• Maticová rovnost, ekvivalentní matice. Ekvivalentní matice Ekvivalentní transformace matic

    Ekvivalentní matice

    Jak bylo uvedeno výše, minorita matice řádu s je determinantem matice vytvořené z prvků původní matice umístěných v průsečíku libovolných vybraných řádků s a sloupců.

    Definice. V matici řádu mn se minorita řádu r nazývá základní, pokud není rovna nule, a všechny minority řádu r + 1 a výše jsou rovny nule, nebo vůbec neexistují, tzn. r je nejmenší z m nebo n.

    Sloupce a řádky matice, které obsahují základ menší, se také nazývají základ.

    V matici může být několik různých základních minorit, které mají stejné pořadí.

    Definice. Pořadí menší báze matice se nazývá hodnost matice a označuje se Rg A.

    Velmi důležitou vlastností elementárních maticových transformací je, že nemění hodnost matice.

    Definice. Matice získané jako výsledek elementární transformace se nazývají ekvivalentní.

    Je třeba poznamenat, že stejné matice a ekvivalentní matice jsou zcela odlišné pojmy.

    Teorém. Největší počet lineárně nezávislých sloupců v matici se rovná počtu lineárně nezávislých řádků.

    Protože Protože elementární transformace nemění hodnost matice, je možné výrazně zjednodušit proces hledání hodnosti matice.

    Příklad. Určete hodnost matice.

    2. Příklad: Určete hodnost matice.

    Pokud pomocí elementárních transformací není možné najít matici ekvivalentní té původní, ale menší velikosti, pak by hledání hodnosti matice mělo začít výpočtem minoritních hodnot nejvyššího možného řádu. Ve výše uvedeném příkladu se jedná o nezletilé řádu 3. Pokud alespoň jeden z nich není roven nule, pak se hodnost matice rovná řádu tohoto minoru.

    Základní vedlejší věta.

    Teorém. V libovolné matici A je každý sloupec (řádek) lineární kombinací sloupců (řádků), ve kterých se nachází základ menší.

    Hodnost libovolné matice A je tedy rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků (sloupců) v matici.

    Je-li A čtvercová matice a det A = 0, pak alespoň jeden ze sloupců je lineární kombinací ostatních sloupců. Totéž platí pro struny. Toto tvrzení vyplývá z vlastnosti lineární závislosti s determinantem rovným nule.

    Řešení libovolných soustav lineárních rovnic

    Jak bylo uvedeno výše, maticová metoda a Cramerova metoda jsou použitelné pouze pro ty soustavy lineárních rovnic, ve kterých je počet neznámých roven počtu rovnic. Dále zvažte libovolné systémy lineárních rovnic.

    Definice. Systém m rovnic s n neznámými je obecně zapsán takto:

    kde aij jsou koeficienty a bi jsou konstanty. Řešením systému je n čísel, která po dosazení do systému změní každou jeho rovnici na identitu.

    Definice. Pokud má systém alespoň jedno řešení, pak se nazývá kompatibilní. Pokud systém nemá žádné řešení, pak se nazývá nekonzistentní.

    Definice. Systém se nazývá určitý, pokud má pouze jedno řešení, a neurčitý, pokud má více než jedno.

    Definice. Pro soustavu lineárních rovnic matice

    A = se nazývá matice systému a matice

    A*= se nazývá rozšířená matice systému

    Definice. Jestliže b1, b2, …,bm = 0, pak se systém nazývá homogenní. homogenní systém je vždy konzistentní, protože má vždy nulové řešení.

    Elementární transformace systémů

    Základní transformace jsou:

    1) Doplnění k oběma částem jedné rovnice odpovídajících částí druhé, vynásobené stejným číslem, které se nerovná nule.

    2) Permutace rovnic v místech.

    3) Odstranění ze systému rovnic, které jsou identitami pro všechna x.

    Kronecker-Kapeliho věta (podmínka kompatibility systému).

    (Leopold Kronecker (1823-1891) německý matematik)

    Věta: Systém je konzistentní (má alespoň jedno řešení) právě tehdy, když je hodnost matice systému rovna hodnosti rozšířené matice.

    Je zřejmé, že systém (1) lze zapsat jako

    Přechod na nový základ.

    Nechť (1) a (2) jsou dvě báze stejného m-rozměrného lineárního prostoru X.

    Protože (1) je báze, je možné rozšířit vektory druhé báze, pokud jde o ni:

    Z koeficientů v , sestavíme matici:

    (4) je souřadnicová transformační matice při přechodu z báze (1) na bázi (2).

    Nechť vektor, pak (5) a (6).

    Vztah (7) to znamená

    Matice P je nedegenerovaná, protože jinak by existoval lineární vztah mezi jejími sloupci a poté mezi vektory.

    Platí to i obráceně: jakákoli nedegenerovaná matice je matice transformace souřadnic definovaná vzorci (8). Protože P je nedegenerovaná matice, pak má inverzní. Vynásobením obou částí (8) dostaneme: (9).

    Nechť jsou v lineárním prostoru X zvoleny 3 báze: (10), (11), (12).

    Kde, tj. (13).

    Že. v případě sekvenční transformace souřadnic je matice výsledné transformace rovna součinu matic jednotlivých transformací.

    Nechť lineární operátor a v X zvolíme dvojici bází: (I) a (II) a v Y - (III) a (IV).

    Operátor A ve dvojici bází I - III odpovídá rovnosti: (14). Stejný operátor ve dvojici bází II – IV odpovídá rovnosti: (15). Že. pro daný operátor A máme dvě matice u. Chceme mezi nimi vytvořit závislost.

    Nechť P je transformační matice souřadnic při přechodu z I do III.

    Nechť Q je transformační matice souřadnic při přechodu z II do IV.

    Pak (16), (17). Dosadíme výrazy pro a z (16) a (17) do (14), dostaneme:

    Porovnáním této rovnosti s (15) dostaneme:

    Vztah (19) dává do souvislosti matici stejného operátoru na různých základech. V případě, že se prostory X a Y shodují, roli III báze hraje I a IV - II-nd, pak má vztah (19) tvar: .

    Bibliografie:

    3. Kostrikin A.I. Úvod do algebry. část II. Základy algebry: učebnice pro vysoké školy, -M. : Fyzikálně-matematická literatura, 2000, 368 s.

    Přednáška č. 16 (II. semestr)

    Předmět: Nutná a postačující podmínka pro ekvivalenci matic.

    Jsou volány dvě matice A a B o stejné velikosti ekvivalent, jestliže existují dvě nesingulární matice R a S takové, že (1).

    Příklad: Dvě matice odpovídající stejnému operátoru pro různé volby bází v lineárních prostorech X a Y jsou ekvivalentní.

    Je zřejmé, že relace definovaná na množině všech matic stejné velikosti pomocí výše uvedené definice je relací ekvivalence.



    Věta 8: Aby byly dvě pravoúhlé matice stejné velikosti ekvivalentní, je nutné a postačující, aby byly stejné úrovně.

    Důkaz:

    1. Nechť A a B jsou dvě matice, pro které to dává smysl. Hodnocení produktu (matice C) není vyšší než hodnocení každého z faktorů.

    Vidíme, že k-tý sloupec matice C je lineární kombinací sloupcových vektorů matice A a to platí pro všechny sloupce matice C, tzn. pro všechny. Že. , tj. je podprostor lineárního prostoru.

    Protože a protože rozměr podprostoru je menší nebo roven rozměru prostoru, pak je hodnost matice C menší nebo rovna hodnosti matice A.

    V rovnosti (2) zafixujeme index i a přiřadíme k všechny možné hodnoty od 1 do s. Potom získáme systém rovnosti podobný systému (3):

    Z rovnosti (4) je vidět, že i-tý řádek matice C je lineární kombinací řádků matice B pro všechna i, a pak je lineární rozpětí překlenuté řádky matice C obsaženo v lineární rozpětí rozprostřené řádky matice B, a pak rozměr tohoto lineárního rozpětí je menší nebo roven rozměru lineárního rozpětí řádkových vektorů matice B, což znamená, že matice C je menší nebo rovna hodnosti matice B.

    2. Hodnost součinu matice A vlevo a vpravo u nesingulární čtvercové matice Q je rovna hodnosti matice A. (). Tito. hodnost matice C se rovná hodnosti matice A.

    Důkaz: Jak bylo prokázáno v případě (1) . Protože matice Q je nesingulární, pak pro ni existuje: a v souladu s tím, co bylo dokázáno v předchozím tvrzení.

    3. Dokažme, že pokud jsou matice ekvivalentní, pak mají stejné úrovně. Podle definice jsou A a B ekvivalentní, pokud existují R a S takové, že. Protože vynásobením A zleva R a zprava S dostaneme matice stejné úrovně, jak je dokázáno v (2), hodnost A se rovná hodnosti B.

    4. Nechť jsou matice A a B stejné úrovně. Dokažme, že jsou rovnocenné. Uvažujme .

    Nechť X a Y jsou dva lineární prostory, ve kterých jsou zvoleny báze (základ X) a (základ Y). Jak je známo, jakákoli matice formuláře definuje nějaký lineární operátor působící od X do Y.

    Protože r je hodnost matice A, existuje mezi nimi přesně r lineárně nezávislých vektorů. Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že – prvních r vektorů – jsou lineárně nezávislé. Pak je vše ostatní lineárně vyjádřeno v nich a můžeme napsat:

    Novou bázi v prostoru X definujeme takto: . (7)

    Nová báze v prostoru Y takto:

    Vektory jsou podle předpokladu lineárně nezávislé. Doplňme je některými vektory až do báze Y: (8). Takže (7) a (8) jsou dvě nové báze X a Y. Najdeme matici operátoru A v těchto základech:

    Takže v nové dvojici bází je maticí operátoru A matice J. Matice A byla původně libovolná obdélníková matice tvaru r. Protože matice stejného operátoru jsou ekvivalentní na různých základech, ukazuje to, že jakákoli pravoúhlá matice tvaru a úrovně r je ekvivalentní J. Protože máme co do činění se vztahem ekvivalence, ukazuje to, že jakékoli dvě matice A a B forma a hodnost r, které jsou ekvivalentní matici J, jsou navzájem ekvivalentní.

    Bibliografie:

    1. Voevodin V.V. Lineární algebra. Petrohrad: Lan, 2008, 416 s.

    2. D. V. Beklemišev, Kurz analytické geometrie a lineární algebry. Moskva: Fizmatlit, 2006, 304 s.

    3. Kostrikin A.I. Úvod do algebry. část II. Základy algebry: učebnice pro vysoké školy, -M. : Fyzikální a matematická literatura, 2000, 368 s.

    Přednáška č. 17 (II. semestr)

    Předmět: Vlastní čísla a vlastní vektory. vlastní podprostory. Příklady.

    Často existují koncepty rovnosti a ekvivalence matic.

    Definice 1

    Matice $A=\left(a_(ij) \right)_(m\krát n) $ se nazývá rovná matici $B=\left(b_(ij) \right)_(k\krát l) $ pokud jsou jejich rozměry $(m=k,n=l)$ shodují se a odpovídající prvky porovnávaných matic jsou stejné.

    Pro matice 2. řádu zapsané v obecném tvaru lze maticovou rovnost zapsat následovně:

    Příklad 1

    Maticové údaje:

    1) $A=\left(\begin(pole)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(pole)\right),B=\left(\begin( pole)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(pole)\vpravo)$;

    2) $A=\left(\begin(pole)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(pole)\right),B=\left(\begin( pole)(c) (-3) \\ (2) \end(pole)\vpravo)$;

    3) $A=\left(\begin(pole)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(pole)\right),B=\left(\begin( pole)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(pole)\vpravo)$.

    Určete, zda jsou matice stejné.

    1) $A=\left(\begin(pole)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(pole)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(array)\right)$

    Matice A a B mají stejné pořadí, rovné 2 $\krát $2. Odpovídající prvky porovnávaných matic jsou si rovny, proto jsou si matice rovny.

    2) $A=\left(\begin(pole)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(pole)\right),B=\left(\begin( pole)(c) (-3) \\ (2) \end(pole)\vpravo)$

    Matice A a B mají odlišné pořadí, rovné 2$\krát $2 a 2$\krát $1, v daném pořadí.

    3) $A=\left(\begin(pole)(cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \end(pole)\right),B=\left(\begin( array)(cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \end(array)\right)$

    Matice A a B mají stejné pořadí, rovné 2 $\krát $2. Ne všechny odpovídající prvky porovnávaných matic jsou však stejné, a proto si matice nejsou rovny.

    Definice 2

    Elementární transformace matice je transformace, která zachovává ekvivalenci matic. Jinými slovy, elementární transformace nemění množinu řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (SLAE) reprezentovanou danou maticí.

    Transformace řádků elementární matice zahrnují:

    • násobení řádku matice číslem $k$, které se nerovná nule (v tomto případě determinant matice vzroste $k$ krát);
    • permutace libovolných dvou řádků matice;
    • přidání prvků jednoho řádku matice prvků jeho druhého řádku.

    Totéž platí pro maticové sloupce a nazývá se to elementární sloupcové transformace.

    Definice 3

    Pokud jsme z matice A pomocí elementární transformace přešli na matici B, pak původní a výsledné matice nazýváme ekvivalentní. Pro označení ekvivalence matic se používá znak "$ \sim$", například $A\sim B$.

    Příklad 2

    Je dána matice: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \konec(pole)\vpravo)$.

    Provádějte elementární transformace maticových řádků jeden po druhém.

    Prohoďte první řádek a druhý řádek matice A:

    Vynásobte první řádek matice B číslem 2:

    Přidejme první řádek k druhému řádku matice:

    Definice 4

    Kroková matice je matice, která splňuje následující podmínky:

    • pokud je v matici nulový řádek, všechny řádky pod ním jsou také nulové;
    • První nenulový prvek každého nenulového řádku musí být umístěn přesně napravo od úvodního prvku v řádku, který je nad tímto.

    Příklad 3

    Matice $A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(pole)\right)$ a $B=\left(\begin(pole)(ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \end(pole)\vpravo)$ jsou krokové matice.

    Komentář

    Matici můžete převést do stupňovitého tvaru pomocí ekvivalentních transformací.

    Příklad 4

    Je dána matice: $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \konec(pole)\vpravo)$. Převeďte matici do stupňovitého tvaru.

    Prohoďte první a druhý řádek matice A:

    Vynásobte první řádek matice B číslem 2 a přidejte jej do druhého řádku:

    Vynásobte první řádek matice C -1 a přidejte jej ke třetímu řádku:

    Vynásobte druhý řádek matice D -2 a přidejte jej ke třetímu řádku:

    $K=\left(\begin(pole)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \end(pole)\vpravo)$ - kroková matice.

    Naším bezprostředním cílem je dokázat, že jakoukoli matici lze pomocí elementárních transformací redukovat na nějaké standardní formy. Na této cestě je užitečný jazyk ekvivalentních matic.

    Nech být. Řekneme, že matice je n_ekvivalentní (n_ekvivalentní nebo ekvivalentní) matici a označíme (nebo), pokud lze matici získat z matice pomocí konečného počtu řádkových (sloupcových nebo řádkových a sloupcových) elementárních transformací. Je jasné, že matice n_ekvivalentní a n_ekvivalentní jsou ekvivalentní.

    Nejprve si ukážeme, že libovolnou matici lze redukovat do speciálního tvaru pouze řádkovými transformacemi, nazývanými redukované.

    Nech být. Říká se, že nenulový řádek této matice má redukovaný tvar, pokud je v něm takový prvek rovný 1, že všechny prvky sloupce kromě jsou rovny nule, . Označený jednotlivý prvek čáry se bude nazývat vedoucí prvek této čáry a uzavře jej do kruhu. Jinými slovy, řádek matice má zmenšený tvar, pokud tato matice obsahuje sloupec formuláře

    Například v následující matici

    řetězec má redukovaný tvar, protože. Věnujme pozornost tomu, že v tomto příkladu prvek také tvrdí, že je vedoucím prvkem řetězce. Pokud v budoucnu bude v řádku redukovaného tvaru více prvků, které mají vlastnosti odkazu, vybereme libovolně pouze jeden z nich.

    O matici se říká, že má redukovaný tvar, pokud má každý z jejích nenulových řádků redukovaný tvar. Například matice

    má daný tvar.

    Tvrzení 1.3 Pro libovolnou matici existuje její redukovaná matice l_ekvivalentní.

    Pokud má totiž matice tvar (1.1), tak po provedení elementárních transformací v ní

    dostaneme matrici

    ve kterém má řetězec redukovaný tvar.

    Za druhé, pokud byl řádek v matici zmenšen, pak po elementárních transformacích (1.20) bude řádek matice zmenšen. Ve skutečnosti, protože, snížena, je sloupec takový, že

    ale pak a následně po transformacích (1.20) se sloupec nezmění, tzn. . Proto má čára redukovaný tvar.

    Nyní je jasné, že postupnou transformací každého nenulového řádku matice výše uvedenou metodou po konečném počtu kroků získáme matici redukovaného tvaru. Protože k získání matice byly použity pouze řádkové elementární transformace, je l_ekvivalentní matici. >

    Příklad 7. Sestrojte matici redukovaného tvaru, n_ekvivalentní matici

    Přečtěte si více: