Geometrická reprezentace funkce dvou proměnných. Vztahy povrchů a úrovňových čar při nespojitosti

Přerušte čáry (chyba). Tato operace umožňuje nakreslit čáru struktury, která má v každém bodě dvě značky. Tato strukturální čára se nazývá zlomová čára. Příkladem zlomové čáry je opěrná zeď aokraj(deska, pro obyvatele Petrohradu - obrubník :)). Na hranici můžete podepsat dvojité značkyspeciální tým.

Když funkci zavoláte, objeví se dialogové okno, kde musíte zadat požadované parametry.

Pokud vyberete možnost „Použít pevnou hodnotu nadmořské výšky“, zadejte pro nadmořskou výšku číselnou hodnotu.

Když vyberete "Take by Surface", vyberte ze seznamu název existujícího povrchu.

Typ zlomové čáry - levá nebo pravá.

Rada. Když je zaškrtnuto políčko „Uložit hodnotu rozdílu nadmořské výšky“, horní nadmořská výška se určí tímto způsobem: hodnota rozdílu se přičte ke spodní výšce a horní nadmořská výška nebude upravitelná. Pokud ji potřebujete upravit, vypněte zaškrtávací políčko rozdíly a zaškrtněte políčko pro tuto značku - bude k dispozici pro úpravy.

Hodnoty nadmořské výšky a rozdílu lze sledovat a upravovat v dialogovém okně:

Toto okno se objeví poté, co programová výzva „Zadejte první bod nebo [Možnosti(P)]:“ určila bod.

Pamatuje si, v jaké hodnotě byl vstup. Při příštím vyvolání okna začne zadávání ze zapamatovaného pole.

Je možné zakázat zaškrtnutí, které není známo - první sloupec zaškrtávacích políček.

Po zadání celé dělicí čáry se neznámé nadmořské výšky vypočítají ze známých nadmořských výšek, pokud je to možné.

Poslední sloupec zaškrtávacích políček je základní značkou pro přepočet (zaškrtávací políčka vlevo mají smysl).

Pokud se základní značka nezmění, ale změní se jedna z nepodložených značek, pak se přepočítá druhá nepodložená značka. A pokud je základna spodní nebo horní a vy ji změníte, změní se prostřední; pokud je základna střední a změníte ji, ve výchozím nastavení se změní horní.

Pokud vypnete jedno ze zaškrtávacích políček v prvním sloupci, význam základní značky se ztratí.

Existuje řada přepínačů, které nabízejí zaškrtnutí pro počáteční zadání. Pokud zvolíte "Poslední", bude navržena poslední zadaná nadmořská výška.

Přerušovaná čára je speciální objekt, geon. Horizontální odsazení mezi horní a dolní částí se nastavuje v dialogovém okně "Nastavení povrchu" v záložce "Nastavení přerušovací čáry" v sekci "Další parametry přerušovací čáry" pomocí parametru "Hodnota posunu přerušovací čáry během výstavby".

Na konci kreslení lomové čáry smyku se objeví žádost o potvrzení následujícího typu:

"Specifikujte odsazenou stranu přerušované čáry tečkou<Линия разрыва (Правая)>nebo:".

Uživatel buď označí směr posunu čáry struktury bodem (pro usnadnění zadávání bodu se od posledního zadaného bodu čáry struktury k určenému bodu objeví gumová čára), nebo potvrdí zadaný typ posunu. zpočátku (jakýkoli jiný vstup).

Při uchopení (například _Nea) se uchopení provede ke spodní části zarážky.

Do linie přerušení struktury byly přidány následující vlastnosti:

§ možnost přichycení k horní linii,

§ zobrazení strany řazení,

§ možnost nastavit hodnotu posunu při konstrukci povrchu (stačí 0,01),

§ pomocí příkazu _Rozložit se převede na dvě geočáry.

V deskriptivní geometrii je povrch považován za soubor postupných poloh pohybující se čáry nebo jiného povrchu v prostoru. Čára pohybující se v prostoru a tvořící plochu se nazývá tvořící čára. Generátory mohou být rovné nebo zakřivené. Generování křivek může být konstantní nebo proměnné, například se přirozeně mění.

Stejný povrch lze v řadě případů považovat za vytvořený pohyby různých tvořících přímek. Například může být vytvořen kruhový válec: za prvé, otáčením přímky vzhledem k pevné ose rovnoběžné s tvořící přímkou; za druhé pohybem kružnice, jejíž střed se pohybuje po přímce kolmé k rovině kružnice; za třetí, přímočarým pohybem koule.

Při zobrazování povrchu ve výkresu jsou zobrazeny pouze některé z mnoha možných poloh tvořící čáry. Na Obr. 8.1 ukazuje povrch tvořící čáry AB. Během svého pohybu zůstává tvořící čára rovnoběžná se směrem MN a zároveň překračuje nějakou zakřivenou linii CDE. Tedy pohyb tvořící čáry AB vedená v prostoru čárou CDE.

Přímka nebo přímky, jejichž průsečík je předpokladem pro pohyb tvořící čáry při tvorbě plochy, se nazývá vodítko nebo vodítka.

Na Obr. 8.2 znázorňuje plochu tvořenou pohybem přímky AB po dvou vodítkách - přímo O1<⅞ (ABE O i Ó 2) a prostorová křivka F.G.L. neprotínající linii O1 0 2.

Někdy se jako vodítko používá přímka, po které se pohybuje nějaký bod charakteristický pro tvořící čáru, ale neleží na ní, například střed kružnice.

Z různých forem generatric, vodítek a vzorů tvorby specifického povrchu jsou vybrány ty, které jsou nejjednodušší a nejpohodlnější pro zobrazení povrchu na výkresu a řešení problémů s ním spojených.

Někdy se pro definování povrchu používá pojem „determinant povrchu“, čímž se rozumí soubor nezávislých podmínek, které povrch jednoznačně definují. Mezi podmínkami obsaženými v determinantu se rozlišuje geometrická část (body, přímky, plochy) a zákon (algoritmus) pro vytvoření plochy geometrickou částí determinantu.

Uvažujme stručnou klasifikaci zakřivených ploch přijatou v deskriptivní geometrii.

Vládnoucí rozvinutelné povrchy. Plocha, kterou lze tvořit přímkou, se nazývá pravovaná plocha. Pokud lze pravítko rozmístit tak, že všechny jeho body lícují s rovinou, aniž by došlo k jakémukoli poškození povrchu (roztržení nebo záhybům), pak se nazývá rozvinutelný. Vyvolatelné povrchy zahrnují pouze ty pravítko, ve kterých jsou sousední přímočaré tvořící přímky rovnoběžné nebo se vzájemně protínají nebo jsou tečné k nějaké prostorové křivce. Všechny ostatní řádkové a všechny nerovné povrchy jsou klasifikovány jako nevyvinutelné povrchy.

Vyvinutelné plochy jsou válcové, kónické, s vratným žebrem nebo trupem. Na válcové ploše jsou tvořící přímky vždy rovnoběžné, vodítkem je jedna zakřivená čára. Obrázek na výkresu válcové plochy dříve zobrazené v prostoru (viz obr. 8.1) je uveden na Obr. 8.3. Speciálními případy jsou přímý kruhový válec, šikmý kruhový válec (viz obr. 9.17, vodítko je kruh, jehož rovina je umístěna pod úhlem k ose válce a se středem na jeho ose). Pro kuželové plochy mají všechny přímočaré tvořící přímky společný pevný bod - vrchol, vodítko - libovolnou zakřivenou čáru. Příklad obrázku kužele

plochy na výkrese - obr. 8.4, vrcholové projekce G", G", průvodce C"D"E", C"D"E". Speciální případy - rovný kruhový kužel, šikmý kruhový kužel - viz obr. 10.10, správně. U ploch s vratnou hranou nebo torzem jsou přímočaré tvořící přímky tečné k jednomu zakřivenému vodítku.

Vládnuté nerozvinutelné povrchy: cylindroid, konoid, hyperbolický paraboloid (šikmá rovina). Plocha zvaná cylindroid vzniká pohybem přímky, která ve všech svých polohách zůstává rovnoběžná s určitou danou rovinou ("rovina rovnoběžnosti") a protíná dvě zakřivené přímky (dvě vodítka). Plocha zvaná konoid vzniká pohybem přímky, která ve všech svých polohách zůstává rovnoběžná s určitou rovinou („rovina rovnoběžnosti“) a protíná dvě vodítka, z nichž jedno je křivka a druhé přímka (obr. 8.5, viz také obr. 8.2). Rovina rovnoběžnosti na Obr. 8.5 je rovina π1;

vodítka – křivka s projekcemi E"G"F", E"G"F", přímka s projekcemi O",0",O",0. V konkrétním případě, je-li zakřivené vedení válcová spirálová čára s osou shodující se s přímočarým vedením, výsledným povrchem je šroubovitý konoid, jak je diskutováno níže. Nákres hyperbolického paraboloidu, zvaného šikmá rovina, je na Obr. 8.6. Vznik této plochy lze považovat za důsledek pohybu přímočaré tvořící čáry podél dvou vodítek - křížení přímek rovnoběžných s určitou rovinou rovnoběžnosti. Na Obr. 8.6 rovina rovnoběžnosti - rovina promítání - vodítka - přímky s průměty M"N", M"N" A F"G", F"G".

Nerovné povrchy. Jsou rozděleny na plochy s konstantní tvořící přímkou ​​a s proměnnou tvořící čárou.

Plochy s konstantní tvořící čárou se zase dělí na rotační plochy se zakřivenou tvořící čárou, např. koule, torus, rotační elipsoid atd., a na cyklické plochy, např. plochy zakřivených trubek konstantní průřez, pružiny.

Plochy s proměnnou tvořící čárou jsou dále rozděleny na plochy druhého řádu, cyklické plochy s proměnnou tvořící čárou a plochy rámu. Nákres povrchu druhého řádu - elipsoidu - je na Obr. 8.7. Tvořící čára elipsoidu je deformovatelná elipsa. Dvě vodítka jsou dvě protínající se elipsy, jejichž roviny jsou ortogonální a jedna osa je společná. Tvořící čára protíná vodítka v krajních bodech svých os.

Při pohybu zůstává rovina tvořící elipsy rovnoběžná s rovinou tvořenou dvěma protínajícími se osami vodicích elips.

Cyklické povrchy s proměnnou tvořící čárou mají tvořící čáru - kruh s proměnným poloměrem, vodítko - křivku, po které se pohybuje střed tvořící čáry, rovina tvořící čáry je kolmá na vodítko. Plocha snímku není definována pohybující se tvořící čárou, ale určitým počtem čar na ploše.

Obvykle jsou takové čáry ploché křivky,

jejichž roviny jsou vzájemně rovnoběžné. Dvě skupiny takových čar se vzájemně protínají a tvoří řádkovaný plošný rámec. Průsečíky čar tvoří bodový rámec plochy. Bodový rámec plochy lze také určit souřadnicemi bodů plochy. Povrchy rámů jsou široce používány při konstrukci trupů lodí, letadel, automobilů a válců s katodovými trubicemi.

Z těchto povrchů se budeme podrobněji zabývat povrchem šroubu.

POZNÁMKY K PŘEDNÁŠCE Z MATANALÝZY

Funkce více proměnných. Geometrická reprezentace funkce dvou proměnných. Vyrovnejte linie a povrchy. Limita a spojitost funkcí více proměnných, jejich vlastnosti. Parciální derivace, jejich vlastnosti a geometrický význam.

Definice 1.1. Variabilní z (s oblastí změny Z) volal funkce dvou nezávislých proměnných x, y v hojnosti M, pokud každý pár ( x, y) z mnoha M z z Z.

Definice 1.2. hromada M, ve kterém jsou proměnné specifikovány x,y, volal doména funkce a oni sami x, y- její argumenty.

Označení: z = F(X, y), z = z(X, y).

Příklady.

Komentář. Protože pár čísel ( x, y) lze považovat za souřadnice určitého bodu v rovině, budeme následně termín „bod“ používat pro dvojici argumentů funkce dvou proměnných a také pro uspořádanou množinu čísel
, což jsou argumenty funkce několika proměnných.

Definice 1.3. . Variabilní z (s oblastí změny Z) volal funkce několika nezávislých proměnných
v hojnosti M, pokud každá sada čísel
z mnoha M podle nějakého pravidla nebo zákona je přiřazena jedna konkrétní hodnota z z Z. Pojmy argumentů a definičního oboru jsou zavedeny stejným způsobem jako u funkce dvou proměnných.

Označení: z = F
,z = z
.

Geometrická reprezentace funkce dvou proměnných.

Zvažte funkci

z = F(X, y) , (1.1)

definované v nějaké oblasti M v letadle O xy. Pak množina bodů v trojrozměrném prostoru se souřadnicemi ( X, y, z) , kde , je graf funkce dvou proměnných. Protože rovnice (1.1) definuje určitý povrch v trojrozměrném prostoru, bude to geometrický obraz uvažované funkce.

z = f(x,y)

M y

Komentář. Pro funkci tří nebo více proměnných budeme používat termín „povrch v n-dimenzionální prostor“, i když je nemožné zobrazit takový povrch.

Vyrovnejte linie a povrchy.

Pro funkci dvou proměnných daných rovnicí (1.1) můžeme uvažovat množinu bodů ( x,y) O letadlo xy, pro který z nabývá stejné konstantní hodnoty, tzn z= konst. Tyto body tvoří přímku na rovině tzv nivelační čára.

Příklad.

Najděte čáry úrovně povrchu z = 4 – X² - y². Jejich rovnice vypadají X² + y² = 4 – C (C=konst) – rovnice soustředných kružnic se středem v počátku a s poloměry
. Například kdy S=0 dostaneme kruh X² + y² = 4.

Pro funkci tří proměnných u = u (X, y, z) rovnice u (X, y, z) = C definuje povrch v trojrozměrném prostoru, který je tzv rovný povrch.

Příklad.

Pro funkci u = 3X + 5y – 7z–12 rovinných ploch bude rodina rovnoběžných rovin daných rovnicemi

3X + 5y – 7z –12 + S = 0.

Limita a spojitost funkce více proměnných.

Pojďme si představit koncept δ-sousedství body M 0 (X 0 , y 0 ) v letadle O xy jako kružnice o poloměru δ se středem v daném bodě. Podobně můžeme definovat δ-okolí v trojrozměrném prostoru jako kouli o poloměru δ se středem v bodě M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Pro n-rozměrný prostor budeme nazývat δ-okolí bodu M 0 sada bodů M se souřadnicemi
, splňující podmínku

Kde
- souřadnice bodu M 0 Někdy se této sadě říká „koule“. n-rozměrný prostor.

Definice 1.4. Volá se číslo A omezit funkce několika proměnných F
na místě M 0 pokud

takové, že | F(M) – A| < ε для любой точки M z δ-sousedství M 0 .

Označení:
.

Je třeba vzít v úvahu, že v tomto případě bod M se možná blíží M 0, relativně vzato, podél jakékoli trajektorie uvnitř δ-okolí bodu M 0 Proto je třeba rozlišovat limitu funkce více proměnných v obecném smyslu od tzv opakované limity získané postupnými průchody na limit pro každý argument zvlášť.

Příklady.

Komentář. Lze prokázat, že z existence limity v daném bodě v obvyklém smyslu a existence limitů v tomto bodě na jednotlivé argumenty vyplývá existence a rovnost opakovaných limit. Opačné tvrzení není pravdivé.

Definice 1.5. Funkce F
volal kontinuální na místě M 0
, Pokud
(1.2)

Zavedeme-li notaci

Tuto podmínku (1.2) lze přepsat do formuláře

(1.3)

Definice 1.6. Vnitřní bod M 0 funkční doména z = F (M) volal bod zlomu funkce, pokud v tomto bodě nejsou splněny podmínky (1.2), (1.3).

Komentář. V rovině nebo v prostoru se může vytvořit mnoho bodů nespojitosti linky nebo lomová plocha.

Povrch na úrovni pole je geometrické místo bodů, ve kterých pole nabývá konstantní hodnoty. Podle této definice bude mít rovnice povrchu hladiny tvar: nebo

Indiferenční křivky- představují množinu bodů na souřadnicové rovině, z nichž každý je množinou spotřebitele, která poskytuje spotřebiteli stejnou úroveň uspokojení jeho potřeb. Křivka indiference je grafické znázornění souboru indiferencí

OTÁZKA 36. Limita a spojitost funkce více proměnných. Následné limity.

Definice 1. Číslo A se nazývá limita funkce v bodě (nebo v a ), jestliže pro libovolné libovolně malé kladné číslo existuje kladné číslo takové, že pro všechny body umístěné ve vzdálenosti menší než od bodu je nerovnost je uspokojena

Je uveden limit

Definice 2. Funkce se nazývá spojitá v bodě, pokud limita funkce v tomto bodě existuje a

Body, ve kterých funkce nemá vlastnost spojitosti, se nazývají body nespojitosti.

Všechny vlastnosti a metody teorie limit funkce jedné proměnné jsou přeneseny na funkce více proměnných.

OTÁZKA 37. Diferencovatelnost funkce a diferenciálu prvního řádu, parciální diferenciály a parciální derivace prvního řádu.

OTÁZKA 38. Gradient a směrová derivace.

OTÁZKA 39. Deriváty a diferenciály vyšších řádů. Aplikace diferenciálního počtu funkcí více proměnných při modelování celních procesů.

Předpokládejme, že funkce f"(x) je v nějakém bodě x intervalu (a,b) diferencovatelná, to znamená, že v tomto bodě má derivaci. Pak se tato derivace nazývá druhá derivace a značí se f( 2)(x), f""(x) nebo y(2), y""(x). Podobně můžete zavést pojem druhé, třetí atd. derivace. Indukcí můžete zavést pojem n-tá derivace:

y(n) = (y(n-1))“. (6)

Funkce, která má konečnou derivaci řádu n na určité množině, se nazývá nkrát diferencovatelná na této množině. Technika hledání derivátů vyššího řádu předpokládá schopnost najít deriváty prvního řádu, jak naznačuje vzorec (6).

Jsou-li u(x), v(x) dvě diferencovatelné funkce, pak platí Leibnizův vzorec pro nalezení derivace jejich součinu

(u(x)v(x))(n) = u(n)v+nu(n-1)v"+(n(n-1)/2)u(n-2)v""+. ..+ uv(n) =

Sk = 0nCnku(n-k)v(k),

Cnk = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Tento Leibnizův vzorec je zvláště účinný v případě, kdy jedna z násobených funkcí má konečný počet nenulových derivací a derivace druhé funkce se dají snadno vypočítat.

Příklad 9. Nechť y = ex(x2-1). Najděte y(10). Nechť u(x) = ex,

v(x) = (x2-1). Podle Leibnizova vzorce

y(10) = (ex)(25)(x2-1)+10(ex)(9)(x2-1)"+(10 9/2) (ex)(8)(x2-1)"" ,

protože následující členy se rovnají nule. Proto

y(10) = ex(x2-1)+10x2x+(10 9/2)ex (2) = ex(x2+20x+89)

Zvažte výraz pro první diferenciál

Nechť funkce na pravé straně je diferencovatelná funkce v daném bodě x. K tomu stačí, aby y = f(x) bylo v daném bodě x diferencovatelné dvakrát, a argument je buď nezávislá proměnná, nebo je to dvakrát diferencovatelná funkce.

Definice 6 (rozdíl druhého řádu). Hodnota d(dy) diferenciálu z prvního diferenciálu (4) s d x = dx se nazývá druhý diferenciál funkce y = f(x) a značí se d2y.

Tím pádem,

d2y = d (dy)|d x = dx.

Diferenciální dny lze zavést indukcí.

OTÁZKA 40. Lokální a podmíněné extrémy funkcí více proměnných. Extrémní problémy při modelování celních procesů.

Lokální extrém.

Nechť je funkce dána , definované v otevřené oblasti prostoru, a nechat bod .

Definice1. Bod se nazývá minimální bod funkce, pokud existuje okolí bodu, ve kterém platí nerovnost:

Tito.

(podobně jako maximální bod)

PŘERUŠIT ČÁRU

PŘERUŠIT ČÁRU

Přímka vedená bodem zlomu rovnoběžná s linií bojové dráhy letadla.

Samojlov K.I. Marine Dictionary. - M.-L.: Státní námořní nakladatelství NKVMF SSSR, 1941

Podívejte se, co je „BREAK LINE“ v jiných slovnících:

Viz Mezera. Geologický slovník: ve 2 svazcích. M.: Nedra. Editoval K. N. Paffengoltz a kol. 1978 ... Geologická encyklopedie

zlomová čára- sprogimo linija statusas T sritis Gynyba apibrėžtis Tiesė, jungianti pabūklą su sprogimu. atitikmenys: angl. linie burst rus. zlomová čára…Artilerijos terminų žodynas

ČÁRA STŘIHU VĚTRU- čára větru, hranice mezi zónami s různou rychlostí nebo směry větru... Wind Dictionary

Nachází se v rovině střechy nebo dna útvaru (vrstva, žíla atd. geologická tělesa) nebo v rovině průtrže. k úderné čáře; směřuje dolů podél propadu formace (vrstvy, žíly) nebo roviny prasknutí. Viz podzim. Geologický slovník: ve 2 svazcích. M... Geologická encyklopedie

ČÁRA- (1) společná část dvou sousedních ploch; (2) L. automatický komplex strojů a strojů, hlavních a pomocných zařízení, automaticky provádějících celý proces v technologickém sledu a s daným rytmem... ... Velká polytechnická encyklopedie

Linie průsečíku střechy nebo dna útvaru (vrstvy, žíly atd. geologických těles) nebo zlomové roviny s vodorovnou rovinou. Viz Prostrace. Geologický slovník: ve 2 svazcích. M.: Nedra. Editoval K. N. Paffengoltz a kol. 1978 ... Geologická encyklopedie

Přímá čára spojující bod přerušení s bodem výpadu. Samoilov K.I. Marine slovník. M. L.: Státní námořní nakladatelství NKVMF SSSR, 1941 ... Marine Dictionary

Tento článek nebo část článku obsahuje informace o očekávané události nebo plánovaném zařízení infrastruktury související s metrem. Obsah stovky ... Wikipedie

- (FOCL), Komunikační linka z optických vláken (FOCL) je optický systém skládající se z pasivních a aktivních prvků, určený k přenosu informací v optickém (obvykle blízkém infračerveném) rozsahu. Obsah 1 ... Wikipedie

ZLOMENINY- ZLOMENINY, jakékoli úplné narušení celistvosti pevného předmětu (Wegner), v tomto případě kosti. P. jako následek nejtěžších úrazů tvoří jednu z nejzávažnějších kapitol traumatologie. Podle statistik Bruns (Londýnská nemocnice 300 000... ... Velká lékařská encyklopedie

knihy

• Literární klasika na plátně. Ani krok zpět (4DVD), Ershov Michail Ivanovič, Stolper Alexander, Egiazarov Gavriil Georgievich. 1. BLOKÁDA. 1. ČÁST (1975, 2 filmy, 177 min.) Filmový epos podle stejnojmenného románu Alexandra Chakovského. ocenění VKF. V létě 1941 se fašističtí útočníci přiblížili k Leningradu. Pouze…