Příklad vb6 spektrální Fourierova analýza. Časové řady ve STATISTICE. Spektrální (Fourierova) analýza. Rychlá Fourierova transformace

Metoda analýzy byla založena na tzv. Fourierově řadě. Série začíná rozkladem složité formy na jednoduché. Fourier ukázal, že komplexní průběh může být reprezentován jako součet jednoduchých vln. Rovnice popisující klasické systémy jsou zpravidla snadno vyřešeny pro každou z těchto jednoduchých vln. Fourier dále ukázal, jak lze tato jednoduchá řešení shrnout, aby poskytla řešení komplexního problému jako celku. (Matematicky řečeno, Fourierova řada je metoda reprezentace funkce jako součtu harmonických - sinus a kosinus, takže Fourierova analýza byla také známá jako "harmonická analýza".)

Podle Fourierovy hypotézy neexistuje žádná funkce, kterou by nebylo možné rozšířit do trigonometrické řady. Podívejme se, jak lze toto rozšíření provést. Uvažujme následující systém ortonormálních funkcí na intervalu [–π, π]: (1, cos(t),
hřích(t),
cos(2t),
hřích (2t),
cos (3 t),
hřích (3t), …,
cos(nt),
sin(nt),…).

Na základě skutečnosti, že tento systém funkcí je ortonormální, lze funkci f(t) na segmentu [π, –π] aproximovat následovně:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
hřích(3t)+… (6)

Koeficienty α n , β n se vypočítají prostřednictvím skalárního součinu funkce a bazické funkce podle vzorců diskutovaných dříve a jsou vyjádřeny takto:

α 0 = , 1> =
,

a n = , cos(nt) >=
,

β n = , sin(nt) >=
.

Výraz (6) lze zapsat v komprimované podobě takto:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

a n =
a n =
, (8)

bn=
β n=
. (9)

Protože při n = 0 cos(0) = 1, vyjadřuje konstanta a 0 /2 obecný tvar koeficientu a n při n = 0.

Koeficienty a n a b n se nazývají Fourierovy koeficienty a zobrazení funkce f(t) podle vzorce (7) se nazývá expanze ve Fourierově řadě. Někdy se rozšíření Fourierovy řady, prezentované v této podobě, nazývá skutečným rozšířením Fourierovy řady a koeficienty se nazývají skutečné Fourierovy koeficienty. Termín "skutečný" je zaveden pro odlišení tohoto rozkladu od komplexního rozkladu.

Pojďme analyzovat výrazy (8) a (9). Koeficient a 0 je průměrná hodnota funkce f(t) na segmentu [–π, π] nebo konstantní složka signálu f(t). Koeficienty a n a b n (pro n> 0) jsou amplitudy kosinusové a sinusové složky funkce (signálu) f(t) s úhlovou frekvencí rovnou n. Jinými slovy, tyto koeficienty určují velikost frekvenčních složek signálů. Například, když mluvíme o zvukovém signálu s nízkými frekvencemi (například zvuky baskytary), znamená to, že koeficienty a n a b n jsou větší pro menší hodnoty n a naopak - ve vysokých- frekvenční zvukové vibrace (například zvuk houslí) je větší pro větší hodnoty n.

Oscilace největší periody (nebo nejnižší frekvence), reprezentované součtem a 1 cos(t) a b 1 sin(t), se nazývá oscilace základní frekvence nebo první harmonická. Kmit s periodou rovnou polovině periody základní frekvence je druhá harmonická, kmit s periodou rovnou 1/n základní frekvence je n-harmonická. Rozšířením funkce f(t) do Fourierovy řady tedy můžeme provést přechod z časové oblasti do frekvenční oblasti. Takový přechod je obvykle nutný k odhalení signálních znaků, které jsou v časové oblasti „neviditelné“.

Všimněte si, že vzorce (8) a (9) jsou použitelné pro periodický signál s periodou rovnou 2π. V obecném případě lze periodický signál s periodou T rozšířit do Fourierovy řady, pak se při expanzi použije segment [–T/2, T/2]. Perioda první harmonické je rovna T a složky budou mít tvar cos(2πt/T) a sin(2πt/T), složky n-harmonické budou cos(2πtn/T) a sin(2πtn /T).

Funkci f(t) na intervalu [–T/2,T/2] lze aproximovat následovně:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

bn=
.

Označíme-li úhlovou frekvenci první harmonické ω 0 = 2π/T, pak složky n-harmonické nabývají tvaru cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) a

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

kde Fourierovy koeficienty se počítají podle vzorců:

a n =
,

b n =
.

Jakákoli vlna složitého tvaru může být reprezentována jako součet jednoduchých vln.

Joseph Fourier chtěl matematicky popsat, jak se teplo šíří pevnými předměty ( cm. Výměna tepla). Možná jeho zájem o teplo vzplanul, když byl v severní Africe: Fourier doprovázel Napoleona na francouzské výpravě do Egypta a nějakou dobu tam žil. Aby dosáhl svého cíle, musel Fourier vyvinout nové matematické metody. Výsledky jeho výzkumu byly publikovány v roce 1822 v práci „Analytická teorie tepla“ ( Theorie analytické de la chaleur), kde popsal, jak analyzovat složité fyzikální problémy jejich rozložením na řadu jednodušších.

Metoda analýzy byla založena na tzv Fourierova řada. V souladu s principem interference začíná řada rozkladem složitého tvaru na jednoduché - např. změna zemského povrchu je způsobena zemětřesením, změna dráhy komety vlivem přitažlivost několika planet, změna tepelného toku v důsledku jeho průchodu nepravidelně tvarovanou překážkou z tepelně izolačního materiálu. Fourier ukázal, že komplexní průběh může být reprezentován jako součet jednoduchých vln. Rovnice popisující klasické systémy jsou zpravidla snadno vyřešeny pro každou z těchto jednoduchých vln. Fourier dále ukázal, jak lze tato jednoduchá řešení shrnout, aby poskytla řešení komplexního problému jako celku. (Matematicky řečeno, Fourierova řada je metoda reprezentace funkce jako součtu harmonických – sinus a kosinus, takže Fourierova analýza byla také známá jako harmonická analýza.)

Až do příchodu počítačů v polovině dvacátého století byly Fourierovy metody a podobné nejlepší zbraně ve vědeckém arzenálu při útoku na složitosti přírody. Od příchodu komplexních Fourierových metod je vědci dokázali používat k řešení nejen jednoduchých problémů, které lze řešit přímou aplikací Newtonových zákonů mechaniky a dalších základních rovnic. Mnoho z velkých úspěchů newtonovské vědy v 19. století by ve skutečnosti nebylo možné bez použití metod, které poprvé navrhl Fourier. V budoucnu se tyto metody využívaly při řešení problémů v různých oborech – od astronomie po strojírenství.

Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

Francouzský matematik. Narozen v Auxerre; v devíti letech zůstal sirotkem. Již v mladém věku projevoval nadání pro matematiku. Fourier získal vzdělání na církevní škole a vojenské škole, poté působil jako učitel matematiky. Po celý život se aktivně věnoval politice; byl v roce 1794 zatčen za obranu obětí teroru. Po smrti Robespierra byl propuštěn z vězení; podílel se na vzniku slavné polytechnické školy (Ecole Polytechnique) v Paříži; jeho pozice mu poskytla odrazový můstek k postupu za Napoleonova režimu. Doprovázel Napoleona do Egypta, byl jmenován guvernérem Dolního Egypta. Po návratu do Francie v roce 1801 byl jmenován guvernérem jedné z provincií. V roce 1822 se stal stálým tajemníkem Francouzské akademie věd, vlivné postavení ve vědeckém světě Francie.

FOURIER TRANSFORMA A KLASICKÁ DIGITÁLNÍ SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA.
Medveděv S.Yu., Ph.D.

Úvod

Spektrální analýza je jednou z metod zpracování signálu, která umožňuje charakterizovat frekvenční složení měřeného signálu. Fourierova transformace je matematický rámec, který spojuje časový nebo prostorový signál (nebo nějaký model tohoto signálu) s jeho reprezentací ve frekvenční doméně. Statistické metody hrají důležitou roli ve spektrální analýze, protože signály jsou během šíření nebo měření obvykle náhodné nebo zašuměné. Pokud by byly hlavní statistické charakteristiky signálu přesně známy nebo by mohly být určeny z konečného intervalu tohoto signálu, pak by spektrální analýza byla odvětvím "exaktní vědy". Ve skutečnosti však lze ze segmentu signálu získat pouze odhad jeho spektra. Praxe spektrální analýzy je proto druhem řemesla (nebo umění?) spíše subjektivní povahy. Rozdíl mezi spektrálními odhady získanými jako výsledek zpracování stejného segmentu signálu různými metodami lze vysvětlit rozdílem v předpokladech učiněných o datech, různými metodami průměrování atd. Pokud nejsou charakteristiky signálu a priori známy, nelze říci, který z odhadů je lepší.

Fourierova transformace - matematický základ spektrální analýzy
Pojďme si krátce probrat různé typy Fourierovy transformace (více podrobností viz ).
Začněme Fourierovou transformací časově spojitého signálu

, (1)

který identifikuje frekvence a amplitudy oněch komplexních sinusoid (exponenciálních), na které se rozloží nějaké libovolné kmitání.
Reverzní transformace

. (2)

Existence dopředné a inverzní Fourierovy transformace (kterou budeme nazývat Fourierova transformace ve spojitém čase – CTFT) je dána řadou podmínek. Dostatečná - absolutní integrovatelnost signálu

. (3)

Méně omezující postačující podmínkou je konečnost energie signálu

. (4)

Uvádíme řadu základních vlastností Fourierovy transformace a funkcí použitých níže, přičemž si všimneme, že obdélníkové okno je definováno výrazem

(5)

a funkce sinc je výraz

(6)

Funkce vzorků v časové oblasti je určena výrazem

(7)

Tato funkce se někdy také nazývá funkce periodického pokračování.

Tabulka 1. Hlavní vlastnosti NVPF a funkce

Další důležitá vlastnost je založena Parsevalovou větou pro dvě funkce g(t) a h(t):

. (8)

Pokud dáme g(t) = h(t), pak se Parsevalova věta redukuje na větu o energii

. (9)

Výraz (9) je v podstatě jen formulací zákona zachování energie ve dvou doménách (časové a frekvenční). V (9) je celková energie signálu vlevo, tedy funkce

(10)

popisuje frekvenční rozložení energie pro deterministický signál h(t) a nazývá se proto energetická spektrální hustota (SPD). Výrazy

(11)

lze vypočítat amplitudová a fázová spektra signálu h(t).

Diskretizační a váhové operace

V další části si představíme diskrétní časovou Fourierovu řadu (DTFT) nebo jinak i diskrétní Fourierovu transformaci (DFT) jako speciální případ spojité časové Fourierovy transformace (CTFT) pomocí dvou základních operací zpracování signálu - vzorkování ( diskretizace) A vážení pomocí okna. Zde uvažujeme o vlivu těchto operací na signál a jeho transformaci. Tabulka 2 uvádí funkce, které provádějí vážení a diskretizaci.

Při rovnoměrných odečítáních s intervalem T sekund je vzorkovací frekvence F rovna 1 /T Hz. Všimněte si, že váhová funkce a vzorkovací funkce v časové oblasti jsou označeny TW (časové okénko) a TS (časové vzorkování) a ve frekvenční doméně FW (frekvenční okénko) a FS (frekvenční vzorkování).

Tabulka 2. Váhové a diskretizační funkce

Předpokládejme, že se odebírají vzorky spojitého reálného signálu x(t) s omezeným spektrem, jehož horní frekvence je rovna F0. NITF reálného signálu je vždy symetrická funkce o celkové šířce 2F0, viz obr.1.
Vzorky signálu x(t) lze získat vynásobením tohoto signálu funkcí vzorků:

(12)

Obr.1 je ilustrace vzorkovacího teorému v časové oblasti pro reálný spektrálně omezený signál:
a - původní funkce času a jeho Fourierova transformace;
b - funkce čtení v čase a její Fourierova transformace;
c - časová čtení původní funkce a její periodicky rozšiřovaná Fourierova transformace pro případ Fo<1/2T;
d - frekvenční okno (ideální dolní propust) a jeho Fourierova transformace (funkce sinc);
d je původní časová funkce, obnovená pomocí konvoluční operace s funkcí sinc.

Podle teorému o konvoluci ve frekvenční oblasti je CTF signálu x(t) jednoduše konvolucí spektra signálu x(t) a Fourierovy transformace funkce časového vzorku (TS):

. (13)

Konvoluce X(f) s Fourierovou transformací vzorkovací funkce F(TS)=Y1/T(f) jednoduše pokračuje v X(f) periodicky s frekvenčním intervalem 1/T Hz. Proto XS(f) je periodicky rozšířené spektrum X(f). V obecném případě vzorky v jedné oblasti (například čas) vedou k periodickému pokračování v oblasti transformace (například frekvence). Pokud je vzorkovací frekvence zvolena dostatečně nízká (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Aby se z jeho odečtů obnovil původní časový signál, tzn. pro interpolaci určitého kontinua hodnot mezi těmito vzorky je možné vzorkovaná data propustit přes ideální dolní propust s obdélníkovou frekvenční odezvou (obr. 1d)

. (14)

V důsledku toho (viz obr. 1e) se obnoví původní Fourierova transformace. Pomocí konvolučních teorémů v časové a frekvenční oblasti získáme

. (15)

Výraz (15) je matematický zápis vzorkovací teorémy v časové oblasti(věty Whittakera, Kotelnikova, Shannona - UKSH), která uvádí, že pomocí interpolačního vzorce (15) lze přesně obnovit reálný signál s omezeným spektrem nekonečným počtem známé časové údaje s frekvencí F і 2F0. Duál k větě (15) je věta vzorky ve frekvenční oblasti pro signály s omezenou dobou trvání.
Operace v časové oblasti podobné (14) jsou popsány výrazem

, (16)

a odpovídající transformace - pomocí výrazů

NITF X(f) určitého signálu s omezenou dobou trvání lze tedy jednoznačně obnovit z ekvidistantních vzorků spektra takového signálu, pokud zvolený interval vzorkování frekvence splňuje podmínku F1/2T 0 Hz, kde T 0 je trvání signálu.

Vztahy mezi spojitými a diskrétními transformacemi

Dvojice transformací pro obvyklou definici diskrétní Fourierovy transformace (DFT) N-bodu časové posloupnosti x[n] a odpovídající N-bod Fourierovy transformační sekvence X[k] je dáno výrazy

, (18)
. (19)

Abychom získali spektrální odhady ze vzorků dat v odpovídajících jednotkách energie nebo výkonu, zapíšeme Fourierovu řadu s diskrétním časem (DTFT), kterou lze považovat za určitou aproximaci spojité Fourierovy transformace (CTFT), založenou na použití konečného počtu vzorků dat:

Abychom ukázali povahu korespondence s dvrf ( oddělený funkce v časové i frekvenční oblasti) a CTF (spojité funkce v časové a frekvenční oblasti), potřebujeme sekvenci čtyř lineárních komutačních operací: vážení v časové a frekvenční oblasti a odběr vzorků nebo odběr vzorků jak v časové, tak frekvenční oblasti. Pokud je operace vážení provedena v jedné z těchto oblastí, pak podle konvoluční věty bude odpovídat provedení operace filtrování (konvoluce) v jiné oblasti s funkcí sinc. Podobně, pokud se diskretizace provádí v jedné oblasti, pak se operace periodického pokračování provádí ve druhé. Vzhledem k tomu, že vážení a vzorkování jsou lineární a komutativní operace, existují různé způsoby jejich řazení, které poskytují stejný konečný výsledek s různými mezivýsledky. Obrázek 2 ukazuje dvě možné sekvence pro tyto čtyři operace.

Rýže. 2. Dvě možné sekvence dvou operací vážení a dvou operací vzorkování, propojující NTPF a DTRF: FW - aplikace okna ve frekvenční oblasti; TW - aplikace okna v časové oblasti; FS - vzorkování ve frekvenční oblasti; TS - vzorkování v časové oblasti.
1 - Fourierova transformace se spojitým časem, rovnice (1);
4 - Fourierova transformace s diskrétním časem, rovnice (22);
5 - Fourierova řada se spojitým časem, rovnice (25);
8 - Fourierova řada s diskrétním časem, rovnice (27)

V důsledku provádění operací vážení a vzorkování v uzlech 1, 4, 5 a 8 budou existovat čtyři různé typy Fourierových vztahů. Uzly, ve kterých je funkce in frekvenční doména je spojitá, odkazují na transformací Fourier a uzly, ve kterých je funkce ve frekvenční oblasti oddělený odkazují na Fourierova řada(další podrobnosti viz).
Takže v uzlu 4 se generuje vážení ve frekvenční oblasti a vzorkování v časové oblasti transformace v diskrétním čase Fourierova transformace (DTFT), která se vyznačuje periodickou funkcí spektra ve frekvenční oblasti s periodou 1/T Hz:

(22)

(23)

Všimněte si, že výraz (22) definuje určitou periodickou funkci, která se shoduje s původní transformovanou funkcí specifikovanou v uzlu 1 pouze ve frekvenčním rozsahu od -1/2T do 1/2T Hz. Výraz (22) souvisí se Z-transformací diskrétní sekvence x[n] vztahem

(24)

Takže DTFT je jen Z-transformace vypočítaná na jednotkové kružnici a vynásobená T.
Pokud se přesuneme z uzlu 1 do uzlu 8 na obr. 2 podél spodní větve, v uzlu 5, operace vážení v časové oblasti (omezující trvání signálu) a vzorkování ve frekvenční oblasti generují Fourierovu řadu se spojitým časem ( CTSF). Pomocí vlastností a definic funkcí uvedených v tabulkách 1 a 2 získáme následující dvojici transformací
(25)
(26)

Všimněte si, že výraz (26) definuje určitou periodickou funkci, která se shoduje s původní (v uzlu 1) pouze v časovém intervalu od 0 do NT.
Bez ohledu na to, která ze dvou sekvencí čtyř operací je vybrána, konečný výsledek v uzlu 8 bude stejný - Fourierova řada s diskrétním časem, což odpovídá následující dvojici transformací získaných pomocí vlastností uvedených v tabulce 1.

, (27)

kde k=-N/2,. . . ,N/2-1

, (28)

kde n=0,. . . ,N-1,
Energetická věta pro tento WWRF je:

, (29)

a charakterizuje energii sekvence N datových vzorků. Obě sekvence x[n] a X[k] jsou periodické modulo N, takže (28) lze zapsat ve tvaru

, (30)

kde 0 n N. Faktor T v (27) - (30) je nutný, aby (27) a (28) byly vlastně aproximací integrální transformace v integrační oblasti

.(31)

Nulové polstrování

Prostřednictvím procesu tzv nulová výplň, lze diskrétní časovou Fourierovu řadu upravit tak, aby interpolovala mezi N hodnotami původní transformace. Dostupné vzorky dat x,...,x nechť doplníme nulovými hodnotami x[N],...X. TDRF této nulou vyplněné 2N-bodové datové sekvence bude dáno

(32)

kde horní limit součtu vpravo je upraven tak, aby vyhovoval nulovým datům. Nechť k=2m, takže

, (33)

kde m=0,1,...,N-1, definuje sudé hodnoty X[k]. To ukazuje, že pro sudé hodnoty indexu k se 2N-bodová diskrétní Fourierova řada redukuje na N-bodovou diskrétní časovou řadu. Liché hodnoty indexu k odpovídají interpolovaným hodnotám TDGF umístěným mezi hodnotami původního N-bodového TDGF. Jak se k původní N-bodové sekvenci přidává stále více nul, lze získat ještě více interpolovaných dat. V omezujícím případě nekonečného počtu zavedených nul lze DTRF považovat za Fourierovu transformaci N-bodové datové sekvence s diskrétním časem:

. (34)

Transformace (34) odpovídá uzlu 6 na obr.2.
Existuje mylná představa, že nulové odsazení zlepšuje rozlišení, protože zvyšuje délku datové sekvence. Jak však vyplývá z obr. 3, vyplnění nulami nezlepšuje rozlišení transformace získané z dané konečné datové sekvence. Zero padding vám jednoduše umožní získat interpolovanou transformaci více zploštělý tvar. Kromě toho eliminuje nejistoty způsobené přítomností složek úzkopásmového signálu, jejichž frekvence leží mezi N body odpovídajícími odhadovaným frekvencím původního TPDF. Při doplnění nulami se také zvyšuje přesnost odhadu frekvence spektrálních špiček. Pojmem spektrální rozlišení rozumíme schopnost rozlišovat mezi spektrálními odezvami dvou harmonických signálů. Obecně přijímané pravidlo, často používané ve spektrální analýze, říká, že frekvenční separace rozlišitelných sinusoid nemůže být menší než ekvivalentní šířka pásma okna, přes které jsou pozorovány segmenty (segmenty) těchto sinusoid.

Obr.3. Interpolace výplní nulami:
a - DPRF modul pro 16bodový záznam dat obsahující tři sinusoidy bez nulového vyložení (nejistoty jsou viditelné: nelze říci, kolik sinusoid je v signálu - dvě, tři nebo čtyři);
b - modul TDWF stejné sekvence po zdvojnásobení počtu jeho čtení v důsledku přidání 16 nul (nejistoty jsou vyřešeny, protože všechny tři sinusoidy jsou rozlišitelné;
c - modul TDWF stejné sekvence po čtyřnásobném zvýšení počtu jeho čtení v důsledku přidání nul.

Ekvivalentní šířku pásma okna lze definovat jako
kde W(f) je Fourierova transformace v diskrétním čase funkce okna, například obdélníková (5). Podobně můžete vstoupit ekvivalentní trvání okna

Lze ukázat, že ekvivalentní trvání okna (nebo jakéhokoli jiného signálu) a ekvivalentní šířka pásma jeho transformace jsou vzájemně reciproké: TeBe=1.

Rychlá Fourierova transformace

Rychlá Fourierova transformace (FFT) není jen další variací Fourierovy transformace, ale spíše názvem řady účinných algoritmy, určený pro rychlý výpočet Fourierovy řady v diskrétním čase. Hlavní problém, který vzniká při praktické implementaci WWRF, spočívá ve velkém počtu výpočetních operací úměrných N2. Ačkoli dlouho před příchodem počítačů bylo navrženo několik účinných výpočetních schémat, která by mohla výrazně snížit počet výpočetních operací, skutečnou revoluci způsobilo v roce 1965 vydání článku Cooleyho (Cooly) a Tukeyho (Tukey) s praktickým algoritmus pro rychlý (počet operací Nlog 2 N) výpočet DTWF . Poté bylo vyvinuto mnoho variant, vylepšení a dodatků k základní myšlence, které tvořily třídu algoritmů známou jako rychlá Fourierova transformace. Základní myšlenkou FFT je rozdělit N-bodový TDGF na dva nebo více TDGF menší délky, z nichž každý lze vypočítat samostatně a poté lineárně sečíst s ostatními, aby se získal TDFT původní N-bodové sekvence.
Diskrétní Fourierovu transformaci (DTFT) reprezentujeme ve tvaru

, (35)

kde hodnota W N =exp(-j2 /N) se nazývá součinitel otáčení (dále v této části je perioda vzorkování T=1). Vyberte z posloupnosti x[n] prvků se sudými a lichými čísly

. (36)

Ale od toho
. Proto (36) lze psát jako

, (37)

kde každý z členů je transformací délky N/2

(38)

Všimněte si, že sekvence (WN/2) nk je periodická v k s periodou N/2. Přestože tedy číslo k ve výrazu (37) nabývá hodnot od 0 do N-1, každý ze součtů je vypočítán pro hodnoty k od 0 do N/2-1. Lze odhadnout počet komplexních operací násobení a sčítání potřebných k výpočtu Fourierovy transformace v souladu s algoritmem (37)-(38). Dvě N/2bodové Fourierovy transformace podle vzorců (38) vyžadují 2(N/2)2 násobení a přibližně stejný počet sčítání. Sjednocení dvou N/2-bodových transformací podle vzorce (37) vyžaduje N dalších násobení a N sčítání. Proto pro výpočet Fourierovy transformace pro všech N hodnot k je nutné provést N+N 2 /2 násobení a sčítání. Přitom přímý výpočet podle vzorce (35) vyžaduje N 2 násobení a sčítání. Již pro N>2 je nerovnost N+N 2 /2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

V tomto případě, vzhledem k periodicitě posloupnosti Wnk N/4 v k s periodou N/4, musí být součty (40) počítány pouze pro hodnoty k od 0 do N/4-1. Proto výpočet posloupnosti X[k] podle vzorců (37), (39) a (40) vyžaduje, jak je snadné vypočítat, již 2N+N 2 /4 operací násobení a sčítání.
Po této cestě může být množství výpočtů X[k] stále více redukováno. Po m=log 2 N expanzích se dostáváme k dvoubodovým Fourierovým transformacím formy

(41)

kde "jednobodové transformace" X 1 jsou jednoduše vzorky signálu x[n]:

Xi = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

V důsledku toho můžeme napsat algoritmus FFT, který se z pochopitelných důvodů nazývá algoritmus ztenčování času :

X 2 \u003d (x[p] + Wk 2 x) / N,

kde k=0,1, p=0,1,...,N/2-1;

X 2N/M = X N/M + Wk 2N/M X N/M,

kde k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] = X N/2 + WkN X N/2, (43)

kde k=0,1,...,N-1

V každé fázi výpočtů se provádí N komplexních násobení a sčítání. A protože počet rozkladů původní sekvence na dílčí posloupnosti poloviční délky je log 2 N, pak celkový počet operací násobení-sčítání v algoritmu FFT je Nlog 2 N. Pro velké N dochází k výrazné úspoře ve výpočetních operacích. ve srovnání s přímým výpočtem DFT. Například při N = 2 10 = 1024 se počet operací sníží 117krát.
Námi uvažovaný FFT algoritmus s časovou decimací je založen na výpočtu Fourierovy transformace vytvářením podsekvencí vstupní sekvence x[n]. Lze však také použít podsekvenční rozklad Fourierovy transformace X[k]. Algoritmus FFT založený na tomto postupu se nazývá algoritmus FFT. decimace ve frekvenci. Více o rychlé Fourierově transformaci si můžete přečíst například v.

Náhodné procesy a výkonová spektrální hustota

Diskrétní náhodný proces x lze považovat za množinu nebo soubor skutečných nebo komplexních diskrétních časových (nebo prostorových) sekvencí, z nichž každou lze pozorovat jako výsledek nějakého experimentu (n - časový index, i - počet pozorování). Sekvence získaná jako výsledek jednoho z pozorování bude označena x[n]. Operace průměrování souboru (tj. statistické průměrování) bude označen provozovatelem<>. Tím pádem, - průměrná hodnota náhodného procesu x[n] v čase n. autokorelaci náhodný proces ve dvou různých časech n1 a n2 je určen výrazem r xx = .

Náhodný proces se nazývá stacionární in široký smysl, pokud je jeho průměrná hodnota konstantní (nezávisí na čase), a autokorelace závisí pouze na rozdílu časových indexů m=n1-n2 (časový posun nebo zpoždění mezi vzorky). Široce stacionární diskrétní náhodný proces x[n] je tedy charakterizován konstantní střední hodnotou =A autokorelační sekvence(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Všimněte si následujících vlastností AKT:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

které jsou platné pro všechny m.
Výkonová spektrální hustota (PSD) je definována jako Fourierova transformace v diskrétním čase (DTFT) autokorelační sekvence.

. (46)

PSD, jehož šířka se předpokládá omezená na ±1/2T Hz, je periodickou funkcí frekvence s periodou 1/T Hz. Funkce PSD popisuje frekvenční rozložení síly náhodného procesu. Pro potvrzení zvoleného názvu zvažte inverzní DTFT

(47)

vypočteno při m=0

(48)

Autokorelaci při nulovém posunu charakterizuje průměrný výkon náhodný proces. Podle (48) plocha pod křivkou P xx (f) charakterizuje průměrný výkon, proto P xx (f) je funkcí hustoty (výkon na jednotku měření frekvence), která charakterizuje rozložení výkonu na frekvenci. Často se nazývá dvojice transformací (46) a (47). Wiener-Khinchinův teorém pro případ diskrétního času. Protože r xx [-m]=r* xx [m], PSD musí být přísně reálná kladná funkce. Pokud je AFC přísně reálná funkce, pak r xx [-m]=r xx [m] a PSD lze zapsat ve formě Fourierovy kosinové transformace

,

což také znamená, že P xx (f) = P xx (-f), tzn. SPM je sudá funkce.
Až dosud jsme při určování střední hodnoty, korelace a výkonové spektrální hustoty náhodného procesu používali statistické průměrování ze souboru. V praxi však obvykle není možné získat soubor implementací požadovaného procesu, ze kterého by bylo možné tyto statistické charakteristiky vypočítat. Je žádoucí odhadnout všechny statistické vlastnosti z jedné výběrové realizace x(t), nahrazující y průměr souboru podle časového průměru. Vlastnost, která umožňuje takovou změnu provést, se nazývá ergodičnost. O náhodném procesu se říká, že je ergodický, pokud s pravděpodobností rovné jedné lze všechny jeho statistické charakteristiky předpovědět z jedné implementace ze souboru pomocí časového průměrování. Jinými slovy, průměrné hodnoty v průběhu času téměř všech možných realizací procesu konvergují s pravděpodobností jedné ke stejné konstantní hodnotě - průměrné hodnotě celého souboru

. (49)

Tato mez, pokud existuje, konverguje ke skutečnému průměru tehdy a jen tehdy, když rozptyl časového průměru klesne na nulu, což znamená, že je splněna následující podmínka:

. (50)

Zde c xx [m] je skutečná hodnota kovariance procesu x[n].
Podobně, pozorováním hodnoty součinu x[n] procesních vzorků ve dvou bodech v čase, můžeme očekávat, že průměrná hodnota bude rovna

(51)

Předpoklad ergodicity umožňuje nejen zavést, prostřednictvím časového průměrování, definice pro průměr a autokorelaci, ale také poskytnout podobnou definici pro výkonovou spektrální hustotu.

. (52)

Tato ekvivalentní forma PSD se získá statistickým zprůměrováním modulo DTFT váženého souboru dat děleno délkou datového záznamu pro případ, kdy se počet vzorků zvyšuje do nekonečna. Statistické průměrování je zde nezbytné, protože samotný DTFT je náhodná veličina, která se mění pro každou implementaci x[n]. Abychom ukázali, že (52) je ekvivalentní Wiener-Khinchinově větě, představujeme druhou mocninu modulu DTFT jako součin dvou řad a změníme pořadí operací součtu a statistického průměrování:

(53)

Použití známého výrazu

, (54)

vztah (53) lze redukovat na následující:

(55)

Všimněte si, že v poslední fázi odvozování (55) jsme použili předpoklad, že autokorelační sekvence se „rozpadá“, takže

. (56)

Vztah mezi dvěma definicemi SPM (46) a (52) je jasně znázorněn v diagramu na obrázku 4.
Pokud výraz (52) nebere v úvahu operaci matematického očekávání, pak získáme odhad PSD

, (57)

který se nazývá selektivní spektrum.

Rýže. 4. Vztah mezi dvěma metodami odhadu výkonové spektrální hustoty

Periodogramová metoda spektrálního odhadu

Výše jsme představili dvě formálně ekvivalentní metody pro stanovení výkonové spektrální hustoty (PSD). Nepřímá metoda je založena na použití nekonečné datové sekvence pro výpočet autokorelační sekvence, jejíž Fourierova transformace poskytuje požadovanou PSD. Přímá metoda pro stanovení PSD je založena na výpočtu druhé mocniny modulu Fourierovy transformace pro nekonečnou sekvenci dat pomocí vhodného statistického průměrování. PSD získaná bez takového zprůměrování se ukazuje jako neuspokojivá, protože střední kvadratická chyba takového odhadu je srovnatelná s jeho průměrnou hodnotou. Nyní zvážíme metody průměrování, které poskytují hladké a statisticky stabilní spektrální odhady na konečném počtu vzorků. Odhady PSD založené na přímé transformaci dat a následném zprůměrování se nazývají periodogramy. Jsou volány odhady JMP, pro které jsou nejprve vytvořeny korelační odhady z výchozích dat korelogram. Při použití jakékoli metody odhadu PSD musí uživatel učinit mnoho kompromisních rozhodnutí, aby získal statisticky stabilní spektrální odhady s nejvyšším možným rozlišením z konečného počtu vzorků. Mezi tyto kompromisy patří zejména výběr okna pro vážení dat a korelačních odhadů a takové parametry průměrování v časové a frekvenční oblasti, které vyvažují požadavky na redukci postranních laloků díky vážení, provádění efektivního průměrování a poskytování přijatelné spektrální rozlišení. Na Obr. 5 je schéma ukazující hlavní fáze periodogram metoda

Rýže. 5. Hlavní fáze odhadu PSD metodou periodogramu

Aplikace způsobu začíná shromažďováním N datových vzorků, které jsou odebírány v intervalech T sekund na vzorek, po kterém následuje (volitelně) krok snižování trendu. Pro získání statisticky stabilního spektrálního odhadu je třeba dostupná data rozdělit na překrývající se (pokud je to možné) segmenty a následně získaná spektra vzorku pro každý takový segment zprůměrovat. Parametry tohoto průměrování se mění vhodnou volbou počtu vzorků na segment (NSAMP) a počtu vzorků pro posunutí začátku dalšího segmentu (NSHIFT), viz obr. 6. Počet segmentů se volí v závislosti na požadovaném stupni hladkosti (disperze) spektrálního odhadu a požadovaném spektrálním rozlišení. S malou hodnotou parametru NSAMP existuje více segmentů, které je třeba zprůměrovat, a proto budou získány odhady s menším rozptylem, ale také menším frekvenčním rozlišením. Zvětšení délky segmentu (parametr NSAMP) zvyšuje rozlišení, přirozeně na úkor zvýšení rozptylu odhadu díky menšímu počtu průměrů. Šipka zpět na obr. 5 ukazuje potřebu několika opakovaných průchodů daty v různých délkách a počtech segmentů, což umožňuje získat více informací o zkoumaném procesu.

Obr.6. Rozdělení dat na segmenty pro výpočet periodogramu

Okno

Jeden z důležitých problémů, který je společný všem klasickým metodám spektrálního odhadu, souvisí s vážením dat. Windowing se používá ke kontrole účinků postranních laloků ve spektrálních odhadech. Všimněte si, že je vhodné považovat dostupný konečný datový záznam za nějakou část odpovídající nekonečné sekvence, viditelnou skrz použité okno. Takže posloupnost pozorovaných dat x 0 [n] z N vzorků lze matematicky zapsat jako součin nekonečné posloupnosti x[n] a funkce obdélníkového okna

X 0 [n]=x[n]pravý[n].
To předpokládá zřejmý předpoklad, že všechny nepozorované počty jsou nulové, bez ohledu na to, zda tomu tak skutečně je. Fourierova transformace vážené sekvence v diskrétním čase je rovna konvoluci transformací sekvence x[n] a obdélníkového okna rect[n]

X°(f)=X(f)*DN(f), kde
DN(f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkce D N (f), nazývaná diskrétní sinc funkce nebo Dirichletovo jádro, je DTFT pravoúhlé funkce. Pozorovatelná transformace konečné posloupnosti je zkreslenou verzí transformace nekonečné posloupnosti. Vliv obdélníkového okna na diskrétní sinusoidu s frekvencí f 0 je znázorněn na obr.7.

Obr.7. Ilustrace posunutí Fourierovy transformace s diskrétním časem v důsledku úniku v důsledku vážení dat.: a, c - původní a vážené sekvence; b, d - jejich Fourierovy transformace.

Z obrázku je vidět, že ostré spektrální vrcholy DTFT nekonečné sinusové sekvence byly rozšířeny v důsledku konvoluce s transformací okna. Minimální šířka spektrálních vrcholů okénkem vážené sekvence je tedy určena šířkou hlavního laloku transformace tohoto okna a nezávisí na datech. Postranní laloky transformace okna změní amplitudy sousedních spektrálních vrcholů (někdy označované jako únik). Protože DTFT je periodická funkce, překrývání postranních laloků ze sousedních period může vést k dalšímu zkreslení. Zvýšení vzorkovací frekvence snižuje efekt superpozice postranních laloků. Podobné zkreslení bude samozřejmě pozorováno v případě nesinusových signálů. Únik vede nejen k výskytu amplitudových chyb ve spektrech diskrétních signálů, ale může také maskovat přítomnost slabých signálů. Lze navrhnout řadu dalších funkcí okna, které mohou snížit úroveň bočních laloků ve srovnání s obdélníkovým oknem. Snížení úrovně postranních laloků sníží vychýlení odhadu spektra, ale jde o cenu rozšíření hlavního laloku spektra okna, což přirozeně vede ke zhoršení rozlišení. Proto i zde je třeba udělat určitý kompromis mezi šířkou hlavního laloku a úrovní postranních laloků. K hodnocení kvality oken se používá několik parametrů. Tradičním měřítkem je šířka pásma hlavního laloku při polovičním výkonu. Druhou metrikou je ekvivalentní šířka pásma zadaná výše. Pro hodnocení charakteristik postranních laloků se také používají dva indikátory. První je jejich maximální úroveň, druhá je míra rozpadu, která charakterizuje rychlost snižování postranních laloků, jak se vzdalují od hlavního laloku. Tabulka 3 poskytuje definice některých běžně používaných funkcí diskrétního okna a Tabulka 4 popisuje jejich charakteristiky.
Tabulka 3 Definice typického N-bodového diskrétního časového okna Max. úroveň bočních laloků, dB -31,5

. (46)

Korelogramová metoda odhad PSD je jednoduše substitucí do výrazu (46) konečné sekvence hodnot odhadu autokorelace ( korelogramy) namísto nekonečné sekvence neznámých skutečných autokorelačních hodnot. Více informací o korelogramové metodě spektrálního odhadu naleznete v.

Literatura

1. Rabiner L., Gould B. Teorie a aplikace číslicového zpracování signálů. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Digitální spektrální analýza a její aplikace: Per. z angličtiny. -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Digitální zpracování signálu. - M.: Rádio a komunikace, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Aplikovaná analýza časových řad.- M.: Mir, 1982.

1. Fourierova transformace a spektrum signálu

Abychom zkontrolovali, zda program funguje správně, vytvoříme pole hodnot jako součet dvou sinusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme je do program. Program nakreslil následující:

obr.1 Graf časové funkce signálu

obr.2 Graf spektra signálu

Na grafu spektra jsou dvě tyčinky (harmonické) 5 Hz s amplitudou 0,5 V a 10 Hz - s amplitudou 1 V, vše jako ve vzorci původního signálu. Všechno je v pořádku, dobrý programátor! Program funguje správně.

To znamená, že pokud na vstup ADC přivedeme reálný signál ze směsi dvou sinusoid, pak dostaneme podobné spektrum sestávající ze dvou harmonických.

Celkem, naše nemovitý měřený signál, trvání 5 sec, digitalizované ADC, tedy zastoupené oddělený počítá, má diskrétní neperiodické rozsah.

Z matematického hlediska, kolik chyb je v této frázi?

obr.4 Funkční spektrum

Něco není v pořádku! Harmonická 10 Hz se kreslí normálně, ale místo 5 Hz tyčinky se objevilo několik nepochopitelných harmonických. Díváme se na internetu, co a jak...

V, říkají, že se na konec vzorku musí přidat nuly a spektrum bude vykresleno normálně.

obr.5 Hotové nuly do 5 sekund

obr.6 Získali jsme spektrum

Stále to nebylo to, co bylo za 5 sekund. Musíte se vypořádat s teorií. Pojďme Wikipedie- zdroj znalostí.

2. Spojitá funkce a její reprezentace Fourierovou řadou

(1), kde:

K - číslo goniometrické funkce (počet harmonické složky, harmonické číslo)
T - segment, kde je funkce definována (délka signálu)
Ak - amplituda k-té harmonické složky,
?k - počáteční fáze k-té harmonické složky

Co to znamená „reprezentovat funkci jako součet řady“? To znamená, že sečtením hodnot harmonických složek Fourierovy řady v každém bodě získáme hodnotu naší funkce v tomto bodě.

(Přesněji řečeno, směrodatná odchylka řady od funkce f(x) bude mít tendenci k nule, ale navzdory standardní konvergenci není obecně řečeno, že Fourierova řada funkce k ní bodově konverguje. Viz https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Tuto sérii lze také napsat jako:

(2),
kde , k-tá komplexní amplituda.

Vztah mezi koeficienty (1) a (3) vyjadřují následující vzorce:

Všimněte si, že všechny tyto tři reprezentace Fourierovy řady jsou zcela ekvivalentní. Někdy je při práci s Fourierovými řadami vhodnější použít exponenty imaginárního argumentu místo sinus a kosinus, tedy použít Fourierovu transformaci v komplexním tvaru. Pro nás je ale vhodné použít vzorec (1), kde je Fourierova řada reprezentována jako součet kosinových vln s odpovídajícími amplitudami a fázemi. V každém případě je nesprávné tvrdit, že výsledkem Fourierovy transformace reálného signálu budou komplexní amplitudy harmonických. Jak správně říká wiki: "Fourierova transformace (?) je operace, která mapuje jednu funkci reálné proměnné na jinou funkci, také reálné proměnné."

Celkový:
Matematickým základem spektrální analýzy signálů je Fourierova transformace.

Fourierova transformace nám umožňuje reprezentovat spojitou funkci f(x) (signál) definovanou na segmentu (0, T) jako součet nekonečného počtu (nekonečné řady) goniometrických funkcí (sinus a/nebo kosinus) s určitými amplitudami. a fáze, také uvažované na segmentu (0, T). Taková řada se nazývá Fourierova řada.

Zaznamenáváme několik dalších bodů, jejichž pochopení je nutné pro správnou aplikaci Fourierovy transformace na analýzu signálu. Pokud vezmeme v úvahu Fourierovu řadu (součet sinusoid) na celé ose X, pak vidíme, že mimo segment (0, T) bude funkce reprezentovaná Fourierovou řadou periodicky opakovat naši funkci.

Například v grafu na obr. 7 je původní funkce definována na segmentu (-T \ 2, + T \ 2) a Fourierova řada představuje periodickou funkci definovanou na celé ose x.

Je to proto, že samotné sinusoidy jsou periodické funkce a jejich součet bude periodickou funkcí.

obr.7 Zobrazení neperiodické původní funkce Fourierovou řadou

Tím pádem:

Naše původní funkce je spojitá, neperiodická, definovaná na nějakém intervalu délky T.
Spektrum této funkce je diskrétní, to znamená, že je prezentována jako nekonečná řada harmonických složek - Fourierova řada.
Ve skutečnosti je určitá periodická funkce definována Fourierovou řadou, která se shoduje s naší na segmentu (0, T), ale tato periodicita pro nás není podstatná.

Periody harmonických složek jsou násobky segmentu (0, T), na kterém je definována původní funkce f(x). Jinými slovy, harmonické periody jsou násobky doby trvání měření signálu. Například perioda první harmonické Fourierovy řady je rovna intervalu T, na kterém je definována funkce f(x). Perioda druhé harmonické Fourierovy řady je rovna intervalu T/2. A tak dále (viz obr. 8).

obr.8 Periody (frekvence) harmonických složek Fourierovy řady (zde T = 2?)

V souladu s tím jsou frekvence harmonických složek násobky 1/T. To znamená, že frekvence harmonických složek Fk se rovnají Fk= k\T, kde k je v rozsahu od 0 do ?, například k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (při nulové frekvenci - konstantní složka).

Nechť je naší původní funkcí signál zaznamenaný po dobu T=1 sec. Pak bude perioda první harmonické rovna trvání našeho signálu T1=T=1 sec a frekvence harmonické je 1 Hz. Perioda druhé harmonické bude rovna délce trvání signálu dělené 2 (T2=T/2=0,5 sec) a frekvence je 2 Hz. Pro třetí harmonickou T3=T/3 sec a frekvence je 3 Hz. A tak dále.

Krok mezi harmonickými je v tomto případě 1 Hz.

Signál s dobou trvání 1 sec lze tedy rozložit na harmonické složky (pro získání spektra) s frekvenčním rozlišením 1 Hz.
Pro zvýšení rozlišení 2krát na 0,5 Hz je nutné prodloužit dobu měření 2krát – až 2 sekundy. Signál o délce 10 sekund lze rozložit na harmonické složky (pro získání spektra) s frekvenčním rozlišením 0,1 Hz. Neexistují žádné jiné způsoby, jak zvýšit frekvenční rozlišení.

Existuje způsob, jak uměle prodloužit dobu trvání signálu přidáním nul do pole vzorků. Ale nezvyšuje skutečné frekvenční rozlišení.

3. Diskrétní signály a diskrétní Fourierova transformace

Obvyklé schéma měření a digitalizace signálu je následující.

obr.9 Schéma měřicího kanálu

Signál z měřicího převodníku dorazí do ADC během doby T. Vzorky signálu (vzorky) získané během doby T jsou přeneseny do počítače a uloženy do paměti.

obr.10 Digitalizovaný signál - N odečtů přijatých v čase T

Jaké jsou požadavky na parametry digitalizace signálu? Zařízení, které převádí vstupní analogový signál na diskrétní kód (digitální signál), se nazývá analogově-digitální převodník (ADC, anglicky Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Jedním z hlavních parametrů ADC je maximální vzorkovací frekvence (neboli vzorkovací frekvence, anglicky sample rate) - frekvence odebírání vzorků signálu spojitě v čase při jeho vzorkování. Měřeno v hertzech. ((Wiki))

Podle Kotelnikovovy věty, pokud má spojitý signál spektrum omezené frekvencí Fmax, pak jej lze zcela a jednoznačně obnovit z jeho diskrétních vzorků odebraných v časových intervalech. , tj. s frekvencí Fd ? 2*Fmax, kde Fd - vzorkovací frekvence; Fmax - maximální frekvence spektra signálu. Jinými slovy, vzorkovací frekvence signálu (vzorkovací frekvence ADC) musí být alespoň 2násobkem maximální frekvence signálu, který chceme měřit.

A co se stane, když odečteme s nižší frekvencí, než vyžaduje Kotelnikovova věta?

V tomto případě dochází k efektu „aliasingu“ (alias stroboskopický efekt, moaré efekt), kdy se vysokofrekvenční signál po digitalizaci změní na nízkofrekvenční signál, který ve skutečnosti neexistuje. Na Obr. 5 vysoká frekvence červená sinusovka je skutečný signál. Modrá sinusovka s nižší frekvencí je fiktivní signál vyplývající ze skutečnosti, že více než polovina periody vysokofrekvenčního signálu má čas uplynout během doby vzorkování.

Rýže. 11. Objevení se falešného nízkofrekvenčního signálu, když vzorkovací frekvence není dostatečně vysoká

Aby se zabránilo efektu aliasingu, je před ADC - LPF (dolnopropustný filtr) umístěn speciální antialiasingový filtr, který propouští frekvence pod polovinou vzorkovací frekvence ADC a ořezává vyšší frekvence.

Pro výpočet spektra signálu z jeho diskrétních vzorků se používá diskrétní Fourierova transformace (DFT). Ještě jednou poznamenáváme, že spektrum diskrétního signálu je "z definice" omezeno frekvencí Fmax, která je menší než polovina vzorkovací frekvence Fd. Proto může být spektrum diskrétního signálu reprezentováno součtem konečného počtu harmonických, na rozdíl od nekonečného součtu pro Fourierovu řadu spojitého signálu, jehož spektrum může být neomezené. Podle Kotelnikovovy věty musí být maximální harmonická frekvence taková, aby zahrnovala alespoň dva vzorky, takže počet harmonických se rovná polovině počtu vzorků diskrétního signálu. To znamená, že pokud je ve vzorku N vzorků, bude počet harmonických ve spektru roven N/2.

Uvažujme nyní diskrétní Fourierovu transformaci (DFT).

Srovnání s Fourierovou řadou

Vidíme, že se shodují, až na to, že čas v DFT je diskrétní a počet harmonických je omezen na N/2 - polovinu počtu vzorků.

Vzorce DFT jsou zapsány v bezrozměrných celočíselných proměnných k, s, kde k jsou počty vzorků signálu, s jsou počty spektrálních složek.
Hodnota s udává počet plných kmitů harmonické v periodě T (doba trvání měření signálu). Diskrétní Fourierova transformace se používá k nalezení amplitud a fází harmonických číselně, tzn. "na počítači"

Vrátíme se k výsledkům získaným na začátku. Jak bylo uvedeno výše, při rozšíření neperiodické funkce (náš signál) do Fourierovy řady odpovídá výsledná Fourierova řada vlastně periodické funkci s periodou T. (obr. 12).

obr.12 Periodická funkce f(x) s periodou Т0, s periodou měření Т>T0

Jak je vidět na obr. 12, funkce f(x) je periodická s periodou Т0. Avšak vzhledem k tomu, že doba trvání měřeného vzorku T se neshoduje s periodou funkce T0, funkce získaná jako Fourierova řada má v bodě T nespojitost. V důsledku toho bude spektrum této funkce obsahují velké množství vysokofrekvenčních harmonických. Pokud by se doba trvání měřeného vzorku T shodovala s periodou funkce T0, pak by byla ve spektru získaném po Fourierově transformaci přítomna pouze první harmonická (sinusoida s periodou rovnou trvání vzorku), protože funkce f (x) je sinusoida.

Jinými slovy, program DFT "neví", že náš signál je "kus sinusovky", ale snaží se reprezentovat periodickou funkci jako řadu, která má mezeru kvůli nekonzistenci jednotlivých kusů sinusová vlna.

V důsledku toho se ve spektru objevují harmonické, které by v součtu měly představovat formu funkce včetně této diskontinuity.

Aby se tedy získalo "správné" spektrum signálu, které je součtem několika sinusoid s různými periodami, je nutné, aby se na periodu měření signálu vešel celočíselný počet period každé sinusoidy. V praxi lze tuto podmínku splnit po dostatečně dlouhou dobu měření signálu.

Obr.13 Ukázka funkce a spektra signálu kinematické chyby převodovky

Při kratším trvání bude obrázek vypadat „hůř“:

Obr.14 Příklad funkce a spektra vibračního signálu rotoru

V praxi může být obtížné pochopit, kde jsou „skutečné komponenty“ a kde jsou „artefakty“ způsobené nenásobením period komponent a trváním vzorku signálu nebo „skoky a přerušení“ průběh. Slova „skutečné komponenty“ a „artefakty“ samozřejmě nejsou uváděny nadarmo. Přítomnost mnoha harmonických na grafu spektra neznamená, že se z nich náš signál skutečně „skládá“. Je to jako myslet si, že číslo 7 se „skládá“ z čísel 3 a 4. Číslo 7 lze znázornit jako součet čísel 3 a 4 – to je správně.

Stejně tak náš signál ... nebo spíše ani ne „náš signál“, ale periodickou funkci sestavenou opakováním našeho signálu (vzorkování) lze reprezentovat jako součet harmonických (sinusoid) s určitými amplitudami a fázemi. Ale v mnoha případech důležitých pro praxi (viz obrázky výše) je skutečně možné vztáhnout harmonické získané ve spektru ke skutečným procesům, které jsou cyklické povahy a významně přispívají k tvaru signálu.

Nějaké výsledky

2. Signál je reprezentován množinou reálných hodnot a jeho spektrum je reprezentováno množinou reálných hodnot. Harmonické frekvence jsou kladné. Skutečnost, že pro matematiky je výhodnější znázornit spektrum v komplexní formě pomocí záporných frekvencí, neznamená, že „to je správné“ a „takto by se to mělo dělat vždy“.

3. Signál měřený v časovém intervalu T je určen pouze v časovém intervalu T. Co se stalo předtím, než jsme začali měřit signál, a co se stane potom - to věda nezná. A v našem případě - to není zajímavé. DFT časově omezeného signálu dává své "skutečné" spektrum v tom smyslu, že za určitých podmínek umožňuje vypočítat amplitudu a frekvenci jeho složek.

Použité materiály a další užitečné materiály.

Spektrální analýza

Spektrální analýza je široká třída metod zpracování dat založených na jejich frekvenční reprezentaci neboli spektru. Spektrum se získá rozkladem původní funkce v závislosti na čase (časová řada) nebo prostorových souřadnicích (například obrázky) na bázi nějaké periodické funkce. Nejčastěji se pro spektrální zpracování používá Fourierovo spektrum získané na základě sinusové báze (Fourierova expanze, Fourierova transformace).

Hlavním smyslem Fourierovy transformace je, že původní neperiodická funkce libovolného tvaru, kterou nelze analyticky popsat, a proto je obtížné ji zpracovat a analyzovat, je reprezentována jako množina sinů nebo kosinů s různými frekvencemi, amplitudami a počátečními hodnotami. fáze.

Jinými slovy, komplexní funkce se transformuje na množinu jednodušších. Každá sinusoida (nebo kosinusová vlna) s určitou frekvencí a amplitudou, získaná v důsledku Fourierovy expanze, se nazývá spektrální složka nebo Harmonika. Vznikají spektrální složky Fourierovo spektrum.

Vizuálně je Fourierovo spektrum znázorněno jako graf, na kterém je podél vodorovné osy vynesena kruhová frekvence, označovaná řeckým písmenem „omega“, a amplituda spektrálních složek, obvykle označovaná latinským písmenem A. Každá spektrální složka pak může být reprezentována jako reference, poloha, která vodorovně odpovídá její frekvenci a její výška odpovídá její amplitudě. Nazývá se harmonická s nulovou frekvencí konstantní složka(v časové reprezentaci je to přímka).

I jednoduchá vizuální analýza spektra může hodně napovědět o povaze funkce, ze které bylo odvozeno. Je intuitivně jasné, že rychlé změny v počátečních datech vedou ke vzniku složek ve spektru s vysoký frekvence a pomalé s nízký. Pokud tedy amplituda složek v něm rychle klesá s rostoucí frekvencí, pak je původní funkce (například časová řada) hladká, a pokud spektrum obsahuje vysokofrekvenční složky s velkou amplitudou, pak původní funkce bude obsahují prudké výkyvy. Takže pro časovou řadu to může indikovat velkou náhodnou složku, nestabilitu jí popisovaných procesů, přítomnost šumu v datech.

Spektrální manipulace je založena na manipulaci se spektrem. Pokud totiž snížíme (potlačíme) amplitudu vysokofrekvenčních složek a poté na základě upraveného spektra obnovíme původní funkci provedením inverzní Fourierovy transformace, pak bude hladší díky odstranění vysokofrekvenčního frekvenční složka.

U časové řady to například znamená odstranění informací o denních tržbách, které jsou značně ovlivněny náhodnými faktory, a ponechání stabilnějších trendů, jako je sezónnost. Složky s nízkou frekvencí můžete naopak potlačit, což vám umožní odstranit pomalé změny a ponechat pouze rychlé. V případě časové řady by to znamenalo potlačení sezónní složky.

Aplikací spektra tímto způsobem lze dosáhnout požadované změny původních dat. Nejčastěji používané vyhlazování časové řady je odstraněním nebo snížením amplitudy vysokofrekvenčních složek ve spektru.

K manipulaci se spektry se používají filtry - algoritmy, které dokážou řídit tvar spektra, potlačit nebo vylepšit jeho složky. hlavní vlastnictvížádný filtr je jeho amplitudově-frekvenční charakteristika (AFC), jejíž tvar závisí na transformaci spektra.

Pokud filtr propouští pouze spektrální složky s frekvencí pod určitou mezní frekvencí, pak se nazývá dolní propust (LPF) a lze jej použít k vyhlazení dat, jejich vyčištění od šumu a anomálních hodnot.

Pokud filtr propustí spektrální složky nad určitou mezní frekvencí, pak se nazývá horní propust (HPF). Lze jej použít k potlačení pomalých změn, jako je sezónnost v řadě dat.

Kromě toho se používá mnoho dalších typů filtrů: středové propusti, pastové filtry a pásmové propusti, ale i složitější, které se používají při zpracování signálu v elektronice. Volbou typu a tvaru frekvenční charakteristiky filtru je možné dosáhnout požadované transformace původních dat prostřednictvím spektrálního zpracování.

Při provádění frekvenční filtrace dat za účelem vyhlazení a odstranění šumu je nutné správně specifikovat šířku pásma dolní propusti. Pokud je nastavena příliš vysoko, bude míra vyhlazování nedostatečná a šum nebude zcela potlačen. Pokud je příliš úzký, pak spolu se šumem mohou být potlačeny i změny, které nesou užitečné informace. Zatímco v technických aplikacích jsou přísná kritéria pro stanovení optimálních charakteristik filtrů, v analytických technologiích je nutné používat především experimentální metody.

Spektrální analýza je jednou z nejúčinnějších a nejrozvinutějších metod zpracování dat. Frekvenční filtrování je jen jednou z mnoha aplikací. Kromě toho se používá při korelační a statistické analýze, syntéze signálů a funkcí, vytváření modelů atd.