Křivočaré souřadnice. Obecná představa o souřadnicích. Křivočaré souřadnice na povrchu

Až dosud, když jsme chtěli znát polohu bodu v rovině nebo v prostoru, používali jsme kartézský souřadnicový systém. Takže jsme například určili polohu bodu v prostoru pomocí tří souřadnic. Tyto souřadnice byly úsečka, pořadnice a aplikace proměnného bodu v prostoru. Je však jasné, že určení úsečky, pořadnice a aplikace bodu není jediným způsobem, jak určit polohu bodu v prostoru. To lze provést jiným způsobem, například pomocí křivočarých souřadnic.

Nechť, podle nějakého, dobře definovaného pravidla, každý bod M prostor jednoznačně odpovídá nějaké trojici čísel ( q 1 , q 2 , q 3) a různé body odpovídají různým trojicím čísel. Pak říkáme, že souřadnicový systém je dán v prostoru; čísla q 1 , q 2 , q 3, které odpovídají bodu M, se nazývají souřadnice (neboli křivočaré souřadnice) tohoto bodu.

V závislosti na pravidle, podle kterého trojice čísel ( q 1 , q 2 , q 3) je uveden v korespondenci s bodem v prostoru, mluví o jednom nebo druhém souřadnicovém systému.

Pokud chcete poznamenat, že v daném souřadném systému je poloha bodu M určena čísly q 1 , q 2 , q 3, pak se píše následovně M(q 1 , q 2 , q 3).

Příklad 1. Nechť je v prostoru vyznačen nějaký pevný bod O(počátek) a jsou jím nakresleny tři vzájemně kolmé osy s měřítkem na nich zvoleným. (sekery Vůl, Oj, Oz). Tři svého druhu X, y, z odpovídat tečce M, takže projekce jeho poloměrového vektoru OM na nápravě Vůl, Oj, Oz se bude rovnat resp X, y, z. Tento způsob vytvoření vztahu mezi trojicemi čísel ( X, y, z) a body M nás vede ke známé kartézské soustavě souřadnic.

Je snadné vidět, že v případě kartézského souřadnicového systému nejen každá trojice čísel odpovídá určitému bodu v prostoru, ale naopak každý bod v prostoru odpovídá určité trojici souřadnic.

Příklad 2. Nechme souřadné osy nakreslit opět v prostoru Vůl, Oj, Oz procházející pevným bodem O(původ).

Zvažte trojici čísel r, j, z, Kde r³0; 0 £ j 2 £ p, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, tak, aby se jeho aplikace rovnala z a jeho promítání do roviny Oxy má polární souřadnice r A j(viz obrázek 4.1). Je jasné, že zde každá trojice čísel r, j, z odpovídá určitému bodu M a naopak každý bod M odpovídá na určitou trojici čísel r, j, z. Výjimkou jsou body ležící na ose Oz: v tomto případě r A z jsou jednoznačně definovány, a roh j lze přiřadit libovolnou hodnotu. Čísla r, j, z se nazývají válcové souřadnice bodu M.

Je snadné vytvořit vztah mezi cylindrickými a kartézskými souřadnicemi:

X = r×cos j; y = r× hřích j; z = z.

A zpět ; ; z = z.

Příklad 3. Zaveďme sférický souřadnicový systém. Nastavte tři čísla r, q, j charakterizující polohu bodu M ve vesmíru takto: r je vzdálenost od počátku souřadnic k bodu M(délka vektoru poloměru), q Oz a poloměrový vektor OM(bod zeměpisné šířky M) j je úhel mezi kladným směrem osy Vůl a promítání vektoru poloměru do roviny Oxy(zeměpisná délka bodu M). (Viz obrázek 4.2).

Je jasné, že v tomto případě nejen každý bod M odpovídá určité trojici čísel r, q, j, Kde r³ 0, 0 £ q £ p, 0£ j 2 £ p, ale naopak, každé takové trojici čísel odpovídá určitý bod v prostoru (opět s výjimkou bodů os. Oz kde je tato jedinečnost narušena).

Je snadné najít vztah mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi:

X = r hřích q cos j; y = r hřích q hřích j; z = r cos q.

Vraťme se k libovolnému souřadnicovému systému ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3). Budeme předpokládat, že nejen každému bodu v prostoru odpovídá určitá trojice čísel ( q 1 , q 2 , q 3), ale naopak, každá trojice čísel odpovídá určitému bodu v prostoru. Představme si pojem souřadnicové plochy a souřadnicové čáry.

Definice. Množina bodů, pro které je souřadnice q 1 je konstantní, nazývá se souřadnicová plocha q 1. Souřadnicové plochy jsou definovány podobně q 2 a q 3 (viz obr. 4.3).

Je zřejmé, že pokud má bod M souřadnice S 1 , S 2 , S 3 pak se souřadnicové plochy v tomto bodě protínají q 1 =C 1 ; q 2 =C 2 ; q 3 =C 3 .

Definice. Množina bodů, podél kterých se mění pouze souřadnice q 1 (a další dvě souřadnice q 2 a q 3 zůstávají konstantní), se nazývá souřadnicová přímka q 1 .

Samozřejmě jakákoliv souřadnicová čára q 1 je přímka průsečíku souřadnicových rovin q 2 a q 3 .

Souřadnicové čáry jsou definovány podobně q 2 a q 3 .

Příklad 1. Souřadnicové plochy (podél souřadnic X) v kartézském souřadnicovém systému jsou všechny roviny X= konst. (Jsou rovnoběžné s rovinou Oyz). Souřadnicové plochy jsou definovány obdobně pomocí souřadnic y A z.

koordinovat X přímka je přímka rovnoběžná s osou Vůl. koordinovat y-řádek ( z-line) - přímka rovnoběžná s osou OU(sekery Oz).

Příklad 2. Souřadnicové plochy ve válcovém systému jsou: jakákoli rovina rovnoběžná s rovinou Oxy(souřadnicový povrch z= konst), povrch kruhového válce, jehož osa směřuje podél osy Oz(souřadnicový povrch r= konst) a polorovina ohraničená osou Oz(souřadnicový povrch j= konst) (viz obr. 4.4).

Název válcový souřadný systém je vysvětlen tím, že mezi jeho souřadnými plochami jsou válcové plochy.

Souřadnicové čáry v tomto systému jsou z-line - rovná, rovnoběžná s osou Oz; j-line - kružnice ležící ve vodorovné rovině se středem na ose Oz; A r-line - paprsek vycházející z libovolného bodu na ose Oz, rovnoběžně s rovinou Oxy.

Rýže. 4.5

Protože mezi souřadnicovými plochami jsou koule, nazývá se tento souřadnicový systém sférický.

Souřadnicové čáry jsou: r-line - paprsek vycházející z počátku, q-line - půlkruh se středem v počátku, spojující dva body na ose Oz; j-line - kružnice ležící ve vodorovné rovině se středem na ose Oz.

Ve všech výše diskutovaných příkladech jsou souřadnicové čáry procházející libovolným bodem M, jsou navzájem ortogonální. To se nestane v každém souřadnicovém systému. My se však omezíme na studium pouze takových souřadnicových systémů, pro které tomu tak je; takové souřadnicové systémy se nazývají ortogonální.

Definice. Souřadnicový systém ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) se nazývá ortogonální, pokud v každém bodě M souřadnicové čáry procházející tímto bodem se protínají v pravém úhlu.

Zvažte nyní nějaký bod M a nakreslete jednotkové vektory, které se v tomto bodě dotýkají odpovídajících souřadnicových čar a směřují ve směru zvyšování odpovídající souřadnice. Pokud tyto vektory tvoří v každém bodě pravou trojici, pak dostaneme pravý souřadnicový systém. Například kartézský souřadnicový systém X, y, z(při obvyklém uspořádání os) má pravdu. Také pravostranný cylindrický souřadnicový systém r, j, z(ale přesně s tímto pořadím souřadnic; pokud změníte pořadí souřadnic, vezmete-li např. r, z, j, již nezískáme správný systém).

Sférický souřadnicový systém je také správný (pokud nastavíte takové pořadí r, q, j).

Všimněte si, že v kartézském souřadnicovém systému nezávisí směr jednotkového vektoru na kterém bodě M nakreslíme tento vektor; totéž platí pro vektory. V křivočarých souřadnicových systémech pozorujeme něco jiného: například ve válcovém souřadném systému vektory v bodě M a v nějakém jiném bodě M 1 již nemusí být vzájemně rovnoběžné. Totéž platí pro vektor (v různých bodech má, obecně řečeno, různé směry).

Trojice jednotkových ortogonálních vektorů v křivočarém souřadnicovém systému tedy závisí na poloze bodu M, ve kterém jsou tyto vektory uvažovány. Trojice jednotkových ortogonálních vektorů se nazývá pohyblivý snímek a samotné vektory se nazývají jednotkové orty (nebo jednoduše orts).

Odpovídající takovému vektorovému prostoru. V tomto článku bude první definice brána jako výchozí.

N (\displaystyle n)-rozměrný euklidovský prostor je označen E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)často se také používá zápis (pokud je z kontextu zřejmé, že prostor má euklidovskou strukturu).

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ 04 - Lineární algebra. Euklidovský prostor

✪ Neeuklidovská geometrie. První část.

✪ Neeuklidovská geometrie. Část dvě

✪ 01 - Lineární algebra. Lineární (vektorový) prostor

✪ 8. Euklidovské prostory

titulky

Formální definice

Pro definování euklidovského prostoru je nejjednodušší vzít jako základní koncept skalárního součinu . Euklidovský vektorový prostor je definován jako konečný-dimenzionální vektorový prostor nad polem reálných čísel, na jehož vektorech je dána funkce reálné hodnoty. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) s následujícími třemi vlastnostmi:

Příklad euklidovského prostoru - souřadnicový prostor R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) skládající se ze všech možných n-tic reálných čísel (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skalární součin, ve kterém je určen vzorcem (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\součet _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Délky a úhly

Skalární součin daný euklidovským prostorem je dostatečný pro zavedení geometrických pojmů délky a úhlu. Délka vektoru u (\displaystyle u) definováno jako (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) a označeny | u | . (\displaystyle |u|.) Pozitivní definitivnost vnitřního součinu zaručuje, že délka nenulového vektoru je nenulová a z bilinearity vyplývá, že | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) to znamená, že délky proporcionálních vektorů jsou úměrné.

Úhel mezi vektory u (\displaystyle u) A v (\displaystyle v) je určeno vzorcem φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Z kosinové věty vyplývá, že pro dvourozměrný euklidovský prostor ( euklidovská rovina) tato definice úhlu se shoduje s obvyklou. Ortogonální vektory, stejně jako v trojrozměrném prostoru, lze definovat jako vektory, jejichž úhel je roven π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarzova nerovnost a trojúhelníková nerovnost

Ve výše uvedené definici úhlu zbývá jedna mezera: aby arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\vpravo)) byla definována, je nutné, aby nerovnost | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Tato nerovnost je skutečně splněna v libovolném euklidovském prostoru, nazývá se  Cauchyho - Bunyakovského - Schwarzova nerovnost. Z této nerovnosti zase vyplývá trojúhelníková nerovnost: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Trojúhelníková nerovnost spolu s délkovými vlastnostmi uvedenými výše znamená, že délka vektoru je normou v euklidovském vektorovém prostoru a funkce d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definuje strukturu metrického prostoru na euklidovském prostoru (tato funkce se nazývá euklidovská metrika). Zejména vzdálenost mezi prvky (body) x (\displaystyle x) A y (\displaystyle y) souřadnicový prostor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) daný vzorcem d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebraické vlastnosti

Ortonormální báze

Duální prostory a operátoři

Jakýkoli vektor x (\displaystyle x) Euklidovský prostor definuje lineární funkcionál x ∗ (\displaystyle x^(*)) na tomto prostoru, definovaném jako x ∗ (y) = (x, y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Toto zobrazení je izomorfismus mezi euklidovským prostorem a

(a11-A1)(a22-A1)-a12a21 = 0;

λ12-(a11+a22)A1+ (a11a22-a12a21) = 0.

Diskriminant těchto kvadratických rovnic je ³ 0, tzn.

D \u003d (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) \u003d (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Volají se rovnice (2.56), (2.57). charakteristické rovnice

maticemi a kořeny těchto rovnic jsou vlastní čísla matice A. Dosadíme vlastní čísla nalezená z (2.57) do (2.39), získáme

kanonická rovnice.

Najděte kanonický tvar této rovnice.

Protože zde a 11 = 5; a 21 = 2; a 22 = 2, pak bude mít charakteristická rovnice (2.56) pro daný kvadratický tvar tvar

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Přirovnání determinantu této maticové rovnice k nule

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

a řešením této kvadratické rovnice získáme λ1 = 6; λ2 = 1.

A pak bude vypadat kanonická forma této kvadratické formy

F (x 1, x 2) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. Křivočaré souřadnice

2.3.1. Obecné informace o křivočarých souřadnicových systémech

Třída křivočarých souřadnic je ve srovnání s třídou přímočarých souřadnic rozsáhlá a mnohem rozmanitější az analytického hlediska je nejuniverzálnější, neboť rozšiřuje možnosti metody přímočarých souřadnic. Použití křivočarých souřadnic může někdy značně zjednodušit řešení mnoha problémů, zejména problémů, které se řeší přímo na rotační ploše. Takže například při řešení problému na rotační ploše souvisejícího s nalezením určité funkce si v oblasti specifikace této funkce na dané ploše můžete zvolit takový systém křivočarých souřadnic, který vám umožní dotovat tato funkce s novou vlastností - být konstantní v daném souřadnicovém systému, což nelze vždy provést pomocí přímočarých souřadnicových systémů.

Systém křivočarých souřadnic, daný v nějaké oblasti trojrozměrného euklidovského prostoru, přiřazuje každému bodu tohoto prostoru uspořádanou trojici reálných čísel - φ, λ, r (křivočaré souřadnice bodu).

Pokud se systém křivočarých souřadnic nachází přímo na nějaké ploše (otočné ploše), pak v tomto případě má každý bod plochy přiřazena dvě reálná čísla - φ, λ, která jednoznačně určují polohu bodu na této ploše.

Mezi systémem křivočarých souřadnic φ, λ, r a přímočarým kartézským CS (X, Y, Z) musí existovat matematický vztah. Opravdu, nechť je systém křivočarých souřadnic uveden v nějaké oblasti prostoru. Každý bod tohoto prostoru odpovídá jedné trojici křivočarých souřadnic - φ, λ, r. Na druhou stranu, stejnému bodu odpovídá jediná trojice přímočarých kartézských souřadnic - X, Y, Z. Pak lze tvrdit, že obecně

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z);

A = A (,); (2,58)

X Y Z

r = r(X, Y, Z).

Mezi těmito SC existuje přímý (2,58) i inverzní matematický vztah.

Z rozboru vzorců (2.58) vyplývá, že při konstantní hodnotě jedné z prostorových křivočarých souřadnic φ, λ, r např.

ϕ \u003d ϕ (X, Y, Z) \u003d konst,

A proměnné hodnoty dalších dvou (λ, r ), dostaneme obecně plochu, která se nazývá souřadnicová. Plochy souřadnic odpovídající stejné souřadnici se neprotínají. Dvě souřadnicové plochy odpovídající různým souřadnicím se však protínají a dávají souřadnicovou čáru odpovídající třetí souřadnici.

2.3.2. Křivočaré souřadnice na povrchu

Pro geodézii jsou největší zájem o povrchové křivočaré souřadnice.

Nechť je rovnice povrchu funkcí kartézských souřadnic v

Nasměrováním jednotkových vektorů podél souřadnicových os i, j, l (obr. 2.11) lze plošnou rovnici zapsat ve vektorovém tvaru.

r \u003d X i + Y j + Z l. (2,60)

Zavedeme dvě nové nezávislé proměnné φ a λ takové, že funkce

splnit rovnici (2,59). Rovnice (2.61) jsou parametrické rovnice plochy.

λ1=konst

Rýže. 2.11. Curvilinear Surface Coordinate System

Každá dvojice čísel φ a λ odpovídá určitému (jedinému) bodu na povrchu a tyto proměnné lze brát jako souřadnice bodů na povrchu.

Dáme-li φ různé konstantní hodnoty φ = φ1 , φ = φ2 , …, pak dostaneme rodinu křivek na ploše odpovídající těmto konstantám. Podobně budeme mít dané konstantní hodnoty pro λ

druhá rodina křivek. Na povrchu tak vzniká síť souřadnic φ = const a λ = const. Souřadnicové čáry obecně

jsou zakřivené čáry. Proto se volají čísla φ, λ

křivočaré souřadnice body na povrchu.

Křivočaré souřadnice mohou být lineární i úhlové veličiny. Nejjednodušší příklad systému křivočarých souřadnic, ve kterém jedna souřadnice je lineární veličina a druhá je úhlová veličina, může sloužit jako polární souřadnice v rovině.

Volba křivočarých souřadnic nemusí nutně předcházet vytvoření souřadnicových čar. V některých případech je účelnější vytvořit síť souřadnicových čar, která je nejvhodnější pro řešení určitých problémů na povrchu, a pro tyto čáry pak zvolit parametry (souřadnice), které by měly pro každou souřadnicovou čáru konstantní hodnotu.

Dobře definovaná síť souřadnicových čar také odpovídá určitému systému parametrů, ale pro každou danou rodinu souřadnicových čar lze zvolit mnoho dalších parametrů, které jsou spojitými a jednohodnotovými funkcemi tohoto parametru. V obecném případě mohou mít úhly mezi souřadnicovými čarami rodiny φ = const a přímkami rodiny λ = const různé hodnoty.

Budeme uvažovat pouze ortogonální křivočaré souřadnicové systémy, ve kterých každá souřadnicová přímka φ = const protíná jakoukoli jinou souřadnicovou přímku λ= const v pravém úhlu.

Při řešení mnoha úloh na ploše, zejména úloh souvisejících s výpočtem křivočarých souřadnic povrchových bodů, je nutné mít k dispozici diferenciální rovnice pro změnu křivočarých souřadnic φ a λ v závislosti na změně délky S křivky povrchu.

Vztah mezi diferenciály dS , dφ, dλ lze stanovit zavedením nové proměnné α, tj.

α dS

λ = konst

λ+d λ = konst

kladný směr přímky λ = konst na kladný

směru této křivky (obr. 2.12). Tento úhel jakoby udává směr (orientaci) čáry

daný bod na povrchu. Potom (žádný výstup):

Rýže. 2.12. Geometrie spojení diferenciálu oblouku křivky na ploše se změnami (diferenciály) křivky.

souřadnice

+ ∂Z2;

∂ϕ

+ ∂Z2. ∂λ

V geodetický úhel α odpovídá geodetickému azimutu: α = A.

2.3.3. Polární souřadnicové systémy a jejich zobecnění

2.3.4. Prostorový polární souřadnicový systém

Pro nastavení prostorového systému polárních souřadnic je nutné nejprve vybrat rovinu (dále ji budeme nazývat hlavní). V této rovině je vybrán nějaký bod O

Měření

segmenty

prostor tedy

pozice

bude jakýkoli bod ve vesmíru

rozhodně

odhodlaný

veličiny: r, φ, λ, kde r je

polární

přímá vzdálenost od pólu

O do bodu Q (obr. 2.13); λ -

polární úhel je úhel mezi

polární

Rýže. 2.13. Prostorový systém

ortogonální

projekce

polární poloměr k hlavní

polární souřadnice a jejich modifikace

letadlo

Změny

(polární poloměr) a jeho

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektor

projekce

OQ0 zapnuto

základní

rovina, považovaná za kladnou (0 ≤ φ ≤ π/2) pro body kladného poloprostoru a zápornou (-π/2 ≤ φ ≤ 0) pro body záporného poloprostoru.

Jakýkoli prostorový polární CS lze snadno propojit (transformovat) s prostorovým kartézským obdélníkovým CS.

Vezmeme-li měřítko a počátek polární soustavy jako měřítko a počátek souřadnic v prostorovém pravoúhlém systému, polární osa OP - jako poloosa úsečky OX , přímka OZ vedená od pólu O kolmice k hlavní rovině v kladném směru polární soustavy - jako poloosa OZ pravoúhlého kartézského systému a pro poloosu - OS vezměte osu, do které prochází osa úsečky, když je otočena o úhel π / 2 v kladném směru v hlavní rovině polárního systému, pak z Obr. 2.13

Vzorce (2.64) nám umožňují vyjádřit X, Y, Z pomocí r, φ, λ a naopak

Na povrchu.

Lokální vlastnosti křivočarých souřadnic

Při zvažování křivočarých souřadnic v této části budeme předpokládat, že uvažujeme trojrozměrný prostor (n = 3) vybavený kartézskými souřadnicemi x , y , z . Případ ostatních rozměrů se liší pouze počtem souřadnic.

V případě euklidovského prostoru bude mít metrický tenzor, nazývaný také druhá mocnina obloukového diferenciálu, v těchto souřadnicích tvar odpovídající matici identity:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Obecný případ

Nechat $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- nějaké křivočaré souřadnice, které budeme považovat za dané hladké funkce x , y , z . Aby měl tři vlastnosti $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ sloužily jako souřadnice v nějaké oblasti vesmíru, je nutná existence inverzního mapování:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matice)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matice)\backslash right.$

Kde $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- funkce definované v nějaké doméně množin $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ souřadnice.

Lokální báze a tenzorová analýza

V tenzorovém počtu lze zavést místní základní vektory: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Kde $\backslash mathbf\; e\_i$- orty kartézského souřadnicového systému, $Q^i\_j$ je jakobiánská matrice, $x^i$ souřadnice v kartézském systému, $y^i$- zadejte křivočaré souřadnice.
Není těžké vidět, že křivočaré souřadnice se obecně liší bod od bodu.
Uveďme vzorce pro spojení mezi křivočarými a kartézskými souřadnicemi:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Kde $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, kde E je matice identity.
Součin dvou lokálních bázových vektorů tvoří metrickou matici:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Kde $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ kontravariantní, kovariantní a smíšený Kroneckerův symbol
Tedy libovolné tenzorové pole $\backslash mathbf\; T$ z úrovně n lze rozšířit na místní bázi polyad:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Například v případě tensorového pole první řady (vektoru):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonální křivočaré souřadnice

V euklidovském prostoru je použití ortogonálních křivočarých souřadnic zvláště důležité, protože vzorce týkající se délky a úhlů vypadají v ortogonálních souřadnicích jednodušeji než v obecném případě. To je způsobeno tím, že metrická matice v systémech s ortonormální bází bude diagonální, což značně zjednoduší výpočty.
Příkladem takových systémů je kulový systém v $\backslash mathbb(R)^2$

Kulhavé koeficienty

Obloukový diferenciál zapíšeme v křivočarých souřadnicích ve tvaru (pomocí Einsteinova sčítacího pravidla):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_1)(\backslash partial\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\částečné \varphi_2)(\částečné q_i)\mathbf(dq)_i \vpravo)^2 + \left(\frac(\částečné \varphi_3)(\částečné q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2, ~i=1,2,3

Vezmeme-li v úvahu ortogonalitu souřadnicových systémů ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ na $já\; \backslash ne\; j$) tento výraz lze přepsat jako

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash left(\backslash frac(\backslash částečné\; \backslash varphi\_1)(\backslash částečné\; q\_i)\backslash pravé)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac(\backslash částečné\; \backslash varphi\_2)(\backslash částečné\; q\_i)\backslash pravé)^2\; +\; \backslash \; left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Kladné hodnoty $Ahoj\backslash$, v závislosti na bodu v prostoru, se nazývají Lame koeficienty nebo faktory měřítka. Lameho koeficienty ukazují, kolik jednotek délky je obsaženo v jednotce souřadnic daného bodu a používají se k transformaci vektorů při přechodu z jednoho souřadnicového systému do druhého.

Riemannův metrický tenzor zapsaný v souřadnicích $(Qi)$, je diagonální matice , na jejíž úhlopříčce jsou druhé mocniny Lameho koeficientů:

Příklady

Polární souřadnice ( n=2)

Polární souřadnice v rovině zahrnují vzdálenost r k pólu (počátek) a směr (úhel) φ.

Spojení polárních souřadnic s kartézskými:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matice)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash end(matice)\backslash right.$

Lame koeficienty:

$\backslash begin(matice)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(matice)$

Diferenciál oblouku:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

Na počátku není funkce φ definována. Pokud se souřadnice φ neuvažuje jako číslo, ale jako úhel (bod na jednotkové kružnici), pak polární souřadnice tvoří souřadnicový systém v oblasti získané z celé roviny odstraněním počátečního bodu. Pokud přesto budeme uvažovat φ jako číslo, pak v určené oblasti bude vícehodnotové a konstrukce souřadnicového systému přísně v matematickém smyslu je možná pouze v jednoduše spojené oblasti, která nezahrnuje počátek, např. , v rovině bez paprsku.

Válcové souřadnice ( n=3)

Válcové souřadnice jsou triviálním zobecněním polárních souřadnic pro případ trojrozměrného prostoru přidáním třetí souřadnice z . Vztah cylindrických souřadnic s kartézskými:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matice)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matice)\backslash right.$

Lame koeficienty:

$\backslash begin(matice)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(matice)$

Diferenciál oblouku:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Sférické souřadnice ( n=3)

Sférické souřadnice souvisí se souřadnicemi zeměpisné šířky a délky na jednotkové kouli. Spojení sférických souřadnic s kartézskými:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matrix)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash konec\; (matice)\backslash vpravo.$

Lame koeficienty:

$\backslash begin(matice)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(matice)$

Diferenciál oblouku:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Sférické souřadnice, stejně jako cylindrické souřadnice, nefungují na ose z (x=0, y=0), protože tam není definována souřadnice φ.

Různé exotické souřadnice v letadle ( n=2) a jejich zobecnění

Napište recenzi na článek "Křivočarý souřadnicový systém"

Literatura

• Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro vědce a inženýry). - M.: Nauka, 1974. - 832 s.

Výňatek charakterizující křivočarý souřadnicový systém

Vojenská rada, na které princ Andrei nevyjádřil svůj názor, jak doufal, na něj zanechala nejasný a znepokojivý dojem. Kdo měl pravdu: Dolgorukov s Weyrotherem nebo Kutuzov s Langeronem a dalšími, kteří neschvalovali plán útoku, nevěděl. „Ale bylo opravdu nemožné, aby Kutuzov přímo vyjádřil své myšlenky panovníkovi? Nejde to udělat jinak? Je opravdu nutné riskovat desetitisíce a můj, můj život kvůli soudním a osobním úvahám? myslel.
"Ano, je velmi pravděpodobné, že tě zítra zabijí," pomyslel si. A najednou, při této myšlence na smrt, se v jeho představivosti zrodila celá řada vzpomínek, těch nejvzdálenějších a nejupřímnějších; vzpomínal na poslední rozloučení s otcem a manželkou; vzpomínal na první dny své lásky k ní! Vzpomněl si na její těhotenství, litoval ji i sebe a nervózně změklý a rozrušený opustil chýši, ve které stál s Nesvitským, a začal chodit před dům.
Noc byla mlhavá a měsíční světlo záhadně prosvítalo mlhou. „Ano, zítra, zítra! myslel. „Zítra pro mě možná všechno skončí, všechny tyto vzpomínky už nebudou existovat, všechny tyto vzpomínky už pro mě nebudou mít žádný význam. Zítra, možná, možná i zítra, to předvídám, poprvé budu muset konečně ukázat, co všechno umím. A představoval si bitvu, její prohru, soustředění bitvy do jednoho bodu a zmatek všech velících osob. A teď se mu konečně zjevil ten šťastný okamžik, ten Toulon, na který tak dlouho čekal. Pevně ​​a jasně říká svůj názor jak Kutuzovovi, tak Weyrotherovi, tak císařům. Všichni žasnou nad správností jeho myšlenek, ale nikdo se nezavazuje, že je naplní, a tak vezme pluk, divizi, vysloví podmínku, aby mu nikdo nezasahoval do rozkazů, a dovede svou divizi k rozhodujícímu bodu a sám. vyhrává. A co smrt a utrpení? říká jiný hlas. Ale princ Andrei na tento hlas neodpovídá a pokračuje ve svých úspěších. Uspořádání další bitvy dělá on sám. Má hodnost armádního důstojníka pod Kutuzovem, ale všechno dělá sám. Další bitvu vyhraje on sám. Kutuzov je nahrazen, je jmenován ... No, a pak? jiný hlas říká znovu, a pak, pokud nejste zraněni, zabiti nebo podvedeni desetkrát předtím; no, tak co? "Tak tedy," odpověděl si princ Andrej, "nevím, co bude dál, nechci a nemohu vědět: ale když chci tohle, chci slávu, chci, aby mě poznali." lidi, chci jimi být milován, tak to přece není moje chyba, že tohle chci, že tohle chci sám, pro tohle sám žiju. Ano, pro tento! Nikdy to nikomu neřeknu, ale můj bože! co mám dělat, když nemiluji nic než slávu, lidskou lásku. Smrt, zranění, ztráta rodiny, nic mě neděsí. A bez ohledu na to, jak je mi mnoho lidí drahých a drahých - můj otec, sestra, manželka - lidé mi nejdražší - ale bez ohledu na to, jak hrozné a nepřirozené to vypadá, dám jim teď všechny na okamžik slávy, triumfu. nad lidmi, z lásky k sobě lidem, které neznám a nebudu znát, z lásky k těmto lidem, “pomyslel si a poslouchal rozhovor na Kutuzovově dvoře. Na dvoře Kutuzova byly slyšet hlasy balících se zřízenců; jeden hlas, pravděpodobně kočí, škádlící starého kuchaře Kutuzovského, kterého znal princ Andrej a jmenoval se Sýkora, řekl: "Sýkora a sýkorka?"
"No," odpověděl starý muž.
"Titusi, jdi vymlátit," řekl vtipálek.
"Pach, k čertu s nimi," ozval se hlas pokrytý smíchem batmanů a sluhů.
"A přesto miluji a vážím si jen vítězství nad nimi všemi, vážím si této tajemné moci a slávy, která se nade mnou řítí v této mlze!"

Rostov byl té noci s četou v řetězu obránců před Bagrationovým oddílem. Jeho husaři byli rozptýleni v párech v řetězech; on sám jel po této řetězové linii a snažil se překonat spánek, který ho neodolatelně klesal. Za ním bylo vidět obrovské množství ohňů naší armády, které nezřetelně hoří v mlze; před ním byla mlhavá tma. Bez ohledu na to, jak moc se Rostov díval do této mlhavé dálky, nic neviděl: zešedla a pak jako by něco zčernalo; pak blikala jako světla, kde by měl být nepřítel; pak si pomyslel, že se to třpytí jen v jeho očích. Měl zavřené oči a teď se mu v představách objevily vzpomínky panovníka, pak Denisova, pak Moskvy a znovu spěšně otevřel oči a zavřel před sebou, někdy viděl hlavu a uši koně, na kterém seděl. vběhly do nich černé postavy husarů, když byl na šest kroků, a v dálce ta samá mlhavá tma. "Z čeho? Je velmi možné, pomyslel si Rostov, že panovník, který se se mnou setkal, dá rozkaz, jako by to udělal každému důstojníkovi: řekne: "Jdi, zjisti, co tam je." Hodně vyprávěli, jak úplnou náhodou poznal nějakého důstojníka takovým způsobem a přivedl ho k sobě blíž. Co kdyby mě k němu přivedl blíž! Ach, jak bych ho chránil, jak bych mu řekl celou pravdu, jak bych odhalil jeho podvodníky, “a Rostov, aby si živě představil svou lásku a oddanost k panovníkovi, si představil německého nepřítele nebo podvodníka, kterého těšil se nejen zabil, ale bil do tváří v očích panovníka. Náhle Rostov probudil vzdálený výkřik. Trhl sebou a otevřel oči.
"Kde jsem? Ano, v řetězci: slogan a heslo jsou tažná tyč, Olmutzi. Jaká škoda, že naše letka bude zítra v záloze... pomyslel si. - Požádám o práci. Tohle může být jediná šance, jak suveréna vidět. Ano, není to dlouho před změnou. Znovu půjdu kolem a až se vrátím, půjdu za generálem a zeptám se ho." Vzpamatoval se v sedle a dotkl se koně, aby ještě jednou obešel své husary. Myslel si, že je světlejší. Na levé straně bylo vidět mírný, osvětlený svah a protější černý kopec, který se zdál strmý jako zeď. Na tomto návrší byla bílá skvrna, které Rostov nijak nerozuměl: byla to mýtina v lese, osvětlená měsícem, nebo zbývající sníh, nebo bílé domy? Dokonce se mu zdálo, že se nad touto bílou skvrnou něco pohnulo. „Sníh musí být skvrna; ta skvrna je bezvadná, pomyslel si Rostov. "Tady se nehrabeš..."

Na jakémkoli povrchu můžete vytvořit souřadnicový systém opětovným definováním polohy bodu na něm pomocí dvou čísel. Abychom to udělali, nějakým způsobem pokryjeme celou plochu dvěma rodinami čar tak, že každým jejím bodem (snad s malým počtem výjimek) prochází jedna a pouze jedna přímka z každé rodiny. Nyní je pouze nutné opatřit linie každé rodiny číselnými značkami podle nějakého pevného pravidla, které umožňuje najít požadovanou rodinnou linii podle číselné značky (obr. 22).

souřadnice bodu M plochy slouží jako čísla u, proti, Kde u-- číselná značka procházející linie první rodiny M, A proti-- značení linií druhé rodiny. Budeme i nadále psát: M(u; proti),čísla A, proti se nazývají křivočaré souřadnice bodu M. To, co bylo řečeno, bude zcela jasné, obrátíme-li se pro příklad do sféry. Může být celoplošně pokryta meridiány (první rodina); každé z nich odpovídá číselná značka, a to hodnota zeměpisné délky u(nebo c). Všechny paralely tvoří druhou rodinu; každé z nich odpovídá číselná značka – zeměpisná šířka proti(nebo a). Každým bodem koule (kromě pólů) prochází pouze jeden poledník a jedna rovnoběžka.

Jako další příklad uvažujme boční povrch pravého kruhového válce výšky H, poloměr A(obr. 23). Pro první rodinu vezmeme systém jejích generátorů, jeden z nich bude brán jako výchozí. Každé tvořící přímce přiřadíme značku ty rovna délce oblouku na obvodu základny mezi počáteční tvořící čárou a danou (oblouk budeme počítat např. proti směru hodinových ručiček). Pro druhou rodinu vezmeme systém vodorovných řezů plochy; číselná značka proti budeme uvažovat výšku, ve které je řez nakreslen nad základnou. Se správnou volbou os x, y, z ve vesmíru budeme mít pro jakýkoli bod M(x; y; z) náš povrch:

(Argumenty pro kosinus a sinus nejsou ve stupních, ale v radiánech.) Tyto rovnice lze považovat za parametrické rovnice pro povrch válce.

Úloha 9. Podle jaké křivky se má uříznout kus plechu, aby vzniklo koleno odtokové trubky, aby po správném ohnutí získal válec o poloměru A, zkrácený o rovinu pod úhlem 45° k rovině podstavy?

Řešení. Použijme parametrické rovnice povrchu válce:

Rovinu řezu vedeme osou Ach, její rovnice z=y. Spojením s právě napsanými rovnicemi dostaneme rovnici

průsečíky v křivočarých souřadnicích. Po rozložení povrchu do roviny jsou křivočaré souřadnice A A proti převést do kartézských souřadnic.

Kousek cínu by tedy měl být narýsován shora podél sinusoidy

Tady u A proti již kartézské souřadnice na rovině (obr. 24).

Jak v případě koule a válcové plochy, tak v obecném případě specifikace plochy parametrickými rovnicemi znamená vytvoření křivočarého souřadnicového systému na ploše. Opravdu, výraz pro kartézské souřadnice x, y, z libovolný bod M (x; y; z) povrchy prostřednictvím dvou parametrů ty proti(Obecně se to píše takto: X\u003d c ( u; v), y= C (u;v), z=u (u;v), ts, sh, u - funkce dvou argumentů) umožňuje znalost dvojice čísel ty proti, najít odpovídající souřadnice x, y, z, tedy poloha bodu M na povrchu; čísla ty proti slouží jako jeho souřadnice. Dát jednomu z nich konstantní hodnotu, jako u=u 0 , dostaneme výraz x, y, z přes jeden parametr proti, tj. parametrická rovnice křivky. Toto je souřadnicová linie jedné rodiny, její rovnice u=u 0 Prostě stejný řádek v=v 0 -- souřadnicová čára jiné rodiny.

vektor souřadnic kartézského poloměru