• Příklad obvodu impulsní odezvy. Přechodové a impulsní charakteristiky lineárních obvodů. Základní ustanovení teorie přechodných procesů

    Pozoruhodný rys lineárních systémů - platnost principu superpozice - otevírá přímou cestu k systematickému řešení problémů při průchodu různých signálů takovými systémy. Metoda dynamické reprezentace (viz kapitola 1) umožňuje reprezentovat signály jako součty elementárních impulsů. Je-li možné tak či onak najít reakci na výstupu, ke které dochází vlivem elementárního impulsu na vstupu, pak konečným krokem při řešení problému bude sumace takových reakcí.

    Plánovaná cesta analýzy je založena na časové reprezentaci vlastností signálů a systémů. Stejně použitelná a někdy mnohem pohodlnější je analýza ve frekvenční oblasti, kdy jsou signály dány sériovými nebo Fourierovými integrály. Vlastnosti systémů jsou popsány jejich frekvenčními charakteristikami, které udávají zákon transformace elementárních harmonických signálů.

    impulsní odezva.

    Nechť nějaký lineární stacionární systém popíše operátor T. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že vstupní a výstupní signály jsou jednorozměrné. Podle definice je impulsní odezva systému funkcí, která je odezvou systému na vstupní signál. To znamená, že funkce h(t) splňuje rovnici

    Protože je systém stacionární, podobná rovnice bude existovat také v případě, že se vstupní akce posune v čase o derivační hodnotu:

    Mělo by být jasně pochopeno, že impulsní odezva, stejně jako funkce delta, která ji generuje, je výsledkem rozumné idealizace. Impulsní odezva z fyzikálního hlediska přibližně odráží odezvu systému na vstupní impulsní signál libovolného tvaru s jednotkovou plochou za předpokladu, že doba trvání tohoto signálu je zanedbatelná ve srovnání s charakteristickým časovým měřítkem systému, například doba jeho vlastních kmitů.

    Duhamelův integrál.

    Se znalostí impulsní odezvy lineárního stacionárního systému lze formálně vyřešit jakýkoli problém průchodu deterministického signálu takovým systémem. Vskutku, v kap. 1 bylo ukázáno, že vstupní signál vždy připouští reprezentaci formy

    Odpovídající výstupní reakce

    Nyní vezmeme v úvahu, že integrál je limitní hodnotou součtu, takže lineární operátor T, založený na principu superpozice, lze přivést pod znaménko integrálu. Dále operátor T "působí" pouze na veličiny, které závisí na aktuálním čase t, ale ne na integrační proměnné x. Z výrazu (8.7) tedy vyplývá, že

    nebo konečně

    Tento vzorec, který má zásadní význam v teorii lineárních systémů, se nazývá Duhamelův integrál. Vztah (8.8) udává, že výstupní signál lineárního stacionárního systému je konvolucí dvou funkcí - vstupního signálu a impulsní odezvy systému. Je zřejmé, že vzorec (8.8) může být také zapsán ve tvaru

    Pokud je tedy známa impulsní odezva h(t), pak se další fáze řešení redukují na plně formalizované operace.

    Příklad 8.4. Nějaký lineární stacionární systém, jehož vnitřní struktura je nevýznamná, má impulsní odezvu, což je obdélníkový videoimpuls délky T. Impuls nastává v t = 0 a má amplitudu

    Určete výstupní odezvu tohoto systému, když je na vstup přiveden krokový signál

    Při použití Duhamelova integrálního vzorce (8.8) si všimněte, že výstupní signál bude vypadat odlišně v závislosti na tom, zda aktuální hodnota překročí dobu trvání impulsní odezvy či nikoli. Když máme

    Pokud tedy pro , funkce zmizí, takže

    Nalezená výstupní reakce je zobrazena jako po částech spojnicový graf.

    Zobecnění na vícerozměrný případ.

    Dosud se předpokládalo, že jak vstupní, tak výstupní signály jsou jednorozměrné. V obecnějším případě systému se vstupy a výstupy by se měly zavést dílčí impulsní odezvy, z nichž každá zobrazuje signál na výstupu, když je na vstup aplikována funkce delta.

    Sada funkcí tvoří matici impulsní odezvy

    Duhamelův integrální vzorec ve vícerozměrném případě nabývá tvaru

    kde - -rozměrný vektor; - -rozměrný vektor.

    Podmínka fyzické realizovatelnosti.

    Ať už je konkrétní podoba impulsní odezvy fyzikálně proveditelného systému jakákoli, vždy musí být splněna nejdůležitější zásada: výstupní signál odpovídající impulsnímu vstupu nemůže nastat, dokud se impuls neobjeví na vstupu.

    Z toho vyplývá velmi jednoduché omezení formy přípustných impulsních odezev:

    Tato podmínka je splněna např. impulsní odezvou systému uvažovaného v příkladu 8.4.

    Je snadné vidět, že pro fyzikálně realizovatelný systém může být horní mez v Duhamelově integrálním vzorci nahrazena aktuální hodnotou času:

    Vzorec (8.13) má jasný fyzikální význam: lineární stacionární systém, zpracovávající příchozí signál, provádí vážený součet všech svých okamžitých hodnot, které existovaly „v minulosti“ v - Roli váhové funkce hraje impulsní odezva systému. Je zásadně důležité, aby fyzicky realizovatelný systém nebyl za žádných okolností schopen pracovat s „budoucími“ hodnotami vstupního signálu.

    Fyzicky realizovatelný systém musí být také stabilní. To znamená, že jeho impulsní odezva musí splňovat podmínku absolutní integrovatelnosti

    Přechodová charakteristika.

    Nechť na vstupu lineárního stacionárního systému působí signál reprezentovaný Heavisideovou funkcí.

    výstupní reakce

    nazývaná přechodná odezva systému. Protože je systém stacionární, přechodová odezva je při časovém posunu neměnná:

    Dříve uvedené úvahy o fyzické proveditelnosti systému se zcela přenášejí na případ, kdy je systém buzen nikoli funkcí delta, ale jediným skokem. Přechodná odezva fyzikálně realizovatelného systému je tedy nenulová pouze při t. Mezi impulzní a přechodovou odezvou je úzká souvislost. Ve skutečnosti, protože na základě (8.5)

    Diferenciační operátor a lineární stacionární operátor T tedy mohou měnit místa

    Pomocí dynamického reprezentačního vzorce (1.4) a postupem stejně jako při odvození vztahu (8.8) získáme další tvar Duhamelova integrálu:

    Koeficient přenosu frekvence.

    V matematickém studiu systémů jsou zvláště zajímavé takové vstupní signály, které jsou transformovány systémem a zůstávají ve formě nezměněny. Pokud existuje rovnost

    pak je vlastní funkcí systémového operátora T a číslo X, obecně komplexní, je jeho vlastní hodnotou.

    Ukažme, že komplexní signál pro libovolnou hodnotu frekvence je vlastní funkcí lineárního stacionárního operátoru. K tomu použijeme Duhamelův integrál tvaru (8.9) a vypočítáme

    To ukazuje, že vlastní hodnotou operátora systému je komplexní číslo

    (8.21)

    se nazývá frekvenční zisk systému.

    Vzorec (8.21) stanoví zásadně důležitou skutečnost - koeficient přenosu frekvence a impulsní odezva lineárního stacionárního systému jsou propojeny Fourierovou transformací. Proto vždy, když znáte funkci, můžete určit impulsní odezvu

    Dostali jsme se k nejdůležitějšímu postavení teorie lineárních stacionárních systémů - každý takový systém lze uvažovat buď v časové oblasti pomocí jeho impulsních nebo přechodových odezev, nebo ve frekvenční oblasti nastavením frekvenčního zesílení. Oba přístupy jsou ekvivalentní a výběr jednoho z nich je dán pohodlím získávání počátečních dat o systému a jednoduchostí výpočtů.

    Na závěr podotýkáme, že frekvenční vlastnosti lineárního systému se vstupy a výstupy lze popsat maticí koeficientů frekvenčního přenosu

    Mezi maticemi existuje spojovací zákon podobný tomu, který dávají vzorce (8.21), (8.22).

    Amplitudo-frekvenční a fázově-frekvenční charakteristiky.

    Funkce má jednoduchou interpretaci: pokud na vstup systému dorazí harmonický signál se známou frekvencí a komplexní amplitudou, pak komplexní amplituda výstupního signálu

    Podle vzorce (8.26) je modul frekvenčního zisku (AFC) sudý a fázový úhel (PFC) je lichá funkce frekvence.

    Mnohem obtížnější je odpovědět na otázku, jaký by měl být koeficient frekvenčního přenosu, aby byly splněny podmínky fyzické realizovatelnosti (8.12) a (8.14). Předkládáme bez důkazu konečný výsledek, známý jako Paley-Wienerovo kritérium: koeficient frekvenčního přenosu fyzikálně realizovatelného systému musí být takový, aby integrál existoval.

    Zvažte konkrétní příklad ilustrující vlastnosti frekvenčního zisku lineárního systému.

    Příklad 8.5. Některý lineární stacionární systém má vlastnosti ideální dolní propusti, tj. jeho koeficient frekvenčního přenosu je dán soustavou rovností:

    Ano, na základě výrazu (8.20) impulsní odezvy takového filtru

    Symetrie grafu této funkce vzhledem k bodu t = 0 ukazuje na nerealizovatelnost ideální dolní propusti. Tento závěr však vyplývá přímo z Paley-Wienerova kritéria. Integrál (8.27) se skutečně liší pro jakoukoli frekvenční odezvu, která zmizí na nějakém konečném segmentu frekvenční osy.

    Navzdory nerealizovatelnosti ideálního LPF se tento model úspěšně používá k aproximaci vlastností frekvenčních filtrů za předpokladu, že funkce obsahuje fázový faktor, který lineárně závisí na frekvenci:

    Zde je snadné zkontrolovat impulsní odezvu

    Parametr, rovný v absolutní hodnotě strmosti PFC, určuje časové zpoždění maxima funkce h(t). Je zřejmé, že tento model odráží vlastnosti implementovaného systému tím přesněji, čím je hodnota větší

    Uvažujme lineární elektrický obvod, který neobsahuje nezávislé zdroje proudu a napětí. Nechte vnější působení na řetěz být

    přechodná odezva g (t -t 0 ) lineárního obvodu, který neobsahuje nezávislé zdroje energie, je poměr reakce tohoto obvodu na dopad nejednotkového proudového nebo napěťového skoku k výšce tohoto skoku za nulových počátečních podmínek:

    přechodová odezva obvodu je číselně rovna odezvě obvodu na účinek jediného skoku proudu nebo napětí . Rozměr přechodové odezvy je roven poměru rozměru odezvy k rozměru vnějšího působení, přechodová odezva tedy může mít rozměr odporu, vodivosti nebo být bezrozměrnou veličinou.

    Nechť vnější působení na obvod má podobu nekonečně krátkého pulzu nekonečně vysoké výšky a konečné plochy А И :

    A .

    Označujeme řetězovou odezvu na tuto akci za nulových počátečních podmínek

    impulsní odezva h (t -t 0 ) lineárního obvodu, který neobsahuje nezávislé zdroje energie, je poměr reakce tohoto obvodu k působení nekonečně krátkého pulzu nekonečně vysoké výšky a konečné plochy k ploše tohoto pulzu za nulových počátečních podmínek:

    ⁄ a .

    Jak vyplývá z výrazu (6.109), impulsní odezva obvodu je číselně rovna odezvě obvodu na působení jediného impulzu(AI = 1). Rozměr impulsní odezvy se rovná poměru rozměru odezvy obvodu k součinu rozměru vnějšího působení a času.

    Stejně jako komplexní frekvenční a operátorské odezvy obvodu, přechodové a impulsní odezvy vytvářejí vztah mezi vnějším působením na obvod a jeho odezvou; avšak na rozdíl od komplexních frekvenčních a operátorských odezev, argument přechodových a impulzních odezev je čas t spíše než úhlová ω nebo komplexní p frekvence. Protože charakteristiky obvodu, jehož argumentem je čas, se nazývají časové a jehož argumentem je frekvence (včetně komplexních) - frekvenční charakteristiky

    (viz modul 1.5), přechodové a impulsní odezvy souvisí s časovou odezvou obvodu.

    Každá dvojice "vnější vliv na obvod - reakce obvodu" může být spojena s určitou komplexní frekvencí

    Abychom vytvořili spojení mezi těmito charakteristikami, najdeme obrázky operátorů přechodových a impulsních odezev. Použití výrazů

    (6.108), (6.109), píšeme

    Snímky operátora reakce obvodu na vnější

    dopad. vyjadřující

    prostřednictvím obrázků externích operátorů

    dopady

    ai

    ; dostaneme

    0 obrázků operátora přechodného a impulzivního charakteru

    hůl má obzvláště jednoduchý tvar:

    Takže impulsní odezva obvodu je

    Toto je funkce,

    což je podle Laplacea operátor charakteristický pro hodnotu

    mezi frekvenčními a časovými charakteristikami obvodu. Když známe například impulsní odezvu, můžeme použít přímou Laplaceovu transformaci k nalezení odpovídající operátorové charakteristiky obvodu.

    Pomocí výrazů (6.110) a derivačního teorému (6.51) je snadné vytvořit spojení mezi přechodovými a impulsními odezvami:

    Proto je impulsní odezva obvodu rovna první derivaci přechodové odezvy s ohledem na čas. Vzhledem k tomu, že přechodová odezva obvodu g (t-t 0 ) je číselně rovna odezvě obvodu na účinek jediného skoku napětí nebo proudu aplikovaného na obvod s nulovými počátečními podmínkami, hodnoty funkce g (t-t 0 ) při t< t 0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ), а не g (t-t 0 ). За меняя в выражении (6.112) g (t-t 0 ) на g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ) и используя соотношение (6.104), получаем

    Výraz (6.113) je znám jako zobecněné derivační vzorce. První člen v tomto výrazu je derivace přechodové odezvy v čase t > t 0 a druhý člen obsahuje součin funkce δ a hodnotu přechodové odezvy v bodě t = t 0 . Pokud se v t \u003d t 0 funkce g (t-t 0) náhle změní, pak impulsní odezva obvodu obsahuje funkci δ vynásobenou výškou skoku přechodové charakteristiky v bodě t \u003d t 0. Pokud funkce g (t-t 0) neprojde přerušením v t \u003d t 0, tj. hodnota přechodové charakteristiky v bodě t \u003d t 0 je nulová, pak se výraz pro zobecněnou derivaci shoduje s výrazem pro běžnou derivaci.

    Metody určování časových charakteristik

    Pro určení časových charakteristik lineárního obvodu je v obecném případě nutné uvažovat přechodové procesy, které probíhají v daném obvodu, když je vystaven jedinému skoku (jedinému pulzu) proudu nebo napětí. To lze provést klasickou nebo operátorskou metodou analýzy přechodových jevů. V praxi je pro zjištění časových charakteristik lineárních obvodů vhodné použít jiný způsob založený na využití vztahů, které ustavují vztah mezi kmitočtovými a časovými charakteristikami. Definice časových charakteristik v tomto případě začíná skladbou

    operátorovou charakteristikou řetězce a použitím vztahů (6.110) nebo (6.111) určete požadované časové charakteristiky.

    dodávající obvodu určitou energii. V tomto případě se indukční proudy a kapacitní napětí náhle změní o hodnotu odpovídající energii dodávané do obvodu. Ve druhé fázi (at) skončilo působení vnějšího působení na obvod (v tomto případě jsou příslušné zdroje energie vypnuty, tj. jsou reprezentovány vnitřními odpory) a v obvodu probíhají volné procesy. , probíhající v důsledku energie uložené v reaktivních prvcích v první fázi procesu přechodu. Impulzní odezva obvodu, která se číselně rovná odezvě na působení jediného proudového nebo napěťového impulzu, tedy charakterizuje volné děje v uvažovaném obvodu.

    Příklad 6.7 Pro obvod, jehož schéma je znázorněno na Obr. 3.12, a, najdeme přechodové a impulsní odezvy v klidovém režimu na svorkách 2–2“.

    napětí na obvodu ― napětí na svorkách 1―1"

    Reakce obvodu - svorkové napětí

    Operátorská charakteristika tohoto obvodu, odpovídající dané dvojici „vnější působení na obvod - reakce obvodu“, byla získána v příkladu 6.5:

    x ⁄ .

    V důsledku toho mají obrázky operátora přechodových a impulsních charakteristik obvodu tvar

    ⁄ ;

    1 ⁄ 1 ⁄ .

    Pomocí tabulek inverzní Laplaceovy transformace viz příloha 1 přejdeme od obrázků požadovaných časových charakteristik k originálům Obr. 6,20, a, b:

    Všimněte si, že výraz pro impulsní odezvu obvodu lze také získat pomocí vzorce 6.113 aplikovaného na výraz pro přechodovou odezvu obvodu g t .

    Pro kvalitativní vysvětlení typu přechodových a impulsních charakteristik obvodu v tomto zařazení Obr. 6.20, a, b připojte nezávislý zdroj napětí na 1-1" svorky Obr. 6.20, c. Přechodová odezva tohoto obvodu je číselně rovna napětí na 2-2" svorkách, když je aplikován jeden napěťový ráz na okruhu

    1 In a nulové počáteční podmínky. V počátečním okamžiku po komutaci

    tion, odpor indukčnosti je nekonečně velký, proto při t

    na výstupu obvodu se rovná napětí na svorkách 1-1 ": u 2 | t 0

    u 1| t0

    1 V. Postupem času

    jak napětí na induktoru klesá, má tendenci k nule při t

    ∞ . Podle

    V závislosti na tom začíná přechodová odezva od hodnoty g 0

    1 a má tendenci k nule

    Impulzní odezva obvodu je číselně rovna napětí na svorkách 2 - 2 "

    když je na vstup obvodu přiveden jediný napěťový impuls e t

    Duhamelův integrál.

    Znalost odezvy obvodu na jedinou rušivou akci, tzn. funkce přechodové vodivosti nebo (a) přechodové funkce napětí, můžete najít odezvu obvodu na působení libovolného tvaru. Základem metody - metody výpočtu pomocí Duhamelova integrálu - je princip superpozice.

    Při použití Duhamelova integrálu k oddělení proměnné, nad kterou se provádí integrace, a proměnné, která určuje čas, ve kterém je určen proud v obvodu, se první obvykle označuje jako , a druhá - jako t.

    Pusťte v okamžiku do obvodu s nulovými počátečními podmínkami (pasivní dvousvorková síť PD na Obr. 1) je připojen zdroj s libovolným napětím. Pro zjištění proudu v obvodu nahradíme původní křivku skokovou křivkou (viz obr. 2), načež s přihlédnutím k tomu, že obvod je lineární, sečteme proudy od počátečního skoku napětí a všech napěťových kroků nahoru. do okamžiku t, které přicházejí v činnost se zpožděním.

    V čase t je složka celkového proudu určená počátečním skokem napětí rovna .

    V tuto chvíli dochází ke skoku napětí , který s přihlédnutím k časovému intervalu od začátku skoku do bodu v čase t, který nás zajímá, určí aktuální složku .

    Celkový proud v čase t je zjevně roven součtu všech složek proudu z jednotlivých napěťových rázů s přihlédnutím, tzn.

    Nahrazení konečného časového intervalu přírůstku nekonečně malým, tzn. přechod od součtu k integrálu, píšeme

    . (1)

    Vztah (1) se nazývá Duhamelův integrál.

    Je třeba poznamenat, že napětí lze určit také pomocí Duhamelova integrálu. V tomto případě v (1) místo přechodové vodivosti vstoupí přechodová funkce vzhledem k napětí.


    Sekvence výpočtu pomocí
    Duhamelův integrál

    Jako příklad použití Duhamelova integrálu určíme proud v obvodu na Obr. 3 vypočítané v předchozí přednášce pomocí inkluzního vzorce.

    Počáteční údaje pro výpočet: , , .

    1. Přechodná vodivost

    .


    18. Přenosová funkce.

    Vztah akčního operátoru k jeho vlastnímu operátoru se nazývá přenosová funkce nebo přenosová funkce ve formě operátoru.

    Vazba popsaná rovnicí nebo rovnicemi v symbolickém nebo operátorovém tvaru může být charakterizována dvěma přenosovými funkcemi: přenosová funkce pro vstupní hodnotu u; a přenosovou funkci vzhledem ke vstupní hodnotě f.

    A

    Pomocí přenosových funkcí je rovnice zapsána jako . Tato rovnice je kompaktnější podmíněný zápis původní rovnice.

    Spolu s přenosovou funkcí ve formě operátora je široce používána přenosová funkce ve formě Laplaceových obrázků.

    Přenosové funkce ve formě Laplaceových obrázků a operátorové formy se shodují až do notace. Přenosovou funkci ve tvaru Laplaceovy obrazy lze získat z přenosové funkce ve tvaru operátora, pokud je v druhém případě provedena substituce p = s. V obecném případě to vyplývá z toho, že diferenciace originálu - symbolické násobení originálu p - za nulových počátečních podmínek odpovídá násobení obrazu komplexním číslem s.

    Podobnost mezi přenosovými funkcemi ve formě Laplaceova obrazu a ve formě operátora je čistě vnější a probíhá pouze u stacionárních vazeb (systémů), tzn. pouze za nulových počátečních podmínek.

    Uvažujme jednoduchý obvod RLC (v sérii), jeho přenosovou funkci W(p)=U OUT /U IN


    Fourierův integrál.

    Funkce F(X), je volána definovaná na celé číselné ose časopis, pokud existuje takové číslo, že pro jakoukoli hodnotu X rovnost . Číslo T volal funkční období.

    Všimněme si některých vlastností této funkce:

    1) Součet, rozdíl, součin a podíl periodických funkcí T je periodická funkce období T.

    2) Pokud je funkce F(X) doba T, pak funkci F(sekera) má tečku.

    3) Pokud F(X) je periodická funkce období T, pak jsou libovolné dva integrály této funkce stejné, převzaté z intervalů délky T(navíc integrál existuje), tedy pro libovolný A A b spravedlivá rovnost .

    trigonometrická řada. Fourierova řada

    Li F(X) expanduje na segmentu do rovnoměrně konvergentní trigonometrické řady: (1)

    Pak je tento rozklad jedinečný a koeficienty jsou určeny vzorcem:

    Kde n=1,2, . . .

    Zavolá se trigonometrická řada (1) uvažovaného tvaru s koeficienty trigonometrická Fourierova řada.

    Složitá forma Fourierovy řady

    Výraz se nazývá komplexní tvar Fourierovy řady funkce F(X), pokud je definována rovností

    , Kde

    Přechod z Fourierovy řady v komplexní formě na řadu ve skutečné podobě a naopak se provádí pomocí vzorců:

    (n=1,2, . . .)

    Fourierův integrál funkce f(x) je integrálem tvaru:

    , Kde .


    frekvenční funkce.

    Pokud se použije na vstup systému s přenosovou funkcí W(p) harmonický signál

    poté po dokončení přechodového procesu dojde k vytvoření harmonických oscilací na výstupu

    se stejnou frekvencí, ale odlišnou amplitudou a fází, v závislosti na frekvenci rušivé akce. Mohou být použity k posouzení dynamických vlastností systému. Nazývají se závislosti vztahující amplitudu a fázi výstupního signálu na frekvenci vstupního signálu frekvenční charakteristiky(CH). Analýza frekvenční odezvy systému za účelem studia jeho dynamických vlastností se nazývá frekvenční analýza.

    Dosazujeme výrazy za u(t) A y(t) do rovnice dynamiky

    (aop n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bop m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

    To bereme v potaz

    pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

    Podobné vztahy lze napsat pro levou stranu rovnice. Dostaneme:

    Analogicky s přenosovou funkcí můžeme psát:

    W(j ), rovnající se poměru výstupního signálu ke vstupu, když se vstupní signál mění podle harmonického zákona, se nazývá funkce přenosu frekvence. Je snadné vidět, že jej lze získat jednoduchým nahrazením p za j ve výrazu W(p).

    W(j) je komplexní funkce, takže:

    kde P() - reálná frekvenční odezva (VCH); Q() - imaginární frekvenční odezva (MFH); A() - amplitudová frekvenční odezva (AFC): () - fázová frekvenční odezva (PFC). Frekvenční odezva udává poměr amplitud výstupního a vstupního signálu, fázová odezva je fázový posun výstupní hodnoty vzhledem ke vstupu:

    ;

    Je-li W(j ) znázorněn jako vektor na komplexní rovině, pak při změně z 0 na + jeho konec vykreslí křivku tzv. vektorový hodograf W(j), nebo amplitudově - fázově frekvenční odezva (APFC)(obr.48).

    Větev AFC při změně z - na 0 lze získat zrcadlením této křivky vzhledem ke skutečné ose.

    V TAU jsou široce používány logaritmická frekvenční odezva (LFC)(obr. 49): logaritmická špičková odezva (LAFC) L() a logaritmická fázová odezva (LPFC) ().

    Získají se logaritmováním přenosové funkce:

    LACH se získá z prvního členu, který se z důvodů změny měřítka násobí 20 a nepoužívá se dekadický logaritmus, tj. L() = 20lgA(). Hodnota L() je vynesena podél osy y v decibely.

    Změna úrovně signálu o 10 dB odpovídá změně jeho výkonu 10x. Protože výkon harmonického signálu P je úměrný druhé mocnině jeho amplitudy A, pak desetinásobná změna signálu odpovídá změně jeho úrovně o 20 dB, protože

    log(P2/Pi) = log(A22/Ai2) = 20 ug(A2/Ai).

    Vodorovná osa ukazuje frekvenci w na logaritmické stupnici. To znamená, že jednotlivé mezery na vodorovné ose odpovídají desetinásobné změně w. Takový interval se nazývá desetiletí. Protože lg(0) = - , pak se osa y kreslí libovolně.

    LFC získaný z druhého členu se liší od PFC pouze měřítkem podél osy. Hodnota () je vykreslena podél osy y ve stupních nebo radiánech. U elementárních odkazů nepřekračuje: - + .

    Frekvenční charakteristiky jsou vyčerpávajícími charakteristikami systému. Se znalostí frekvenční charakteristiky systému je možné obnovit jeho přenosovou funkci a určit parametry.


    Zpětná vazba.

    Obecně se uznává, že linka je pokryta zpětnou vazbou, pokud je její výstupní signál přiváděn na vstup přes nějakou jinou linku. V tomto případě, pokud je signál zpětné vazby odečten od vstupní akce (), pak se zpětná vazba nazývá záporná. Pokud je signál zpětné vazby přidán ke vstupní akci (), pak se zpětná vazba nazývá kladná.

    Přenosová funkce uzavřeného obvodu se zápornou zpětnou vazbou - spoj pokrytý zápornou zpětnou vazbou - se rovná přenosové funkci přímého obvodu dělené jednou plus přenosová funkce otevřeného obvodu

    Přenosová funkce s uzavřenou smyčkou s kladnou zpětnou vazbou se rovná přenosové funkci dopředné smyčky dělené jednou mínus přenosová funkce s otevřenou smyčkou


    22. 23. Čtyřpóly.

    Při rozboru elektrických obvodů v problémech studia vztahu mezi proměnnými (proudy, napětí, výkony atd.) některých dvou větví obvodu se široce využívá teorie čtyřpólů.

    Čtyřpólový- jedná se o část libovolného konfiguračního obvodu, který má dva páry svorek (odtud jeho název), obvykle nazývané vstup a výstup.

    Příkladem čtyřpólu je transformátor, zesilovač, potenciometr, elektrické vedení a další elektrická zařízení, ve kterých lze rozlišit dva páry pólů.

    Obecně lze čtyřpóly rozdělit na aktivní, jehož struktura zahrnuje zdroje energie a pasivní, jejichž větve neobsahují zdroje energie.

    K zápisu rovnic kvadripólu vybereme v libovolném obvodu větev s jedním zdrojem energie a libovolnou jinou větev s určitým odporem (viz obr. 1a).

    V souladu s principem kompenzace nahradíme počáteční odpor zdrojem s napětím (viz obr. 1b). Poté na základě překryvné metody pro obvod na Obr. 1b lze napsat

    Rovnice (3) a (4) jsou základní rovnice kvadripólu; nazývají se také kvadripólové rovnice tvaru A (viz tabulka 1). Obecně řečeno, existuje šest forem zápisu rovnic pasivního čtyřpólu. Ve skutečnosti je čtyřpól charakterizován dvěma napětími a dvěma proudy a. Jakékoli dvě veličiny lze vyjádřit pomocí ostatních. Protože počet kombinací čtyři krát dva je šest, je možných šest forem zápisu rovnic pasivního čtyřpólu, které jsou uvedeny v tabulce. 1. Kladné směry proudů pro různé formy zápisu rovnic jsou znázorněny na Obr. 2. Všimněte si, že výběr jednoho nebo druhého tvaru rovnic je určen oblastí a typem řešeného problému.

    Stůl 1. Formy zápisu rovnic pasivního kvadripólu

    Formulář Rovnice Vztah s koeficienty základních rovnic
    Tvar ; ;
    ve tvaru Y ; ; ; ; ; ;
    Tvar Z ; ; ; ; ; ;
    H-forma ; ; ; ; ; ;
    G-tvar ; ; ; ; ; ;
    B-tvar ; . ; ; ; .

    Charakteristická impedance a koeficient
    šíření symetrického čtyřpólu

    V telekomunikacích se hojně využívá režim provozu symetrické čtyřterminálové sítě, ve které se její vstupní odpor rovná zátěži, tzn.

    .

    Tento odpor se označuje jako charakteristický odpor symetrický čtyřpól, a způsob činnosti čtyřpólu, pro který

    ,

    Impulzní (hmotnostní) odezva nebo impulsní funkce řetězy - jedná se o jeho zobecněnou charakteristiku, která je časovou funkcí, číselně rovna odezvě obvodu na jeden impulsní účinek na jeho vstupu za nulových počátečních podmínek (obr. 13.14); jinými slovy, toto je odezva obvodu bez počátečního ukládání energie na Diranovu delta funkci
    u jejího vchodu.

    Funkce
    lze určit výpočtem přechodu
    nebo přenos
    obvodová funkce.

    Výpočet funkce
    pomocí přechodové funkce obvodu. Nechte pod vstupem akci
    reakce lineárního elektrického obvodu je
    . Potom, vzhledem k linearitě obvodu, se vstupní akcí rovnou derivaci
    , bude reakce řetězce rovna derivaci
    .

    Jak bylo uvedeno, kdy
    , řetězová reakce
    , a pokud
    , pak bude řetězová reakce
    , tj. impulsní funkce

    Podle vzorkovací vlastnosti
    práce
    . Tedy impulsní funkce obvodu

    . (13.8)

    Li
    , pak má impulsní funkce tvar

    . (13.9)

    Proto je rozměr impulsní odezvy roven rozměru přechodové odezvy dělené časem.

    Výpočet funkce
    pomocí přenosové funkce obvodu. Podle výrazu (13.6), při působení na vstup funkce
    , odezvou funkce bude přechodová funkce
    typ:

    .

    Na druhou stranu je známo, že obraz derivace funkce s ohledem na čas
    , na
    , se rovná produktu
    .

    Kde
    ,

    nebo
    , (13.10)

    těch. impulsní odezva
    obvodu se rovná inverzní Laplaceově transformaci jeho přenosu
    funkcí.

    Příklad. Nalezneme impulsní funkci obvodu, jehož ekvivalentní obvody jsou znázorněny na obr. 13.12, A; 13.13.

    Řešení

    Přechodové a přenosové funkce tohoto obvodu byly získány dříve:

    Pak podle výrazu (13.8)

    Kde
    .

    Graf impulsní odezvy
    řetěz je znázorněn na obr. 13.15.

    závěry

    impulsní odezva
    zaveden ze stejných dvou důvodů jako přechodná odezva
    .

    1. Jednorázová akce
    - přerušovaný, a proto poměrně silný vnější vliv na jakýkoli systém nebo okruh. Proto je důležité znát reakci systému nebo řetězce při takovém nárazu, tzn. impulsní odezva
    .

    2. Pomocí nějaké modifikace Duhamelova integrálu vědět
    vypočítat odezvu systému nebo okruhu na jakékoli vnější rušení (viz další podkapitoly 13.4, 13.5).

    4. Překryvný integrál (duhamel).

    Nechť libovolnou pasivní dvoukoncovou síť (obr. 13.16, A) je připojen ke zdroji, který se od okamžiku neustále mění
    Napětí (obr. 13.16, b).

    Je potřeba najít proud (nebo napětí) v kterékoli větvi dvousvorkové sítě po sepnutí klíče.

    Problém vyřešíme ve dvou fázích. Nejprve najdeme požadovanou hodnotu zapnutím dvousvorkové sítě pro jeden skok napětí, který je dán jednokrokovou funkcí
    .

    Je známo, že reakce řetězu na jediný skok je kroková odezva (funkce)
    .

    Například pro
    – přechodová funkce obvodů pro proud
    (viz odstavec 2.1), pro
    – přechodová funkce napětí obvodu
    .

    Na druhém stupni plynule se měnící napětí
    nahradit krokovou funkcí s elementárními pravoúhlými skoky
    (viz obr. 13.16 b). Pak lze proces změny napětí reprezentovat jako sepnutí při
    konstantní napětí
    a poté jako zahrnutí elementárních konstantních napětí
    , posunuté vůči sobě o časové intervaly
    a mající znaménko plus pro rostoucí a mínus pro klesající větev dané křivky napětí.

    Složka požadovaného proudu v daném okamžiku od stejnosměrného napětí
    je rovný:

    .

    Složka požadovaného proudu z elementárního napěťového skoku
    zahrnuto v daném okamžiku je rovný:

    .

    Zde je argumentem přechodové funkce čas
    , protože elementární napěťový skok
    začne na chvíli fungovat později než zavření klíče, nebo jinými slovy, od časového intervalu mezi okamžikem začátek působení tohoto skoku a čas rovná se
    .

    Elementární přepětí

    ,

    Kde
    je měřítkový faktor.

    Proto požadovaná složka proudu

    Elementární rázové vlny jsou spínány v časovém intervalu od
    až do okamžiku , pro který je určen požadovaný proud. Proto sečtení aktuálních složek ze všech skoků, procházejících na limit at
    a při zohlednění složky proudu z počátečního skoku napětí
    , dostaneme:

    Poslední vzorec pro stanovení proudu s plynulou změnou použitého napětí

    (13.11)

    volal překryvný integrál (superpozice) nebo Duhamelův integrál (první forma zápisu tohoto integrálu).

    Obdobně je problém vyřešen při propojení obvodu a zdroje proudu. Podle tohoto integrálu je reakce řetězce obecně
    v určitém okamžiku po začátku expozice
    určeno celou tou částí dopadu, která se odehrála před časovým okamžikem .

    Změnou proměnných a integrací po částech lze získat jiné formy zápisu Duhamelova integrálu, ekvivalentní výrazu (13.11):

    Volba formy pro zápis Duhamelova integrálu je dána pohodlností výpočtu. Například pokud
    je vyjádřena exponenciální funkcí, jako vyhovující se ukazuje vzorec (13.13) nebo (13.14), což je dáno jednoduchostí derivování exponenciální funkce.

    Na
    nebo
    je vhodné použít zápis, ve kterém člen před integrálem zaniká.

    Svévolný dopad
    může být také reprezentován jako součet sekvenčně spojených impulsů, jak je znázorněno na Obr. 13.17.

    Pro nekonečně malé trvání pulzu
    získáme vzorce pro Duhamelův integrál podobný (13.13) a (13.14).

    Stejné vzorce lze získat ze vztahů (13.13) a (13.14) nahrazením a derivační funkcí
    impulsní funkce
    .

    Závěr.

    Tedy na základě vzorců Duhamelova integrálu (13.11) - (13.16) a časových charakteristik obvodu
    A
    lze určit časové funkce odezev obvodu
    na svévolné vlivy
    .

    Hybnost je funkce bez jakékoliv časové podpory. U diferenciálních rovnic se používá k získání přirozené odezvy systému. Jeho přirozená reakce je reakcí na výchozí stav. Vynucená odezva systému je odezvou na vstup, zanedbává jeho primární tvorbu.

    Vzhledem k tomu, že impulsní funkce nemá žádnou časovou oporu, je možné popsat jakýkoli počáteční stav vzniklý z příslušné vážené veličiny, která se rovná hmotnosti tělesa vyprodukovaného rychlostí. Jakoukoli libovolnou vstupní proměnnou lze popsat jako součet vážených impulsů. Ve výsledku je pro lineární systém popsán jako součet „přirozených“ odezev na stavy reprezentované uvažovanými veličinami. To vysvětluje integrál.

    Když se vypočítá impulsní odezva systému, v podstatě se vytvoří přirozená odezva. Zkoumá-li se součet nebo integrál konvoluce, je v podstatě vyřešen tento vstup do řady stavů a ​​následně původně vytvořená odezva na tyto stavy. V praxi lze pro impulsní funkci uvést příklad boxerského úderu, který trvá velmi málo a poté už žádný další nebude. Matematicky je přítomen pouze v počátečním bodě realistického systému, který má v tomto bodě vysokou (nekonečnou) amplitudu, a poté trvale slábne.

    Impulzní funkce je definována následovně: F(X)=∞∞ x=0=00, kde odpověď je charakteristika systému. Dotyčná funkce je ve skutečnosti oblastí pravoúhlého pulsu v x=0, jehož šířka se považuje za nulovou. Při x=0 je výška h a jeho šířka 1/h skutečný začátek. Nyní, pokud se šířka stane zanedbatelnou, tj. téměř inklinuje k nule, způsobí to, že odpovídající výška h velikosti má sklon k nekonečnu. To definuje funkci jako nekonečně vysokou.

    Odezva designu

    Impulzní odezva je následující: kdykoli je vstupní signál přiřazen systému (bloku) nebo procesoru, upraví nebo zpracuje jej tak, aby poskytl požadovaný varovný výstup v závislosti na přenosové funkci. Odezva systému pomáhá určit základní polohy, design a odezvu pro jakýkoli zvuk. Delta funkce je zobecněná funkce, kterou lze definovat jako limitu třídy specifikovaných sekvencí. Pokud přijímáte pulzní signál, pak je jasné, že se jedná o stejnosměrné spektrum ve frekvenční oblasti. To znamená, že všechny harmonické (v rozsahu od frekvence do +nekonečna) přispívají k příslušnému signálu. Spektrum frekvenční odezvy ukazuje, že tento systém poskytuje takové pořadí zesílení nebo zeslabení této frekvence nebo potlačuje tyto kolísavé složky. Fáze označuje posun poskytovaný pro různé harmonické frekvence.

    Impulzní odezva signálu tedy naznačuje, že obsahuje celý frekvenční rozsah, a proto se používá k testování systému. Protože pokud se použije jakýkoli jiný způsob oznámení, nebude mít všechny potřebné navržené části, takže reakce zůstane neznámá.

    Reakce zařízení na vnější faktory

    Při zpracování výstrahy je impulsní odezva jejím výstupem, když je reprezentována krátkým vstupem nazývaným impuls. Obecněji je to reakce jakéhokoli dynamického systému v reakci na nějakou vnější změnu. V obou případech impulsní odezva popisuje funkci času (nebo možná nějakou jinou nezávislou proměnnou, která parametrizuje dynamické chování). Má nekonečnou amplitudu pouze při t=0 a všude nulu, a jak název napovídá, jeho hybnost i, e působí krátkou dobu.

    V aplikaci má jakýkoli systém funkci přenosu vstup-výstup, která jej popisuje jako filtr, který ovlivňuje fázi a výše uvedenou hodnotu ve frekvenční doméně. Tato frekvenční odezva pomocí impulsních metod, měřená nebo vypočítaná digitálně. Ve všech případech může být dynamickým systémem a jeho charakteristikou reálné fyzikální objekty nebo matematické rovnice popisující takové prvky.

    Matematický popis impulsů

    Protože uvažovaná funkce obsahuje všechny frekvence, kritéria a popis určují odezvu lineárního časově invariantního návrhu pro všechny veličiny. Matematicky, jak je hybnost popsána, závisí na tom, zda je systém modelován v diskrétním nebo spojitém čase. Lze ji modelovat jako Diracovu delta funkci pro spojité časové systémy nebo jako Kroneckerovu veličinu pro návrh nespojité akce. První je extrémní případ pulsu, který byl velmi krátký v čase při zachování jeho plochy nebo integrálu (čímž dával nekonečně vysoký vrchol). I když to není možné v žádném reálném systému, je to užitečná idealizace. V teorii Fourierovy analýzy takový puls obsahuje stejné části všech možných excitačních frekvencí, což z něj činí vhodnou testovací sondu.

    Jakýkoli systém ve velké třídě známé jako lineární časově invariant (LTI) je plně popsán impulsní odezvou. To znamená, že pro jakýkoli vstup lze výstup vypočítat z hlediska vstupu a bezprostředního konceptu dané veličiny. Impulzní popis lineární transformace je obrazem transformované Diracovy delta funkce, podobně jako základní řešení parciálního diferenciálního operátoru.

    Vlastnosti impulsních struktur

    Obvykle je snazší analyzovat systémy pomocí přenosových impulsních odezev spíše než odezev. Uvažovanou veličinou je Laplaceova transformace. Vědcovo zlepšení výstupu systému lze určit vynásobením přenosové funkce touto vstupní operací v komplexní rovině, známé také jako frekvenční doména. Inverzní Laplaceova transformace tohoto výsledku poskytne výstup v časové oblasti.

    Určení výstupu přímo v časové oblasti vyžaduje konvoluci vstupu s impulsní odezvou. Když je známa přenosová funkce a Laplaceova transformace vstupu. Matematická operace, která se vztahuje na dva prvky a implementuje třetí, může být složitější. Někteří preferují alternativu násobení dvou funkcí ve frekvenční oblasti.

    Reálná aplikace impulsní odezvy

    V praktických systémech není možné vytvořit dokonalý impuls pro zadávání dat pro testování. Proto se někdy jako aproximace velikosti používá krátký signál. Za předpokladu, že puls je dostatečně krátký ve srovnání s odezvou, bude se výsledek blížit skutečnému, teoretickému. V mnoha systémech však vstup s velmi krátkým silným impulsem může způsobit, že se návrh stane nelineárním. Místo toho je řízeno pseudonáhodnou sekvencí. Impulzní odezva se tedy vypočítává ze vstupních a výstupních signálů. Odezvu, viděnou jako Greenovu funkci, si lze představit jako „vliv“ – jak vstupní bod ovlivňuje výstup.

    Charakteristika impulsních zařízení

    Speakers je aplikace, která demonstruje samotnou myšlenku (v 70. letech došlo k rozvoji testování impulsní odezvy). Reproduktory trpí fázovou nepřesností, což je vada na rozdíl od jiných měřených vlastností, jako je frekvenční odezva. Toto hrubé kritérium je způsobeno (mírně) zpožděnými wobbles/oktávami, které jsou většinou výsledkem pasivních přeslechů (zejména filtrů vyšších řádů). Ale také způsobené rezonancí, vnitřním objemem nebo vibracemi panelů karoserie. Odezva je konečná impulsní odezva. Jeho měření poskytlo nástroj k použití při snižování rezonancí díky použití vylepšených materiálů pro kužely a ozvučnice a také při změně výhybky reproduktoru. Potřeba omezit amplitudu pro zachování linearity systému vedla k použití vstupů, jako jsou pseudonáhodné sekvence maximální délky, ak pomoci počítačového zpracování pro získání zbytku informací a dat.

    Elektronická změna

    Analýza impulsní odezvy je základním aspektem radarového, ultrazvukového zobrazování a mnoha oblastí digitálního zpracování signálu. Zajímavým příkladem by bylo širokopásmové připojení k internetu. Služby DSL využívají techniky adaptivního vyrovnávání, které pomáhají kompenzovat zkreslení signálu a rušení způsobené měděnými telefonními linkami používanými k poskytování služby. Jsou založeny na zastaralých obvodech, jejichž impulsní odezva ponechává mnoho přání. Nahradilo ho modernizované pokrytí pro využití internetu, televize a dalších zařízení. Tyto pokročilé návrhy mají potenciál zlepšit kvalitu, zejména proto, že dnešní svět je celý připojen k internetu.

    Řídící systémy

    V teorii řízení je impulsní odezva odezvou systému na Diracův delta vstup. To je užitečné při analýze dynamických struktur. Laplaceova transformace delta funkce je rovna jedné. Proto je impulsní odezva ekvivalentní inverzní Laplaceově transformaci systémové přenosové funkce a filtru.

    Akustické a zvukové aplikace

    Impulzní odezvy zde umožňují zaznamenat zvukové charakteristiky místa, jako je koncertní síň. K dispozici jsou různé balíčky obsahující upozornění na konkrétní místa, od malých místností po velké koncertní sály. Tyto impulsní odezvy pak mohou být použity v aplikacích konvolučního dozvuku, aby bylo možné aplikovat akustické charakteristiky konkrétního místa na cílový zvuk. To znamená, že ve skutečnosti dochází k analýze, oddělení různých výstrah a akustiky přes filtr. Impulzní odezva je v tomto případě schopna dát uživateli na výběr.

    Finanční složka

    V moderním makroekonomickém modelování se funkce impulsní odezvy používají k popisu toho, jak v průběhu času reaguje na exogenní veličiny, které akademičtí vědci běžně označují jako šoky. A často simulované v rámci vektorové autoregrese. Mezi impulsy, které jsou z makroekonomického hlediska často považovány za exogenní, patří změny vládních výdajů, daňových sazeb a dalších parametrů finanční politiky, změny měnové báze nebo jiných parametrů kapitálové a úvěrové politiky, změny produktivity nebo jiných technologických parametrů; transformace v preferencích, jako je míra netrpělivosti. Funkce impulsní odezvy popisují odezvu endogenních makroekonomických proměnných, jako je výstup, spotřeba, investice a zaměstnanost během šoku i po něm.

    Přesněji o hybnosti

    Proud a impulsní odezva spolu v podstatě souvisí. Protože každý signál lze modelovat jako sérii. To je způsobeno přítomností určitých proměnných a elektřiny nebo generátoru. Je-li systém lineární i časový, lze odezvu přístroje na každou z odezev vypočítat pomocí reflexů dané veličiny.

    Přečtěte si více: