Příklady stanovení spektrální hustoty signálů. Energetické charakteristiky signálů. Energetická spektrální hustota Stanovení výkonové spektrální hustoty
V teorii řízení existují dva přístupy, které se vzájemně doplňují:
1) dočasný– studium procesů v čase;
2) frekvence– studium frekvenčních vlastností signálů a systémů (s využitím přenosových funkcí a frekvenčních charakteristik).
Podobná situace je pozorována při zvažování náhodných procesů. Hlavní časovou charakteristikou stacionárního procesu je korelační funkce a jsou popsány frekvenční vlastnosti spektrální hustota.
Spektrální hustota je funkce, která ukazuje rozdělení Napájení frekvenčním signálem. Tyto informace o užitečných signálech, interferencích a poruchách jsou pro projektanta řídicích systémů velmi důležité. Systém musí být navržen tak, aby zesiloval signály s "užitečnými" frekvencemi a potlačoval "škodlivé" frekvence charakteristické pro rušení a rušení.
Změna z časového popisu deterministický(nenáhodné) procesy na frekvenci, použijte Fourierovu a Laplaceovu transformaci. Podobně spektrální hustota náhodný proces lze nalézt jako Fourierovu transformaci korelační funkce:
Zde je imaginární jednotka a je to úhlová frekvence v rad/s ( , kde je „obvyklá“ frekvence v hertzech). Pomocí Eulerova vzorce lze exponent reprezentovat jako součet reálné (kosinus) a imaginární (sinus) složky: . Funkce je lichá v , takže její integrál v symetrických limitách je roven nule. Naopak, funkce je sudá, takže při integraci můžete vzít interval od 0 do a zdvojnásobit výsledek:
Spektrální hustota je poněkud podobná hustotě rozložení pravděpodobnosti, pouze charakterizuje hustotu rozložení výkonu signálu na frekvencích. Pokud je náhodným procesem napětí ve voltech, pak se jeho korelační funkce měří ve V 2 a spektrální hustota se měří ve V 2 /Hz.
Spektrální hustota náhodného procesu s korelační funkcí se vypočítá jako
Integrační interval je rozdělen na dvě části. Za máme a za – . Integrací získáme
Obrázek vlevo ukazuje korelační funkci a vpravo odpovídající výkonovou spektrální hustotu:
Vlastnosti spektrální hustota:
1) jde o nezápornou sudou funkci úhlové frekvence (graf je umístěn nad osou x a je symetrický podle svislé osy);
2) integrál na určitém frekvenčním intervalu udává výkon, který je spojen s těmito frekvencemi; protože funkce je sudá, výsledek integrace na musí být zdvojnásoben, aby se vzalo v úvahu pásmo;
3) určuje oblast pod křivkou střední čtverec náhodný proces (u centrovaného procesu se rovná rozptylu):
Násobič je potřeba, aby odpovídal jednotkám měření, protože úhlová frekvence se neměří v hertzech, ale v rad / s. Vzhledem k tomu, že funkce je sudá, můžeme ji integrovat pouze pro , a výsledek zdvojnásobit.
Náhodným procesem rozumíme množinu (soubor) časových funkcí, je třeba mít na paměti, že funkcím různých tvarů odpovídají různé spektrální charakteristiky. Zprůměrování komplexní spektrální hustoty definované pomocí (1.47) přes všechny funkce vede k nulovému spektru procesu (např. M[x(t)]=0 ) kvůli náhodnosti a nezávislosti fází spektrálních složek v různých implementacích.
Je však možné zavést koncept spektrální hustoty středního čtverce náhodné funkce, protože hodnota středního čtverce nezávisí na poměru fází sečtených harmonických. Pokud pod náhodnou funkcí x(t) implikuje elektrické napětí nebo proud, pak lze střední čtverec této funkce považovat za průměrný výkon rozptýlený v rezistoru 1 ohm. Tento výkon je distribuován po frekvencích v určitém pásmu v závislosti na mechanismu vzniku náhodného procesu.
Průměrná výkonová spektrální hustota je průměrný výkon na Hz při dané frekvenci ω . Funkční rozměr W(ω) , což je poměr výkonu k šířce pásma, je
Spektrální hustotu náhodného procesu lze nalézt, pokud je znám mechanismus vzniku náhodného procesu. S ohledem na hluk spojený s atomistickou strukturou hmoty a elektřiny bude tento úkol později. Zde se omezíme na několik obecných definic.
Výběr nějaké implementace ze souboru Xk(t) a omezení jeho trvání na konečný interval T, můžeme na něj aplikovat obvyklou Fourierovu transformaci a najít spektrální hustotu X kT (ω). Poté lze energii uvažovaného implementačního segmentu vypočítat pomocí vzorce:
(1.152)
Rozdělením této energie na T, získat průměrný výkon k-tý implementace v segmentu T
(1.153)
S nárůstem T energie EkT zvyšuje, ale poměr
tíhne k určité hranici. Po přechodu na limit získáme:
G 
de
představuje průměrná výkonová spektrální hustota považováno k-tý implementace.
Obecně platí, že hodnota W k (ω) musí být zprůměrovány z mnoha implementací. Pokud se v tomto případě omezíme na uvažování o stacionárním a ergodickém procesu, můžeme předpokládat, že funkce nalezená zprůměrováním jedné realizace W k (ω) charakterizuje celý proces. Po vynechání indexu k získáme konečný výraz pro průměrnou mocninu náhodného procesu
Pro proces s nulovým průměrem
(1.156)
Z definice spektrální hustoty (1,155) je zřejmé, že W X (ω) je sudá a nezáporná funkce ω.
1.5.3 Vztah mezi spektrální hustotou a kovarianční funkcí náhodného procesu
Na jedné straně rychlost změny X(t) v čase určuje šířku spektra. Na druhé straně, rychlost změny x(t) určuje průběh kovarianční funkce. Je zřejmé, že meziW X (ω) a K X(τ) existuje úzký vztah.
Říká to Wiener-Khinchinova věta NA X (τ) A W X (ω) jsou propojeny Fourierovou transformací:
(1.157)
(1.158)
Pro náhodné procesy s nulovým průměrem mají podobné výrazy tvar:
Z těchto výrazů vyplývá vlastnost podobná vlastnostem Fourierovy transformace pro deterministické signály:čím širší je spektrum náhodného procesu, tím menší je korelační interval, a tedy čím větší je korelační interval, tím užší je spektrum procesu (viz obr. 1.20).
Obr.1.20. Širokopásmová a úzkopásmová spektra náhodného procesu; hranice středového pásu: ±F 1
Velký zájem je o bílý šum, kdy je spektrum na všech frekvencích jednotné.
Dosadíme-li do výrazu 1.158 WX(ω) = W 0 = const, pak dostaneme
kde δ(τ) je funkce delta.
Pro bílý šum s nekonečným a jednotným spektrem je korelační funkce nulová pro všechny hodnoty τ kromě τ = 0 , při kterém R X (0) obrací se do nekonečna. Takový šum, který má jehlovou strukturu s nekonečně jemnými náhodnými hroty, se někdy nazývá proces s delta korelací. Rozptyl bílého šumu je nekonečně velký.
Otázky k samovyšetření
Jaké jsou hlavní charakteristiky náhodného signálu.
Jak matematicky souvisí korelační funkce a energetické spektrum náhodného signálu.
Jaký náhodný proces se nazývá stacionární.
Jaký náhodný proces se nazývá ergodický.
Jak se určuje obálka, fáze a frekvence úzkopásmového signálu
Jaký signál se nazývá analytický.
Nejdůležitější charakteristikou stacionárních náhodných procesů je výkonová spektrální hustota, která popisuje rozložení výkonu šumu ve frekvenčním spektru. Uvažujme stacionární náhodný proces, který může být reprezentován náhodnou sekvencí napěťových nebo proudových pulzů, které následují jeden po druhém v náhodných časových intervalech. Proces s náhodným sledem pulsů je neperiodický. Nicméně lze hovořit o spektru takového procesu, přičemž v tomto případě spektrem rozumíme rozložení výkonu na frekvencích.
Pro popis šumu je zaveden pojem výkonové spektrální hustoty (PSD) šumu, v obecném případě také nazývaný spektrální hustota (SP) šumu, který je určen vztahem:
kde P(F) - časově zprůměrovaný výkon šumu ve frekvenčním pásmu F při frekvenci měření F.
Jak vyplývá ze vztahu (2.10), SP šumu má rozměr W/Hz. Obecně je SP funkcí frekvence. Závislost šumu SP na frekvenci se nazývá energetické spektrum, který nese informaci o dynamických charakteristikách systému.
Pokud je náhodný proces ergodický, pak je možné jeho jedinou realizací, která je v praxi hojně využívána, nalézt energetické spektrum takového procesu.
Při zvažování spektrálních charakteristik stacionárního náhodného procesu se často ukazuje jako nutné použít koncept šířky spektra šumu. Plocha pod křivkou energetického spektra náhodného procesu, vztažená k SP šumu na nějaké charakteristické frekvenci F 0, volali efektivní šířka spektra, který je určen vzorcem:
(2.11)
Tuto hodnotu lze interpretovat jako šířku jednotného energetického spektra náhodného procesu v pásmu 
, ekvivalentní v průměrném výkonu uvažovanému procesu.
Síla hluku P, obsažené ve frekvenčním pásmu F 1 …F 2 se rovná
(2.12)
Pokud je SP šumu ve frekvenčním pásmu F 1 ...F 2 je konstantní a rovná se S 0 , pak pro výkon šumu v tomto frekvenčním pásmu máme: 
kde F=F 2 -F 1 - frekvenční pásmo procházející obvodem nebo měřicím zařízením.
Důležitým případem stacionárního náhodného procesu je bílý šum, u kterého spektrální hustota nezávisí na frekvenci v širokém frekvenčním rozsahu (teoreticky v nekonečném frekvenčním rozsahu). Energetické spektrum bílého šumu ve frekvenčním rozsahu -∞< F < +∞ je dáno:
= 2S 0
= konst, (2,13)
Model bílého šumu popisuje náhodný proces bez paměti (bez následného efektu). Bílý šum se vyskytuje v systémech s velkým počtem jednoduchých homogenních prvků a je charakterizován rozložením amplitudy fluktuace podle normálního zákona. Vlastnosti bílého šumu jsou určeny statistikou nezávislých jednotlivých událostí (například tepelný pohyb nosičů náboje ve vodiči nebo polovodiči). Skutečný bílý šum s nekonečnou šířkou pásma však neexistuje, protože má nekonečnou sílu.
Na Obr. 2.3. ukazuje typický oscilogram bílého šumu (závislost okamžitých hodnot napětí na čase) (obr. 2.3a) a distribuční funkce okamžitých hodnot napětí E, což je normální rozdělení (obr. 2.3b). Stínovaná oblast pod křivkou odpovídá pravděpodobnosti výskytu okamžitých hodnot napětí E, překračující hodnotu E 1 .
Rýže. 2.3. Typický průběh bílého šumu (a) a distribuční funkce hustoty pravděpodobnosti okamžitých hodnot amplitudy šumového napětí (b).
V praxi se při posuzování velikosti šumu jakéhokoli prvku nebo p / n zařízení obvykle měří střední kvadratické napětí šumu 
v jednotkách V2 nebo efektivní proud v jednotkách A2. V tomto případě je šum SP vyjádřen v jednotkách V 2 /Hz nebo A 2 /Hz a spektrální hustoty kolísání napětí S u
(F) nebo aktuální S já
(F) se počítají podle následujících vzorců:
(2.14)
Kde 
a jsou časově zprůměrované šumové napětí a proud ve frekvenčním pásmu F respektive. Overline znamená časové průměrování.
V praktických problémech se při uvažování fluktuací různých fyzikálních veličin zavádí pojem zobecněné spektrální hustoty fluktuací. V tomto případě SD kolísání, například pro odpor R vyjádřeno v jednotkách Ohm 2 / Hz; kolísání magnetické indukce se měří v jednotkách Tl 2 /Hz a kolísání frekvence vlastního oscilátoru - v jednotkách Hz 2 /Hz = Hz.
Při porovnávání hladin šumu v lineárních dvouportových sítích stejného typu je vhodné použít relativní šumovou spektrální hustotu, která je definována jako
=
,
(2.15)
Kde u- Úbytek stejnosměrného napětí na lineární dvousvorkové síti.
Jak je vidět z výrazu (2.15), relativní šumová spektrální hustota S(F) se vyjadřuje v jednotkách Hz -1 .
Spektrální hustota křížového výkonu (křížové výkonové spektrum) dvě realizace a stacionární ergodické náhodné procesy a je definována jako přímá Fourierova transformace přes jejich vzájemnou kovarianční funkci
nebo, vzhledem ke vztahu mezi kruhovými a cyklickými frekvencemi,
Inverzní Fourierova transformace dává do souvislosti vzájemnou kovarianční funkci a výkonovou spektrální hustotu:
Podobně jako (1.32) zavádíme (1.33). výkonová spektrální hustota (výkonové spektrum) náhodný proces
Funkce má paritní vlastnost:
Pro vzájemnou spektrální hustotu platí následující vztah:
kde je komplex funkcí konjugován s .
Výše uvedené vzorce pro spektrální hustoty jsou definovány pro kladné i záporné frekvence a jsou nazývány oboustranné spektrální hustoty . Jsou vhodné při analytickém studiu systémů a signálů. V praxi používají spektrální hustoty, které jsou definovány pouze pro nezáporné frekvence a jsou tzv. jednostranný (Obrázek 1.14):
Obrázek 1.14 - Jednostranné a oboustranné
spektrální hustoty
Odvoďme výraz týkající se jednostranné spektrální hustoty stacionárního SP s jeho kovarianční funkcí:
Bereme v úvahu paritní vlastnost pro kovarianční funkci stacionárního SP a kosinusovou funkci, lichou vlastnost pro sinusovou funkci a symetrii integračních limit. Výsledkem je, že druhý integrál ve výrazu získaném výše zmizí a v prvním integrálu lze snížit limity integrace na polovinu a zdvojnásobit koeficient:
Je zřejmé, že výkonová spektrální hustota náhodného procesu je skutečnou funkcí.
Podobně lze získat inverzní vztah:
Z výrazu (1.42) v , vyplývá, že
To znamená, že celková plocha pod jednostranným grafem spektrální hustoty se rovná střední čtverci náhodného procesu. Jinými slovy, jednostranná spektrální hustota je interpretována jako střední kvadratická distribuce procesu na frekvencích.
Plocha pod grafem jednostranné hustoty, uzavřená mezi dvěma libovolnými hodnotami frekvence a , se rovná střední čtverci procesu v tomto frekvenčním pásmu spektra (obrázek 1.15):
Obrázek 1.15 - Vlastnost spektrální hustoty
Vzájemná výkonová spektrální hustota je komplexní veličina, takže ji lze znázornit v exponenciální formě modul A fázový úhel :
kde je modul;
je fázový úhel;
, jsou reálné a imaginární části funkce, resp.
Do důležité nerovnosti je zahrnut modul vzájemné spektrální hustoty
Tato nerovnost nám umožňuje určit koherenční funkce (čtverec koherence), který je podobný druhé mocnině normalizované korelační funkce:
Druhým způsobem zavedení spektrálních hustot je přímá Fourierova transformace náhodných procesů.
Dovolit a být dva stacionární ergodické náhodné procesy, pro které konečné Fourierovy transformace implementace délky jsou definovány jako
Oboustranná vzájemná spektrální hustota těchto náhodných procesů je zavedena pomocí součinu prostřednictvím vztahu
kde operátor očekávání znamená operaci zprůměrování přes index .
Výpočet oboustranné spektrální hustoty náhodného procesu se provádí podle vztahu
Jednostranné spektrální hustoty jsou zavedeny podobně:
Funkce definované vzorci (1.49), (1.50) jsou totožné s odpovídajícími funkcemi definovanými vztahy (1.32), (1.33) jako Fourierovy transformace přes kovarianční funkce. Toto prohlášení se nazývá Wiener-Khinchinovy věty.
Kontrolní otázky
1. Uveďte klasifikaci deterministických procesů.
2. Jaký je rozdíl mezi polyharmonickými a téměř periodickými procesy?
3. Formulujte definici stacionárního náhodného procesu.
4. Jaká metoda zprůměrování charakteristik ergodického náhodného procesu je výhodnější – zprůměrování za soubor funkcí vzorku nebo zprůměrování za dobu pozorování jedné realizace?
5. Formulujte definici hustoty rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu.
6. Napište výraz spojující korelační a kovarianční funkce stacionárního náhodného procesu.
7. Kdy jsou dva náhodné procesy považovány za nekorelované?
8. Uveďte metody výpočtu střední čtverce stacionárního náhodného procesu.
9. Jakou transformací souvisí spektrální hustota a kovarianční funkce náhodného procesu?
10. Do jaké míry se mění hodnoty koherenční funkce dvou náhodných procesů?
Literatura
1. Sergienko, A.B. Digitální zpracování signálu / A.B. Sergienko. - M: Peter, 2002. - 604 s.
2. Sadovský, G.A. Teoretické základy zařízení pro měření informací / G.A. Sadovský. - M.: Vyšší škola, 2008. - 480 s.
3. Bendat, D. Aplikace korelační a spektrální analýzy / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1983. – 312 s.
4. Bendat, D. Měření a analýza náhodných procesů / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1974. – 464 s.
Nechte signál s(t) je dána jako neperiodická funkce a existuje pouze na intervalu ( t 1 ,t 2) (příklad - jediný impuls). Zvolme si libovolné časové období T, který zahrnuje interval ( t 1 ,t 2) (viz obr.1).
Označme periodický signál získaný z s(t), tak jako ( t). Pak pro něj můžeme napsat Fourierovu řadu
Abyste se dostali k funkci s(t) následuje ve výrazu ( t) nechejte období jít do nekonečna. V tomto případě počet harmonických složek s frekvencemi w=n 2p/T budou nekonečně velké, vzdálenost mezi nimi bude mít tendenci k nule (k nekonečně malé hodnotě:
amplitudy složek budou také nekonečně malé. Proto již není možné hovořit o spektru takového signálu, protože spektrum se stává spojitým.
Vnitřní integrál je funkcí frekvence. Říká se jí spektrální hustota signálu, neboli frekvenční charakteristika signálu a značí se tzn.
Pro obecnost mohou být limity integrace nastaveny jako nekonečné, protože je vše stejné, kde s(t) je rovno nule a integrál je roven nule.
Výraz pro spektrální hustotu se nazývá přímá Fourierova transformace. Inverzní Fourierova transformace určuje časovou funkci signálu z jeho spektrální hustoty
přímá (*) a inverzní (**) Fourierova transformace se souhrnně označují jako dvojice Fourierových transformací. Modul spektrální hustoty 
určuje amplitudově-frekvenční charakteristiku (AFC) signálu a její argument 
se nazývá fázově-frekvenční charakteristika (PFC) signálu. Frekvenční odezva signálu je sudá funkce a fázová odezva je lichá.
Význam modulu S(w) je definována jako amplituda signálu (proud nebo napětí) na 1 Hz v nekonečně úzkém frekvenčním pásmu, které zahrnuje sledovanou frekvenci w. Jeho rozměr je [signál/frekvence].
Energetické spektrum signálu. Pokud má funkce s(t) Fourierovu hustotu výkonu signálu ( spektrální hustota energie signálu) je určeno výrazem:
w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)
Výkonové spektrum W() je skutečná nezáporná sudá funkce, která se obvykle nazývá energetické spektrum. Výkonové spektrum, jako druhá mocnina modulu spektrální hustoty signálu, neobsahuje fázové informace o jeho frekvenčních složkách, a proto není možné signál z výkonového spektra obnovit. To také znamená, že signály s různými fázovými charakteristikami mohou mít stejná výkonová spektra. Zejména posun signálu neovlivňuje jeho výkonové spektrum. Ten umožňuje získat vyjádření pro energetické spektrum přímo z výrazů (5.2.7). V limitu, pro identické signály u(t) a v(t) s posunem t 0, má imaginární část spektra Wuv () tendenci k nulovým hodnotám a skutečná část - k hodnotám modulu spektrum. Při plné časové koincidenci signálů máme:
těch. energie signálu se rovná integrálu kvadrátu modulu jeho frekvenčního spektra - součtu energie jeho frekvenčních složek a je vždy skutečnou hodnotou.
Pro libovolný signál s(t) je rovnost
obvykle nazývaná Parsevalova rovnost (v matematice - Plancherelova věta, ve fyzice - Rayleighův vzorec). Rovnost je zřejmá, protože reprezentace souřadnic a frekvence jsou v podstatě jen různé matematické reprezentace stejného signálu. Podobně pro energii interakce dvou signálů:
Z Parsevalovy rovnosti vyplývá invariance skalárního součinu signálů a normy vzhledem k Fourierově transformaci:
V řadě ryze praktických problémů záznamu a přenosu signálů má energetické spektrum signálu velmi významný význam. Periodické signály jsou převedeny do spektrální oblasti ve formě Fourierových řad. Periodický signál s periodou T zapíšeme ve tvaru Fourierovy řady v komplexním tvaru:
Interval 0-T obsahuje celý počet period všech integrandů exponentů a je roven nule, s výjimkou exponentu v k = -m, pro který je integrál T. Průměrná mocnina a periodický signál se rovná součtu druhých mocnin modulů koeficientů jeho Fourierovy řady:
Energetické spektrum signálu je rozložení energie základních signálů, které tvoří neharmonický signál na frekvenční ose. Matematicky se energetické spektrum signálu rovná druhé mocnině modulu spektrální funkce:
V souladu s tím amplitudově-frekvenční spektrum ukazuje množinu amplitud složek základních signálů na frekvenční ose a fázově frekvenční spektrum ukazuje množinu fází
Modul spektrální funkce se často nazývá amplitudové spektrum, a jeho argument je fázové spektrum.
Kromě toho existuje inverzní Fourierova transformace, která vám umožňuje obnovit původní signál s vědomím jeho spektrální funkce:
Vezměte například obdélníkový impuls:
Další příklad spektra:
Nyquistova frekvence, Kotelnikovův teorém .
Nyquistova frekvence - při digitálním zpracování signálu frekvence rovna polovině vzorkovací frekvence. Pojmenováno po Harrym Nyquistovi. Z Kotelnikovovy věty vyplývá, že při vzorkování analogového signálu nedojde ke ztrátě informace pouze v případě, že spektrum (spektrální hustota) (nejvyšší frekvence užitečného signálu) signálu je rovna nebo nižší než Nyquistova frekvence. Jinak při obnově analogového signálu dojde k překrytí spektrálních „ocasů“ (substituce frekvence, maskování frekvence) a tvar obnoveného signálu bude zkreslený. Pokud spektrum signálu nemá žádné složky nad Nyquistovou frekvencí, pak může být (teoreticky) vzorkováno a následně rekonstruováno bez zkreslení. Ve skutečnosti je „digitalizace“ signálu (transformace analogového signálu na digitální) spojena s kvantováním vzorků - každý vzorek je zaznamenán ve formě digitálního kódu s konečnou bitovou hloubkou, v důsledku čehož kvantizační (zaokrouhlovací) chyby jsou přidány do vzorků, za určitých podmínek považovaných za „kvantizační šum“.
Reálné signály s konečnou dobou trvání mají vždy nekonečně široké spektrum, které se s rostoucí frekvencí více či méně rychle snižuje. Vzorkování signálů proto vždy vede ke ztrátě informace (zkreslení průběhu během vzorkování-obnovy), bez ohledu na to, jak vysoká je vzorkovací frekvence. Při zvolené vzorkovací frekvenci lze zkreslení snížit potlačením (předvzorkováním) spektrálních složek analogového signálu nad Nyquistovou frekvencí, což vyžaduje filtr velmi vysokého řádu, aby se zabránilo aliasingu. Praktická realizace takového filtru je velmi komplikovaná, protože amplitudově-frekvenční charakteristiky filtrů nejsou pravoúhlé, ale hladké a mezi propustným a potlačovacím pásmem je vytvořeno určité přechodové frekvenční pásmo. Vzorkovací frekvence se proto volí s rezervou, např. u audio CD se používá vzorkovací frekvence 44100 Hz, přičemž za nejvyšší frekvenci ve spektru zvukových signálů se považuje 20 000 Hz. Nyquistova frekvenční rezerva 44 100 / 2 - 20 000 = 2 050 Hz zabraňuje substituci frekvence při použití implementovaného filtru nízkého řádu.
Kotelnikovova věta
Pro obnovení původního spojitého signálu z navzorkovaného s malými zkresleními (chybami) je nutné racionálně zvolit krok vzorkování. Proto při převodu analogového signálu na diskrétní nutně vyvstává otázka velikosti kroku vzorkování.Intuitivně není těžké pochopit následující myšlenku. Pokud má analogový signál nízkofrekvenční spektrum omezené nějakou horní frekvencí Fe (tj. funkce u(t) má tvar plynule se měnící křivky, bez prudkých změn amplitudy), je nepravděpodobné, že by se tato funkce výrazně změnila. určitý malý časový interval vzorkování.amplituda. Je zcela zřejmé, že přesnost obnovy analogového signálu ze sekvence jeho vzorků závisí na hodnotě intervalu vzorkování. Čím kratší bude, tím méně se bude funkce u(t) lišit od hladké křivky procházející vzorkem. body. S klesajícím intervalem vzorkování však výrazně roste složitost a objem zpracovatelského zařízení. S dostatečně velkým intervalem vzorkování se zvyšuje pravděpodobnost zkreslení nebo ztráty informace, když je analogový signál obnoven. Optimální hodnotu diskretizačního intervalu stanoví Kotelnikovova věta (další názvy jsou vzorkovací věta, věta K. Shannona, věta X. Nyquista: větu poprvé objevil v matematice O. Cauchy a poté ji znovu popsal D. Carson a R. Hartley), kterou dokázal v roce 1933. Věta V. A. Kotelnikova má velký teoretický a praktický význam: umožňuje správně vzorkovat analogový signál a určuje optimální způsob jeho obnovení na přijímací straně z referenční hodnoty.
Podle jedné z nejznámějších a nejjednodušších interpretací Kotelnikovovy věty lze libovolný signál u(t), jehož spektrum je omezeno určitou frekvencí Fe, zcela obnovit ze sekvence jeho referenčních hodnot následujících s časový interval
Vzorkovací interval a frekvence Fe(1) jsou v radiotechnice často označovány jako interval, respektive Nyquistova frekvence. Analyticky je Kotelnikovův teorém reprezentován řadou 
kde k je číslo vzorku; - hodnota signálu v referenčních bodech - horní frekvence spektra signálu.
Frekvenční reprezentace diskrétních signálů .
Většina signálů může být reprezentována jako Fourierova řada:
