Impulsní a přechodová odezva rc obvodů. Přenosová funkce a impulsní odezva obvodu. Přechodná a impulsní odezva

Akademie Ruska

Katedra fyziky

Přednáška

Přechodové a impulsní charakteristiky elektrických obvodů

Eagle 2009

Vzdělávací a vzdělávací cíle:

Vysvětlit posluchačům podstatu přechodových a impulsních charakteristik elektrických obvodů, ukázat vztah mezi charakteristikami, věnovat pozornost využití uvažovaných charakteristik pro analýzu a syntézu EC, zaměřit se na kvalitní přípravu na praktickou hodinu .

Časová dotace přednášek

Úvodní část ………………………………………………………… 5 min.

Studijní otázky:

1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů………………15 min.

2. Duhamelovy integrály………………………………………………………...25 min.

3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů. Vztah mezi charakteristikami………………………………………………..………...25 min.

4. Konvoluční integrály……………………………………………………………….15 min.

Závěr……………………………………………………………… 5 min.

1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů

Přechodová odezva obvodu (stejně jako impulzní odezva) se vztahuje k časovým charakteristikám obvodu, tj. vyjadřuje určitý přechodový proces za předem stanovených vlivů a počátečních podmínek.

Pro porovnání elektrických obvodů z hlediska jejich odezvy na tyto vlivy je nutné uvést obvody do stejných podmínek. Nejjednodušší a nejpohodlnější jsou nulové počáteční podmínky.

Přechodová odezva obvodu je poměr odezvy řetězce na krokovou akci k hodnotě této akce při nulových počátečních podmínkách.

A-priory,

Pokud je známa přechodová odezva obvodu (nebo může být vypočtena), pak ze vzorce lze najít odezvu tohoto obvodu na skokovou akci při nule NL

Vytvořme spojení mezi přenosovou funkcí operátoru obvodu, která je často známá (nebo ji lze nalézt), a přechodovou odezvou tohoto obvodu. K tomu využíváme zavedený koncept funkce operátorského přenosu:

Poměr Laplaceově transformované řetězové reakce k velikosti nárazu

Proto .

Odtud se zjistí přechodová odezva operátora obvodu z funkce přenosu operátora.

K určení přechodové odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:

pomocí korespondenční tabulky nebo (předběžně) věty o rozkladu.

Příklad: Určete skokovou odezvu pro napěťovou odezvu napříč kapacitami v sérii

Zde je reakce na akci krok

odkud přechodná odezva:

Přechodové charakteristiky nejběžnějších obvodů jsou uvedeny a uvedeny v referenční literatuře.

2. Duhamelovy integrály

Přechodná odezva se často používá k nalezení odezvy obvodu na komplexní akci. Stanovme si tyto poměry.

Souhlasíme s tím, že dopad

Cílová expozice

Najděte hodnotu řetězové reakce v určitém okamžiku

Kroková akce s rozdílem

Nekonečně malý krok akce s rozdílem

V souladu s principem superpozice reakcí

Obvykle v posledním vzorci

3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů

Obvod impulsní odezvy je poměr odezvy obvodu na impulsní akci k oblasti této akce při nulových počátečních podmínkách.

A-priory,

kde je odezva obvodu na impulsní akci;

je oblast nárazového impulsu.

Podle známé impulsní odezvy obvodu lze zjistit reakci obvodu na danou akci: .

Jako akční funkce se často používá jedna impulzní akce, nazývaná také delta funkce nebo Diracova funkce.

Delta funkce je funkce rovna nule všude, kromě a její plocha je rovna jedné ():

.

Ke konceptu delta funkce lze dospět uvažováním limitu pravoúhlého pulzu s výškou a dobou trvání, když (obr. 3):

Vytvořme souvislost mezi přenosovou funkcí obvodu a jeho impulsní odezvou, k čemuž použijeme operátorskou metodu.

A-priory:

Je-li náraz (původní) uvažován pro nejobecnější případ ve formě součinu plochy pulzu a funkce delta, tedy ve tvaru , pak má obraz tohoto nárazu podle korespondenční tabulky tvar:

.

Pak na druhé straně poměr Laplaceově transformované reakce obvodu k hodnotě oblasti akčního impulsu je impulsní odezva obvodu:

.

Proto, .

K nalezení impulsní odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:

, tedy vlastně .

Zobecněním vzorců získáme vztah mezi operátorovou přenosovou funkcí obvodu a operátorovými přechodovými a impulsními odezvami obvodu:

Když tedy znáte jednu z charakteristik obvodu, můžete určit další.

Udělejme identickou transformaci rovnosti přidáním do střední části .

Pak budeme mít.

Protože je obrazem derivace přechodné odezvy, pak lze původní rovnost přepsat jako:

Přesuneme-li se do říše originálů, získáme vzorec, který nám umožňuje určit impulsní odezvu obvodu z jeho známé přechodové odezvy:

Pokud , tak .

Inverzní vztah mezi uvedenými charakteristikami má tvar:

.

Podle přenosové funkce je snadné stanovit přítomnost termínu ve složení funkce.

Pokud jsou stupně v čitateli a jmenovateli stejné, bude daný výraz přítomen. Pokud je funkce správným zlomkem, pak tento výraz nebude existovat.

Příklad: Určete impulsní odezvy pro napětí a v sériovém obvodu znázorněném na obrázku 4.

Pojďme definovat:

Podle srovnávací tabulky přejdeme k originálu:

.

Graf této funkce je na obrázku 5.

Rýže. 5

Přenosová funkce:

Podle srovnávací tabulky máme:

.

Graf výsledné funkce je na obrázku 6.

Připomeňme, že stejné výrazy lze získat pomocí vztahů navazujících spojení mezi a.

Impulzní odezva ve fyzikálním smyslu odráží proces volných oscilací a z tohoto důvodu lze tvrdit, že v reálných obvodech musí být vždy splněna následující podmínka:

4. Konvoluční integrály (překryvy)

Zvažte postup stanovení odezvy lineárního elektrického obvodu na komplexní efekt, je-li známa impulsní odezva tohoto obvodu. Budeme předpokládat, že dopad je po částech spojitá funkce znázorněná na obrázku 7.

Nechť je požadováno najít hodnotu reakce v určitém okamžiku. Při řešení tohoto problému představujeme dopad jako součet pravoúhlých pulzů nekonečně malého trvání, z nichž jeden, odpovídající časovému momentu , je znázorněn na obrázku 7. Tento pulz je charakterizován trváním a výškou .

Z dříve uvažovaného materiálu je známo, že odezvu obvodu na krátký impuls lze považovat za rovnou součinu impulsní odezvy obvodu a oblasti působení impulsu. V důsledku toho bude nekonečně malá složka reakce v důsledku této impulzivní akce v daném okamžiku rovna:

protože oblast pulsu je a čas uplyne od okamžiku jeho aplikace do okamžiku pozorování.

Pomocí principu superpozice lze celkovou odezvu obvodu definovat jako součet nekonečně velkého počtu nekonečně malých součástek způsobených sekvencí nekonečně malých plošných impulsních akcí předcházejících časovému okamžiku.

Tím pádem:

.

Tento vzorec platí pro jakoukoli hodnotu, takže proměnná se obvykle označuje jednoduše. Pak:

.

Výsledný vztah se nazývá konvoluční integrál nebo překryvný integrál. Funkce, která je nalezena jako výsledek výpočtu konvolučního integrálu, se nazývá konvoluce a .

Můžete najít jinou formu konvolučního integrálu, pokud změníte proměnné ve výsledném výrazu na:

.

Příklad: najděte napětí na kapacitě sériového obvodu (obr. 8), pokud na vstup působí exponenciální impuls ve tvaru:

řetěz je připojen: se změnou energetického stavu ... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Přechodné charakteristický elektrický řetězy je: Odpověď na krok jednotky...

Impulzní (hmotnostní) odezva nebo impulsní funkce řetězy - jedná se o jeho zobecněnou charakteristiku, která je časovou funkcí, číselně rovna odezvě obvodu na jeden impulsní účinek na jeho vstupu za nulových počátečních podmínek (obr. 13.14); jinými slovy, toto je odezva obvodu bez počátečního ukládání energie na Diranovu delta funkci
u jejího vchodu.

Funkce
lze určit výpočtem přechodu
nebo přenos
obvodová funkce.

Výpočet funkce
pomocí přechodové funkce obvodu. Nechte pod vstupem akci
reakce lineárního elektrického obvodu je
. Potom, vzhledem k linearitě obvodu, se vstupní akcí rovnou derivaci
, bude reakce řetězce rovna derivaci
.

Jak bylo uvedeno, kdy
, řetězová reakce
, a pokud
, pak bude řetězová reakce
, tj. impulsní funkce

Podle vzorkovací vlastnosti
práce
. Tedy impulsní funkce obvodu

. (13.8)

Li
, pak má impulsní funkce tvar

. (13.9)

Proto je rozměr impulsní odezvy roven rozměru přechodové odezvy dělené časem.

Výpočet funkce
pomocí přenosové funkce obvodu. Podle výrazu (13.6), při působení na vstup funkce
, odezvou funkce bude přechodová funkce
typ:

.

Na druhou stranu je známo, že obraz derivace funkce s ohledem na čas
, na
, se rovná produktu
.

Kde
,

nebo
, (13.10)

těch. impulsní odezva
obvodu se rovná inverzní Laplaceově transformaci jeho přenosu
funkcí.

Příklad. Nalezneme impulsní funkci obvodu, jehož ekvivalentní obvody jsou znázorněny na obr. 13.12, A; 13.13.

Řešení

Přechodové a přenosové funkce tohoto obvodu byly získány dříve:

Pak podle výrazu (13.8)

Kde
.

Graf impulsní odezvy
řetěz je znázorněn na obr. 13.15.

závěry

impulsní odezva
zaveden ze stejných dvou důvodů jako přechodná odezva
.

1. Jednorázová akce
- přerušovaný, a proto poměrně silný vnější vliv na jakýkoli systém nebo okruh. Proto je důležité znát reakci systému nebo řetězce při takovém nárazu, tzn. impulsní odezva
.

2. Pomocí nějaké modifikace Duhamelova integrálu vědět
vypočítat odezvu systému nebo okruhu na jakékoli vnější rušení (viz další podkapitoly 13.4, 13.5).

4. Překryvný integrál (duhamel).

Nechť libovolnou pasivní dvoukoncovou síť (obr. 13.16, A) je připojen ke zdroji, který se od okamžiku neustále mění
Napětí (obr. 13.16, b).

Je potřeba najít proud (nebo napětí) v kterékoli větvi dvousvorkové sítě po sepnutí klíče.

Problém vyřešíme ve dvou fázích. Nejprve najdeme požadovanou hodnotu zapnutím dvousvorkové sítě pro jeden skok napětí, který je dán jednokrokovou funkcí
.

Je známo, že reakce řetězu na jediný skok je kroková odezva (funkce)
.

Například pro
– přechodová funkce obvodů pro proud
(viz odstavec 2.1), pro
– přechodová funkce napětí obvodu
.

Na druhém stupni plynule se měnící napětí
nahradit krokovou funkcí s elementárními pravoúhlými skoky
(viz obr. 13.16 b). Pak lze proces změny napětí reprezentovat jako sepnutí při
konstantní napětí
a poté jako zahrnutí elementárních konstantních napětí
, posunuté vůči sobě o časové intervaly
a mající znaménko plus pro rostoucí a mínus pro klesající větev dané křivky napětí.

Složka požadovaného proudu v daném okamžiku od stejnosměrného napětí
je rovný:

.

Složka požadovaného proudu z elementárního napěťového skoku
zahrnuto v daném okamžiku je rovný:

.

Zde je argumentem přechodové funkce čas
, protože elementární skok napětí
začne na chvíli fungovat později než zavření klíče, nebo jinými slovy, od časového intervalu mezi okamžikem začátek působení tohoto skoku a čas rovná se
.

Elementární přepětí

,

Kde
je měřítkový faktor.

Proto požadovaná složka proudu

Elementární rázové vlny jsou spínány v časovém intervalu od
až do okamžiku , pro který je určen požadovaný proud. Proto sečtení aktuálních složek ze všech skoků, procházejících na limit at
a při zohlednění složky proudu z počátečního skoku napětí
, dostaneme:

Poslední vzorec pro stanovení proudu s plynulou změnou použitého napětí

(13.11)

volal překryvný integrál (superpozice) nebo Duhamelův integrál (první forma zápisu tohoto integrálu).

Obdobně je problém vyřešen při propojení obvodu a zdroje proudu. Podle tohoto integrálu je reakce řetězce obecně
v určitém okamžiku po začátku expozice
určeno celou tou částí dopadu, která se odehrála před časovým okamžikem .

Změnou proměnných a integrací po částech lze získat jiné formy zápisu Duhamelova integrálu, ekvivalentní výrazu (13.11):

Volba formy pro zápis Duhamelova integrálu je dána pohodlností výpočtu. Například pokud
je vyjádřena exponenciální funkcí, ukazuje se jako vhodný vzorec (13.13) nebo (13.14), což je dáno jednoduchostí derivování exponenciální funkce.

Na
nebo
je vhodné použít zápis, ve kterém člen před integrálem zaniká.

Svévolný dopad
může být také reprezentován jako součet sekvenčně spojených impulsů, jak je znázorněno na Obr. 13.17.

Pro nekonečně malé trvání pulzu
získáme vzorce pro Duhamelův integrál podobný (13.13) a (13.14).

Stejné vzorce lze získat ze vztahů (13.13) a (13.14) nahrazením a derivační funkcí
impulsní funkce
.

Závěr.

Tedy na základě vzorců Duhamelova integrálu (13.11) - (13.16) a časových charakteristik obvodu
A
lze určit časové funkce odezev obvodu
na svévolné vlivy
.

Pozoruhodný rys lineárních systémů - platnost principu superpozice - otevírá přímou cestu k systematickému řešení problémů při průchodu různých signálů takovými systémy. Metoda dynamické reprezentace (viz kapitola 1) umožňuje reprezentovat signály jako součty elementárních impulsů. Je-li možné tak či onak najít reakci na výstupu, ke které dochází vlivem elementárního impulsu na vstupu, pak konečným krokem při řešení problému bude sumace takových reakcí.

Plánovaná cesta analýzy je založena na časové reprezentaci vlastností signálů a systémů. Stejně použitelná a někdy mnohem pohodlnější je analýza ve frekvenční oblasti, kdy jsou signály dány sériovými nebo Fourierovými integrály. Vlastnosti systémů jsou popsány jejich frekvenčními charakteristikami, které udávají zákon transformace elementárních harmonických signálů.

impulsní odezva.

Nechť nějaký lineární stacionární systém popíše operátor T. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že vstupní a výstupní signály jsou jednorozměrné. Podle definice je impulsní odezva systému funkcí, která je odezvou systému na vstupní signál. To znamená, že funkce h(t) splňuje rovnici

Protože je systém stacionární, podobná rovnice bude existovat také v případě, že se vstupní akce posune v čase o derivační hodnotu:

Mělo by být jasně pochopeno, že impulsní odezva, stejně jako funkce delta, která ji generuje, je výsledkem rozumné idealizace. Impulsní odezva z fyzikálního hlediska přibližně odráží odezvu systému na vstupní impulsní signál libovolného tvaru s jednotkovou plochou za předpokladu, že doba trvání tohoto signálu je zanedbatelná ve srovnání s charakteristickým časovým měřítkem systému, například doba jeho vlastních kmitů.

Duhamelův integrál.

Se znalostí impulsní odezvy lineárního stacionárního systému lze formálně vyřešit jakýkoli problém průchodu deterministického signálu takovým systémem. Vskutku, v kap. 1 bylo ukázáno, že vstupní signál vždy připouští reprezentaci formy

Odpovídající výstupní reakce

Nyní vezmeme v úvahu, že integrál je limitní hodnotou součtu, takže lineární operátor T, založený na principu superpozice, lze přivést pod znaménko integrálu. Dále operátor T "působí" pouze na veličiny, které závisí na aktuálním čase t, ale ne na integrační proměnné x. Z výrazu (8.7) tedy vyplývá, že

nebo konečně

Tento vzorec, který má zásadní význam v teorii lineárních systémů, se nazývá Duhamelův integrál. Vztah (8.8) udává, že výstupní signál lineárního stacionárního systému je konvolucí dvou funkcí - vstupního signálu a impulsní odezvy systému. Je zřejmé, že vzorec (8.8) může být také zapsán ve tvaru

Pokud je tedy známa impulsní odezva h(t), pak se další fáze řešení redukují na plně formalizované operace.

Příklad 8.4. Nějaký lineární stacionární systém, jehož vnitřní struktura je nevýznamná, má impulsní odezvu, což je obdélníkový videoimpuls délky T. Impuls nastává v t = 0 a má amplitudu

Určete výstupní odezvu tohoto systému, když je na vstup přiveden krokový signál

Při použití Duhamelova integrálního vzorce (8.8) si všimněte, že výstupní signál bude vypadat odlišně v závislosti na tom, zda aktuální hodnota překročí dobu trvání impulsní odezvy či nikoli. Když máme

Pokud tedy pro , funkce zmizí, takže

Nalezená výstupní reakce je zobrazena jako po částech spojnicový graf.

Zobecnění na vícerozměrný případ.

Dosud se předpokládalo, že jak vstupní, tak výstupní signály jsou jednorozměrné. V obecnějším případě systému se vstupy a výstupy by se měly zavést dílčí impulsní odezvy, z nichž každá zobrazuje signál na výstupu, když je na vstup aplikována funkce delta.

Sada funkcí tvoří matici impulsní odezvy

Duhamelův integrální vzorec ve vícerozměrném případě nabývá tvaru

kde - -rozměrný vektor; - -rozměrný vektor.

Podmínka fyzické realizovatelnosti.

Ať už je konkrétní podoba impulsní odezvy fyzikálně proveditelného systému jakákoli, vždy musí být splněna nejdůležitější zásada: výstupní signál odpovídající impulsnímu vstupu nemůže nastat, dokud se impuls neobjeví na vstupu.

Z toho vyplývá velmi jednoduché omezení formy přípustných impulsních odezev:

Tato podmínka je splněna např. impulsní odezvou systému uvažovaného v příkladu 8.4.

Je snadné vidět, že pro fyzikálně realizovatelný systém může být horní mez v Duhamelově integrálním vzorci nahrazena aktuální hodnotou času:

Vzorec (8.13) má jasný fyzikální význam: lineární stacionární systém, zpracovávající příchozí signál, provádí vážený součet všech svých okamžitých hodnot, které existovaly „v minulosti“ v - Roli váhové funkce hraje impulsní odezva systému. Je zásadně důležité, aby fyzicky realizovatelný systém nebyl za žádných okolností schopen pracovat s „budoucími“ hodnotami vstupního signálu.

Fyzicky realizovatelný systém musí být také stabilní. To znamená, že jeho impulsní odezva musí splňovat podmínku absolutní integrovatelnosti

Přechodová charakteristika.

Nechť na vstupu lineárního stacionárního systému působí signál reprezentovaný Heavisideovou funkcí.

výstupní reakce

nazývaná přechodná odezva systému. Protože je systém stacionární, přechodová odezva je při časovém posunu neměnná:

Dříve uvedené úvahy o fyzické proveditelnosti systému se zcela přenášejí na případ, kdy je systém buzen nikoli funkcí delta, ale jediným skokem. Přechodná odezva fyzikálně realizovatelného systému je tedy nenulová pouze při t. Mezi impulzní a přechodovou odezvou je úzká souvislost. Ve skutečnosti, protože na základě (8.5)

Diferenciační operátor a lineární stacionární operátor T tedy mohou měnit místa

Pomocí dynamického reprezentačního vzorce (1.4) a postupem stejně jako při odvození vztahu (8.8) získáme další tvar Duhamelova integrálu:

Koeficient přenosu frekvence.

V matematickém studiu systémů jsou zvláště zajímavé takové vstupní signály, které jsou transformovány systémem a zůstávají ve formě nezměněny. Pokud existuje rovnost

pak je vlastní funkcí systémového operátora T a číslo X, obecně komplexní, je jeho vlastní hodnotou.

Ukažme, že komplexní signál pro libovolnou hodnotu frekvence je vlastní funkcí lineárního stacionárního operátoru. K tomu použijeme Duhamelův integrál tvaru (8.9) a vypočítáme

To ukazuje, že vlastní hodnotou operátora systému je komplexní číslo

(8.21)

se nazývá frekvenční zisk systému.

Vzorec (8.21) stanoví zásadně důležitou skutečnost - koeficient přenosu frekvence a impulsní odezva lineárního stacionárního systému jsou propojeny Fourierovou transformací. Proto vždy, když znáte funkci, můžete určit impulsní odezvu

Dostali jsme se k nejdůležitějšímu postavení teorie lineárních stacionárních systémů - každý takový systém lze uvažovat buď v časové oblasti pomocí jeho impulsních nebo přechodových odezev, nebo ve frekvenční oblasti nastavením frekvenčního zesílení. Oba přístupy jsou ekvivalentní a výběr jednoho z nich je dán pohodlím získávání počátečních dat o systému a jednoduchostí výpočtů.

Na závěr podotýkáme, že frekvenční vlastnosti lineárního systému se vstupy a výstupy lze popsat maticí koeficientů frekvenčního přenosu

Mezi maticemi existuje spojovací zákon podobný tomu, který dávají vzorce (8.21), (8.22).

Amplitudo-frekvenční a fázově-frekvenční charakteristiky.

Funkce má jednoduchou interpretaci: pokud na vstup systému dorazí harmonický signál se známou frekvencí a komplexní amplitudou, pak komplexní amplituda výstupního signálu

Podle vzorce (8.26) je modul frekvenčního zisku (AFC) sudý a fázový úhel (PFC) je lichá funkce frekvence.

Mnohem obtížnější je odpovědět na otázku, jaký by měl být koeficient frekvenčního přenosu, aby byly splněny podmínky fyzické realizovatelnosti (8.12) a (8.14). Předkládáme bez důkazu konečný výsledek, známý jako Paley-Wienerovo kritérium: koeficient frekvenčního přenosu fyzikálně realizovatelného systému musí být takový, aby integrál existoval.

Zvažte konkrétní příklad ilustrující vlastnosti frekvenčního zisku lineárního systému.

Příklad 8.5. Některý lineární stacionární systém má vlastnosti ideální dolní propusti, tj. jeho koeficient frekvenčního přenosu je dán soustavou rovností:

Ano, na základě výrazu (8.20) impulsní odezvy takového filtru

Symetrie grafu této funkce vzhledem k bodu t = 0 ukazuje na nerealizovatelnost ideální dolní propusti. Tento závěr však vyplývá přímo z Paley-Wienerova kritéria. Integrál (8.27) se skutečně liší pro jakoukoli frekvenční odezvu, která zmizí na nějakém konečném segmentu frekvenční osy.

Navzdory nerealizovatelnosti ideálního LPF se tento model úspěšně používá k aproximaci vlastností frekvenčních filtrů za předpokladu, že funkce obsahuje fázový faktor, který lineárně závisí na frekvenci:

Zde je snadné zkontrolovat impulsní odezvu

Parametr, rovný v absolutní hodnotě strmosti PFC, určuje časové zpoždění maxima funkce h(t). Je zřejmé, že tento model odráží vlastnosti implementovaného systému tím přesněji, čím je hodnota větší

Výpočet odezvy obvodu lze v mnoha případech zjednodušit, pokud je vstupní signál reprezentován součtem elementárních akcí ve formě pravoúhlých pulzů krátkého trvání. Chcete-li to provést, nejprve zvažte vztah mezi funkcemi a zobrazenými na obr.5.8a,6, který lze zapsat jako:

Druhou funkcí je jeden impuls, který jsme uvažovali v části 2.4. Jak vidíte, funkce je derivací funkce, tzn. . Proveďme přechod na limit v těchto funkcích jako . V tomto případě funkce přejde do funkce identity a funkce do funkce. Z rovnosti pak plyne, že jednotkový impuls neboli - funkce je derivací jednotkové funkce.

U lineárního obvodu z toho usuzujeme, že jeho odezva na jeden impuls, nazývaná impulsní odezva obvodu, je derivací přechodové odezvy obvodu, tzn. nebo

Rozměr impulsní odezvy se rovná rozměru přechodové odezvy dělené časem.

Nalezení impulsní odezvy je ve většině případů jednodušší než nalezení přechodové odezvy. Jak je ukázáno v části 2.4, spektrální funkce jednotkového impulsu, a proto pro impulsní odezvu pomocí Fourierova integrálu získáme výraz

Z tohoto výrazu vyplývá, že spektrální funkce charakteristiky je rovna komplexnímu zesílení obvodu, tzn. nebo pomocí přímé Fourierovy transformace zapíšeme:

To znamená, že impulsní odezva obvodu, stejně jako přechodová odezva, je určena přenosovým koeficientem, ale pro impulsní odezvu se ve většině případů ukazuje integrand ve Fourierově integrálu jako jednodušší.

Jako příklad použijeme vztah (5.14) pro určení spektra impulsní odezvy integračního obvodu, jehož přechodová odezva je Pro impulsní odezvu dostáváme

Zde pomocí výrazu (5.14) je nutné vzít v úvahu, že přechodová odezva at je shodně rovna nule, a proto bude dolní mez v integrálu výrazu (5.14) nulová. Pak je spektrální funkce impulsní odezvy

těch. získal koeficient přenosu integračního obvodu, odpovídající dříve získanému výrazu (3.16).

Znáte-li impulsní odezvu, můžete zjistit odezvu obvodu na dopad signálu libovolného tvaru, a to buď nejprve nalezením přechodové odezvy ze vztahu (5.12), a poté použitím některého z výrazů pro Duhamelův integrál, nebo přímo prostřednictvím funkce. V druhém případě je vstupní funkce, tzn. působící signál musí být reprezentován jako součet impulsů, jak je znázorněno na obr. 5.9.

Taková reprezentace funkce bude přesnější, pokud, tzn. pokud je reprezentován součtem nekonečně velkého počtu nekonečně malých impulsů trvání, které jsou zde elementárními vlivy. Pokud by elementární akce byla jediným impulsem, jehož plocha se rovná jednotě, pak by odezva obvodu na takový impuls, objevující se v určitém okamžiku, byla impulsní odezvou. V posuzovaném případě má elementární impuls hodnotu rovnou okamžité hodnotě funkce v daném okamžiku a dobu trvání rovnou, tzn. jeho plocha je stejná. Pak bude odezva na elementární dopad hodnotou. Odezva obvodu na akci určenou funkcí bude součtem odezev na všechny elementární akce, jejichž časová poloha odpovídá intervalu od 0 do, tzn.

Tento výraz, který je další formou zápisu Duhamelova integrálu, se také nazývá konvoluce funkcí. Vzhledově se shoduje s původní konvolucí obrazů dvou funkcí ve vzorci (4.21).

Impulzní odezvu obvodu lze získat experimentálně pozorováním odezvy obvodu (výstupního napětí) na elektronickém osciloskopu. Na vstup obvodu je nutné přivést impuls velmi krátké doby. Uvažujme například impulsní odezvu sériového oscilačního obvodu za předpokladu, že výstupní napětí je odstraněno z kapacity C. Výše ​​v odstavci 1.6 jsme uvažovali přechodový proces, kdy je na takový obvod aplikováno konstantní napětí. Pokud je hodnota přiloženého napětí rovna jedné, pak napětí na kapacitě, což je přechodová odezva obvodu, je podle (1.33),

Tato přechodná odezva je znázorněna na obrázku 5.10a. Pak impulsní odezva obvodu

Vzhledem k tomu, že faktor kvality obvodu je velký, předpokládáme, že první člen lze zanedbat:

Tato charakteristika je znázorněna na obrázku 5.10b. Odpovídá oscilogramu volných kmitů v obvodu, který jsme uvažovali v části 1.5.

Pro experimentální pozorování impulsní odezvy obvodu je tedy nutné přivést na vstup obvodu impuls krátkého trvání, tzn. (jak je vysvětleno v odstavci 2.4) tak, aby jeho trvání splňovalo podmínku.