• Lineární funkce. Lineární funkce Y 2 3 čára grafu lineární funkce

    Definice lineární funkce

    Uveďme definici lineární funkce

    Definice

    Funkce ve tvaru $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, se nazývá lineární funkce.

    Grafem lineární funkce je přímka. Číslo $k$ se nazývá sklon přímky.

    Pro $b=0$ se lineární funkce nazývá funkce přímé úměrnosti $y=kx$.

    Zvažte obrázek 1.

    Rýže. 1. Geometrický význam sklonu přímky

    Uvažujme trojúhelník ABC. Vidíme, že $BC=kx_0+b$. Najděte průsečík přímky $y=kx+b$ s osou $Ox$:

    \ \

    Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Pojďme najít poměr těchto stran:

    \[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

    Na druhé straně $\frac(BC)(AC)=tg\úhel A$.

    Lze tedy vyvodit následující závěr:

    Závěr

    Geometrický význam koeficientu $k$. Sklon přímky $k$ je roven tečně sklonu této přímky k ose $Ox$.

    Studium lineární funkce $f\left(x\right)=kx+b$ a jejího grafu

    Nejprve zvažte funkci $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.

    1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Proto se tato funkce zvyšuje v celé oblasti definice. Neexistují žádné extrémní body.
    2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
    3. Graf (obr. 2).

    Rýže. 2. Grafy funkce $y=kx+b$, pro $k > 0$.

    Nyní zvažte funkci $f\left(x\right)=kx$, kde $k

    1. Rozsahem jsou všechna čísla.
    2. Rozsahem jsou všechna čísla.
    3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkce není ani sudá, ani lichá.
    4. Pro $x=0,f\left(0\right)=b$. Pro $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

    Průsečíky se souřadnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$

    1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
    2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Funkce tedy nemá žádné inflexní body.
    3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
    4. Graf (obr. 3).

    Lineární funkce je funkcí tvaru y=kx+b, kde x je nezávislá proměnná, kab jsou libovolná čísla.
    Grafem lineární funkce je přímka.

    1. Chcete-li vykreslit funkční graf, potřebujeme souřadnice dvou bodů patřících do grafu funkce. Chcete-li je najít, musíte vzít dvě hodnoty x, dosadit je do rovnice funkce a vypočítat z nich odpovídající hodnoty y.

    Například pro vykreslení funkce y= x+2 je vhodné vzít x=0 a x=3, pak se souřadnice těchto bodů budou rovnat y=2 ay=3. Dostaneme body A(0;2) a B(3;3). Spojme je a získáme graf funkce y= x+2:

    2. Ve vzorci y=kx+b se číslo k nazývá koeficient úměrnosti:
    je-li k>0, pak funkce y=kx+b roste
    pokud k
    Koeficient b ukazuje posun grafu funkce podél osy OY:
    pokud b>0, pak graf funkce y=kx+b získáme z grafu funkce y=kx posunutím b jednotek nahoru podél osy OY
    pokud b
    Obrázek níže ukazuje grafy funkcí y=2x+3; y= 1/2x+3; y=x+3

    Všimněte si, že ve všech těchto funkcích je koeficient k Nad nulou, a funkce jsou vzrůstající. Navíc, čím větší je hodnota k, tím větší je úhel sklonu přímky ke kladnému směru osy OX.

    Ve všech funkcích b=3 - a vidíme, že všechny grafy protínají osu OY v bodě (0;3)

    Nyní zvažte grafy funkcí y=-2x+3; y = - 1/2 x + 3; y=-x+3

    Tentokrát ve všech funkcích koeficient k méně než nula a funkcemi pokles. Koeficient b=3 a grafy stejně jako v předchozím případě protínají osu OY v bodě (0;3)

    Uvažujme grafy funkcí y=2x+3; y=2x; y=2x-3

    Nyní se ve všech rovnicích funkcí koeficienty k rovnají 2. A máme tři rovnoběžné přímky.

    Ale koeficienty b jsou různé a tyto grafy protínají osu OY v různých bodech:
    Graf funkce y=2x+3 (b=3) protíná osu OY v bodě (0;3)
    Graf funkce y=2x (b=0) protíná osu OY v bodě (0;0) - počátku.
    Graf funkce y=2x-3 (b=-3) protíná osu OY v bodě (0;-3)

    Pokud tedy známe znaménka koeficientů k a b, pak si můžeme hned představit, jak vypadá graf funkce y=kx+b.
    Li k 0

    Li k>0 a b>0, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:

    Li k>0 a b, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:

    Li k, pak graf funkce y=kx+b vypadá takto:

    Li k=0, pak se funkce y=kx+b změní na funkci y=b a její graf vypadá takto:

    Pořadnice všech bodů grafu funkce y=b se rovnají b If b=0, pak graf funkce y=kx (přímá úměrnost) prochází počátkem:

    3. Samostatně si všimneme grafu rovnice x=a. Grafem této rovnice je přímka rovnoběžná s osou OY, jejíž všechny body mají úsečku x=a.

    Například graf rovnice x=3 vypadá takto:
    Pozornost! Rovnice x=a není funkce, protože jedna hodnota argumentu odpovídá různým hodnotám funkce, což neodpovídá definici funkce.


    4. Podmínka pro rovnoběžnost dvou čar:

    Graf funkce y=k 1 x+b 1 je rovnoběžný s grafem funkce y=k 2 x+b 2, jestliže k 1 =k 2

    5. Podmínka, aby dvě přímky byly kolmé:

    Graf funkce y=k 1 x+b 1 je kolmý na graf funkce y=k 2 x+b 2, pokud k 1 *k 2 =-1 nebo k 1 =-1/k 2

    6. Průsečíky grafu funkce y=kx+b se souřadnými osami.

    s osou OY. Úsečka libovolného bodu náležejícího k ose OY je rovna nule. Proto, abyste našli průsečík s osou OY, musíte v rovnici funkce dosadit nulu místo x. Dostaneme y=b. To znamená, že průsečík s osou OY má souřadnice (0;b).

    S osou x: Pořadnice libovolného bodu patřícího k ose x je nula. Proto, abyste našli průsečík s osou OX, musíte do rovnice funkce dosadit nulu místo y. Dostaneme 0=kx+b. Proto x=-b/k. To znamená, že průsečík s osou OX má souřadnice (-b / k; 0):

    Lineární funkce se nazývá funkce formuláře y = kx + b, definované na množině všech reálných čísel. Tady k– úhlový koeficient (skutečné číslo), b – bezplatný člen (skutečné číslo), X je nezávislá proměnná.

    V konkrétním případě, pokud k = 0, získáme konstantní funkci y=b, jehož grafem je přímka rovnoběžná s osou Ox, procházející bodem se souřadnicemi (0;b).

    Li b = 0, pak dostaneme funkci y=kx, který je přímo úměrně.

    b – délka segmentu, který odřízne čáru podél osy Oy, počítáno od počátku.

    Geometrický význam koeficientu k – úhel sklonu přímo do kladného směru osy Ox se považuje za proti směru hodinových ručiček.

    Vlastnosti lineární funkce:

    1) Definičním oborem lineární funkce je celá reálná osa;

    2) Li k ≠ 0, pak rozsah lineární funkce je celá reálná osa. Li k = 0, pak se obor lineární funkce skládá z čísla b;

    3) Rovnoměrnost a lichost lineární funkce závisí na hodnotách koeficientů k A b.

    A) b ≠ 0, k = 0, proto, y = b je sudé;

    b) b = 0, k ≠ 0, proto y = kx je liché;

    C) b ≠ 0, k ≠ 0, proto y = kx + b je obecná funkce;

    d) b = 0, k = 0, proto y = 0 je sudá i lichá funkce.

    4) Lineární funkce nemá vlastnost periodicity;

    5) Průsečíky se souřadnicovými osami:

    Vůl: y = kx + b = 0, x = -b/k, tedy (-b/k; 0)- průsečík s osou úsečky.

    oj: y=0k+b=b, tedy (0;b) je průsečík s osou y.

    Poznámka.Pokud b = 0 A k = 0, pak funkci y=0 zmizí pro jakoukoli hodnotu proměnné X. Li b ≠ 0 A k = 0, pak funkci y=b nezmizí pro žádnou hodnotu proměnné X.

    6) Na koeficientu k závisí intervaly stálosti znaménka.

    A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

    y = kx + b- pozitivní při X z (-b/k; +∞),

    y = kx + b- negativní při X z (-∞; -b/k).

    b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

    y = kx + b- pozitivní při X z (-∞; -b/k),

    y = kx + b- negativní při X z (-b/k; +∞).

    C) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivní v celé oblasti definice,

    k = 0, b< 0; y = kx + b je negativní v celé oblasti definice.

    7) Intervaly monotonie lineární funkce závisí na koeficientu k.

    k > 0, tedy y = kx + b se zvyšuje v celé oblasti definice,

    k< 0 , tedy y = kx + b klesá v celé oblasti definice.

    8) Grafem lineární funkce je přímka. K nakreslení přímky stačí znát dva body. Poloha přímky v souřadnicové rovině závisí na hodnotách koeficientů k A b. Níže je tabulka, která to jasně ilustruje.

    Přečtěte si více: