Funkce více proměnných stručně teorie. Funkce dvou nebo více proměnných. Jeho doména definice. Geometrická reprezentace funkce dvou proměnných

Definice. Variabilní z(s oblastí změny Z) volal funkce dvou nezávislých proměnných x, y v množství M, pokud každý pár ( x, y) ze sady M z z Z.

Definice. hromada M, ve kterém se proměnné nastavují x, y, volal rozsah funkce, množina Z je funkční rozsah a oni sami x, y- její argumenty.

Označení: z = f(x,y), z = z(x,y).

Příklady.

Definice . Variabilní z(s oblastí změny Z) volal funkce několika nezávislých proměnných v množství M, pokud každá sada čísel ze sady M podle nějakého pravidla nebo zákona je spojena jedna konkrétní hodnota z z Z. Pojmy argumenty, definiční obor a obor hodnoty jsou zavedeny stejným způsobem jako u funkce dvou proměnných.

Označení: z = f, z = z.

Komentář. Protože pár čísel ( x, y) lze považovat za souřadnice nějakého bodu v rovině, pak budeme následně termín "bod" používat pro dvojici argumentů funkce dvou proměnných, stejně jako pro uspořádanou množinu čísel, která jsou argumenty funkce více proměnných.

Geometrická reprezentace funkce dvou proměnných

Zvažte funkci

z = f(x,y), (15.1)

definované v nějaké oblasti M v letadle O hu. Pak množina bodů v trojrozměrném prostoru se souřadnicemi ( x,y,z), kde , je graf funkce dvou proměnných. Protože rovnice (15.1) definuje určitý povrch v trojrozměrném prostoru, bude to geometrická reprezentace uvažované funkce.

Rozsah funkcí z = f(x,y) v nejjednodušších případech je to buď část roviny ohraničená uzavřenou křivkou a body této křivky (hranice oblasti) mohou, ale nemusí patřit do definiční oblasti, nebo celé roviny, nebo konečně souboru několika částí roviny xOy.

z = f(x,y)

Příkladem jsou rovinné rovnice z = ax + by + c

a povrchy druhého řádu: z=x² + y² (paraboloid rotace),

(kužel) atd.

Komentář. Pro funkci tří nebo více proměnných budeme používat termín „povrch v n-dimenzionální prostor", i když je nemožné zobrazit takový povrch.

Vyrovnejte linie a povrchy

Pro funkci dvou proměnných daných rovnicí (15.1) lze uvažovat množinu bodů ( x, y) letadlo O hu, pro který z nabývá stejné konstantní hodnoty, tzn. z= konst. Tyto body tvoří přímku v rovině tzv nivelační čára.

Příklad.

Najděte rovné čáry pro povrch z= 4 – X² - y². Jejich rovnice jsou X² + y² = 4 - C(C=const) jsou rovnice soustředných kružnic se středem v počátku as poloměry . Například kdy S=0 dostaneme kruh X² + y² = 4.

Pro funkci tří proměnných u = u(x, y, z) rovnice u(x, y, z) = c definuje povrch v trojrozměrném prostoru, který je tzv rovný povrch.

Příklad.

Pro funkci u = 3X + 5y – 7z–12 rovinných ploch bude rodina rovnoběžných rovin daných rovnicí 3 X + 5y – 7z –12 + S = 0.

Limita a spojitost funkce více proměnných

Představujeme koncept δ-sousedství body M 0 (x 0, y 0) v letadle O hu jako kružnice o poloměru δ se středem v daném bodě. Podobně lze definovat δ-sousedství v trojrozměrném prostoru jako kouli o poloměru δ se středem v bodě M 0 (x 0, y 0, z 0). Pro n-rozměrný prostor budeme nazývat δ-okolí bodu M Sada 0 bodů M se souřadnicemi splňujícími podmínku

kde jsou souřadnice bodu M 0 Někdy se této sestavě říká „koule“ in n-rozměrný prostor.

Definice. Volá se číslo A omezit funkce několika proměnných F na místě M 0 v případě, že | f(M) – A| < ε для любой точки M ze sousedství δ M 0 .

Označení: .

Je třeba vzít v úvahu, že bod M se může přiblížit M 0 , relativně vzato, podél jakékoli trajektorie uvnitř δ-okolí bodu M 0 Proto je třeba rozlišovat limitu funkce více proměnných v obecném smyslu od tzv opakované limity, získané postupnými průchody na limit pro každý argument zvlášť.

Příklady.

Komentář. Lze prokázat, že z existence limity v daném bodě v obvyklém smyslu a existence v tomto bodě limit s ohledem na jednotlivé argumenty vyplývá existence a rovnost opakovaných limit. Opak není pravdou.

Definice Funkce F volal kontinuální na místě M 0 if (15.2)

Zavedeme-li zápis , pak lze podmínku (15.2) přepsat do tvaru (15.3)

Definice . vnitřní bod M 0 rozsah funkce z = f(M) volal bod zlomu funkce, pokud v tomto bodě nejsou splněny podmínky (15.2), (15.3).

Komentář. Sada bodů nespojitosti se může tvořit v rovině nebo v prostoru linky nebo lomové plochy.

Příklady.

Vlastnosti limit a spojitých funkcí

Protože se definice limity a spojitosti pro funkci více proměnných prakticky shodují s odpovídajícími definicemi pro funkci jedné proměnné, jsou pro funkce více proměnných zachovány všechny vlastnosti limit a spojitých funkcí prokázané v první části kurzu, a to:

1) Pokud existovat, pak existovat a (pokud ).

2) Pokud a pro jakékoli i existují limity a existuje kde M 0, pak existuje také limita komplexní funkce na , kde jsou souřadnice bodu R 0 .

3) Pokud funkce f(M) A g(M) spojitý v bodě M 0, pak funkce f(M) + g(M), kf(M), f(M)g(M), f(M)/g(M)(Li g(M 0) ≠ 0).

4) Jsou-li funkce spojité v bodě P 0 a funkce je v bodě spojitá M 0, kde , pak je komplexní funkce v bodě spojitá R 0.

5) Funkce je spojitá v uzavřené ohraničené oblasti D, nabývá maximální a minimální hodnoty v této oblasti.

6) Je-li funkce spojitá v uzavřené ohraničené oblasti D, nabývá hodnot v tomto rozsahu A A V, pak zabere v oblasti D a jakákoli mezilehlá hodnota mezi A A V.

7) Je-li funkce spojitá v uzavřené ohraničené oblasti D, nabývá hodnot různých znamének v této oblasti, pak je z oblasti alespoň jeden bod D, kde F = 0.

Částečné derivace

Zvažte změnu funkce při inkrementaci pouze jednoho z jejích argumentů − x i, a říkejme tomu .

Definice . soukromý derivát funguje argumentem x i volal .

Označení: .

Parciální derivace funkce několika proměnných je tedy vlastně definována jako derivace funkce jedna proměnná - x i. Platí tedy pro ni všechny vlastnosti derivací dokázané pro funkci jedné proměnné.

Komentář. Při praktickém výpočtu parciálních derivací používáme obvyklá pravidla pro derivování funkce jedné proměnné za předpokladu, že argument, podle kterého se derivace provádí, je proměnný a zbývající argumenty jsou konstantní.

Příklady .

1. z= 2X² + 3 xy –12y² + 5 X – 4y +2,

2. z = x y,

Geometrická interpretace parciálních derivací funkce dvou proměnných

Zvažte rovnici povrchu z = f(x,y) a nakreslete rovinu x = konst. Zvolme bod na průsečíku roviny s povrchem M (x, y). Pokud nastavíte argument na přírůstek Δ na a zvažte bod T na křivce se souřadnicemi ( x, y+Δ y, z+Δy z), pak tečna úhlu svírajícího sečnu MT s kladným směrem osy O na, bude se rovnat . Přejdeme-li k limitě v bodě , dostaneme, že parciální derivace je rovna tangenci úhlu, který svírá tečna k výsledné křivce v bodě M s kladným směrem osy O y V souladu s tím je parciální derivace rovna tečně úhlu s osou O X tečnou ke křivce vyplývající z řezu plochy z = f(x,y) letadlo y= konst.

Diferencovatelnost funkce více proměnných

Při zkoumání otázek souvisejících s diferencovatelností se omezíme na případ funkce tří proměnných, protože všechny důkazy pro větší počet proměnných se provádějí stejným způsobem.

Definice . Plný přírůstek funkcí u = f(x, y, z) volal

Věta 1. Pokud v bodě existují parciální derivace ( x 0, y 0, z 0) a v některých jeho sousedství a jsou souvislé v bodě ( x0, y0, z0), pak jsou ohraničené (protože jejich moduly nepřesahují 1).

Potom lze přírůstek funkce, která splňuje podmínky věty 1, reprezentovat jako: , (15.6)

Definice . Pokud se funkce zvýší u = f(x, y, z) v bodě ( x0, y0, z0) lze reprezentovat ve tvaru (15.6), (15.7), pak je funkce volána diferencovatelné v tom okamžiku a výraz - hlavní lineární část přírůstku nebo plný diferenciál danou funkci.

Označení: du, df (x 0, y 0, z 0).

Stejně jako v případě funkce jedné proměnné jsou diferenciály nezávislých proměnných jejich libovolnými přírůstky, proto

Poznámka 1. Výrok „funkce je derivovatelná“ tedy není ekvivalentní výroku „funkce má parciální derivace“ – diferencovatelnost také vyžaduje spojitost těchto derivací v uvažovaném bodě.

Zvažte funkci a vyberte si x 0 = 1, y 0 = 2. Potom Δ x = 1,02 - 1 = 0,02; Δ y= 1,97 - 2 = -0,03. Pojďme najít,

Proto vzhledem k tomu F( 1, 2) = 3, dostáváme.

) již jsme se opakovaně setkali s parciálními derivacemi komplexních funkcí jako jsou i složitější příklady. Tak co ještě říct? … A všechno je jako v životě – neexistuje taková složitost, která by nemohla být složitá =) Ale matematika je to, k čemu matematika je, aby rozmanitost našeho světa zapadla do přísných rámců. A někdy to lze udělat jedinou větou:

Obecně platí, že komplexní funkce má tvar , kde, aspoň jeden písmen je funkce, na kterém může záviset libovolný počet proměnných.

Nejmenší a nejjednodušší verzí je známá komplexní funkce jedné proměnné, jehož derivát jsme se naučili najít minulý semestr. Máte také schopnosti rozlišovat funkce (podívejte se na stejné funkce ) .

Nyní nás tedy bude zajímat pouze případ . Vzhledem k velké rozmanitosti komplexních funkcí jsou obecné vzorce jejich derivátů velmi těžkopádné a špatně stravitelné. V tomto ohledu se omezím na konkrétní příklady, ze kterých můžete pochopit obecný princip hledání těchto derivátů:

Příklad 1

Vzhledem ke komplexní funkci , kde . Požadované:
1) najděte jeho derivaci a zapište celkový diferenciál 1. řádu;
2) vypočítat hodnotu derivátu v .

Řešení: Nejprve se pojďme zabývat funkcí samotnou. Je nám nabídnuta funkce v závislosti na a , což zase jsou funkce jedna proměnná:

Za druhé, věnujme bedlivou pozornost samotnému úkolu – jsme povinni najít derivát, tedy vůbec nemluvíme o parciálních derivacích, na které jsme zvyklí nacházet! Od funkce ve skutečnosti závisí pouze na jedné proměnné, pak slovo "derivát" znamená totální derivace. Jak to najít?

První, co mě napadne, je přímá substituce a další diferenciace. Nahradit do funkce:
, po kterém nejsou žádné problémy s požadovanou derivací:

A podle toho celkový diferenciál:

Toto řešení je matematicky správné, ale drobnou nuancí je, že když je problém formulován tak, jak je formulován, nikdo od vás takové barbarství nečeká =) Ale vážně, tady se opravdu dá najít chyba. Představte si, že funkce popisuje let čmeláka a vnořené funkce se mění v závislosti na teplotě. Provádění přímé substituce , dostáváme jen soukromé informace, která charakterizuje let řekněme jen v horkém počasí. Pokud navíc člověku, který se v čmeláčcích neorientuje, předloží hotový výsledek a ještě řekne, o jakou funkci se jedná, pak se o základním zákonu letu nic nedozví!

A tak zcela nečekaně pomohl náš bzučící bratr uvědomit si význam a důležitost univerzální formule:

Zvykněte si na "dvoupatrový" zápis derivátů - v uvažované úloze se používají právě ony. Přitom by to mělo být velmi elegantní v záznamu: deriváty s přímými znaky "de" jsou celkové deriváty, a deriváty se zaoblenými znaky jsou částečné derivace. Začněme tím druhým:

S „ocasy“ obecně je vše elementární:

Nalezené deriváty dosadíme do našeho vzorce:

Když je funkce původně navržena spletitým způsobem, bude to logické (a vysvětleno výše!) nechat výsledky tak jak jsou:

Ve „fantastických“ odpovědích je přitom lepší zdržet se i minimálních zjednodušení. (zde například prosí o odstranění 3 mínusů)- a vy máte méně práce a váš chlupatý přítel si rád úkol snáze zkontroluje.

Hrubá kontrola však nebude zbytečná. Nahradit do nalezené derivace a proveďte zjednodušení:


(v posledním kroku, který jsme použili trigonometrické vzorce , )

Ve výsledku bylo dosaženo stejného výsledku jako u metody „barbarského“ řešení.

Pojďme vypočítat derivaci v bodě . Nejprve je vhodné zjistit „tranzitní“ hodnoty (hodnoty funkcí ) :

Nyní vypracujeme konečné výpočty, které lze v tomto případě provést různými způsoby. Používám zajímavou techniku, ve které se 3 a 4 „patra“ nezjednodušují podle obvyklých pravidel, ale převádějí se jako podíl dvou čísel:

A samozřejmě je hřích nekontrolovat pomocí kompaktnějšího zápisu :

Odpovědět:

Stává se, že úkol je navržen v „poloobecné“ podobě:

"Najděte derivaci funkce , kde »

To znamená, že funkce "hlavní" není dána, ale její "vložky" jsou zcela specifické. Odpověď by měla být dána stejným stylem:

Navíc může být podmínka mírně zašifrována:

„Najděte derivaci funkce »

V tomto případě potřebujete na vlastní pěst označte vnořené funkce nějakými vhodnými písmeny, například skrz a použijte stejný vzorec:

Mimochodem o označení písmen. Opakovaně jsem naléhal, abych „nelpěl na dopisech“ jako na záchranném laně, a teď to platí obzvlášť! Při rozboru různých zdrojů k tématu jsem obecně nabyl dojmu, že autoři „vyšli z cesty“ a začali studenty nemilosrdně házet do bouřlivé propasti matematiky =) Tak mi promiňte :))

Příklad 2

Najděte derivaci funkce , Pokud

Jiná označení by neměla vést k záměně! Pokaždé, když narazíte na takový úkol, musíte odpovědět na dvě jednoduché otázky:

1) Na čem závisí „hlavní“ funkce? V tomto případě funkce "z" závisí na dvou funkcích ("y" a "ve").

2) Na jakých proměnných závisí vnořené funkce? V tomto případě obě "vložky" závisí pouze na "x".

Proto byste neměli mít žádné potíže s přizpůsobením vzorce tomuto úkolu!

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Další příklady prvního druhu lze nalézt v problémová kniha Ryabushko (IDZ 10.1), no, míříme funkce tří proměnných:

Příklad 3

Vzhledem k funkci, kde .
Vypočítejte derivaci v bodě

Vzorec pro derivaci komplexní funkce, jak mnozí lidé hádají, má příbuznou formu:

Rozhodněte se, jestli jste to uhodli =)

Pro každý případ uvedu obecný vzorec pro funkci:
, i když v praxi pravděpodobně neuvidíte nic delšího než příklad 3.

Někdy je navíc nutné odlišit "zkrácenou" verzi - zpravidla funkci formuláře buď . Tuto otázku nechávám na vás, abyste si ji prostudovali sami – vymyslete nějaké jednoduché příklady, přemýšlejte, experimentujte a odvozujte zkrácené vzorce pro derivace.

Pokud něčemu nerozumíte, věnujte prosím čas opětovnému přečtení a pochopení první části lekce, protože nyní bude úkol obtížnější:

Příklad 4

Najděte parciální derivace komplexní funkce , kde

Řešení: tato funkce má tvar a po přímé substituci dostaneme obvyklou funkci dvou proměnných:

Ale takový strach není něco, co se nepřijímá, ale člověk to ani nechce rozlišovat =) Použijeme proto hotové vzorce. Abyste mohli rychle zachytit vzor, ​​udělám si několik poznámek:

Podívejte se pozorně na obrázek shora dolů a zleva doprava ....

Nejprve najdeme parciální derivace „hlavní“ funkce:

Nyní najdeme "X" deriváty "vložek":

a napište konečnou derivaci "X":

Podobně s "hrou":

A

Můžete se držet jiného stylu - okamžitě najděte všechny "ocasy" a pak napište obě derivace.

Odpovědět:

O substituci nějak si vůbec nemyslím =) =), ale výsledky můžete trochu učesat. Ale znovu, proč? - jen ztížit kontrolu učiteli.

Pokud je to nutné, pak celkový diferenciál zde je napsáno podle obvyklého vzorce a mimochodem právě v tomto kroku se lehká kosmetika stává vhodnou:


Tohle je ... ... rakev na kolečkách.

Vzhledem k popularitě uvažované rozmanitosti komplexní funkce, několik úkolů pro samostatné řešení. Jednodušší příklad v "poloobecné" podobě - ​​pro pochopení samotného vzorce ;-):

Příklad 5

Najděte parciální derivace funkce , kde

A obtížnější - s připojením diferenciačních technik:

Příklad 6

Najděte úplný diferenciál funkce , Kde

Ne, vůbec se nesnažím "poslat vás ke dnu" - všechny příklady jsou převzaty z reálné práce a "na širém moři" můžete narazit na jakákoli písmena, která se vám líbí. V každém případě musíte funkci analyzovat (po zodpovězení 2 otázek – viz výše) prezentujte jej v obecné podobě a pečlivě upravte parciální derivační vzorce. Možná budete teď trochu zmatení, ale pochopíte samotný princip jejich designu! Protože skutečná práce teprve začíná :)

Příklad 7

Najděte parciální derivace a sestavte totální diferenciál komplexní funkce
, Kde

Řešení: funkce "hlavní" má tvar a stále závisí na dvou proměnných - "x" a "y". Ale oproti příkladu 4 přibyla ještě jedna vnořená funkce, a proto jsou i parciální derivační vzorce prodlouženy. Stejně jako v tomto příkladu pro lepší vidění vzoru zvýrazním "hlavní" dílčí derivace v různých barvách:

A znovu – pečlivě si prostudujte záznam shora dolů a zleva doprava.

Protože je problém formulován v „poloobecné“ formě, veškerá naše práce se v podstatě omezuje na hledání parciálních derivací vnořených funkcí:

Žák první třídy udělá:

A dokonce i plný diferenciál se ukázal být docela pěkný:

Záměrně jsem vám nenabídl žádnou konkrétní funkci - aby zbytečné haldy nenarušovaly dobré pochopení konceptu problému.

Odpovědět:

Poměrně často můžete najít "různé" investice, například:

Zde funkce „hlavní“, ačkoli má tvar , stále závisí na „x“ i „y“. Fungují tedy stejné vzorce – akorát některé parciální derivace se budou rovnat nule. Navíc to platí i pro funkce jako , ve kterém každá "vložka" závisí na nějaké jedné proměnné.

Podobná situace nastává ve dvou závěrečných příkladech lekce:

Příklad 8

Najděte celkový diferenciál složené funkce v bodě

Řešení: podmínka je formulována „rozpočtovým“ způsobem a vnořené funkce si musíme určit sami. Myslím, že je to dobrá volba:

V "vložkách" jsou ( POZORNOST!) TŘI písmena jsou staré dobré „x-y-z“, což znamená, že funkce „hlavní“ ve skutečnosti závisí na třech proměnných. Může být formálně přepsán jako a parciální deriváty jsou v tomto případě definovány následujícími vzorci:

Skenujeme, ponoříme se, chytáme ....

V našem úkolu:

Dosud jsme zvažovali nejjednodušší funkční model, ve kterém funkce záleží na jediném argument. Ale při studiu různých jevů okolního světa se často setkáváme se současnou změnou více než dvou veličin a mnohé procesy lze efektivně formalizovat funkce několika proměnných, kde - argumenty nebo nezávislé proměnné. Začněme rozvíjet téma s tím nejčastějším v praxi funkce dvou proměnných .

Funkce dvou proměnných volal zákon, pro které každá dvojice hodnot nezávislé proměnné(argumenty) od domény odpovídá hodnotě závislé proměnné (funkce).

Tato funkce je označena následovně:

Buď , nebo jiné standardní písmeno:

Protože uspořádaná dvojice hodnot "x" a "y" určuje bod na rovině, pak se funkce také zapíše z hlediska , kde je bod roviny se souřadnicemi . Toto označení je široce používáno v některých praktických úlohách.

Geometrický význam funkce dvou proměnných velmi jednoduché. Pokud funkce jedné proměnné odpovídá určité přímce v rovině (například známá školní parabola), pak se graf funkce dvou proměnných nachází v trojrozměrném prostoru. V praxi se člověk často musí potýkat s povrch, ale někdy může být grafem funkce například prostorová přímka (úsečky) nebo i jeden bod.

Elementární příklad povrchu z kurzu dobře známe analytická geometrie- Tento letadlo. Za předpokladu, že lze rovnici snadno přepsat do funkčního tvaru:

Nejdůležitějším atributem funkce 2 proměnných je již vyjádřená doména.

Definiční obor funkce dvou proměnných se nazývá sada Všechno páry, pro které existuje hodnota .

Graficky je doménou definice celé letadlo nebo jeho část. Tedy rozsah funkce je celá rovina souřadnic - z toho důvodu pro jakékoli dot exist value .

Ale takové zarovnání naprázdno samozřejmě není vždy:

Jako dvě proměnné?

Při zvažování různých konceptů funkce několika proměnných je užitečné kreslit analogie s odpovídajícími koncepty funkce jedné proměnné. Zejména při objasňování domény zvláštní pozornost jsme věnovali těm funkcím, které mají zlomky, dokonce odmocniny, logaritmy atd. Zde je vše úplně stejné!

Úkol najít definiční obor funkce dvou proměnných vás téměř na 100% potká v tematické práci, rozeberu tedy slušnou řadu příkladů:

Příklad 1

Najděte rozsah funkce

Řešení: protože jmenovatel nemůže jít na nulu, pak:

Odpovědět: celá rovina souřadnic kromě bodů patřících k přímce

Ano, ano, je lepší napsat odpověď tímto stylem. Definiční obor funkce dvou proměnných se jen zřídka označuje nějakým symbolem, mnohem častěji se používají slovní popis a/nebo výkres.

Pokud podle podmínky Požadované pro dokončení výkresu by pak bylo nutné znázornit souřadnicovou rovinu a tečkovaná čára nakreslete rovnou čáru. Tečkovaná čára označuje tuto čáru Vyloučeno do domény definice.

Jak uvidíme o něco později, v obtížnějších příkladech je kresba nepostradatelná.

Příklad 2

Najděte rozsah funkce

Řešení: radikální výraz musí být nezáporný:

Odpovědět: polorovina

Grafický obrázek je zde také primitivní: nakreslíme kartézský souřadnicový systém, pevný nakreslete rovnou čáru a vyšrafujte vrchol polorovina. Plná čára označuje skutečnost, že zahrnuta do domény definice.

Pozornost! Pokud druhému příkladu NIC nerozumíte, prostudujte/zopakujte si prosím lekci podrobně Lineární nerovnosti- Bez toho to bude velmi těžké!

Náhled pro nezávislé řešení:

Příklad 3

Najděte rozsah funkce

Dvouřádkové řešení a odpověď na konci lekce.

Pokračujeme v protahování:

Příklad 4

A znázorněte to na výkresu

Řešení: je snadné pochopit, že taková formulace problému vyžaduje provedení výkresu (i když rozsah je velmi jednoduchý). Nejprve však analytika: radikální výraz musí být nezáporný: a vzhledem k tomu, že jmenovatel nemůže zmizet, nerovnost se zpřísní:

Jak určit oblast, kterou nastavuje nerovnost? Doporučuji stejný algoritmus akcí jako při řešení lineární nerovnosti.

Nejprve nakreslete čára, který nastavuje odpovídající rovnost. Rovnice definuje kruh se středem v počátku poloměru , který rozděluje rovinu souřadnic na dvačásti - "uvnitř" a "vně" kruhu. Protože naše nerovnost přísný, pak kružnice sama o sobě jistě nevstoupí do definičního oboru a proto musí být nakreslena tečkovaná čára.

Teď bereme libovolný rovinný bod, nevlastní kružnice a její souřadnice dosadíme do nerovnosti. Nejjednodušší způsob je samozřejmě zvolit počátek souřadnic:

Přijato špatná nerovnost, takže pointa neuspokojuje nerovnost. Tuto nerovnost navíc nesplňuje žádný bod ležící uvnitř kružnice, a proto je požadovanou doménou definice její vnější část. Doména definice je tradičně šrafována:

Ti, kteří si přejí, mohou vzít libovolný bod patřící do zastíněné oblasti a ujistit se, že jeho souřadnice vyhoví nerovnosti. Mimochodem, opačná nerovnost definuje kruh se středem v počátku, poloměr .

Odpovědět: vnější část kruhu

Vraťme se ke geometrickému významu problému: zde jsme našli doménu definice a zastínili ji, co to znamená? To znamená, že v každém bodě stínované oblasti je hodnota "z" a graficky funkce je následující povrch:

Schematický nákres jasně ukazuje, že se tento povrch místy nachází výše letadlo (oktanty blízko a daleko od nás), v místech - pod letadlo (vlevo a vpravo vzhledem k nám oktantem). Také povrch prochází osami. Chování funkce jako takové nás ale nyní příliš nezajímá – to je důležité To vše se děje pouze v oblasti definice.. Vezmeme-li jakýkoli bod patřící do kruhu, nebude tam žádný povrch (protože tam nejsou žádná Z), což je naznačeno kulatou mezerou uprostřed obrázku.

Prosím, dobře se zamyslete nad analyzovaným příkladem, protože jsem v něm nejpodrobněji vysvětlil samotnou podstatu problému.

Následující úkol pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 5

Stručné řešení a kresba na konci lekce. Obecně platí, že v uvažovaném tématu, mezi Řádky 2. řádu kruh je nejoblíbenější, ale jako možnost mohou do úkolu „tlačit“. elipsa, nadsázka nebo parabola.

Pojďme nahoru:

Příklad 6

Najděte rozsah funkce

Řešení: kořenový výraz musí být nezáporný: a jmenovatel nemůže být nula: . Definiční doménu tedy nastavuje systém.

První podmínkou se zabýváme podle standardního schématu probraného v lekci Lineární nerovnosti: nakreslete přímku a definujte polorovinu, která odpovídá nerovnosti . Protože nerovnost nepřísný, pak bude řešením i samotná linka.

S druhou podmínkou systému je také vše jednoduché: rovnice nastavuje osu y, a jakmile , pak by měla být vyloučena z oblasti definice.

Dokončeme kresbu a nezapomeňme, že plná čára označuje jeho vstup do oblasti definice a tečkovaná čára - vyloučení z této oblasti:

Nutno podotknout, že tady vlastně jsme nucený udělat nákres. A taková situace je typická – v mnoha úkolech je slovní popis oblasti obtížný, a i když ji popíšete, pak s největší pravděpodobností budete špatně pochopeni a budete nuceni oblast vykreslit.

Odpovědět: doména:

Mimochodem, taková odpověď bez kresby opravdu působí vlažně.

Ještě jednou zopakujeme geometrický význam získaného výsledku: ve stínované oblasti je graf funkce , který je povrch trojrozměrného prostoru. Tato plocha může být umístěna nad/pod rovinou, může rovinu protínat – v tomto případě je to vše rovnoběžné s námi. Důležitý je samotný fakt existence povrchu a je důležité správně najít oblast, ve které existuje.

Příklad 7

Najděte rozsah funkce

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Přibližná ukázka výsledného návrhu úkolu na konci lekce.

Není neobvyklé, že zdánlivě jednoduše vypadající funkce způsobí řešení, které zdaleka není ukvapené:

Příklad 8

Najděte rozsah funkce

Řešení: použitím rozdíl čtverců vzorec, radikální výraz rozložíme na faktory: .

Součin dvou faktorů je nezáporný , Když oba multiplikátory jsou nezáporné: NEBO Když oba nepozitivní: . To je typický rys. Musíme tedy vyřešit dva soustav lineárních nerovnic A SJEDNOTIT přijaté oblasti. V podobné situaci místo standardního algoritmu mnohem rychleji funguje metoda vědeckého, nebo spíše praktického šťouchání =)

Nakreslíme rovné čáry, které rozdělují souřadnicovou rovinu na 4 "rohy". Vezmeme nějaký bod patřící do horního "rohu", například bod a dosadíme jeho souřadnice do rovnic 1. soustavy: . Jsou získány správné nerovnosti, což znamená, že řešení soustavy je celý horní roh. Stínujeme.

Nyní vezmeme bod patřící do pravého "rohu". Zůstává 2. systém, do kterého dosadíme souřadnice tohoto bodu: . Druhá nerovnost je nepravdivá, takže a všechno správný "roh" není řešením systému.

Podobný příběh s levým "rohem", který také nebude zahrnut do oblasti definice.

A nakonec dosadíme souřadnice experimentálního bodu spodního „rohu“ do 2. systému: . Obě nerovnosti jsou pravdivé, což znamená, že řešení systému je a všechno spodní „roh“, který by měl být rovněž zastíněn.

Ve skutečnosti samozřejmě není nutné malovat tak podrobně - všechny komentované akce se snadno provádějí verbálně!

Odpovědět: rozsah je svaz systémová řešení .

Jak asi tušíte, bez kresby taková odpověď pravděpodobně neprojde a tato okolnost vás nutí vzít do ruky pravítko tužkou, ačkoli to podmínka nevyžadovala.

A tohle je tvůj oříšek:

Příklad 9

Najděte rozsah funkce

Dobrý student vždy postrádá logaritmy:

Příklad 10

Najděte rozsah funkce

Řešení: argument logaritmu je přísně kladný, takže doména je dána systémem.

Nerovnice ukazuje na pravou polorovinu a vylučuje osu.

U druhé podmínky je situace složitější, ale také průhledná. My pamatujeme sinusoida. „Y“ funguje jako argument, ale nemělo by to být trapné – y, tak y, shu, so syu. Kde je sinus větší než nula? Sinus je větší než nula, například na intervalu. Protože je funkce periodická, existuje nekonečně mnoho takových intervalů a ve složeném tvaru lze řešení nerovnice zapsat takto:
, kde je libovolné celé číslo.

Nekonečné množství intervalů samozřejmě nelze zobrazit, takže se omezíme na interval a jeho sousedé:

Dokončeme kresbu a nezapomeňme, že podle první podmínky je naše pole působnosti omezeno na přísně pravou polorovinu:

hmm ... objevil se nějaký druh kresleného ducha ... druh vyšší matematiky ...

Odpovědět:

Další logaritmus je váš:

Příklad 11

Najděte rozsah funkce

Během řešení budete muset stavět parabola, který rozdělí rovinu na 2 části - „vnitřní“, umístěnou mezi větvemi, a vnější část. V článku se opakovaně objevila technika pro nalezení požadované části Lineární nerovnosti a předchozí příklady v této lekci.

Řešení, kreslení a odpověď na konci lekce.

Poslední ořechy odstavce jsou věnovány „obloukům“:

Příklad 12

Najděte rozsah funkce

Řešení: Argument arcsine musí být v následujících mezích:

Pak existují dvě technické možnosti: připravenější čtenáři, analogicky s posledními příklady lekce Rozsah funkce jedné proměnné může "hodit" dvojitou nerovnost a nechat "y" uprostřed. U čajových konvic doporučuji převést „vlak“ na ekvivalent systém nerovností:

Systém je řešen jako obvykle - stavíme přímky a najdeme potřebné poloroviny. Jako výsledek:

Všimněte si, že zde jsou hranice zahrnuty do oblasti definice a přímky jsou nakresleny jako plné čáry. To by mělo být vždy pečlivě sledováno, aby se zabránilo hrubým chybám.

Odpovědět: doménou definice je řešení systému

Příklad 13

Najděte rozsah funkce

Ukázkové řešení využívá pokročilou techniku ​​k transformaci dvojité nerovnosti.

V praxi se někdy objevují i ​​úlohy na nalezení definičního oboru funkce tří proměnných. Definiční obor funkce tří proměnných může být Všechno trojrozměrný prostor nebo jeho část. V prvním případě je funkce definována pro jakékoli body prostoru, ve druhém - pouze pro ty body, které patří k nějakému prostorovému objektu, nejčastěji - tělo. Může to být pravoúhlý rovnoběžnostěn, elipsoid, "uvnitř" parabolický válec atd. Úkol najít definiční obor funkce tří proměnných obvykle spočívá v nalezení tohoto tělesa a vytvoření trojrozměrného výkresu. Takové příklady jsou však poměrně vzácné. (našel jsem jen pár), a proto se omezím na tento přehledový odstavec.

Hladinové čáry

Pro lepší pochopení tohoto pojmu porovnáme osu s výška: čím větší hodnota Z, tím větší výška, čím menší hodnota Z, tím menší výška. Výška může být i záporná.

Funkce v její definiční oblasti je prostorový graf, pro jednoznačnost a větší přehlednost budeme předpokládat, že se jedná o triviální plochu. Co jsou úrovňové čáry? Obrazně řečeno, úrovňové linie jsou vodorovné „plátky“ povrchu v různých výškách. Tyto "plátky" nebo, přesněji, sekce jsou prováděny letadly, a poté promítnut do roviny .

Definice: úrovňová čára funkce je čára na rovině , v jejímž každém bodě si funkce zachovává konstantní hodnotu: .

Hladinové čáry tak pomáhají zjistit, jak konkrétní povrch vypadá - a pomáhají bez vytváření trojrozměrného výkresu! Podívejme se na konkrétní úkol:

Příklad 14

Najděte a vykreslete víceúrovňové čáry v grafu prvků

Řešení: Prozkoumejte tvar daného povrchu pomocí vodorovných čar. Pro usnadnění rozšiřme záznam „zezadu dopředu“:

Je zřejmé, že v tomto případě „Z“ (výška) rozhodně nemůže nabývat záporných hodnot. (protože součet čtverců není záporný). Plocha se tedy nachází v horním poloprostoru (nad rovinou ).

Vzhledem k tomu, že podmínka neříká, v jakých konkrétních výškách je třeba čáry hladiny „oříznout“, můžeme si podle svého uvážení vybrat několik hodnot „Z“.

Zkoumáme povrch v nulové výšce, proto dáme hodnotu do rovnosti :

Řešením této rovnice je bod . Tedy v úrovňová čára je bod.

Zvedneme se do jednotkové výšky a „rozřízneme“ náš povrch letadlo (substituce v rovnici povrchu):

Tím pádem, pro výšku je čára úrovně kružnice se středem v bodě o poloměru jednotky.

To ti připomínám všechny "plátky" se promítají do roviny, a proto si pro body zapisuji dvě, ne tři souřadnice!

Nyní vezmeme například rovinu a „ořízneme ji“ zkoumanou plochu (nahradímek povrchové rovnici):

Tím pádem, pro výškupřímka úrovně je kružnice se středem v bodě poloměru.

A pojďme postavit další úroveň, řekněme pro :

–kružnice se středem v bodě o poloměru 3.

Čáry úrovně, jak jsem již zdůraznil, jsou umístěny v rovině, ale každá čára je podepsána - jaké výšce odpovídá:

Je snadné pochopit, že další rovinné čáry uvažovaného povrchu jsou také kruhy a čím výše stoupáme (zvyšujeme hodnotu Z), tím větší je poloměr. Tím pádem, samotný povrch je nekonečná mísa s vejčitým dnem, jejíž horní část je umístěna na rovině. Tato „miska“ spolu s osou „jede přímo na vás“ z obrazovky monitoru, to znamená, že se díváte do jejího dna =) A to není náhoda! Jen já tak zabijácky nalévám na personál =) =)

Odpovědět: Úrovně této plochy jsou soustřednými kružnicemi formy

Poznámka : když dostanete degenerovaný kruh s nulovým poloměrem (bodem)

Samotný koncept úrovňové linie pochází z kartografie. Abychom parafrázovali zažitou matematickou frázi, můžeme to říci úrovňová čára je geografické umístění bodů stejné výšky. Zvažte určitou horu s úrovňovými liniemi 1000, 3000 a 5000 metrů:

Obrázek jasně ukazuje, že levý horní svah hory je mnohem strmější než pravý dolní svah. Hladinové linie vám tedy umožňují odrážet terén na „ploché“ mapě. Mimochodem, záporné hodnoty výšky zde také nabývají specifického významu - vždyť některé části zemského povrchu se nacházejí pod nulovou hladinou světových oceánů.

Při studiu mnoha zákonitostí v přírodních vědách a ekonomii se musíme zabývat funkcemi dvou (nebo více) nezávislých proměnných.

Definice (pro funkci dvou proměnných).Nechat X , Y A Z - sady. Pokud každý pár (X, y) prvky ze sad, resp X A Y nějakým zákonem F odpovídá jednomu a pouze jednomu prvku z z mnoha Z , pak to říkají dána funkcí dvou proměnných z = F(X, y) .

Obecně obor funkce dvou proměnných lze geometricky reprezentovat nějakou množinou bodů ( X; y) letadlo xOy .

Základní definice týkající se funkcí více proměnných jsou zobecněním příslušných definice funkce jedné proměnné .

hromada D volal rozsah funkce z a sadu E – mnoho jeho významů. Proměnné X A y s ohledem na funkci z se nazývají jeho argumenty. Variabilní z nazývaná závislá proměnná.

Soukromé hodnoty argumentů

odpovídá soukromé hodnotě funkce

Rozsah funkce více proměnných

Li funkce několika proměnných (například dvou proměnných) daný vzorcem z = F(X, y) , Že jeho doména definice je množina všech takových bodů roviny x0y, pro který výraz F(X, y) dává smysl a přijímá skutečné hodnoty. Obecná pravidla pro rozsah funkce více proměnných jsou odvozena z obecných pravidel pro rozsah funkce jedné proměnné. Rozdíl je v tom, že pro funkci dvou proměnných je definičním oborem určitá množina bodů v rovině, nikoli přímka, jako u funkce jedné proměnné. Pro funkci tří proměnných je definičním oborem odpovídající množina bodů v trojrozměrném prostoru a pro funkci n proměnné - odpovídající množina bodů abstraktu n-rozměrný prostor.

Doména funkce dvou proměnných s odmocninou n stupeň

V případě, kdy je funkce dvou proměnných dána vzorcem a n - přirozené číslo :

Li n- sudé číslo, pak doménou definice funkce je množina bodů roviny odpovídající všem hodnotám radikálního výrazu, které jsou větší nebo rovné nule, tzn.

Li n- liché číslo, pak definičním oborem funkce je množina libovolných hodnot, tedy celá rovina x0y .

Oblast mocninné funkce dvou proměnných s celočíselným exponentem

:

Li A- kladné, pak definičním oborem funkce je celá rovina x0y ;

Li A- záporné, pak doménou definice funkce je množina hodnot, odlišných od nuly: .

Oblast mocninné funkce dvou proměnných s desetinným exponentem

V případě, kdy je funkce dána vzorcem :

pokud - je kladné, pak doménou definice funkce je množina těch bodů roviny, ve kterých nabývá hodnot větších nebo rovných nule: ;

pokud - je záporné, pak doménou definice funkce je množina těch bodů roviny, ve kterých nabývá hodnot větších než nula: .

Oblast definice logaritmické funkce dvou proměnných

Logaritmická funkce dvou proměnných je definován za podmínky, že jeho argument je kladný, to znamená, že jeho doménou definice je množina těch bodů roviny, ve kterých nabývá hodnot větších než nula: .

Oblast definice goniometrických funkcí dvou proměnných

Rozsah funkcí - celé letadlo x0y .

Rozsah funkcí - celé letadlo x0y .

Rozsah funkce je celá rovina x0y

Rozsah funkcí - celé letadlo x0y, kromě dvojic čísel, pro které nabývá hodnot.

Oblast inverzních goniometrických funkcí dvou proměnných

Rozsah funkcí .

Rozsah funkcí je množina takových bodů roviny, pro kterou .

Rozsah funkcí - celé letadlo x0y .

Rozsah funkcí - celé letadlo x0y .

Oblast zlomku jako funkce dvou proměnných

Je-li funkce dána vzorcem, pak definičním oborem funkce jsou všechny body roviny, ve které je .

Oblast definice lineární funkce dvou proměnných

Pokud je funkce dána vzorcem tvaru z = sekera + podle + C , pak definičním oborem funkce je celá rovina x0y .

Příklad 1

Řešení. Podle pravidel pro definiční obor skládáme dvojitou nerovnost

Vynásobíme celou nerovnost a dostaneme

Výsledný výraz nastavuje rozsah této funkce dvou proměnných.

Příklad 2 Najděte definiční obor funkce dvou proměnných.

Stáhnout z Depositfiles

Přednášky 1-4

FUNKCE NĚKOLIKA PROMĚNNÝCH.

Kontrolní otázky.

Částečný a celkový přírůstek funkce více proměnných (FNP).

Limita funkce více proměnných. Vlastnosti limitů FNP.

Kontinuita FNP. Vlastnosti spojitých funkcí.

Parciální derivace prvního řádu.

Definice : pokud každá uvažovaná množina hodnot proměnných odpovídá určité hodnotě proměnnéw, pak se ozvemew funkce nezávislých proměnných:

(1)

Definice : rozsahD ( F ) funkce (1) je sbírka takových sad čísel
, pro kterou je funkce (1) definována.

Kraj D ( F ) může být otevřená nebo uzavřená. Například pro funkci:

D (F ) v prostoru budou všechny body, pro které je splněna nerovnost (uzavřená koule) a pro funkci (otevřená koule).

V následujícím budeme uvažovat hlavně funkce dvou proměnných, protože Za prvé, mezi dvěma nebo více proměnnými není žádný zásadní rozdíl, nárůst počtu proměnných vede pouze ke zdlouhavým výpočtům. Za druhé, případ dvou proměnných umožňuje jasnou geometrickou interpretaci.

Geometrická reprezentace funkce dvou proměnných
je nějaký povrch, který může být specifikován explicitně nebo implicitně. Například: A )
- explicitní úkol (paraboloid revoluce), b)
— implicitní úkol (sféra).

Při vykreslování funkcí často používajíúseková metoda .

Příklad . Vykreslete funkci.
Použijme metodu sekcí.

– v letadle
- parabola.

– v letadle
-parabola.

– v letadle
- kruh.

Požadovaný povrch je rotační paraboloid.

Vzdálenost mezi dvěma libovolnými body
A
(euklidovské) prostory
zavolal na číslo

Množina bodů se nazýváotevřený kruh poloměr soustředěný na bod , – kruh poloměr se středem na .

Poloměr otevřeného kruhu středem v bodě se nazývá-sousedství body .

O

definice. Bod se nazývávnitřní bod sady , pokud existuje -sousedství
bod , zcela patřící do souboru (tj.
).

Definice . Bod se nazýváhraniční bod množina, pokud některé její sousedství obsahuje body, které do množiny patří i do ní nepatří.

Hraniční bod množiny může, ale nemusí patřit do této množiny.

Definice . Sada se nazýváOTEVŘENO pokud jsou všechny jeho body vnitřní.

Definice . Sada se nazýváZAVŘENO pokud obsahuje všechny jeho hraniční body. Množina všech hraničních bodů množiny se nazývá jejíokraj (a často se označuje symbolem
). Všimněte si, že sada
je uzavřena a je volánanastavit uzávěr.

Příklad . Pokud , tak . V čem .

Částečný a celkový přírůstek funkce.

Pokud jedna nezávislá proměnná (např.X ) se zvyšuje X a druhá proměnná se nezmění, pak se funkce zvýší:

který se nazývá částečný přírůstek funkce vzhledem k jejímu argumentuX .

Pokud se všechny proměnné zvýší, funkce získá plný přírůstek:

Například pro funkci
budu mít:

Limita funkce více proměnných.

Definice . Řekneme, že posloupnost bodů
konverguje na
do té míry
, pokud v .

V tomto případě jde o pointu
volalomezit zadanou sekvenci a napište:
na
.

Je snadné ukázat, že tehdy a jen tehdy, když současně
,
(to znamená, že konvergence posloupnosti bodů v prostoru je ekvivalentnísouřadnicová konvergence ).

Definice . Číslo se volá omezit funkcí
na
, pokud pro

takové, že
, Jakmile.

V tomto případě napište
nebo
na
.

Přes zdánlivou úplnou analogii pojmů limita funkcí jedné a dvou proměnných je mezi nimi hluboký rozdíl. V případě funkce jedné proměnné je pro existenci limity v bodě nutné a postačující, aby se rovnala pouze dvě čísla - limity ve dvou směrech: vpravo a vlevo od limitního bodu. . Pro funkci dvou proměnných tendence k limitnímu bodu
na rovině se může vyskytovat v nekonečném počtu směrů (a ne nutně po přímce), a proto je požadavek na existenci limity pro funkci dvou (nebo více) proměnných „přísnější“ ve srovnání s funkcí jedné proměnné.

Příklad . Nalézt
.

Nechte aspiraci na limitní bod
jít v přímé linii
. Pak
.

Limit zjevně neexistuje, protože číslo
záleží na .

Vlastnosti limitu FNP:

Pokud existují a
, Že:, Částečná derivace vzhledem k a zavést jeho notaci.

Je snadné vidět, že parciální derivace je derivace funkce jedné proměnné, když je hodnota druhé proměnné pevná. Proto se parciální derivace počítají podle stejných pravidel jako výpočet derivací funkcí jedné proměnné.

Příklad . Najděte parciální deriváty funkcí
.

My máme:
,
.