golovizin V.V. Přednášky z algebry a geometrie. 5

Přednášky z algebry a geometrie. Semestr 2.

Přednáška 23. Základy vektorového prostoru.

Shrnutí: kritérium lineární závislosti soustavy nenulových vektorů, podsystémy soustavy vektorů, generující soustava vektorů, minimální generující soustava a maximální lineárně nezávislá soustava, báze vektorového prostoru a jeho 4 ekvivalentní definice, dimenze a vektorový prostor, konečnorozměrný vektorový prostor a existence jeho báze, doplněk báze.

položka 1. Kritérium pro lineární závislost soustavy nenulových vektorů.

Teorém. Systém nenulových vektorů je lineárně závislý právě tehdy, když existuje vektor systému, který je lineárně vyjádřen v termínech předchozích vektorů tohoto systému.

Důkaz. Nechť se systém skládá z nenulových vektorů a je lineárně závislý. Uvažujme systém jednoho vektoru:
. Protože
, pak systém
je lineárně nezávislý. Připojte k němu vektor . Pokud výsledný systém
lineárně nezávislý, pak k němu přidáme následující vektor: . Atd. pokračujeme, dokud nezískáme lineárně závislý systém
, Kde . Určitě takový počet bude, protože. zdrojový systém
je lineárně závislá na předpokladu.

Konstrukcí jsme tedy získali lineárně závislý systém
, navíc systém
je lineárně nezávislý.

Systém
představuje nulový vektor netriviálním způsobem, tj. existuje taková nenulová množina skalárů
, Co

kde je skalár
.

Opravdu, jinak, pokud
, pak bychom měli netriviální reprezentaci nulového vektoru lineárně nezávislým systémem
, což je nemožné.

Dělení poslední rovnosti nenulovým skalárem
, můžeme z něj vyjádřit vektor :

,

Protože opak je zřejmý, věta je dokázána.

položka 2. Podsystémy soustavy vektorů vektorového prostoru.

Definice. Libovolná neprázdná podmnožina vektorového systému
se nazývá podsystém daného systému vektorů.

Příklad. Nechat
je systém 10 vektorů. Pak systémy vektorů:
;
,
jsou subsystémy tohoto systému vektorů.

Teorém. Pokud systém vektorů obsahuje lineárně závislý subsystém, pak je lineárně závislý i samotný systém vektorů.

Důkaz. Nechť je dána soustava vektorů
a pro jistotu nechť subsystém
, Kde
je lineárně závislá. Pak představuje nulový vektor netriviálním způsobem:

kde mezi koeficienty
existuje alespoň jeden, který se nerovná nule. Ale pak je následující rovnost netriviální reprezentace nulového vektoru:

odkud podle definice vyplývá lineární závislost systému
, atd.

Věta byla prokázána.

Následek. Libovolný subsystém lineárně nezávislého systému vektorů je lineárně nezávislý.

Důkaz. Předpokládejme opak. Nechť je některý podsystém daného systému lineárně závislý. Pak lineární závislost tohoto systému vyplývá z věty, která je v rozporu s podmínkou.

Důsledek je prokázán.

položka 3. Sloupcové systémy aritmetického vektorového sloupcového prostoru.

Z výsledků předchozí části jako speciální případ vyplývá následující věta.

1) Sloupcová soustava je lineárně závislá právě tehdy, pokud v soustavě existuje alespoň jeden sloupec, který je lineárně vyjádřen pomocí ostatních sloupců tohoto systému.

2) Sloupcová soustava je lineárně nezávislá právě tehdy, když žádný sloupec soustavy není lineárně vyjádřen jinými sloupci dané soustavy.

3) Systém sloupců obsahující nulový sloupec je lineárně závislý.

4) Systém sloupců obsahující dva stejné sloupce je lineárně závislý.

5) Systém sloupců obsahující dva proporcionální sloupce je lineárně závislý.

6) Sloupový systém obsahující lineárně závislý subsystém je lineárně závislý.

7) Libovolný podsystém lineárně nezávislé soustavy sloupů je lineárně nezávislý.

Jediné, co je zde možná potřeba objasnit, je pojem proporcionální sloupce.

Definice. Dva nenulové sloupce
nazývá se proporcionální, pokud existuje skalár
, takové, že
nebo

,
, …,
.

Příklad. Systém
je lineárně závislý, protože jeho první dva sloupce jsou proporcionální.

Komentář. Již víme (viz přednáška 21), že determinant je roven nule, pokud je soustava jeho sloupců (řádků) lineárně závislá. Později se ukáže, že platí i obrácené tvrzení: je-li determinant roven nule, pak je soustava jeho sloupců a soustava jeho řádků lineárně závislá.

položka 4. Základ vektorového prostoru.

Definice. Vektorový systém
vektorový prostor nad polem K se nazývá generující (generující) systém vektorů tohoto vektorového prostoru, pokud reprezentuje některý z jeho vektorů, tzn. pokud existuje taková množina skalárů
, Co .

Definice. Systém vektorů ve vektorovém prostoru se nazývá minimální generující systém, jestliže, když je jakýkoli vektor z tohoto systému odstraněn, přestává být generujícím systémem.

Komentář. Z definice ihned vyplývá, že pokud generující systém vektorů není minimální, pak existuje alespoň jeden vektor systému, po jehož odstranění ze systému bude stále generovat zbývající systém vektorů.

Lemma (na lineárně závislém generujícím systému.)

Pokud je v lineárně závislém a generujícím systému vektorů jeden z vektorů lineárně vyjádřen ve vztahu k ostatním, lze jej ze systému odstranit a zbývající systém vektorů bude generovat.

Důkaz. Nechte systém
lineárně závislý a generující a nechť je jeden z jeho vektorů lineárně vyjádřen v podmínkách jiných vektorů tohoto systému.

Pro jednoznačnost a pro jednoduchost zápisu to předpokládáme

Protože
je tedy generující systém
existuje taková množina skalárů
, Co

.

Proto dostáváme

těch. libovolný vektor x je lineárně vyjádřen v podmínkách vektorů systému
, což znamená, že se jedná o generující systém atp.

Důsledek 1. Lineárně závislý a generující systém vektorů není minimální.

Důkaz. Bezprostředně vyplývá z lemmatu a definice minimálního generujícího systému vektorů.

Důsledek 2. Minimální generující systém vektorů je lineárně nezávislý.

Důkaz. Za předpokladu opaku dojdeme k rozporu s důsledkem 1.

Definice. Systém vektorů ve vektorovém prostoru se nazývá maximální lineárně nezávislý systém, pokud se po přidání libovolného vektoru do tohoto systému stane lineárně závislým.

Komentář. Z definice hned vyplývá, že pokud je systém lineárně nezávislý, ale ne maximální, pak existuje vektor, po přidání do systému se získá lineárně nezávislý systém.

Definice. Základem vektorového prostoru V nad polem K je uspořádaný systém jeho vektorů, který jedinečným způsobem reprezentuje libovolný vektor vektorového prostoru.

Jinými slovy, systém vektorů
vektorový prostor V nad polem K nazýváme jeho bází, jestliže
existuje pouze jedna sada skalárů
, takové, že .

Teorém. (Na čtyřech ekvivalentních definicích základu.)

Nechat
je uspořádaný systém vektorů ve vektorovém prostoru. Potom jsou následující tvrzení ekvivalentní:

1. Systém
je základ.

2. Systém
je lineárně nezávislý a generující systém vektorů.

3. Systém
je maximální lineárně nezávislý systém vektorů.

4. Systém
je minimální generující systém vektorů.

Důkaz.

Nechť systém vektorů
je základ. Z definice báze ihned vyplývá, že tato soustava vektorů je generující soustavou vektorů vektorového prostoru, stačí tedy dokázat její lineární nezávislost.

Předpokládejme, že daný systém vektorů je lineárně závislý. Pak existují dvě reprezentace nulového vektoru – triviální a netriviální, což odporuje definici báze.

Nechť systém vektorů
je lineárně nezávislý a generující. Musíme dokázat, že tento lineárně nezávislý systém je maximální.

Předpokládejme opak. Nechť daný lineárně nezávislý systém vektorů není maximální. Pak na základě výše uvedené poznámky existuje vektor, který lze k tomuto systému přidat a výsledný systém vektorů zůstává lineárně nezávislý. Avšak na druhou stranu vektor přidaný do systému může být reprezentován jako lineární kombinace původního systému vektorů vzhledem k tomu, že se jedná o generující systém.

A dostáváme, že v novém rozšířeném systému vektorů je jeden z jeho vektorů lineárně vyjádřen prostřednictvím ostatních vektorů tohoto systému. Takový systém vektorů je lineárně závislý. Máme rozpor.

Nechť systém vektorů
vektorový prostor je maximálně lineárně nezávislý. Dokažme, že se jedná o minimální generující systém.

a) Nejprve dokážeme, že se jedná o generující systém.

Všimněte si, že díky lineární nezávislosti systém
neobsahuje nulový vektor. Nechť je libovolný nenulový vektor. Přidejme to k danému systému vektorů:
. Výsledný systém nenulových vektorů je lineárně závislý, od původní systém vektorů je maximálně lineárně nezávislý. Takže v tomto systému existuje vektor lineárně vyjádřený přes předchozí. V původním lineárně nezávislém systému
žádný z vektorů nelze vyjádřit v termínech předchozích, proto je lineárně vyjádřen pouze vektor x v termínech předchozích. Tedy systém
představuje libovolný nenulový vektor. Zbývá poznamenat, že tento systém zjevně představuje i nulový vektor, tzn. Systém
je generativní.

b) Nyní dokažme jeho minimalizaci. Předpokládejme opak. Potom může být jeden z vektorů systému odstraněn ze systému a zbývající systém vektorů bude stále generujícím systémem, a proto vektor odstraněný ze systému je také lineárně vyjádřen v podmínkách zbývajících vektorů systému. což odporuje lineární nezávislosti původní soustavy vektorů.

Nechť systém vektorů
vektorový prostor je minimální generující systém. Potom představuje libovolný vektor vektorového prostoru. Musíme dokázat jedinečnost reprezentace.

Předpokládejme opak. Nechť je nějaký vektor x lineárně vyjádřen pomocí vektorů daného systému dvěma různými způsoby:

Odečtením druhého od jednoho dostaneme:

Důsledkem 2, systém
je lineárně nezávislý, tzn. představuje nulový vektor pouze triviálně, takže všechny koeficienty této lineární kombinace musí být nulové:

Jakýkoli vektor x je tedy lineárně vyjádřen v termínech vektorů daného systému jedinečným způsobem, q.e.d.

Věta byla prokázána.

položka 5. Dimenze vektorového prostoru.

Věta 1. (O počtu vektorů v lineárně nezávislých a generujících soustavách vektorů.) Počet vektorů v libovolné lineárně nezávislé soustavě vektorů nepřesahuje počet vektorů v žádné generující soustavě vektorů stejného vektorového prostoru.

Důkaz. Nechat
libovolný lineárně nezávislý systém vektorů,
je libovolný generující systém. Předpokládejme, že .

Protože
generující systém, pak představuje libovolný vektor prostoru včetně vektoru . Pojďme to přidat do tohoto systému. Dostaneme lineárně závislý a generující systém vektorů:
. Pak je tu vektor
tohoto systému, který je lineárně vyjádřen v termínech předchozích vektorů tohoto systému a na základě lemmatu může být ze systému odstraněn a zbývající systém vektorů bude stále generovat.

. Protože tento systém generuje, pak představuje vektor
a jeho přidáním k této soustavě opět získáme lineárně závislý a generující systém: .

Pak se vše opakuje. V tomto systému existuje vektor, který je lineárně vyjádřen v podmínkách předchozích, a nemůže to být vektor , protože zdrojový systém
lineárně nezávislé a vektorové není vyjádřen lineárně pomocí vektoru
. Může to být tedy pouze jeden z vektorů
. Jeho odstraněním ze systému získáme po přečíslování systém , který bude generujícím systémem. Pokračujeme-li v tomto procesu, po krocích získáme generující systém vektorů: , kde
, protože podle našeho odhadu. To znamená, že tento systém jako generátor představuje i vektor , což je v rozporu s podmínkou lineární nezávislosti systému
.

Věta 1 je dokázána.

Věta 2. (O počtu vektorů v bázi.) Jakákoli báze vektorového prostoru obsahuje stejný počet vektorů.

Důkaz. Nechat
A
jsou dvě libovolné vektorové prostorové základny. Jakákoli báze je lineárně nezávislý a generující systém vektorů.

Protože první systém je lineárně nezávislý a druhý generuje, pak podle věty 1,
.

Podobně je druhý systém lineárně nezávislý a první generuje, pak . Z toho tedy vyplývá
, atd.

Věta 2 je dokázána.

Tato věta nám umožňuje zavést následující definici.

Definice. Rozměr vektorového prostoru V nad polem K je počet vektorů v jeho bázi.

Označení:
nebo
.

položka 6. Existence báze vektorového prostoru.

Definice. Vektorový prostor se nazývá konečnorozměrný, pokud má konečný generující systém vektorů.

Komentář. Budeme studovat pouze konečnorozměrné vektorové prostory. Navzdory tomu, že o bázi konečněrozměrného vektorového prostoru víme již poměrně dost, nejsme si jisti, zda taková báze vůbec existuje. Všechny dříve získané vlastnosti byly získány za předpokladu, že základ existuje. Následující věta tento problém uzavírá.

Teorém. (O existenci základny pro konečnorozměrný vektorový prostor.) Každý konečnorozměrný vektorový prostor má základ.

Důkaz. Za předpokladu, že existuje konečný generující systém vektorů daného konečnorozměrného vektorového prostoru V:
.

Hned si všimneme, že pokud je generující systém vektorů prázdný, tzn. neobsahuje žádný vektor, pak se podle definice předpokládá, že daný vektorový prostor je nulový, tzn.
. V tomto případě se podle definice předpokládá, že základem nulového vektorového prostoru je prázdná báze a jeho rozměr se podle definice považuje za nulový.

Nechť dále, nenulový vektorový prostor a
konečný generující systém nenulových vektorů. Pokud je lineárně nezávislý, pak je vše dokázáno, protože lineárně nezávislý a generující systém vektorů vektorového prostoru je jeho základem. Je-li daný systém vektorů lineárně závislý, pak je jeden z vektorů tohoto systému lineárně vyjádřen pomocí zbývajících a lze jej ze systému odstranit a zbývající systém vektorů na základě lemmatu 5. , bude stále generovat.

Přečíslujeme zbývající systém vektorů:
. Další úvaha se opakuje. Pokud je tento systém lineárně nezávislý, pak je základem. Pokud ne, pak je v tomto systému opět vektor, který lze odstranit a zbývající systém bude generovat.

Opakováním tohoto procesu nám nemůže zůstat prázdný vektorový systém, protože v nejextrémnějším případě skončíme u generujícího systému jednoho nenulového vektoru, který je lineárně nezávislý a tedy bázový. Proto se v určitém kroku dostáváme k lineárně nezávislému a generujícímu systému vektorů, tzn. k základu.

Věta byla prokázána.

Lemma. Nechte Pak:

1. Libovolný systém z vektoru je lineárně závislý.

2. Základem je jakákoli lineárně nezávislá soustava vektorů.

Důkaz. 1). Podle podmínky lemmatu je počet vektorů v bázi stejný a základem je generující systém, takže počet vektorů v žádném lineárně nezávislém systému nemůže překročit .

2). Jak vyplývá z toho, co bylo právě dokázáno, každý lineárně nezávislý systém vektorů v tomto vektorovém prostoru je maximální, a tedy základem.

Lema je dokázáno.

Věta (O přidání k bázi.) Libovolný lineárně nezávislý systém vektorů vektorového prostoru může být doplněn na bázi tohoto prostoru.

Důkaz. Nechť vektorový prostor dimenze n a
nějaký lineárně nezávislý systém jeho vektorů. Pak
.

Li
, pak podle předchozího lemmatu je tento systém základem a není co dokazovat.

Li
, pak tento systém není maximální lineární nezávislý systém (jinak by byl základem, což je nemožné, protože ). Proto existuje vektor
, takže systém
je lineárně nezávislý.

Když teď, pak systém
je základ.

Li
, vše se opakuje. Proces doplňování systému nemůže pokračovat donekonečna, protože. v každém kroku získáme lineárně nezávislý systém vektorů v prostoru a podle předchozího lemmatu počet vektorů v takovém systému nemůže přesáhnout rozměry prostoru. Následně v určitém kroku dojdeme k základu daného prostoru.

Věta byla prokázána.

položka 7. Příklad.

1. Nechť K je libovolné pole, aritmetický vektorový prostor výškových sloupců. Pak . Abyste to dokázali, zvažte sloupový systém tohoto prostoru.

Nazývá se konečně-dimenzionální, pokud má konečný generující systém vektorů.

Komentář. Budeme studovat pouze konečnorozměrné vektorové prostory. Navzdory tomu, že o základech konečně-dimenzionálního vektorového prostoru již víme poměrně dost, nejsme si jisti, že takový prostor vůbec existuje. Všechny dříve získané údaje byly získány za předpokladu, že základ existuje. Další tuto otázku uzavírá.

Teorém. (O existenci základny pro konečnorozměrný vektorový prostor.)

Jakýkoli konečnorozměrný vektorový prostor má základ.

Důkaz. Předpokladem je, že existuje konečný generující systém daného konečnorozměrného vektorového prostoru V: .

Hned si všimneme, že pokud je generující systém vektorů prázdný, tzn. neobsahuje žádný vektor, pak se podle definice předpokládá, že daný vektorový prostor je nulový, tzn. . V tomto případě se podle definice předpokládá, že základem nulového vektorového prostoru je prázdná báze a podle definice se předpokládá, že je roven nule.

Pokud je tento systém nezávislý, pak je vše dokázáno, protože lineárně nezávislý a generující systém vektorů vektorového prostoru je jeho základem.

Pokud je daný systém vektorů lineárně závislý, pak se jeden z vektorů tohoto systému lineárně vyjádří z hlediska zbývajících a lze jej ze systému odstranit a zbývající systém vektorů bude stále generovat.

Přečíslujme zbývající soustavu vektorů: . Další úvaha se opakuje.

Pokud je tento systém lineárně nezávislý, pak je základem. Pokud ne, pak je v tomto systému opět vektor, který lze odstranit a zbývající systém bude generovat.

Opakováním tohoto procesu nám nemůže zůstat prázdný vektorový systém, protože v nejextrémnějším případě skončíme u generujícího systému jednoho nenulového vektoru, který je lineárně nezávislý a tedy bázový. Proto se v určitém kroku dostáváme k lineárně nezávislému a generujícímu systému vektorů, tzn. k základu atd.

Věta byla prokázána.

Lemma. (O soustavách vektorů v n-rozměrném vektorovém prostoru.)

Nechte Pak:

1. Libovolný systém z vektoru je lineárně závislý.

2. Základem je jakákoli lineárně nezávislá soustava vektorů.

Důkaz. 1). Podle podmínky lemmatu je počet vektorů v bázi roven a základem je generující systém, takže počet vektorů v žádné lineárně nezávislé soustavě nemůže překročit , tzn. jakýkoli systém obsahující vektor je lineárně závislý.

2). Jak vyplývá z toho, co bylo právě dokázáno, každý lineárně nezávislý systém vektorů v tomto vektorovém prostoru je maximální, a tedy základem.

Lema je dokázáno.

Věta (O přidání k bázi.) Libovolný lineárně nezávislý systém vektorů vektorového prostoru může být doplněn na bázi tohoto prostoru.

Důkaz. Nechť je vektorový prostor dimenze n a nějaký lineárně nezávislý systém jeho vektorů. Pak .

Jestliže , pak podle předchozího lemmatu je tento systém základem a není co dokazovat.

Jestliže , pak tento systém není maximálně nezávislý systém (jinak by byl základem, což je nemožné, protože ). Proto existuje vektor takový, že systém je lineárně nezávislý.

Když teď, pak systém je základ.

Pokud ano, vše se opakuje. Proces doplňování systému nemůže pokračovat donekonečna, protože. v každém kroku získáme lineárně nezávislý systém vektorů v prostoru a podle předchozího lemmatu počet vektorů v takovém systému nemůže přesáhnout rozměry prostoru. Následně se v určitém kroku dostáváme k základu daného prostoru atd.

Definice. Základ

aritmetický vektorový prostor sloupců výšky n se nazývá kanonický nebo přirozený.

Nechat PROTI vektorový prostor nad polem R, S- soustava vektorů z PROTI.

Definice 1. Základ systému vektorů S takový uspořádaný lineárně nezávislý subsystém se nazývá B 1, B 2, ..., B R systémy S, že jakýkoli vektor systému S lineární kombinace vektorů B 1, B 2, ..., B R.

Definice 2. Hodnost systému vektorů S je počet základních vektorů systému S. Označuje se hodnost systému vektorů S symbol R= hodnost S.

Pokud S = ( 0 ), pak systém nemá žádný základ a předpokládá se, že odzvonilo S= 0.

Příklad 1 Nechť je dána soustava vektorů A 1 = (1,2), A 2 = (2,3), A 3 = (3,5), A 4 = (1,3). Vektor A 1 , A 2 tvoří základ tohoto systému, protože jsou lineárně nezávislé (viz příklad 3.1) a A 3 = A 1 + A 2 , A 4 = 3A 1 - A 2. Hodnost tohoto systému vektorů je dvě.

Věta 1(věta o bázích). Nechť S je konečný systém vektorů z V, S ≠{0 }. Pak jsou tvrzení pravdivá.

1 ° Libovolný lineárně nezávislý subsystém systému S lze doplnit na základ.

2 ° Systém S má základ.

2 ° Jakékoliv dvě báze systému S obsahují stejný počet vektorů, tj. hodnost systému nezávisí na volbě báze.

4 ° Li R= hodnost S, pak libovolných r lineárně nezávislých vektorů tvoří základ systému S.

5 ° Li R= hodnost S, Potom libovolné k > r vektorů systému S jsou lineárně závislé.

6 ° Jakýkoli vektor A€ S je jednoznačně lineárně vyjádřen v bázových vektorech, tj. pokud B 1, B 2, ..., B R je tedy základem systému S

A = A1 B 1 + A2 B 2 +...+ ARB R; A1 , A2 , ..., AN€P,(1)

A tento pohled je jediný.

Na základě 5° základu tomu tak je Maximální lineárně nezávislý subsystém systémy S a hodnost systému S počet vektorů v takovém subsystému.

Vektorové znázornění A ve tvaru (1) se nazývá Rozklad vektoru na bázové vektory a čísla a1, a2 , ..., ar se nazývají Vektorové souřadnice A v tomto základu.

Důkaz. 1° Let B 1, B 2, ..., B K- lineárně nezávislý subsystém systému S. Pokud každý vektor systému S Vyjádřeno lineárně pomocí vektorů našeho subsystému, pak je podle definice základem systému S.

Pokud je v systému vektor S, který není lineárně vyjádřen vektory B 1, B 2, ..., B K, pak to označíme B K+1. Pak systémy B 1, B 2, ..., B K, B K+1 - lineárně nezávislý. Pokud každý vektor systému S Je lineárně vyjádřen vektory tohoto subsystému, pak je podle definice základem systému S.

Pokud je v systému vektor S, který není lineárně vyjádřen v termínech B 1, B 2, ..., B K, B K+1, pak zopakujeme uvažování. Pokračujeme-li v tomto procesu, buď dojdeme k základu systému S, nebo zvýšit počet vektorů v lineárně nezávislém systému o jeden. Protože v systému S konečný počet vektorů, pak druhá alternativa nemůže pokračovat donekonečna a v určitém kroku získáme základ systému S.

2° Let S konečný systém vektorů a S ≠{0 ). Pak v systému S mít vektor B 1 ≠ 0, který tvoří lineárně nezávislý subsystém systému S. Podle první části jej lze doplnit k základu systému S. Tedy systém S má základ.

3° Předpokládejme, že systém S má dvě základny:

B 1, B 2, ..., B R , (2)

C 1, C 2, ..., C S , (3)

Podle definice báze je soustava vektorů (2) lineárně nezávislá a (2) Н S. Dále, podle definice báze je každý vektor systému (2) lineární kombinací vektorů systému (3). Potom hlavní větou o dvou soustavách vektorů R £ S. Podobně je dokázáno, že S £ R. Tyto dvě nerovnosti naznačují R = S.

4° Let R= hodnost S, A 1, A 2, ..., A R- lineárně nezávislý subsystém S. Ukažme, že je základem systémů S. Pokud se nejedná o základ, lze jej první částí doplnit na základ a získáme základ A 1, A 2, ..., A R, A R+1,..., A R+T obsahující více než R

5° Pokud K vektory A 1, A 2, ..., A K (K > R) systémy S jsou lineárně nezávislé, pak v první části lze tento systém vektorů doplnit o bázi a získáme bázi A 1, A 2, ..., A K, A K+1,..., A K+T obsahující více než R vektory. To je v rozporu s tím, co bylo prokázáno ve třetí části.

6° Let B 1, B 2, ..., B R systémový základ S. Podle definice báze jakýkoli vektor A € S je lineární kombinace základních vektorů:

A = a1 B 1 + a2 B 2 +...+ar B R.

Na důkaz jedinečnosti takové reprezentace předpokládáme opak, že existuje ještě jedna reprezentace:

A = b1 B 1 + b2 B 2 +...+br B R.

Odečtením rovností člen po členu zjistíme

0 = (a1 - b1) B 1 + (a2 - b2) B 2 +...+ (ar - br) B R.

Od základu B 1, B 2, ..., B R lineárně nezávislý systém, pak všechny koeficienty ai - bi =0; já = 1, 2, ..., R. Proto ai = bi ; já = 1, 2, ..., R a jedinečnost je prokázána.