Převeďte čísla z jednoho číselného systému do druhého online. Převod čísel na binární, šestnáctkové, desítkové, osmičkové číselné soustavy Násobení a dělení v šestnáctkové číselné soustavě
Účel služby. Online kalkulačka je určena pro sčítání binárních čísel v dopředných, zpětných a doplňkových kódech.S touto kalkulačkou se také používají následující:
Převod čísel do dvojkové, šestnáctkové, desítkové, osmičkové číselné soustavy
Násobení binárních čísel
Formát s plovoucí desetinnou čárkou
Příklad č. 1. Představte číslo 133,54 v plovoucí řádové čárce.
Řešení. Představme si číslo 133,54 v normalizovaném exponenciálním tvaru:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Číslo 1,3354*exp 10 2 se skládá ze dvou částí: mantisa M=1,3354 a exponent exp 10 =2
Pokud je mantisa v rozsahu 1 ≤ M Reprezentující číslo v denormalizované exponenciální formě.
Pokud je mantisa v rozsahu 0,1 ≤ M Představme číslo v denormalizovaném exponenciálním tvaru: 0,13354*exp 10 3
Příklad č. 2. Představují binární číslo 101.10 2 v normalizovaném tvaru, zapsané v 32bitovém standardu IEEE754.
Tabulka pravdy
Výpočet limitů
Aritmetika v binární číselné soustavě
Aritmetické operace ve dvojkové soustavě se provádějí stejně jako v soustavě desítkové. Pokud se však v systému desítkových čísel provádí převod a půjčování deseti jednotkami, pak v systému binárních čísel - dvěma jednotkami. V tabulce jsou uvedena pravidla pro sčítání a odčítání v binární číselné soustavě.- Při přidávání dvou jednotek v binární číselné soustavě bude tento bit 0 a jednotka bude převedena na nejvýznamnější bit.
- Při odečtení jedničky od nuly se jednička vypůjčí od nejvyšší číslice, kde je 1. Jednotka obsazená touto číslicí udává dvě jednotky v číslici, kde se počítá akce, a také jednu ve všech mezilehlých číslicích.
Přidání čísel s přihlédnutím k jejich znaménkům na stroji je sledem následujících akcí:
- převod původních čísel na zadaný kód;
- bitové přidávání kódů;
- analýzu získaného výsledku.
Pokud se při provádění operace v kódu dvojkového doplňku (upraveného dvojkového doplňku) objeví jednotka přenosu v bitu znaménka v důsledku sčítání, je vyřazena.
Operace odčítání v počítači se provádí sčítáním podle pravidla: X-Y=X+(-Y). Další akce se provádějí stejným způsobem jako u operace sčítání.
Příklad č. 1.
Dáno: x=0,110001; y= -0,001001, přidejte obráceně upravený kód.
Dáno: x=0,101001; y= -0,001101, přidejte další upravený kód. 
Příklad č. 2. Vyřešte příklady na odečítání binárních čísel pomocí doplňku 1 a metody cyklického přenosu.
a) 11-10.
Řešení.
Představme si čísla 11 2 a -10 2 v obráceném kódu.
Binární číslo 0000011 má reciproční kód 0,0000011
Sečteme čísla 00000011 a 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Na 2. číslici došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 3. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
V důsledku toho dostaneme:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Došlo k přenosu ze znaménkového bitu. Přičteme ji (tj. 1) k výslednému číslu (provedeme tak proceduru cyklického přenosu).
V důsledku toho dostaneme:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Výsledek sčítání: 00000001. Převedeme to na desítkové vyjádření. Chcete-li přeložit část celého čísla, musíte vynásobit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Výsledek sčítání (desetinný zápis): 1
b) 111-010 Představme si čísla 111 2 a -010 2 v obráceném kódu.
Zpětný kód pro kladné číslo je stejný jako dopředný kód. U záporného čísla jsou všechny číslice čísla nahrazeny jejich opaky (1 x 0, 0 x 1) a do znakové číslice se zadává jednotka.
Binární číslo 0000111 má reciproční kód 0,0000111
Binární číslo 0000010 má reciproční kód 1.1111101
Sečteme čísla 00000111 a 11111101
Na 0. číslici došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 1. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
V 1. číslici došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 2. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Na 2. číslici došlo k přetečení (1 + 1 + 1 = 11). Proto napíšeme 1 a přesuneme 1 na 3. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Na 3. číslici došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 4. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
Ve 4. bitu došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 5. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
V 5. číslici došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 6. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
V 6. bitu došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 7. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
V 7. bitu došlo k přetečení (1 + 1 = 10). Proto napíšeme 0 a přesuneme 1 na 8. číslici.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
V důsledku toho dostaneme:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Došlo k přenosu ze znaménkového bitu. Přičteme ji (tj. 1) k výslednému číslu (provedeme tak proceduru cyklického přenosu).
V důsledku toho dostaneme:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Výsledek sčítání: 00000101
Dostali jsme číslo 00000101. Chcete-li převést celou část, musíte vynásobit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Výsledek sčítání (desetinný zápis): 5
Sčítání binárních reálných čísel s pohyblivou řádovou čárkou
Na počítači může být jakékoli číslo reprezentováno ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou. Formát s plovoucí desetinnou čárkou je znázorněn na obrázku:
Například číslo 10101 ve formátu s plovoucí desetinnou čárkou lze zapsat takto:
Počítače používají normalizovanou formu zápisu čísla, ve které je vždy před významnou číslicí mantisy uvedena poloha desetinné čárky, tzn. podmínka je splněna:
b-1 ≤|M| Normalizované číslo - Jedná se o číslo, které má za desetinnou čárkou platnou číslici (tj. 1 v binární číselné soustavě). Příklad normalizace:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Při přidávání čísel s plovoucí desetinnou čárkou se zarovnání pořadí provádí směrem k vyššímu řádu: 
Algoritmus pro přidávání čísel s plovoucí desetinnou čárkou:
- Vyrovnání objednávek;
- Přidání mantis v upraveném doplňkovém kódu;
- Normalizace výsledku.
Příklad č. 4.
A=0,1011*2 10, B=0,0001*2 11
1. Vyrovnání objednávek;
A=0,01011*211, B=0,0001*211
2. Přidání mantis do dodatečného upraveného kódu;
MA dodatečný mod. =00,01011
MB dodatečný mod. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalizace výsledku.
A+B=0,1101*2 10
Příklad č. 3. Napište desetinné číslo v binární číselné soustavě a sečtěte dvě čísla v binární číselné soustavě.
Pomocí této online kalkulačky můžete převádět celá a zlomková čísla z jedné číselné soustavy do druhé. Je uvedeno podrobné řešení s vysvětlením. Pro překlad zadejte původní číslo, nastavte základ číselné soustavy zdrojového čísla, nastavte základ číselné soustavy, do které chcete číslo převést a klikněte na tlačítko "Přeložit". Viz teoretická část a numerické příklady níže.
Výsledek se již dostavil!
Převod celých čísel a zlomků z jedné číselné soustavy do jiné - teorie, příklady a řešení
Existují poziční a nepoziční číselné soustavy. Arabská číselná soustava, kterou používáme v každodenním životě, je poziční, ale římská nikoli. V pozičních číselných systémech poloha čísla jednoznačně určuje velikost čísla. Uvažujme to na příkladu čísla 6372 v desítkové číselné soustavě. Očíslujme toto číslo zprava doleva počínaje nulou:
Pak může být číslo 6372 reprezentováno takto:
6372=6000+300+70+2 =6·103 +3·102 +7·101 +2·100.
Číslo 10 určuje číselnou soustavu (v tomto případě je to 10). Hodnoty pozice daného čísla jsou brány jako mocniny.
Uvažujme skutečné desetinné číslo 1287,923. Očíslujme to od nuly, pozice čísla od desetinné čárky doleva a doprava:
Pak číslo 1287.923 může být reprezentováno jako:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
Obecně lze vzorec reprezentovat takto:
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
kde C n je celé číslo na pozici n, D -k - zlomkové číslo na pozici (-k), s- číselný systém.
Pár slov o číselných soustavách Číslo v desítkové číselné soustavě se skládá z mnoha číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkové soustavě se skládá z mnoha číslic (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binární číselné soustavě - ze sady číslic (0,1), v hexadecimální číselné soustavě - ze sady číslic (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kde A,B,C,D,E,F odpovídají číslům 10,11, 12, 13, 14, 15. V tabulce Tab.1 jsou čísla uvedena v různých číselných soustavách.
| stůl 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notový zápis | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé
Chcete-li převést čísla z jedné číselné soustavy do druhé, nejjednodušším způsobem je nejprve převést číslo do desítkové číselné soustavy a poté převést z desítkové číselné soustavy do požadované číselné soustavy.
Převod čísel z libovolné číselné soustavy do desítkové číselné soustavy
Pomocí vzorce (1) můžete převést čísla z libovolné číselné soustavy na desítkovou číselnou soustavu.
Příklad 1. Převeďte číslo 1011101.001 z binární číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Příklad2. Převeďte číslo 1011101.001 z osmičkové číselné soustavy (SS) na desítkovou SS. Řešení:
Příklad 3 . Převeďte číslo AB572.CDF z hexadecimální číselné soustavy na desítkovou SS. Řešení:
Tady A- nahrazeno 10, B- v 11, C- ve 12, F- do 15.
Převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy
Chcete-li převést čísla z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy, musíte samostatně převést celočíselnou část čísla a zlomkovou část čísla.
Celočíselná část čísla se převede z desítkové SS do jiné číselné soustavy postupným dělením celé části čísla základem číselné soustavy (pro binární SS - 2, pro 8-ární SS - 8, pro 16 -ary SS - o 16, atd.), dokud se nezíská celý zbytek, menší než báze CC.
Příklad 4 . Převedeme číslo 159 z desítkové SS na binární SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Jak je vidět z Obr. 1, číslo 159, když je děleno 2, dává podíl 79 a zbytek 1. Dále, číslo 79, když je děleno 2, dává podíl 39 a zbytek 1 atd. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytků dělení (zprava doleva) získáme číslo v binárním SS: 10011111 . Proto můžeme napsat:
159 10 =10011111 2 .
Příklad 5 . Převeďme číslo 615 z desítkové SS na osmičkovou SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Při převodu čísla z desítkové SS na osmičkovou SS musíte číslo postupně dělit 8, dokud nezískáte zbytek celého čísla menší než 8. Výsledkem je, že sestavením čísla ze zbytků dělení (zprava doleva) dostaneme číslo v osmičkovém SS: 1147 (viz obr. 2). Proto můžeme napsat:
615 10 =1147 8 .
Příklad 6 . Převeďme číslo 19673 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Jak je vidět z obrázku 3, postupným dělením čísla 19673 16 jsou zbytky 4, 12, 13, 9. V hexadecimální soustavě čísel odpovídá číslu 12 C, číslu 13 D. Proto naše hexadecimální číslo je 4CD9.
Pro převod pravidelných desetinných zlomků (reálné číslo s nulovou celočíselnou částí) na číselnou soustavu se základem s je nutné toto číslo postupně násobit s, dokud zlomková část nebude obsahovat čistou nulu, nebo nezískáme požadovaný počet číslic. . Pokud se při násobení získá číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se tato celočíselná část nebere v úvahu (jsou postupně zahrnuty do výsledku).
Podívejme se na výše uvedené s příklady.
Příklad 7 . Převeďme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na binární SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Jak je patrné z obr. 4, číslo 0,214 se postupně násobí 2. Pokud je výsledkem násobení číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se celá část zapisuje samostatně (vlevo od čísla), a číslo se zapisuje s nulovou celočíselnou částí. Pokud násobením vznikne číslo s nulovou celočíselnou částí, pak se nalevo od něj zapíše nula. Proces násobení pokračuje, dokud zlomková část nedosáhne čisté nuly nebo nezískáme požadovaný počet číslic. Zápisem tučných čísel (obr. 4) shora dolů dostaneme požadované číslo v binární číselné soustavě: 0. 0011011 .
Proto můžeme napsat:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Příklad 8 . Převeďme číslo 0,125 z desítkové číselné soustavy na binární SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Aby bylo možné převést číslo 0,125 z desítkové SS na binární, toto číslo se postupně vynásobí 2. Ve třetí fázi je výsledek 0. Následně se získá následující výsledek:
0.125 10 =0.001 2 .
Příklad 9 . Převeďme číslo 0,214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Podle příkladů 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v šestnáctkové soustavě SS čísla 12 a 11 odpovídají číslům C a B. Máme tedy:
0,21410 = 0,36C8B416.
Příklad 10 . Převeďme číslo 0,512 z desítkové číselné soustavy na osmičkovou SS.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Mám:
0.512 10 =0.406111 8 .
Příklad 11 . Převeďme číslo 159.125 z desítkové číselné soustavy na binární SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 4) a zlomkovou část čísla (příklad 8). Další kombinací těchto výsledků dostaneme:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Příklad 12 . Převeďme číslo 19673.214 z desítkové číselné soustavy na hexadecimální SS. K tomu přeložíme odděleně celočíselnou část čísla (příklad 6) a zlomkovou část čísla (příklad 9). Dále, spojením těchto výsledků získáme.
Příklady převodu čísel do různých číselných soustav
Příklad č. 1
Převeďme číslo 12 z desítkové do dvojkové číselné soustavy
Řešení
Převeďme číslo 12 10 na 2-ární číselnou soustavu pomocí sekvenčního dělení 2, dokud nebude neúplný podíl roven nule. Výsledkem bude číslo ze zbytků dělení zapsané zprava doleva.
| 12 | : | 2 | = | 6 | zůstatek: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | zůstatek: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | bilance: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | bilance: 1 |
12 10 = 1100 2
Příklad č. 2
Převeďme číslo 12,3 z desítkové do dvojkové číselné soustavy
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
ŘešeníPřeveďme celočíselnou část 12. čísla 12,3 10 do 2-ární číselné soustavy pomocí sekvenčního dělení 2, dokud nebude neúplný podíl roven nule. Výsledkem bude číslo ze zbytků dělení zapsané zprava doleva.
| 12 | : | 2 | = | 6 | zůstatek: 0 |
| 6 | : | 2 | = | 3 | zůstatek: 0 |
| 3 | : | 2 | = | 1 | bilance: 1 |
| 1 | : | 2 | = | 0 | bilance: 1 |
12 10 = 1100 2
Převeďme zlomkovou část 0,3 čísla 12,3 10 do 2členné číselné soustavy pomocí sekvenčního násobení 2, dokud se zlomková část součinu neukáže jako nula nebo dokud nedosáhneme požadovaného počtu desetinných míst. Pokud je výsledkem násobení, že celočíselná část není rovna nule, pak je nutné nahradit hodnotu celé části nulou. Výsledkem bude číslo z celých částí děl, psané zleva doprava.
| 0.3 | · | 2 | = | 0 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
| 0.2 | · | 2 | = | 0 .4 |
| 0.4 | · | 2 | = | 0 .8 |
| 0.8 | · | 2 | = | 1 .6 |
| 0.6 | · | 2 | = | 1 .2 |
0.3 10 = 0.010011001100110011001100110011 2
12.3 10 = 1100.010011001100110011001100110011 2
Příklad č. 3
Převeďme číslo 10011 z dvojkové soustavy do desítkové soustavy
Řešení
Převeďme číslo 10011 2 na desítkovou číselnou soustavu, k tomu si nejprve zapišme pozici každé číslice v čísle zprava doleva, počínaje nulou
Každá pozice číslice bude umocněna 2, protože číselný systém je 2místný. Každé číslo 10011 2 je nutné postupně vynásobit 2 na mocninu odpovídající pozice čísla a poté je sečíst, následovaný součinem dalšího čísla k mocnině jeho odpovídající pozice.
10011 2 = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 19 10
Příklad č. 4
Převeďme číslo 11.101 z dvojkové soustavy do desítkové soustavy
11.101 2 = 3.625 10
ŘešeníPřeveďme číslo 11.101 2 do desítkové číselné soustavy, k tomu si nejprve zapišme pozici každé číslice v čísle
Každá pozice číslice bude umocněna 2, protože číselný systém je 2místný. Každé číslo 11,101 2 je nutné postupně vynásobit 2 na mocninu odpovídající pozice čísla a pak to sečíst s následným součinem dalšího čísla k mocnině jeho odpovídající pozice.
11.101 2 = 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2 -2 + 1 ⋅ 2 -3 = 3.625 10
Příklad č. 5
Převeďme číslo 1583 z desítkové soustavy do šestnáctkové soustavy
1583 10 = 62F 16
ŘešeníPřeveďme číslo 1583 10 do 16členné číselné soustavy pomocí sekvenčního dělení 16, dokud nebude neúplný podíl roven nule. Výsledkem bude číslo ze zbytků dělení zapsané zprava doleva.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | zbytek: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | bilance: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | bilance: 6 |
1583 10 = 62F 16
Příklad č. 6
Převeďme číslo 1583,56 z desítkové soustavy do šestnáctkové soustavy
1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
ŘešeníPřeveďme celočíselnou část 1583 čísla 1583,56 10 do 16členné číselné soustavy pomocí sekvenčního dělení 16, dokud nebude neúplný podíl roven nule. Výsledkem bude číslo ze zbytků dělení zapsané zprava doleva.
| 1583 | : | 16 | = | 98 | zbytek: 15, 15 = F |
| 98 | : | 16 | = | 6 | bilance: 2 |
| 6 | : | 16 | = | 0 | bilance: 6 |
1583 10 = 62F 16
Převeďme zlomkovou část 0,56 čísla 1583,56 10 do 16členné číselné soustavy pomocí sekvenčního násobení 16, dokud se zlomková část součinu neukáže jako nula nebo dokud nedosáhneme požadovaného počtu desetinných míst. Pokud je výsledkem násobení, že celočíselná část není rovna nule, pak je nutné nahradit hodnotu celé části nulou. Výsledkem bude číslo z celých částí děl, psané zleva doprava.
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15,36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12,16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15,36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12,16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15,36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12,16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15,36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12,16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15,36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12,16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
| 0.56 | · | 16 | = | 8 .96 |
| 0.96 | · | 16 | = | 15,36, 15 = F |
| 0.36 | · | 16 | = | 5 .76 |
| 0.76 | · | 16 | = | 12,16, 12 = C |
| 0.16 | · | 16 | = | 2 .56 |
0,56 10 = 0,8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
1583,56 10 = 62F.8F5C28F5C28F5C28F5C28F5C28F5C2 16
Příklad č. 7
Převeďme číslo A12DCF z šestnáctkové soustavy do desítkové soustavy
A12DCF 16 = 10563023 10
ŘešeníPřeveďme číslo A12DCF 16 na desítkovou číselnou soustavu; nejprve si zapište pozici každé číslice v čísle zprava doleva, počínaje nulou
Každá pozice číslice bude umocněna 16, protože číselný systém je 16místný. Každé číslo A12DCF 16 je nutné postupně vynásobit 16 na mocninu odpovídající pozice čísla a poté je sečíst, následovaný součinem dalšího čísla k mocnině jeho odpovídající pozice.
2
Každá pozice číslice bude umocněna 16, protože číselný systém je 16místný. Každé číslo A12DCF.12A 16 je nutné postupně vynásobit 16 na mocninu odpovídající pozice čísla a poté sečíst, následovaný součinem dalšího čísla k mocnině jeho odpovídající pozice.
A 16 = 10 10
D 16 = 13 10
C16 = 1210
F 16 = 15 10
A12DCF.12A 16 = 10 ⋅ 16 5 + 1 ⋅ 16 4 + 2 ⋅ 16 3 + 13 ⋅ 16 2 + 12 ⋅ 16 1 + 15 ⋅ 16 0 + 1 -1 ⋅ 1
Každá pozice číslice bude umocněna 2, protože číselný systém je 2místný. Každé číslo 1010100011 2 je nutné postupně vynásobit 2 na mocninu odpovídající pozice čísla a poté sečíst, následovaný součinem dalšího čísla k mocnině jeho odpovídající pozice.
1010100011 2 = 1 ⋅ 2 9 + 0 ⋅ 2 8 + 1 ⋅ 2 7 + 0 ⋅ 2 6 + 1 ⋅ 2 5 + 0 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 675 10
Převeďme číslo 675 10 do 16členné číselné soustavy pomocí sekvenčního dělení 16, dokud není parciální podíl roven nule. Výsledkem bude číslo ze zbytků dělení zapsané zprava doleva.
| 675 | : | 16 | = | 42 | bilance: 3 |
| 42 | : | 16 | = | 2 | zbytek: 10, 10 = A |
| 2 | : | 16 | = | 0 | bilance: 2 |
675 10 = 2A3 16 Účel služby. Služba je navržena tak, aby převáděla čísla z jednoho číselného systému do druhého online. Chcete-li to provést, vyberte základ systému, ze kterého chcete číslo převést. Můžete zadat jak celá čísla, tak čísla s čárkami.
Můžete zadat jak celá čísla, například 34, tak zlomková čísla, například 637.333. U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.
S touto kalkulačkou se také používají následující:
Způsoby reprezentace čísel
Binární (binární) čísla - každá číslice znamená hodnotu jednoho bitu (0 nebo 1), nejvýznamnější bit se píše vždy vlevo, za číslem se umísťuje písmeno „b“. Pro snadnější vnímání lze sešity oddělit mezerami. Například 1010 0101b.Hexadecimální (hexadecimální) čísla - každá tetráda je reprezentována jedním symbolem 0...9, A, B, ..., F. Toto znázornění lze označit různými způsoby, zde se používá pouze symbol „h“ za posledním hexadecimálním číslem číslice. Například A5h. V programových textech může být stejné číslo označeno buď jako 0xA5 nebo 0A5h, v závislosti na syntaxi programovacího jazyka. Nalevo od nejvýznamnější hexadecimální číslice reprezentované písmenem se přidá úvodní nula (0), aby bylo možné rozlišit čísla a symbolické názvy.
Desetinný (desetinná) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentován běžným číslem a znak desetinného zobrazení (písmeno „d“) se obvykle vynechává. Bajt v předchozích příkladech má desítkovou hodnotu 165. Na rozdíl od binárního a hexadecimálního zápisu je u desítkové soustavy obtížné mentálně určit hodnotu každého bitu, což je někdy nutné.
Osmičková (osmičková) čísla - každá trojice bitů (dělení začíná od nejméně významného) se zapisuje jako číslo 0–7 s „o“ na konci. Stejné číslo by bylo zapsáno jako 245o. Osmičková soustava je nepohodlná, protože bajt nelze rovnoměrně rozdělit.
Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé
Převod celých desetinných čísel na jakoukoli jinou číselnou soustavu se provádí dělením čísla základem nové číselné soustavy, dokud zbytek nezůstane číslem menším, než je základ nové číselné soustavy. Nové číslo se zapíše jako zbytek po dělení, počínaje posledním.Převod běžného desetinného zlomku na jiný PSS se provádí násobením pouze zlomkové části čísla základem nové číselné soustavy, dokud všechny nuly nezůstanou ve zlomkové části nebo dokud není dosaženo zadané přesnosti překladu. V důsledku každé operace násobení se vytvoří jedna číslice nového čísla, počínaje nejvyšším.
Nesprávný překlad zlomků se provádí podle pravidel 1 a 2. Celá a zlomková část se píší dohromady, oddělené čárkou.
Příklad č. 1. 
Převod z 2 na 8 na 16 číselný systém.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).
Pro převod čísla z dvojkové číselné soustavy do osmičkové (šestnáctkové) číselné soustavy je nutné rozdělit dvojkové číslo z desetinné čárky doprava a doleva do skupin po třech (u šestnáctkové soustavy čtyř) a doplnit tak vnější skupiny. v případě potřeby s nulami. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.
Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1
Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části po čtyřech číslicích podle stejných pravidel.
Příklad č. 3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13
Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové soustavy se provádí rozdělením čísla na jednotlivá a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na mocninu odpovídající jeho pořadovému číslu v převáděné číslo. V tomto případě jsou čísla číslována nalevo od desetinné čárky (první číslo je číslováno 0) s rostoucím a napravo s klesajícím (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.
Příklad č. 4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.
1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 12-3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z šestnáctkové do desítkové číselné soustavy. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS
- Ze soustavy desítkových čísel:
- vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
- najít zbytek při dělení celé části čísla;
- zapište všechny zbytky z dělení v opačném pořadí;
- Z dvojkové číselné soustavy
- Pro převod do desítkové číselné soustavy je nutné najít součet součinů základu 2 odpovídajícím stupněm číslice;
- Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
Například 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
Například 1000110 = 100 0110 = 46 16
Srovnávací tabulka číselného systému:
| Binární SS | Hexadecimální SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy
Příklad č. 2. Převeďte číslo 100,12 z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy a naopak. Vysvětlete důvody nesrovnalostí.
Řešení.
Fáze 1. .
Zbytek dělení zapíšeme v obráceném pořadí. Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 144
100 = 144 8
Pro převod zlomkové části čísla postupně vynásobíme zlomkovou část základem 8. Výsledkem je, že pokaždé zapíšeme celou část součinu.
0,12*8 = 0,96 (celočíselná část 0
)
0,96*8 = 7,68 (celočíselná část 7
)
0,68*8 = 5,44 (celočíselná část 5
)
0,44*8 = 3,52 (celočíselná část 3
)
Dostaneme číslo v 8. číselné soustavě: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
Fáze 2. Převod čísla z desítkové číselné soustavy do osmičkové soustavy.
Reverzní převod z osmičkové číselné soustavy na desítkovou.
Chcete-li přeložit část celého čísla, musíte vynásobit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Chcete-li převést zlomkovou část, musíte vydělit číslici čísla odpovídajícím stupněm číslice
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Rozdíl 0,0001 (100,12 - 100,1199) je vysvětlen chybou zaokrouhlení při převodu do osmičkové číselné soustavy. Tuto chybu lze snížit, pokud vezmete větší počet číslic (například ne 4, ale 8).