• Laplaceova transformace. K řešení lineárních diferenciálních rovnic použijeme Laplaceovu transformaci Compl Laplaceova proměnná základy oživení

    Laplaceova transformace. Když je systém popsán diferenciálními a integrálními rovnicemi, je často vhodné k jejich výpočtu použít Laplaceovu transformaci. V tomto případě se rovnice stávají algebraickými. V tomto případě lze zjednodušeně považovat PL za rozklad signálu na sinusoidy a exponenciály. Pro diskrétní signály se PL nazývá Z-transformace.

    Podstata Laplaceovy transformace

    Fourierova transformace

    Různé funkce reálných posunů času t PL jsou spojeny s funkcemi komplexního posunutí p a naopak.

    Laplaceova transformace

    р=σ+jω – operátor derivace

    Obrazem funkce podle Laplacea je komplexní rovina, kde σ je vyneseno podél osy reálných hodnot a jω je vyneseno podél osy imaginárních hodnot. Navíc je každý bod roviny komplexní veličinou a může být reprezentován algebraickým nebo polárním zápisem. Abychom našli Laplaceův obraz, původní signál se vynásobí různými exponenty e -σt. Je-li σ 0, pak je to pravá polorovina. Pro každý z těchto produktů je nalezena Fourierova transformace a umístěna podél pomyslné osy hodnot. Horní a dolní polorovina bude zrcadlena, pokud je původní signál reprezentován reálnou funkcí.



    Pozornost! Každá elektronická přednáška je duševním vlastnictvím jejího autora a je na webu zveřejněna pouze pro informační účely.

    Jedním ze způsobů řešení diferenciálních rovnic (systémů rovnic) s konstantními koeficienty je metoda integrálních transformací, která umožňuje nahradit funkci reálné proměnné (původní funkce) funkcí komplexní proměnné (obraz funkce). V důsledku toho se operace derivace a integrace v prostoru původních funkcí transformují na algebraické násobení a dělení v prostoru obrazových funkcí. Jedním z představitelů integrální transformační metody je Laplaceova transformace.

    Spojitá Laplaceova transformace– integrální transformace, která spojuje funkci komplexní proměnné (funkce obraz) s funkcí reálné proměnné (původní funkce). V tomto případě musí funkce reálné proměnné splňovat následující podmínky:

    Funkce je definována a diferencovatelná na celé kladné poloose reálné proměnné (funkce splňuje Dirichletovy podmínky);

    Hodnota funkce před počátečním momentem je rovna nule ;

    Zvýšení funkce je omezeno exponenciální funkcí, tzn. pro funkci reálné proměnné existují taková kladná čísla M A S , Co kde C – úsečka absolutní konvergence (nějaké kladné číslo).

    Laplaceova transformace (přímá integrální transformace) funkce reálné proměnné se nazývá funkce následujícího tvaru (funkce komplexní proměnné):

    Funkce se nazývá originál funkce a funkce se nazývá její obraz. Komplexní proměnná se nazývá Laplaceův operátor, kde je úhlová frekvence a je nějaké kladné konstantní číslo.

    Jako první příklad si definujme obrázek pro konstantní funkci

    Jako druhý příklad si definujme obrázek pro funkci kosinus . Vezmeme-li v úvahu Eulerův vzorec, lze funkci kosinus reprezentovat jako součet dvou exponenciál .

    V praxi se k provádění přímé Laplaceovy transformace používají transformační tabulky, které prezentují originály a obrázky standardních funkcí. Níže jsou uvedeny některé z těchto funkcí.

    Originál a obrázek pro exponenciální funkci

    Originál a obrázek pro funkci kosinus

    Originál a obrázek pro funkci sinus

    Originál a obrázek pro exponenciálně se rozkládající kosinus

    Originál a obrázek pro exponenciálně klesající sinus

    Je třeba poznamenat, že funkce je funkce Heaviside, která má hodnotu nula pro záporné hodnoty argumentu a hodnotu rovnou jedné pro kladné hodnoty argumentu.

    Vlastnosti Laplaceovy transformace

    Věta o linearitě

    Laplaceova transformace má vlastnost linearity, tzn. jakýkoli lineární vztah mezi originály funkcí je platný pro obrázky těchto funkcí.

    Vlastnost linearity zjednodušuje hledání originálů komplexních obrázků, protože umožňuje, aby obraz funkce byl reprezentován jako součet jednoduchých termínů, a pak najít originály každého reprezentovaného termínu.

    Původní diferenciační teorém funkcí

    Diferenciace původní funkce odpovídá násobení

    Pro nenulové počáteční podmínky:

    Při nulových počátečních podmínkách (zvláštní případ):

    Operace derivování funkce je tedy nahrazena aritmetickou operací v obrazovém prostoru funkce.

    Původní integrační teorém funkcí

    Integrace původní funkce odpovídá divize obrázky funkcí na Laplaceově operátoru.

    Operace integrace funkce je tedy nahrazena aritmetickou operací v obrazovém prostoru funkce.

    Věta o podobnosti

    Změna argumentu funkce (komprese nebo expanze signálu) v časové oblasti vede k inverzní změně argumentu a pořadnice obrazu funkce.

    Prodlužování doby trvání pulzu způsobuje kompresi jeho spektrální funkce a snížení amplitud harmonických složek spektra.

    Věta o zpoždění

    Zpoždění (posun, posunutí) signálu podle argumentu původní funkce o interval vede ke změně fázově-frekvenční funkce spektra (fázový úhel všech harmonických) o danou hodnotu bez změny modulu ( amplitudové funkce) spektra.

    Výsledný výraz je platný pro všechny

    Věta o posunutí

    Zpoždění (posun, posunutí) signálu argumentem obrazu funkce vede k vynásobení původní funkce exponenciálním faktorem

    Z praktického hlediska se věta o posunutí používá při určování obrazů exponenciálních funkcí.

    Konvoluční teorém

    Konvoluce je matematická operace aplikovaná na dvě funkce a , generující třetí funkci. Jinými slovy, když máte odezvu určitého lineárního systému na impuls, můžete použít konvoluci k výpočtu odezvy systému na celý signál.

    Konvoluci originálů dvou funkcí lze tedy reprezentovat jako součin obrazů těchto funkcí. Verifikační teorém se používá při uvažování přenosových funkcí, kdy se odezva systému (výstupní signál ze čtyřportové sítě) určuje, když je signál přiveden na vstup čtyřportové sítě s pulzní přechodovou odezvou.

    Lineární čtyřpól

    Inverzní Laplaceova transformace

    Laplaceova transformace je vratná, tzn. funkce reálné proměnné je jednoznačně určena z funkce komplexní proměnné . K tomu použijte vzorec inverzní Laplaceovy transformace(Mellinův vzorec, Bromwichův integrál), který má následující tvar:

    V tomto vzorci hranice integrace znamenají, že integrace probíhá po nekonečné přímce, která je rovnoběžná s imaginární osou a protíná skutečnou osu v bodě . S ohledem na to, že druhý výraz lze přepsat takto:

    V praxi se pro provedení inverzní Laplaceovy transformace obraz funkce rozloží na součet jednoduchých zlomků metodou neurčitých koeficientů a pro každý zlomek (v souladu s vlastností linearity) se určí původní funkce včetně zohlednění zohledněte tabulku typických funkcí. Tato metoda je platná pro zobrazení funkce, která je vlastním racionálním zlomkem. Je třeba poznamenat, že nejjednodušší zlomek může být reprezentován jako součin lineárních a kvadratických faktorů s reálnými koeficienty v závislosti na typu kořenů jmenovatele:

    Pokud je ve jmenovateli nulový kořen, funkce se rozšíří na zlomek jako:

    Pokud je ve jmenovateli nulový n-násobný kořen, funkce se rozšíří na zlomek jako:

    Pokud je ve jmenovateli skutečný kořen, funkce se rozšíří na zlomek jako:

    Pokud je ve jmenovateli skutečný n-násobný kořen, funkce se rozšíří na zlomek jako:

    Pokud je ve jmenovateli imaginární kořen, funkce se rozšíří na zlomek jako:

    V případě komplexně konjugovaných kořenů ve jmenovateli je funkce rozšířena na zlomek jako:

    ∙ Obecně pokud je obrazem funkce vlastní racionální zlomek (stupeň v čitateli je menší než stupeň ve jmenovateli racionálního zlomku), lze jej rozložit na součet jednoduchých zlomků.

    ∙ Ve zvláštním případě pokud je jmenovatel obrazu funkce rozložen pouze na jednoduché kořeny rovnice, pak lze obraz funkce rozšířit na součet jednoduchých zlomků takto:

    Neznámé koeficienty lze určit metodou neznámých koeficientů nebo zjednodušenou metodou pomocí následujícího vzorce:

    Hodnota funkce v bodě ;

    Hodnota derivace funkce v bodě.

    Laplaceova transformace- integrální transformace spojující funkci F(s) (\displaystyle \F(s)) komplexní proměnná ( obraz) s funkcí f (x) (\displaystyle \f(x)) skutečná proměnná ( originál). S jeho pomocí se studují vlastnosti dynamických systémů a řeší diferenciální a integrální rovnice.

    Jedním z rysů Laplaceovy transformace, který předurčil její široké rozšíření ve vědeckých a inženýrských výpočtech, je, že mnoho vztahů a operací na originálech odpovídá jednodušším vztahům na jejich obrazech. Konvoluce dvou funkcí je tedy v obrazovém prostoru redukována na operaci násobení a lineární diferenciální rovnice se stávají algebraickými.

    Encyklopedický YouTube

      1 / 5

      ✪ Laplaceova transformace - bezbotvy

      ✪ Přednáška 10: Laplaceova transformace

      ✪ Vyšší matematika -- 4. Laplaceovy transformace. Část 1

      ✪ Laplaceova metoda pro řešení DE

      ✪ Přednáška 11: Aplikace Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic

      titulky

    Definice

    Přímá Laplaceova transformace

    lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

    pak konverguje absolutně a jednotně pro a je analytickou funkcí at σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- reálná část komplexní proměnné s (\displaystyle s)). Přesný spodní okraj σ a (\displaystyle \sigma _(a)) sady čísel σ (\displaystyle \sigma ), za kterých je tato podmínka splněna, se nazývá úsečka absolutní konvergence Laplaceova transformace pro funkci.

    • Podmínky pro existenci přímé Laplaceovy transformace

    Laplaceova transformace L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\)) existuje ve smyslu absolutní konvergence v následujících případech:

    1. σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): Laplaceova transformace existuje, pokud existuje integrál ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
    2. σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): Laplaceova transformace existuje, pokud integrál ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx) existuje pro každou konečnost x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0) A | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x)) Pro x > x 2 ⩾ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
    3. σ > 0 (\displaystyle \sigma >0) nebo σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(která vazba je větší): Laplaceova transformace existuje, pokud pro funkci existuje Laplaceova transformace f ′ (x) (\displaystyle f"(x))(derivát z f (x) (\displaystyle f(x))) Pro σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

    Poznámka

    • Podmínky existence inverzní Laplaceovy transformace

    Pro existenci inverzní Laplaceovy transformace stačí splnit následující podmínky:

    1. Pokud obrázek F (s) (\displaystyle F(s))- analytická funkce pro σ ⩾ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a)) a má řád menší než -1, pak inverzní transformace pro něj existuje a je spojitá pro všechny hodnoty argumentu a L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0) Pro t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
    2. Nechat F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), Tak φ (z 1, z 2, … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n))) analytické ohledně každého z k (\displaystyle z_(k)) a rovná se nule pro z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), A F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\dvojtečka k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), pak existuje inverzní transformace a odpovídající přímá transformace má úsečku absolutní konvergence.

    Poznámka: to jsou dostatečné podmínky existence.

    • Konvoluční teorém

    Hlavní článek: Konvoluční teorém

    • Diferenciace a integrace originálu

    Laplaceův obraz první derivace originálu vzhledem k argumentu je součinem obrazu a argumentu druhého mínus originál na nule vpravo:

    L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

    Věty o počáteční a konečné hodnotě (limitní věty):

    f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), pokud všechny póly funkce s F (s) (\displaystyle sF(s)) jsou v levé polorovině.

    Věta o konečných hodnotách je velmi užitečná, protože popisuje chování originálu v nekonečnu pomocí jednoduchého vztahu. To se například používá k analýze stability trajektorie dynamického systému.

    • Další vlastnosti

    Linearita:

    L (af(x) + bg(x)) = aF(s) + bG(s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s.)

    Násobení číslem:

    L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\vpravo).)

    Přímá a inverzní Laplaceova transformace některých funkcí

    Níže je tabulka Laplaceovy transformace pro některé funkce.

    № Funkce Časová doména
    x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))     		Frekvenční doména
    X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))     		Konvergenční region
    Pro kauzální systémy
    1 dokonalé zpoždění δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ ) e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
    1a jediný impuls δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ ) 1 (\displaystyle 1\ ) ∀ s (\displaystyle \forall s\ )
    2 zpoždění n (\displaystyle n) (t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a Napájení n (\displaystyle n)-tý řád tnn! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !} 1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a.1 Napájení q (\displaystyle q)-tý řád t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t)) 1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2a.2 funkce jednotky H (t) (\displaystyle H(t)\ ) 1 s (\displaystyle (\frac (1)(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2b funkce jednotky se zpožděním H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ ) e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2c "rychlostní krok" t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ ) 1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    2d n (\displaystyle n)-tý řád s frekvenčním posunem tnn! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} 1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha )
    2d.1 exponenciální rozpad e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ ) 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    3 exponenciální aproximace (1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ ) α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    4 sinus sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    5 kosinus cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2)))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    6 hyperbolický sinus s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2)))) s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
    7 hyperbolický-kosin c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2)))) s > | α | (\displaystyle s>|\alpha |\ )
    8 exponenciálně chátrající
    sinus    		 e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    9 exponenciálně chátrající
    kosinus    		 e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
    10 vykořenit n (\displaystyle n)-tý řád t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t)) s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\že jo)) s > 0 (\displaystyle s>0)
    11 přirozený logaritmus ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t)) − t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ]) s > 0 (\displaystyle s>0)
    12 Besselova funkce
    první druh
    objednat n (\displaystyle n)     		J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t)) ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\vpravo)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2))))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
    13
    první druh
    objednat n (\displaystyle n)     		I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t)) ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\vpravo)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2))))) s > | ω | (\displaystyle s>|\omega |\ )
    14 Besselova funkce
    druhý druh
    nulový řád    		 Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ ) − 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2)))))) s > 0 (\displaystyle s>0\ )
    15 upravená Besselova funkce
    druhý druh,
    nulový řád    		 K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
    16 chybová funkce e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t)) e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s))) s > 0 (\displaystyle s>0)
    Poznámky na stole:
    • H (t) (\displaystyle H(t)\ );
    • α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ ) A ω (\displaystyle \omega \ ) - Vztah k jiným transformacím

      Základní souvislosti

      Mellinova transformace

      Mellinova transformace a inverzní Mellinova transformace souvisí s obousměrnou Laplaceovou transformací jednoduchou změnou proměnných. Pokud v Mellinově transformaci

      G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\levý\(g(\theta)\vpravo \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta )

      dáme θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), pak získáme oboustrannou Laplaceovu transformaci.

      Z-transformace

      Z (\displaystyle Z)-transformace je Laplaceova transformace mřížkové funkce, prováděná pomocí změny proměnných:

      z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),)

      Borel transformace

      Integrální forma Borelovy transformace je totožná s Laplaceovou transformací, existuje také zobecněná Borelova transformace, se kterou je použití Laplaceovy transformace rozšířeno na širší třídu funkcí.

      Bibliografie

      • Van der Pol B., Bremer H. Operační počet založený na obousměrné Laplaceově transformaci. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1952. - 507 s.
      • Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integrální transformace a operační počet. - M.: Hlavní redakce fyzikální a matematické literatury nakladatelství "Nauka", 1974. - 544 s.
      • Ditkin V. A., Kuzněcov P. I. Příručka operačního počtu: Základy teorie a tabulky vzorců. - M.: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1951. - 256 s.
      • Carslow H., Jäger D. Operační metody v aplikované matematice. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1948. - 294 s.
      • Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. Fourierovy řady a integrály. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplace transformuje. - M.: Nauka, 1964. - 184 s.
      • Krasnov M. L., Makarenko G. I. Operační počet. Stabilita pohybu. - M.: Nauka, 1964. - 103 s.
      • Mikušinský ano. Operátorský kalkul. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1956. - 367 s.
      • Romanovský P.I. Fourierova řada. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplace transformuje. - M.: Nauka, 1980. - 336 s.

    Oddíl II. Matematická analýza

    E. Yu Anokhina

    HISTORIE VÝVOJE A VZNIKU TEORIE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ (TFCV) JAKO VZDĚLÁVACÍHO PŘEDMĚTU

    Jedním z komplexních matematických kurzů je kurz TFKP. Složitost tohoto kurzu je dána především rozmanitostí jeho vztahů s ostatními matematickými disciplínami, historicky vyjádřenými v širokém aplikovaném zaměření vědy TFKP.

    V odborné literatuře o dějinách matematiky jsou informace o historii vývoje TFKP roztroušené, vyžadují systematizaci a zobecnění.

    V tomto ohledu je hlavním cílem tohoto článku stručný popis vývoje TFKP a etablování této teorie jako vzdělávacího předmětu.

    Výsledkem studie byly následující tři etapy vývoje TFKP jako přírodovědného a vzdělávacího předmětu:

    Fáze vzniku a rozpoznávání komplexních čísel;

    Fáze akumulace faktografického materiálu o funkcích imaginárních veličin;

    Fáze vzniku teorie funkcí komplexní proměnné.

    První etapa vývoje TFKP (polovina 16. století - 18. století) začíná dílem G. Cardana (1545), který vydal dílo „Artis magnae sive de regulis algebraitis“ (Velké umění aneb o algebraických pravidlech). Hlavním úkolem práce G. Cardana bylo zdůvodnit obecné algebraické techniky pro řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně, které nedávno objevili Ferro (1465-1526), ​​​​Tartaglia (1506-1559) a Ferrari (1522-1565). Pokud je kubická rovnice redukována do tvaru

    x3 + px + d = 0,

    a mělo by být

    Když (t^Ar V (|- 70 rovnice má tři reálné kořeny a dva z nich

    jsou si navzájem rovny. Pokud pak má rovnice jednu skutečnou a dvě ko-

    konjugovat komplexní kořeny. V konečném výsledku se objevují komplexní čísla, takže G. Cardano mohl udělat to, co oni před ním: prohlásit rovnici za mít

    jeden kořen. Když (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

    tzv. neredukovatelný případ se vyznačuje jedním rysem, s nímž se setkali až v 16. století. Rovnice x3 - 21x + 20 = 0 má tři reálné kořeny 1, 4, - 5, což je snadné

    ověřit jednoduchou substitucí. Ale ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; tedy podle obecného vzorce x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243. Komplexní, tzn. „nepravda“, ukáže se, že číslo není výsledkem, ale mezičlenem ve výpočtech, které vedou ke skutečným kořenům příslušné rovnice. J. Cardano narazil na problém a uvědomil si, že pro zachování obecnosti tohoto vzorce je nutné upustit od úplného ignorování komplexních čísel. J. d'Alembert (1717-1783) věřil, že to byla právě tato okolnost, která přiměla G. Cardana a matematiky, kteří se touto myšlenkou řídili, vážně zajímat o komplexní čísla.

    V této fázi (v 17. století) byly obecně přijímány dva názory. První názor vyjádřil Girard, který nastolil otázku uznání potřeby neomezeného používání komplexních čísel. Druhý je od Descarta, který popřel možnost interpretace komplexních čísel. Protikladem k Descartově názoru byl pohled J. Wallise - o existenci skutečné interpretace komplexních čísel Descartes ignoroval. Komplexní čísla začala být „nucena“ používat při řešení aplikovaných úloh v situacích, kdy použití reálných čísel vedlo ke komplexnímu výsledku, nebo výsledek nebylo možné získat teoreticky, ale měl praktickou realizaci.

    Intuitivní používání komplexních čísel vedlo k potřebě zachovat zákony a pravidla aritmetiky reálných čísel pro množinu komplexních čísel, zejména byly pokusy o přímý přenos. To někdy vedlo k chybným výsledkům. V tomto ohledu se staly relevantními otázky opodstatněnosti komplexních čísel a konstrukce algoritmů pro jejich aritmetiku. To byl začátek nové etapy ve vývoji TFKP.

    Druhá etapa vývoje TFKP (počátek 18. století - 19. století). V 18. stol L. Euler vyslovil myšlenku, že obor komplexních čísel je algebraicky uzavřený. Algebraická uzavřenost oboru komplexních čísel C vedla matematiky k následujícím závěrům:

    Že studium funkcí a matematická analýza obecně nabývají náležité úplnosti a úplnosti pouze tehdy, když uvažujeme o chování funkcí v komplexní oblasti;

    Za proměnné je nutné uvažovat komplexní čísla.

    V roce 1748 L. Euler (1707-1783) ve svém díle „Úvod do analýzy infinitesimálů“ zavedl komplexní proměnnou jako nejobecnější pojem proměnné veličiny, využívající komplexní čísla při expanzi funkcí na lineární faktory. L. Euler je právem považován za jednoho z tvůrců TFKP. V pracích L. Eulera byly podrobně studovány elementární funkce komplexní proměnné (1740-1749), uvedeny podmínky diferencovatelnosti (1755) a počátek integrálního počtu pro funkce komplexní proměnné (1777). L. Euler prakticky zavedl konformní mapování (1777). Tato zobrazení nazval „podobná v malém“ a termín „konformní“ zřejmě poprvé použil petrohradský akademik F. Schubert (1789). L. Euler také přinesl četné aplikace funkcí komplexní proměnné do různých matematických problémů a položil základ pro jejich použití v hydrodynamice (1755-1757) a kartografii (1777). K. Gauss formuluje definici integrálu v komplexní rovině, integrální větu o rozložitelnosti analytické funkce na mocninnou řadu. Laplace používá komplexní proměnné při výpočtu obtížných integrálů a vyvíjí metodu pro řešení lineárních, diferenčních a diferenciálních rovnic známou jako Laplaceova transformace.

    Počínaje rokem 1799 se objevily práce, ve kterých byly uvedeny více či méně vhodné interpretace komplexních čísel a definovány akce na nich. Docela obecný teoretický výklad a geometrický výklad vydal K. Gauss až v roce 1831.

    L. Euler a jeho současníci zanechali svým potomkům bohaté dědictví v podobě nashromážděných, někdy systematizovaných, někdy ne, ale přesto roztroušených faktů na TFKP. Dá se říci, že faktografický materiál o funkcích imaginárních veličin jako by vyžadoval svou systematizaci do podoby teorie. Tato teorie začala svůj vývoj.

    Třetí etapa formování TFKP (XIX století - XX století). Hlavní úspěchy zde patří O. Cauchymu (1789-1857), B. Riemannovi (1826-1866) a K. Weierstrassovi (1815-1897). Každý z nich představoval jeden ze směrů vývoje TFKP.

    Představitelem prvního směru, který se v dějinách matematiky nazýval „teorie monogenních neboli diferencovatelných funkcí“, byl O. Cauchy. Formalizoval rozptýlená fakta na diferenciálním a integrálním počtu funkcí komplexní proměnné, vysvětlil význam základních pojmů a operací s imaginárními. V dílech O. Cauchyho je představena teorie limit a na ní založená teorie řad a elementárních funkcí a je formulován teorém, který zcela objasňuje oblast konvergence mocninné řady. V roce 1826 zavedl O. Cauchy termín: srážka (doslova: zbytek). Ve svých dílech v letech 1826 až 1829 vytvořil teorii reziduí. O. Cauchy odvodil integrální vzorec; získal větu o existenci expanze funkce komplexní proměnné do mocninné řady (1831). O. Cauchy položil základy teorie analytických funkcí mnoha proměnných; určil hlavní větve vícehodnotových funkcí komplexní proměnné; poprvé použité rovinné řezy (1831-1847). V roce 1850 zavedl koncept monodromických funkcí a identifikoval třídu monogenních funkcí.

    Následovníkem O. Cauchyho byl B. Riemann, který vytvořil vlastní „geometrický“ (druhý) směr vývoje TFKP. Ve svých dílech překonal izolovanost představ o funkcích komplexních proměnných a vytvořil nové oddíly této teorie, úzce související s jinými disciplínami. Riemann udělal výrazně nový krok v historii teorie analytických funkcí; navrhl spojit s každou funkcí komplexní proměnné myšlenku mapování jedné domény na druhou. Stanovil rozdíly mezi funkcemi komplexní a reálné proměnné. B. Riemann položil základy geometrické teorie funkcí, představil Riemannovu plochu, rozvinul teorii konformních zobrazení, vytvořil spojení mezi analytickými a harmonickými funkcemi a zavedl zeta funkci.

    Další vývoj TFKP nastal jiným (třetím) směrem. Jejím základem byla možnost reprezentace funkcí mocninnými řadami. Tento směr dostal v historii název „analytický“. Zformovala se v dílech K. Weierstrasse, v nichž vynesl do popředí koncept jednotné konvergence. K. Weierstrass formuloval a dokázal větu o legálnosti uvádění podobných pojmů do řady. K. Weierstrass dospěl k zásadnímu výsledku: limita posloupnosti analytických funkcí, která rovnoměrně konverguje uvnitř určité oblasti, je analytická funkce. Dokázal zobecnit Cauchyho větu o rozšíření mocninné řady funkce komplexní proměnné a popsal proces analytického pokračování mocninných řad a jeho aplikaci na reprezentaci řešení soustavy diferenciálních rovnic. K. Weierstrass prokázal fakt nejen absolutní konvergence řady, ale také rovnoměrné konvergence. Objevuje se Weierstrassova věta o expanzi celé funkce na součin. Pokládá základy teorie analytických funkcí mnoha proměnných a buduje teorii dělitelnosti mocninných řad.

    Podívejme se na vývoj teorie analytických funkcí v Rusku. Ruští matematici 19. století. dlouho se nechtěli věnovat novému oboru matematiky. Navzdory tomu můžeme jmenovat několik jmen, kterým to nebylo cizí, a uvést některá díla a úspěchy těchto ruských matematiků.

    Jedním z ruských matematiků byl M.V. Ostrogradskij (1801-1861). O výzkumu M.V. O Ostrogradském je v oblasti teorie analytických funkcí málo známo, ale O. Cauchy chválil tohoto mladého ruského vědce, který aplikoval integrály a podal nové důkazy vzorců a zobecnil další vzorce. M.V. Ostrogradsky napsal práci „Poznámky k určitým integrálům“, ve které odvodil Cauchyho vzorec pro odčítání funkce vzhledem k pólu n-tého řádu. V rozsáhlém veřejném přednáškovém kurzu pořádaném v letech 1858–1859 nastínil aplikace reziduální teorie a Cauchyho vzorce pro hodnocení určitých integrálů.

    Řada děl N.I. pochází z 30. let 20. století. Lobačevského, které mají přímý význam pro teorii funkcí komplexní proměnné. Teorie elementárních funkcí komplexní proměnné je obsažena v jeho díle „Algebra nebo výpočet konečných“ (Kazan, 1834). Ve kterém cos x a sin x jsou zpočátku určeny pro reálné x jako skutečné a

    imaginární část funkce ex^. Pomocí dříve stanovených vlastností exponenciální funkce a mocninných expanzí jsou odvozeny všechny základní vlastnosti goniometrických funkcí. Podle-

    Lobačevskij zjevně přikládal zvláštní důležitost takové čistě analytické konstrukci trigonometrie, nezávislé na euklidovské geometrii.

    Lze tvrdit, že v posledních desetiletích 19. stol. a první desetiletí 20. století. Základní výzkum teorie funkcí komplexní proměnné (F. Klein, A. Poincaré, P. Koebe) spočíval v postupném objasňování, že Lobačevského geometrie je zároveň geometrií analytických funkcí jedné komplexní proměnné.

    V roce 1850 profesor na Petrohradské univerzitě (později akademik) I.I. Somov (1815-1876) publikoval „Základy teorie analytických funkcí“, které byly založeny na Jacobiho „Nových základech“.

    Prvním skutečně „originálním“ ruským badatelem v oblasti teorie analytických funkcí komplexní proměnné byl však Yu.V. Sochotskij (1842-1929). Obhájil diplomovou práci „Teorie integrálních zbytků s některými aplikacemi“ (Petrohrad, 1868). Od podzimu 1868 Yu.V. Sokhotsky vyučoval kurzy teorie funkcí imaginární proměnné a pokračování zlomků s aplikacemi na analýzu. Diplomová práce Yu.V. Sokhotsky se věnuje aplikacím teorie reziduí na inverzi mocninných řad (Lagrangeova řada) a zejména expanzi analytických funkcí na spojité zlomky a také Legendreovým polynomům. V této práci byla formulována a prokázána slavná věta o chování analytické funkce v okolí v podstatě singulárního bodu. V doktorské práci Sochotského

    (1873) je poprvé představen koncept integrálu Cauchyho typu v rozšířené podobě: *r/ ^ & _ kde

    a a b jsou dvě libovolná komplexní čísla. Předpokládá se, že integrál je vzat podél určité křivky („trajektorie“) spojující a a b. V této práci je dokázána řada teorémů.

    Díla N.E. hrála obrovskou roli v historii analytických funkcí. Zhukovsky a S.A. Chaplygin, který otevřel rozsáhlou oblast svých aplikací v aero- a hydromechanice.

    Když už mluvíme o vývoji teorie analytických funkcí, nelze nezmínit výzkum S.V. Kovalevskaya, ačkoli jejich hlavní význam leží mimo rámec této teorie. Úspěch její práce byl dán zcela novou formulací problému z hlediska teorie analytických funkcí a zohledněním času t jako komplexní proměnné.

    Na přelomu 20. stol. Povaha vědeckého výzkumu v oblasti teorie funkcí komplexní proměnné se mění. Jestliže dříve byla většina výzkumů v této oblasti prováděna z hlediska vývoje jednoho ze tří směrů (teorie monogenních nebo diferencovatelných Cauchyových funkcí, geometrické a fyzikální představy Riemanna, analytický směr Weierstrasse), nyní rozdíly a související spory jsou překonány, objevují se a rychle roste počet děl, v nichž se provádí syntéza myšlenek a metod. Jedním z hlavních konceptů, na kterém se jasně ukázala souvislost a korespondence geometrických konceptů a aparátu mocninných řad, byl koncept analytického pokračování.

    Na konci 19. stol. Teorie funkcí komplexní proměnné zahrnuje rozsáhlý soubor disciplín: geometrickou teorii funkcí, založenou na teorii konformních zobrazení a Riemannových ploch. Získali jsme kompletní podobu teorie různých typů funkcí: celočíselné a meromorfní, eliptické a modulární, automorfní, harmonické, algebraické. V těsné návaznosti na poslední třídu funkcí byla vyvinuta teorie Abelových integrálů. K tomuto komplexu přiléhala analytická teorie diferenciálních rovnic a analytická teorie čísel. Teorie analytických funkcí navázala a posílila spojení s ostatními matematickými disciplínami.

    Bohatství vztahů mezi TFKP a algebrou, geometrií a dalšími vědami, vytvoření systematických základů vědy samotné TFKT a její velký praktický význam přispěly k formování TFKT jako vzdělávacího předmětu. Současně s dokončením tvorby základů se však do teorie analytických funkcí vnesly nové myšlenky, které výrazně změnily její složení, povahu a cíle. Objevují se monografie obsahující systematickou prezentaci teorie analytických funkcí ve stylu blízkém axiomatickému a mající také vzdělávací účely. Význam výsledků o TFKP získaných vědci sledovaného období je zřejmě podnítil k popularizaci TFKP formou přednášek a publikování monografických studií z pedagogického hlediska. Lze konstatovat, že TFKP vznikl jako vzdělávací

    předmět. V roce 1856 vydali C. Briot a T. Bouquet malé monografie „Studie funkcí imaginární proměnné“, což byla v podstatě první učebnice. Obecné pojmy v teorii funkcí komplexní proměnné se začaly rozvíjet na přednáškách. Od roku 1856 přednášel K. Weierst-Rass o reprezentaci funkcí konvergentními mocninnými řadami a od roku 1861 o obecné teorii funkcí. V roce 1876 se objevila speciální esej K. Weierstrasse: „O teorii jednohodnotových analytických funkcí“ a v roce 1880 „O nauce funkcí“, v nichž jeho teorie analytických funkcí získala určitou úplnost.

    Weierstrassovy přednášky sloužily řadu let jako prototyp učebnic teorie funkcí komplexní proměnné, které se od té doby začaly objevovat poměrně často. Právě v jeho přednáškách byl v podstatě vybudován moderní standard přísnosti v matematické analýze a byla zdůrazněna struktura, která se stala tradiční.

    BIBLIOGRAFICKÝ SEZNAM

    1. Andronov I.K. Matematika reálných a komplexních čísel. M.: Vzdělávání, 1975.

    2. Klein F. Přednášky o vývoji matematiky v 19. století. M.: ONTI, 1937. 1. díl.

    3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. M.: Nauka, 1987.

    4. Markushevich A.I. Teorie analytických funkcí. M.: Stát. Nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950.

    5. Matematika 19. století. Geometrie. Teorie analytických funkcí / ed. A. N. Kolmogorov a A. P. Juškevič. M.: Nauka, 1981.

    6. Matematická encyklopedie / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. M.: Sovětská encyklopedie, 1977. T. 1.

    7. Matematická encyklopedie / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. M.: Sovětská encyklopedie, 1979. T. 2.

    8. Mladý V.N. Základy nauky o počtu v 18. a na počátku 19. století. M.: Uchpedgiz, 1963.

    9. Rybnikov K.A. Historie matematiky. M.: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1963. 2. část.

    NE. Lyakhova DOTKNUTÍ PLOCHÝCH KŘIVEK

    Otázka tečnosti rovinných křivek v případě, kdy jsou úsečky společných bodů nalezeny z rovnice tvaru Pn x = 0, kde P x ​​je nějaký polynom, přímo souvisí s otázkou

    na násobnosti kořenů polynomu Pn x. Tento článek formuluje odpovídající tvrzení pro případy explicitní a implicitní specifikace funkcí, jejichž grafy jsou křivky, a také ukazuje použití těchto tvrzení při řešení problémů.

    Pokud křivky, které jsou grafy funkcí y = f(x) a y = ср x, mají společný bod

    M() x 0; v0, tj. y0 = f x0 =ср x0 a tečny k naznačeným křivkám nakresleným v bodě M() x0; v0 se neshodují, pak říkají, že křivky y = fix) a y - ср x se protínají v bodě Mo xo;Uo

    Obrázek 1 ukazuje příklad průsečíku grafů funkcí.

    K řešení lineárních diferenciálních rovnic použijeme Laplaceovu transformaci.

    Laplaceova transformace nazývaný poměr

    vkládání funkcí x(t) reálná proměnná t párovací funkce X komplexní proměnná s (s = σ+ jω). V čem x(t) volal originál, X- obraz nebo Laplaceův obrázek A s- Laplaceova transformační proměnná. Originál je označen malým písmenem a jeho obrázek je označen velkým písmenem stejného jména.

    Předpokládá se, že funkce X(t), který prochází Laplaceovou transformací, má následující vlastnosti:

    1) funkce x(t) definované a po částech diferencovatelné na intervalu )

    Přečtěte si více: