• Lineární kombinace sloupců. §4.8. Lineární závislost řádků a sloupců matice. Matice, operace s maticemi, inverzní matice. Maticové rovnice a jejich řešení

    Řádky a sloupce matrice lze považovat za maticové řádky a odpovídajícím způsobem, sloupcové matice. Proto na nich, stejně jako na jakýchkoli jiných matricích, můžete provádět lineární operace. Omezení operace sčítání spočívá v tom, že řádky (sloupce) musí mít stejnou délku (výšku), ale tato podmínka je vždy splněna pro řádky (sloupce) stejné matice.

    Lineární operace na řádcích (sloupcích) umožňují skládat řádky (sloupce) ve tvaru výrazů α 1 a 1 + ... + α s a s , kde a 1 , ..., a s je libovolná množina řádků (sloupců ) stejné délky (výšky) a α 1 , ... , α s jsou reálná čísla. Takové výrazy se nazývají lineární kombinace řádků (sloupců).

    Definice 12.3. Řádky (sloupce) a 1 , ..., a s se nazývají lineárně nezávislý, pokud rovnost

    α 1 a 1 + ... + α s a s = 0, (12.1)

    kde 0 na pravé straně je nulový řádek (sloupec), je možné pouze tehdy, když α 1 = ... = a s = 0. Jinak, když existují taková reálná čísla α 1 , ... , α s, která nejsou rovny nule zároveň, že platí rovnost (12.1), tyto řádky (sloupce) se nazývají lineárně závislé.

    Následující příkaz je známý jako test lineární závislosti.

    Věta 12.3.Řádky (sloupce) a 1 , ..., a s , s > 1 jsou lineárně závislé právě tehdy, když alespoň jeden (jeden) z nich je lineární kombinací ostatních.

    ◄ Důkaz provedeme pro řádky, pro sloupce je to obdobné.

    Nutnost. Jsou-li řádky a 1 , ..., a s lineárně závislé, pak podle definice 12.3 existují reálná čísla α 1 , ... , α s, která se nerovnají nule zároveň tak, že α 1 a 1 +... + α s a s = 0. Zvolíme nenulový koeficient αα i . Pro definitivnost nechť je α 1 . Pak α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)a s a tedy a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s /α 1)a s , tj. řádek a 1 je reprezentován jako lineární kombinace zbývajících řádků.

    Přiměřenost. Nechť například a 1 = λ 2 a 2 + ... + λ s a s . Pak 1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s)a s = 0. První koeficient lineární kombinace je roven jedné, tzn. je nenulový. Podle definice 12.3 jsou řetězce a 1 , ..., a s lineárně závislé.

    Věta 12.4. Nechť jsou řádky (sloupce) a 1 , ..., a s lineárně nezávislé a alespoň jeden z řádků (sloupců) b 1 ,..., b l je jejich lineární kombinace. Pak jsou všechny řádky (sloupce) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b l lineárně závislé.

    ◄ Nechť například b 1 je lineární kombinace a 1 , ..., a s , tzn. b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s , α i ∈R, i = 1,s . K této lineární kombinaci přidáme řádky (sloupce) b 2 , ..., b l (pro l > 1) s nulovými koeficienty: b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s + 0b 2 + ... + 0b l Podle věty 12.3 jsou řádky (sloupce) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b i lineárně závislé.

    Lineární nezávislost řádků matice

    Daná velikostní matice

    Řádky matice označujeme takto:

    Dvě linky se nazývají rovnat se pokud jsou jejich odpovídající prvky stejné. .

    Představíme operace násobení řetězce číslem a přidávání řetězců jako operace prováděné prvek po prvku:

    Definice.Řádek se nazývá lineární kombinace řádků matice, pokud se rovná součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly (libovolnými čísly):

    Definice.Řádky matice se nazývají lineárně závislé , pokud existují taková čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

    kde . (1.1)

    Lineární závislost řádků matice znamená, že alespoň 1 řádek matice je lineární kombinací zbytku.

    Definice. Pokud je lineární kombinace řádků (1.1) rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty , pak se řádky nazývají lineárně nezávislý .

    Věta o hodnosti matice. Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými jsou lineárně vyjádřeny všechny ostatní řádky (sloupce).

    Věta hraje zásadní roli v maticové analýze, zejména při studiu soustav lineárních rovnic.

    6, 13,14,15,16. vektory. Operace s vektory (sčítání, odčítání, násobení číslem),n -rozměrný vektor. Pojem vektorového prostoru a jeho základ.

    Vektor je směrovaný segment s počátečním bodem A a koncový bod V(který se může pohybovat paralelně k sobě).

    Vektory mohou být označeny buď 2 velkými písmeny nebo jedním malým písmenem s pomlčkou nebo šipkou.

    Délka (nebo modul) vektor je číslo rovné délce segmentu AB představujícího vektor.

    Nazývají se vektory, které leží na stejné nebo rovnoběžné přímce kolineární .

    Pokud se začátek a konec vektoru shodují (), pak se takový vektor nazývá nula a značí se = . Délka nulového vektoru je nula:

    1) Součin vektoru číslem:

    Bude existovat vektor o délce, jehož směr je stejný jako směr vektoru if , a opačný k němu if .

    2) Opačný vektor - je součin vektoru - číslem (-1), tzn. -=.

    3) Součet dvou vektorů a nazývá se vektor, jehož začátek se shoduje se začátkem vektoru a konec s koncem vektoru za předpokladu, že začátek se shoduje s koncem. (pravidlo trojúhelníků). Součet několika vektorů je definován podobně.



    4) Rozdíl dvou vektorů a nazývá se součtem vektoru a vektoru -, naopak.

    Skalární součin

    Definice: Skalární součin dvou vektorů je číslo rovné součinu délek těchto vektorů a kosinu úhlu mezi nimi:

    n-rozměrný vektor a vektorový prostor

    Definice. N-rozměrný vektor je uspořádaná kolekce n reálná čísla zapsaná jako x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), Kde x i – i -tá složka vektoru X.

    Koncept n-rozměrného vektoru je široce používán v ekonomii, například určitou množinu zboží lze charakterizovat vektorem x \u003d (x 1, x 2, ..., x n), a odpovídající ceny y = (y1,y2,…,yn).

    - Dva n-rozměrné vektory jsou stejné právě tehdy, když jsou jejich příslušné složky stejné, tzn. x=y pokud x i= y i, i = 1,2,…,n.

    - Součet dvou vektorů stejný rozměr n nazývaný vektor z = x + y, jehož složky jsou rovny součtu odpovídajících složek členů vektorů, tzn. z i= x i+y i, i = 1,2,…, n.

    - Součin vektoru x reálným číslem se nazývá vektor, jehož složky jsou rovny součinu odpovídajících složek vektoru, tzn. , i= 1,2,…,n.

    Lineární operace s libovolnými vektory splňují následující vlastnosti:



    1) - komutativní (posunovací) vlastnost součtu;

    2) - asociativní (asociativní) vlastnost součtu;

    3) - vlastnost asociativní vzhledem k číselnému faktoru;

    4) - distributivní (distributivní) vlastnost vzhledem k součtu vektorů;

    5) - distributivní vzhledem k součtu vlastností číselných faktorů;

    6) Existuje nulový vektor takový, že pro jakýkoli vektor (zvláštní role nulového vektoru);

    7) Pro jakýkoli vektor existuje opačný vektor takový, že ;

    8) pro libovolný vektor (zvláštní role číselného faktoru 1).

    Definice. Množina vektorů s reálnými složkami, která definuje operace sčítání vektorů a násobení vektoru číslem, které splňuje výše uvedených osm vlastností (považovaných za axiomy), se nazývá vektorový stav .

    Dimenze a báze vektorového prostoru

    Definice. Lineární prostor se nazývá n-rozměrný pokud obsahuje n lineárně nezávislé vektory a kterýkoli z vektorů je již závislý. Jinými slovy, prostorová dimenze je maximální počet lineárně nezávislých vektorů v něm obsažených. Číslo n se nazývá dimenze prostoru a značí se .

    Je nazýván soubor n lineárně nezávislých vektorů v n-rozměrném prostoru základ .

    7. Vlastní vektory a vlastní čísla matice. Charakteristická rovnice matice.

    Definice. Vektor se nazývá vlastní vektor lineární operátor, pokud existuje takové číslo, že:

    Číslo se nazývá vlastní hodnotu operátora (matice A) odpovídající vektoru .

    Může být zapsán v maticové formě:

    Kde je sloupcová matice ze souřadnic vector nebo expandovaná:

    Přepišme systém tak, aby ve správných částech byly nuly:

    nebo v matricové formě: . Výsledný homogenní systém má vždy nulové řešení. Pro existenci nenulového řešení je nutné a postačující, aby determinant soustavy: .

    Determinant je polynom n stupeň vzhledem k . Tento polynom se nazývá charakteristický polynom operátora nebo matice A a výsledná rovnice je charakteristická rovnice operátora nebo matrice A.

    Příklad:

    Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru dané maticí.

    Řešení: Sestavte charakteristickou rovnici nebo , odkud je vlastní hodnota lineárního operátoru .

    Najděte vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu . K tomu vyřešíme maticovou rovnici:

    Nebo , nebo , odkud najdeme: , nebo

    Nebo .

    Předpokládejme, že dostaneme, že vektory, pro any jsou vlastní vektory lineárního operátoru s vlastní hodnotou.

    Stejně tak vektor .

    8. Systém P lineární rovnice s P proměnné (obecný pohled). Maticová forma takového systému. Systémové řešení (definice). Konzistentní a nekonzistentní, určité a neurčité soustavy lineárních rovnic.

    Řešení soustavy lineárních rovnic s neznámými

    Systémy lineárních rovnic jsou široce používány v ekonomii.

    Systém lineárních rovnic s proměnnými má tvar:

    ,

    kde () jsou volána libovolná čísla koeficienty pro proměnné A volné členy rovnic , resp.

    Stručný záznam: ().

    Definice.Řešením soustavy je taková množina hodnot, při jejichž dosazení se každá rovnice soustavy změní ve skutečnou rovnost.

    1) Nazývá se soustava rovnic kloub pokud má alespoň jedno řešení a nekompatibilní pokud nemá řešení.

    2) Společná soustava rovnic se nazývá určitý pokud má jedinečné řešení a nejistý pokud má více než jedno řešení.

    3) Jsou volány dvě soustavy rovnic ekvivalent (ekvivalent) , pokud mají stejnou sadu řešení (například jedno řešení).

    Systém zapíšeme v maticovém tvaru:

    Označit: , Kde

    A je matice koeficientů pro proměnné nebo matice systému, X – maticový sloupec proměnných, V je sloupcová matice volných členů.

    Protože počet sloupců matice se rovná počtu řádků matice, pak jejich součin:

    Existuje maticový sloupec. Prvky výsledné matice jsou levé části výchozího systému. Na základě definice maticové rovnosti lze počáteční systém zapsat jako: .

    Cramerův teorém. Nechť je determinant matice systému a buď determinant matice získané z matice nahrazením i-tého sloupce sloupcem volných členů. Pak, jestliže , pak má systém jedinečné řešení určené podle vzorců:

    Cramerův vzorec.

    Příklad. Vyřešte soustavu rovnic pomocí Cramerových vzorců

    Řešení. Determinant systémové matice. Proto má systém unikátní řešení. Vypočítejte získaný nahrazením prvního, druhého a třetího sloupce sloupcem volných členů:

    Podle Cramerových vzorců:

    9. Gaussova metoda řešení soustavyn lineární rovnice s P proměnné. Koncept Jordan-Gaussovy metody.

    Gaussova metoda - metoda postupného vyloučení proměnných.

    Gaussova metoda spočívá v tom, že pomocí elementárních transformací řádků a permutací sloupců je soustava rovnic redukována na ekvivalentní soustavu stupňovitého (nebo trojúhelníkového) tvaru, ze které se postupně nalézají všechny ostatní proměnné, počínaje z posledních (podle počtu) proměnných.

    Gaussovy transformace je vhodné provádět nikoli s rovnicemi samotnými, ale s rozšířenou maticí jejich koeficientů, získanou přiřazením sloupce volných členů k matici:

    .

    Je třeba poznamenat, že Gaussova metoda může být použita k řešení libovolné soustavy rovnic tvaru .

    Příklad. Použití Gaussovy metody k řešení systému:

    Napišme rozšířenou matici systému.

    Krok 1 . Prohoďte první a druhý řádek tak, aby se rovnal 1.

    Krok 2 Vynásobte prvky prvního řádku (-2) a (-1) a přidejte je k prvkům druhého a třetího řádku tak, aby se pod prvkem v prvním sloupci vytvořily nuly. .

    Pro konzistentní systémy lineárních rovnic platí následující věty:

    Věta 1. Pokud je hodnost matice kloubového systému rovna počtu proměnných, tzn. , pak má systém unikátní řešení.

    Věta 2. Pokud je hodnost matice kloubového systému menší než počet proměnných, tzn. , pak je soustava nejistá a má nekonečně mnoho řešení.

    Definice. Základem moll matice je jakýkoli nenulový moll, jehož pořadí se rovná hodnosti matice.

    Definice. Ty neznámé, jejichž koeficienty jsou zahrnuty v záznamu základní vedlejší, se nazývají základní (neboli základní), ostatní neznámé se nazývají volné (neboli nezákladní).

    Řešit soustavu rovnic v případě znamená vyjádřit a (protože determinant složený z jejich koeficientů není roven nule), tedy a jsou volné neznámé.

    Základní proměnné vyjadřujeme pomocí volných.

    Z druhého řádku výsledné matice vyjádříme proměnnou:

    Z prvního řádku vyjádříme:

    Obecné řešení soustavy rovnic: , .

    Každý řádek matice označíme A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) (např.
    e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) atd.). Každá z nich je řádková matice, kterou lze vynásobit číslem nebo přidat do jiného řádku podle obecných pravidel pro práci s maticemi.

    Lineární kombinaceřetězců e l , e 2 ,...e k je součet součinů těchto řetězců libovolnými reálnými čísly:
    e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k , kde l l, l 2,..., l k jsou libovolná čísla (lineární kombinační koeficienty).

    Maticové řady e l , e 2 ,...e m se nazývají lineárně závislé, jestliže existují taková čísla l l , l 2 ,..., l m , která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nulovému řádku:
    l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, kde 0 = (0 0...0).

    Lineární závislost řádků matice znamená, že alespoň jeden řádek matice je lineární kombinací zbytku. Pro definitivnost nechť je poslední koeficient l m ¹ 0. Poté, když obě strany rovnosti vydělíme l m , získáme výraz pro poslední řádek jako lineární kombinaci zbývajících řádků:
    e m = (l l / l m) el + ( l 2 / l m) e 2 +...+ (l m - 1 / l m) e m - 1.

    Je-li lineární kombinace řádků nulová právě tehdy, jsou-li všechny koeficienty nulové, tzn. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, pak se čáry nazývají lineárně nezávislý.

    Věta o hodnosti matice. Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, ve kterých lze lineárně vyjádřit všechny její ostatní řádky nebo sloupce.

    Dokažme tuto větu. Nechť matice m x n A má hodnotu r (r(A) £ min (m; n)). Proto existuje nenulová moll řádu r. Každý takový nezletilý bude povolán základní. Pro jistotu budiž toto menší

    Řady tohoto minoru budou také volány základní.

    Dokažme, že pak jsou řádky matice e l , e 2 ,...e r lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, tj. jeden z těchto řádků, například r-tý řádek, je lineární kombinací zbytku: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Poté, pokud odečteme prvky 1. řady násobené l l , prvky 2. řady násobené l 2 atd., nakonec prvky (r-1)-tého řádku násobené l r-1 , pak bude r-tý řádek nulový. Výše uvedený determinant by se přitom podle vlastností determinantu neměl měnit a zároveň by se měl rovnat nule. Je získán rozpor, je prokázána lineární nezávislost řetězců.

    Dokažme nyní, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. libovolný řetězec lze vyjádřit pomocí základních řetězců.

    Doplňme dříve uvažovanou mollovou ještě o jeden řádek (i-tý) a další sloupec (j-tý). Výsledkem je, že získáme minoritu (r+1)-tého řádu, která se podle definice hodnosti rovná nule.

    Všimněte si, že na řádky a sloupce matice lze pohlížet jako na aritmetické vektory velikostí m A n, resp. Velikostní matici lze tedy interpretovat jako množinu m n-rozměrné popř n m-rozměrné aritmetické vektory. Analogicky s geometrickými vektory zavádíme pojmy lineární závislosti a lineární nezávislosti řádků a sloupců matice.

    4.8.1. Definice. Čára
    volal lineární kombinace čar s koeficienty
    , pokud platí rovnost pro všechny prvky tohoto řádku:

    ,
    .

    4.8.2. Definice.

    Struny
    volal lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému řetězci, tj. jsou čísla, která nejsou všechna rovna nule


    ,
    .

    4.8.3. Definice.

    Struny
    volal lineárně nezávislé, je-li nulové řadě rovna pouze jejich triviální lineární kombinace, tzn.

    ,

    4.8.4. Teorém. (Kritérium lineární závislosti řádků matice)

    Aby byly řetězce lineárně závislé, je nutné a postačující, aby alespoň jeden z nich byl lineární kombinací ostatních.

    Důkaz:

    Nutnost. Nechte čáry
    jsou lineárně závislé, pak existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna nule:

    .

    Bez ztráty obecnosti předpokládáme, že první z koeficientů lineární kombinace je nenulový (jinak můžeme řádky přečíslovat). Vydělením tohoto poměru , dostaneme


    ,

    to znamená, že první řádek je lineární kombinací ostatních.

    Přiměřenost. Nechť jeden z řádků např. , je tedy lineární kombinací ostatních

    tj. existuje netriviální lineární kombinace strun
    , rovná se nulovému řetězci:

    což znamená čáry
    jsou lineárně závislé, což bylo třeba dokázat.

    Komentář.

    Podobné definice a tvrzení lze formulovat pro sloupce matice.

    §4.9. Hodnost matice.

    4.9.1. Definice. Méně důležitý objednat matrice velikost
    nazývaný determinant pořadí s prvky umístěnými na průsečíku některých jejích linky a sloupců.

    4.9.2. Definice. Nenulový řád vedlejší matrice velikost
    volal základní Méně důležitý, jsou-li všechny nezletilé řádové matice
    se rovnají nule.

    Komentář. Matice může mít více základních nezletilých. Je zřejmé, že všechny budou stejného pořadí. Je také možné, že matice velikost
    řád menší se liší od nuly a nezletilých řádu
    neexistuje, tzn
    .

    4.9.3. Definice. Volají se řádky (sloupce), které tvoří základ minor základnířádky (sloupce).

    4.9.4. Definice. hodnost matice je řád svého základu menší. Hodnost matice označené
    nebo
    .

    Komentář.

    Všimněte si, že kvůli rovnosti řádků a sloupců determinantu se hodnost matice při transpozici nemění.

    4.9.5. Teorém. (Invariance pořadí matice při elementárních transformacích)

    Hodnost matice se při jejích elementárních transformacích nemění.

    Bez důkazu.

    4.9.6. Teorém. (Na základní moll).

    Základní řádky (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Libovolný řádek (sloupec) matice může být reprezentován jako lineární kombinace jejích základních řádků (sloupců).

    Důkaz:

    Udělejme důkaz pro struny. Důkaz tvrzení pro sloupce lze provést analogicky.

    Nechť hodnost matice velikosti
    rovná se , A
    − základní moll. Bez ztráty obecnosti předpokládáme, že základ minor se nachází v levém horním rohu (jinak můžeme matici do této podoby redukovat pomocí elementárních transformací):

    .

    Nejprve dokažme lineární nezávislost základních řad. Prokážeme protikladem. Předpokládejme, že základní řady jsou lineárně závislé. Pak podle věty 4.8.4 může být jeden z řádků reprezentován jako lineární kombinace zbývajících základních řádků. Pokud tedy od této přímky odečteme naznačenou lineární kombinaci, dostaneme nulovou čáru, což znamená, že vedlejší
    se rovná nule, což odporuje definici základu moll. Tím jsme dostali rozpor, tudíž je prokázána lineární nezávislost základních řad.

    Dokažme nyní, že každý řádek matice může být reprezentován jako lineární kombinace základních řádků. Pokud číslo příslušného řádku od 1 do r, pak to samozřejmě může být reprezentováno jako lineární kombinace s koeficientem rovným 1 pro řádek a nulové koeficienty pro zbývající řádky. Nyní ukažme, že pokud číslo řádku z
    před
    , může být reprezentován jako lineární kombinace základních řad. Zvažte matici minor
    , odvozený od základu moll
    přidáním řádku a libovolný sloupec
    :

    Ukažme, že tento nezletilý
    z
    před
    a pro libovolné číslo sloupce od 1 do .

    Ve skutečnosti, pokud číslo sloupce od 1 do r, pak máme determinant se dvěma stejnými sloupci, který je evidentně roven nule. Pokud je číslo sloupce z r+1 komu a číslo řádku z
    před
    , Že
    je moll původní matice většího řádu než základ minor, což znamená, že je nulový z definice základu minor. Je tedy prokázáno, že nezletilý
    je nula pro libovolné číslo řádku z
    před
    a pro libovolné číslo sloupce od 1 do . Když jej rozbalíme o poslední sloupec, dostaneme:

    Tady
    − odpovídající algebraické sčítání. všimněte si, že
    , protože tedy
    je základní moll. Proto prvky linky k lze reprezentovat jako lineární kombinaci odpovídajících prvků základních řádků s koeficienty nezávislými na čísle sloupce :

    Tím jsme dokázali, že libovolnou řadu matice lze reprezentovat jako lineární kombinaci jejích základních řádků. Věta byla prokázána.

    Přednáška 13

    4.9.7. Teorém. (Na úrovni nedegenerované čtvercové matice)

    Aby byla čtvercová matice nedegenerovaná, je nutné a postačující, aby hodnost matice byla rovna velikosti této matice.

    Důkaz:

    Nutnost. Nechte čtvercovou matici velikost n je tedy nedegenerovaná
    , tedy maticový determinant je základní moll, tzn.

    Přiměřenost. Nechat
    pak se řád menšího základu rovná velikosti matice, takže menší základ je determinantem matice , tj.
    podle definice základu minor.

    Následek.

    Aby čtvercová matice byla nedegenerovaná, je nutné a postačující, aby její řádky byly lineárně nezávislé.

    Důkaz:

    Nutnost. Protože čtvercová matice je nedegenerovaná, její hodnost se rovná velikosti matice
    to znamená, že determinant matice je základ menší. Proto podle věty 4.9.6 na menší bázi jsou řádky matice lineárně nezávislé.

    Přiměřenost. Protože všechny řádky matice jsou lineárně nezávislé, její pořadí není menší než velikost matice, což znamená, že
    tedy podle předchozí věty 4.9.7 matice je nedegenerovaná.

    4.9.8. Metoda fringing minors pro zjištění hodnosti matice.

    Všimněte si, že část této metody již byla implicitně popsána v důkazu základní vedlejší věty.

    4.9.8.1. Definice. Méně důležitý
    volal třásněmi ve vztahu k nezletilým
    , je-li odvozeno od nezletilého
    přidání jednoho nového řádku a jednoho nového sloupce původní matice.

    4.9.8.2. Postup pro zjištění hodnosti matice metodou ohraničení nezletilých.

      Najděte jakoukoli aktuální matici menší než nulu.

      Vypočítáme všechny nezletilé, kteří s tím sousedí.

      Pokud jsou všechny rovny nule, pak aktuální minor je základní a hodnost matice se rovná pořadí aktuální minority.

      Pokud je mezi hraničícími nezletilými alespoň jeden jiný než nula, pak se předpokládá, že je aktuální a postup pokračuje.

    Pomocí metody ohraničení nezletilých zjistíme hodnost matice

    .

    Je snadné určit aktuální moll 2. řádu jiný než nula, např.

    .

    Vypočítáme nezletilé, kteří s ním sousedí:




    Proto, protože všechny hraničící nezletilé třetího řádu jsou rovny nule, pak vedlejší
    je základní, tzn

    Komentář. Z uvažovaného příkladu je vidět, že metoda je značně pracná. Proto se v praxi mnohem častěji používá metoda elementárních transformací, o které bude řeč níže.

    4.9.9. Zjištění hodnosti matice metodou elementárních transformací.

    Na základě věty 4.9.5 můžeme konstatovat, že hodnost matice se při elementárních transformacích nemění (tj. hodnosti ekvivalentních matic jsou stejné). Hodnost matice je tedy rovna hodnosti krokové matice získané z původní matice elementárními transformacemi. Hodnost krokové matice je zjevně rovna počtu jejích nenulových řádků.

    Určete hodnost matice

    metoda elementárních transformací.

    Představujeme matrici postupně:

    Počet nenulových řádků výsledné krokové matice je tedy tři,

    4.9.10. Hodnost systému vektorů v lineárním prostoru.

    Uvažujme systém vektorů
    nějaký lineární prostor . Pokud je lineárně závislý, pak je možné v něm vyčlenit lineárně nezávislý subsystém.

    4.9.10.1. Definice. Hodnost systému vektorů
    lineární prostor je maximální počet lineárně nezávislých vektorů tohoto systému. Hodnost vektorového systému
    označený jako
    .

    Komentář. Pokud je systém vektorů lineárně nezávislý, pak je jeho hodnost rovna počtu vektorů v systému.

    Zformulujme větu ukazující vztah mezi pojmy hodnosti soustavy vektorů v lineárním prostoru a hodností matice.

    4.9.10.2. Teorém. (Na úrovni soustavy vektorů v lineárním prostoru)

    Hodnost systému vektorů v lineárním prostoru je rovna hodnosti matice, jejíž sloupce nebo řádky jsou souřadnicemi vektorů v nějakém základu lineárního prostoru.

    Bez důkazu.

    Následek.

    Aby byl systém vektorů v lineárním prostoru lineárně nezávislý, je nutné a postačující, aby hodnost matice, jejíž sloupce nebo řádky jsou souřadnicemi vektorů v nějaké bázi, byla rovna počtu vektorů v systému.

    Důkaz je zřejmý.

    4.9.10.3. Věta (O rozměru lineárního rozpětí).

    Dimenze lineárního rozpětí vektorů
    lineární prostor se rovná hodnosti tohoto systému vektorů:

    Bez důkazu.

    Uvažujme libovolnou, ne nutně čtvercovou, matici A o velikosti mxn.

    Hodnost matice.

    Pojem hodnosti matice souvisí s konceptem lineární závislosti (nezávislosti) řádků (sloupců) matice. Zvažte tento koncept pro řetězce. U sloupců je to stejné.

    Označte propady matice A:

    e 1 \u003d (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 \u003d (a 21, a 22, ..., a 2n); ..., e m \u003d (a m1, a m2, ..., a mn)

    e k =e s jestliže a kj =a sj , j=1,2,…,n

    Aritmetické operace na řádcích matice (sčítání, násobení číslem) jsou zavedeny jako operace prováděné prvek po prvku: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

    e k +e s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].

    Řádek e se nazývá lineární kombinaceřádky e 1 , e 2 ,…,e k , pokud se rovná součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly:

    e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

    Řádky e 1 , e 2 ,…,e m se nazývají lineárně závislé, pokud existují reálná čísla λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , která nejsou všechna rovna nule, že lineární kombinace těchto řad je rovna nulové řadě: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Kde 0 =(0,0,…,0) (1)

    Je-li lineární kombinace rovna nule, právě když jsou všechny koeficienty λ i rovny nule (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), pak se nazývají řádky e 1 , e 2 ,…,e m lineárně nezávislé.

    Věta 1. Aby struny e 1 ,e 2 ,…,e m byly lineárně závislé, je nutné a postačující, aby jedna z těchto strun byla lineární kombinací ostatních strun.

    Důkaz. Nutnost. Nechť řetězce e 1 , e 2 ,…,e m jsou lineárně závislé. Pro jistotu nechť (1) λm ≠0, pak

    Že. struna e m je lineární kombinací zbytku strun. Ch.t.d.

    Přiměřenost. Nechť jeden z řádků, například e m , je lineární kombinací ostatních řádků. Pak jsou čísla taková, že platí rovnost, která lze přepsat jako ,

    kde alespoň 1 z koeficientů (-1) je nenulový. Tito. řádky jsou lineárně závislé. Ch.t.d.

    Definice. Vedlejší k-tý řád matice A o velikosti mxn se nazývá determinant k-tého řádu s prvky ležícími v průsečíku libovolných k řádků a libovolných k sloupců matice A. (k≤min(m,n)). .

    Příklad., nezletilí 1. řádu: =, =;

    nezletilí 2. řádu: , 3. řádu

    Matice 3. řádu má 9 minoritních 1. řádu, 9 minoritních 2. řádu a 1 minoritní 3. řádu (determinant této matice).

    Definice. Matrix hodnost A je nejvyšším řádem nenulových nezletilých v této matici. Označení - rgA nebo r(A).

    Vlastnosti maticového pořadí.

    1) hodnost matice A nxm nepřesahuje nejmenší z jejích rozměrů, tzn.

    r(A)

    2) r(A)=0, když jsou všechny prvky matice rovny 0, tzn. A=0.

    3) Pro čtvercovou matici A n-tého řádu platí r(A)=n, když A je nedegenerované.



    (Hodnota diagonální matice se rovná počtu jejích nenulových diagonálních prvků).

    4) Pokud je hodnost matice r, pak má matice alespoň jednu minoritní hodnotu řádu r, která se nerovná nule, a všechny minority vyšších řádů jsou rovny nule.

    Pro úrovně matice platí následující vztahy:

    2) r(A+B)< r(A)+r(B); 3) r(AB)

    3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);

    5) r(AB)=r(A), pokud B je čtvercová nesingulární matice.

    6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, kde n je počet sloupců matice A nebo řádků matice B.

    Definice. Volá se nenulová moll řádu r(A). základní moll. (Matice A může mít několik základních nezletilých). Řádky a sloupce, na jejichž průsečíku je základna, se nazývají příslušně základní linie A základní sloupy.

    Věta 2 (o základní moll). Základní řádky (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Libovolný řádek (libovolný sloupec) matice A je lineární kombinací základních řádků (sloupců).

    Důkaz. (Pro struny). Pokud by základní řádky byly lineárně závislé, pak by podle věty (1) jeden z těchto řádků byl lineární kombinací jiných základních řádků, pak, aniž byste změnili hodnotu základního vedlejšího, můžete od tohoto řádku odečíst zadanou lineární kombinaci a získat nulový řádek, a to je v rozporu, protože základ minor je odlišný od nuly. Že. základní řady jsou lineárně nezávislé.

    Dokažme, že libovolný řádek matice A je lineární kombinací základních řádků. Protože při libovolných změnách v řádcích (sloupcích) si determinant zachovává vlastnost být roven nule, pak bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že základ minor je v levém horním rohu matice

    A=, těch. umístěných na prvních r řádcích a prvních r sloupcích. Nechť 1£j£n, 1£i£m. Ukažme, že determinant (r+1)-tého řádu

    Jestliže j£r nebo i£r, pak je tento determinant roven nule, protože bude mít dva stejné sloupce nebo dva stejné řádky.

    Je-li j>r a i>r, pak je tento determinant minoritou (r + 1)-tého řádu matice A. Od hodnost matice je r, takže jakákoli minorita vyššího řádu je rovna 0.

    Jeho rozšířením o prvky posledního (přidaného) sloupce dostaneme

    a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj Arj +a ij A ij =0, kde poslední algebraické sčítání A ij se shoduje se základním moll М r a proto A ij = М r ≠0.

    Vydělením poslední rovnosti A ij , můžeme prvek a ij vyjádřit jako lineární kombinaci: , kde .

    Zafixujeme hodnotu i (i>r) a dostaneme, že pro libovolné j (j=1,2,…,n) jsou prvky i-tého řádku e i lineárně vyjádřeny prostřednictvím prvků řádků e 1 , e 2 ,…,e r , tj. i-tá řada je lineární kombinací základních řad: . Ch.t.d.

    Věta 3. (nutná a postačující podmínka, aby se determinant rovnal nule). Aby byl determinant n-tého řádu D roven nule, je nutné a postačující, aby jeho řádky (sloupce) byly lineárně závislé.

    Důkaz (str. 40). Nutnost. Pokud je determinant n-tého řádu D roven nule, pak menší báze jeho matice je řádu r

    Jedna řada je tedy lineární kombinací ostatních. Pak podle věty 1 jsou řádky determinantu lineárně závislé.

    Přiměřenost. Pokud jsou řádky D lineárně závislé, pak podle věty 1 je jeden řádek A i lineární kombinací ostatních řádků. Odečtením uvedené lineární kombinace od přímky A i, aniž bychom změnili hodnotu D, získáme nulovou přímku. Podle vlastností determinantů je tedy D=0. h.t.d.

    Věta 4. Při elementárních transformacích se hodnost matice nemění.

    Důkaz. Jak se ukázalo při zvažování vlastností determinantů, při transformaci čtvercových matic se jejich determinanty buď nemění, nebo se násobí nenulovým číslem, nebo se mění znaménko. V tomto případě je zachován nejvyšší řád nenulových nezletilých původní matice, tzn. hodnost matice se nemění. Ch.t.d.

    Jestliže r(A)=r(B), pak A a B jsou ekvivalent: A~B.

    Věta 5. Pomocí elementárních transformací lze matici redukovat na stupňovitý pohled. Matice se nazývá stupňovaný, pokud má tvar:

    А=, kde a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

    Podmínky r≤k lze vždy dosáhnout transpozicí.

    Věta 6. Hodnost krokové matice se rovná počtu jejích nenulových řádků .

    Tito. Hodnost krokové matice je r, protože existuje nenulová minorita řádu r:

    Přečtěte si více: