Tvorba matice integrálního obrazu se samostatným vnímáním prvků komplexního objektu. Tvorba matice integrálního obrazu s odděleným vnímáním prvků komplexního objektu Hledání jádra obrazu lineárního operátoru

Objasnění principů integrace diskrétních informací v případě odděleného vnímání prvků komplexního objektu je aktuálním interdisciplinárním problémem. Článek pojednává o procesu vytváření obrazu objektu, který je komplexem bloků, z nichž každý kombinuje sadu malých prvků. Jako předmět studia byla vybrána konfliktní situace, protože byla trvale v oblasti pozornosti s nezměněnou strategií analýzy informací. Okolnosti situace byly součástí objektu a byly odděleně vnímány jako prototypy konfliktu. Úkolem této práce bylo matematicky vyjádřit matici, která odrážela obraz problematické behaviorální situace. Řešení problému vycházelo z podkladů vizuální analýzy návrhu grafické kompozice, jejíž prvky odpovídaly situačním okolnostem. Velikost a grafické vlastnosti vybraných prvků a také jejich rozložení v kompozici sloužily jako vodítko pro zvýraznění řádků a sloupců v obrazové matici. Studie ukázala, že návrh matice je určen zaprvé motivací chování, zadruhé vztahy příčiny a následku situačních prvků a posloupností získávání informací a zatřetí alokací informačních fragmentů. v souladu s jejich váhovými parametry. Lze předpokládat, že uvedené principy maticového vektoru utváření obrazu behaviorální situace jsou typické pro konstrukci obrazů a dalších objektů, na které je zaměřena pozornost.

vizualizace

vnímání

diskrétnost informací

1. Anokhin P.K. Eseje o fyziologii funkčních systémů. – M.: Medicína, 1985. – 444 s.

2. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineární algebra: učebnice pro vysoké školy. – 6. vyd. – M.: Fizmatlit, 2004. -280 s.

3. Lavrov V.V. Mozek a psychika. - Petrohrad: RGPU, 1996. - 156 s.

4. Lavrov V.V., Lavrova N.M. Vliv agrese na integritu, integritu, hodnotu a subjektivitu obrazu konfliktní situace // Kognitivní psychologie: interdisciplinární výzkum a integrativní postupy. - Petrohrad: VVM, 2015. - S. 342-347.

5. Lavrov V.V., Rudinský A.V. Triáda strategií zpracování informací při rozpoznávání neúplných vizuálních obrazů // Základní výzkum. - 2014 - č. 6 (2). - S. 375-380.

6. Lavrová N.M., Lavrov V.V., Lavrov N.V. Mediace: zodpovědná rozhodnutí. - M: OPPL, 2013. - 224 s.

7. Shelepin Yu.E., Chikhman V.N., Foreman N. Analýza výzkumu vnímání fragmentovaných obrazů - integrální vnímání a vnímání pomocí informativních prvků // Russian Journal of Physiology. 2008. - T. 94. č. 7. - S. 758-776.

Výsledky studií o vnímání neúplných obrazů rozšířily perspektivu studia principů, které určují integraci diskrétních informací a montáž integrálních obrazů. Analýza vlastností rozpoznávání fragmentovaných obrazů při prezentaci měnícího se počtu fragmentů umožnila vysledovat tři strategie pro konstrukci integrálního obrazu v podmínkách informačního nedostatku. Strategie se lišily v hodnocení významu dostupných částí informací pro vytvoření celistvého obrazu. Jinými slovy, každá strategie se vyznačovala manipulací s váhovými parametry dostupných informací. První strategie počítala s ekvivalencí obrazových fragmentů - jeho identifikace byla provedena po nashromáždění informací na úroveň dostatečnou pro kompletní reprezentaci prezentovaného objektu. Druhá strategie byla založena na diferencovaném přístupu k hodnocení váhy dostupných informací. Hodnocení bylo provedeno v souladu s předloženou hypotézou o podstatě objektu. Třetí strategie byla určena motivací k maximálnímu využití dostupných informací, které byly obdařeny vysokou váhou a byly považovány za znak či prototyp skutečného předmětu. Důležitým bodem v práci provedené dříve bylo zvážení mozkových mechanismů, které umožnily změnu strategií v závislosti na dominantní emoci a motivaci chování. To se týká nespecifických systémů mozku a heterogenity neuronových modulů pracujících pod kontrolou centrálního řízení. Provedené studie, stejně jako ty, které jsou známé z literárních zdrojů, ponechaly otázku principů distribuce informací v celém obrazu otevřenou. Pro zodpovězení otázky bylo nutné pozorovat utváření obrazu předmětu, na který je dlouhodobě zaměřena pozornost a zvolená strategie konstrukce obrazu zůstává nezměněna. Takovým objektem by mohla být konfliktní situace, protože byla důsledně v oblasti pozornosti s druhou strategií analýzy okolností beze změny. Sporné strany odmítly první strategii kvůli prodloužení doby trvání konfliktu a neuplatnily třetí strategii, aby se zabránilo chybným rozhodnutím.

cílová Tato práce spočívala v objasnění principů konstrukce obrazové matice na základě prvků informací získaných při samostatném vnímání složek komplexního objektu, na který byla zaměřena pozornost. Řešili jsme následující úkoly: za prvé jsme vybrali objekt, na který byla dlouho zaměřena pozornost, za druhé jsme pomocí metody vizualizace obrazu vysledovali fragmentaci informací získaných při vnímání objektu a za třetí jsme formulovat principy integrálních distribučních fragmentů v matici.

Materiály a metody výzkumu

Problematická behaviorální situace sloužila jako vícesložkový objekt, který byl trvale v centru pozornosti s nezměněnou strategií analýzy dostupných informací. Problém byl způsoben konfliktem ve vztazích rodinných příslušníků, ale i zaměstnanců průmyslových a vzdělávacích institucí. Mediaci směřující k vyřešení rozporů mezi spornými stranami předcházely experimenty, ve kterých byla provedena analýza obrazu situace. Před zahájením mediačních jednání dostali zástupci sporných stran nabídku zúčastnit se jako subjekty experimentů technikou, která usnadňuje analýzu situace. Technika vizualizace umožnila sestrojit grafickou kompozici, která odrážela konstrukci obrazu, který vznikl při samostatném vnímání složek komplexního objektu. Technika sloužila jako nástroj pro studium procesů utváření celistvého obrazu ze souboru prvků odpovídajících detailům objektu. Soubor subjektů tvořilo 19 žen a 8 mužů ve věku 28 až 65 let. Pro získání úplného vizuálního obrazu situace byly subjekty požádány, aby provedly následující akce: 1) obnovit v paměti okolnosti konfliktní situace – události, vztahy s lidmi, motivy jejich chování a jejich okolí; 2) zhodnotit okolnosti podle jejich významu pro pochopení podstaty situace; 3) rozdělit okolnosti na příznivé a nepříznivé pro řešení konfliktu a pokusit se vysledovat jejich vztah; 4) vybrat vhodný, podle vašeho názoru, grafický prvek (kruh, čtverec, trojúhelník, čára nebo tečka) pro každou z okolností, které charakterizují situaci; 5) z grafických prvků vytvořit kompozici s přihlédnutím k významu a vzájemnému vztahu okolností přenášených těmito prvky a výslednou kompozici nakreslit na list papíru. Byly analyzovány grafické kompozice - vyhodnoceno řazení a poměr velikostí prvků obrazu. Náhodné neuspořádané kompozice byly odmítnuty a subjekty byly požádány, aby přehodnotily vztah situačních okolností. Výsledky zobecněné analýzy kompozice posloužily jako vodítko pro formulaci matematického vyjádření obrazové matice.

Výsledky výzkumu a diskuse

Každá grafická kompozice, jejímž prostřednictvím subjekt prezentoval konstrukci obrazu behaviorální situace, byla originální. Příklady kompozic jsou znázorněny na obrázku.

Grafické kompozice odrážející obrazy problematických situací chování, ve kterých se subjekty nacházely (každý prvek kompozice odpovídá situačním okolnostem)

Jedinečnost skladeb svědčila o zodpovědném přístupu subjektů k rozboru situací s přihlédnutím k jejich osobitým rysům. Počet prvků v kompozici a dimenze prvků, stejně jako návrh kompozice, odrážely posouzení souboru okolností.

Poté, co byla zaznamenána originalita kompozic, studie se obrátila k identifikaci základních rysů designu obrazu. Ve snaze vybudovat integrální kompozici, která odráží obraz situace, subjekty rozložily prvky v souladu se svými individuálními preferencemi, stejně jako s přihlédnutím ke vztahům příčiny a následku okolností a kombinaci okolností v čase. . Sedm subjektů preferovalo sestavení kompozice do podoby obrazu, jehož konstrukce byla určena předem sestaveným figurativním plánem. Na Obr. 1 (a, b, d) jsou uvedeny příklady takových kompozic. Před sestavením kompozice si dva subjekty vědomě zvolily myšlenku, která je základem plánu, a pět intuitivně, aniž by uvedli logické vysvětlení, proč se u zvolené možnosti zastavili. Zbývajících dvacet subjektů vytvořilo schematickou kompozici, přičemž pozornost věnovala pouze vztahům příčin a následků okolností a kombinaci okolností v čase (obr. 1, c, e, f). Ve skladbě se spojily okolnosti spojené a časově se shodující. V experimentech nebyla provedena interpretace podstaty konfliktu pomocí dat grafické kompozice. Takový výklad byl následně proveden v rámci mediace, kdy byla zjišťována připravenost stran k jednání.

Analýza kompozic umožnila vysledovat nejen rozdílnost, ale také univerzálnost principů utváření obrazu situace. Za prvé, kompozice se skládaly z grafických prvků, z nichž každý odrážel okolnosti, které měly společné. Obecnost okolností byla způsobena příčinnými a časovými vztahy. Zadruhé, okolnosti měly nestejný význam pro pochopení podstaty problémové situace. Čili okolnosti se lišily v parametrech hmotnosti. Velmi významné okolnosti byly znázorněny grafickými prvky ve zvětšené velikosti oproti méně významným. Poznamenané rysy obrazu byly vzaty v úvahu při sestavování obrazové matice. To znamená, že velikost a grafické vlastnosti vybraných prvků i jejich prostorová poloha v grafické kompozici sloužily jako vodítko pro sestavení informační matice, která odrážela obraz situace a byla jejím matematickým modelem. Obdélníková matice prezentovaná jako tabulka je rozdělena do řádků a sloupců. Ve vztahu k vytvořenému obrazu problémové situace v matici byly rozlišeny řádky, ve kterých byly vážené prvky předobrazu, spojené kauzálními a časovými vztahy, a sloupce obsahující elementární data, která se lišila váhovými parametry.

(1)

Každá samostatná linie odrážela formování části obrazu nebo jinými slovy prototypu objektu. Čím více čar a čím více m, tím komplexněji byl objekt vnímán, protože strukturální a funkční vlastnosti, které sloužily jako jeho prototypy, byly plně brány v úvahu. Počet sloupců n byl určen počtem detailů zaznamenaných při konstrukci prototypu. Dá se předpokládat, že čím více informačních fragmentů vysoké a nízké hmotnosti bylo nashromážděno, tím plněji prototyp odpovídal skutečnosti. Matrix (1) se vyznačoval dynamičností, neboť jeho rozměr se měnil v souladu s úplností obrazu vnímaného předmětu.

Zde je vhodné poznamenat, že úplnost není jediným ukazatelem kvality snímku. Obrazy prezentované na plátnech umělců často ztrácejí fotografie v detailech a v souladu s realitou, ale zároveň mohou předčít ve spojení s jinými obrazy, ve vzrušování imaginace a ve vyvolávání emocí. Tato poznámka pomáhá pochopit význam parametrů amn, které označují váhu informačních fragmentů. Nárůst hmotnosti kompenzoval nedostatek dostupných údajů. Jak ukázalo studium strategií pro překonání nejistoty, uznání vysokého významu dostupných informací urychlilo rozhodování v problémové situaci.

Proces utváření celého obrazu lze tedy interpretovat, pokud jej korelujeme s manipulací s informacemi v rámci matice. Manipulace je vyjádřena svévolnou nebo nedobrovolnou (vědomou účelovou nebo intuitivní nevědomou) změnou váhových parametrů informačních fragmentů, tedy změnou hodnoty amn. V tomto případě se zvyšuje nebo snižuje hodnota bm, která charakterizuje význam prototypu a současně se mění výsledný obrázek br. Pokud se obrátíme na maticový model vytváření obrazu, který pokrývá soubor dat o objektu, pak je organizace obrazu popsána následovně. Označte vektor předobrazů obsahujících m složek

kde T je znak transpozice a každý prvek vektoru předobrazů má tvar:

Poté lze výběr výsledného obrázku provést podle Laplaceova pravidla:

kde br je konečný výsledek vytvoření integrálního obrazu, který má jako své složky hodnoty bm, amn je sada hodnot, které určují parametry polohy a váhy proměnné v řádku odpovídající předobrazu . V podmínkách omezených informací lze konečný výsledek zvýšit zvýšením váhy dostupných dat.

V závěru diskuse k předloženému materiálu o principech tvorby obrazu je třeba upozornit na nutnost upřesnění pojmu „obraz“, neboť v literatuře neexistuje žádný obecně přijímaný výklad. Termín především znamená vytvoření uceleného systému informačních fragmentů, které odpovídají detailům objektu v oblasti pozornosti. Navíc velké detaily objektu jsou reflektovány subsystémy informačních fragmentů, které tvoří prototypy. Objekt, jev, proces i behaviorální situace mohou působit jako objekt. Utváření obrazu je zajišťováno asociacemi přijímané informace a té, která je obsažena v paměti a je spojena s vnímaným objektem. Konsolidace informačních fragmentů a asociací při vytváření obrazu je implementována v rámci matice, jejíž design a vektor jsou voleny vědomě nebo intuitivně. Výběr závisí na preferencích daných motivacemi chování. Zde je zvláštní pozornost věnována základnímu bodu - diskrétnosti informací použitých k připojení celé matice obrazu. Integrita, jak je ukázáno, je zajištěna nespecifickými mozkovými systémy, které řídí procesy analýzy přijatých informací a jejich integraci do paměti. Integrita může vzniknout při minimálních hodnotách n a m rovných jedné. Obraz získává vysokou hodnotu díky nárůstu váhových parametrů dostupných informací a úplnost obrazu se zvyšuje s rostoucími hodnotami n a m (1).

Závěr

Vizualizace prvků obrazu umožnila vysledovat principy jeho konstrukce v podmínkách samostatného vnímání okolností problematické behaviorální situace. Výsledkem provedených prací se ukázalo, že konstrukci integrálního obrazu lze považovat za rozložení informačních fragmentů v maticové struktuře. Jeho design a vektor jsou určeny zaprvé motivací chování, zadruhé příčinnými a následnými vztahy okolností a časovou posloupností získávání informace a zatřetí alokací informačních fragmentů v souladu s jejich váhovými parametry. Integrita obrazové matice je zajištěna integrací diskrétních informací, které odrážejí vnímaný objekt. Nespecifické systémy mozku tvoří mechanismus zodpovědný za integraci informací do koherentního obrazu. Objasnění maticových principů utváření obrazu složitého objektu rozšiřuje perspektivu pochopení podstaty nejen celistvosti, ale i dalších vlastností obrazu. To se týká integrity a zachování obrazového systému, stejně jako hodnoty a subjektivity, kvůli nedostatku úplných informací o předmětu.

Bibliografický odkaz

Definice 1. Obraz lineárního operátoru A je množina všech prvků, které lze reprezentovat jako , kde .

Obraz lineárního operátoru A je lineární podprostor prostoru. Jeho rozměr se nazývá hodnost operátora A.

Definice 2. Jádro lineárního operátoru A je množina všech vektorů, pro které je .

Jádro je lineární podprostor prostoru X. Jeho dimenze se nazývá závada operátora A.

Pokud operátor A působí v -rozměrném prostoru X, pak platí následující vztah + = .

Volá se operátor A nedegenerované pokud je jeho jádro . Hodnost nedegenerovaného operátoru se rovná rozměru prostoru X.

Nechť - matice lineární transformace A prostoru X v nějaké bázi, pak souřadnice obrazu a předobrazu souvisí vztahem

Souřadnice libovolného vektoru tedy vyhovují soustavě rovnic

Z toho vyplývá, že jádro lineárního operátoru je lineární obálkou základního systému řešení tohoto systému.

Úkoly

1. Dokažte, že hodnost operátoru je rovna hodnosti jeho matice na libovolném základě.

Vypočítejte jádra lineárních operátorů daných v nějaké bázi prostoru X pomocí následujících matic:

5. Dokažte to.

Vypočítejte hodnost a defekt operátorů daných následujícími maticemi:

6. . 7. . 8. .

3. VLASTNÍ VEKTORY A VLASTNÍ HODNOTY LINEÁRNÍHO OPERÁTORU

Uvažujme lineární operátor A působící v dimenzionálním prostoru X.

Definice.Číslo l se nazývá vlastní hodnota operátoru A if , takže . V tomto případě se vektor nazývá vlastní vektor operátoru A.

Nejdůležitější vlastností vlastních vektorů lineárního operátoru je, že vlastní vektory odpovídají párově různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.

Pokud je matice lineárního operátoru A na bázi prostoru X, pak jsou vlastní čísla l a vlastní vektory operátoru A definovány takto:

1. Vlastní čísla se nacházejí jako kořeny charakteristické rovnice (algebraická rovnice t. stupně):

2. Souřadnice všech lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících každému jednotlivému vlastnímu číslu se získá řešením soustavy homogenních lineárních rovnic:

jehož matice má hodnost . Základním řešením tohoto systému jsou vektorové sloupce souřadnic vlastních vektorů.

Kořeny charakteristické rovnice se také nazývají vlastní hodnoty matice a řešení systému se nazývají vlastní vektory matice.

Příklad. Najděte vlastní vektory a vlastní hodnoty operátoru A dané na nějaké bázi maticí

1. K určení vlastních hodnot sestavíme a vyřešíme charakteristickou rovnici:

Odtud vlastní hodnota, její násobnost.

2. K určení vlastních vektorů sestavíme a vyřešíme soustavu rovnic:

Ekvivalentní soustava základních rovnic má tvar

Každý vlastní vektor je tedy sloupcový vektor , kde c je libovolná konstanta.

3.1 Operátor jednoduché struktury.

Definice. Lineární operátor A působící v n-rozměrném prostoru se nazývá operátor jednoduché struktury, pokud odpovídá přesně n lineárně nezávislým vlastním vektorům. V tomto případě je možné sestrojit prostorovou bázi z vlastních vektorů operátoru, ve které má operátorová matice nejjednodušší diagonální tvar

kde jsou vlastní čísla operátora. Je zřejmé, že to platí i obráceně: pokud má v nějaké bázi prostoru X matice operátoru diagonální tvar, pak základ tvoří vlastní vektory operátoru.

Lineární operátor A je operátor jednoduché struktury právě tehdy, když každá vlastní hodnota násobnosti odpovídá přesně lineárně nezávislým vlastním vektorům. Protože vlastní vektory jsou řešením soustavy rovnic, každý kořen charakteristické rovnice násobnosti musí odpovídat matici pořadí.

Jakákoli matice velikosti odpovídající jednoduchému strukturnímu operátoru je podobná diagonální matici

kde přechodová matice T z původní báze na bázi vlastních vektorů má své sloupce sloupcových vektorů ze souřadnic vlastních vektorů matice (operátor A).

Příklad. Zredukujte matici lineárního operátoru na diagonální tvar

Sestavíme charakteristickou rovnici a najdeme její kořeny.

Odkud jsou vlastní hodnoty mnohosti a mnohosti.

První vlastní hodnota. Odpovídá vlastním vektorům, jejichž souřadnice jsou

systémové řešení

Hodnost tohoto systému je 3, takže existuje pouze jedno nezávislé řešení, například vektor .

Odpovídající vlastní vektory jsou určeny soustavou rovnic

jehož pořadí je 1, a proto existují tři lineárně nezávislá řešení, např.

Každé vlastní číslo násobnosti tedy odpovídá přesně lineárně nezávislým vlastním vektorům, a proto je operátor operátorem jednoduché struktury. Matice přechodu T má tvar

a spojení mezi podobnými maticemi a je určeno vztahem

Úkoly

Najděte vlastní vektory a vlastní čísla

lineární operátory definované v nějaké bázi maticemi:

Určete, který z následujících lineárních operátorů lze převedením na nový základ redukovat na diagonální tvar. Najděte tento základ a jeho odpovídající matici:

10. Dokažte, že vlastní vektory lineárního operátoru odpovídající různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.

11. Dokažte, že pokud lineární operátor A působící v má n různých hodnot, pak každý lineární operátor B, který komutuje s A, má základ vlastních vektorů a jakýkoli vlastní vektor A bude také vlastním vektorem pro B.

INVARIANTNÍ PODPROSTORY

Definice 1.. Podprostor L lineárního prostoru X se nazývá invariantní vzhledem k operátoru A působícímu v X, pokud pro každý vektor jeho obraz patří také do .

Hlavní vlastnosti invariantních podprostorů jsou určeny následujícími vztahy:

1. Jestliže a jsou invariantní podprostory pod operátorem A, pak jejich součet a průnik jsou také invariantní pod operátorem A.

2. Pokud se prostor X rozloží na přímý součet podprostorů a () a je invariantní pod A, pak matice operátoru v bázi, která je sjednocením bází, je bloková matice.

kde jsou čtvercové matice, 0 je nulová matice.

3. V libovolném podprostoru invariantu vzhledem k operátoru A má operátor alespoň jeden vlastní vektor.

Příklad 1 Uvažujme jádro nějakého operátoru A působícího v X. Podle definice . Nechte Potom , protože nulový vektor je obsažen v libovolném lineárním podprostoru. Proto je jádro invariantní podprostor vzhledem k A.

Příklad 2 Nechť v nějaké bázi prostoru X je operátor A dán maticí definovanou rovnicí a

5. Dokažte, že jakýkoli podprostor , který je invariantní vzhledem k nedegenerovanému operátoru A, bude také invariantní vzhledem k inverznímu operátoru .

6. Nechť lineární transformace A-rozměrného prostoru v bázi má diagonální matici s různými prvky na diagonále. Najděte všechny podprostory invariantní pod A a určete jejich počet.

V vektorový prostor PROTI přes vlastní pole P lineární operátor .

Definice 9.8. jádro lineární operátor  je množina prostorových vektorů PROTI, jehož obrázek je nulový vektor. Přijato zápis pro tuto sadu: Ker, tzn.

Ker = {X | (X) = Ó}.

Věta 9.7. Jádro lineárního operátoru je podprostorem prostoru PROTI.

Definice 9.9. Dimenze nazývá se jádro lineárního operátoru přeběhnout lineární operátor. matný Ker = d.

Definice 9.10.cesta lineární operátor  se nazývá množina obrázků prostorové vektory PROTI. Zápis pro tuto sadu Im, tzn. Im = {(X) | X PROTI}.

Věta 9.8. obraz lineární operátor je podprostor prostoru PROTI.

Definice 9.11. Dimenze nazývá se obraz lineárního operátoru hodnost lineární operátor. ztlumit Im = r.

Věta 9.9. Prostor PROTI je přímý součet jádra a obrazu lineárního operátoru v něm definovaného. Součet hodnosti a defektu lineárního operátoru je roven rozměru prostoru PROTI.

Příklad 9.3. 1) Ve vesmíru R[X] ( 3) najít hodnost a defekt operátor diferenciace. Najděte ty polynomy, jejichž derivace je rovna nule. To jsou polynomy stupně nula, takže Ker = {F | F = C) A d= 1. Derivace polynomů, jejichž stupeň nepřesahuje tři, tvoří množinu polynomů, jejichž stupeň nepřesahuje dva, proto, Im =R[X] ( 2) a r = 3.

2) Pokud lineární operátor daný maticí M(), pak k nalezení jeho jádra je nutné vyřešit rovnice ( X) = Ó, který v maticové podobě vypadá takto: M()[X] = [Ó]. Z To znamená, že základem jádra lineárního operátoru je základní množina řešení homogenního systému lineárních rovnic s hlavní maticí M(). Systém generátorů obrazu lineárního operátoru sestavte vektory ( E 1), (E 2), …, (E n). Základ tohoto systému vektorů dává základ obrazu lineárního operátoru.

9.6. Reverzibilní lineární operátory

Definice9.12. Lineární volá se operátor  reverzibilní, pokud existuje lineární operátor ψ takový co se dělá rovnost ψ = ψ = , kde  je operátor identity.

Věta 9.10. Pokud lineární operátor  zatočit, Že operátor ψ jedinečně definované a nazvané zvrátit Pro operátor .

V tomto případě je operátor inverzní k operátoru , značí se  –1.

Věta 9.11. Lineární operátor  je invertibilní právě tehdy, když je jeho matice invertibilní M(), zatímco M( –1) = (M()) –1 .

Z této věty vyplývá, že hodnost invertibilního lineárního operátoru je rovna rozměry prostor a vada je nulová.

Příklad 9.4 1) Určete, zda je lineární operátor  if ( X) = (2X 1 – X 2 , –4X 1 + 2X 2).

Řešení. Sestavme matici tohoto lineárního operátoru: M() = . Protože
= 0 pak matice M() je nevratný, což znamená, že lineární operátor .

2) Nalézt lineární operátor, zadní operátor  pokud (X) = (2X 1 + X 2 , 3X 1 + 2X 2).

Řešení. Matice této lineární operátor rovný M() =
, je reverzibilní, protože | M()| ≠ 0. (M()) –1 =
, takže  –1 = (2X 1 – X 2 , –3X 1 + 2X 2).