Obecné schéma matematického modelování. Klasifikace matematických modelů. Stanovení problému optimálního plánování

1. Grafické modely

2. Simulační modely

3. Matematické modely

4. Modelování optimálních plánovacích procesů

5. Modelování globálních procesů

7. Modelování ekologických systémů a procesů

8. Objektové informační modely

9. Systémová analýza

10. Statistické modely

11. Tabulkové modely

12. Formalizace a modelování

Ve školním kurzu informatiky je tradičně smysluplná formalizace a modelování. Pojem model se týká základních obecných vědeckých pojmů a modelování je metoda poznávání reality používaná různými vědami.

Prakticky ve všech přírodních a společenských vědách je vytváření a používání modelů mocným výzkumným nástrojem. Reálné objekty a procesy jsou tak mnohostranné a složité, že nejlepším způsobem, jak je studovat, je sestavit model, který odráží jen nějakou část reality, a proto je mnohonásobně jednodušší než tato realita. Předmětem výzkumu a vývoje informatiky je metodologie informačního modelování spojená s využíváním výpočetní techniky a technologií. V tomto smyslu se mluví o počítačová simulace. Interdisciplinární význam informatiky se do značné míry projevuje právě zaváděním počítačového modelování do různých vědeckých a aplikovaných oborů: fyzika a technika, biologie a medicína, ekonomika, management a mnoho dalších.

Počítačové modelování zahrnuje proces implementace informačního modelu na počítači a zkoumání simulačního objektu pomocí tohoto modelu - provedení výpočetního experimentu. Pomocí počítačové simulace se řeší mnoho vědeckých a průmyslových problémů.

Informační modelování je spojeno s formalizací dat o modelovacím objektu (viz “ Formalizace a modelování”). Sestavení informačního modelu začíná definováním cílů modelování a analýzou modelovacího objektu jako komplexního systému, ve kterém je nutné zvýraznit vlastnosti odrážející se v modelu a vztahy mezi nimi (viz „ Systémová analýza”). Informační modely se liší formou prezentace informací o modelovacím objektu. Matematické modelypoužívat jazyk matematiky k reprezentaci objektu modelování. Samostatným typem matematických modelů jsou statistické modely- orientovaný na zpracování hromadná data(například populační průzkumy), ve kterých je prvek náhody. Data o modelovacím objektu, uspořádaná v tabulkové formě, jsou tabulkový model. Ke stavbě se používají grafické nástroje grafické modely. Objektově orientovaný přístup k programování, který se objevil na konci minulého století, dal vzniknout novému paradigmatu v informačním modelování: objektové informační modelování. Nazývají se počítačové modely, které reprodukují chování složitých systémů, pro které neexistuje jednoznačný matematický aparát simulační modely.

Počítačové informační modelování se používá k popisu a analýze procesů různé povahy. Největší zkušenosti v tomto ohledu mají fyzikální vědy (viz „ Modelování fyzikálních systémů a procesů“). Počítačové modelování pomáhá řešit důležité environmentální problémy (viz „ Modelování ekologických systémů a procesů“). Informační modelování hraje důležitou roli v ekonomice a managementu. Nejdůležitějšími úkoly v této oblasti jsou úkoly plánování (viz „ Modelování optimálních plánovacích procesů“). Pomocí počítačové simulace se vědci snaží řešit i tak globální problém, jakým je osud lidské civilizace (viz „ Modelování globálních procesů").

1. Grafické modely

Rozmanitost grafických modelů je poměrně velká. Podívejme se na některé z nich.

Vizuální prostředek pro zobrazení složení a struktury systémů (viz „ Systemologie“) jsou grafy.

Zvažte příklad. Existuje slovní popis nějaké oblasti: „Náš okres se skládá z pěti vesnic: Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino a Myshkino. Automobilové silnice jsou položeny mezi: Dedkino a Babkino, Dedkino a Koshkino, Babkino a Myshkino, Babkino a Koshkino, Koshkino a Repkino“. Z tohoto popisu je poměrně těžké si tuto oblast představit. Stejné informace lze mnohem snáze vnímat pomocí diagramu (viz obrázek). Toto není mapa oblasti. Zde nejsou zachovány směry ke světovým stranám, není respektováno měřítko. Toto schéma odráží pouze skutečnost existence pěti vesnic a silničního spojení mezi nimi. Takový diagram znázorňující elementární složení systému a strukturu vazeb, je nazýván počet.

Jednotlivé části grafu jsou vrcholy A žebra. Vrcholy jsou na obrázku znázorněny jako kruhy. systémové prvky, a okraje jsou zobrazeny jako čáry - to je spojení(vztah) mezi prvky. Při pohledu na tento graf je snadné pochopit strukturu silničního systému v dané oblasti.

Sestrojený graf umožňuje například odpovědět na otázku: přes které vesnice musíte projet, abyste se dostali z Repkina do Myshkina? Je vidět, že jsou dvě možné cesty: 1) R K B M a) R K D B M. Můžeme z toho usoudit, že 1. cesta je kratší než 2.? Ne, nemůžeš. Tento graf neobsahuje kvantitativní charakteristiky. Nejedná se o mapu, kde je respektováno měřítko a je možné měřit vzdálenost.

Graf na následujícím obrázku obsahuje kvantitativní charakteristiky. Čísla u okrajů udávají délku silnic v kilometrech. To je příklad vážený graf. Vážený graf může obsahovat kvantitativní charakteristiky nejen spojení, ale i vrcholy. Vrcholy mohou například označovat populaci každé vesnice. Podle údajů váženého grafu se ukazuje, že první cesta je delší než druhá.

Takové grafy se také nazývají síť. Síť je charakterizována možnost mnoha různých cest k pohybu po hranách mezi některými dvojicemi vrcholů. Sítě se také vyznačují přítomností uzavřených cest, které jsou tzv cykly. V tomto případě existuje cyklus: K D B K.

V uvažovaných diagramech každá hrana označuje přítomnost silničního spojení mezi dvěma body. Silniční spojení ale funguje v obou směrech stejně: pokud se dá po silnici jet z B do M, pak se dá jet i z M do B (předpokládáme, že je obousměrný provoz). Takové grafy jsou neorientovaný, a jejich spojení se nazývají symetrický.

Kvalitativně odlišný příklad grafu je na následujícím obrázku.

Graf kompatibility krevní skupiny

Tento příklad souvisí s medicínou. Je známo, že různí lidé mají různé krevní skupiny. Existují čtyři krevní skupiny. Ukazuje se, že při transfuzi krve z jedné osoby na druhou nejsou všechny skupiny kompatibilní. Graf ukazuje možné možnosti krevní transfuze. Krevní skupiny jsou vrcholy grafu s odpovídajícími čísly a šipky označují možnost transfuze jedné krevní skupiny osobě s jinou krevní skupinou. Tento graf například ukazuje, že krev skupiny I může být podána transfuzí každé osobě a osoba s krevní skupinou I přijímá pouze krev své vlastní skupiny. Je také vidět, že člověk s IV krevní skupinou může dostat transfuzi kteroukoli, ale jeho vlastní krev může být transfuzí pouze do stejné skupiny.

Spojení mezi vrcholy daného grafu asymetrické a proto jsou znázorněny směrovanými čarami se šipkami. Takové čáry se nazývají oblouky(na rozdíl od okrajů neorientovaných grafů). Graf s těmito vlastnostmi se nazývá orientované. Zavolá se čára opouštějící a vstupující do stejného vrcholu smyčka. V tomto příkladu jsou čtyři smyčky.

Není těžké vidět výhody zobrazení modelu krevního transfuzního systému ve formě grafu ve srovnání se slovním popisem stejných pravidel. Graf je snadno pochopitelný a zapamatovatelný.

Velmi častým typem systémů jsou systémy s hierarchickou strukturou. Hierarchická struktura přirozeně vzniká, když jsou objekty nebo některé jejich vlastnosti ve vztahu podřízenosti (vnoření, dědičnost). Systémy administrativního řízení mají zpravidla hierarchickou strukturu, mezi jejímiž prvky jsou vytvořeny vztahy podřízenosti. Například: ředitel závodu - vedoucí prodejen - vedoucí úseků - mistři - dělníci. Systémy mají také hierarchickou strukturu, mezi jejíž prvky existují vztahy výskytu jedněch do druhých.

Nazývá se graf hierarchické struktury strom. Hlavní vlastností stromu je, že mezi libovolnými dvěma jeho vrcholy je pouze jedna cesta. Stromy neobsahují cykly a smyčky.

Podívejte se na graf, který odráží hierarchickou správní strukturu našeho státu: Ruská federace je rozdělena do sedmi správních obvodů; okresy se dělí na kraje (oblasti a národní republiky), které zahrnují města a další sídla. Takový graf se nazývá strom.

Strom správní struktury Ruské federace

Strom má jeden hlavní vrchol, který se nazývá kořen stromu. Tento vrchol je zobrazen nahoře; pocházet od ní větví strom. Úrovně stromu se počítají od kořene. Vrcholy přímo spojené s kořenem tvoří první úroveň. Spojení jdou z nich na vrcholy druhé úrovně a tak dále. Každý vrchol stromu (kromě kořene) má jeden počáteční vertex na předchozí úrovni a může mít množinu vytvořené vrcholy na další úrovni. Tento typ připojení se nazývá jeden k mnoha". Volají se vrcholy, které nemají potomky listy(na našem grafu jsou to vrcholy označující města).

Obecný cíl vědecké grafiky lze formulovat následovně: učinit neviditelné a abstraktní „viditelným“. Poslední slovo je uzavřeno v uvozovkách, protože tento „vzhled“ je často velmi podmíněný. Je možné vidět rozložení teploty uvnitř nehomogenně zahřátého tělesa složitého tvaru, aniž bychom do něj zavedli stovky mikrosenzorů, tedy v podstatě jej zničili? - Ano, je to možné, pokud existuje vhodný matematický model a co je velmi důležité, shoda na vnímání určitých konvencí v obrázku. Je možné vidět distribuci kovových rud pod zemí bez výkopů? Struktura povrchu cizí planety podle výsledků radaru? Odpověď na tyto a mnohé další otázky zní ano, je to možné, s pomocí počítačové grafiky a matematického zpracování, které tomu předchází.

Navíc lze „vidět“ něco, co, přísně vzato, vůbec dobře neodpovídá slovu „vidět“. Věda, která vznikla na průsečíku chemie a fyziky – kvantová chemie – nám tedy dává možnost „vidět“ strukturu molekuly. Tyto obrazy jsou vrcholem abstrakce a systémem konvencí, protože v atomovém světě jsou naše obvyklé koncepty částic (jádra, elektrony atd.) zásadně nepoužitelné. Vícebarevný „obraz“ molekuly na obrazovce počítače je však užitečnější pro ty, kdo rozumí plné míře její konvenčnosti, než tisíce čísel, která jsou výsledkem výpočtů.

Obrysy

Standardní technikou zpracování výsledků výpočtového experimentu je konstrukce čar (ploch), tzv izočáry(isoplochy), podél kterého má nějaká funkce konstantní hodnotu. Jedná se o velmi běžnou techniku ​​pro vizualizaci charakteristik skalárního pole v aproximaci spojitého prostředí: izotermy - čáry stejné teploty, izobary - čáry stejného tlaku, izočáry funkce proudění kapaliny nebo plynu, pomocí kterých lze snadno představte si jejich toky, izočáry ekologické populace na zemi, izočáry koncentraci škodlivých nečistot v prostředí atd.

Izolary proudu

Obrázek ukazuje izočáry funkce proudu nerovnoměrně ohřáté kapaliny v obdélníkové oblasti proudění. Z tohoto obrázku lze jasně soudit směr toků proudu a jejich intenzitu.

Podmíněné barvy, podmíněný kontrast

Další zajímavou technikou moderní vědecké grafiky je podmíněné barvení. Nachází nejširší uplatnění v různých aplikacích vědy a je souborem technik pro nejpohodlnější vizualizaci výsledků počítačové simulace.

Při různých studiích teplotních polí vyvstává problém vizuální prezentace výsledků, například teplot na meteorologických mapách. Chcete-li to provést, můžete na pozadí mapy nakreslit izotermy. Ale lze dosáhnout ještě lepší vizualizace, protože většina lidí má tendenci vnímat červenou jako „horkou“, modrou jako „studenou“. Přechod podél spektra od červené k modré odráží střední teploty.

Totéž lze provést při znázornění teplotního pole jak na povrchu obráběné součásti, tak na povrchu vzdálené planety.

Při modelování složitých organických molekul může počítač produkovat výsledky ve formě vícebarevného obrázku, na kterém jsou atomy vodíku znázorněny jednou barvou, atomy uhlíku druhou atd., a atom je reprezentován kuličkou (kruhem) , ve kterém se hustota barvy mění v souladu s rozložením hustoty elektronů. Při hledání minerálů pomocí leteckého snímkování z letadel nebo vesmírných družic vytvářejí počítače podmíněné barevné snímky rozložení hustoty pod zemským povrchem.

Obrazy v podmíněných barvách a kontrastech jsou nejúčinnější metodou vědecké grafiky. Umožňuje pochopit strukturu nejen plochých, ale i trojrozměrných (trojrozměrných) objektů, dává badateli jednu z úžasných metod poznání.

Studium grafického informačního modelování by nemělo být zaměňováno se studiem technologií grafického zpracování informací. Když studenti začínají studovat modelování, většinou již znají základní technologie počítačové grafiky: umějí používat jednoduché grafické editory, umí vytvářet diagramy v tabulkovém procesoru nebo jiném vhodném programu.

Konstrukce jednoduchých grafických modelů ve formě grafů a hierarchických struktur je vhodná již v základním kurzu informatiky v rámci studia tématu „Formalizace a modelování“. Budování genealogického stromu rodiny, hierarchického systému řízení školy atp. je poměrně jednoduchá aktivita dostupná většině studentů. V tomto případě je vhodné využít názorné možnosti počítačových grafických systémů.

Pokud jde o samostatnou implementaci vědeckých grafických modelů pomocí programování, jedná se o materiál se zvýšenou náročností, jehož praktické rozvíjení je vhodné v profilovém kurzu informatiky nebo jako součást volitelného předmětu zaměřeného na hlubší studium modelování. fyzikálních a jiných procesů.

simulační model reprodukuje chování složitého systému vzájemně se ovlivňujících prvků. Simulační modelování je charakterizováno přítomností následujících okolností (současně všech nebo některých z nich):

Předmětem modelování je komplexní nehomogenní systém;

· v simulovaném systému existují faktory náhodného chování;

Je nutné získat popis procesu, který se vyvíjí v čase;

· Bez použití počítače je v zásadě nemožné získat výsledky simulace.

Stav každého prvku simulovaného systému je popsán sadou parametrů, které jsou uloženy v paměti počítače ve formě tabulek. Interakce prvků systému jsou popsány algoritmicky. Modelování se provádí v režimu krok za krokem. V každém kroku simulace se mění hodnoty parametrů systému. Program, který implementuje simulační model, odráží změnu stavu systému a udává hodnoty jeho požadovaných parametrů ve formě tabulek v časových krocích nebo v posloupnosti událostí vyskytujících se v systému. Pro vizualizaci výsledků simulace se často používá grafické znázornění vč. animovaný.

Simulační model je založen na imitaci reálného procesu (simulace). Například při modelování změny (dynamiky) počtu mikroorganismů v kolonii lze zvážit mnoho samostatných objektů a sledovat osud každého z nich, stanovit určité podmínky pro jeho přežití, reprodukci
atd. Tyto podmínky jsou obvykle specifikovány slovně. Například: po určité době se mikroorganismus rozdělí na dvě části a po další (delší) době odumře. Splnění popsaných podmínek je v modelu implementováno algoritmicky.

Jiný příklad: modelování pohybu molekul v plynu, kdy každá molekula je reprezentována jako kulička s určitým směrem a rychlostí pohybu. Interakce dvou molekul nebo molekuly se stěnou cévy probíhá podle zákonů absolutně elastické srážky a lze ji snadno algoritmicky popsat. Získávání integrálních (obecných, zprůměrovaných) charakteristik systému se provádí na úrovni statistického zpracování výsledků simulace.

Takový počítačový experiment ve skutečnosti tvrdí, že reprodukuje experiment v plném rozsahu. Na otázku: "Proč to musíte udělat?" můžeme dát následující odpověď: simulační modelování nám umožňuje „v čisté formě“ vyčlenit důsledky hypotéz zakotvených v konceptu mikroudálostí (tj. na úrovni systémových prvků) a chránit je před vlivem jiných faktory, které jsou nevyhnutelné v experimentu v plném rozsahu, o kterém možná ani nevíme. Pokud takové modelování obsahuje i prvky matematického popisu procesů na mikroúrovni a pokud si výzkumník neklade za úkol najít strategii regulace výsledků (například kontrola počtu kolonie mikroorganismů), pak rozdíl mezi simulačním modelem a matematickým (popisným) modelem se ukazuje být spíše libovolný.

Výše uvedené příklady simulačních modelů (evoluce kolonie mikroorganismů, pohyb molekul v plynu) vedou k deterministický popis systémů . Postrádají prvky pravděpodobnosti, náhodnosti událostí v simulovaných systémech. Zvažte příklad modelování systému, který má tyto vlastnosti.

Kdo nestál frontu a netrpělivě nepřemýšlel, jestli by mohl za nějaký čas, který má k dispozici, nakoupit (nebo zaplatit nájem, projet se na kolotoči atd.)? Nebo se pokusit zavolat na helpdesk telefonicky a několikrát narazit na krátké pípnutí, znervóznět a zhodnotit, zda projdu nebo ne? Z takto „jednoduchých“ problémů se na počátku 20. století zrodil nový obor matematiky – teorie fronty, s využitím aparátu teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky, diferenciálních rovnic a numerických metod. Následně se ukázalo, že tato teorie má četná východiska v ekonomice, vojenských záležitostech, organizaci výroby, biologii a ekologii atd.

Počítačová simulace při řešení problémů hromadné obsluhy, implementovaná ve formě statistická testovací metoda(metoda Monte Carlo) hraje důležitou roli. Možnosti analytických metod pro řešení reálných problémů front jsou velmi omezené, zatímco metoda statistického testování je univerzální a relativně jednoduchá.

Zvažte nejjednodušší problém této třídy. Existuje obchod s jedním prodejcem, který náhodně zahrnuje kupující. Pokud je prodávající volný, začne okamžitě obsluhovat kupujícího, pokud vstoupilo několik kupujících současně, je postavena fronta. Existuje mnoho dalších podobných situací:

opravná oblast ve vozovém parku a autobusy, které opustily linku z důvodu poruchy;

· pohotovost a pacienti, kteří přišli na recepci při úrazu (tj. bez systému objednávání);

Telefonní ústředna s jedním vchodem (nebo jedním telefonním operátorem) a účastníci, kteří se při obsazení vchodu staví do fronty (takový systém se někdy praktikuje);

· lokální síťový server a osobní počítače na pracovišti, které odesílají zprávu na server schopný přijmout a zpracovat maximálně jednu zprávu najednou.

Proces příchodu zákazníků do obchodu je náhodný proces. Časové intervaly mezi příchody kterékoli po sobě jdoucí dvojice kupujících jsou nezávislé náhodné události rozložené podle nějakého zákona, které lze stanovit pouze četnými pozorováními (nebo se pro modelování použije nějaká jejich věrohodná varianta). Druhým náhodným procesem v tomto problému, který nemá nic společného s prvním, je doba trvání služby pro každého ze zákazníků.

Účelem modelování systémů tohoto druhu je odpovědět na řadu otázek. Poměrně jednoduchá otázka – jaká je průměrná doba, po kterou musíte stát ve frontě na dané distribuční zákony výše uvedených náhodných veličin? Složitější otázka zní: jaké je rozložení čekacích dob služeb ve frontě? Neméně obtížná otázka zní: v jakých poměrech parametrů vstupních rozvodů dojde ke krizi, do které obrat nově nastupujícího kupujícího nikdy nedosáhne? Pokud se zamyslíte nad tímto poměrně jednoduchým úkolem, možné otázky se budou množit.

Modelovací přístup vypadá obecně takto. Použité matematické vzorce - zákony rozdělení počátečních náhodných veličin; použité číselné konstanty jsou empirické parametry zahrnuté v těchto vzorcích. Nejsou řešeny žádné rovnice, které by byly použity při analytickém studiu tohoto problému. Místo toho existuje imitace fronty, odehrávaná pomocí počítačových programů, které generují náhodná čísla s danými zákony rozdělení. Poté se provede statistické zpracování souhrnu získaných hodnot veličin stanovených danými cíli modelování. Například se najde optimální počet prodejců pro různá období provozu prodejny, což zajistí absenci front. Zde použitý matematický aparát je tzv metody matematické statistiky.

Článek „Modelování ekologických systémů a procesů“ 2 popisuje další příklad simulace: jeden z mnoha modelů systému „predátor-kořist“. Jedinci druhů, kteří jsou v těchto vztazích, podle určitých pravidel obsahujících prvky náhody, se pohybují, dravci požírají kořist, oba se množí a tak dále. Takový model neobsahuje žádné matematické vzorce, ale vyžaduje statistické zpracování výsledků.

Příklad algoritmu deterministického simulačního modelu

Zvažte simulační model evoluce populace živých organismů, známý jako „Život“, který lze snadno implementovat v jakémkoli programovacím jazyce.

Chcete-li sestavit herní algoritmus, zvažte čtvercové pole z n+ 1 sloupce a řádky s pravidelným číslováním od 0 do n. Pro usnadnění definujeme krajní hraniční sloupce a řádky jako „mrtvou zónu“, hrají pouze pomocnou roli.

Pro libovolnou vnitřní buňku pole se souřadnicemi ( i, j) můžete definovat 8 sousedů. Pokud je buňka „živá“, natřeme ji, pokud je buňka „mrtvá“, ji prázdný.

Pojďme si stanovit pravidla hry. Pokud buňka ( i, j) je „živý“ a je obklopen více než třemi „živými“ buňkami, umírá (na přelidnění). „Živá“ buňka také umírá, pokud jsou v jejím prostředí méně než dvě „živé“ buňky (z osamění). „Mrtvá“ buňka ožije, pokud se kolem ní objeví tři „živé“ buňky.

Pro usnadnění zavádíme dvourozměrné pole A, jehož prvky mají hodnotu 0, pokud je odpovídající buňka prázdná, a 1, pokud je buňka „živá“. Poté algoritmus pro určení stavu buňky se souřadnicí ( i, j) lze definovat takto:

S:= A + A +

A + A

A + A +

A + A;

Pokud (A=1) A((S > 3) Nebo

(S<)) Pak B:= 0;

Pokud (A=0) A(S=3)

Potom B := 1;

Zde je pole B určí souřadnice pole v dalším kroku. Pro všechny vnitřní buňky od i= 1 až n– 1 a j= 1 až n- 1 výše uvedené je pravda. Všimněte si, že následující generace jsou definovány podobně, je pouze nutné provést postup přeřazení:

Pro já:= 1 Na N - 1 Dělat

Pro J:= 1 Na N - 1 Dělat

A := B;

Na obrazovce displeje je výhodnější zobrazit stav pole nikoli v matici, ale v grafické podobě.

Zbývá pouze určit postup pro nastavení počáteční konfigurace hřiště. Při náhodném určení počátečního stavu buněk je algoritmus vhodný

Pro já:= 1 Na K Dělat

Begin K1:= Random(N - 1);

K2:= náhodně (N - 1) + 1;

Pro uživatele je zajímavější nastavit si prvotní konfiguraci sám, což je jednoduché na implementaci. V důsledku experimentů s tímto modelem lze například nalézt stabilní sídla živých organismů, které nikdy neumírají, zůstávají nezměněny nebo s určitým obdobím mění svou konfiguraci. Naprosto nestabilní (zaniká ve druhé generaci) je přesídlení „kříže“.

V základním kurzu informatiky mohou studenti realizovat simulační model "Život" v rámci části "Úvod do programování". Důkladnější zvládnutí simulačního modelování může probíhat na střední škole v profilovém nebo volitelném předmětu informatika. O této možnosti bude řeč dále.

Začátkem studia je přednáška o simulačním modelování náhodných procesů. V ruské škole se pojmy teorie pravděpodobnosti a matematická statistika teprve začínají zavádět do kurzu matematiky a učitel by měl být připraven provést úvod do tohoto nejdůležitějšího materiálu pro utváření světového názoru a matematické kultury. Zdůrazňujeme, že mluvíme o elementárním úvodu do okruhu diskutovaných pojmů; to lze provést za 1-2 hodiny.

Poté probereme technické problémy související s generováním posloupností náhodných čísel s daným distribučním zákonem na počítači. V tomto případě se můžete spolehnout na to, že v každém univerzálním programovacím jazyce existuje senzor náhodných čísel rovnoměrně rozložených na segmentu od 0 do 1. V této fázi je nevhodné zacházet do složité otázky principů jejího provádění. Na základě dostupných generátorů náhodných čísel ukážeme, jak se můžete zařídit

a) generátor rovnoměrně rozložených náhodných čísel na libovolném intervalu [ A, b];

b) generátor náhodných čísel pro téměř jakýkoli distribuční zákon (například pomocí intuitivně jasné metody „výběr-odmítnutí“).

Úvahu o výše popsaném problému front je vhodné zahájit diskusí o historii řešení problémů s frontami (Erlangův problém obsluhy požadavků na telefonní ústředně). Následuje úvaha o nejjednodušším problému, který lze formulovat na příkladu tvorby a obsluhy fronty v obchodě s jedním prodejcem. Všimněte si, že v první fázi modelování lze rozložení náhodných veličin na vstupu považovat za stejně pravděpodobné, což, i když to není reálné, odstraňuje řadu potíží (pro generování náhodných čísel můžete jednoduše použít senzor zabudovaný v programovacím jazyce ).

Upozorňujeme studenty na to, jaké otázky jsou při modelování systémů tohoto typu kladeny na prvním místě. Za prvé se jedná o výpočet průměrných hodnot (matematických očekávání) některých náhodných veličin. Jaká je například průměrná doba, po kterou musíte stát ve frontě u přepážky? Nebo: zjistěte průměrnou dobu, kterou prodávající strávil čekáním na kupujícího.

Úkolem učitele je zejména vysvětlit, že samotné výběrové prostředky jsou náhodné veličiny; v jiném vzorku stejné velikosti budou mít jiné hodnoty (u velkých vzorků se od sebe nebudou příliš lišit). Jsou možné další možnosti: v připravenějším publiku můžete ukázat metodu odhadu intervalů spolehlivosti, ve které se pro dané pravděpodobnosti spolehlivosti nalézají matematická očekávání odpovídajících náhodných veličin (pomocí metod známých z matematické statistiky bez pokusu o doložení). U méně připraveného publika se lze omezit na čistě empirické tvrzení: pokud se v několika vzorcích stejné velikosti průměrné hodnoty shodovaly na nějakém desetinném místě, pak je toto znamení s největší pravděpodobností správné. Pokud simulace nedosáhne požadované přesnosti, měla by být velikost vzorku zvětšena.

V ještě matematicky připravenějším publiku si lze položit otázku: jaké je rozdělení náhodných proměnných, které jsou výsledky statistického modelování, vzhledem k rozdělením náhodných proměnných, které jsou jeho vstupními parametry? Protože prezentace odpovídající matematické teorie je v tomto případě nemožná, měli bychom se omezit na empirické metody: konstrukci histogramů konečných rozdělení a jejich porovnání s několika typickými distribučními funkcemi.

Po vypracování primárních dovedností tohoto modelování přejdeme k realističtějšímu modelu, ve kterém jsou vstupní proudy náhodných událostí distribuovány například podle Poissona. To bude vyžadovat, aby studenti navíc zvládli metodu generování posloupností náhodných čísel se zadaným distribučním zákonem.

V uvažovaném problému, stejně jako v každém složitějším problému s frontami, může nastat kritická situace, kdy se fronta s časem neomezeně zvětšuje. Modelování přístupu ke kritické situaci při zvyšování jednoho z parametrů je zajímavým výzkumným úkolem pro nejpřipravenější studenty.

Na příkladu úkolu o frontě je vypracováno několik nových konceptů a dovedností najednou:

koncepty náhodných procesů;

koncepty a základní dovednosti simulačního modelování;

konstrukce optimalizačních simulačních modelů;

· konstrukce multikriteriálních modelů (řešením problémů co nejracionálnějšího zákaznického servisu v kombinaci se zájmy majitele obchodu).

Matematický model - přibližný popis modelovaného objektu, vyjádřený pomocí matematických symbolů.

Matematické modely se objevily spolu s matematikou před mnoha staletími. Obrovský impuls k rozvoji matematického modelování dal vzhled počítačů. Použití počítačů umožnilo analyzovat a uvést do praxe mnoho matematických modelů, které dříve nebyly přístupné analytickému výzkumu. Počítačově implementovaný matematický model volal počítačový matematický model, A provádění cílených výpočtů pomocí počítačového modelu volal výpočetní experiment.

Fáze počítačového matematického modelování jsou znázorněny na obrázku. První etapa- definice cílů modelování. Tyto cíle mohou být různé:

1) model je potřebný k pochopení toho, jak konkrétní objekt funguje, jaká je jeho struktura, základní vlastnosti, zákonitosti vývoje a interakce s vnějším světem (porozumění);

2) model je potřebný k tomu, abychom se naučili řídit objekt (nebo proces) a určili nejlepší způsoby řízení pro dané cíle a kritéria (řízení);

3) model je potřebný k predikci přímých a nepřímých důsledků implementace specifikovaných metod a forem dopadu na objekt (prognóza).

Pojďme si to vysvětlit na příkladech. Nechť je předmětem studia interakce proudu kapaliny nebo plynu s tělesem, které je překážkou tohoto proudění. Zkušenosti ukazují, že síla odporu proti proudění ze strany tělesa roste s rostoucí rychlostí proudění, ale při nějaké dostatečně vysoké rychlosti tato síla prudce klesá, aby s dalším zvyšováním rychlosti opět rostla. Co způsobilo snížení odporové síly? Matematické modelování nám umožňuje získat jasnou odpověď: v okamžiku prudkého poklesu odporu se od něj začnou odtrhávat víry vzniklé v proudění kapaliny nebo plynu za proudnicovým tělesem a jsou proudem unášeny.

Příklad ze zcela jiné oblasti: v mírumilovném soužití se stabilními počty populací dvou druhů jedinců se společnou potravní základnou se „najednou“ začnou jejich počty dramaticky měnit. A zde matematické modelování umožňuje (s jistou mírou jistoty) stanovit příčinu (nebo alespoň vyvrátit určitou hypotézu).

Rozvoj konceptu správy objektů je dalším možným cílem modelování. Jaký režim letu letadla zvolit, aby byl let bezpečný a ekonomicky nejvýhodnější? Jak naplánovat stovky druhů prací na stavbě velkého zařízení tak, aby skončila co nejdříve? Mnoho takových problémů systematicky vyvstává před ekonomy, designéry a vědci.

Konečně, predikce důsledků určitých dopadů na objekt může být jak relativně jednoduchou záležitostí v jednoduchých fyzikálních systémech, tak extrémně složitou - na hranici proveditelnosti - v biologických, ekonomických, sociálních systémech. Pokud je poměrně snadné odpovědět na otázku o změně způsobu šíření tepla v tenké tyči se změnami její slitiny, pak je nesrovnatelně obtížnější vysledovat (předvídat) environmentální a klimatické důsledky konstrukce tyče. velká vodní elektrárna nebo sociální důsledky změn daňové legislativy. Možná i zde v budoucnu výrazněji pomohou metody matematického modelování.

Druhá fáze: stanovení vstupních a výstupních parametrů modelu; rozdělení vstupních parametrů podle míry důležitosti dopadu jejich změn na výstup. Tento proces se nazývá hodnocení nebo rozdělení podle pořadí (viz . “Formalizace a modelování”).

Třetí fáze: sestavení matematického modelu. V této fázi dochází k přechodu od abstraktní formulace modelu k formulaci, která má specifickou matematickou reprezentaci. Matematickým modelem jsou rovnice, soustavy rovnic, soustavy nerovnic, diferenciální rovnice nebo soustavy takových rovnic atd.

Čtvrtá fáze: volba metody pro studium matematického modelu. Nejčastěji se zde používají numerické metody, které se dobře hodí k programování. Pro řešení stejného problému je zpravidla vhodné několik metod, které se liší přesností, stabilitou atd. Úspěch celého procesu modelování často závisí na správné volbě metody.

Pátá fáze: vývoj algoritmu, kompilace a ladění počítačového programu je proces, který je obtížné formalizovat. Z programovacích jazyků preferuje mnoho profesionálů pro matematické modelování FORTRAN: jak kvůli tradici, tak kvůli nepřekonatelné efektivitě kompilátorů (pro výpočetní práci) a přítomnosti obrovských, pečlivě odladěných a optimalizovaných knihoven standardních programů matematických metod napsaných v to. Používají se také jazyky jako PASCAL, BASIC, C v závislosti na povaze úlohy a sklonech programátora.

Šestá fáze: testování programu. Fungování programu je testováno na testovacím problému se známou odpovědí. Toto je jen začátek testovací procedury, kterou je obtížné popsat formálně vyčerpávajícím způsobem. Obvykle testování končí, když uživatel podle svých profesionálních vlastností považuje program za správný.

Sedmá fáze: vlastní výpočetní experiment, při kterém se zjišťuje, zda model odpovídá skutečnému objektu (procesu). Model je dostatečně adekvátní reálnému procesu, pokud se některé charakteristiky procesu získané na počítači shodují s experimentálně získanými charakteristikami s danou mírou přesnosti. Pokud model neodpovídá reálnému procesu, vrátíme se do jedné z předchozích fází.

Klasifikace matematických modelů

Klasifikace matematických modelů může být založena na různých principech. Modely je možné klasifikovat podle vědních oborů (matematické modely ve fyzice, biologii, sociologii atd.). Lze jej klasifikovat podle aplikovaného matematického aparátu (modely založené na použití obyčejných diferenciálních rovnic, parciálních diferenciálních rovnic, stochastických metod, diskrétních algebraických transformací atd.). A konečně, pokud vycházíme z obecných úloh modelování v různých vědách, bez ohledu na matematický aparát, je nejpřirozenější následující klasifikace:

deskriptivní (popisné) modely;

· optimalizační modely;

· multikriteriální modely;

herní modely.

Pojďme si to vysvětlit na příkladech.

Popisné (deskriptivní) modely. Například simulace pohybu komety, která napadne sluneční soustavu, jsou prováděny za účelem předpovědi její dráhy letu, vzdálenosti, kterou uletí od Země, a tak dále. V tomto případě jsou cíle modelování popisné, protože neexistuje způsob, jak ovlivnit pohyb komety, něco v ní změnit.

Optimalizační modely se používají k popisu procesů, které lze ovlivnit ve snaze dosáhnout daného cíle. V tomto případě model obsahuje jeden nebo více parametrů, které lze ovlivnit. Například změnou tepelného režimu na sýpce lze stanovit cíl zvolit takový režim, aby bylo dosaženo maximálního zachování zrna, tzn. optimalizovat proces skladování.

multikriteriální modely. Často je potřeba optimalizovat proces v několika parametrech současně a cíle mohou být velmi protichůdné. Například při znalosti cen potravin a potravinové potřeby člověka je nutné fyziologicky správně a přitom co nejlevněji organizovat stravování pro velké skupiny lidí (v armádě, na dětském letním táboře apod.). Je jasné, že tyto cíle se vůbec neshodují; při modelování bude použito několik kritérií, mezi kterými je třeba hledat rovnováhu.

Herní modely mohou souviset nejen s počítačovými hrami, ale i s velmi vážnými věcmi. Například před bitvou, pokud existují neúplné informace o nepřátelské armádě, musí velitel vypracovat plán: v jakém pořadí přivést určité jednotky do bitvy atd., s ohledem na možnou reakci nepřítele. Existuje speciální sekce moderní matematiky - teorie her - která studuje metody rozhodování za podmínek neúplných informací.

Ve školním kurzu informatiky získají studenti počáteční představu o počítačovém matematickém modelování jako součást základního kurzu. Na střední škole lze matematické modelování podrobně studovat v kurzu všeobecně vzdělávacích předmětů pro hodiny fyziky a matematiky a také v rámci specializovaného volitelného kurzu.

Hlavními formami výuky počítačového matematického modelování na střední škole jsou přednášky, laboratorní a zápočtové hodiny. Obvykle trvá práce na tvorbě a přípravě na studium každého nového modelu 3-4 lekce. V průběhu prezentace materiálu jsou stanoveny úkoly, které by v budoucnu měli studenti řešit samostatně, v obecné rovině jsou nastíněny způsoby jejich řešení. Jsou formulovány otázky, na které je třeba získat odpovědi při plnění úkolů. Je uvedena další literatura, která umožňuje získat pomocné informace pro úspěšnější dokončení úkolů.

Formou organizace výuky při studiu nového materiálu bývá přednáška. Po absolvování diskuse o dalším modelu mají studenti k dispozici potřebné teoretické informace a sadu úkolů pro další práci. V rámci přípravy na úkol si studenti zvolí vhodnou metodu řešení, pomocí nějakého známého soukromého řešení testují vyvinutý program. V případě docela možných obtíží při plnění úkolů je poskytnuta konzultace, je podán návrh na podrobnější rozpracování těchto částí v literatuře.

Pro praktickou část výuky počítačového modelování je nejdůležitější metoda projektů. Úkol je formulován pro studenta ve formě výukového projektu a probíhá v několika vyučovacích hodinách, přičemž hlavní organizační formou je v tomto případě práce v počítačové laboratoři. Výuku modelování pomocí metody výukového projektu lze realizovat na různých úrovních. První je problémové vyjádření procesu realizace projektu, který vede učitel. Druhým je realizace projektu studenty pod vedením pedagoga. Třetím je samostatná realizace projektu pedagogického výzkumu studenty.

Výsledky práce by měly být prezentovány v číselné podobě, ve formě grafů, diagramů. Pokud je to možné, je proces prezentován na obrazovce počítače v dynamice. Po dokončení výpočtů a obdržení výsledků jsou tyto analyzovány, porovnány se známými fakty z teorie, potvrzena spolehlivost a provedena smysluplná interpretace, která je následně promítnuta do písemné zprávy.

Pokud výsledky uspokojí studenta i učitele, je práce považována za dokončenou a její poslední fází je příprava zprávy. Zpráva obsahuje stručné teoretické informace ke studovanému tématu, matematickou formulaci problému, algoritmus řešení a jeho zdůvodnění, počítačový program, výsledky programu, analýzu výsledků a závěry, seznam literatury.

Po vypracování všech protokolů studenti na zkušebním sezení stručně referují o provedené práci a obhajují svůj projekt. Jedná se o efektivní formu hlášení projektového týmu třídě, včetně zadání problému, sestavení formálního modelu, výběru metod práce s modelem, implementace modelu na počítači, práce s hotovým modelem, interpretace výsledků, prognózování. V důsledku toho mohou studenti získat dvě známky: první - za vypracování projektu a úspěšnost jeho obhajoby, druhý - za program, optimalitu jeho algoritmu, rozhraní atd. Studenti také získávají známky v průběhu průzkumů z teorie.

Zásadní otázkou je, jaké nástroje použít ve školním kurzu informatiky pro matematické modelování? Počítačovou implementaci modelů lze provést:

pomocí tabulkového procesoru (obvykle MS Excel);

· vytvářením programů v tradičních programovacích jazycích (Pascal, BASIC atd.), jakož i v jejich moderních verzích (Delphi, Visual Basic for Application atd.);

· pomocí speciálních softwarových balíků pro řešení matematických úloh (MathCAD atd.).

Na úrovni základní školy se jeví jako preferovaný první lék. Na střední škole, kdy je programování spolu s modelováním klíčovým tématem informatiky, je však žádoucí zapojit jej jako modelovací nástroj. V procesu programování jsou studentům k dispozici detaily matematických postupů; navíc jsou prostě nuceni je ovládat, a to také přispívá k matematickému vzdělání. Pokud jde o použití speciálních softwarových balíků, je to vhodné v profilovém kurzu informatiky jako doplněk k dalším nástrojům.

Modely používané v různých vědách (fyzika, biologie, ekonomie atd.) jsou matematickými obrazy relativně izolovaných procesů a jevů. Každý z nich umožňuje řešit problémy, které jsou důležité pro konkrétní vědu nebo typ činnosti. Ale to vše je ve své univerzální lidské důležitosti nižší než ta nejdůležitější otázka pro lidi: jaká je blízká budoucnost lidstva jako druhu jako celku? Jak se bude svět vyvíjet v dohledné době? Zdůrazňujeme, že nám nejde o politické či ekonomické prognózy pro konkrétní zemi či společnost, ale o lidstvo jako celek – jaká je jeho budoucnost (my všichni žijeme na Zemi)?

Lidé v současném životě mají mnoho specifických problémů a jsou jen málo nakloněni podobným obecným úvahám. Život jednotlivce je příliš krátký a ještě před stoletím nebo dvěma byly globální změny ve světě během života jednoho člověka sotva postřehnutelné, i když žil v dosti turbulentní době. Ale ve 20. století se tempo událostí zrychlilo jako nikdy předtím v historii lidstva. Stále častěji začaly znít předpovědi budoucích globálních katastrof: smrt přírody v důsledku průmyslového znečištění, výskyt „ozónových děr“ ve stratosféře, která nás chrání před kosmickým zářením, vyčerpání zařízení pro reprodukci kyslíku v důsledku masivního odlesňování, atd. I méně katastrofická událost – například vyčerpání přírodních zdrojů – může vést k radikálním změnám ve způsobu života lidstva, a to zejména v zemích, které jsou dnes nejvíce industrializované.

Budoucnost lidstva je určována obrovským množstvím procesů, zčásti jím řízených, zčásti ne, a tyto procesy jsou natolik propojené a mají tak rozporuplné důsledky, že pouze jejich matematické modelování v celé jejich rozumné množině, realizované na moderních počítačích, může poskytnout kvalitativně správnou předpověď. Bez ohledu na to, jak velké je nevyhnutelné zhrubnutí reality v takové simulaci, existuje tolik faktorů prvořadé důležitosti, že ani ta nejmocnější mysl nemůže vysledovat jejich interakci.

Odpovídající modely, pojmenované globální(komplexní), poprvé se objevil v 70. letech minulého století. Nejznámější modely jsou WORLD-1 (MIR-1), WORLD-2, WORLD-3, formulované a studované skupinou zaměstnanců Massachusetts Institute of Technology (USA) pod vedením D.Kh. Meadows a D. Forrester. Výsledky jejich práce svého času udělaly ve světě senzaci, protože většina scénářů možného vývoje událostí vedla do finále, které lze nazvat koncem světa (samozřejmě z pohledu tzv. lidstvo). Autoři přitom opakovaně zdůrazňují, že nejde o předem určenou budoucnost, ale o volbu cest rozvoje lidstva, mezi nimiž jsou i ty vedoucí ke stabilitě, k prosperující existenci lidstva.

Co může být příčinou případné nestability? Charakteristickým rysem lidského života v době po začátku průmyslové revoluce byl rychlý - často exponenciálně rychlý - růst mnoha ukazatelů. Období zdvojnásobení počtu obyvatel Země je přibližně 40 let (přítomnost takové konstantní periody je charakteristickým znakem exponenciálního růstu). Biologové a ekologové dobře vědí, že exponenciální růst populace končí nejčastěji katastrofou – vyčerpávají se zdroje podporující její existenci. Z hlediska existence druhu to není žádná tragédie (až na ojedinělé případy, kdy je daný druh zredukován na jednu populaci). Lidstvo však v naší době vyčerpalo téměř všechny zdroje pro extenzivní růst a expanzi „do šířky“. Také objem průmyslové výroby ve 20. století rostl téměř exponenciálně s ročním tempem růstu v průměru 3,3 %. To vede k vyčerpání přírodních zdrojů – minerálů, čisté vody, čistého vzduchu. Obsah jedné ze stabilních sloučenin uhlíku (dioxidu) v atmosféře v důsledku spalování fosilních paliv a úbytku lesů vzrostl od počátku století o třetinu; potenciálně to vede ke globálnímu oteplování na Zemi s nejkatastrofičtějšími následky. Čím více lidí, tím více potravin je potřeba a světová aplikace minerálních hnojiv exponenciálně roste, zhruba za 15 let se zdvojnásobí. Je jasné a bez jakéhokoli modelování, že takový život s neomezeným růstem všeho a všeho nemůže trvat dlouho – a „dlouhý“ je nyní srovnatelný s délkou života dvou až tří generací.

Obtížnost sledování důsledků takového běhu událostí je i v tom, že každý jednotlivý globální proces nelze z hlediska ovlivnění osudu lidstva jednoznačně nazvat „dobrý“ nebo „špatný“. Například zvýšení produkce hnojiv vede ke zvýšení produkce potravin - to je „dobré“. Je však „špatné“, že stejný proces vede k poklesu dodávek čisté sladké vody, kterou kazí hnojiva, která se s deštěm dostávají přes půdu do řek a podzemních zdrojů. Nárůst výroby hnojiv navíc vede k nutnosti zvýšení produkce energie a s tím spojeného chemického a tepelného znečištění půdy, atmosféry atp. Dopad takových situací na vývoj lidstva je možné vážit pouze při současném zohlednění všech faktorů.

Existují možnosti, jak se vyhnout katastrofickým následkům pro lidský rozvoj? Výsledkem modelování byla formulována následující tři pravidla, jejichž dodržování je podle autorů modelů nezbytné pro globální udržitelnost:

1. U obnovitelných zdrojů (les, voda, ryby atd.) by míra spotřeby neměla překročit míru přirozené obnovy.

2. U neobnovitelných zdrojů (uhlí, ropa, rudy atd.) by míra spotřeby neměla překročit míru jejich nahrazování obnovitelnými (rozvoj solární a větrné energie, výsadba lesů atd.) rychlost vývoje nových technologií k zajištění zdrojů změny; aby po zániku např. ropy byl zajištěn příliv energie z nového zdroje.

3. U znečišťujících látek by maximální míra emisí neměla překročit rychlost, kterou jsou tyto látky zpracovávány nebo ztrácejí své vlastnosti škodlivé pro životní prostředí.

V současnosti se lidstvo těmito pravidly bohužel neřídí. Jestliže to v minulých staletích nepředstavovalo nebezpečí pro druh jako celek, dnes se situace změnila.

Pojďme si stručně popsat jeden z globálních modelů - WORLD-3 (MIR-3). Model se skládá z pěti sektorů:

trvalé znečištění;

neobnovitelné zdroje;

· populace;

zemědělství (produkce potravin, úrodnost půdy, rozvoj půdy);

Ekonomika (průmyslová výroba, výroba služeb, pracovní místa).

Primární vztahy jsou počáteční, jako například:

obyvatelstvo a zásoby průmyslového kapitálu;

počet obyvatel a plocha obdělávané půdy;

· plocha obdělávané půdy a objem průmyslového kapitálu;

· počet obyvatel a kapitál sektoru služeb;

· kapitál sektoru služeb a průmyslový kapitál atp.

V každém sektoru jsou všechny primární vztahy sledovány a vyjádřeny matematickými vztahy. Podle potřeby se berou v úvahu procesy materiálního a informačního zpoždění, protože reakce, řekněme, populace na zlepšení výživy není okamžitá, ale zpožděná. To je typické pro většinu zvažovaných procesů.

Model WORLD-3 má popisné a optimalizační funkce. Jeho hlavním účelem je představit možné způsoby, jak může ekonomika (v širokém slova smyslu) dosáhnout takové populace planety, kterou může životní prostředí neomezeně podporovat. Nepředpovídá vývoj konkrétní země, neřeší žádné lokální záležitosti. Model předpokládá, že na Zemi existuje globální komunita.

Populační dynamika je integrální charakteristikou, která zahrnuje všechny faktory. Čistě spekulativně jsou možné dva typy stabilní dynamiky (kontinuální růst nebo plynulé přibližování k rovnováze) a tři typy nestabilních spojených s překračováním přípustných mezí (oscilace s následným dosažením stacionárního stavu, chaotické oscilace a kolaps, tj. druhu). Neustálý růst se zdá zcela nereálný, poslední z nestabilní dynamiky je pro lidstvo tragédií a za prudkými výkyvy, jak asi tušíte, jsou války, epidemie, hladomor – to, co se ve skutečnosti často děje.

Vztahy typické pro model WORLD, které nacházejí vyjádření matematickými prostředky (diferenciální a „obyčejné“ rovnice), jsou znázorněny na obrázku. Ukazuje vazby mezi obyvatelstvem, průmyslovým kapitálem, rozlohou obdělávané půdy a znečištěním životního prostředí. Každá šipka na obrázku označuje přítomnost kauzálního vztahu, který může být okamžitý nebo opožděný, pozitivní nebo negativní.

Zpětnovazební smyčky velikosti populace, kapitálu, zemědělské výroby a znečištění životního prostředí

Pojmy pozitivní a negativní zpětné vazby jsou převzaty z teorie automatického řízení (sekce kybernetiky). Kauzální vztah mezi dvěma prvky se nazývá negativní, pokud se změna jednoho prvku přenese na druhý, vrátí se od něj k prvnímu a změní jej v opačném směru než původní (potlačí), a pozitivní jestliže tato změna, návrat k prvnímu, ji posiluje. Pokud tam nejsou dva prvky, ale více, pak říkají o zpětnovazební smyčka, kterým signál prochází v kruhu, vrací se ke zdroji a ovlivňuje jej.

Některá sada takových kreseb graficky vyčerpává model SVĚTA. Za každou šipkou jsou však primární vztahy a za každou z nich jsou rovnice, které zahrnují řadu parametrů. Ve skutečnosti jsou to hodnoty těchto parametrů, které určují výsledky, proto se na jejich analýze podílí jak řada úzkých odborníků, tak mnoho empirických (statistických) dat shromážděných v desítkách referenčních knih, zpráv OSN a jednotlivých států. Počet vzájemně souvisejících proměnných v modelu WORLD-3 je 225 a parametrů je ještě více.

Výsledky globální simulace

Publikované „scénáře“ lidského vývoje vycházející z modelů SVĚTA pokrývají období let 1900 až 2100. Prvních 100 let, které již uplynuly, umožňuje „vyladit“ model, určit míru jeho spolehlivosti.

První ze scénářů je založen na hypotéze, že se vše bude vyvíjet bez velkých změn, globálních politických kataklyzmat, bez větší snahy o zachování zdrojů a snížení znečištění životního prostředí. Model předpovídá katastrofální výsledky takového vývoje.

Model WORLD zároveň umožňuje nacházet cesty regulovaného vývoje, což vede k hladkému („esovitému“) chování hlavních proměnných. Tato cesta je spojena se sebeovládáním a přechodem na vylepšené průmyslové a zemědělské technologie.

5. Modelování optimálních plánovacích procesů

Stanovení problému optimálního plánování

Plánování je nejdůležitější etapou ekonomické a manažerské činnosti. Předmětem plánování může být činnost dílčího útvaru nebo celého podniku, průmyslu nebo zemědělství, regionu a nakonec i státu.

Formulace plánovacího problému v obecném případě je následující:

Existuje několik plánovaných ukazatelů: X, Y, …;

K dispozici jsou některé zdroje: R 1, R 2, ..., díky čemuž lze těchto plánovaných ukazatelů dosáhnout;

· existuje určitý strategický cíl v závislosti na hodnotách plánovaných ukazatelů, na který by se mělo plánování orientovat.

Problém optimálního plánování je stanovení hodnot plánovaných ukazatelů s přihlédnutím k omezeným zdrojům pod podmínkou dosažení strategického cíle.

Uveďme příklady. Nechť je předmětem plánování mateřská škola. Omezujeme se pouze na dva plánované ukazatele: počet dětí a počet vychovatelů. Hlavními zdroji pro činnost mateřské školy jsou výše finančních prostředků a velikost prostor. Jaké jsou strategické cíle? Jedním z nich je přirozeně i zachování a posílení zdraví dětí. Kvantitativním měřítkem tohoto cíle je minimalizace výskytu žáků mateřských škol.

Dalším příkladem je plánování ekonomických aktivit státu. Na podrobnou analýzu je to samozřejmě příliš složitý úkol. Plánovaných ukazatelů je celá řada: výroba různých druhů průmyslových a zemědělských produktů, školení odborníků, výroba elektřiny, mzdy pracovníků veřejného sektoru a mnoho dalšího. Mezi zdroje patří: počet práceschopného obyvatelstva, státní rozpočet, přírodní zdroje, energie, možnosti dopravních systémů atd. Každý z těchto druhů zdrojů je samozřejmě omezený. Kromě toho je nejdůležitějším zdrojem čas vyhrazený na realizaci plánu.

Otázka strategických cílů je v tomto případě velmi komplikovaná. Stát jich má mnoho, ale v různých historických obdobích se priority mohou měnit. Například v době války je hlavním cílem maximální obranyschopnost, vojenská síla země. V době míru, v moderním civilizovaném státě, by mělo být prioritním cílem dosažení maximální životní úrovně obyvatelstva.

Řešení problémů optimálního plánování je nejčastěji složité a nepřístupné pouze pomocí lidské zkušenosti (empirické metody). K řešení takových problémů a matematický model A, které vytváří vztah mezi parametry úlohy. Proto, optimální plánování se provádí použitím matematického modelování. Takové modely pro reálné situace zpravidla nejsou přístupné analytickému řešení, proto se používají numerické metody řešení implementované na počítači.

Příklad matematického modelu optimálního plánování

Podívejme se na jednoduchý příklad, s jehož pomocí lze získat představu o jedné z tříd optimálních plánovacích problémů.

Školní cukrárna připravuje koláče a dorty. Vzhledem k omezené kapacitě skladu nelze připravit více než 700 produktů denně. Pracovní den v cukrárně trvá 8 hodin. Vzhledem k tomu, že výroba dortů je pracnější, pak pokud se vyrábějí pouze ony, nelze jich vyrobit více než 250 za den, přičemž lze vyrobit 1000 dortů (pokud se současně nevyrábějí žádné dorty). Cena dortu je dvakrát vyšší než cena dortu. Je třeba sestavit denní plán výroby, který zajistí cukrárně největší tržby.

Zformulujme tento problém matematicky. Plánované ukazatele jsou:

x - denní plán vydávání koláčů;

y - denní plán výroby dortů.

Výrobní zdroje jsou:

Pracovní doba - 8 hodin;

· Skladovací kapacita - 700 míst.

Získáme poměry, které vyplývají z podmínek pro omezenou dobu workshopu a kapacitu skladu, tzn. celkový počet produktů. Z uvedení problému vyplývá, že výroba jednoho koláče zabere 4x více času než 1 koláč. Pokud uvedete čas výroby koláče t min., pak je doba přípravy dortu 4 t min. Proto celková doba výroby X koláče a y koláče tx + 4ty=(X+ 4y)t. Tato doba však nemůže být delší než délka pracovního dne. To znamená nerovnost ( X + 4y)t 8 ? 60, nebo ( X + 4y)t 480.

Vzhledem k tomu, že za pracovní den lze vyrobit 1000 koláčů, na jeden se stráví 480/1000 = 0,48 minuty. Dosazením této hodnoty do nerovnosti dostaneme: ( X + 4y) ? 0,48 480. Odtud X + 4y 1000. Limit na celkový počet produktů dává zjevnou nerovnost X+ y 700.

Ke dvěma získaným nerovnostem bychom měli přidat podmínky pro pozitivitu hodnot veličin X A y(nemůže být záporný počet koláčů a koláčů). V důsledku toho jsme dostali systém nerovností:

X + 4y 1000,X + y 700, X 0, y 0 ()

Pojďme formalizovat strategický cíl: získat maximální výnos. Tržby představují hodnotu všech prodaných produktů. Nechte cenu jednoho koláče r rublů. Cena dortu je dle stavu problému dvojnásobná, tzn. 2 r rublů. Náklady na veškerou produkci vyrobenou za den se tedy rovnají rx + 2ry = r(X + 2y). Účelem výroby je maximalizovat výnosy. Písemný výraz budeme považovat za funkci X,y:F(x, y)= r(X + 2y). Protože r je konstanta, pak maximální hodnota F(x, y) bude dosaženo při maximální hodnotě výrazu X + 2y Proto jako funkci, jejíž maximum odpovídá strategickému cíli, můžeme vzít

F(X, y) = X + 2y ()

Proto bylo získání optimálního plánu zredukováno na následující matematický problém: najděte hodnoty plánovaných ukazatelů x a y, které splňují systém nerovností()a udání maximální hodnoty účelové funkce().

Výše uvedený příklad patří do třídy úloh lineární programování. V teorii optimálního plánování existuje několik tříd problémů, z nichž lineární programování je nejjednodušší. Studium matematických metod řešení takových problémů přesahuje cíle školního vzdělávání.

Zároveň by bylo nelogické omezovat se na teoretickou formulaci problémů optimálního plánování. Moderní informační technologie umožňují řešit některé problémy optimálního plánování (a zejména lineárního programování), aniž by pronikaly do podstaty aplikovaných matematických metod. Zejména takové nástroje jsou k dispozici v excelové tabulce a na jejich základě lze studentům ukázat, jak řešit konkrétní problémy. Příslušný nástroj se nazývá Najít řešení a odpovídající příkaz je v nabídce Nástroje. Pojďme si stručně popsat, jak použít uvedený nástroj k vyřešení výše uvedeného problému.

Nejprve si připravíme tabulku pro řešení optimálního plánovacího problému.

Buňky B5 a C5 jsou rezervovány pro hodnoty X(plán výroby koláčů) a y(plán výroby dortů). Levé části nerovností jsou ve sloupci B, pravé části jsou ve sloupci D; znamení"<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.

Zavoláme optimalizační program a řekneme mu, kde se data nacházejí. Chcete-li to provést, spusťte příkaz Yu Service Yu Search for a solution. Na obrazovce se otevře příslušný formulář. Budeme jednat podle následujícího algoritmu:

1. Zadejte souřadnici buňky s cílovou funkcí. V našem případě je to B15. (Všimněte si, že pokud nejprve umístíte kurzor na buňku B15, zadání proběhne automaticky.)

2. Zaškrtněte políčko „Rovno maximální hodnotě“, tzn. Řekněme programu, že máme zájem najít maximum účelové funkce.

3. Do pole „Změna buněk“ zadejte B5:C5, tzn. prozradíme vám, jaké místo je vyhrazeno hodnotám proměnných - plánovaných ukazatelů.

4. Do pole „Omezení“ zadejte informace o omezujících nerovnostech, které vypadají takto: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Omezení se zadávají takto:

Klikněte na tlačítko „Přidat“;

V zobrazeném dialogovém okně „Přidání omezení“ zadejte odkaz na buňku B10, vyberte znaménko nerovnosti „<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.

5. Zavřete dialogové okno Přidat omezení. Před námi je připravený formulář „Hledat řešení“.

6. Klikněte na tlačítko „Spustit“ - optimální řešení se objeví v buňkách B5 a C5 (čísla 600 a 100), stejně jako číslo 800 v buňce B15 - maximální hodnota účelové funkce.

6. Modelování fyzikálních systémů a procesů

Fyzikální věda je nerozlučně spjata s matematickým modelováním od dob Isaaca Newtona (XVII-XVIII století). I. Newton objevil základní zákony mechaniky, zákon univerzální gravitace, a popsal je jazykem matematiky. I. Newton (spolu s G. Leibnizem) vyvinul diferenciální a integrální počet, který se stal základem matematického aparátu fyziky. Všechny následné fyzikální objevy (v termodynamice, elektrodynamice, atomové fyzice atd.) byly prezentovány v podobě zákonů a principů popsaných matematickým jazykem, tzn. ve formě matematických modelů.

Můžeme říci, že teoreticky je řešením libovolného fyzikálního problému matematické modelování. Možnost teoretického řešení problému je však omezena mírou složitosti jeho matematického modelu. Matematický model je tím složitější, čím složitější je fyzikální proces s jeho pomocí popisovaný a tím problematičtější se stává použití takového modelu pro výpočty.

V nejjednodušší situaci lze řešení problému získat „ručně“ analyticky. Ve většině prakticky důležitých situací není možné najít analytické řešení kvůli matematické složitosti modelu. V tomto případě použijte numerické metodyřešení problémů, jehož efektivní implementace je možná pouze na počítači. Jinými slovy, fyzikální výzkum založený na komplexních matematických modelech se provádí pomocí počítačové matematické modelování. V tomto ohledu se ve 20. století spolu s tradičním dělením fyziky na teoretickou a experimentální objevil nový směr – „výpočetní fyzika“.

Studium fyzikálních procesů na počítači se nazývá výpočetní experiment. Výpočetní fyzika tak staví most mezi teoretickou fyzikou, ze které čerpá matematické modely, a experimentální fyzikou realizující virtuální fyzikální experiment na počítači. Využití počítačové grafiky při zpracování výsledků výpočtů zajišťuje viditelnost těchto výsledků, což je nejdůležitější podmínkou pro jejich vnímání a interpretaci výzkumníkem.

Základním zákonem mechaniky je druhý Newtonův zákon, který dává do souvislosti sílu působící na těleso, jeho hmotnost a zrychlení vyplývající z působení síly. Ve školní fyzice je tento zákon prezentován v následující podobě:

To znamená, že síla a hmotnost jsou konstanty. V tomto případě bude zrychlení také konstantní hodnotou. Proto rovnice (1) modeluje rovnoměrně zrychlený pohyb tělesa o konstantní hmotnosti při působení konstantní síly.

Použitelnost tohoto modelu je omezená. Nelze jej použít k výpočtu pohybu těles s proměnnou hmotností a proměnnou silou. Například při letu rakety dochází vlivem vyhoření paliva k poklesu její hmotnosti, tzn. hmotnost je funkcí času: m(t). V důsledku toho se zrychlení také stane proměnnou a matematický model se změní:

Bereme v úvahu, že zrychlení je derivací rychlosti ( proti) v průběhu času a popište funkci změny hmoty s časem (ať je lineární); získáme následující matematický model pohybu:

(2)

Tady m 0 - počáteční hmotnost rakety, q(kg / s) - parametr, který určuje rychlost spalování paliva. Rovnice (2) je diferenciální rovnice, na rozdíl od lineární algebraické rovnice (1). Matematický model se stal složitějším! Řešení rovnice (2) je mnohem obtížnější než (1). Pokud vezmeme v úvahu i možnost změny síly v čase F(t) (tah raketového motoru při startu je proměnný), pak se model ještě zkomplikuje:

(3)

Při pohybu těles v atmosféře (nebo v kapalném prostředí) je nutné počítat s odporem prostředí – silou tření. Třecí síla má dvě složky: úměrnou první mocnině rychlosti tělesa a úměrnou jeho druhé mocnině. Nyní bude mít pohybová rovnice tvar:

, (4), (5)

Tady k 1 A k 2 - empirické koeficienty. Rovnice (5) vztahuje rychlost k posunu. Model (4)–(5) se přiblížil fyzikálně reálné situaci, ale z matematického hlediska je složitější. Pomocí něj můžete získat odpovědi na prakticky důležité otázky. Například: daný F(t) určit, jak dlouho a v jaké výšce raketa dosáhne první kosmické rychlosti. Nebo vyřešit inverzní problém: jaká by měla být tažná síla motoru, aby raketa dosáhla první vesmírné rychlosti v dané výšce? S ohledem také na skutečnost, že koeficienty k 1 A k 2 - Vzhledem k tomu, že závisí na hustotě atmosférického vzduchu, která s výškou klesá, stává se matematický model (4)–(5) poměrně složitým. Řešení založené na takovém modelu výše formulovaných problémů vyžaduje použití numerických metod a počítače.

Numerické metody jsou metody, které redukují řešení jakéhokoli matematického problému na aritmetické výpočty. Ukažme si aplikaci numerické metody řešení na příkladu jednoduššího problému v mechanice, než je problém letu rakety. Zvažte problém volného pádu tělesa konstantní hmotnosti m pod vlivem neustálé gravitace. Pohybové rovnice beroucí v úvahu odpor vzduchu (to bylo diskutováno výše) mají tvar:

, (6)

Tady proti- vertikální složka vektoru rychlosti. Počáteční výška těla nad zemí nech být s 0 a počáteční rychlost - proti 0 .

Ukážeme si aplikaci metody, která se nazývá Eulerova metoda, na výpočet pohybu padajícího tělesa. Výpočet se provádí od počátečního okamžiku t= 0 s malým konečným časovým krokem

(n = 0, 1, 2, …). (8)

Aplikací podobného přístupu k rovnici (7) získáme vzorec Eulerovy metody pro výpočet posunutí padajícího tělesa v čase:

S počátečními hodnotami rychlosti a posunu a pomocí vzorců (8), (9) je možné krok za krokem hodnoty vypočítat proti A s v po sobě jdoucích časech. Tento proces se snadno naprogramuje a získané výsledky jsou zobrazeny ve formě číselné tabulky a graficky znázorněny.

Na obrázku je výsledek grafického zpracování numericky získané závislosti rychlosti pádu tělesa na čase pro určitý soubor parametrů m, k 1 a k 2 .

Závislost rychlosti pádu na čase s přihlédnutím k odporu vzduchu

Závislost nemá nic společného s lineární změnou rychlosti, která je získána bez zohlednění odporu vzduchu. Rychlost dosahuje konstantní hodnoty v procesu přibližování síly odporu vzduchu k síle gravitace. Když jsou si rovni, pohyb se stává jednotným.

Všimněte si, že mez rychlosti v ustáleném stavu lze vypočítat analyticky bez použití numerických metod. Rovnice ve vzorci (6) dv/dt(zrychlení) na nulu, dostaneme, že ustálená rychlost bude rovna

Na základě tohoto modelu je možné např. řešit optimalizační problém formulováním podmínky takto: parašutista vyskočí z určité výšky a letí bez otevření padáku; v jaké výšce (nebo po jaké době) by měl otevřít padák, aby měl v době přistání bezpečnou rychlost? Další problém: jak souvisí výška seskoku s plochou průřezu padáku (zahrnuto v k 2) aby byla přistávací rychlost bezpečná?

Významným problémem při použití popsané numerické metody je volba časového kroku t. Na této hodnotě závisí přesnost získaných výsledků a stabilita výpočetního postupu. Všechny tyto problémy jsou studovány v matematické disciplíně zvané „Numerické metody“ nebo „Výpočtová matematika“.

Seznámení studentů s počítačovými modely fyzikálních procesů v základním kurzu informatiky může probíhat na úrovni demonstračních příkladů. Na obrázku je ukázka cvičného dema, které simuluje let projektilu vystřeleného z děla. Úkolem, který je pro studenty stanoven, je vybrat parametry (počáteční rychlost a úhel výstřelu), které zajistí, že střela zasáhne cíl (tento program je součástí federální sbírky digitálních vzdělávacích zdrojů). Podobný vývoj je k dispozici v jiných vzdělávacích zdrojích.

Let projektilu vypáleného z děla

Ve vyšších třídách fyzikálního a matematického profilu by měla být problematika modelování fyzikálních procesů zahrnuta do profilového tréninkového programu. Můžeme nabídnout následující seznam modelovacích objektů souvisejících s pohybem těles:

Pohyb těles s přihlédnutím k odporu prostředí (volný pád, pohyb tělesa vrženého šikmo k horizontu, start rakety apod.);

· kmitavý pohyb kyvadla s přihlédnutím k odporu média, vynuceným kmitům, rezonanci atd.;

· pohyb nebeských těles (problém dvou těles);

· pohyb nabitých částic v elektrických polích.

Další typy úloh, na jejichž základě je možné realizovat modelování fyzikálních procesů, jsou spojeny s popisem fyzikálních procesů v aproximaci spojitého prostředí a v elektromagnetických polích:

· modelování procesu vedení tepla atd.;

· modelování rozložení statických - elektrických a magnetických - polí.

Výše byl podrobně rozebrán příklad modelování volného pádu tělesa v atmosféře, ve kterém jsou použity diferenciální rovnice a numerické metody jejich řešení. Pokud k pochopení tohoto přístupu nestačí matematická průprava studentů, pak je možné sestavit matematický model okamžitě ve formě konečných rozdílů, bez použití diferenciálních rovnic. Pojďme si ukázat, jak tento přístup aplikovat.

Připomínáme studentům, že zrychlení je přírůstek rychlosti za jednotku času a rychlost je přírůstek posunu za jednotku času: .

Znaménka přibližné rovnosti naznačují, že tyto poměry jsou tím přesnější, čím je interval menší t; v limitu t 0 se stávají přesnými.

Pokud v určitém okamžiku t hodnota 0 s má význam Svatý 0) a hodnotu proti- význam v(t 0), pak příště t 1 = t 0 + t budu mít:

Předpokládá se, že zrychlení se během této doby nezměnilo a zůstalo stejné A(t 0). Zde také používáme označení F 0 = F(t0), m = m(t0), tj. což znamená, že síla a hmotnost mohou být obecně proměnné.

Při výpočtu hodnot proti A s v následujících okamžicích můžete udělat totéž. Pokud jsou hodnoty známé v i A s i v tuto chvíli t i, Že

Tak se získají stejné vzorce Eulerovy metody, ale metodicky odlišné. V tomto případě se o diferenciálních rovnicích vůbec nemluví.

Při konstrukci tohoto a podobných modelů by studenti měli věnovat pozornost skutečnosti, že při dělení spojitého času na úseky délky t projevuje se jedna ze základních myšlenek informatiky o univerzálnosti diskrétní formy reprezentace informace, která se odráží jak v návrhu počítače, tak v mnoha aplikacích informatiky.

Všimněte si, že existuje mnoho počítačových programů, které simulují jednoduché fyzikální procesy. Implementují dialogové rozhraní, které umožňuje zadávat parametry, získávat tabulky, grafy, pohyblivé obrázky na obrazovce. Při jejich použití však zůstávají skryty fyzikální zákony určující proces, omezení modelu a možnosti jeho vylepšení. Takové programy jsou užitečné spíše jako ilustrativní, zjišťování faktů. Studenti studující informatiku na profilové úrovni by se měli orientovat na podrobnou analýzu matematických modelů a samostatný vývoj programů.

Klasifikace v jakékoli oblasti znalostí je nezbytná. Umožňuje zobecnit nasbírané zkušenosti, zefektivnit koncepty předmětné oblasti. Rychlý rozvoj metod matematického modelování a rozmanitost oblastí jejich použití vedly ke vzniku velkého množství modelů různých typů a k potřebě klasifikovat modely do těch kategorií, které jsou univerzální pro všechny modely nebo jsou nezbytné v například pole konstruovaného modelu. Uveďme příklad některých kategorií: oblast použití; zohlednění časového faktoru (dynamiky) v modelu; obor vědění; způsob prezentace modelů; přítomnost nebo nepřítomnost náhodných (nebo nejistých) faktorů; typ kritéria účinnosti a uložená omezení atd.

Analýzou matematické literatury jsme identifikovali nejběžnější rysy klasifikací:

1. Podle způsobu implementace (včetně formálního jazyka) lze rozdělit všechny matematické modely na analytické a algoritmické.

Analytické - modely, které používají standardní matematický jazyk. Simulace - modely, které využívají speciální modelovací jazyk nebo univerzální programovací jazyk.

Analytické modely lze zapsat jako analytické výrazy, tzn. ve formě výrazů obsahujících spočetný počet aritmetických operací a přechodů do limity, například: . Algebraický výraz je speciální případ analytického výrazu a ve výsledku vytváří přesnou hodnotu. Existují i ​​konstrukce, které umožňují najít výslednou hodnotu s danou přesností (například rozšíření elementární funkce v mocninné řadě). Modely využívající tuto techniku ​​se nazývají přibližné.

Analytické modely se zase dělí na teoretické a empirické modely. Teoretické modely odrážejí skutečné struktury a procesy ve zkoumaných objektech, to znamená, že vycházejí z teorie jejich práce. Empirické modely jsou budovány na základě studia reakcí objektu na změny podmínek prostředí. Zároveň se neuvažuje o teorii fungování objektu, samotný objekt je tzv. „černá skříňka“ a model je nějaká interpolační závislost. Empirické modely lze sestavit na základě experimentálních dat. Tato data jsou získávána přímo na studovaných objektech nebo pomocí jejich fyzikálních modelů.

Pokud některý proces nelze popsat formou analytického modelu, je popsán pomocí speciálního algoritmu nebo programu. Tento model je algoritmický. Při konstrukci algoritmických modelů se používají numerické nebo simulační přístupy. V numerickém přístupu je množina matematických vztahů nahrazena konečnorozměrnou analogií (např. přechod z funkce spojitého argumentu k funkci diskrétního argumentu). Poté je sestaven výpočetní algoritmus, tzn. posloupnosti aritmetických a logických operací. Nalezené řešení diskrétního analogu je bráno jako přibližné řešení původní úlohy. V simulačním přístupu se diskretizuje samotný simulační objekt, staví se modely jednotlivých prvků systému.

2. Podle formy znázornění matematických modelů existují:

1) Invariantní model - matematický model reprezentovaný soustavou rovnic (diferenciálních, algebraických) bez zohlednění metod řešení těchto rovnic.

2) Algebraický model - poměr modelů je spojen se zvolenou numerickou metodou řešení a je zapsán ve formě algoritmu (sekvence výpočtů).

3) Analytický model - je explicitní závislost požadovaných proměnných na daných hodnotách. Takové modely jsou získávány na základě fyzikálních zákonů nebo jako výsledek přímé integrace původních diferenciálních rovnic pomocí tabulkových integrálů. Zahrnují také regresní modely získané na základě výsledků experimentu.

4) Grafický model je prezentován ve formě grafů, náhradních obvodů, schémat a podobně. Aby bylo možné používat grafické modely, musí existovat pravidlo vzájemné korespondence mezi podmíněnými obrazy grafických prvků a komponentami invariantního matematického modelu.

3. V závislosti na typu kritéria účinnosti a uložených omezení se modely dělí na lineární a nelineární. V lineárních modelech jsou kritériem výkonu a uloženými omezeními lineární funkce proměnných modelu (jinak nelineární modely). Předpoklad lineární závislosti kritéria účinnosti a souboru uložených omezení na proměnné modelu je v praxi vcelku přijatelný. To umožňuje použití dobře vyvinutého lineárního programovacího zařízení pro generování řešení.

4. Přidělte s ohledem na časový faktor a oblast použití statické a dynamické modely. Pokud všechny veličiny zahrnuté v modelu nezávisí na čase, pak máme statický model objektu nebo procesu (jednorázový výsek informací o objektu). Tito. statický model je model, ve kterém čas není proměnná. Dynamický model umožňuje vidět, jak se objekt v čase mění.

5. V závislosti na počtu stran, které se rozhodují, existují dva typy matematických modelů: deskriptivní a normativní. V deskriptivním modelu nejsou žádní rozhodovatelé. Formálně je počet takových stran v popisném modelu nula. Typickým příkladem takových modelů jsou modely systémů hromadné obsluhy. Teorie spolehlivosti, teorie grafů, teorie pravděpodobnosti, statistická testovací metoda (metoda Monte Carlo) může být také použita k sestavení deskriptivních modelů.

Normativní model má mnoho aspektů. V zásadě lze rozlišit dva typy normativních modelů: optimalizační modely a herně teoretické modely. V optimalizačních modelech je hlavní úkol vývoje řešení technicky redukován na striktní maximalizaci nebo minimalizaci kritéria účinnosti, tzn. jsou určeny takové hodnoty regulovaných veličin, při kterých kritérium účinnosti dosáhne extrémní hodnoty (maximum nebo minimum).

Pro vývoj řešení zobrazených pomocí optimalizačních modelů se vedle klasických i nových variačních metod (extrémní vyhledávání) nejvíce používají metody matematického programování (lineární, nelineární, dynamické). Herně-teoretický model je charakterizován násobností počtu stran (alespoň dvou). Pokud existují dvě strany s opačnými zájmy, pak se používá teorie her, pokud je počet stran více než dvě a koalice a kompromisy mezi nimi nejsou možné, pak se uplatňuje teorie nekooperativních her. n osob.

6. V závislosti na přítomnosti nebo nepřítomnosti náhodných (nebo nejistých) faktorů, deterministické a stochastické matematické modely. V deterministických modelech jsou všechny vztahy, proměnné a konstanty přesně specifikovány, což vede k jedinečné definici výsledné funkce. Deterministický model je sestaven v případech, kdy lze faktory ovlivňující výsledek operace měřit nebo odhadovat s dostatečnou přesností a náhodné faktory buď chybí, nebo je lze zanedbat.

Pokud jsou některé nebo všechny parametry zahrnuté v modelu svou povahou náhodné proměnné nebo náhodné funkce, pak je model klasifikován jako stochastický model. Ve stochastických modelech jsou nastaveny distribuční zákony náhodných veličin, což vede k pravděpodobnostnímu odhadu výsledné funkce a realita je zobrazena jako nějaký náhodný proces, jehož průběh a výsledek je popsán určitými charakteristikami náhodných veličin: matematickým očekáváním, rozptyly, distribuční funkce atd. Konstrukce takového modelu je možná, pokud je k dispozici dostatečný faktografický materiál pro odhad potřebných rozdělení pravděpodobnosti nebo pokud teorie uvažovaného jevu umožňuje tato rozdělení teoreticky určit (na základě vzorců teorie pravděpodobnosti, limitních vět atd.). ).

7. V závislosti na cílech modelování existují popisné, optimalizační a manažerské modely. V deskriptivních (z lat. descriptio - popis) modelech se studují zákonitosti změny parametrů modelu. Například model pohybu hmotného bodu pod vlivem působících sil na základě druhého Newtonova zákona: . Nastavením polohy a zrychlení bodu v daném časovém bodě (vstupní parametry), hmotnosti (vlastní parametr) a zákona změny působících sil (vnější vlivy) je možné určit souřadnice bodu a rychlost. v libovolném okamžiku (výstupní data).

Optimalizační modely se používají k určení toho nejlepšího (optimálního), na základě nějakého kritéria, parametrů modelovaného objektu nebo způsobů řízení tohoto objektu. Optimalizační modely jsou sestaveny pomocí jednoho nebo více popisných modelů a mají několik kritérií pro určení optimality. Na rozsah vstupních parametrů lze uložit omezení ve formě rovností nebo nerovností spojených s vlastnostmi uvažovaného objektu nebo procesu. Příkladem optimalizačního modelu je sestavení jídelníčku v konkrétní dietě (vstupními údaji je kalorický obsah výrobku, cenové hodnoty apod.).

Modely řízení se používají k rozhodování v různých oblastech cílevědomé lidské činnosti, kdy se z celého souboru alternativ volí více alternativ a obecný rozhodovací proces je sledem takových alternativ. Například výběr zprávy pro propagaci z několika připravených studenty. Složitost úkolu spočívá jak v nejistotě ohledně vstupních dat (zpráva byla zpracována samostatně nebo byla použita práce někoho jiného), tak v cílech (vědecký charakter práce a její struktura, úroveň prezentace a úroveň studenta). příprava, výsledky experimentu a vyvozené závěry). Vzhledem k tomu, že optimalitu rozhodnutí učiněného ve stejné situaci lze interpretovat různými způsoby, není typ kritéria optimality v modelech řízení předem pevně stanoven. Metody tvorby kritérií optimality v závislosti na typu nejistoty jsou uvažovány v teorii volby a rozhodování, založené na teorii her a operačním výzkumu.

8. Podle výzkumné metody rozlišují analytické, numerické a simulační modely. Analytický model je takový formalizovaný popis systému, který umožňuje získat řešení rovnice v explicitní podobě pomocí známého matematického aparátu. Numerický model se vyznačuje závislostí, která umožňuje pouze dílčí numerická řešení pro konkrétní počáteční podmínky a kvantitativní parametry modelu. Simulační model je soubor popisů systému a vnějších vlivů, algoritmů pro fungování systému nebo pravidel pro změnu stavu systému pod vlivem vnějších a vnitřních poruch. Tyto algoritmy a pravidla neumožňují využít dostupné matematické metody pro analytické a numerické řešení, ale umožňují simulovat proces fungování systému a fixovat zájmové charakteristiky. Dále budou podrobněji zváženy některé analytické a simulační modely, přičemž studium těchto konkrétních typů modelů je spojeno se specifiky odborné činnosti studentů v této oblasti vzdělávání.

1.4. Grafické znázornění matematických modelů

V matematice lze formy souvislostí mezi veličinami reprezentovat rovnicemi tvaru nezávisle proměnné (argument), y– závislá proměnná (funkce). V teorii matematického modelování se nezávislá proměnná nazývá faktor a závislá proměnná se nazývá odezva. Navíc v závislosti na oblasti konstrukce matematického modelu je terminologie poněkud upravena. Některé příklady definic faktorů a reakcí v závislosti na oboru studia jsou uvedeny v tabulce 1.

Tabulka 1. Některé definice pojmů „faktor“ a „odpověď“

Při grafickém znázornění matematického modelu budeme faktory a odezvy považovat za proměnné, jejichž hodnoty patří do množiny reálných čísel.

Grafické znázornění matematického modelu je nějaká reakční plocha odpovídající umístění bodů v k- prostor dimenzionálního faktoru X. Lze si představit pouze jednorozměrné a dvourozměrné povrchy odezvy. V prvním případě se jedná o množinu bodů na skutečné rovině a v druhém o množinu bodů, které tvoří plochu v prostoru (k reprezentaci takových bodů je vhodné použít úrovňové čáry - způsob, jak znázornit reliéf plochy prostoru konstruovaného ve dvourozměrném faktoriálním prostoru X(obr. 8).

Oblast, ve které je definována plocha odezvy, se nazývá doména X *. Tato oblast je zpravidla pouze částí celkového faktorového prostoru X(X*Ì X) a vyznačuje se omezeními uloženými na řídicí proměnné x i, zapsané jako rovnost:

x i = Ci , i = 1,…, m;

fj(X) = Cj, j = 1,…, l

nebo nerovnosti:

x i min £ x i£ x i max , i= 1,…, k;

fj(X) £ Cj, j = 1,…, n,

Zároveň funkce fj(X) může záviset současně na všech proměnných a na některé z nich.

Omezení typu nerovnost charakterizují buď fyzická omezení procesů ve zkoumaném objektu (například teplotní omezení), nebo technická omezení spojená s provozními podmínkami objektu (například omezení řezné rychlosti, omezení zásob surovin).

Možnosti studia modelů v podstatě závisí na vlastnostech (reliéfu) povrchu odezvy, zejména na počtu „vrcholů“ na něm přítomných a jeho kontrastu. Počet vrcholů (dolů) určuje modalita reakční plochy. Pokud je v definiční oblasti na povrchu odezvy jeden vrchol (dole), je volán model unimodální.

Charakter změny funkce v tomto případě může být odlišný (obr. 9).

Model může mít body nespojitosti prvního druhu (obr. 9(a)), body nespojitosti druhého druhu (obr. 9(b)). Obrázek 9(c) ukazuje spojitě diferencovatelný unimodální model.

Pro všechny tři případy uvedené na obrázku 9 je splněn obecný požadavek na unimodalitu:

je-li W(x*) extrémem W, pak z podmínky x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*) následuje po W(x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) , je-li extrém minimum, to znamená, jak se vzdalujete od krajního bodu, hodnota funkce W(x) plynule klesá (roste).

Spolu s unimodálními modely jsou uvažovány modely polymodální (obr. 10).

Další důležitou vlastností plochy odezvy je její kontrast, který ukazuje citlivost výsledné funkce na měnící se faktory. Kontrast je charakterizován hodnotami derivátů. Ukažme si kontrastní charakteristiky na příkladu dvourozměrné odezvové plochy (obr. 11).

Tečka A se nachází na "svahu", který charakterizuje stejný kontrast pro všechny proměnné x i (i=1,2), tečka b se nachází v „rokli“, ve které je pro různé proměnné různý kontrast (máme špatnou podmíněnost funkce), bod S nachází se na „náhorní plošině“ s nízkým kontrastem napříč všemi proměnnými x i označuje blízkost extrému.

1.5. Základní metody konstrukce matematických modelů

Uveďme klasifikaci metod pro formalizovanou reprezentaci simulovaných systémů Volkova V.N. a Denisova A.A.. Autoři identifikovali metody analytické, statistické, množinově teoretické, lingvistické, logické, grafické. Základní terminologie, příklady teorií rozvíjejících se na základě popsaných tříd metod, jakož i rozsah a možnosti jejich aplikace jsou navrženy v příloze 1.

V praxi modelování systémů se nejvíce používají analytické a statistické metody.

1) Analytické metody pro konstrukci matematických modelů.

Základem terminologického aparátu analytických metod pro konstrukci matematických modelů jsou pojmy klasické matematiky (vzorec, funkce, rovnice a soustava rovnic, nerovnice, derivace, integrál atd.). Tyto metody se vyznačují srozumitelností a platností terminologie využívající jazyk klasické matematiky.

Na základě analytických konceptů vznikaly a rozvíjely se takové matematické teorie, jako je klasická matematická analýza (například metody pro studium funkcí) a moderní základy matematického programování a teorie her. Matematické programování (lineární, nelineární, dynamické, celočíselné atd.) navíc obsahuje jak prostředky zadání problému, tak rozšiřuje možnosti dokazování přiměřenosti modelu na rozdíl od řady jiných oblastí matematiky. Myšlenky optimálního matematického programování pro řešení ekonomických (zejména řešení problému optimálního řezání překližkové desky) problémů navrhl L.V. Kantorovič.

Vysvětleme vlastnosti metody na příkladu.

Příklad. Předpokládejme, že pro výrobu dvou typů výrobků A A V musí být použity tři druhy surovin. Současně pro výrobu jednotky výroby typu A Spotřebovávají se 4 jednotky. suroviny prvního typu, 2 jednotky. 2. a 3 3. druh. Pro výrobu výrobní jednotky typu V spotřebuje 2 jednotky. suroviny 1. druhu, 5 ks. 2. typ a 4 jednotky. 3. druh suroviny. V továrním skladu je 35 jednotek. surovin 1. druhu, 43 - 2., 40 - 3. druhu. Z prodeje jednotky výroby typu A továrna má zisk 5 tisíc rublů az prodeje výrobní jednotky typu V zisk je 9 tisíc rublů. Je nutné sestavit matematický model problému, který zajistí dosažení maximálního zisku.

Míry spotřeby surovin každého typu pro výrobu jednotky tohoto typu výrobku jsou uvedeny v tabulce. Udává také zisk z prodeje každého druhu výrobku a celkové množství surovin tohoto typu, které může podnik využít.

Označit podle x 1 A x 2 výstup typů A A V respektive. Náklady na materiál první třídy pro plán budou 4x 1 + 2x 2, a neměly by překročit zásoby, tzn. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Podobná omezení pro materiál druhého stupně:

2x 1 + 5x 2 43,

a na látku třetí třídy

3x 1 + 4x 2 40.

Zisk z prodeje x 1 jednotky výroby A a x 2 jednotky výroby B budou z = 5x 1+ 9x2(Objektivní funkce).

Dostali jsme model úlohy:

Grafické řešení úlohy je na obrázku 11.

Optimální (nejlepší, tj. maximální funkce z) řešení úlohy je v bodě A (řešení je vysvětleno v kapitole 5).

Mám to x 1=4,x 2=7, funkční hodnota z v bodě A: .

Hodnota maximálního zisku je tedy 83 tisíc rublů.

Kromě grafického existuje řada speciálních metod pro řešení problému (například simplexová metoda) nebo se používají aplikační balíčky, které je implementují. Podle typu účelové funkce se rozlišuje lineární a nelineární programování, podle charakteru proměnných se rozlišuje celočíselné programování.

Můžeme rozlišit společné rysy matematického programování:

1) zavedení konceptu objektivní funkce a omezení jsou prostředkem k nastolení problému;

2) je možné kombinovat heterogenní kritéria v jednom modelu (různé dimenze, v příkladu - zásoby surovin a zisk);

3) model matematického programování umožňuje dosáhnout hranice oblasti přípustných hodnot proměnných;

4) možnost implementace krokového algoritmu pro získání výsledků (krokový přístup k optimálnímu řešení);

5) jasnost, dosažená geometrickou interpretací problému, která pomáhá v případech, kdy není možné problém formálně vyřešit.

2) Statistické metody pro konstrukci matematických modelů.

Statistické metody pro konstrukci matematických modelů se rozšířily a začaly být široce používány s rozvojem teorie pravděpodobnosti v 19. století. Jsou založeny na pravděpodobnostních vzorcích náhodných (stochastických) událostí, které odrážejí skutečné jevy. Pojem "stochastický" - zpřesnění pojmu "náhodné", označuje předem určené, určité příčiny ovlivňující proces a pojem "náhodný" se vyznačuje nezávislostí na dopadu nebo nepřítomnosti takových příčin.

Statistické zákonitosti jsou prezentovány ve formě diskrétních náhodných proměnných a pravidelností ve vzhledu jejich hodnot nebo ve formě spojitých závislostí rozložení událostí (procesů). Teoretické základy pro budování stochastických modelů jsou podrobně popsány v kapitole 2.

Kontrolní otázky

1. Formulujte hlavní problém matematického modelování.

2. Definujte matematický model.

3. Uveďte hlavní nevýhody experimentálního přístupu ve studii.

4. Uveďte hlavní fáze stavby modelu.

5. Vyjmenujte typy matematických modelů.

6. Stručně popište typy modelů.

7. Jakou formu má matematický model prezentovaný geometricky?

8. Jak jsou definovány matematické modely analytického typu?

Úkoly

1. Vytvořte matematický model pro řešení problému a klasifikujte jej:

1) Určete největší kapacitu válcového kbelíku, jehož povrch (bez víka) je roven S.

2) Podnik zajišťuje pravidelnou výrobu výrobků s bezproblémovou dodávkou komponentů od dvou subdodavatelů. Pravděpodobnost odmítnutí dodávky od prvního ze subdodavatelů je , od druhého - . Najděte pravděpodobnost selhání v provozu podniku.

2. Malthusův model (1798) popisuje reprodukci populace rychlostí úměrnou její velikosti. V diskrétní formě je tento zákon geometrickou progresí: ; nebo Zákon, zapsaný jako diferenciální rovnice, je modelem exponenciálního populačního růstu a dobře popisuje růst buněčných populací bez jakéhokoli omezení: . Zadejte počáteční podmínky a předveďte, jak model funguje.

Výchozí informací při konstrukci procesů MM pro fungování systémů jsou údaje o účelu a provozních podmínkách zkoumaného (navrženého) systému. Tyto informace určují hlavní účel modelování, požadavky na MM, úroveň abstrakce a volbu schématu matematického modelování.

Pojem matematického schématu nám umožňuje považovat matematiku nikoli za metodu výpočtu, ale za metodu myšlení, prostředek utváření pojmů, což je nejdůležitější při přechodu od slovního popisu k formalizovanému zobrazení procesu jeho fungování ve formě nějakého MM.

Při použití matematického schématu by se v prvé řadě měla výzkumníka systému zajímat otázka adekvátnosti zobrazení v podobě konkrétních schémat reálných procesů ve zkoumaném systému, nikoli možnost získat odpověď. (výsledek řešení) na konkrétní výzkumnou otázku.

Například znázornění procesu fungování IVS pro kolektivní použití ve formě sítě frontových schémat umožňuje dobře popsat procesy probíhající v systému, ale se složitými zákony příchozích toků a toků služeb je neumožňuje získat výsledky v explicitní formě.

matematické schéma lze definovat jako vazbu při přechodu od smysluplného k formalizovanému popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí. Tito. existuje řetězec: deskriptivní model - matematické schéma - simulační model.

Každý konkrétní systém je charakterizován souborem vlastností, které jsou chápány jako hodnoty, které odrážejí chování simulovaného objektu (reálného systému) a zohledňují podmínky pro jeho fungování v interakci s vnějším prostředím (systémem) E.

Při konstrukci MM systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelování je regulována především volbou hranic „Systém-prostředí E“. Měl by být také vyřešen úkol zjednodušit MM, což pomáhá zvýraznit hlavní vlastnosti systému, odhodit sekundární, z hlediska účelu, modelování.

MM objektu simulace, tzn. systémy lze reprezentovat jako množinu veličin, které popisují proces fungování reálného systému a tvoří v obecném případě následující podmnožiny:

Součet -vstupů ovlivňuje

Souhrn vlivů prostředí

Sada vnitřních (vlastních) parametrů systému

Souhrn výstupních charakteristik systému

Ve vyjmenovaných souborech je možné rozlišit řízené a neřízené veličiny. V obecném případě jsou X, V, H, Y neprotínající se množiny, které obsahují jak deterministickou, tak stochastickou složku.

Pod MM objektu tedy rozumíme konečnou množinu proměnných spolu s matematickými vztahy mezi nimi a charakteristikami.

Modelování se nazývá deterministické, pokud jsou operátory F, Ф deterministické, tzn. pro konkrétní vstup je vstup deterministický. Deterministické modelování je speciální případ stochastického modelování. V praxi je při modelování objektů v oblasti systémové analýzy v počátečních fázích výzkumu racionálnější používat typická matematická schémata: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, QS atd.

Jako deterministické modely, kdy se při studiu nebere v úvahu náhodný fakt, se používají diferenciální, integrální a jiné rovnice pro reprezentaci systémů pracujících v nepřetržitém čase a pro reprezentaci systémů pracujících v diskrétním čase se používají konečné automaty a diferenční schémata.

Obecné pokyny

Účelem disciplíny "Metody optimálních řešení" je zvládnutí metodiky modelování obchodních a ekonomických procesů pro jejich analýzu a optimální řízení.

Účelem těchto pokynů je pomoci studentům při studiu základů ekonomického a matematického modelování, ukázat potřebné praktické dovednosti při aplikaci matematických metod při budování modelů vztahu indikátorů problémů obchodní praxe a na jejich základě vědecké zdůvodnění pro volbu manažerských rozhodnutí.

Předmětem studia předmětu jsou ekonomické mechanismy řízení obchodních organizací a podniků.

Předmětem předmětu jsou informační a funkční vazby obchodních a ekonomických systémů.

Výsledkem připuštění ke zkoušce z disciplíny „Metody optimálních řešení“ je vyřešený test se všemi úkoly označenými vyučujícím „Prospěl“. Započítaná kontrolní práce zůstává vyučujícímu, posudek se předkládá na pedagogicko-metodické oddělení. V případě nejasností podmínek úloh a při výskytu obtíží při řešení problémů je nutné konzultovat žáka s vedoucím učitelem. Pokud není řešená práce započtena, musí student připomínky odstranit a odevzdat kontrolu k přezkoušení.

PRAVIDLA PRO PŘIHLÁŠENÍ PRÁCE

Titulní strana sešitu by měla obsahovat název oboru, název fakulty, obor, příjmení, jméno, patronymie.

Na začátku práce nebo na titulní straně by měly být uvedeny počty splněných úkolů v kontrolním úkolu.

Před řešením každého problému je nutné zapsat celý jeho stav. Řešení problémů by mělo zahrnovat podrobné výpočty a stručné vysvětlení, ekonomickou analýzu získaných výsledků. Na konci testu uveďte seznam použité literatury a podepište se.

Úkol číslo 1

Sestavte ekonomicko-matematický model pro stanovení struktury jídel v podniku veřejného stravování, který poskytuje maximální zisk na základě stanovených norem pro cenu výrobků pro první a druhý chod uvedených v následující tabulce 1.

Údaje pro úkoly je třeba vybrat z tabulky 2 podle prvních písmen příjmení, jména a patronyma studenta. Například student Kornienko Nikolaj Sergejevič musí vyřešit problém s daty a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 41 =9 , a 42 = 6, a 44 = 4, a 54 = 19, b 1 = 450, b 2 = 310, b 3 = 410, b 4 = 315, b 5 = 400, c 1 = 89, c 2 = 41, c3 = 50.

Pro využití počítačů při řešení aplikovaných úloh je nejprve třeba aplikovaný problém „přeložit“ do formálního matematického jazyka, tzn. pro skutečný objekt, proces nebo systém, jeho matematický model.

Matematické modely v kvantitativní podobě pomocí logických a matematických konstrukcí popisují hlavní vlastnosti objektu, procesu nebo systému, jeho parametry, vnitřní a vnější souvislosti.

Pro sestavení matematického modelu nutné:

1. pečlivě analyzovat skutečný objekt nebo proces;
2. zvýraznit jeho nejvýznamnější rysy a vlastnosti;
3. definovat proměnné, tzn. parametry, jejichž hodnoty ovlivňují hlavní rysy a vlastnosti objektu;
4. popsat závislost základních vlastností objektu, procesu nebo systému na hodnotě proměnných pomocí logických a matematických vztahů (rovnice, rovnosti, nerovnice, logické a matematické konstrukce);
5. zvýraznit interní komunikace objekt, proces nebo systém pomocí omezení, rovnic, rovností, nerovnic, logických a matematických konstrukcí;
6. určit vnější vztahy a popsat je pomocí omezení, rovnic, rovnosti, nerovnic, logických a matematických konstrukcí.

Matematické modelování, kromě studia objektu, procesu nebo systému a sestavování jejich matematického popisu také zahrnuje:

1. konstrukce algoritmu, který modeluje chování objektu, procesu nebo systému;
2. zkouška přiměřenost modelu a objekt, proces nebo systém založený na výpočetním a přirozeném experimentu;
3. úprava modelu;
4. pomocí modelu.

Matematický popis studovaných procesů a systémů závisí na:

1. povahy reálného procesu nebo systému a je sestaven na základě zákonů fyziky, chemie, mechaniky, termodynamiky, hydrodynamiky, elektrotechniky, teorie plasticity, teorie pružnosti atd.
2. požadovaná spolehlivost a přesnost studia a studia reálných procesů a systémů.

Ve fázi výběru matematického modelu se stanoví: linearita a nelinearita objektu, procesu nebo systému, dynamika nebo statika, stacionárnost nebo nestacionarita, jakož i stupeň determinismu objektu nebo procesu podle studie. V matematickém modelování se záměrně abstrahuje od specifické fyzikální podstaty objektů, procesů nebo systémů a zaměřuje se především na studium kvantitativních závislostí mezi veličinami, které tyto procesy popisují.

Matematický model není nikdy zcela identický s uvažovaným objektem, procesem nebo systémem. Na základě zjednodušení, idealizace jde o přibližný popis objektu. Výsledky získané analýzou modelu jsou proto přibližné. Jejich přesnost je dána mírou adekvátnosti (shody) modelu a objektu.

Obvykle začíná konstrukcí a analýzou nejjednoduššího, nejhrubšího matematického modelu uvažovaného objektu, procesu nebo systému. V budoucnu, pokud je to nutné, je model zpřesněn, jeho korespondence s objektem je kompletnější.

Vezměme si jednoduchý příklad. Musíte určit povrch stolu. Obvykle se za tímto účelem měří jeho délka a šířka a poté se výsledná čísla vynásobí. Takovýto elementární postup vlastně znamená následující: skutečný objekt (plocha stolu) je nahrazen abstraktním matematickým modelem – obdélníkem. Rozměry získané jako výsledek měření délky a šířky povrchu stolu jsou přičítány obdélníku a plocha takového obdélníku je přibližně brána jako požadovaná plocha stolu.

Obdélníkový model stolu je však nejjednodušší a nejhrubší model. Při serióznějším přístupu k problému je před použitím obdélníkového modelu k určení oblasti tabulky nutné tento model zkontrolovat. Kontroly lze provádět následovně: změřte délky protilehlých stran stolu a také délky jeho úhlopříček a vzájemně je porovnejte. Pokud jsou s požadovaným stupněm přesnosti délky protilehlých stran a délky úhlopříček po párech stejné, pak lze povrch stolu skutečně považovat za obdélník. V opačném případě bude muset být obdélníkový model odmítnut a nahrazen obecným čtyřúhelníkovým modelem. Při vyšším požadavku na přesnost může být nutné model ještě zpřesnit, například zohlednit zaoblení rohů stolu.

Na tomto jednoduchém příkladu se to ukázalo matematický model není jednoznačně určen zkoumaným objektem, procesem nebo systémem. Pro stejnou tabulku můžeme přijmout buď obdélníkový model, nebo složitější model obecného čtyřúhelníku, případně čtyřúhelník se zaoblenými rohy. Výběr jednoho nebo druhého modelu je dán požadavkem na přesnost. S rostoucí přesností se model musí komplikovat, zohledňovat nové a nové vlastnosti studovaného objektu, procesu nebo systému.

Uvažujme další příklad: studium pohybu klikového mechanismu (obr. 2.1).

Rýže. 2.1.

Pro kinematickou analýzu tohoto mechanismu je nejprve nutné sestavit jeho kinematický model. Pro tohle:

1. Mechanismus nahrazujeme jeho kinematickým diagramem, kde jsou vyměněny všechny články tvrdé vazby;
2. Pomocí tohoto schématu odvodíme pohybovou rovnici mechanismu;
3. Jejich derivováním získáme rovnice rychlostí a zrychlení, což jsou diferenciální rovnice 1. a 2. řádu.

Napišme tyto rovnice:

kde C 0 je krajní pravá poloha jezdce C:

r je poloměr kliky AB;

l je délka ojnice BC;

- úhel natočení kliky;

Přijato transcendentální rovnice představují matematický model pohybu plochého axiálního klikového mechanismu založený na následujících zjednodušujících předpokladech:

1. nezajímaly nás konstruktivní formy a uspořádání hmot obsažených v mechanismu těles a všechna tělesa mechanismu jsme nahradili úsečkami. Ve skutečnosti mají všechny články mechanismu hmotu a poměrně složitý tvar. Například ojnice je složitý prefabrikovaný spoj, jehož tvar a rozměry samozřejmě ovlivní pohyb mechanismu;
2. při pohybu uvažovaného mechanismu jsme také nebrali v úvahu elasticitu těles zařazených do mechanismu, tzn. všechny články byly považovány za abstraktní absolutně tuhá tělesa. Ve skutečnosti jsou všechna tělesa obsažená v mechanismu elastická tělesa. Při pohybu mechanismu se nějak zdeformují, může v nich docházet i k elastickým vibracím. To vše samozřejmě ovlivní i pohyb mechanismu;
3. nebrali jsme v úvahu výrobní chybu článků, mezery v kinematických dvojicích A, B, C atp.

Je tedy důležité ještě jednou zdůraznit, že čím vyšší jsou požadavky na přesnost výsledků řešení úlohy, tím větší je potřeba brát v úvahu při sestavení matematického modelu vlastnosti studovaného objektu, procesu nebo systému. Je však důležité se v tu chvíli zastavit, protože je to obtížné matematický model se může změnit v obtížný úkol.

Model je nejjednodušeji sestaven, když jsou dobře známé zákony, které určují chování a vlastnosti objektu, procesu nebo systému, a existuje mnoho praktických zkušeností s jejich aplikací.

Složitější situace nastává, když naše znalosti o zkoumaném objektu, procesu nebo systému jsou nedostatečné. V tomto případě, kdy sestavení matematického modelu musíte vytvořit další předpoklady, které mají povahu hypotéz, takový model se nazývá hypotetický. Závěry vyvozené ze studia takového hypotetického modelu jsou podmíněné. Pro ověření závěrů je nutné porovnat výsledky studia modelu na počítači s výsledky celoplošného experimentu. Otázka použitelnosti určitého matematického modelu pro studium uvažovaného objektu, procesu nebo systému tedy není matematickou otázkou a nelze ji řešit matematickými metodami.

Hlavním kritériem pravdy je experiment, praxe v nejširším slova smyslu.

Sestavení matematického modelu v aplikovaných problémech je to jedna z nejsložitějších a nejodpovědnějších etap práce. Zkušenosti ukazují, že výběr správného modelu v mnoha případech znamená vyřešení problému z více než poloviny. Obtížnost této fáze spočívá v tom, že vyžaduje kombinaci matematických a speciálních znalostí. Proto je velmi důležité, aby při řešení aplikovaných úloh měli matematici speciální znalosti o předmětu a jejich partneři, specialisté, určitou matematickou kulturu, výzkumné zkušenosti ve svém oboru, znalost počítačů a programování.

Matematická schémata pro modelování systémů

Výhody a nevýhody simulačního modelování

Hlavní důstojnost simulační modelování při studiu složitých systémů:

schopnost prozkoumat rysy procesu fungování systému S za jakýchkoli podmínek;

· díky použití počítačů je doba trvání testů výrazně zkrácena ve srovnání s experimentem v plném rozsahu;

· výsledky plnohodnotných testů reálného systému nebo jeho částí lze použít pro simulační modelování;

· flexibilita změny struktury, algoritmů a parametrů modelovaného systému při hledání optimální varianty systému;

Pro komplexní systémy je to jediná prakticky implementovaná metoda pro studium procesu fungování systémů.

Hlavní nedostatky simulační modelování:

· pro kompletní analýzu charakteristik procesu fungování systémů a hledání optimální varianty je nutné opakovaně reprodukovat simulační experiment s obměnou výchozích dat problému;

velká spotřeba strojového času.

Efektivita strojové simulace. Při modelování je nutné zajistit maximální efektivitu modelu systému. Účinnost je obvykle definován jako nějaký rozdíl mezi některými ukazateli hodnoty výsledků získaných při provozu modelu a nákladů, které byly investovány do jeho vývoje a tvorby.

Efektivitu simulačního modelování lze hodnotit podle řady kritérií:

přesnost a spolehlivost výsledků simulace,

čas stavby a práce s modelem M,

náklady na strojové zdroje (čas a paměť),

náklady na vývoj a provoz modelu.

Nejlepším měřítkem účinnosti je porovnání získaných výsledků s reálnými studiemi. Pomocí statistického přístupu se s určitou mírou přesnosti (v závislosti na počtu implementací počítačového experimentu) získávají zprůměrované charakteristiky chování systému.

Celkové náklady na počítačový čas jsou součtem vstupního a výstupního času pro každý simulační algoritmus, času pro výpočetní operace, přičemž se bere v úvahu přístup k RAM a externím zařízením, stejně jako složitost každého simulačního algoritmu a plánování experimentu.

Matematická schémata.Matematický model je soubor matematických objektů (čísla, proměnné, množiny, vektory, matice atd.) a vztahů mezi nimi, odpovídajícím způsobem odrážející fyzikální vlastnosti vytvářeného technického objektu. Proces vytváření matematického modelu a jeho použití pro analýzu a syntézu se nazývá matematické modelování.

Při konstrukci matematického modelu systému je nutné vyřešit otázku jeho úplnosti. Úplnost modelu je regulována především volbou „systému S– středa E". Měl by být také vyřešen problém zjednodušení modelu, který pomáhá identifikovat v závislosti na účelu modelování hlavní vlastnosti systému a vyřadit ty vedlejší.

Při přechodu od smysluplného k formálnímu popisu procesu fungování systému s přihlédnutím k vlivu vnějšího prostředí uplatňovat matematické schéma jako článek řetězu "deskriptivní model - matematické schéma - matematický (analytický a (a) simulační) model".

Formální objektový model. Objektový model (systém S) lze reprezentovat jako soubor veličin popisujících proces fungování reálného systému:

sada vstupních akcí v systému

x i = X,i =;

soubor vlivů prostředí

proti j = PROTI, j= ;

soubor vnitřních (vlastních) parametrů systémů

h k = H, k =;

soubor výstupních charakteristik systému

yj = Y, j =.

Obecně x i, vj, hk, yj jsou prvky disjunktních podmnožin a obsahují jak deterministické, tak stochastické složky.

Vstupní vlivy, vlivy prostředí E a vnitřní parametry systému jsou nezávislý (exogenní) proměnné, které ve vektorovém tvaru mají tvar ( t) = (X 1 (t), X 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (proti 1 (t), proti 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nH(t)) a výstupní charakteristiky jsou závislý (endogenní) proměnné a ve vektorovém tvaru mají tvar: ( t) = (na 1 (t), na 2 (t), …, v nY(t)). Můžete rozlišovat mezi spravovanými a nespravovanými proměnnými.

Proces provozu systému S popsaný včas provozovatelem F S, který transformuje exogenní proměnné na endogenní v souladu se vztahy formy

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Množina závislostí výstupních charakteristik systému na čase y j(t) pro všechny typy j = volal výstupní trajektorii (t). Nazývá se závislost (2.1). zákon o fungování systému F S, který je specifikován ve formě funkce, funkčních, logických podmínek, v algoritmické, tabulkové formě nebo ve formě slovního korespondenčního pravidla. Funkční algoritmus AS je metoda pro získání výstupních charakteristik s přihlédnutím k vstupním akcím ( t), vlivy prostředí ( t) a vlastní parametry systému ( t). Stejný zákon fungování F S systémy S lze realizovat různými způsoby, tzn. pomocí mnoha různých algoritmů fungování TAK JAKO.

Matematické modely jsou tzv dynamický(2.1), pokud matematické vztahy popisují chování simulačního objektu (systému) v čase t, tj. odráží dynamické vlastnosti.

Pro statický modely matematický model je mapování mezi dvěma podmnožinami vlastností modelovaného objektu Y A ( X, V, H) v určitém bodě, který ve vektorové podobě lze zapsat jako

= F(, , ). (2.2)

Vztahy (2.1) a (2.2) lze specifikovat různými způsoby: analyticky (pomocí vzorců), graficky, tabulkově atd. Tyto vztahy lze získat prostřednictvím vlastností systému S v konkrétních časech, nazývaných státy. Stav systému S charakterizované vektory

" = (z" 1, z " 2, …, z" k) A "" = (z"" 1 ,z"" 2 , …, z"" k),

Kde z" 1 = z 1 (t"), z" 2 = z 2 (t"), …, z" k= z k(t") v tuto chvíli t"Î ( t 0 , T); z"" 1 = z 1 (t""), z"" 2 = z 2 (t""), …, z"" k = z k(t"") v tuto chvíli t""Î ( t 0 , T) atd. k = .

Pokud vezmeme v úvahu proces fungování systému S jako postupná změna stavů z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), pak je lze interpretovat jako souřadnice bodu v k-dimenzionální fázový prostor. Navíc každá implementace procesu bude odpovídat určité fázové trajektorii. Zavolá se množina všech možných stavových hodnot ​​(). státní prostor simulační objekt Z, a
z kÎ Z.

Stavy systému S v době, kdy t 0 < t* £ T jsou zcela určeny počátečními podmínkami 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [Kde z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], vstupní akce ( t), vnitřní parametry ( t) a vlivy prostředí ( t), který se odehrál v časovém intervalu t* – t 0 pomocí dvou vektorových rovnic

(t) = Ф( 0 , , , , t); (2.3)

(t) = F(, t). (2.4)

První rovnice pro počáteční stav 0 a exogenní proměnné , , určuje vektorovou funkci ( t), a druhý podle získané hodnoty stavů ( t) jsou endogenní proměnné na výstupu systému ( t). Řetězec rovnic objektu "vstup - stavy - výstup" tedy umožňuje určit vlastnosti systému

(t) = F[Ф( 0 , , , , t)]. (2.5)

V obecném případě čas v modelu systému S lze uvažovat o intervalu simulace (0, T) spojité i diskrétní, tzn. kvantované do segmentů délky D tčasové jednotky každý, kdy T = m D t, Kde m = je počet diskretizačních intervalů.

Tedy pod matematický model objekt (reálný systém) rozumí konečné podmnožině proměnných (( t), (t), (t)) spolu s matematickými vztahy mezi nimi a charakteristikami ( t).

Pokud matematický popis simulačního objektu neobsahuje prvky náhodnosti nebo se s nimi nepočítá, tzn. pokud můžeme předpokládat, že v tomto případě stochastické vlivy vnějšího prostředí ( t) a stochastické vnitřní parametry ( t) chybí, pak je zavolán model deterministický v tom smyslu, že charakteristiky jsou jednoznačně určeny deterministickými vstupními akcemi

(t) = F(, t). (2.6)

Je zřejmé, že deterministický model je speciálním případem stochastického modelu.

Typická matematická schémata. V praxi modelování objektů v oblasti systémového inženýrství a systémové analýzy je v počátečních fázích systémového výzkumu racionálnější používat typická matematická schémata Klíčová slova: diferenciální rovnice, konečné a pravděpodobnostní automaty, systémy řazení, Petriho sítě, agregační systémy atd.

Typická matematická schémata mají výhodu v jednoduchosti a srozumitelnosti. Jako deterministické modely, kdy se při studiu neberou v úvahu náhodné faktory, se používají diferenciální, integrální, integro-diferenciální a další rovnice pro reprezentaci systémů pracujících v nepřetržitém čase a pro reprezentaci systémů fungujících v diskrétní čas. Jako stochastické modely (beroucí v úvahu náhodné faktory) se pro reprezentaci systémů s diskrétním časem používají pravděpodobnostní automaty a pro reprezentaci systémů se spojitým časem se používají systémy řazení. Petriho sítě se používají k analýze vztahů příčina-následek ve složitých systémech, kde paralelně běží několik procesů. K popisu chování spojitých a diskrétních, deterministických a stochastických systémů (například ASOIU) lze použít zobecněný (univerzální) přístup založený na agregačním systému. V agregačním popisu je komplexní objekt (systém) rozdělen na konečný počet částí (subsystémů), přičemž jsou zachovány souvislosti, které zajišťují interakci částí.

Při konstrukci matematických modelů procesů fungování systémů lze tedy rozlišit tyto hlavní přístupy: spojité-deterministické ( D-systém); diskrétní deterministický ( F-systém); diskrétní stochastický ( R-systém); spojitý-stochastický ( Q-systém); síť ( N-systém); zobecněné nebo univerzální ( A-systém).

2.2. Kontinuálně deterministické modely ( D-systém)

Základní poměry. Zvažte vlastnosti spojitě deterministického přístupu využívajícího jako příklad diferenciální rovnice jako matematické modely. Diferenciální rovnice nazýváme takové rovnice, ve kterých funkce jedné nebo více proměnných budou neznámé a rovnice zahrnuje nejen funkce, ale i jejich derivace různých řádů. Pokud jsou neznámé funkce několika proměnných, pak se nazývají rovnice parciální diferenciální rovnice, jinak se při uvažování funkce jedné nezávisle proměnné volají rovnice obyčejné diferenciální rovnice.

Matematický vztah pro deterministické systémy (2.6) v obecné podobě bude

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

Kde " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, y n) a = ( F 1 , F 2 , …, f n) – n-rozměrné vektory; (, t) je vektorová funkce, která je definována na nějakém ( n+1)-rozměrný (, t) nastaven a je nepřetržitý.

Matematická schémata tohoto druhu se nazývají D-schémata(anglicky dynamic), odrážejí dynamiku zkoumaného systému a čas se obvykle používá jako nezávislá proměnná, na které závisí neznámé požadované funkce. t.

V nejjednodušším případě má obyčejná diferenciální rovnice tvar:

y"(t) = F(y, t). (2.8)

Zvažte nejjednodušší příklad formalizace procesu fungování dvou elementárních obvodů různé povahy: mechanického S M (kyvadlo, obr. 2.1, A) a elektrické S K (oscilační obvod, obr. 2.1, b).

Rýže. 2.1. Elementární systémy

Proces malých kmitů kyvadla popisuje obyčejná diferenciální rovnice

m M l M2( d 2 F(t)/dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

Kde m M , l M je hmotnost a délka závěsu kyvadla; G- gravitační zrychlení; F(t) je úhel vychýlení kyvadla v časovém okamžiku t.

Z této rovnice volného kmitání kyvadla lze nalézt odhady sledovaných charakteristik. Například perioda kyvadla

T M = 2p.

Podobně procesy v elektrickém oscilačním obvodu jsou popsány obyčejnou diferenciální rovnicí

L K( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

Kde L K , C K - indukčnost a kapacita kondenzátoru; q(t) je nabití kondenzátoru v okamžiku času t.

Z této rovnice lze získat různé odhady charakteristik procesu v oscilačním obvodu. Například perioda elektrických oscilací

T M = 2p.

Pochopitelně zavedením notace h 2 = m M l M2= L K , h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1/ C K , F(t) = q(t) = z(t), získáme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu popisující chování tohoto uzavřeného systému:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

Kde h 0 , h 1 , h 2 – parametry systému; z(t) je aktuální stav systému
čas t.

Chování těchto dvou objektů lze tedy studovat na základě obecného matematického modelu (2.9). Kromě toho je třeba poznamenat, že chování kyvadla (systém S M) lze studovat pomocí elektrického oscilačního obvodu (systém S NA).

Pokud je studovaný systém S(kyvadlo nebo okruh) interaguje s okolím E, poté se objeví vstupní akce X(t) (vnější síla pro kyvadlo a zdroj energie pro obvod) a spojitě deterministický model takového systému bude vypadat takto:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = X(t). (2.10)

Z hlediska obecného matematického modelu (viz část 2.1) X(t) je vstupní (řídicí) akce a stav systému S v tomto případě lze považovat za výstupní charakteristiku, tzn. výstupní proměnná je stav systému v daném časovém okamžiku y = z.

Možné aplikace D-systém. Pro popis lineárních řídicích systémů, jako každý dynamický systém, mají nehomogenní diferenciální rovnice konstantní koeficienty

kde , ,…, jsou neznámá funkce času a její deriváty; a jsou to známé funkce.

Pomocí například softwarového balíku VisSim, určeného pro simulaci procesů v řídicích systémech, které lze popsat diferenciálními rovnicemi, simulujeme řešení obyčejné nehomogenní diferenciální rovnice

kde je nějaká požadovaná funkce času na segmentu za nulových počátečních podmínek, vezmeme h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Znázorněním dané rovnice vzhledem k nejvyšší z derivací dostaneme rovnici

které lze modelovat pomocí sady stavebních bloků balíčku VisSim: aritmetické bloky - Gain (násobení konstantou), Summing-Junction (sčítání); integrační bloky - Integrátor (numerická integrace), Přenosová funkce (nastavení rovnice prezentované jako přenosová funkce); bloky pro nastavení signálů - Const (konstanta), Step (jediná funkce ve formě "kroku"), Ramp (lineárně rostoucí signál); bloky přijímače signálu - Plot (zobrazení v časové oblasti signálů, které jsou analyzovány výzkumníkem během simulace).

Na Obr. 2.2 ukazuje grafické znázornění této diferenciální rovnice. Vstup levého integrátoru odpovídá proměnné , vstup prostředního integrátoru odpovídá a vstup pravého integrátoru odpovídá . Výstup pravého integrátoru odpovídá proměnné y.

Speciální případ dynamických systémů popsaných D- schémata jsou automatické řídicí systémy(ACS)a regulace(SAR). Reálný objekt je prezentován ve formě dvou systémů: řídícího a řízeného (řídicí objekt). Struktura vícerozměrného automatického řídicího systému obecného pohledu je znázorněna na Obr. 2.3, kde endogenní proměnné: ( t) je vektor vstupních (nastavení) akcí; ( t) je vektorem rušivých vlivů; " (t) je vektor chybových signálů; "" (t) je vektor řídících akcí; exogenní proměnné: ( t) je vektor stavu systému S; (t) je vektor výstupních proměnných, obvykle ( t) = (t).

Rýže. 2.2. Grafické znázornění rovnice

Řídicí systém je soubor softwarových a hardwarových nástrojů, které zajišťují dosažení určitého cíle řídicím objektem. Jak přesně objekt dosáhne daného cíle, lze (pro jednorozměrný systém) posoudit podle souřadnic stavu y(t). Rozdíl mezi danými y zadek ( t) a platné y(t) chyba kontroly je chyba kontroly " (t) = y zadek ( t) – y(t). Pokud předepsaný zákon změny regulované veličiny odpovídá zákonu změny vstupní (nastavení) akce, tzn. X(t) = y zadek ( t), Že " (t) = X(t) – y(t).

Systémy, které řídí chyby " (t) = 0 jsou vždy volány ideál. V praxi je implementace ideálních systémů nemožná. Úkolem automatického řídicího systému je měnit proměnnou y(t) podle daného zákona s určitou přesností (s dovolenou chybou). Parametry systému musí poskytovat požadovanou přesnost řízení a také stabilitu systému v přechodném procesu. Pokud je systém stabilní, pak analyzujte chování systému v čase, maximální odchylku regulované veličiny y(t) v přechodném procesu, doba přechodného procesu atd. Řád diferenciální rovnice a hodnota jejích koeficientů jsou zcela určeny statickými a dynamickými parametry systému.

Rýže. 2.3. Struktura automatického řídicího systému:

CS je řídicí systém; OS - ovládací objekt

Takže použití D-schemes umožňuje formalizovat proces fungování spojitě deterministických systémů S a vyhodnocovat jejich hlavní charakteristiky pomocí analytického nebo simulačního přístupu implementovaného ve formě vhodného jazyka pro modelování spojitých systémů nebo pomocí analogových a hybridních výpočetních nástrojů.

2.3. Diskrétně-deterministické modely ( F-systém)

Základní poměry. Zvažte rysy diskrétně-deterministického přístupu na příkladu použití teorie automatů jako matematického aparátu. Systém je reprezentován jako automat jako zařízení se vstupními a výstupními signály, které zpracovává diskrétní informace a mění své vnitřní stavy pouze v přípustných časech. státní automat se nazývá automat, jehož množiny vnitřních stavů, vstupních a výstupních signálů jsou konečné množiny.

Abstraktně lze konečný automat reprezentovat jako matematické schéma ( F-systém) charakterizované šesti prvky: konečnou množinou X vstupní signály (vstupní abeceda); konečná množina Y výstupní signály (výstupní abeceda); konečná množina Z vnitřní stavy (vnitřní abeceda nebo abeceda států); výchozí stav z 0 , z 0 Î Z; přechodová funkce j( z, X); výstupní funkce y( z, X). Daný automat F-systém: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, pracuje v diskrétním čase, jehož momenty jsou cykly, z nichž každý odpovídá konstantním hodnotám vstupních a výstupních signálů a vnitřním stavům. Označme stav, jakož i odpovídající vstupní a výstupní signály t-th beat at t= 0, 1, 2, …, až z(t), X(t),y(t). Zároveň podle stavu z(0) = z 0 a z(t)Î Z, X(t)Î X, y(t)Î Y.

Abstraktní stavový automat má jeden vstupní a jeden výstupní kanál. V každém okamžiku t= 0, 1, 2, ... diskrétní čas F- stroj je v určitém stavu z(t) ze sady Z stavy automatu a v počátečním okamžiku t= 0 je vždy v počátečním stavu z(0) = z 0 V tuto chvíli t, být schopen z(t), je automat schopen vnímat signál na vstupním kanálu X(t)Î X a dát signál na výstupním kanálu y(t) = y[ z(t),X(t)], přecházející do stavu z( t+1) = j[ z(t), X(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y. Abstraktní konečný automat implementuje určité mapování množiny slov ve vstupní abecedě X za mnoho slov víkendu
abeceda Y. Jinými slovy, pokud je vstup konečného automatu nastaven na počáteční stav z 0 , zadejte písmena vstupní abecedy v určitém pořadí X(0), X(1), X(2), …, tzn. vstupní slovo, pak se na výstupu automatu postupně objeví písmena výstupní abecedy y(0), y(1), y(2), …, tvořící výstupní slovo.

Provoz konečného automatu tedy probíhá podle následujícího schématu: v každém t-tý cyklus na vstup automatu, který je ve stavu z(t), je dán nějaký signál X(t), na který reaguje přechodem ( t+1) cyklus do nového stavu z(t+1) a vydává nějaký výstupní signál. Výše uvedené lze popsat následujícími rovnicemi: pro F- automat prvního druhu, zvaný též Miles stroj,

z(t+1) = j[ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y[ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

Pro F- automat druhého druhu

z(t+1) = j[ z(t), X(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y[ z(t), X(t- 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Automat druhého druhu, pro který

y(t) = y[ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

těch. výstupní funkce nezávisí na vstupní proměnné X(t), je nazýván Mooreův stroj.

Tedy rovnice (2.15)-(2.19), které zcela definují
F-automat, jsou speciálním případem rovnic (2.3) a (2.4), kdy
Systém S- deterministický a jeho jediný vstup přijímá diskrétní signál X.

Podle počtu stavů se rozlišují konečné automaty s pamětí a bez paměti. Automaty s pamětí mají více než jeden stav, zatímco automaty bez paměti (kombinační nebo logické obvody) mají pouze jeden stav. Přitom podle (2.16) funguje kombinační obvod tak, že každému vstupnímu signálu přiřadí X(t) definovaný výstupní signál y(t), tj. implementuje logickou funkci formuláře

y(t) = y[ X(t)], t= 0, 1, 2, … .

Tato funkce se nazývá booleovská abeceda X A Y, které patří k hodnotám signálu X A y, se skládá ze dvou písmen.

Podle povahy počítání diskrétního času se konečné automaty dělí na synchronní a asynchronní. V synchronním F-v automatech jsou časové body, ve kterých automat "čte" vstupní signály, určeny vynucenými synchronizačními signály. Po dalším synchronizačním signálu, s přihlédnutím ke "čtenému" a v souladu s rovnicemi (2.15) - (2.19), dojde k přechodu do nového stavu a je vydán výstupní signál, po kterém může automat vnímat další hodnotu vstupní signál. Odezva automatu na každou hodnotu vstupního signálu tedy končí v jednom cyklu, jehož trvání je určeno intervalem mezi sousedními synchronizačními signály. Asynchronní F- stroj čte vstupní signál nepřetržitě, a proto reaguje na dostatečně dlouhý vstupní signál konstantní hodnoty X, může, jak vyplývá z (2.15)-(2.19), několikrát změnit stav vydáním odpovídajícího počtu výstupních signálů, dokud nepřejde do stabilního stavu, který již nelze daným vstupním signálem změnit.

Možné aplikace F-systém. K nastavení finále F-automat, je nutné popsat všechny prvky sestavy F= <Z, X, Y, y, j, z 0 >, tzn. vstupní, vnitřní a výstupní abecedy a také funkce přechodů a výstupů a mezi množinou stavů je nutné vybrat stav z 0 , ve kterém je automat ve stavu t= 0. Existuje několik způsobů, jak nastavit práci F-stroje, ale nejčastěji se používají tabulkové, grafické a maticové.

V tabulkové metodě jsou zadány tabulky přechodů a výstupů, jejichž řádky odpovídají vstupním signálům automatu a sloupce jeho stavům. První sloupec vlevo odpovídá výchozímu stavu z 0 Na křižovatce i-tý řádek a k sloupec tabulky přechodů, odpovídající hodnota j( z k, x i) přechodové funkce a ve výstupní tabulce - odpovídající hodnota y( z k, x i) výstupní funkce. Pro F-Moore stroj, oba stoly lze kombinovat.

Popis práce F-mealy automat tabulky přechodů j a výstupů y jsou znázorněny v tabulce. 2.1 a popis F-Mooreův automat - podle přechodové tabulky (tabulka 2.2).

Tabulka 2.1

Tabulka 2.2

Příklady tabulkového způsobu nastavení F- Mili stroj F 1 jsou uvedeny v tabulce. 2.3 a pro F-Mooreův stroj F 2 - v tabulce. 2.4.

Tabulka 2.3

Tabulka 2.4

V grafickém způsobu zadání konečného automatu se používá koncept orientovaného grafu. Graf automatu je množina vrcholů odpovídajících různým stavům automatu a spojujících vrcholy oblouků grafu odpovídající určitým přechodům automatu. Pokud je vstupní signál x k způsobí přeměnu stavu z i do stavu z j, pak na grafu automatu oblouk spojující vrchol z i horní z j, označené x k. Aby bylo možné definovat funkci výstupů, musí být oblouky grafu označeny odpovídajícími výstupními signály. U automatů Mealy se toto označení provádí následovně: pokud vstupní signál x k ovlivňuje stát z i, pak dostaneme oblouk vycházející z z i a označeny x k; tento oblouk je navíc označen výstupním signálem y= y( z i, x k). Pro Mooreův automat je podobné označení grafu následující: je-li vstupní signál x k, působící na nějaký stav automatu, způsobí přechod do stavu z j, pak oblouk směřuje k z i a označeny x k, dodatečně oslavit víkend
signál y= y( z j, x k).

Na Obr. 2.4. A, b podle dřívějších tabulek F- Mili automaty F 1 a Moura F 2 resp.

Rýže. 2.4. Grafy automatů a - Mealy a b - Moore

S maticovou specifikací konečného automatu je matice spojení automatu čtvercová S=||s ij||, řádky odpovídají počátečním stavům a sloupce odpovídají přechodovým stavům. Živel s ij = x k/y s stojící na křižovatce
i-tý řádek a j sloupec, v případě automatu Mealy odpovídá vstupnímu signálu x k, což způsobuje přechod ze stavu z i do stavu z j a výstupní signál y s vydané tímto přechodem. Pro stroj Mili F 1 diskutovaný výše, matice spojení má tvar:

X 2 /y 1 – X 1 /y 1

C 1 = X 1 /y 1 – X 2 /y 2 .

X 1 /y 2 X 2 /y 1 –

Pokud přechod ze stavu z i do stavu zj nastává působením několika signálů, maticového prvku c ij je sada "vstupně-výstupních" párů pro tento přechod, spojených znaménkem disjunkce.

Pro F-Mooreův strojní prvek s ij se rovná množině vstupních signálů na přechodu ( z i, z j) a výstup je popsán vektorem výstupů

= y( z k) ,

i-tá složka je výstupní signál indikující stav z i.

Pro výše uvedené F-Mooreův stroj F2 spojovací matice a výstupní vektor mají tvar:

–X 1 –X 2 –na 1

–X 2 – –X 1 na 1

C 2 = –X 2 – –X 1 ; = y 3

X 2 –X 1 – –na 2

X 2 –X 1 – –na 3

Pro deterministické automaty je splněna podmínka jednoznačnosti přechodu: automat v určitém stavu nemůže přejít do více než jednoho stavu působením jakéhokoli vstupního signálu. S ohledem na grafický způsob nastavení F-automat, to znamená, že v grafu automatu dvě nebo více hran označených stejným vstupním signálem nemůže vystoupit z žádného vrcholu. A to v matici zapojení automatu S v každém řádku se žádný vstupní signál nesmí objevit více než jednou.

Pro F- stav stroje z k volal udržitelného, pokud pro jakýkoli vstup x i ОX, pro které j( z k, x i) = z k , j( z k,x i) = y k. F- nazývá se stroj asynchronní pokud každý stát z k ОZ stále.

Koncept v diskrétně-deterministickém přístupu ke studiu vlastností objektů na modelech je tedy matematickou abstrakcí, která je vhodná pro popis široké třídy procesů fungování reálných objektů v automatizovaných řídicích systémech. Používáním F- automatu je možné popsat objekty, které se vyznačují přítomností diskrétních stavů, a diskrétní povahou práce v čase - jsou to prvky a uzly počítače, řídicí, regulační a řídicí zařízení, systémy časových a prostorových přechod v technologii výměny informací atd.

2.4. Diskrétní stochastické modely ( R-systém)

Základní poměry. Uvažujme o rysech konstruování matematických schémat v diskrétně-stochastickém přístupu na pravděpodobnostních (stochastických) automatech. Obecně pravděpodobnostní automat
P-schémata(anglicky probabijistic automat) lze definovat jako diskrétní krokový informační převodník s pamětí, jehož fungování v každém cyklu závisí pouze na stavu paměti v něm a lze jej statisticky popsat.

Pojďme si představit matematický pojem R-automat, s použitím pojmů zavedených pro F-stroj. Zvažte sadu G, jehož prvky jsou všechny možné dvojice ( x i, z s), kde x i A z s jsou prvky vstupní podmnožiny X a podmnožiny stavů Z, resp. Pokud existují dvě funkce j a y takové, že mapování G®Z a G®Y, pak to říkají F = X, Y j, y> definuje automat deterministického typu.

Podívejme se na obecnější matematické schéma. Nechat
Ф je množina všech možných dvojic formuláře ( z k , y i), kde i je prvkem výstupní podmnožiny Y. Požadujeme, aby jakýkoli prvek sady G indukoval na množině Φ nějaký distribuční zákon následujícího tvaru:

V čem bkj= 1, kde bkj jsou pravděpodobnosti přechodu automatu do stavu z k a výskyt signálu na výstupu y j kdyby byl schopen z s a na jeho vstupu byl v tomto okamžiku přijat signál x i. Počet takových distribucí, prezentovaných ve formě tabulek, se rovná počtu prvků množiny G. Množinu těchto tabulek označíme B. Potom čtyři prvky P= nazývaný pravděpodobnostní automat
(R- automatický).

Možné aplikace P-systém. Nechte prvky sady G vyvolat některé distribuční zákony na podmnožiny Y A Z, který může být reprezentován takto:

V čem z k = 1 a q j = 1, kde z k A q j - pravděpodobnosti přechodu
R-stroj do stavu z k a vzhled výstupního signálu y k pokud
R z s a na jeho vstupu byl přijat vstupní signál x i .

Pokud pro všechny k A j existuje poměr q j z k = b kj , pak takové
R- nazývá se stroj Mealyho pravděpodobnostní automat. Tento požadavek znamená pro nový stát splnění podmínky nezávislosti rozvodů R-stroj a jeho výstupní signál.

Pojďme nyní k definici výstupního signálu R- automatu závisí pouze na stavu, ve kterém se automat v daném cyklu práce nachází. Jinými slovy, nechejte každý prvek výstupní podmnožiny Y indukuje rozdělení pravděpodobnosti výstupů mající následující tvar:

Tady s i = 1, kde s i je pravděpodobnost výskytu výstupního signálu y i na na podmínky, že R- stroj byl ve stavu z k.

Pokud pro všechny k A i existuje poměr z k s i =bki, pak takové
R- nazývá se stroj pravděpodobnostní Mooreův automat. pojem
R-Mealyho a Mooreovy automaty zavedené analogií s deterministickým
F- automatický. speciální případ R- automat daný jako P=X, Y, B> jsou automaty, u kterých je buď přechod do nového stavu nebo výstupní signál určen deterministicky. Pokud je výstupní signál
R-automat je určen deterministicky, pak se takový automat nazývá
Y-. Rovněž,
Z-deterministický pravděpodobnostní automat volal R je automat, jehož volba nového stavu je deterministická.

Příklad 2.1. Nechat dáno Y-deterministický P-stroj

Na Obr. 2.5 ukazuje graf orientovaného přechodu tohoto automatu. Vrcholy grafu jsou spojeny se stavy automatu a oblouky jsou spojeny s možnými přechody z jednoho stavu do druhého. Oblouky mají váhy odpovídající pravděpodobnostem přechodu p ij a hodnoty výstupních signálů indukovaných těmito stavy jsou zapsány blízko vrcholů grafu. Je třeba odhadnout celkové konečné pravděpodobnosti setrvání tohoto P-stroj ve státech z 2 a z 3 .

Rýže. 2.5. Graf pravděpodobnostního automatu

Pomocí analytického přístupu lze zapsat známé vztahy z teorie Markovových řetězců a získat soustavu rovnic pro určení konečných pravděpodobností. V tomto případě výchozí stav z 0 lze ignorovat, protože počáteční rozdělení neovlivňuje hodnoty konečných pravděpodobností. Pak máme

Kde s k je konečná pravděpodobnost setrvání R- automatické z k.

Dostaneme soustavu rovnic

Přidejme k těmto rovnicím podmínku normalizace S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 1. Pak řešením soustavy rovnic dostaneme S 1 = 5/23, S 2 = 8/23, S 3 = 5/23,
S 4 = 5/23. Tím pádem, S 2 + S 3 = 13/23 = 0,5652. Jinými slovy, s nekonečnou operací daného v tomto příkladu Y-deterministický
R-stroj, na jeho výstupu se vytvoří binární sekvence s pravděpodobností výskytu jedna, rovna 0,5652.

Podobný R- automaty lze použít jako generátory Markovových sekvencí, které jsou nezbytné při konstrukci a implementaci procesů fungování systémů S nebo vlivy prostředí E.

2.5. Spojité stochastické modely ( Q-systém)

Základní poměry. Budeme uvažovat o rysech spojitého-stochastického přístupu na příkladu typického matematického Q- schémata - řadicí systémy(Anglický systém řazení do fronty).

Jako servisní proces lze znázornit procesy fungování ekonomických, průmyslových, technických a jiných systémů, které se liší svou fyzikální podstatou, např.: toky dodávek produktů do určitého podniku, toky dílů a komponentů na montážní lince. dílny, aplikace pro zpracování počítačových informací ze vzdálených terminálů atd. Provoz takových objektů je přitom charakterizován náhodným výskytem požadavků (požadavků) na službu a dokončením služby v náhodných časech, tzn. stochastický charakter procesu jejich fungování.

Tok událostí nazývá se sled událostí, které se odehrávají jedna po druhé v nějakém náhodném čase. Existují toky homogenních a nehomogenních událostí. Proud událostí volal homogenní pokud je charakterizován pouze okamžiky příchodu těchto událostí (způsobující momenty) a je dán posloupností ( t n} = {0 £ t 1 £ t 2 ... £ t n£ … }, Kde t n - okamžik výskytu P- událost je nezáporné reálné číslo. Jednotný tok událostí může být také specifikován jako sekvence časových intervalů mezi nimi P- m a (n – 1)-té události (t n), která jednoznačně souvisí s posloupností vyvolávacích momentů ( t n} , kde t n = tn– t n -1 ,P³ 1, t 0 = 0, těch. t1 = t 1 . Proud heterogenních událostí nazývá se sekvence ( t n, f n} , Kde t n - náročné okamžiky; f n - sada atributů události. Například ve vztahu k servisnímu procesu pro heterogenní tok požadavků, patřících k jednomu nebo jinému zdroji požadavků, může být specifikována přítomnost priority, možnost obsluhy jedním nebo jiným typem kanálu.

V každém základním aktu služby lze rozlišit dvě hlavní složky: očekávání služby aplikací a skutečná služba aplikace. To může být reprezentováno jako některé i servis nástrojů P i(obr. 2.6), skládající se z akumulátoru požadavku Ahoj, což může být současně j i= aplikace, kde L i H– kapacita
i-th disk a kanál žádosti (nebo jen kanál) Ki. Pro každý prvek servisního zařízení P i proudy událostí přicházejí: do akumulátoru H i aplikační tok w i, na kanál K i - tok služeb a já.

Rýže. 2.6. Aplikační servisní zařízení

Aplikace obsluhované kanálem ki, a požadavky, které opustily zařízení P i z různých důvodů neobsluhován (například kvůli přetečení disku H i), tvoří výstupní proud y i О Y, těch. časové intervaly mezi okamžiky uvolnění aplikací tvoří podmnožinu výstupních proměnných.

Obvykle tok aplikací w i ОW, těch. časové intervaly mezi okamžiky výskytu aplikací na vstupu K i, tvoří podmnožinu nespravovaných proměnných a toku služeb u i ОU, těch. časové intervaly mezi začátkem a koncem servisního požadavku tvoří podmnožinu řízených proměnných.

Provozní proces servisního zařízení P i lze znázornit jako proces změny stavů jeho prvků v čase z i(t). Přechod do nového stavu pro P i znamená změnu v počtu aplikací, které jsou v něm (v kanálu K i a ve skladu H i). Tedy stavový vektor pro P i vypadá jako: , Kde z i H- stav pohonu H i (z i H= 0 – disk je prázdný, z i H= 1 – v akumulátoru je jeden zákazník, ..., z i H = L i H – disk je plný) L i H- kapacita skladu H já, měřeno počtem aplikací, které se do něj vejdou; z i k – stav kanálu K i(z i k = 0 – kanál je zdarma z i k= 1 – kanál je obsazený).

Možné aplikace Q- schémata. V praxi modelování systémů, které mají složitější strukturní vztahy a algoritmy chování, se pro formalizaci nepoužívají samostatná servisní zařízení, ale
Q- systém , tvořený složením mnoha elementárních obslužných zařízení P i. Pokud kanály K i různá servisní zařízení jsou připojena paralelně, pak existuje vícekanálová služba ( vícekanálový Q- systém) , a pokud zařízení P i a jejich paralelní skladby jsou zapojeny do série, pak existuje vícefázová služba ( vícefázový Q- systém) . Tedy za úkol Q- schémata musí používat operátor konjugace R, který odráží vztah mezi prvky struktury (kanály a úložiště) mezi sebou.