Pokud jsou 2 řádky v matici stejné, pak. Lineární algebra Matice a determinanty. Algoritmus pro konstrukci inverzní matice

Čtvercová matice A objednat n můžete porovnat číslo det A(nebo | A|, nebo ), nazval ji determinant , a to následujícím způsobem:

Maticový determinant A také jí zavolej determinant . Pravidlo pro výpočet determinantu pro matici pořadí N je poměrně obtížné pochopit a aplikovat. Jsou však známy metody, které umožňují realizovat výpočet determinant vyššího řádu na základě determinant nižšího řádu. Jedna z metod je založena na vlastnosti rozšíření determinantu o prvky určité řady (vlastnost 7). Zároveň podotýkáme, že je žádoucí umět vypočítat determinanty nízkých řádů (1, 2, 3) podle definice.

Výpočet determinantu 2. řádu ilustruje diagram:

Příklad 4.1. Najděte determinanty matic

Při výpočtu determinantu 3. řádu je vhodné použít trojúhelníkové pravidlo (nebo Sarrus), což lze symbolicky napsat takto:

Příklad 4.2. Vypočítejte determinant matice

det A = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Formulujme hlavní vlastnosti determinantů vlastní determinantům všech řádů. Vysvětleme některé z těchto vlastností pomocí determinantů třetího řádu.

Nemovitost 1 ("Rovnost řádků a sloupců"). Determinant se nezmění, pokud jsou jeho řádky nahrazeny sloupci a naopak. Jinými slovy,

V následujícím textu budou řádky a sloupce jednoduše nazývány řádky determinantu .

Nemovitost 2 . Když se zamění dvě rovnoběžné řady, determinant změní znaménko.

Nemovitost 3 . Determinant, který má dva stejné řádky, je nula.

Nemovitost 4 . Společný činitel prvků libovolné řady determinantu lze vyjmout ze znaménka determinantu.

Z vlastností 3 a 4 to vyplývá že pokud jsou všechny prvky určité řady úměrné odpovídajícím prvkům paralelní řady, pak je takový determinant roven nule.

Opravdu,

Nemovitost 5 . Jsou-li prvky libovolné řady determinantu součty dvou členů, pak lze determinant rozložit na součet dvou odpovídajících determinantů.

Například,

Nemovitost 6. ("Elementární transformace determinantu"). Determinant se nezmění, přičteme-li k prvkům jedné řady odpovídající prvky rovnoběžné řady, vynásobené libovolným číslem.

Příklad 4.3. Dokázat to

Řešení: Skutečně, pomocí vlastností 5, 4 a 3 se učíme

Další vlastnosti determinantů souvisí s pojmy vedlejšího a algebraického doplňku.

Méně důležitý nějaký prvek aij determinant n-čt pořadí se nazývá determinant n- 1. řád, získá se z originálu přeškrtnutím řádku a sloupce, na jehož průsečíku se vybraný prvek nachází. Označeno mij

Algebraické sčítáníživel aij determinant se nazývá jeho vedlejší, bere se se znaménkem plus, je-li součet i + j sudé číslo a se znaménkem mínus, pokud je tento součet lichý. Označeno Aij:

Nemovitost 7 ("Rozklad determinantu z hlediska prvků určité řady"). Determinant je roven součtu součinů prvků určité řady a jim odpovídajících algebraických doplňků.

Zde budou uvedeny ty vlastnosti, které se obvykle používají pro výpočet determinantů ve standardním kurzu vyšší matematiky. Toto je vedlejší téma, na které se podle potřeby odkážeme ze zbývajících částí.

Takže za předpokladu nějaké čtvercové matice $A_(n\krát n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end( array )\vpravo)$. Každá čtvercová matice má charakteristiku zvanou determinant (nebo determinant). Nebudu zde zacházet do podstaty tohoto konceptu. Pokud to vyžaduje objasnění, napište o tom prosím do fóra a dotknu se tohoto problému podrobněji.

Determinant matice $A$ je označen jako $\Delta A$, $|A|$ nebo $\det A$. Determinant Order rovný počtu řádků (sloupců) v něm.

Hodnota determinantu se nezmění, pokud budou jeho řádky nahrazeny odpovídajícími sloupci, tzn. $\Delta A=\Delta A^T$.
zobrazit/skrýt

Nahraďme v něm řádky sloupci podle principu: "byl první řádek - stal se první sloupec", "byl druhý řádek - stal se druhý sloupec":

Vypočítejme výsledný determinant: $\left| \begin(pole) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(pole) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Jak vidíte, hodnota determinantu se od náhrady nezměnila.
Pokud prohodíte dva řádky (sloupce) determinantu, pak se znaménko determinantu změní na opačné.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Zvažte $\left| \begin(pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|$. Jeho hodnotu najdeme pomocí vzorce č. 1 z tématu Výpočet determinantů druhého a třetího řádu:
$$\left| \begin(pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(pole) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Nyní prohodíme první a druhý řádek. Získejte determinant $\left| \begin(pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(pole) \right|$. Vypočítejme výsledný determinant: $\left| \begin(pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(pole) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Hodnota původního determinantu tedy byla (-37) a hodnota determinantu se změněným pořadím řádků je $-(-37)=37$. Znaménko determinantu se změnilo na opačné.
Determinant, ve kterém jsou všechny prvky řádku (sloupce) rovny nule, je roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Protože v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(pole) \right|$ všechny prvky třetího sloupce jsou nula, pak determinant je nula, tj. $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(pole) \right|=0$.
Determinant, ve kterém jsou všechny prvky určitého řádku (sloupce) rovny odpovídajícím prvkům jiného řádku (sloupce), je roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Protože v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(pole) \right|$ všechny prvky prvního řádku se rovnají odpovídajícím prvky druhé řady, pak je determinant nulový, tzn. $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(pole) \right|=0$.
Pokud jsou v determinantu všechny prvky jednoho řádku (sloupce) úměrné odpovídajícím prvkům jiného řádku (sloupce), pak je takový determinant roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Protože v $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(pole) \right|$ druhý a třetí řádek jsou proporcionální, tzn. $r_3=-3\cdot(r_2)$, pak je determinant roven nule, tzn. $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(pole) \right|=0$.
Pokud mají všechny prvky řádku (sloupce) společný faktor, pak lze tento faktor vyjmout ze znaménka determinantu.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Zvažte $\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|$. Všimněte si, že všechny prvky druhého řádku jsou dělitelné 3:
$$\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|=\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$
Číslo 3 je společným faktorem všech prvků druhé řady. Vyberme trojici ze znaménka determinantu:
$$ \left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(pole) \right|=\left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(pole) \right|= 3\cdot \left| \begin(pole) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(pole) \right| $$
Determinant se nezmění, pokud ke všem prvkům určitého řádku (sloupce) přidáme odpovídající prvky jiného řádku (sloupce), vynásobené libovolným číslem.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Zvažte $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|$. Přidejme k prvkům druhého řádku odpovídající prvky třetího řádku vynásobené 5. Tuto akci zapišme následovně: $r_2+5\cdot(r_3)$. Druhý řádek bude změněn, zbytek řádků zůstane nezměněn.
$$ \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \začátek(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|. $$
Pokud je určitý řádek (sloupec) v determinantu lineární kombinací jiných řádků (sloupců), pak je determinant roven nule.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Hned vysvětlím, co znamená slovní spojení „lineární kombinace“. Mějme s řádků (nebo sloupců): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Výraz
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
kde $k_i\in R$ se nazývá lineární kombinace řádků (sloupců) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Zvažte například následující determinant:
$$ \left| \begin(pole) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(pole)\vpravo| $$
V tomto determinantu může být čtvrtý řádek vyjádřen jako lineární kombinace prvních tří řádků:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Uvažovaný determinant je tedy roven nule.
Pokud je každý prvek určitého k-tého řádku (k-tého sloupce) determinantu roven součtu dvou členů, pak je takový determinant roven součtu determinantů, z nichž první má první členy v k-tý řádek (k-tý sloupec) a druhý determinant k-tý řádek (k-tý sloupec) obsahuje druhé členy. Ostatní prvky těchto determinantů jsou stejné.
Příklad použití této vlastnosti: show\hide

Zvažte $\left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|$. Prvky druhého sloupce zapišme takto: $\left| \začátek(pole) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(pole) \vpravo|$. Pak se takový determinant rovná součtu dvou determinantů:
$$ \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(pole) \right|+ \left| \begin(pole) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(pole) \right| $$
Determinant součinu dvou čtvercových matic stejného řádu je roven součinu determinantů těchto matic, tzn. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Z tohoto pravidla můžete získat následující vzorec: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Pokud je matice $A$ nesingulární (tj. její determinant není roven nule), pak $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Vzorce pro výpočet determinantů

Pro determinanty druhého a třetího řádu platí následující vzorce:

\begin(rovnice) \Delta A=\left| \begin(pole) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(pole) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(rovnice) \begin(rovnice) \begin(zarovnáno) & \Delta A=\left| \begin(pole) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(pole) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(zarovnáno) \end(rovnice)

Příklady použití vzorců (1) a (2) jsou v tématu "Vzorce pro výpočet determinantů druhého a třetího řádu. Příklady výpočtu determinantů" .

Determinant matice $A_(n\krát n)$ lze rozšířit v i-tém řádku pomocí následujícího vzorce:

\začátek(rovnice)\Delta A=\součet\limity_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(rovnice)

Analog tohoto vzorce existuje také pro sloupce. Vzorec pro rozšíření determinantu v j-tém sloupci je následující:

\začátek(rovnice)\Delta A=\součet\limity_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(rovnice)

Pravidla vyjádřená vzorci (3) a (4) jsou podrobně ilustrována na příkladech a vysvětlena v tématu Snížení řádu determinantu. Rozklad determinantu v řadě (sloupci).

Uvádíme ještě jeden vzorec pro výpočet determinantů horních trojúhelníkových a dolních trojúhelníkových matic (vysvětlení těchto pojmů viz téma "Matice. Typy matic. Základní pojmy"). Determinant takové matice se rovná součinu prvků na hlavní diagonále. Příklady:

\begin(zarovnáno) &\left| \začátek(pole) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(pole) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \začátek(pole) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(pole) \ vpravo|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (zarovnáno)

Hlavní numerickou charakteristikou čtvercové matice je její determinant. Uvažujme čtvercovou matici druhého řádu

Determinant nebo determinant druhého řádu je číslo vypočítané podle následujícího pravidla

Například,

Uvažujme nyní čtvercovou matici třetího řádu

Determinant třetího řádu je číslo vypočítané podle následujícího pravidla

Aby si zapamatovali kombinaci termínů obsažených ve výrazech k určení determinantu třetího řádu, obvykle používají Sarrusovo pravidlo: první ze tří členů na pravé straně se znaménkem plus je součin prvků na hlavní diagonále matice a každý z dalších dvou je součin prvků ležících na rovnoběžce s touto diagonálou a prvek z opačného rohu matice.

Poslední tři pojmy, které vstupují se znaménkem mínus, jsou definovány podobným způsobem, pouze s ohledem na vedlejší diagonálu.

Příklad:

Základní vlastnosti maticových determinantů

1. Hodnota determinantu se při transpozici matice nemění.

2. Při přeskupování řádků nebo sloupců matice mění determinant pouze znaménko, při zachování absolutní hodnoty.

3. Determinant obsahující proporcionální řádky nebo sloupce je roven nule.

4. Společný činitel prvků některého řádku nebo sloupce lze vyjmout ze znaménka determinantu.

5. Jsou-li všechny prvky některého řádku nebo sloupce rovny nule, pak samotný determinant je roven nule.

6. Pokud k prvkům samostatného řádku nebo sloupce determinantu přidáme prvky dalšího řádku nebo sloupce, vynásobené libovolným nedegenerovaným faktorem , pak se hodnota determinantu nezmění.

Méně důležitý matice je determinant získaný vymazáním stejného počtu sloupců a řádků ze čtvercové matice.

Pokud jsou všechny minoritní řády výše, které lze poskládat z matice, rovny nule a mezi minoritními řády alespoň jedna je nenulová, pak se číslo nazývá hodnost tato matrice.

Algebraické sčítání prvek determinantu řádu, budeme nazývat jeho vedlejším pořadím, získaným smazáním odpovídajícího řádku a sloupce, na jehož průsečíku je prvek braný se znaménkem plus, pokud je součet indexů roven sudé číslo a jinak se znaménkem mínus.

Tím pádem

kde je odpovídající řád vedlejší.

Výpočet determinantu matice rozkladem na prvky řádku nebo sloupce

Determinant matice je roven součtu součinů prvků libovolného řádku (libovolného sloupce) matice a odpovídajících algebraických doplňků prvků tohoto řádku (tohoto sloupce). Při výpočtu determinantu matice tímto způsobem bychom se měli řídit následujícím pravidlem: vyberte řádek nebo sloupec s největším počtem nulových prvků. Tato technika může výrazně snížit množství výpočtů.

Příklad: .

Při výpočtu tohoto determinantu jsme použili metodu jeho rozšíření o prvky prvního sloupce. Jak je vidět z výše uvedeného vzorce, není třeba počítat poslední z determinantů druhého řádu, protože násobí se nulou.

Výpočet inverzní matice

Při řešení maticových rovnic se široce používá inverzní matice. Do jisté míry nahrazuje operaci dělení, která v maticové algebře v explicitní podobě chybí.

Čtvercové matice stejného řádu, jejichž součin dává matici identity, se nazývají reciproké nebo inverzní. Inverzní matice je označena a platí pro ni

Inverzní matici můžete vypočítat pouze pro takovou matici, pro kterou .

Klasický algoritmus pro výpočet inverzní matice

1. Zapište matici transponovanou do matice .

2. Nahraďte každý prvek matice determinantem získaným v důsledku smazání řádku a sloupce, na jejichž průsečíku se tento prvek nachází.

3. Tento determinant je doprovázen znaménkem plus, je-li součet indexů prvků sudý, a znaménkem mínus v opačném případě.

4. Výslednou matici vydělte maticovým determinantem.

- Vypusťte ptáka k jisté smrti!
Ať ji pohladí svoboda!
A loď pluje a reaktor řve...
- Pashi, jsi tvrdohlavý?

Pamatuji si, že před 8. třídou jsem neměl rád algebru. Vůbec se mi to nelíbilo. Naštvala mě. Protože jsem ničemu nerozuměl.

A pak se všechno změnilo, protože jsem prořízl jeden čip:

V matematice obecně (a algebře zvláště) je vše založeno na kompetentním a konzistentním systému definic. Znáte definice, rozumíte jejich podstatě - nebude těžké přijít na zbytek.

To je téma dnešní lekce. Podrobně zvážíme několik souvisejících problémů a definic, díky kterým se jednou provždy vypořádáte s maticemi, determinanty a všemi jejich vlastnostmi.

Determinanty jsou ústředním pojmem v maticové algebře. Stejně jako zkrácené vzorce pro násobení vás budou pronásledovat po celou dobu vašeho kurzu matematiky pro pokročilé. Proto čteme, sledujeme a rozumíme důkladně. :)

A začneme tím nejintimnějším – co je matrix? A jak s tím pracovat.

Správné umístění indexů v matici

Matice je pouze tabulka plná čísel. Neo tu není.

Jednou z klíčových vlastností matice je její rozměr, tj. počet řádků a sloupců, ze kterých se skládá. O matici $A$ se obvykle říká, že má velikost $\left[ m\times n \right]$, pokud má $m$ řádků a $n$ sloupců. Napište to takto:

Nebo takhle:

Existují i jiná označení – vše záleží na preferencích lektora / seminaristy / autora učebnice. Ale v každém případě se všemi těmito $\left[ m\times n \right]$ a $((a)_(ij))$ vyvstává stejný problém:

Který index co dělá? Nejprve číslo řádku, potom číslo sloupce? Nebo naopak?

Při čtení přednášek a učebnic se odpověď bude zdát zřejmá. Když je ale před vámi na zkoušce jen list s úkolem, můžete se znepokojovat a rázem zmatkovat.

Pojďme se tedy touto problematikou jednou provždy zabývat. Nejprve si připomeňme obvyklou soustavu souřadnic ze školního kurzu matematiky:

Zavedení souřadnicového systému na rovině

Pamatujete si ji? Má počátek (bod $O=\left(0;0 \right)$) os $x$ a $y$ a každý bod v rovině je jednoznačně určen souřadnicemi: $A=\left( 1;2 \ vpravo)$, $B=\vlevo(3;1 \vpravo)$ atd.

A nyní vezmeme tuto konstrukci a položíme ji vedle matice tak, aby počátek byl v levém horním rohu. proč tam? Ano, protože při otevírání knihy začínáme číst od levého horního rohu stránky – zapamatovat si to je snadnější než kdy jindy.

Ale kam nasměrovat osy? Nasměrujeme je tak, aby byla těmito osami pokryta celá naše virtuální „stránka“. Pravda, k tomu budeme muset otočit náš souřadnicový systém. Jediná možná možnost pro toto umístění:

Mapování souřadnicového systému na matici

Nyní má každá buňka matice jednohodnotové souřadnice $x$ a $y$. Například záznam $((a)_(24))$ znamená, že přistupujeme k prvku se souřadnicemi $x=2$ a $y=4$. Rozměry matice jsou také jednoznačně určeny dvojicí čísel:

Definování indexů v matici

Stačí se na tento obrázek podívat zblízka. Pohrajte si se souřadnicemi (zvláště když pracujete s reálnými maticemi a determinanty) – a velmi brzy si uvědomíte, že i v těch nejsložitějších větách a definicích dokonale rozumíte, o co jde.

Mám to? No, přejděme k prvnímu kroku osvícení - geometrické definici determinantu. :)

Geometrická definice

Nejprve bych rád poznamenal, že determinant existuje pouze pro čtvercové matice ve tvaru $\left[ n\times n \right]$. Determinant je číslo, které se počítá podle určitých pravidel a je jednou z charakteristik této matice (jsou zde další charakteristiky: hodnost, vlastní vektory, ale o tom více v dalších lekcích).

No, co je to za vlastnost? Co to znamená? Je to jednoduché:

Determinant čtvercové matice $A=\left[ n\krát n \right]$ je objem $n$-rozměrného rovnoběžnostěnu, který vznikne, pokud řádky matice považujeme za vektory, které tvoří hrany tento rovnoběžnostěn.

Například determinant matice 2x2 je pouze plocha rovnoběžníku a u matice 3x3 je to již objem 3-rozměrného rovnoběžnostěnu - právě ten, který všechny středoškoláky tak rozzuří. hodně v hodinách stereometrie.

Na první pohled se tato definice může zdát zcela nedostatečná. Nespěchejme ale se závěry – podívejme se na příklady. Ve skutečnosti je všechno elementární, Watsone:

Úkol. Najděte determinanty matice:

\[\left| \begin(matice) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matice) \right|\quad \left| \začátek(matice) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\konec (matice) \right|\quad \left| \začátek(matice)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\konec (matice) \right|\]

Řešení. První dva determinanty jsou 2x2. To jsou tedy pouze oblasti rovnoběžníků. Pojďme si je nakreslit a vypočítat plochu.

První rovnoběžník je postaven na vektorech $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ a $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:
Determinant 2x2 je plocha rovnoběžníku
Je zřejmé, že to není jen rovnoběžník, ale docela obdélník. Jeho plocha se rovná

Druhý rovnoběžník je postaven na vektorech $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ a $((v)_(2))=\left(2;2 \right )$. No, tak co? Toto je také obdélník:
Další determinant 2x2
Strany tohoto obdélníku (ve skutečnosti délky vektorů) lze snadno vypočítat pomocí Pythagorovy věty:

\[\begin(zarovnat) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\left| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\konec (zarovnat)\]

Zbývá se vypořádat s posledním determinantem - již existuje matice 3x3. Musíme si pamatovat stereometrii:

Určujícím faktorem 3x3 je objem kvádru
Vypadá to úchvatně, ale ve skutečnosti si stačí vzpomenout na vzorec pro objem rovnoběžnostěnu:

kde $S$ je plocha základny (v našem případě je to plocha rovnoběžníku v rovině $OXY$), $h$ je výška nakreslená k této základně (ve skutečnosti $ z$-souřadnice vektoru $((v)_(3) )$).

Oblast rovnoběžníku (nakreslili jsme jej samostatně) lze také snadno vypočítat:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\konec (zarovnat)\]

To je vše! Odpovědi zapisujeme.

Odpověď: 3; 4; 24.

Malá poznámka k notačnímu systému. Někomu se asi nebude líbit, že ignoruji "šipky" nad vektory. Údajně si takto můžete splést vektor s bodem nebo něčím jiným.

Ale buďme vážní: jsme již dospělí chlapci a dívky, takže z kontextu naprosto dobře rozumíme, když mluvíme o vektoru a když mluvíme o bodu. Šipky pouze zasypávají vyprávění, které je již do posledního místa nacpané matematickými vzorci.

A dál. V zásadě nám nic nebrání uvažovat o determinantu matice 1x1 - taková matice je pouze jedna buňka a determinantem bude číslo zapsané v této buňce. Ale je tu důležitá poznámka:

Na rozdíl od klasického objemu nám determinant dá tzv. orientovaný objem", tj. objem, s přihlédnutím k posloupnosti zohlednění řádkových vektorů.

A pokud chcete získat objem v klasickém slova smyslu, budete muset vzít modul determinantu, ale teď byste si s tím neměli dělat starosti - každopádně za pár sekund se naučíme, jak počítat jakýkoli determinant s jakýmikoli znaky, velikostmi atd. :)

Algebraická definice

Se vší krásou a jasností geometrického přístupu má vážnou nevýhodu: neříká nám nic o tom, jak vypočítat právě tento determinant.

Proto nyní rozebereme alternativní definici – algebraickou. K tomu potřebujeme stručnou teoretickou přípravu, ale na výstupu dostaneme nástroj, který nám umožní v maticích libovolně počítat cokoli.

Je pravda, že se objeví nový problém ... ale nejdřív.

Permutace a inverze

Napišme řadu čísel od 1 do $n$. Získáte něco takového:

Nyní (čistě pro zábavu) prohodíme pár čísel. Můžete změnit sousední

Nebo možná ne příliš sousedí:

A víš ty co? A nic! V algebře se tomu svinstvu říká permutace. A má spoustu vlastností.

Definice. Permutace délky $n$ je řetězec $n$ různých čísel zapsaných v libovolném pořadí. Obvykle se uvažují první $n$ přirozená čísla (tedy přesně čísla 1, 2, ..., $n$) a pak se zamíchají, aby se získala požadovaná permutace.

Permutace se označují stejně jako vektory – pouze písmeno a sekvenční výčet jejich prvků v závorkách. Například: $p=\left(1;3;2 \right)$ nebo $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Písmeno může být cokoliv, ale ať je $p$. :)

Dále, pro jednoduchost prezentace, budeme pracovat s permutacemi délky 5 – ty jsou již natolik závažné, aby bylo možné pozorovat jakékoli podezřelé efekty, ale pro křehký mozek ještě nejsou tak závažné jako permutace délky 6 a více. Zde jsou příklady takových permutací:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(zarovnat)\]

Permutaci délky $n$ lze přirozeně považovat za funkci, která je definována na množině $\left$ 1;2;...;n \right$$ a bijektivně mapuje tuto množinu na sebe. Vrátíme-li se k permutacím $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ a $((p)_(3))$, které jsme si právě zapsali, můžeme oprávněně zapisovat :

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ vlevo(2\vpravo)=4;\]

Počet různých permutací délky $n$ je vždy omezený a roven $n!$ — to je snadno prokazatelný fakt z kombinatoriky. Například pokud chceme zapsat všechny permutace délky 5, pak budeme hodně váhat, protože takové permutace budou

Jednou z klíčových charakteristik každé permutace je počet inverzí v ní.

Definice. Inverze v permutaci $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;(a)_(n)) \right)$ — libovolný pár $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ takové, že $i \lt j$ ale $((a)_(i)) \gt ( (a )_(j))$. Jednoduše řečeno, inverze je, když je větší číslo vlevo od menšího (ne nutně sousedního).

K označení počtu inverzí v permutaci $p$ použijeme $N\left(p \right)$, ale připravte se na to, že se setkáte s jiným zápisem v různých učebnicích a od různých autorů – zde neexistují jednotné standardy. Téma inverzí je velmi rozsáhlé a bude mu věnována samostatná lekce. Nyní je naším úkolem jednoduše se naučit, jak je počítat ve skutečných problémech.

Spočítejme si například počet inverzí v permutaci $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \right);\left(4;2 \right);\left(5;3 \right);\left(5;2 \right);\left(3;2 \right ).\]

Tedy $N\left(p \right)=5$. Jak vidíte, není na tom nic špatného. Hned musím říct: dále nás nebude zajímat ani tak číslo $N\left(p \right)$, ale jeho sudá/lichá. A zde plynule přecházíme ke klíčovému pojmu dnešní lekce.

Co je determinant

Nechť $A=\left[ n\krát n \right]$ je čtvercová matice. Pak:

Definice. Determinant matice $A=\left[ n\krát n \right]$ je algebraický součet $n!$ členů složený následovně. Každý člen je součinem $n$ prvků matice, jeden z každého řádku a každého sloupce, vynásobený (−1) mocninou počtu inverzí:

\[\left| A \right|=\součet\limity_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Základním bodem při výběru faktorů pro každý termín v determinantu je skutečnost, že žádné dva faktory nejsou ve stejném řádku nebo ve stejném sloupci.

Díky tomu můžeme bez ztráty obecnosti předpokládat, že indexy $i$ faktorů $((a)_(i;j))$ "probíhají" hodnotami 1, ..., $n$ a indexy $j$ jsou nějakou permutací prvního:

A když existuje permutace $p$, můžeme snadno vypočítat inverze $N\left(p \right)$ - a další člen determinantu je připraven.

Přirozeně nikdo nezakazuje swapovat faktory v jakémkoli termínu (nebo ve všech najednou - proč se zabývat maličkostmi?), A pak budou první indexy také představovat jakousi permutaci. Na tom se ale nakonec nic nezmění: celkový počet inverzí v indexech $i$ a $j$ zůstává i při takových perverzích, což je vcelku v souladu se starým dobrým pravidlem:

Přeskupením faktorů se součin čísel nemění.

Toto pravidlo ale nemusíte přetahovat na násobení matic – na rozdíl od násobení čísel není komutativní. Ale to jsem odbočil. :)

Matrix 2x2

Ve skutečnosti můžete také uvažovat o matici 1x1 - bude to jedna buňka a její determinant, jak asi tušíte, se rovná číslu zapsanému v této buňce. Nic zajímavého.

Uvažujme tedy čtvercovou matici 2x2:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\konec(matice) \vpravo]\]

Protože počet řádků v něm je $n=2$, bude determinant obsahovat členy $n!=2!=1\cdot 2=2$. Pojďme si je vypsat:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \right))^(N\left(2;1 \right)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \right))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\konec (zarovnat)\]

Je zřejmé, že v permutaci $\left(1;2 \right)$, která se skládá ze dvou prvků, nejsou žádné inverze, takže $N\left(1;2 \right)=0$. Ale v permutaci $\left(2;1 \right)$ existuje jedna inverze (ve skutečnosti 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Celkově univerzální vzorec pro výpočet determinantu pro matici 2x2 vypadá takto:

\[\left| \begin(matice) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matice) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Graficky to lze znázornit jako součin prvků na hlavní diagonále mínus součin prvků na vedlejší:

2x2 maticový determinant

Podívejme se na několik příkladů:

\[\left| \begin(matice) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matice) \right|;\quad \left| \začátek(matice) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\konec (matice) \vpravo|.\]

Řešení. Vše je zvažováno v jednom řádku. První matrice:

A ten druhý:

Odpověď: -3; -161.

Bylo to však příliš snadné. Podívejme se na matice 3x3 - tam už je to zajímavé.

Matrix 3x3

Nyní zvažte čtvercovou matici 3x3:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\konec(matice) \vpravo]\]

Při výpočtu jeho determinantu dostaneme $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ členů – ne moc k panice, ale dost na to, abychom začali hledat nějaké vzory. Nejprve si zapišme všechny permutace tří prvků a vypočítejme inverze v každém z nich:

\[\začátek(zarovnání) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Šipka doprava N\left(((p)_(1)) \right)=N\ left(1;2;3\right)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2\vpravo)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3\vpravo)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1\vpravo)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2\vpravo)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \vpravo)\Šipka doprava N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1\vpravo)=3. \\\konec (zarovnat)\]

Jak se dalo očekávat, existuje celkem 6 permutací $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (samozřejmě je lze napsat v jiném pořadí - bod se nemění) a počet inverzí v nich kolísá od 0 do 3.

Obecně budeme mít tři plusové členy (kde $N\left(p \right)$ je sudé) a tři další mínusové členy. Obecně se determinant vypočítá podle vzorce:

\[\left| \begin(matice) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\konec (matice) \right|=\begin(matice) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))(a)_(22))(a)_(31))-((a)_(12))(a)_(21))(a)_ (33))-((a)_(11))(a)_(23))((a)_(32)) \\\konec (matice)\]

Jen si teď nesedejte a zuřivě nacpávejte všechny tyto indexy! Místo nesrozumitelných čísel je lepší si zapamatovat následující mnemotechnické pravidlo:

Pravidlo trojúhelníku. Chcete-li najít determinant matice 3x3, musíte sečíst tři součiny prvků na hlavní diagonále a na vrcholech rovnoramenných trojúhelníků se stranou rovnoběžnou s touto diagonálou a poté odečíst stejné tři součiny, ale na vedlejší diagonále. . Schematicky to vypadá takto:

3x3 Matrix Determinant: Pravidlo trojúhelníků

Právě tyto trojúhelníky (nebo pentagramy - jak chcete) rádi kreslí do všemožných učebnic a příruček o algebře. Nemluvme však o smutných věcech. Pojďme si raději spočítat jeden takový determinant - pro zahřátí před opravdovým plecháčkem. :)

Úkol. Vypočítejte determinant:

\[\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\konec (matice) \right|\]

Řešení. Pracujeme podle pravidla trojúhelníků. Nejprve spočítejme tři členy složené z prvků na hlavní diagonále a rovnoběžné s ní:

\[\začátek(zarovnat) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(zarovnat) \]

Nyní se pojďme zabývat boční úhlopříčkou:

\[\začátek(zarovnat) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(zarovnat) \]

Zbývá pouze odečíst druhé od prvního čísla - a dostaneme odpověď:

To je vše!

Nicméně determinanty matic 3x3 ještě nejsou vrcholem dovednosti. To nejzajímavější nás čeká dále. :)

Obecné schéma pro výpočet determinantů

Jak víme, jak se zvětšuje rozměr matice $n$, počet členů v determinantu je $n!$ a rychle roste. Koneckonců, faktoriál je docela rychle rostoucí funkce.

Už pro matice 4x4 nějak není dobré počítat determinanty dopředu (tj. přes permutace). O 5x5 a více obecně mlčím. Proto jsou některé vlastnosti determinantu spojeny s případem, ale k jejich pochopení je potřeba trochu teoretické přípravy.

Připraveni? Jít!

Co je matice minor

Nechť je dána libovolná matice $A=\left[ m\times n \right]$. Poznámka: nemusí být nutně čtvercový. Na rozdíl od determinantů jsou nezletilí roztomilí věci, které existují nejen v drsných čtvercových matricích. V této matici vybereme několik (například $k$) řádků a sloupců s $1\le k\le m$ a $1\le k\le n$. Pak:

Definice. $k$ menší řád je determinantem čtvercové matice, která se objeví v průsečíku vybraných $k$ sloupců a řádků. Tuto novou matici budeme také nazývat jako vedlejší.

Takový minor je označen $((M)_(k))$. Přirozeně, jedna matice může mít celou řadu nezletilých v řádu $k$. Zde je příklad menšího řádu 2 pro matici $\left[ 5\times 6 \right]$:
Výběr $k = 2$ sloupců a řádků pro vytvoření vedlejšího

Není nutné, aby vybrané řádky a sloupce byly vedle sebe, jako ve výše uvedeném příkladu. Hlavní je, aby byl počet vybraných řádků a sloupců stejný (to je číslo $k$).

Existuje další definice. Třeba se to někomu bude líbit víc:

Definice. Nechť je dána pravoúhlá matice $A=\left[ m\times n \right]$. Pokud se v ní po smazání jednoho nebo více sloupců a jednoho nebo více řádků vytvoří čtvercová matice o velikosti $\left[ k\krát k \right]$, pak je jejím determinantem vedlejší $((M)_(k) )) $. Samotnou matici budeme také někdy nazývat minoritou – to bude zřejmé z kontextu.

Jak říkávala moje kočka, někdy je lepší dostat jídlo z 11. patra jednou, než mňoukat na balkóně.

Příklad. Nechte matici

Výběrem řádku 1 a sloupce 2 získáme moll prvního řádu:

\[((M)_(1))=\left| 7\vpravo|=7\]

Výběrem řádků 2, 3 a sloupců 3, 4 získáme moll druhého řádu:

\[((M)_(2))=\left| \začátek(matice) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\konec (matice) \right|=5-18=-13\]

A pokud vyberete všechny tři řádky, stejně jako sloupce 1, 2, 4, bude tam minor třetího řádu:

\[((M)_(3))=\left| \začátek(matice) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\konec (matice) \right|\]

Pro čtenáře nebude těžké najít další nezletilé řády 1, 2 nebo 3. Proto jedeme dál.

Algebraické sčítání

"No, dobře, a co nám tito přisluhovači dávají nezletilým?" jistě se zeptáte. Samy o sobě nic. Ale ve čtvercových maticích má každý moll "společníka" - další moll a také algebraické sčítání. A společně tyto dvě grotesky nám umožní cvakat determinanty jako ořechy.

Definice. Nechť je dána čtvercová matice $A=\left[ n\krát n \right]$, ve které je zvolena vedlejší $((M)_(k))$. Potom je dodatečná moll pro vedlejší $((M)_(k))$ částí původní matice $A$, která zůstane po smazání všech řádků a sloupců zapojených do kompilace vedlejší $((M) )_(k))$:
Další vedlejší až vedlejší $((M)_(2))$
Ujasněme si jeden bod: doplňková moll není jen „část matice“, ale determinant této části.

Další nezletilí jsou označeni hvězdičkou: $M_(k)^(*)$:

kde operace $A\nabla ((M)_(k))$ doslova znamená "smazat z $A$ řádky a sloupce obsažené v $((M)_(k))$". Tato operace není v matematice obecně přijímána - jen jsem si ji vymyslel sám pro krásu příběhu. :)

Doplňkové nezletilé se zřídka používají samostatně. Jsou součástí složitější konstrukce - algebraického sčítání.

Definice. Algebraický doplněk vedlejšího $((M)_(k))$ je komplementární moll $M_(k)^(*)$ vynásobený $((\left(-1 \right))^(S)) $ , kde $S$ je součet čísel všech řádků a sloupců zapojených do původního vedlejšího $((M)_(k))$.

Algebraický doplněk vedlejšího $((M)_(k))$ se zpravidla značí $((A)_(k))$. Proto:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Obtížný? Na první pohled ano. Ale není to přesně tak. Protože je to opravdu snadné. Zvažte příklad:

Příklad. Vzhledem k matici 4x4:

Volíme moll druhého řádu

\[((M)_(2))=\left| \začátek(matice) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\konec (matice) \vpravo|\]

Captain Evidence nám takříkajíc napovídá, že do sestavování této vedlejší položky byly zapojeny řádky 1 a 4 a také sloupce 3 a 4. Škrtneme je - získáme další vedlejší:

Zbývá najít číslo $S$ a získat algebraický doplněk. Protože známe čísla zúčastněných řádků (1 a 4) a sloupců (3 a 4), je vše jednoduché:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Odpověď: $((A)_(2))=-4$

To je vše! Ve skutečnosti je celý rozdíl mezi vedlejším vedlejším a algebraickým sčítáním pouze v minusu vpředu, a i když ne vždy.

Laplaceova věta

A tak jsme se dostali k bodu, proč vlastně všechny tyto vedlejší a algebraické sčítání byly potřeba.

Laplaceova věta o rozkladu determinantu. Nechť je vybráno $k$ řádků (sloupců) v matici o velikosti $\left[ n\krát n \right]$, s $1\le k\le n-1$. Potom je determinant této matice roven součtu všech součinů minoritních řádů $k$ obsažených ve vybraných řádcích (sloupcích) a jejich algebraických doplňků:

\[\left| A \right|=\součet(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Navíc budou přesně $C_(n)^(k)$ takové podmínky.

Dobře, dobře: o $C_(n)^(k)$ - už se předvádím, v původní Laplaceově větě nic takového nebylo. Nikdo ale kombinatoriku nezrušil a doslova letmý pohled na podmínku vám umožní se sami přesvědčit, že termínů bude přesně tolik. :)

Nebudeme to dokazovat, i když to není nijak zvlášť obtížné - všechny výpočty vycházejí ze starých dobrých permutací a sudých / lichých inverzí. Důkaz však bude uveden v samostatném odstavci a dnes tu máme ryze praktickou lekci.

Proto se obracíme ke speciálnímu případu této věty, kdy minority jsou samostatné buňky matice.

Řádková a sloupcová expanze determinantu

To, o čem si teď budeme povídat, je právě ten hlavní nástroj pro práci s determinanty, kvůli kterému byla celá ta hra s permutacemi, moll a algebraickými sčítáními spuštěna.

Čtěte a užívejte si:

Důsledek Laplaceovy věty (rozklad determinantu v řádku/sloupci). Nechť je vybrán jeden řádek v $\left[ n\times n \right]$ matici. Nezletilí v tomto řádku budou $n$ jednotlivých buněk:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Další nezletilé lze také snadno vypočítat: stačí vzít původní matici a přeškrtnout řádek a sloupec obsahující $((a)_(ij))$. Takovým nezletilým říkáme $M_(ij)^(*)$.

Pro algebraický doplněk je také potřeba číslo $S$, ale v případě minoru řádu 1 je to jednoduše součet "souřadnic" buňky $((a)_(ij))$:

A pak lze původní determinant zapsat pomocí $((a)_(ij))$ a $M_(ij)^(*)$ podle Laplaceova teorému:

\[\left| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Tak to je vzorec pro rozšíření řádků. To samé ale platí i pro kolony.

Z tohoto závěru lze vyvodit několik závěrů:

Toto schéma funguje stejně dobře pro řádky i sloupce. Ve skutečnosti bude rozklad nejčastěji probíhat přesně podél sloupců, spíše než podél čar.
Počet termínů v rozšíření je vždy přesně $n$. To je mnohem méně než $C_(n)^(k)$ a dokonce méně než $n!$.
Místo jednoho determinantu $\left[ n\krát n \right]$ budete muset počítat několik determinantů o velikosti o jeden méně: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n- 1 \vpravo) \vpravo ]$.

Poslední skutečnost je obzvláště důležitá. Například místo brutálního determinantu 4x4 teď bude stačit počítat několik determinantů 3x3 - s těmi si nějak poradíme. :)

Úkol. Najděte determinant:

\[\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\konec (matice) \right|\]

Řešení. Rozšiřme tento determinant o první řádek:

\[\begin(zarovnat)\left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začátek(matice) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\konec (matice) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \začátek(matice) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\konec (matice) \vpravo|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \začátek(matice) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\konec (matice) \vpravo|= & \\\konec (zarovnání)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\konec (zarovnat)\]

Úkol. Najděte determinant:

\[\left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\konec (matice) \right|\ ]

Řešení. Pojďme pro změnu tentokrát pracovat se sloupci. Například v posledním sloupci jsou dvě nuly najednou - to samozřejmě výrazně sníží výpočty. Nyní uvidíte proč.

Takže rozšíříme determinant ve čtvrtém sloupci:

\[\begin(zarovnat)\left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\konec (matice) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\konec (matice) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ vpravo))^(2+4))\cdot \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\konec (matice) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ vpravo))^(3+4))\cdot \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\konec (matice) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ vpravo))^(4+4))\cdot \left| \begin(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matice) \right| &\\\konec (zarovnat)\]

A pak - oh, zázrak! - dva termíny okamžitě letí do odpadu, protože mají násobitel „0“. Existují dva další determinanty 3x3, se kterými si můžeme snadno poradit:

\[\begin(zarovnat) & \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\konec (matice) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\konec (matice) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\konec (zarovnat)\]

Vrátíme se ke zdroji a najdeme odpověď:

\[\left| \začátek(matice) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\konec (matice) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

Dobře, teď je po všem. A ne 4! = 24 termínů se nemuselo počítat. :)

Odpověď: -2

Základní vlastnosti determinantu

V minulém problému jsme viděli, jak přítomnost nul v řádcích (sloupcích) matice drasticky zjednodušuje rozšiřování determinantu a obecně všechny výpočty. Nabízí se přirozená otázka: je možné, aby se tyto nuly objevily i v matici, kde původně nebyly?

Odpověď je jasná: Umět. A zde nám na pomoc přijdou vlastnosti determinantu:

Pokud prohodíte dva řádky (sloupce) na místech, determinant se nezmění;
Pokud se jeden řádek (sloupec) vynásobí číslem $k$, pak se číslem $k$ vynásobí i celý determinant;
Pokud vezmete jeden řetězec a kolikrát ho přidáte (odečtete) od jiného, determinant se nezmění;
Pokud jsou dva řádky determinantu stejné nebo úměrné, nebo je jeden z řádků vyplněn nulami, pak je celý determinant roven nule;
Všechny výše uvedené vlastnosti platí i pro sloupce.
Transponování matice nemění determinant;
Determinant součinu matic je roven součinu determinantů.

Zvláštní hodnotu má třetí vlastnost: můžeme odečítat od jednoho řádku (sloupce) jiného, dokud se na správných místech neobjeví nuly.

Nejčastěji výpočty vedou k „vynulování“ celého sloupce všude kromě jednoho prvku a následnému rozšíření determinantu podél tohoto sloupce, čímž se získá matice o velikosti 1 menší.

Podívejme se, jak to funguje v praxi:

Úkol. Najděte determinant:

\[\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\konec (matice) \right|\ ]

Řešení. Nuly zde, jak to bylo, nejsou vůbec pozorovány, takže můžete „vyhloubit“ jakýkoli řádek nebo sloupec - množství výpočtů bude přibližně stejné. Nebuďme maličkosti a "vynulujme" první sloupec: už má buňku s jednotkou, takže stačí vzít první řádek a odečíst ho 4x od druhého, 3x od třetího a 2x od posledního.

V důsledku toho získáme novou matici, ale její determinant bude stejný:

\[\begin(matice)\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\konec (matice) \right|\ begin(matice) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matice)= \\ =\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matice) \right|= \\ =\left| \začátek(matice) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matice)\right| \\\konec(matice)\]

Nyní, s vyrovnaností Prasátka, rozložíme tento determinant v prvním sloupci:

\[\begin(matice) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začátek(matice) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\konec (matice) \right|+0\cdot ((\ left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \vpravo| \\\konec(matice)\]

Je jasné, že „přežije“ pouze první člen - ve zbytku jsem determinanty ani nevypsal, protože jsou stále násobeny nulou. Koeficient před determinantem je roven jedné, tzn. nemusí být zaznamenáno.

Ale můžete odstranit "mínusy" ze všech tří řádků determinantu. Faktor (−1) jsme vyňali třikrát:

\[\left| \začátek(matice) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\konec (matice) \right|=\cdot \left| \začátek(matice) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\konec (matice) \right|\]

Dostali jsme malý determinant 3x3, který už lze vypočítat podle pravidla trojúhelníků. Ale pokusíme se to rozložit v prvním sloupci - přínos v posledním řádku je hrdý:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \začátek(matice) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\konec (matice) \vpravo|\začátek (matice) -7 \\ -2 \\ \nahoru \ \\end(matice)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matice) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matice) \right|= \\ & =\cdot \left| \začátek(matice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\konec (matice) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \začátek(matice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\konec(matice) \vpravo| \\\konec (zarovnat)\]

Můžete se samozřejmě i nadále bavit a rozkládat matici 2x2 za sebou (sloupec), ale my jsme s vámi adekvátní, takže jen počítáme odpověď:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \začátek(matice) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\konec (matice) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Tak se lámou sny. Pouze -160 v odpovědi. :)

Odpověď: -160.

Několik poznámek, než přejdeme k poslednímu úkolu:

Původní matice byla symetrická vzhledem k sekundární diagonále. Všechny minory v rozkladu jsou také symetrické vzhledem ke stejné sekundární diagonále.
Přísně vzato jsme nemohli rozložit vůbec nic, ale jednoduše uvést matici do horního trojúhelníkového tvaru, kdy pod hlavní úhlopříčkou jsou plné nuly. Potom (mimochodem v přesném souladu s geometrickou interpretací) je determinant roven součinu $((a)_(ii))$, čísel na hlavní diagonále.

Úkol. Najděte determinant:

\[\left| \začátek(matice) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\konec (matice) \right|\ ]

Řešení. No, tady první řádek jen prosí o "nulování". Vezmeme první sloupec a odečteme přesně jednou od všech ostatních:

\[\begin(zarovnat) & \left| \začátek(matice) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\konec (matice) \right|= \\&=\left| \začátek (matice) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 \\\konec (matice) \right|= \\ & =\left| \začátek(matice) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\konec (matice) \vpravo| \\\konec (zarovnat)\]

Rozbalte první řádek a poté vyjměte společné faktory ze zbývajících řádků:

\[\cdot\left| \začátek(matice) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\konec (matice) \right|=\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\konec (matice) \right|\]

Opět pozorujeme „krásná“ čísla, ale již v prvním sloupci - podle něj rozložíme determinant:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\konec (matice) \vpravo|\začátek (matice) \dolů \\ -1 \\ -1 \ \\end(matice)=240\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\konec (matice) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ vpravo))^(1+1))\cdot \left| \začátek(matice) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\konec (matice) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\konec( zarovnat)\]

Objednat. Problém je vyřešen.

Odpověď: 1440