Okamžiky

Generující funkce momentů náhodné veličiny Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): Y \sim \mathrm(Log)(p) daný vzorcem

Vztah s jinými distribucemi

Poissonův součet nezávislých logaritmických náhodných proměnných má záporné binomické rozdělení. Nechat Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): \(X_i\)_(i=1)^n posloupnost nezávislých identicky rozdělených náhodných proměnných tak, že Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): X_i \sim \mathrm(Log)(p), \; i=1,2,\ldots. Nechat Nelze analyzovat výraz (spustitelný soubor texvc nenalezeno; Viz math/README pro nápovědu k nastavení.): N \sim \mathrm(P)(\lambda)- Poissonova náhodná veličina. Pak

Aplikace

Logaritmické rozložení uspokojivě popisuje rozložení velikosti asteroidů ve sluneční soustavě [[C:Wikipedia:Články bez zdrojů (země: Chyba Lua: callParserFunction: funkce "#property" nebyla nalezena. )]][[C:Wikipedie:Články bez zdrojů (země: Chyba Lua: callParserFunction: funkce "#property" nebyla nalezena. )]] .

.[[To:Wikipedia:Články bez zdrojů (země: Chyba Lua: callParserFunction: funkce "#property" nebyla nalezena. )]][[C:Wikipedie:Články bez zdrojů (země: Chyba Lua: callParserFunction: funkce "#property" nebyla nalezena. )]][[C:Wikipedie:Články bez zdrojů (země: Chyba Lua: callParserFunction: funkce "#property" nebyla nalezena. )]]

Napište recenzi na článek "Logaritmická distribuce"

Výňatek charakterizující logaritmické rozdělení

Pokud jsou mezi nimi záporné nebo nulové členy, pak je možné ke každému členu řady přidat nějakou konstantu, například . Podle jedné z vlastností matematického očekávání tato operace nezmění hlavní statistické charakteristiky řady. Tato operace vám v zadaném případě umožňuje přejít na lognormální rozdělení.

V důsledku aplikace logaritmické operace (36) na studované řady je rozdíl mezi daty výrazně snížen. To je patrné z Obr. 9.16 : je zřejmé , že .

Distribuční funkce nového řádku bude rovna

(37)

Ale pak

(38)

(39)

A nakonec

(40)

Vzorce (37) - (40) poskytují spojení mezi lognormálním a počátečním rozdělením.

Poissonův zákon rozdělení (zákon o rozdělení vzácných jevů)

Všechna rozdělení s dostatečně velkým počtem pokusů inklinují k zákonu normálního rozdělení. Pokud jsou však mezi údaji vzácné, výjimečné výsledky, pak rozdělení těchto vzácných jevů, zatímco většina inklinuje k normálnímu zákonu, inklinuje k jinému zákonu - zákonu Poissonovo rozdělení. Pro tento zákon je charakteristické, že s pravděpodobností buď inklinuje k nule. V tomto případě binomické rozdělení Poisson jde do

(41)

Kde má stejný význam jako v normálním rozdělení.

Zákon Poissonovo rozdělení, daný vzorcem (41), popisuje pravděpodobnost výskytu událostí vyskytujících se v přibližně stejných časových intervalech za předpokladu, že všechny události probíhají nezávisle na sobě as určitou intenzitou, i když velmi malou, ale nutně konstantní. Počet pokusů je v tomto případě velký a pravděpodobnost výskytu očekávané události je velmi malá a rovná se . Parametr pak bude charakterizovat intenzitu výskytu očekávané události v testovací sekvenci.

V tomto případě se pokusíme vypočítat očekávání.

Charakteristickým rysem tohoto typu distribuce budou následující matematické vztahy:

Příklad 5. Na polygonu bylo odebráno 150 vzorků. Někteří z nich našli přítomnost vzácného prvku:

Určete zákon rozdělení požadovaného prvku.

Řešení. Pro zodpovězení otázky v problému je třeba zkontrolovat splnění rovnosti (45), což je charakteristický rys Poissonovo rozdělení. Pro jednoduchost výpočtů budeme brát ne setiny, ale čísla zvětšená 100x, tzn.

Vzhledem k tomu, že docházíme k závěru, že rozložení požadovaného prvku se řídí zákonem Poissonovo rozdělení. Nyní pomocí vztahů (42) propočítáme teoretickou hodnotu , porovnáme ji s počáteční frekvencí , a

logaritmické rozdělení v teorii pravděpodobnosti třída diskrétních rozdělení. Logaritmické rozdělení se používá v různých aplikacích, včetně matematické genetiky a fyziky.

Definice

Nechť rozdělení náhodné veličiny $Y$ je dáno pravděpodobnostní funkcí:

$p\_Y(k)\; \backslash equiv\; \backslash mathbb(P)(Y=k)\; =\; -\backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p^k)(k),\backslash ;\; k=1,2,3,\backslash ldots$,

Kde $0$

Pak to říkají $Y$ má logaritmické rozdělení s parametrem $p$. Napsat: $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Log)(p)$.

Distribuční funkce náhodné veličiny $Y$ je po částech konstantní se skoky v přirozených bodech:

$F\_Y(y)\; =\; \backslash left\backslash ($

\begin(matice) 0, & y< 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in ,\; 0

$\backslash sum\backslash limits\_(k=1)^(\backslash infty)p\_Y(k)\; =\; 1$.

Okamžiky

Generující funkce momentů náhodné veličiny $Y\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Log)(p)$ daný vzorcem

$M\_Y(t)\; =\; \backslash frac(\backslash ln\backslash left)(\backslash ln)$,

$\backslash mathbb(E)[Y]\; =\; -\; \backslash frac(1)(\backslash ln(1-p))\; \backslash frac(p)(1-p)$, $\backslash mathrm(D)[Y]\; =\; -p\; \backslash ;\backslash frac(p\; +\; \backslash ln(1-p))((1-p)^2\backslash ,\backslash ln^2(1-p))$.

Vztah s jinými distribucemi

Poissonův součet nezávislých logaritmických náhodných proměnných má záporné binomické rozdělení. Nechat $\backslash (X\_i\backslash )\_(i=1)^n$ posloupnost nezávislých identicky rozdělených náhodných proměnných tak, že $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(Log)(p),\; \backslash ;\; i=1,2,\backslash ldots$. Nechat $N\; \backslash sim\; \backslash mathrm(P)(\backslash lambda)$- Poissonova náhodná veličina. Pak

$Y\; =\; \backslash sum\backslash limits\_(i=1)^N\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(NB)$.

Aplikace

Napište recenzi na článek "Logaritmická distribuce"

Výňatek charakterizující logaritmické rozdělení

Vítr utichl, černé mraky visely nízko nad bojištěm a na obzoru se slévaly s kouřem ze střelného prachu. Stmívalo se a tím zřetelněji se na dvou místech ukazovala záře ohňů. Kanonáda zeslábla, ale rachocení děl za a napravo bylo slyšet ještě častěji a blíž. Jakmile se Tushin se svými zbraněmi, obcházel a přebíhal raněné, dostal z ohně a sestoupil do rokle, setkali se s ním jeho nadřízení a pobočníci, včetně štábního důstojníka a Žerkova, který byl poslán dvakrát a nikdy dosáhl Tushinovy ​​baterie. Všichni se navzájem přerušovali, vydávali a přenášeli rozkazy, jak a kam jít, a dělali mu výčitky a poznámky. Tushin nic nenařídil a tiše, bál se promluvit, protože na každé slovo byl připraven, aniž by věděl proč, plakat, jel za sebou na svém dělostřeleckém kobylku. Přestože bylo nařízeno, aby byli ranění opuštěni, mnozí z nich se táhli za vojáky a žádali o zbraně. Velmi temperamentní pěchotní důstojník, který před bitvou vyskočil z Tushinovy ​​chatrče, byl s kulkou v břiše položen na Matvevnin kočár. Pod horou přistoupil k Tushinovi bledý husarský kadet, podpírající druhou rukou, a požádal ho, aby se posadil.

Funkce logaritmicky normálního rozdělení našla široké uplatnění při analýze spolehlivosti objektů ve strojírenství, biologii, ekonomii atd. Funkce se například úspěšně používá k popisu doby do selhání ložisek, elektronických zařízení a dalších produktů.

Nezáporné náhodné hodnoty některého parametru jsou lognormálně rozděleny, pokud je jeho logaritmus normálně rozdělen. Distribuční hustota pro různé hodnoty σ je znázorněna na obr. 4.3.

Rýže. 4.3.

Distribuční hustota je popsána závislostí

Kde Mх a σ jsou parametry odhadnuté z výsledků P test do selhání:

(4.4)

Pro logaritmicky normální rozdělení funkce spolehlivosti

(4.5)

Pravděpodobnost bezporuchového provozu lze určit z tabulek pro normální rozdělení (viz tabulka A6.1 přílohy 6) v závislosti na hodnotě kvantilu

Matematické očekávání času do selhání

Směrodatná odchylka a variační koeficient se budou rovnat

Li proti X ≤ 0,3, pak se předpokládá, že ν x = σ, přičemž chyba není větší než 1%.

Často se používá k zápisu závislostí pro zákon o logaritmicky normálním rozdělení v desítkových logaritmech. V souladu s tímto zákonem je hustota distribuce

Odhady parametrů lg X 0 a σ se určí z výsledků testu:

Očekávaná hodnota M x, standardní odchylka σ x a variační koeficient ν x čas do selhání, resp

Příklad 4.6

Určete pravděpodobnost bezporuchového provozu převodovky pro t= 103 h, pokud je zdroj distribuován log-normálně s parametry lg t 0 = 3,6; a = 0,3.

Řešení

Zjistíme hodnotu kvantilu a určíme pravděpodobnost bezporuchového provozu:

Odpovědět: R(t) = 0,0228.

Weibullova distribuce

Funkce Weibullova rozdělení je dvouparametrové rozdělení. Zákon, který popsal, je univerzální, protože s příslušnými hodnotami parametrů se mění na normální, exponenciální a jiné typy rozdělení. Autor tohoto distribučního zákona W. Weibull jej použil při popisu a analýze experimentálně pozorovaných rozptylů únavové pevnosti oceli a jejích mezí pružnosti. Weibullův zákon uspokojivě popisuje dobu do selhání ložisek, prvků elektronických zařízení, používá se k posouzení spolehlivosti strojních součástí a sestav včetně automobilů a také k posouzení spolehlivosti strojů v procesu jejich záběhu. Distribuční hustota je popsána závislostí

kde α je parametr tvaru distribuční křivky; λ je měřítkový parametr distribuční křivky.

Graf funkce hustoty distribuce je znázorněn na Obr. 4.4.

Rýže. 4.4.

Weibullova distribuční funkce

Funkce spolehlivosti pro tento distribuční zákon

Matematické očekávání náhodné veličiny X rovná se

kde G( X) je funkce gama.

Pro spojité hodnoty X

Pro celočíselné hodnoty X gama funkce se vypočítá podle vzorce

vzorce jsou také správné

Rozptyl náhodné veličiny je

Široké použití zákona Weibullova rozdělení při analýze a výpočtech spolehlivosti produktů se vysvětluje tím, že tento zákon, zobecňující exponenciální rozdělení, obsahuje další parametr α.

Správným výběrem parametrů a a λ lze získat lepší shodu mezi vypočtenými hodnotami a experimentálními daty ve srovnání s exponenciálním zákonem, který je jednoparametrový (parametr λ).

Takže u výrobků, které mají skryté vady, ale které se dlouho nepoužívají (a tedy stárnou pomaleji), je riziko selhání nejdůležitější v počátečním období a pak rychle klesá. Spolehlivostní funkci pro takový výrobek dobře popisuje Weibullův zákon s parametrem α< 1.

Naopak, pokud je výrobek při výrobě dobře kontrolován a nemá téměř žádné skryté vady, ale podléhá rychlému stárnutí, pak funkci spolehlivosti popisuje Weibullův zákon s parametrem α > 1. Při α = 3,3 je Weibull distribuce se blíží normálu.

Náhodná proměnná se nazývá log-normálně rozdělená, pokud její logaritmus dodržuje zákon normálního rozdělení.

To zejména znamená, že hodnoty log-normální náhodné veličiny se tvoří pod vlivem velmi velkého počtu vzájemně nezávislých faktorů a účinek každého jednotlivého faktoru je „stejně nevýznamný“ a stejně pravděpodobný ve znaménku . Přitom na rozdíl od schématu tvorby mechanismu normálního zákona je sekvenční charakter dopadu náhodných faktorů takový, že náhodné zvýšení způsobené působením každého dalšího faktoru je úměrné hodnotě sledovaná hodnota již v tomto okamžiku dosažená (v tomto případě se hovoří o multiplikativní povaze dopadu faktoru). Matematicky lze to, co bylo řečeno, formalizovat následovně. Pokud - nenáhodná složka studovaného znaku (tj. jakoby "skutečná" hodnota v idealizovaném schématu, kdy je eliminován vliv všech náhodných faktorů), - číselné vyjádření účinků dopadu z výše uvedených náhodných faktorů, pak hodnoty studovaného znaku konzistentně transformované působením těchto faktorů budou:

Odtud je snadné se dostat

kde . Pravá strana (6.11) je ale výsledkem aditivního působení množiny náhodných faktorů, které by za výše uvedených předpokladů měly vést, jak víme (viz kap. 6.1.5 a také § 7.3, věnovaný k centrální limitní větě), k normálnímu rozdělení tohoto součtu .

Zároveň, vezmeme-li v úvahu dostatečný počet náhodných členů (tj. za předpokladu ) a relativní nevýznamnost dopadu každého z nich (tedy za předpokladu ), můžeme vycházet ze součtu na levé straně (6.11) k integrálu

Tento. a v konečném důsledku znamená, že logaritmus pro nás zajímavého množství (snížený o konstantní hodnotu) se řídí normálním zákonem s nulovou střední hodnotou, tzn.

odkud derivací levé a pravé části tohoto vztahu vzhledem k x získáme

(platnost identity použité ve výpočtu vyplývá z přísné monotónnosti transformace

Popsané schéma tvorby hodnot logaritmicky normální náhodné veličiny se ukazuje jako charakteristické pro mnoho specifických fyzikálních a socioekonomických situací (velikost a hmotnost částic vzniklých při drcení; mzda zaměstnance; rodinný příjem; rozměry prostorových útvarů, trvanlivost výrobku pracujícího v režimu opotřebení a stárnutí a další, viz např. , , ).

Příklad 6.1. Měsíční příjem na hlavu (v dolarech) rodiny z určitého souboru rodin je považován za náhodnou veličinu. Bylo vyšetřeno n=750 rodin.

Tabulka 6.1

Tabulka 6.2

V tabulce. 6.1 a 6.2 ukazují výsledky seskupování vzorových dat a jejich logaritmy (šířka intervalu seskupování je 25 dolarů). Na Obr. 6.1, a, b ukazují histogramy a hustoty zákonů logaritmicky normálního a normálního rozdělení.

Rýže. 6 1. Histogram a teoretická (modelová) hustota charakterizující rozložení rodin podle průměrného měsíčního příjmu na hlavu (a) a pomocí logaritmu průměrného měsíčního příjmu na hlavu (b)

Níže jsou uvedeny výsledky výpočtu hlavních číselných charakteristik logaritmicko-normálního rozdělení (z hlediska parametrů zákona a a ):

Z těchto výrazů lze vidět, že šikmost a špičatost logaritmicko-normálního rozdělení jsou vždy kladné (a čím blíže k nule, tím blíže k nule), a modus, medián a střední hodnota se řadí přesně v pořadí, které vidíme na Obr. 5.8 a budou mít tendenci se slučovat (a křivka hustoty - k symetrii), když se veličina bude blížit nule. V tomto případě, ačkoli jsou hodnoty logaritmicky normální náhodné veličiny tvořeny jako "náhodné zkreslení" nějaké "skutečné" hodnota“ a, ta se nakonec nejeví jako průměr, ale jako medián.