Korelační analýza diskrétních signálů. Korelační funkce signálů Spektrální a korelační analýza deterministických signálů

Věděl jsi, co je myšlenkový experiment, gedankenský experiment?
Je to neexistující praxe, nadpozemská zkušenost, představa toho, co ve skutečnosti není. Myšlenkové experimenty jsou jako denní sny. Rodí monstra. Na rozdíl od fyzikálního experimentu, který je experimentálním testem hypotéz, „myšlenkový experiment“ magicky nahrazuje experimentální test s požadovanými, nevyzkoušenými závěry, manipuluje s logickými konstrukcemi, které ve skutečnosti porušují samotnou logiku tím, že používají neprokázané premisy jako prokázané, tj. substituce. Hlavním úkolem žadatelů o „myšlenkové experimenty“ je tedy oklamat posluchače či čtenáře nahrazením skutečného fyzikálního experimentu jeho „panenkou“ – fiktivním uvažováním o podmíněném propuštění bez fyzického ověření samotného.
Plnění fyziky imaginárními „myšlenkovými experimenty“ vedlo k absurdnímu, surrealistickému, matoucímu obrazu světa. Skutečný badatel musí takové „obaly“ odlišit od skutečných hodnot.

Relativisté a pozitivisté tvrdí, že „myšlenkový experiment“ je velmi užitečným nástrojem pro testování teorií (také vznikajících v našich myslích) na konzistenci. V tom klamou lidi, protože jakékoli ověření může provést pouze zdroj nezávislý na předmětu ověřování. Sám navrhovatel hypotézy nemůže být testem vlastního tvrzení, neboť důvodem tohoto tvrzení je absence rozporů, které ve vyjádření vidí navrhovatel.

Vidíme to na příkladu SRT a GR, které se proměnily v jakési náboženství, které řídí vědu a veřejné mínění. Žádné množství faktů, které jim odporují, nemůže překonat Einsteinův vzorec: „Pokud skutečnost neodpovídá teorii, změňte skutečnost“ (V jiné verzi: „Neodpovídá skutečnost teorii? – Tím hůře pro skutečnost ").

Maximum, co může „myšlenkový experiment“ tvrdit, je pouze vnitřní konzistentnost hypotézy v rámci žadatelovy vlastní, často nikterak pravdivé, logiky. Dodržování praxe to nekontroluje. Skutečný test může proběhnout pouze ve skutečném fyzikálním experimentu.

Experiment je experiment, protože to není zušlechťování myšlení, ale test myšlení. Myšlenka, která je v sobě konzistentní, se nemůže sama otestovat. To dokázal Kurt Gödel.

Křížová korelační funkce (CCF) různých signálů (cross-correlation function, CCF) popisuje jak stupeň podobnosti tvaru dvou signálů, tak jejich vzájemnou relativní polohu podél souřadnice (nezávislá proměnná). Zobecněním vzorce (6.1.1) autokorelační funkce na dva různé signály s(t) a u(t) získáme následující skalární součin signálů:

B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)

Vzájemná korelace signálů charakterizuje určitou korelaci jevů a fyzikálních procesů zobrazovaných těmito signály a může sloužit jako měřítko „stability“ tohoto vztahu, když jsou signály zpracovávány odděleně v různých zařízeních. Pro signály s konečnou energií je CCF také konečný, zatímco:

|B su ()|  ||s(t)||||u(t)||,

což vyplývá z Cauchy-Bunyakovského nerovnosti a nezávislosti signálových norem na posunu souřadnic.

Při změně proměnné t = t- ve vzorci (6.2.1) získáme:

B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (-).

Z toho vyplývá, že podmínka parity není splněna pro VKF, B su ()  B su (-), a hodnoty VKF nemusí mít maximum při  = 0.

Rýže. 6.2.1. Signály a VKF.

Stejné hodnoty CCF podle vzorců (6.2.1) a (6.2.1") jsou pozorovány při stejné vzájemné poloze signálů: když je signál u(t) posunut o interval  vzhledem k s(t) vpravo podél osy y a signál s(t) vzhledem k signálu u(t) vlevo, tj. B su () = B us (-

Rýže. 6.2.2. Vzájemné kovarianční funkce signálů.

Signály s(t) au(t) jsou z hlediska časového umístění stejné a oblast "překryvu" signálu je maximální při =0, což je fixováno funkcí B su . Zároveň je funkce B su ostře asymetrická, protože při asymetrickém tvaru signálu u(t) pro symetrický tvar s(t) (vzhledem ke středu signálů) se oblast „překrývajícího se“ signálu mění různě v závislosti na na směru posunu (znaménko  s nárůstem hodnoty  od nuly). Při posunutí počáteční polohy signálu u(t) doleva podél osy pořadnice (před signálem s(t) - signál v(t)) zůstane tvar VKF nezměněn a posune se o stejný posun doprava. hodnota - funkce B sv na Obr. 6.2.2. Pokud jsou výrazy funkcí v (6.2.1) zaměněny, pak nová funkce B vs bude funkcí B sv, která je zrcadlena vzhledem k =0.

S přihlédnutím k těmto vlastnostem se celkový CCF vypočítává zpravidla samostatně pro kladné a záporné zpoždění:

B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1")

Vzájemná korelace šumových signálů . Pro dva šumové signály u(t) = s1(t) + q1(t) a v(t) = s2(t) + q2(t), použijeme metodu odvození vzorců (6.1.13) s nahrazením a kopii signálu s(t ) do signálu s2(t), je snadné odvodit vzorec vzájemné korelace v následujícím tvaru:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

Poslední tři členy na pravé straně (6.2.2) klesají na nulu s rostoucí . Pro velké intervaly nastavení signálu lze výraz zapsat v následujícím tvaru:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

Při nulových průměrných hodnotách šumu a statistické nezávislosti na signálech dochází k následujícímu:

B uv () → B s 1 s 2 ().

VKF diskrétních signálů. Všechny vlastnosti VKF analogových signálů jsou platné i pro VKF diskrétních signálů, zatímco vlastnosti diskrétních signálů popsané výše pro diskrétní ACF jsou platné i pro ně (vzorce 6.1.9-6.1.12). Konkrétně při t = konst =1 pro signály x(k) a y(k) s počtem vzorků K:

B xy (n) =
x k y k-n . (6.2.4)

Při normalizaci v jednotkách výkonu:

B xy (n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

Odhad periodických signálů v šumu . Šumový signál může být vyhodnocen pro vzájemnou korelaci s "referenčním" signálem metodou pokus-omyl, s funkcí vzájemné korelace nastavenou na maximální hodnotu.

Pro signál u(k)=s(k)+q(k) se statistickou nezávislostí na šumu a → 0, funkce vzájemné korelace (6.2.2) se šablonou signálu p(k) pro q2(k)=0 má tvar:

B up (k) = Bsp (k) + B qp (k) = Bsp (k) + .

A od té doby → 0 při zvýšení N, poté B nahoru (k) → B sp (k). Je zřejmé, že funkce B up (k) bude mít maximum, když p(k) = s(k). Změnou tvaru šablony p(k) a maximalizací funkce B up (k) můžeme získat odhad s(k) ve tvaru optimálního tvaru p(k).

Funkce vzájemných korelačních koeficientů (VKF) je kvantitativní ukazatel stupně podobnosti signálů s(t) a u(t). Podobně jako funkce autokorelačních koeficientů se počítá přes centrované hodnoty funkcí (pro výpočet vzájemné kovariance stačí centrovat pouze jednu z funkcí) a je normalizována na součin hodnot standardů funkcí s(t) a v(t):

 su () = C su ()/ s  v . (6.2.6)

Interval změny hodnot korelačních koeficientů při posunech  se může pohybovat od –1 (úplná inverzní korelace) do 1 (úplná podobnost nebo stoprocentní korelace). Při posunech , při kterých jsou pozorovány nulové hodnoty  su (), jsou signály na sobě nezávislé (nekorelované). Koeficient vzájemné korelace umožňuje stanovit přítomnost spojení mezi signály bez ohledu na fyzikální vlastnosti signálů a jejich velikost.

Při výpočtu CCF šumových diskrétních signálů omezené délky pomocí vzorce (6.2.4) existuje pravděpodobnost výskytu hodnot ​​ su (n)| > 1.

Pro periodické signály se koncept CCF obvykle nepoužívá, kromě signálů se stejnou periodou, například vstupních a výstupních signálů při studiu charakteristik systémů.

Spolu se spektrálním přístupem k popisu signálů se v praxi často ukazuje jako nezbytná charakteristika, která by poskytla představu o některých vlastnostech signálu, zejména o rychlosti změny v čase, stejně jako o trvání signálu bez jeho rozkladu na harmonické složky.

Jako taková je časová charakteristika široce používána korelace signální funkce.

Pro deterministický signál s(t) s konečnou dobou trvání je korelační funkce určena následujícím výrazem:

kde τ je časový posun signálu.

Tato kapitola se zabývá signály, které jsou reálnými funkcemi času, a komplexní konjugovanou notaci lze vynechat:

. (1.78)

Z výrazu (1.78) je vidět, že B s (t) charakterizuje míru spojení (korelaci) signálu s ( t ) s jeho kopií posunutou o m podél časové osy. Je jasné, že funkce B s ( t ) dosahuje maxima při τ = 0, protože jakýkoli signál je plně korelován sám se sebou. V čem

, (1.79)

tj. maximální hodnota korelační funkce je rovna energii signálu.

Jak se τ zvyšuje, funkce V 8 (τ) klesá (ne nutně monotónně) as relativním posunem signálů s(t) A s(t+ τ) zmizí na dobu delší než trvání signálu.

Z obecné definice korelační funkce je zřejmé, že nezáleží na tom, zda signál posunout o hodnotu τ doprava nebo doleva vzhledem k jeho kopii. Proto lze výraz (1.78) zobecnit následovně:

. (1.78)

To se rovná tomu, že to říkáte B s (τ) je dokonce funkceτ.

Pro periodický signál, jehož energie je nekonečně velká, je definice korelační funkce pomocí výrazů (1.129) nebo (1.129") nepřijatelná. V tomto případě se používá následující definice:

Touto definicí získává korelační funkce rozměr moci a B Sne p (0) se rovná průměrné síle periodického signálu. Vzhledem k periodicitě signálů ( t ) průměrování produktu
nebo
po nekonečné linii T by se měl shodovat s průměrováním za období T 1 . Proto lze výraz (1.79) nahradit výrazem

Integrály obsažené v tomto výrazu nejsou nic jiného než korelační funkce signálu na intervalu T 1 . Označuje to skrz B sTl (τ ), dostáváme se ke vztahu

Je také zřejmé, že periodický signál s( t ) odpovídá periodické korelační funkci B s pruh (τ). Funkční období B s pruh (τ) se shoduje s obdobím T 1 původní signál ( t ). Například pro nejjednodušší (harmonické) kmitání
korelační funkce

Když τ=0
je průměrný výkon harmonického kmitání s amplitudou A 0 . Je důležité si uvědomit, že korelační funkce
nezávisí na počáteční fázi kmitání .

Pro odhad míry spojení mezi dvěma různými signály s 1 ( t ) a s 2 ( t ) používá se funkce vzájemné korelace, která je určena obecným výrazem

Pro reálné funkce s 1 (t) a s 2 (t)

Výše uvedená korelační funkce V s (τ) je speciální případ funkce
když je 1 ( t ) =s 2 ( t ).

Na rozdíl od
funkce vzájemné korelace není nutně rovnoměrná vzhledem k τ. Navíc funkce vzájemné korelace NeNezbytně dosáhne maxima při τ = 0.

Korelační funkce signálu je časová charakteristika

což dává představu o rychlosti změny signálu v čase a také o době trvání signálu bez jeho rozkladu na harmonické složky.

Existují autokorelační a křížové korelační funkce. Pro deterministický signál f(t) je autokorelační funkce dána vztahem

kde je časový posun signálu.

charakterizuje míru spojení (korelaci) signálu f (t) s jeho

kopie posunutá o hodnotu podél časové osy. Sestavme autokorelační funkci (ACF) pro obdélníkový impuls f (t ) . Signál je posunut na předsunutou stranu, jak je znázorněno na obr. 6.25.

Na grafu každá hodnota odpovídá svému součinu a ploše pod grafem funkce. Číselné

hodnoty těchto oblastí pro odpovídající τ a dejte souřadnice funkce

Jak se τ zvyšuje, snižuje se (ne nutně monotónně) a pro

To znamená, že více než doba trvání signálu se rovná nule.

je také periodická funkce s periodou T .

Zvažte hlavní vlastnosti autokorelační funkce:

1. ACF je sudá funkce, tj. a s rostoucí funkcí klesá.

2. ACF dosahuje maxima při , protože jakýkoli signál je plně korelován sám se sebou. V tomto případě je maximální hodnota ACF rovna energii

Čím širší je spektrum signálu, tím menší je korelační interval, tzn. hodnota posunu , v rámci které je korelační funkce nenulová. V souladu s tím, čím větší je interval korelace signálu, tím užší je jeho spektrum.

Korelační funkci lze také použít k odhadu stupně spojení mezi dvěma různými signály f 1 (t) a f 2 (t) posunutými o čas

V tomto případě se nazývá křížová korelační funkce (CCF) a je určena výrazem:

Funkce vzájemné korelace není nutně rovnoměrná vzhledem k τ a nemusí nutně dosahovat maxima at. Konstrukce VKF pro dva trojúhelníkové signály f 1 (t) a f 2 (t) je znázorněna na Obr. 6.26. Při stříhání

signál f 2 (t) doleva (t\u003e 0, obr. 6.26, a), korelační funkce signálu se nejprve zvyšuje, poté klesá na nulu při. Když se signál f 2 (t) posune doprava (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 T t

0t-TT

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Koncept modulovaných signálů. Amplitudová modulace

K přenosu informací na dálku se používají vysokofrekvenční signály. Přenášená informace musí být tak či onak zabudována do vysokofrekvenčního kmitání, kterému se říká nosná. Výběr čaje

Hodnota ω nosného signálu závisí na mnoha faktorech, ale v každém případě ω

by měla být mnohem větší než nejvyšší frekvence spektra přenášených zpráv, tzn.

V závislosti na povaze nosiče se rozlišují dva typy modulace:

– spojitý - s harmonickou nosnou spojitý v čase;

– impuls - s nosičem ve formě periodické sekvence impulsů.

Signál, který nese informaci, může být reprezentován jako

Jestliže a jsou konstantní hodnoty, pak se jedná o jednoduché harmonické kmitání, které nenese informaci. Pokud a jsou nuceni změnit se, aby vysílali zprávu, pak se oscilace modulují.

Pokud se A (t) změní, pak se jedná o amplitudovou modulaci, pokud je úhel úhlový. Úhlová modulace se dělí na dva typy: frekvenční (FM) a fázovou (PM).

Od , pak a se pomalu mění funkce času. Pak můžeme předpokládat, že pro jakýkoli typ modulace jsou parametry signálu

(1) (amplituda, fáze a frekvence) se mění tak pomalu, že během jedné periody lze vysokofrekvenční oscilaci považovat za harmonickou. Tento předpoklad je základem vlastností signálů a jejich spekter.

Amplitudová modulace (AM). U AM se amplitudová obálka nosného signálu mění podle zákona, který se shoduje se zákonem o změně vysílané zprávy, frekvencese nemění, a počáteční fázese může lišit v závislosti na okamžiku začátku modulace. Obecný výraz (6.22) lze nahradit výrazem

Grafické znázornění amplitudově modulovaného signálu je znázorněno v. 6.27. Zde S(t) je přenášená spojitá zpráva, amplituda nosného harmonického vysokofrekvenčního signálu. Obálka A (t) se mění podle zákona, který reprodukuje zprávu

Svatý).

Typ optimálního přijímacího algoritmu, stejně jako kvalitativní ukazatele systému přenosu diskrétních zpráv, výrazně závisí na charakteristice

kterou budeme nazývat vzájemnou korelační funkcí polohy komplexního referenčního signálu a komplexního přijímaného pole odpovídající poloze, kde je mezi nimi časový posun, z důvodu nekonzistence v čase.

Funkce je mírou „rozdílu“ (nebo „blízkosti“) signálů s indexy, implementacemi interference. Taková charakteristika rozlišitelnosti signálu a interference byla použita například v řadě prací.

Při odvozování posledních vzorců se berou v úvahu vztahy vyplývající z Parsevalovy rovnosti:

Funkce se budou nazývat funkce vzájemné korelace přijímaných signálů a funkce vzájemné korelace sdružených signálů v místě příjmu. První z nich určuje vlastnosti optimálního koherentního příjmu, přičemž pro charakterizaci optimálního příjmu v neurčité fázi signálu (inkoherentní příjem) je potřeba znát pouze modul (obálku) komplexní korelační funkce.

Komplexní reference používaná v optimálních koherentních schématech příjmu (viz níže)

kde je funkce, která je řešením integrální rovnice

kde je korelační funkce aditivního šumu. Vzhledem k tomu, že korelační funkce může být rozšířena do bilineární řady, pokud jde o její vlastní funkce

kde jsou vlastní čísla, pak řešení integrální rovnice (1.52) lze zapsat jako

V případě, kdy je interference součtem dvou částí - koncentrované a fluktuační, vzájemně nekorelované, rozšiřující korelační funkci koncentrované části interference v sérii (1.53), dostaneme

kde jsou vlastní hodnoty a vlastní funkce odpovídající Vzhledem k tomu, že korelační funkce bílého šumu se spektrální hustotou pro jakoukoli ortonormální bázi může být reprezentována jako

(všechna vlastní čísla jsou stejná a rovna N), tedy

S přihlédnutím k (1.51) budeme také nazývat funkci váženou [s váhou komplexní vzájemné korelace

funkce dvou realizací komplexních signálů v přijímacím bodě Výraz (1.51) lze zapsat jako

Předpokládejme, že váhová funkce je homogenní, tj. lze ukázat, že a jsou ve vztahu pomocí dvojice Hilbertových transformací. Soubory signálů, pro které

budeme v místě příjmu nazývat ortogonální s libovolnými časovými posuny.Pokud je podmínka splněna, pak budeme hovořit o ortogonální soustavě signálů v místě příjmu.

Pokud je v (1-47), pak budeme volat korelační funkci přijatých komplexních signálů. Ve skutečnosti lze hovořit pouze o přibližném splnění podmínky (1,59), neboť její striktní splnění je možné pouze při použití signálů, jejichž spektra se nikde nepřekrývají, což není proveditelné. V praxi jsou podmínky (1,59) často splněny pouze pro jakékoli hodnoty

V tomto případě řekneme, že pokud se indexy neshodují, je splněna podmínka těsnosti pro funkci vzájemné korelace, a pokud se indexy shodují, je splněna podmínka těsnosti pro korelační funkce.

Zaveďme normalizované korelační funkce pro

Poměr energie (signál/šum) signálu v místě příjmu. Lze ukázat, že tedy normalizovaná korelační funkce (1.61) splňuje podmínku Podobně lze ukázat, že normalizovaná korelační funkce konjugovaných přijatých signálů splňuje stejnou podmínku

S neurčitou fází signálu jsou v některých případech vlastnosti přijímače charakterizovány obálkou (1,50) a podle toho i normalizovanou obálkou

Nazvěme soustavu přijímaných signálů pro které

ortogonální v rozšířeném smyslu pro libovolné časové posuny

Velmi často máme co do činění se systémem signálů, který splňuje podmínku, kterou terminologií nazveme ortogonální v zesíleném smyslu (v místě příjmu).

V praxi jsou podmínky (1,64) obvykle splněny pouze v mezích (1,60).

Podobně jako u zavedených charakteristik přijímaných signálů je možné zavést vážené korelační a křížové korelační charakteristiky přenášených signálů:

Tato podmínka také zajišťuje ortogonalitu přijímaných signálů ve zvýšeném smyslu pro libovolné časové posuny.

Při určitém fázování v kanálu je pro obvyklou ortogonalitu přijímaných signálů dostatečná ortogonalita vysílaných signálů (se stejnou váhou).

Pro jednopaprskový kanál jsou ortogonalita a ortogonalita ve zvýšeném smyslu přijímaných signálů pro jakékoli časové posuny ekvivalentní ortogonalitě a ortogonalitě ve zvýšeném smyslu pro jakékoli časové posuny vysílaných signálů s váhou

Pro úzkopásmové vysílané a přijímané signály je ortogonalita v rozšířeném smyslu pro libovolné nenulové posuny ekvivalentní běžné ortogonalitě pro jakékoli posuny. Avšak pro takové signály není ortogonalita v rozšířeném smyslu (pro ) ekvivalentní běžné ortogonalitě.