Laplaceova transformace. K řešení lineárních diferenciálních rovnic použijeme Laplaceovu transformaci. Historie kontinuální Laplaceovy transformace komplexní Laplaceovy proměnné

Laplaceova transformace- integrální transformace týkající se funkce F (s) (\displaystyle \ F(s)) komplexní proměnná ( obraz) s funkcí f (x) (\displaystyle \f(x)) skutečná proměnná ( originál). S jeho pomocí jsou studovány vlastnosti dynamických systémů a řešeny diferenciální a integrální rovnice.

Jednou z vlastností Laplaceovy transformace, která předurčila její široké použití ve vědeckých a technických výpočtech, je to, že mnoho poměrů a operací na originálech odpovídá jednodušším poměrům na jejich obrazech. Konvoluce dvou funkcí v prostoru obrázků je tedy redukována na operaci násobení a lineární diferenciální rovnice se stávají algebraickými.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Laplaceova transformace - bezbotvy

✪ Přednáška 10: Laplaceova transformace

✪ Vyšší matematika - 4. Laplaceovy transformace. Část 1

✪ Laplaceova metoda pro DE řešení

✪ Přednáška 11: Aplikace Laplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic

titulky

Definice

Přímá Laplaceova transformace

lim b → ∞ ∫ 0 b | f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,)

pak konverguje absolutně a jednotně pro a je analytickou funkcí pro σ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) (σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- reálná část komplexní proměnné s (\displaystyle s)). Přesná spodní hranice σ a (\displaystyle \sigma _(a)) sady čísel σ (\displaystyle \sigma ), za kterých je tato podmínka splněna, se nazývá úsečka absolutní konvergence Laplaceova transformace pro funkci .

Podmínky pro existenci přímé Laplaceovy transformace

Laplaceova transformace L ( f (x) ) (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(x)\)) existuje ve smyslu absolutní konvergence v následujících případech:

σ ⩾ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant 0): Laplaceova transformace existuje, pokud existuje integrál ∫ 0 ∞ | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|\,dx);
σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)): Laplaceova transformace existuje, pokud je integrál ∫ 0 x 1 | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(0)^(x_(1))|f(x)|\,dx) existuje pro každou konečnost x 1 > 0 (\displaystyle x_(1)>0) A | f(x) | ⩽ K e σ a x (\displaystyle |f(x)|\leqslant Ke^(\sigma _(a)x)) Pro x > x 2 ≥ 0 (\displaystyle x>x_(2)\geqslant 0);
σ > 0 (\displaystyle \sigma >0) nebo σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a))(která z mezí je větší): existuje Laplaceova transformace, pokud pro funkci existuje Laplaceova transformace f ′ (x) (\displaystyle f"(x))(derivát z f (x) (\displaystyle f(x))) Pro σ > σ a (\displaystyle \sigma >\sigma _(a)).

Poznámka

Podmínky existence inverzní Laplaceovy transformace

Pro existenci inverzní Laplaceovy transformace stačí, aby byly splněny následující podmínky:

Pokud obrázek F (s) (\displaystyle F(s))- analytická funkce pro σ ≥ σ a (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(a)) a má řád menší než -1, pak inverzní transformace pro něj existuje a je spojitá pro všechny hodnoty argumentu a L − 1 ( F (s) ) = 0 (\displaystyle (\mathcal (L))^(-1)\(F(s)\)=0) Pro t ⩽ 0 (\displaystyle t\leqslant 0).
Nechat F (s) = φ [ F 1 (s) , F 2 (s) , … , F n (s) ] (\displaystyle F(s)=\varphi ), Tak φ (z 1, z 2, … , z n) (\displaystyle \varphi (z_(1),\;z_(2),\;\ldots ,\;z_(n))) je analytický ve vztahu ke každému z k (\displaystyle z_(k)) a rovná se nule pro z 1 = z 2 = … = z n = 0 (\displaystyle z_(1)=z_(2)=\ldots =z_(n)=0), A F k (s) = L ( f k (x) ) (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) (\displaystyle F_(k)(s)=(\mathcal (L))\(f_ (k)(x)\)\;\;(\sigma >\sigma _(ak)\dvojtečka k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)), pak existuje inverzní transformace a odpovídající přímá transformace má úsečku absolutní konvergence.

Poznámka: to jsou dostatečné podmínky pro existenci.

Konvoluční teorém

Hlavní článek: Konvoluční teorém

Diferenciace a integrace originálu

Obraz podle Laplacea první derivace originálu s ohledem na argument je součinem obrázku a argumentu druhého mínus originál na nule vpravo:

L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).)

Věty o počáteční a konečné hodnotě (limitní věty):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), pokud všechny póly funkce s F (s) (\displaystyle sF(s)) jsou v levé polorovině.

Věta o konečné hodnotě je velmi užitečná, protože popisuje chování originálu v nekonečnu pomocí jednoduchého vztahu. To se například používá k analýze stability trajektorie dynamického systému.

Další vlastnosti

Linearita:

L (af(x) + bg(x)) = aF(s) + bG(s) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s).)

Vynásobte číslem:

L ( f (a x) ) = 1 a F (s a) . (\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\vpravo).)

Přímá a inverzní Laplaceova transformace některých funkcí

Níže je tabulka Laplaceovy transformace pro některé funkce.

№	Funkce	Časová doména x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\mathcal (L))^(-1)\(X(s)\))	frekvenční oblasti X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\mathcal (L))\(x(t)\))	Oblast konvergence Pro kauzální systémy
1	ideální zpoždění	δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ )	e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ )
1a	jeden puls	δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ )	1 (\displaystyle 1\ )	∀ s (\displaystyle \forall s\ )
2	zpoždění n (\displaystyle n)	(t − τ) n n ! e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a	Napájení n (\displaystyle n)-tý řád	t n n ! ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.1	Napájení q (\displaystyle q)-tý řád	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t))	1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2a.2	jednofunkční	H (t) (\displaystyle H(t)\ )	1 s (\displaystyle (\frac (1)(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2b	jediná funkce se zpožděním	H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ )	e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2c	"rychlostní krok"	t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )	1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0)
2d	n (\displaystyle n)-tý řád s frekvenčním posunem	t n n ! e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1))))	s > −α (\displaystyle s>-\alpha )
2d.1	exponenciální rozpad	e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ )	1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha )))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
3	exponenciální aproximace	(1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ )	α s (s + α) (\displaystyle (\frac (\alpha )(s(s+\alpha))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
4	sinus	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
5	kosinus	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
6	hyperbolický-sinus	s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > \| α \| (\displaystyle s>\|\alpha \|\ )
7	hyperbolický-kosin	c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ )	s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2))))	s > \| α \| (\displaystyle s>\|\alpha \|\ )
8	exponenciálně chátrající sinus	e − α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ )	ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
9	exponenciálně chátrající kosinus	e − α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ )	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2))))	s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ )
10	vykořenit n (\displaystyle n)-tý řád	t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t))	s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\že jo))	s > 0 (\displaystyle s>0)
11	přirozený logaritmus	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t))	− t 0 s [ ln ⁡ (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ])	s > 0 (\displaystyle s>0)
12	Besselova funkce první druh objednat n (\displaystyle n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\vpravo)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ ) (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ )
13	první druh objednat n (\displaystyle n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t))	ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\vpravo)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)))))	s > \| ω \| (\displaystyle s>\|\omega \|\ )
14	besselova funkce druhý druh nulový řád	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ )	− 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2))))))	s > 0 (\displaystyle s>0\ )
15	upravená Besselova funkce druhý druh, nulový řád	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
16	chybová funkce	e r f (t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (erf) (t)\cdot H(t))	e s 2 / 4 e r f c (s / 2) s (\displaystyle (\frac (e^(s^(2)/4)\mathrm (erfc) (s/2))(s)))	s > 0 (\displaystyle s>0)
Poznámky ke stolu: H (t) (\displaystyle H(t)\ ); α (\displaystyle \alpha \ ), β (\displaystyle \beta \ ), τ (\displaystyle \tau \ ) A ω (\displaystyle \omega \ ) - Vztah k jiným transformacím Základní souvislosti Mellinova transformace Mellinova transformace a inverzní Mellinova transformace souvisí s oboustrannou Laplaceovou transformací jednoduchou změnou proměnných. Pokud v Mellinově transformaci G (s) = M ( g (θ) ) = ∫ 0 ∞ θ s g (θ) θ d θ (\displaystyle G(s)=(\mathcal (M))\levý\(g(\theta)\vpravo \)=\int \limits _(0)^(\infty )\theta ^(s)(\frac (g(\theta))(\theta ))\,d\theta ) dáme θ = e − x (\displaystyle \theta =e^(-x)), pak dostaneme oboustrannou Laplaceovu transformaci. Z-transformace Z (\displaystyle Z)-transformace je Laplaceova transformace mřížkové funkce, prováděná pomocí změny proměnných: z ≡ e s T , (\displaystyle z\equiv e^(sT),) Borel transformace Integrální forma Borelovy transformace je shodná s Laplaceovou transformací, existuje i zobecněná Borelova transformace, s jejíž pomocí se použití Laplaceovy transformace rozšiřuje na širší třídu funkcí. Bibliografie Van der Pol B., Bremer H. Operační počet založený na oboustranné Laplaceově transformaci. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1952. - 507 s. Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integrální transformace a operační počet. - M.: Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury nakladatelství Nauka, 1974. - 544 s. Ditkin V. A., Kuzněcov P. I. Příručka operačního počtu: Základy teorie a tabulky vzorců. - M.: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1951. - 256 s. Carslow H., Jaeger D. Operační metody v aplikované matematice. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1948. - 294 s. Kozhevnikov N. I., Krasnoshchekova T. I., Shishkin N. E. Fourierovy řady a integrály. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplaceovy transformace. - M. : Nauka, 1964. - 184 s. Krasnov M. L., Makarenko G. I. operační kalkul. Stabilita pohybu. - M. : Nauka, 1964. - 103 s. Mikušinský ano. Operátorský kalkul. - M.: Nakladatelství zahraniční literatury, 1956. - 367 s. Romanovský P.I. Fourierova řada. Teorie pole. Analytické a speciální funkce. Laplaceovy transformace. - M. : Nauka, 1980. - 336 s.

Oddíl II. Matematická analýza

E. Yu Anokhina

HISTORIE VÝVOJE A VZNIKU TEORIE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ (TFV) JAKO PŘEDMĚTU

Jedním z komplexních matematických kurzů je kurz TFKT. Složitost tohoto kurzu je dána především různorodostí jeho vzájemných vztahů s ostatními matematickými disciplínami, historicky vyjádřenými v široké aplikované orientaci vědy TFKT.

V odborné literatuře o dějinách matematiky jsou informace o historii vývoje TFCT roztroušené, vyžadují systematizaci a zobecnění.

V tomto ohledu je hlavním úkolem tohoto článku stručný popis vývoje TFCT a formování této teorie jako vzdělávacího předmětu.

Výsledkem studie byly následující tři fáze vývoje TFCT jako vědeckého a akademického předmětu:

Fáze vzniku a rozpoznávání komplexních čísel;

Fáze hromadění faktografického materiálu o funkcích imaginárních veličin;

Fáze vzniku teorie funkcí komplexní proměnné.

První etapa vývoje TFKP (polovina 16. století - 18. století) začíná dílem G. Cardana (1545), který publikoval Artis magnae sive de regulis algebraitis (Velké umění nebo o algebraických pravidlech). Práce G. Cardana měla za hlavní úkol doložit obecné algebraické metody řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně, které nedávno objevili Ferro (1465-1526), Tartaglia (1506-1559) a Ferrari (1522-1565). ). Pokud je kubická rovnice redukována do tvaru

x3 + px + q = 0,

a měl by být

Když (p^Ap V (|- 70) má rovnice tři reálné kořeny a dva z nich

jsou si navzájem rovny. Pokud pak má rovnice jednu skutečnou a dvě ko-

spřádané složité kořeny. V konečném výsledku se objevují komplexní čísla, takže G. Cardano mohl udělat to, co dělali před ním: prohlásit rovnici za mít

jeden kořen. Když (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так

Takzvaný neredukovatelný případ se vyznačuje jedním znakem, se kterým se setkal až v 16. století. Rovnice x3 - 21x + 20 = 0 má tři reálné kořeny 1, 4, - 5, což je snadné

zkontrolovat jednoduchou substitucí. Ale ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; tedy podle obecného vzorce x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Komplexní, tzn. "nepravda", číslo zde není výsledkem, ale mezičlenem ve výpočtech, které vedou ke skutečným kořenům příslušné rovnice. G. Cardano narazil na problém a uvědomil si, že pro zachování obecnosti tohoto vzorce je nutné upustit od úplného ignorování komplexních čísel. J. D'Alembert (1717-1783) věřil, že právě tato okolnost přiměla G. Cardana a matematiky, kteří následovali tuto myšlenku, začít se vážně zajímat o komplexní čísla.

V této fázi (v 17. století) byly obecně přijímány dva názory. První názor vyjádřil Girard, který nastolil otázku uznání potřeby neomezeného používání komplexních čísel. Druhý - Descartes, který popíral možnost interpretace komplexních čísel. Protikladem k názoru Descarta byl pohled J. Wallise - o existenci skutečné interpretace komplexních čísel Descartes ignoroval. Komplexní čísla začala být „nucena“ používat při řešení aplikovaných úloh v situacích, kdy použití reálných čísel vedlo ke komplexnímu výsledku, nebo výsledek nebylo možné získat teoreticky, ale měl praktickou realizaci.

Intuitivní používání komplexních čísel vedlo k potřebě zachovat zákony a pravidla aritmetiky reálných čísel na množině komplexních čísel, zejména došlo k pokusům o přímý přenos. To někdy vedlo k chybným výsledkům. V tomto ohledu se staly aktuálními otázky opodstatněnosti komplexních čísel a konstrukce algoritmů pro jejich aritmetiku. To byl začátek nové etapy ve vývoji TFCT.

Druhá etapa vývoje TFKP (počátek 18. století - 19. století). V XVIII století. L. Euler vyjádřil myšlenku algebraického uzavření oboru komplexních čísel. Algebraické uzavření oboru komplexních čísel C vedlo matematiky k následujícím závěrům:

Že studium funkcí a matematická analýza obecně získávají svou náležitou úplnost a úplnost pouze tehdy, když uvažujeme o chování funkcí v komplexní oblasti;

Za proměnné je nutné uvažovat komplexní čísla.

V roce 1748 L. Euler (1707-1783) ve svém díle "Úvod do analýzy infinitesimál" představil komplexní proměnnou jako nejobecnější pojem proměnné, při rozkladu funkcí na lineární faktory používá komplexní čísla. L. Euler je právem považován za jednoho z tvůrců TFCT. V pracích L. Eulera byly podrobně studovány elementární funkce komplexní proměnné (1740-1749), uvedeny podmínky diferencovatelnosti (1755) a počátek integrálního počtu funkcí komplexní proměnné (1777). L. Euler prakticky zavedl konformní mapování (1777). Tato zobrazení nazval „v malém podobném“ a termín „konformní“ zřejmě poprvé použil petrohradský akademik F. Schubert (1789). L. Euler také dal četné aplikace funkcí komplexní proměnné na různé matematické problémy a položil základ pro jejich aplikaci v hydrodynamice (17551757) a kartografii (1777). K. Gauss formuluje definici integrálu v komplexní rovině, integrální větu o expanzi analytické funkce do mocninné řady. Laplace používá komplexní proměnné k výpočtu obtížných integrálů a vyvíjí metodu pro řešení lineárních, diferenčních a diferenciálních rovnic známou jako Laplaceova transformace.

Počínaje rokem 1799 se objevují články, ve kterých jsou uvedeny více či méně vhodné interpretace komplexního čísla a definovány akce na nich. Docela obecný teoretický výklad a geometrický výklad vydal K. Gauss až v roce 1831.

L. Euler a jeho současníci zanechali potomkům bohaté dědictví v podobě nashromážděných, někde systematizovaných, někde ne, ale stále rozptýlených faktů na TFCT. Dá se říci, že faktografický materiál o funkcích imaginárních veličin si takříkajíc vyžádal svou systematizaci do podoby teorie. Tato teorie se začala formovat.

Třetí etapa formování TFKP (XIX století - XX století). Hlavní úspěchy zde patří O. Cauchymu (1789-1857), B. Riemannovi (1826-1866) a K. Weierstrassovi (1815-1897). Každý z nich představoval jeden ze směrů vývoje TFKP.

Představitelem prvního směru, který se v dějinách matematiky nazýval „teorie monogenních neboli diferencovatelných funkcí“, byl O. Cauchy. Formalizoval nesourodá fakta na diferenciálním a integrálním počtu funkcí komplexní proměnné, vysvětlil význam základních pojmů a operací s imaginárními. V dílech O. Cauchyho je uvedena teorie limit a na ní založená teorie řad a elementárních funkcí, je formulován teorém, který zcela objasňuje oblast konvergence mocninné řady. V roce 1826 zavedl O. Cauchy termín: srážka (doslova: zbytek). Ve spisech z let 1826 až 1829 vytvořil teorii dedukcí. O. Cauchy odvodil integrální vzorec; získal existenční teorém pro expanzi funkce komplexní proměnné do mocninné řady (1831). O. Cauchy položil základy teorie analytických funkcí více proměnných; určil hlavní větve vícehodnotových funkcí komplexní proměnné; poprvé použité rovinné řezy (1831-1847). V roce 1850 zavádí pojem monodromické funkce a vyčleňuje třídu monogenních funkcí.

Následovníkem O. Cauchy byl B. Riemann, který také vytvořil svůj vlastní „geometrický“ (druhý) směr vývoje TFCT. Ve svých dílech překonal izolovanost představ o funkcích komplexních proměnných a vytvořil nová oddělení této teorie, úzce související s jinými disciplínami. Riemann udělal v podstatě nový krok v historii teorie analytických funkcí, navrhl spojit s každou funkcí komplexní proměnné myšlenku mapování jedné oblasti na druhou. Rozlišoval mezi funkcemi komplexní a reálné proměnné. B. Riemann položil základy geometrické teorie funkcí, zavedl Riemannovu plochu, rozvinul teorii konformních zobrazení, vytvořil spojení mezi analytickými a harmonickými funkcemi, uvedl v úvahu funkci zeta.

Další vývoj TFKP probíhal jiným (třetím) směrem. Jejím základem byla možnost reprezentace funkcí mocninnými řadami. Tento trend dostal v historii název „analytický“. Zformovala se v dílech K. Weierstrasse, v nichž vynesl do popředí koncept jednotné konvergence. K. Weierstrass formuloval a dokázal větu o zákonnosti redukování podobných členů v řadě. K. Weierstrass dospěl k zásadnímu výsledku: limita posloupnosti analytických funkcí, která konverguje rovnoměrně uvnitř určité oblasti, je analytická funkce. Dokázal zobecnit Cauchyho větu o rozšiřování mocninných řad funkce komplexní proměnné a popsal proces analytického pokračování mocninných řad a jeho aplikaci na reprezentaci řešení soustavy diferenciálních rovnic. K. Weierstrass prokázal skutečnost nejen absolutní konvergence řady, ale také stejnoměrné konvergence. Weierstrassova věta se objevuje při expanzi celé funkce do součinu. Pokládá základy teorie analytických funkcí mnoha proměnných, buduje teorii dělitelnosti mocninných řad.

Zvažte vývoj teorie analytických funkcí v Rusku. Ruští matematici XIX století. dlouho se nechtěli věnovat novému oboru matematiky. Navzdory tomu můžeme jmenovat několik jmen, pro která nebyla cizí, a uvést některá díla a úspěchy těchto ruských matematiků.

Jedním z ruských matematiků byl M.V. Ostrogradskij (1801-1861). O M.V. O Ostrogradském je v oblasti teorie analytických funkcí málo známo, ale O. Cauchy chválil tohoto mladého ruského vědce, který aplikoval integrály a podal nové důkazy vzorců a zobecnil další vzorce. M.V. Ostrogradsky napsal práci „Poznámky k určitým integrálům“, ve které odvodil Cauchyho vzorec pro dedukce funkce s ohledem na pól n-tého řádu. V rozsáhlém veřejném přednáškovém kurzu pořádaném v letech 1858-1859 nastínil aplikace teorie reziduí a Cauchyho vzorce na výpočet určitých integrálů.

Řada děl N.I. Lobačevského, které mají přímý význam pro teorii funkcí komplexní proměnné. Teorie elementárních funkcí komplexní proměnné je obsažena v jeho díle „Algebra nebo výpočet konečných“ (Kazan, 1834). Ve kterém cos x a sin x jsou definovány zpočátku pro reálné x jako skutečné a

imaginární část funkce ex^. Pomocí dříve stanovených vlastností exponenciální funkce a mocninných expanzí jsou odvozeny všechny hlavní vlastnosti goniometrických funkcí. Podle-

Lobačevskij zjevně přikládal zvláštní důležitost takové čistě analytické konstrukci trigonometrie, nezávislé na euklidovské geometrii.

Lze tvrdit, že v posledních desetiletích XIX století. a první desetiletí 20. století. základní výzkum v teorii funkcí komplexní proměnné (F. Klein, A. Poincaré, P. Kebe) spočíval v postupném objasňování skutečnosti, že Lobačevského geometrie je zároveň geometrií analytických funkcí jednoho komplexu. variabilní.

V roce 1850 profesor Petrohradské univerzity (později akademik) I.I. Somov (1815-1876) publikoval Základy teorie analytických funkcí, které byly založeny na Jacobiho nových základech.

Prvním skutečně „originálním“ ruským badatelem v oblasti teorie analytických funkcí komplexní proměnné byl však Yu.V. Sochotskij (1842-1929). Obhájil diplomovou práci „Teorie integrálních zbytků s některými aplikacemi“ (Petrohrad, 1868). Od podzimu 1868 Yu.V. Sokhotsky vyučoval kurzy teorie funkcí imaginární proměnné a pokračování zlomků s aplikacemi na analýzu. Diplomová práce Yu.V. Sokhotsky se věnuje aplikacím teorie reziduí na inverzi mocninných řad (Lagrangeova řada) a zejména expanzi analytických funkcí na spojité zlomky a také Legendreovým polynomům. V tomto článku je formulována a dokázána známá věta o chování analytické funkce v okolí esenciálního singulárního bodu. V doktorské práci Sochotského

(1873) je poprvé představen koncept integrálu Cauchyho typu v rozšířené podobě: *r/ ^ & _ kde

a a b jsou dvě libovolná komplexní čísla. Předpokládá se, že integrál je veden podél nějaké křivky („trajektorie“) spojující a a b. V této práci je dokázána řada teorémů.

Obrovskou roli v historii analytických funkcí sehrála díla N.E. Zhukovsky a S.A. Chaplygin, který otevřel neomezenou oblast svých aplikací v aero- a hydromechanice.

Když už mluvíme o vývoji teorie analytických funkcí, nelze nezmínit studie S.V. Kovalevskaya, ačkoli jejich hlavní význam leží mimo tuto teorii. Úspěch její práce byl dán zcela novou formulací problému z hlediska teorie analytických funkcí a zohledněním času t jako komplexní proměnné.

Na přelomu XX století. mění se charakter vědeckého výzkumu v oblasti teorie funkcí komplexní proměnné. Jestliže dříve byla většina výzkumů v této oblasti prováděna z hlediska vývoje jednoho ze tří směrů (teorie monogenních nebo diferencovatelných Cauchyových funkcí, Riemannovy geometrické a fyzikální představy, analytický směr Weierstrasse), nyní rozdíly a kontroverze s nimi spojené jsou překonávány, objevují se a rychle narůstají počet děl, v nichž dochází k syntéze myšlenek a metod. Jedním ze základních pojmů, na kterém se jasně ukázala souvislost a korespondence mezi geometrickými reprezentacemi a aparátem mocninných řad, byl koncept analytického pokračování.

Na konci XIX století. Teorie funkcí komplexní proměnné zahrnuje rozsáhlý komplex disciplín: geometrickou teorii funkcí založenou na teorii konformních zobrazení a Riemannových ploch. Dostali jsme integrální formu teorie různých typů funkcí: celočíselné a meromorfní, eliptické a modulární, automorfní, harmonické, algebraické. V úzké návaznosti na poslední třídu funkcí byla vyvinuta teorie Abelových integrálů. K tomuto komplexu se připojila analytická teorie diferenciálních rovnic a analytická teorie čísel. Teorie analytických funkcí navázala a posílila vazby s ostatními matematickými disciplínami.

Bohatství vzájemných vztahů mezi TFCT a algebrou, geometrií a dalšími vědami, vytvoření systematických základů vědy samotné TFCT, její velký praktický význam přispěly k formování TFCT jako akademického předmětu. Současně s dokončením tvorby základů se však do teorie analytických funkcí vnesly nové myšlenky, které výrazně změnily její složení, povahu a cíle. Objevují se monografie obsahující systematický výklad teorie analytických funkcí ve stylu blízkém axiomatickému a mající také vzdělávací účely. Význam výsledků o TFCT, získaných vědci sledovaného období, je zřejmě přiměl k popularizaci TFCT formou přednášek a publikování monografických studií v pedagogické perspektivě. Lze dojít k závěru, že TFCT se jevil jako učení

předmět. V roce 1856 vydali Ch. Briot a T. Bouquet malé memoáry „Vyšetřování funkcí imaginární proměnné“, které jsou v podstatě první učebnicí. Obecné pojmy v teorii funkce komplexní proměnné se začaly zpracovávat na přednáškách. Od roku 1856 přednášel K. Weiersht-rass o reprezentaci funkcí konvergentními mocninnými řadami a od roku 1861 o obecné teorii funkcí. V roce 1876 se objevila speciální práce K. Weierstrasse: „O teorii jednohodnotových analytických funkcí“ a v roce 1880 „O nauce o funkcích“, v nichž jeho teorie analytických funkcí získala určitou úplnost.

Weierstrassovy přednášky sloužily řadu let jako prototyp učebnic teorie funkcí komplexní proměnné, které se od té doby začaly objevovat poměrně často. Právě v jeho přednáškách byl v podstatě vybudován moderní standard přísnosti v matematické analýze a byla vybrána struktura, která se stala tradiční.

REFERENCE

1. Andronov I.K. Matematika reálných a komplexních čísel. M.: Vzdělávání, 1975.

2. Klein F. Přednášky o vývoji matematiky v 19. století. M.: ONTI, 1937. 1. díl.

3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. Moskva: Nauka, 1987.

4. Markushevich A.I. Teorie analytických funkcí. M.: Stát. nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950.

5. Matematika 19. století. Geometrie. Teorie analytických funkcí / ed. A. N. Kolmogorova a A. P. Juškevič. Moskva: Nauka, 1981.

6. Matematická encyklopedie / kap. vyd. I. M. Vinogradov. M.: Sovětská encyklopedie, 1977. T. 1.

7. Matematická encyklopedie / kap. vyd. I. M. Vinogradov. M.: Sovětská encyklopedie, 1979. Svazek 2.

8. Mladý V.N. Základy nauky o počtu v 18. a na počátku 19. století. Moskva: Uchpedgiz, 1963.

9. Rybnikov K.A. Historie matematiky. M.: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1963. 2. část.

NE. Lyakhova DOTEK ROVINNÝCH KŘIVEK

Otázka tečnosti rovinných křivek v případě, kdy úsečky společných bodů jsou nalezeny z rovnice tvaru Рп x = 0, kde Р x je nějaký polynom, přímo souvisí s otázkou

na násobnosti kořenů polynomu Pn x . V tomto článku jsou odpovídající výroky formulovány pro případy explicitního i implicitního přiřazení funkcí, jejichž grafy jsou křivky, a je ukázáno i použití těchto výroků při řešení úloh.

Pokud křivky, které jsou grafy funkcí y \u003d f (x) a y \u003d cp x, mají společný bod

M() x 0; v0, tj. y0 \u003d f x0 \u003d cp x0 a tečny k uvedeným křivkám nakresleným v bodě M () x0; v0 se neshodují, pak říkáme, že křivky y = fix) a y - cp x se protínají v bodě Mo xo;

Obrázek 1 ukazuje příklad průsečíku grafů funkcí.

K řešení lineárních diferenciálních rovnic použijeme Laplaceovu transformaci.

Laplaceova transformace nazývaný poměr

funkce nastavení x(t) reálná proměnná t in line funkce X komplexní proměnná s (s = σ+ jω). V čem x(t) volal originál, X- obraz nebo obraz podle Laplacea A s- Laplaceova transformační proměnná. Originál je označen malým písmenem a jeho obrázek je označen velkým písmenem stejného jména.