Fourierova analýza signálů. Základní výzkum. Varianty jednotlivých úkolů tématu LP

Fourierova transformace je rodina matematických metod založených na rozkladu původní spojité funkce času na množinu základních harmonických funkcí (což jsou sinusové funkce) různé frekvence, amplitudy a fáze. Z definice je vidět, že hlavní myšlenkou transformace je, že jakákoli funkce může být reprezentována jako nekonečný součet sinusoid, z nichž každá bude charakterizována svou amplitudou, frekvencí a počáteční fází.

Fourierova transformace je zakladatelem spektrální analýzy. Spektrální analýza je metoda zpracování signálu, která umožňuje charakterizovat frekvenční obsah měřeného signálu. V závislosti na tom, jak je signál reprezentován, se používají různé Fourierovy transformace. Existuje několik typů Fourierovy transformace:

– Spojitá Fourierova transformace (v anglické literatuře Continue Time Fourier Transform – CTFT nebo zkráceně FT);

– Diskrétní Fourierova transformace (v anglické literatuře Discrete Fourier Transform – DFT);

– Rychlá Fourierova transformace (v anglické literatuře Fast Fourier transform – FFT).

Spojitá Fourierova transformace

Fourierova transformace je matematický nástroj používaný v různých vědeckých oborech. V některých případech může být použit jako prostředek k řešení složitých rovnic, které popisují dynamické procesy, ke kterým dochází pod vlivem elektrické, tepelné nebo světelné energie. V ostatních případech umožňuje zvýraznit pravidelné složky v komplexním oscilačním signálu, takže můžete správně interpretovat experimentální pozorování v astronomii, medicíně a chemii. Spojitá transformace je vlastně zobecněním Fourierovy řady za předpokladu, že perioda rozšířené funkce má tendenci k nekonečnu. Klasická Fourierova transformace se tedy zabývá spektrem přejímaného signálu v celém rozsahu existence proměnné.

Existuje několik typů zápisu spojité Fourierovy transformace, které se od sebe liší hodnotou koeficientu před integrálem (dvě formy zápisu):

nebo

kde a je Fourierův obraz funkce nebo frekvenční spektrum funkce;

- kruhová frekvence.

Je třeba poznamenat, že různé typy záznamů se nacházejí v různých oblastech vědy a techniky. Normalizační faktor je nezbytný pro správné škálování signálu z frekvenční oblasti do časové oblasti. Normalizační faktor snižuje amplitudu signálu na výstupu inverzní transformace tak, aby odpovídala amplitudě původního signálu. V matematické literatuře se přímá a inverzní Fourierova transformace násobí faktorem , zatímco ve fyzice se faktor nejčastěji nestanovuje pro přímou transformaci, ale faktor je nastaven pro obrácenou transformaci. Pokud postupně vypočítáme přímou Fourierovu transformaci určitého signálu a poté vezmeme inverzní Fourierovu transformaci, pak by se výsledek inverzní transformace měl zcela shodovat s původním signálem.

Pokud je funkce lichá na intervalu (−∞, +∞), pak Fourierova transformace může být reprezentována pomocí funkce sinus:

Pokud je funkce sudá na intervalu (−∞, +∞), lze Fourierovu transformaci znázornit pomocí funkce kosinus:

Spojitá Fourierova transformace nám tedy umožňuje reprezentovat neperiodickou funkci jako integrál funkce reprezentující v každém jejím bodě koeficient Fourierovy řady pro neperiodickou funkci.

Fourierova transformace je reverzibilní, to znamená, že pokud byl její Fourierův obraz vypočten z funkce, pak lze původní funkci jednoznačně obnovit z Fourierova obrazu. Inverzní Fourierova transformace je chápána jako integrál tvaru (dvě formy zápisu):

nebo

kde je Fourierův obraz funkce nebo frekvenční spektrum funkce;

- kruhová frekvence.

Pokud je funkce lichá na intervalu (−∞, +∞), pak lze inverzní Fourierovu transformaci znázornit pomocí funkce sinus:

Pokud je funkce sudá na intervalu (−∞, +∞), pak lze inverzní Fourierovu transformaci znázornit pomocí funkce kosinus:

Jako příklad zvažte následující funkci . Níže je uveden graf zkoumané exponenciální funkce.

Protože funkce je sudá funkce, bude spojitá Fourierova transformace definována následovně:

Ve výsledku jsme získali závislost změny studované exponenciální funkce na frekvenčním intervalu (viz dále).

Spojitá Fourierova transformace se obvykle používá v teorii, když uvažujeme signály, které se mění v souladu s danými funkcemi, ale v praxi se obvykle zabývají měřeními, která jsou diskrétními daty. Výsledky měření jsou zaznamenávány v pravidelných intervalech s určitou vzorkovací frekvencí, například 16000 Hz nebo 22000 Hz. V obecném případě však mohou diskrétní čtení probíhat nerovnoměrně, což však komplikuje matematický aparát analýzy, takže se v praxi obvykle nepoužívá.

Existuje důležitá Kotelnikovova věta (v zahraniční literatuře je název „Nyquist-Shannonův teorém“, „vzorový teorém“), který říká, že analogový periodický signál s konečným (omezeným šířkou) spektrem (0 ... fmax) lze jednoznačně obnovit bez zkreslení a ztrát v jejich diskrétních čteních, odebraných s frekvencí větší nebo rovnou dvojnásobku horní frekvence spektra - vzorkovací frekvence (fdisc >= 2*fmax). Jinými slovy, při vzorkovací frekvenci 1000 Hz lze z analogového periodického signálu získat signál s frekvencí až 500 Hz. Je třeba poznamenat, že diskretizace funkce v čase vede k periodizaci jejího spektra a diskretizace spektra ve frekvenci vede k periodizaci funkce.

Toto je jedna z Fourierových transformací široce používaných v algoritmech digitálního zpracování signálu.

Přímá diskrétní Fourierova transformace sdružuje časovou funkci , která je definována N-měřenými body v daném časovém intervalu, s další funkcí , která je definována na frekvenčním intervalu. Je třeba poznamenat, že funkce na časovém intervalu je specifikována pomocí N-vzorků a funkce na frekvenční doméně je specifikována pomocí K-násobného spektra.

k ˗ frekvenční index.

Frekvence k-tého signálu je určena výrazem

kde T je časový úsek, během kterého byla sbírána vstupní data.

Přímá diskrétní transformace může být přepsána z hlediska reálné a imaginární složky. Skutečná složka je pole obsahující hodnoty kosinusových složek a imaginární složka je pole obsahující hodnoty sinusových složek.

Z posledních výrazů je vidět, že transformace rozloží signál na sinusové složky (které se nazývají harmonické) s frekvencemi od jednoho kmitu za periodu do N kmitů za periodu.

Diskrétní Fourierova transformace má vlastnost, protože diskrétní posloupnost lze získat součtem funkcí s různým složením harmonického signálu. Jinými slovy, diskrétní posloupnost je rozložena na harmonické proměnné – nejednoznačně. Při rozšíření diskrétní funkce pomocí diskrétní Fourierovy transformace se proto v druhé polovině spektra objevují vysokofrekvenční složky, které v původním signálu nebyly. Toto vysokofrekvenční spektrum je zrcadlovým obrazem první části spektra (z hlediska frekvence, fáze a amplitudy). Obvykle se nebere v úvahu druhá polovina spektra a amplitudy signálu první části spektra se zdvojnásobí.

Je třeba poznamenat, že expanze spojité funkce nevede ke vzniku zrcadlového efektu, protože spojitá funkce je jednoznačně rozložena na harmonické proměnné.

Amplituda stejnosměrné složky je průměrná hodnota funkce za zvolené časové období a je určena následovně:

Amplitudy a fáze frekvenčních složek signálu jsou určeny následujícími vztahy:

Výsledné hodnoty amplitudy a fáze se nazývají polární notace. Výsledný signálový vektor bude definován následovně:

Zvažte algoritmus pro transformaci diskrétně dané funkce na daném intervalu (v dané periodě) s počtem počátečních bodů

D jiskra Fourierova transformace

V důsledku transformace získáme skutečné a imaginární hodnoty funkce, která je definována na frekvenčním rozsahu.

Inverzní diskrétní Fourierova transformace sdružuje frekvenční funkci , která je definována K-násobným spektrem ve frekvenční oblasti, s další funkcí , která je definována v časové oblasti.

N ˗ počet hodnot signálu naměřených za periodu a také násobnost frekvenčního spektra;

k ˗ frekvenční index.

Jak již bylo zmíněno, diskrétní Fourierova transformace mapuje N-bodů diskrétního signálu na N-komplexní spektrální vzorky signálu. Výpočet jednoho spektrálního vzorku vyžaduje N operací složitého násobení a sčítání. Výpočetní složitost algoritmu diskrétní Fourierovy transformace je tedy kvadratická, jinými slovy jsou vyžadovány komplexní operace násobení a sčítání.

1. Fourierova transformace a spektrum signálu

Abychom zkontrolovali, zda program funguje správně, vytvoříme pole hodnot jako součet dvou sinusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme je do program. Program nakreslil následující:

obr.1 Graf časové funkce signálu

obr.2 Graf spektra signálu

Na grafu spektra jsou dvě tyčinky (harmonické) 5 Hz s amplitudou 0,5 V a 10 Hz - s amplitudou 1 V, vše jako ve vzorci původního signálu. Všechno je v pořádku, dobrý programátor! Program funguje správně.

To znamená, že pokud na vstup ADC přivedeme reálný signál ze směsi dvou sinusoid, pak dostaneme podobné spektrum sestávající ze dvou harmonických.

Celkem, naše nemovitý měřený signál, trvání 5 sec, digitalizované ADC, tedy zastoupené oddělený počítá, má diskrétní neperiodické rozsah.

Z matematického hlediska, kolik chyb je v této frázi?

obr.4 Funkční spektrum

Něco není v pořádku! Harmonická 10 Hz se kreslí normálně, ale místo 5 Hz tyčinky se objevilo několik nepochopitelných harmonických. Díváme se na internetu, co a jak...

V, říkají, že se na konec vzorku musí přidat nuly a spektrum bude vykresleno normálně.

obr.5 Hotové nuly do 5 sekund

obr.6 Získali jsme spektrum

Stále to nebylo to, co bylo za 5 sekund. Musíte se vypořádat s teorií. Pojďme Wikipedie- zdroj znalostí.

2. Spojitá funkce a její reprezentace Fourierovou řadou

(1), kde:

K - číslo goniometrické funkce (počet harmonické složky, harmonické číslo)
T - segment, kde je funkce definována (délka signálu)
Ak - amplituda k-té harmonické složky,
?k - počáteční fáze k-té harmonické složky

Co to znamená „reprezentovat funkci jako součet řady“? To znamená, že sečtením hodnot harmonických složek Fourierovy řady v každém bodě získáme hodnotu naší funkce v tomto bodě.

(Přesněji řečeno, směrodatná odchylka řady od funkce f(x) bude mít tendenci k nule, ale navzdory standardní konvergenci není obecně řečeno, že Fourierova řada funkce k ní bodově konverguje. Viz https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Tuto sérii lze také napsat jako:

(2),
kde , k-tá komplexní amplituda.

Vztah mezi koeficienty (1) a (3) vyjadřují následující vzorce:

Všimněte si, že všechny tyto tři reprezentace Fourierovy řady jsou zcela ekvivalentní. Někdy je při práci s Fourierovými řadami vhodnější použít exponenty imaginárního argumentu místo sinus a kosinus, tedy použít Fourierovu transformaci v komplexním tvaru. Pro nás je ale vhodné použít vzorec (1), kde je Fourierova řada reprezentována jako součet kosinových vln s odpovídajícími amplitudami a fázemi. V každém případě je nesprávné tvrdit, že výsledkem Fourierovy transformace reálného signálu budou komplexní amplitudy harmonických. Jak správně říká wiki: "Fourierova transformace (?) je operace, která mapuje jednu funkci reálné proměnné na jinou funkci, také reálné proměnné."

Celkový:
Matematickým základem spektrální analýzy signálů je Fourierova transformace.

Fourierova transformace nám umožňuje reprezentovat spojitou funkci f(x) (signál) definovanou na segmentu (0, T) jako součet nekonečného počtu (nekonečné řady) goniometrických funkcí (sinus a/nebo kosinus) s určitými amplitudami. a fáze, také uvažované na segmentu (0, T). Taková řada se nazývá Fourierova řada.

Zaznamenáváme několik dalších bodů, jejichž pochopení je nutné pro správnou aplikaci Fourierovy transformace na analýzu signálu. Pokud vezmeme v úvahu Fourierovu řadu (součet sinusoid) na celé ose X, pak vidíme, že mimo segment (0, T) bude funkce reprezentovaná Fourierovou řadou periodicky opakovat naši funkci.

Například v grafu na obr. 7 je původní funkce definována na segmentu (-T \ 2, + T \ 2) a Fourierova řada představuje periodickou funkci definovanou na celé ose x.

Je to proto, že samotné sinusoidy jsou periodické funkce a jejich součet bude periodickou funkcí.

obr.7 Zobrazení neperiodické původní funkce Fourierovou řadou

Tím pádem:

Naše původní funkce je spojitá, neperiodická, definovaná na nějakém intervalu délky T.
Spektrum této funkce je diskrétní, to znamená, že je prezentována jako nekonečná řada harmonických složek - Fourierova řada.
Ve skutečnosti je určitá periodická funkce definována Fourierovou řadou, která se shoduje s naší na segmentu (0, T), ale tato periodicita pro nás není podstatná.

Periody harmonických složek jsou násobky segmentu (0, T), na kterém je definována původní funkce f(x). Jinými slovy, harmonické periody jsou násobky doby trvání měření signálu. Například perioda první harmonické Fourierovy řady je rovna intervalu T, na kterém je definována funkce f(x). Perioda druhé harmonické Fourierovy řady je rovna intervalu T/2. A tak dále (viz obr. 8).

obr.8 Periody (frekvence) harmonických složek Fourierovy řady (zde T = 2?)

V souladu s tím jsou frekvence harmonických složek násobky 1/T. To znamená, že frekvence harmonických složek Fk se rovnají Fk= k\T, kde k je v rozsahu od 0 do ?, například k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (při nulové frekvenci - konstantní složka).

Nechť je naší původní funkcí signál zaznamenaný po dobu T=1 sec. Pak bude perioda první harmonické rovna trvání našeho signálu T1=T=1 sec a frekvence harmonické je 1 Hz. Perioda druhé harmonické bude rovna délce trvání signálu dělené 2 (T2=T/2=0,5 sec) a frekvence je 2 Hz. Pro třetí harmonickou T3=T/3 sec a frekvence je 3 Hz. A tak dále.

Krok mezi harmonickými je v tomto případě 1 Hz.

Signál s dobou trvání 1 sec lze tedy rozložit na harmonické složky (pro získání spektra) s frekvenčním rozlišením 1 Hz.
Pro zvýšení rozlišení 2krát na 0,5 Hz je nutné prodloužit dobu měření 2krát – až 2 sekundy. Signál o délce 10 sekund lze rozložit na harmonické složky (pro získání spektra) s frekvenčním rozlišením 0,1 Hz. Neexistují žádné jiné způsoby, jak zvýšit frekvenční rozlišení.

Existuje způsob, jak uměle prodloužit dobu trvání signálu přidáním nul do pole vzorků. Ale nezvyšuje skutečné frekvenční rozlišení.

3. Diskrétní signály a diskrétní Fourierova transformace

Obvyklé schéma měření a digitalizace signálu je následující.

obr.9 Schéma měřicího kanálu

Signál z měřicího převodníku dorazí do ADC během doby T. Vzorky signálu (vzorky) získané během doby T jsou přeneseny do počítače a uloženy do paměti.

obr.10 Digitalizovaný signál - N odečtů přijatých v čase T

Jaké jsou požadavky na parametry digitalizace signálu? Zařízení, které převádí vstupní analogový signál na diskrétní kód (digitální signál), se nazývá analogově-digitální převodník (ADC, anglicky Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Jedním z hlavních parametrů ADC je maximální vzorkovací frekvence (neboli vzorkovací frekvence, anglicky sample rate) - frekvence odebírání vzorků signálu spojitě v čase při jeho vzorkování. Měřeno v hertzech. ((Wiki))

Podle Kotelnikovovy věty, pokud má spojitý signál spektrum omezené frekvencí Fmax, pak jej lze zcela a jednoznačně obnovit z jeho diskrétních vzorků odebraných v časových intervalech. , tj. s frekvencí Fd ? 2*Fmax, kde Fd - vzorkovací frekvence; Fmax - maximální frekvence spektra signálu. Jinými slovy, vzorkovací frekvence signálu (vzorkovací frekvence ADC) musí být alespoň 2násobkem maximální frekvence signálu, který chceme měřit.

A co se stane, když odečteme s nižší frekvencí, než vyžaduje Kotelnikovova věta?

V tomto případě dochází k efektu „aliasingu“ (alias stroboskopický efekt, moaré efekt), kdy se vysokofrekvenční signál po digitalizaci změní na nízkofrekvenční signál, který ve skutečnosti neexistuje. Na Obr. 5 vysoká frekvence červená sinusovka je skutečný signál. Modrá sinusovka s nižší frekvencí je fiktivní signál vyplývající ze skutečnosti, že více než polovina periody vysokofrekvenčního signálu má čas uplynout během doby vzorkování.

Rýže. 11. Objevení se falešného nízkofrekvenčního signálu, když vzorkovací frekvence není dostatečně vysoká

Aby se zabránilo efektu aliasingu, je před ADC - LPF (dolnopropustný filtr) umístěn speciální antialiasingový filtr, který propouští frekvence pod polovinou vzorkovací frekvence ADC a ořezává vyšší frekvence.

Pro výpočet spektra signálu z jeho diskrétních vzorků se používá diskrétní Fourierova transformace (DFT). Ještě jednou poznamenáváme, že spektrum diskrétního signálu je "z definice" omezeno frekvencí Fmax, která je menší než polovina vzorkovací frekvence Fd. Proto může být spektrum diskrétního signálu reprezentováno součtem konečného počtu harmonických, na rozdíl od nekonečného součtu pro Fourierovu řadu spojitého signálu, jehož spektrum může být neomezené. Podle Kotelnikovovy věty musí být maximální harmonická frekvence taková, aby zahrnovala alespoň dva vzorky, takže počet harmonických se rovná polovině počtu vzorků diskrétního signálu. To znamená, že pokud je ve vzorku N vzorků, bude počet harmonických ve spektru roven N/2.

Uvažujme nyní diskrétní Fourierovu transformaci (DFT).

Srovnání s Fourierovou řadou

Vidíme, že se shodují, až na to, že čas v DFT je diskrétní a počet harmonických je omezen na N/2 - polovinu počtu vzorků.

Vzorce DFT jsou zapsány v bezrozměrných celočíselných proměnných k, s, kde k jsou počty vzorků signálu, s jsou počty spektrálních složek.
Hodnota s udává počet plných kmitů harmonické v periodě T (doba trvání měření signálu). Diskrétní Fourierova transformace se používá k nalezení amplitud a fází harmonických číselně, tzn. "na počítači"

Vrátíme se k výsledkům získaným na začátku. Jak bylo uvedeno výše, při rozšíření neperiodické funkce (náš signál) do Fourierovy řady odpovídá výsledná Fourierova řada vlastně periodické funkci s periodou T. (obr. 12).

obr.12 Periodická funkce f(x) s periodou Т0, s periodou měření Т>T0

Jak je vidět na obr. 12, funkce f(x) je periodická s periodou Т0. Avšak vzhledem k tomu, že doba trvání měřeného vzorku T se neshoduje s periodou funkce T0, funkce získaná jako Fourierova řada má v bodě T nespojitost. V důsledku toho bude spektrum této funkce obsahují velké množství vysokofrekvenčních harmonických. Pokud by se doba trvání měřeného vzorku T shodovala s periodou funkce T0, pak by byla ve spektru získaném po Fourierově transformaci přítomna pouze první harmonická (sinusoida s periodou rovnou trvání vzorku), protože funkce f (x) je sinusoida.

Jinými slovy, program DFT "neví", že náš signál je "kus sinusovky", ale snaží se reprezentovat periodickou funkci jako řadu, která má mezeru kvůli nekonzistenci jednotlivých kusů sinusová vlna.

V důsledku toho se ve spektru objevují harmonické, které by v součtu měly představovat formu funkce včetně této diskontinuity.

Aby se tedy získalo "správné" spektrum signálu, které je součtem několika sinusoid s různými periodami, je nutné, aby se na periodu měření signálu vešel celočíselný počet period každé sinusoidy. V praxi lze tuto podmínku splnit po dostatečně dlouhou dobu měření signálu.

Obr.13 Ukázka funkce a spektra signálu kinematické chyby převodovky

Při kratším trvání bude obrázek vypadat „hůř“:

Obr.14 Příklad funkce a spektra vibračního signálu rotoru

V praxi může být obtížné pochopit, kde jsou „skutečné komponenty“ a kde jsou „artefakty“ způsobené nenásobením period komponent a trváním vzorku signálu nebo „skoky a přerušení“ průběh. Slova „skutečné komponenty“ a „artefakty“ samozřejmě nejsou uváděny nadarmo. Přítomnost mnoha harmonických na grafu spektra neznamená, že se z nich náš signál skutečně „skládá“. Je to jako myslet si, že číslo 7 se „skládá“ z čísel 3 a 4. Číslo 7 lze znázornit jako součet čísel 3 a 4 – to je správně.

Stejně tak náš signál ... nebo spíše ani ne „náš signál“, ale periodickou funkci sestavenou opakováním našeho signálu (vzorkování) lze reprezentovat jako součet harmonických (sinusoid) s určitými amplitudami a fázemi. Ale v mnoha případech důležitých pro praxi (viz obrázky výše) je skutečně možné vztáhnout harmonické získané ve spektru ke skutečným procesům, které jsou cyklické povahy a významně přispívají k tvaru signálu.

Nějaké výsledky

2. Signál je reprezentován množinou reálných hodnot a jeho spektrum je reprezentováno množinou reálných hodnot. Harmonické frekvence jsou kladné. Skutečnost, že pro matematiky je výhodnější znázornit spektrum v komplexní formě pomocí záporných frekvencí, neznamená, že „to je správné“ a „takto by se to mělo dělat vždy“.

3. Signál měřený v časovém intervalu T je určen pouze v časovém intervalu T. Co se stalo předtím, než jsme začali měřit signál, a co se stane potom - to věda nezná. A v našem případě - to není zajímavé. DFT časově omezeného signálu dává své "skutečné" spektrum v tom smyslu, že za určitých podmínek umožňuje vypočítat amplitudu a frekvenci jeho složek.

Použité materiály a další užitečné materiály.

Jakákoli vlna složitého tvaru může být reprezentována jako součet jednoduchých vln.

Joseph Fourier chtěl matematicky popsat, jak se teplo šíří pevnými předměty ( cm. Výměna tepla). Možná jeho zájem o teplo vzplanul, když byl v severní Africe: Fourier doprovázel Napoleona na francouzské výpravě do Egypta a nějakou dobu tam žil. Aby dosáhl svého cíle, musel Fourier vyvinout nové matematické metody. Výsledky jeho výzkumu byly publikovány v roce 1822 v práci „Analytická teorie tepla“ ( Theorie analytické de la chaleur), kde popsal, jak analyzovat složité fyzikální problémy jejich rozložením na řadu jednodušších.

Metoda analýzy byla založena na tzv Fourierova řada. V souladu s principem interference začíná řada rozkladem složitého tvaru na jednoduché - např. změna zemského povrchu je způsobena zemětřesením, změna dráhy komety vlivem přitažlivost několika planet, změna tepelného toku v důsledku jeho průchodu nepravidelně tvarovanou překážkou z tepelně izolačního materiálu. Fourier ukázal, že komplexní průběh může být reprezentován jako součet jednoduchých vln. Rovnice popisující klasické systémy jsou zpravidla snadno vyřešeny pro každou z těchto jednoduchých vln. Fourier dále ukázal, jak lze tato jednoduchá řešení shrnout, aby poskytla řešení komplexního problému jako celku. (Matematicky řečeno, Fourierova řada je metoda reprezentace funkce jako součtu harmonických – sinus a kosinus, takže Fourierova analýza byla také známá jako harmonická analýza.)

Až do příchodu počítačů v polovině dvacátého století byly Fourierovy metody a podobné nejlepší zbraně ve vědeckém arzenálu při útoku na složitosti přírody. Od příchodu komplexních Fourierových metod je vědci dokázali používat k řešení nejen jednoduchých problémů, které lze řešit přímou aplikací Newtonových zákonů mechaniky a dalších základních rovnic. Mnoho z velkých úspěchů newtonovské vědy v 19. století by ve skutečnosti nebylo možné bez použití metod, které poprvé navrhl Fourier. V budoucnu se tyto metody využívaly při řešení problémů v různých oborech – od astronomie po strojírenství.

Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

Francouzský matematik. Narozen v Auxerre; v devíti letech zůstal sirotkem. Již v mladém věku projevoval nadání pro matematiku. Fourier získal vzdělání na církevní škole a vojenské škole, poté působil jako učitel matematiky. Po celý život se aktivně věnoval politice; byl v roce 1794 zatčen za obranu obětí teroru. Po smrti Robespierra byl propuštěn z vězení; podílel se na vzniku slavné polytechnické školy (Ecole Polytechnique) v Paříži; jeho pozice mu poskytla odrazový můstek k postupu za Napoleonova režimu. Doprovázel Napoleona do Egypta, byl jmenován guvernérem Dolního Egypta. Po návratu do Francie v roce 1801 byl jmenován guvernérem jedné z provincií. V roce 1822 se stal stálým tajemníkem Francouzské akademie věd, vlivné postavení ve vědeckém světě Francie.

Video monitorovací kamery jsou široce používány pro řízení dopravní situace na dálnicích s vysokou intenzitou dopravy. Informace přicházející z videokamer obsahují údaje o dočasné změně prostorové polohy vozidel v zorném poli systému. Zpracování těchto informací na základě algoritmů používaných v televizních měřicích systémech (TIS) umožňuje zjišťovat rychlost vozidel a zajišťovat řízení plynulosti dopravy. Právě tyto faktory vysvětlují rostoucí zájem o televizní sledování dopravních cest.

Pro vývoj metod pro filtrování snímků vozidel na pozadí hluku je nutné znát jejich hlavní parametry a vlastnosti. Předtím autoři provedli studii Fourierova a waveletového spektra přírodního a městského prostředí. Tato práce je věnována studiu podobných spekter vozidel.

• pomocí digitálního fotoaparátu byla vytvořena banka originálních .bmp souborů monochromatických snímků vozidel různých typů (osobní a nákladní automobily, autobusy, pro každou skupinu byl počet snímků 20-40 při různých úhlech a světelných podmínkách); obrázky byly 400 pixelů horizontálně a 300 pixelů vertikálně; rozsah jasu od 0 do 255 jednotek;
• vzhledem k tomu, že snímky obsahovaly kromě vozidla i komponentu pozadí, aby bylo zabráněno jejímu ovlivnění výsledek, byla uměle potlačena na nulovou úroveň;
• charakteristiky snímků vozidel byly analyzovány metodami Fourierovy a vlnkové analýzy.

Program vyvinutý v prostředí MATLAB umožňuje vypočítat průměrný jas (tedy matematické očekávání jasu obrazu), rozptyl jasu, Fourierovo spektrum jednotlivých a celkových obrazových čar, spektrogramy a vlnková spektra pomocí různých známých vlnek (Haar , Daubechies, Simlet atd.). Výsledky analýzy jsou reflektovány ve formě dvourozměrných a 3D obrazových spekter.

Na základě výsledků výzkumu lze vyvodit následující závěry:

• průměrné charakteristiky jasu (průměrný jas, rozptyl) snímků různých vozidel mají podobné hodnoty pro všechny typy; významný vliv na charakteristiky jasu má sluneční oslnění z oken a povrchů automobilu; v závislosti na intenzitě a směru osvětlení mohou mít černé vozy charakteristiky jasu podobné lehkým vozům;
• bez ohledu na typ vehikula mají Fourierova a vlnková spektra podobnou strukturu;
• Fourierova šířka spektra vozidla slabě závisí na typu vozidla; spektrum má výrazně nejednotnou strukturu, která se mění se změnami osvětlení a orientace vozidla; spektrum v horizontální rovině má nerovnoměrnější strukturu než ve vertikální; spektrální charakteristiky návěsů a autobusů jsou výrazně ovlivněny kresbami a nápisy (reklamami) na jejich površích;
• při otáčení aut je změna spekter snímků v horizontální rovině výrazná, spektrum ve vertikální rovině zůstává vcelku stabilní; to je zvláště dobře vidět ve spektrech vlnek;
• analýza spekter jednotlivého vozidla a vozidla na pozadí interference ukazuje, že se liší v úrovních amplitud spektrálních složek; při absenci pozadí je vertikální spektrum mnohem jednotnější; u snímků aut bez pozadí je pravděpodobnost hlubokých propadů spektra vyšší (vyšší nerovnosti), obálka spektra snímků s pozadím je rovnoměrnější než bez pozadí;
• provedené studie ukázaly, že díky silnému vlivu velkého množství faktorů nám spektrální charakteristiky vozidel (jak získané pomocí Fourierovy analýzy, tak vlnkové analýzy) neumožňují identifikovat stabilní spektrální vlastnosti snímků vozidel; to snižuje účinnost filtrování spektrálního obrazu pro potlačení pozadí;
• v automatizovaných systémech řízení dopravy je pro rozlišení vozidel na pozadí rušení nutné použít soubor vlastností, jako je barva, spektrum, geometrické parametry objektů (velikosti a poměry velikostí) a dynamické charakteristiky.

BIBLIOGRAFIE

1. Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Studium charakteristik obrazů přírodního a městského pozadí / / Izv. Tulsk. Stát. Univerzita. Radiotechnika a radiooptika. - Tula, 2005. - T. 7.- S. 97-104.

Bibliografický odkaz

Část Úvodní přehled pojednává o dvou velmi jednoduchých příkladech (převzatých z Shumway, 1988), které ilustrují povahu spektrální analýzy a interpretaci výsledků. Pokud tuto metodu neznáte, doporučujeme vám, abyste si nejprve prostudovali tuto část této kapitoly.

Recenze a datový soubor. Soubor Sunspot.sta obsahuje zlomek známých čísel slunečních skvrn (Wolfer) z let 1749 až 1924 (Anderson, 1971). Níže je uveden seznam prvních několika dat z ukázkového souboru.

Předpokládá se, že množství slunečních skvrn ovlivňuje počasí na zemi, ale i zemědělství, telekomunikace atd. Pomocí této analýzy se lze pokusit zjistit, zda má aktivita slunečních skvrn skutečně cyklickou povahu (ve skutečnosti je, tato data jsou široce diskutována v literatuře; viz například Bloomfield, 1976 nebo Shumway, 1988).

Definice analýzy. Po spuštění analýzy otevřete datový soubor Sunspot.sta. Klikněte na tlačítko Proměnné a vyberte proměnnou Spots (všimněte si, že pokud je datový soubor Sunspot.sta aktuálně otevřeným datovým souborem a proměnná Spots je jedinou proměnnou v tomto souboru, budou body automaticky vybrány, když se zobrazí dialogové okno Analýza časových řad se otevře). Nyní klikněte na tlačítko Fourierova (spektrální) analýza pro otevření dialogového okna Fourierova (spektrální) analýza.

Před aplikací spektrální analýzy nejprve vykreslete počet slunečních skvrn. Všimněte si, že soubor Sunspot.sta obsahuje odpovídající roky jako názvy pozorování. Chcete-li použít tyto názvy v liniových grafech, klepněte na kartu Zobrazit řadu a vyberte Názvy případů v části Body štítků. Také vyberte Nastavit měřítko osy x ručně a Min. = 1 a krok = 10. Poté klikněte na tlačítko Graf vedle tlačítka zvýraznění Náhled. variabilní.

Zdá se, že počet slunečních skvrn sleduje cyklický vzor. Neexistuje žádný trend, takže se vraťte do okna Spectrum Analysis a zrušte výběr možnosti Remove Linear Trend ve skupině Transform Original Series.

Je zřejmé, že průměr řady je větší než 0 (nula). Proto ponechte vybranou možnost Odečíst průměr [jinak se periodogram "ucpe" velmi velkým vrcholem na frekvenci 0 (nula)].

Nyní jste připraveni zahájit analýzu. Nyní klikněte na OK (Jednorozměrná Fourierova analýza), aby se zobrazilo dialogové okno Výsledky Fourierovy spektrální analýzy.

Zobrazit výsledky. Informační část v horní části dialogového okna zobrazuje některé souhrnné statistiky pro řadu. Zobrazuje také pět největších vrcholů periodogramu (podle frekvence). Největší tři píky jsou na frekvencích 0,0852, 0,0909 a 0,0114. Tyto informace jsou často užitečné při analýze velmi rozsáhlých sérií (například těch s více než 100 000 pozorováními), které nelze snadno vykreslit do jednoho grafu. V tomto případě je však snadné vidět hodnoty periodogramu; kliknutím na tlačítko Periodogram pod Periodogram and Spectral Density Plots.

Graf periodogramu ukazuje dva odlišné vrcholy. Maximum je při frekvenci přibližně 0,9. Vraťte se do okna Výsledky spektrální analýzy a klikněte na tlačítko Souhrn, abyste viděli všechny hodnoty periodogramu (a další výsledky) v tabulce výsledků. Níže je uvedena část výsledkové tabulky s největším souborem píku z periodogramu.

Jak je uvedeno v části Úvodní přehled, Frekvence je počet cyklů za jednotku času (kde každé pozorování je jednou jednotkou času). Frekvence 0,0909 tedy odpovídá hodnotě 11 Period (počet jednotek času potřebných pro úplný cyklus). Vzhledem k tomu, že údaje o slunečních skvrnách v Sunspot.sta jsou roční pozorování, lze usoudit, že existuje výrazný 11letý (možná o něco delší než 11letý) cyklus v aktivitě slunečních skvrn.

Spektrální hustota. Obvykle se pro výpočet odhadů spektrální hustoty periodogram vyhlazuje, aby se odstranily náhodné fluktuace. Typ váženého klouzavého průměru a šířku okna lze vybrat v části Spektrální okna. Část Úvodní přehled podrobně popisuje tyto možnosti. Pro náš příklad ponechme vybrané výchozí okno (Hammingova šířka 5) a vybereme graf Spectral Density.

Dva vrcholy jsou nyní ještě jasnější. Podívejme se na hodnoty periodogramu za období. Zvýrazněte pole Období v části Graf. Nyní vyberte graf spektrální hustoty.

Opět je zde výrazný 11letý cyklus aktivity slunečních skvrn; navíc se objevují známky delšího cyklu cca 80-90 let.