Rozklad signálů z hlediska harmonických funkcí. Fourierova řada. Příklady Fourierovy expanze

2.1. Spectra periodické signály

Periodický signál (proud nebo napětí) se nazývá takový typ ovlivnění, kdy se průběh opakuje po určitém časovém intervalu T kterému se říká období. Nejjednodušší forma Periodický signál je harmonický signál nebo sinusoida, která je charakterizována amplitudou, periodou a počáteční fází. Všechny ostatní signály budou neharmonický nebo nesinusový. Lze ukázat a praxe to dokazuje, že pokud je vstupní signál zdroje periodický, pak budou periodické i všechny ostatní proudy a napětí v každé větvi (výstupní signály). V tomto případě se budou průběhy v různých větvích navzájem lišit.

Existuje obecná technika pro studium periodických neharmonických signálů (vstupních akcí a jejich reakcí) v elektrickém obvodu, která je založena na rozkladu signálů do Fourierovy řady. Tato technika spočívá v tom, že je vždy možné vybrat určitý počet harmonických (tj. sinusových) signálů s takovými amplitudami, frekvencemi a počátečními fázemi, jejichž algebraický součet pořadnic je v každém okamžiku roven pořadnici studovaného nesinusový signál. Tedy například napětí u na Obr. 2.1. lze nahradit součtem napětí a , protože kdykoli nastane stejná rovnost: . Každý z členů je sinusoida, jejíž frekvence kmitání souvisí s periodou T celočíselné poměry.

Pro uvažovaný příklad máme periodu první harmonické shodné s periodou neharmonického signáluT 1 = Ta perioda druhé harmonické je dvakrát menšíT 2 = T/2, tzn. okamžité hodnoty harmonických by měly být zapsány jako:

Zde jsou amplitudy harmonických kmitů navzájem stejné ( ) a počáteční fáze se rovnají nule.

Rýže. 2.1. Příklad sčítání první a druhé harmonické

neharmonický signál

V elektrotechnice se nazývá harmonická složka, jejíž perioda je rovna periodě neharmonického signálu První nebo základní harmonické signály. Všechny ostatní složky se nazývají vyšší harmonické složky. Harmonická, jejíž frekvence je k krát větší než první harmonická (a perioda, v tomto pořadí, k krát menší).

k - ta harmonická. Přidělte také průměrnou hodnotu funkce za období, které je voláno nula Harmonika. Obecně se Fourierova řada zapisuje jako součet nekonečné číslo harmonické složky různých frekvencí:

kde k je harmonické číslo; - úhlová frekvence k -té harmonické;

ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / T- úhlová frekvence první harmonické; - nulová harmonická.

Pro běžně se vyskytující průběhy lze ve specializované literatuře nalézt rozšíření Fourierovy řady. Tabulka 2 ukazuje rozšíření pro osm křivek. Je třeba poznamenat, že k rozšířením uvedeným v tabulce 2 dojde, pokud je počátek souřadnicového systému zvolen tak, jak je uvedeno na obrázcích vlevo; při změně původu času t počáteční fáze harmonických se změní, zatímco amplitudy harmonických zůstanou stejné. V závislosti na typu studovaného signálu by mělo být V chápáno buď jako hodnota měřená ve voltech, jde-li o napěťový signál, nebo jako hodnota měřená v ampérech, jde-li o proudový signál.

Rozšiřování Fourierových řad periodických funkcí

tabulka 2

Signály 7 a 8 jsou generovány ze sinusoidy hradlovými obvody.

Soubor harmonických složek, které tvoří nesinusový signál, se nazývá spektrum tohoto neharmonického signálu. Z tohoto souboru harmonických se rozlišují a rozlišují amplituda A fáze rozsah. Amplitudové spektrum je soubor amplitud všech harmonických, který je obvykle reprezentován diagramem ve formě sady svislých čar, jejichž délky jsou úměrné (ve zvoleném měřítku) hodnotám amplitudy harmonické složky a místo na vodorovné ose je určeno frekvencí (harmonickým číslem) této složky. Podobně jsou fázová spektra považována za soubor počátečních fází všech harmonických; jsou také zobrazeny v měřítku jako sada svislých čar.

Je třeba poznamenat, že je obvyklé měřit počáteční fáze v elektrotechnice v rozsahu od -180 0 do +180 0. Volají se spektra skládající se z jednotlivých čar lemované nebo diskrétní. Spektrální čáry jsou v určité vzdálenosti F od sebe, kde F- frekvenční interval rovný frekvenci první harmonické F Diskrétní spektra periodických signálů mají tedy spektrální složky s více frekvencemi - F, 2F, 3F, 4F, 5F atd.

Příklad 2.1. Najděte amplitudové a fázové spektrum pro obdélníkový signál, když jsou doby trvání kladných a záporných signálů stejné a průměrná hodnota funkce za období je nula

Pro signály jednoduchých, často používaných forem je vhodné najít řešení pomocí tabulek.

Rýže. 2.2. Lineární amplitudové spektrum obdélníkového signálu

Z Fourierova rozšíření pravoúhlého signálu (viz tabulky 2 - 1) vyplývá, že harmonická řada obsahuje pouze liché harmonické, zatímco amplitudy harmonických klesají úměrně počtu harmonických. Amplitudové čárové spektrum harmonických je znázorněno na Obr. 2.2. Při konstrukci se předpokládá, že amplituda první harmonické (zde napětí) je rovna jednomu voltu: B; pak bude amplituda třetí harmonické rovna B, páté - B atd. Počáteční fáze všech harmonických signálu jsou rovny nule, proto má fázové spektrum pouze nulové hodnoty souřadnic.

Problém je vyřešen.

Příklad 2.2.Najděte amplitudu a fázové spektrum pro napětí, které se mění podle zákona: při - T/4<t<T/4; u(t) = 0 pro T/4<t<3/4T. Takový signál je tvořen ze sinusoidy eliminací (zapojením pomocí ventilových prvků) záporné části harmonického signálu.

a) b)

Rýže. 2.3. Čárové spektrum půlvlnného usměrňovacího signálu: a) amplituda; b) fáze

Pro půlvlnný usměrňovací signál sinusového napětí (viz tabulky 2 - 8) obsahuje Fourierova řada konstantní složku (nulovou harmonickou), první harmonickou a dále sadu pouze sudých harmonických, jejichž amplitudy rychle klesají. s rostoucím harmonickým číslem. Pokud například dáme hodnotu V = 100 B, pak vynásobením každého členu společným faktorem 2V/π zjistíme(2.2)

Amplitudová a fázová spektra tohoto signálu jsou znázorněna na obr. 2.3a,b.

Problém je vyřešen.

V souladu s teorií Fourierových řad se přesná rovnost neharmonického signálu k součtu harmonických odehrává pouze pro nekonečně velký počet harmonických. Výpočet harmonických složek na počítači umožňuje analyzovat libovolný počet harmonických, který je určen účelem výpočtu, přesností a formou neharmonických efektů. Pokud doba trvání signálut bez ohledu na jeho tvar, mnohem méně období T, pak budou amplitudy harmonických klesat pomalu a pro úplnější popis signálu je nutné vzít v úvahu velké množství členů v řadě. Tuto vlastnost lze vysledovat pro signály uvedené v tabulkách 2 - 5 a 6 za předpokladu, že je splněna podmínka τ <<T. Pokud se neharmonický signál blíží tvaru sinusoidy (například signály 2 a 3 v tabulce 2), pak harmonické rychle klesají a pro přesný popis signálu se stačí omezit na tři až pět harmonických z řady.

Cíl práce: seznámení se spektrálním popisem periodických funkcí pomocí Fourierových řad.

Potřebné teoretické informace. Fourierova expanze

Prvním uvažovaným signálem bude sekvence obdélníkových pulzů s amplitudou A , trvání a dobu opakování T . Vezměme začátek počítání času uprostřed pulzu (obr. 1).

Obr. 1. - Periodický sled pravoúhlých impulsů

Tento signál je sudá funkce, proto je pro jeho reprezentaci výhodnější použít sinusovo-kosinový tvar Fourierovy řady - bude obsahovat pouze kosinové členy , rovná

Pojďme se představit pracovní cyklus
do výsledného vzorce pro koeficienty Fourierovy řady a poté vzorec zredukujeme do tvaru
.

Znázornění sekvence pravoúhlých impulsů ve formě Fourierovy řady má tvar:

Amplitudy harmonických členů řady závisí na harmonickém čísle podle zákona
(Viz obr. 2.) Graf funkcí
má okvětní charakter. Takže šířka okvětních lístků, měřená počtem harmonických, se rovná pracovnímu cyklu sekvence (s
my máme
, Pokud
). Z toho vyplývá důležitá vlastnost spektra posloupnosti pravoúhlých impulsů - postrádá (má nulové amplitudy) harmonické s čísly, která jsou násobky pracovního cyklu.

Rýže. 2 - Koeficienty Fourierovy řady pro sekvenci pravoúhlých impulsů.

Frekvenční vzdálenost mezi sousedními harmonickými se rovná frekvenci opakování pulzu -
. Šířka laloků spektra, měřená v jednotkách frekvence, je rovna
, to znamená, že je nepřímo úměrná době trvání impulsů, tzn. čím kratší je signál, tím širší je jeho spektrum.

Důležitým speciálním případem předchozího signálu je meandr(obr. 3) - sled pravoúhlých impulsů s pracovním cyklem rovným
když se trvání pulsů a intervaly mezi nimi vyrovnají.

Rýže. 3 - Meandr

,

Kde m je libovolné celé číslo.

V meandrovém spektru jsou tedy přítomny pouze liché harmonické. Znázornění meandru ve formě Fourierovy řady, vezmeme-li v úvahu toto, lze zapsat takto:

Harmonické složky, které tvoří meandr, mají amplitudy nepřímo úměrné harmonickým číslům a střídavým znaménkům. V oblastech sousedících s diskontinuitou dává součet Fourierovy řady znatelné pulzace. Tento jev, který je vlastní Fourierově řadě pro všechny signály s nespojitostmi prvního druhu (skoky), se nazývá Gibbsův efekt. Lze ukázat, že amplituda prvního (největšího) rázu je přibližně 9 % hodnoty skoku.

Obrázek 4. Gibbsův efekt.

Pilový signál (obr. 5). v období je popsána lineární funkcí:

,
.

Tento signál je lichá funkce, takže jeho Fourierova řada ve formě sinus-kosinus bude obsahovat pouze sinusové členy:

Fourierova řada pro samotný pilový signál vypadá takto:

Rýže. 5 - Pilový signál.

Periodický sled trojúhelníkových pulsů má symetrický tvar (obr. 6):

,
.

Rýže. 6 - Sled trojúhelníkových impulsů.

Fourierova řada má následující tvar:

Uvažujme program, který implementuje Fourierovu expanzi pravoúhlé sekvence pulsů.

CVIČENÍ 1.

Fourierova expanze může být aplikována na periodické signály. Navíc jsou reprezentovány jako součet harmonických funkcí nebo komplexní exponenciály s frekvencemi, které tvoří aritmetickou progresi. Aby takový rozklad mohl existovat, musí fragment signálu s dobou trvání jedné periody splňovat Dirichletovy podmínky:

1. Neměly by existovat nespojitosti druhého druhu (s větvemi funkce jdoucími do nekonečna).

2. Počet zlomů prvního druhu (skoků) musí být konečný.

Počet extrémů musí být konečný.

Fourierovy řady lze použít k reprezentaci nejen periodických signálů, ale také signálů s konečnou dobou trvání. V tomto případě je specifikován časový interval, pro který je Fourierova řada konstruována a jindy je signál považován za rovný nule. Pro výpočet koeficientů řady tento přístup vlastně znamená periodické pokračování signálu za hranicemi uvažovaného intervalu.

Fourierovy metody se používají k analýze lineárních obvodů nebo systémů: k předpovědi reakce (odezvy) systému; určit přenosovou funkci; k vyhodnocení výsledků testů.

Libovolný periodický signál je vyjádřen jako nekonečný počet harmonických s rostoucími frekvencemi:

Funkční období
by se měl rovnat 2π nebo násobek; kromě funkce
Fourierovu řadu lze považovat za „recept na přípravu“ jakéhokoli periodického signálu ze sinusových složek. Aby tato řada měla praktický význam, musí konvergovat, tzn. dílčí součty řady musí mít limit.

Proces vytváření libovolného periodického signálu z koeficientů, které popisují směšování harmonických, se nazývá syntéza. Opačný proces výpočtu koeficientů se nazývá analýza. Výpočet koeficientů usnadňuje skutečnost, že průměr křížových součinů sinusoidy a kosinusové vlny (a naopak) je 0.

Uveďme základ do Hilbertova prostoru:
Pro jednoduchost budeme předpokládat, že je ortonormální.

Pak libovolnou funkci
z Hilbertova prostoru lze reprezentovat projekcemi vektor X na základní ose zobecněnou Fourierovou řadou:

Fourierovy řady jsou zvláště užitečné při popisu libovolných periodických signálů s konečnou energií v každé periodě. Navíc je lze použít k popisu neperiodických signálů, které mají konečnou energii v konečném intervalu. V praxi se k popisu takových signálů používá Fourierův integrál.

závěry

1. Fourierova řada se široce používá k popisu periodických signálů. Fourierův integrál se používá k popisu neperiodických signálů.

Závěr

1. Zprávy, signály a interference jako vektory (body) v lineárním prostoru lze popsat pomocí sady souřadnic v dané bázi.

2. Pro TES je největší zájem o zobrazování signálů o n-rozměrný prostor Euklida
, nekonečný Hilbertův prostor
a diskrétní Hammingův prostor 2 n. V těchto prostorech je zaveden koncept skalárního součinu dvou vektorů (X, y) .

3. Jakákoli spojitá funkce času jako prvku mohou být reprezentovány zobecněnou Fourierovou řadou v dané ortonormální bázi.

Literatura

Hlavní:

Teorie elektrické komunikace: Proc. Pro univerzity / A.G. Zyuko, D. D. Klovsky, V.I. Koržik, M. V. Nazarov; Ed. D. D. Klovský. - M.: Rozhlas a komunikace, 1998. - 433 s.

Další:

Prokis J. Digitální komunikace: Per. z angličtiny. / Ed. D.D. Klovský. - M .: Rádio a komunikace, 2000. - 800 s.

Bernard Sklář. Digitální komunikace. Teoretické základy a praktická aplikace: Per. z angličtiny. – M.: Williams Publishing House, 2003. – 1104 s.

Sukhorukov A.S. Teorie elektrické komunikace: Poznámky k přednášce. Část 1. - M.: MTUSI, CENTRUM FOR DO, 2002. - 65 s.

Sukhorukov A.S. Teorie digitální komunikace: učebnice. Část 2. - M.: MTUSI, 2008. - 53 s.

5. Lineární elektrické obvody v režimu periodických neharmonických jevů

5.1. Neharmonické periodické signály

Při přenosu informací komunikačními kanály v procesu převodu signálu v různých zařízeních se zpravidla používají neharmonické oscilace, protože čistě harmonické oscilace nemohou být nosičem informace. Pro přenos zpráv je harmonické kmitání modulováno v amplitudě - amplitudové modulaci (AM), frekvenčně - frekvenční modulaci (FM) nebo fázově - fázové modulaci (PM), nebo použít pulsní signály modulované amplitudově - pulsní amplitudová modulace (AIM), šířka - pulzně-šířková modulace (PWM), časová poloha - pulzně-časová modulace (PWM). Existují další, složitější signály tvořené podle zvláštních zákonů. Charakteristickým rysem těchto signálů je komplexní neharmonický charakter. Proudy a napětí generované v různých pulzních a číslicových zařízeních mají nesinusový tvar (19. Diskrétní signály a obvody), harmonické signály procházející různými nelineárními zařízeními získávají nesinusový charakter (11. Nelineární elektrické obvody pod harmonickým vlivy) atd. To vše vede k potřebě vyvinout speciální metody pro analýzu a syntézu elektrických obvodů pod vlivem periodických nesinusových a neperiodických proudů a napětí. Tyto metody jsou založeny na spektrálních zobrazeních nesinusových jevů založených na expanzi do řady nebo Fourierova integrálu.

Z matematické analýzy je známo, že periodická neharmonická funkce f(t), splňující Dirichletovy podmínky, lze rozšířit ve Fourierově řadě:
(5.1)
Kde a k,bk - expanzní koeficienty určené rovnicemi
(5.2)

Hodnota představuje průměrnou hodnotu funkce za dané období f(t) a nazývá se konstantní složka.

V teoretických studiích se místo vzorce (5.1) obvykle používá jiný, založený na změně nezávisle proměnné:
(5.3)
Kde
(5.4)

Rovnice (5.3) je trigonometrická forma Fourierovy řady. Při analýze obvodů je často výhodnější použít komplexní formu Fourierovy řady, kterou lze získat z (5.3) pomocí Eulerových vzorců:
(5.5)

Dosazením (5.5) do rovnice (5.3) po jednoduchých transformacích získáme komplexní tvar Fourierovy řady:
(5.6)
Kde A k- komplexní amplituda k harmonická:
(5.7)
Kde – amplituda; - úvodní fáze k harmonická.

Nahrazení hodnot a k A b k od (5.4) do (5.7), dostaneme:
(5.8)

Sada amplitud 0,5 A k = 0,5A –k v expanzi (5.6), vynesená proti odpovídajícím kladným a záporným frekvencím, tvoří symetrii vzhledem k souřadnicové ose (kvůli rovnosti koeficientů a k) čárové amplitudové spektrum.

Sada pořadnic k = – –k z (5.7) zahrnutého v expanzi (5.6) a vynesené proti odpovídajícím kladným a záporným frekvencím, tvoří symetrii vzhledem k počátku souřadnicové osy (kvůli lichosti koeficientů b k)čárové fázové spektrum.

Rozšíření (5.3) může být znázorněno i v jiné formě. Vezmeme-li v úvahu, že a k = A k cos k A b k= A k hřích k, pak po dosazení do (5.3) dostaneme:
(5.9)

Uvažujeme-li konstantní složku a 0 /2 jako nulovou harmonickou s počáteční fází 0 = 0, pak expanze (5.9) nabývá tvaru
(5.10)

Ve zvláštním případě, kdy funkce F(a) symetrický podle osy y (obr. 5.1, A), v expanzi (5.3) se objeví pouze sudé (kosinové) harmonické:

(5.11)

a se symetrií F(a) vzhledem k původu (obr. 5.1, b) liché harmonické
(5.12)

Při posunutí počátku funkce F(a) jeho amplitudové spektrum se nemění, ale mění se pouze fázové spektrum. Vlastně posouváme funkci F(a) podél časové osy vlevo od t 0 a označují .

Poté nabývá formu expanze (5.9).
(5.13)

Příklad. Rozšiřte Fourierovu řadu pravoúhlých kmitů (obr. 5.1, b). Vzhledem k tomu F(a) je symetrický vzhledem k počátku, pouze sinusové harmonické (5.12) zůstanou v expanzi (5.3), kde b k se určuje podle (5.4):

Střídání b k v (5.12) získáme rozšíření ve Fourierově řadě:
(5.14)

Dále se přesouváme F(a) p/2 doleva (viz obr. 5.1, A). Pak podle (5.13) dostaneme

(5.15)

To znamená, že jsme získali expanzi v kosinových složkách, jak by to mělo být pro signál symetrický podle souřadnicové osy.

V některých případech, kdy periodická funkce F(a) je dán graficky a má složitý tvar, jeho rozšíření do Fourierovy řady lze provést graficko-analytickým způsobem. Jeho podstata spočívá v tom, že perioda signálu T(obr. 5.2) se dělí na m intervaly rovné , a body nespojitosti F a) nesmí spadat doprostřed rozdělených oblastí; určit hodnotu signálu F(A n) uprostřed každé části přepážky.

Najděte expanzní koeficienty a k A b k nahrazením integrálu v (5.2) konečným součtem
(5.16)

Rovnice (5.16) se snadno programuje a počítá a k A b k mohou být použity počítačem.

5.2. RMS, průměr a výkon periodického neharmonického signálu

Pro jistotu to předpokládejme F(t) má význam proudu i(t). Poté se určí efektivní hodnota periodického neharmonického proudu podle (3.5), kde i(t) je určena rovnicí (5.10):
(5.17)

Dosazením této aktuální hodnoty do (3.5) po integraci získáme
(5.18)

tj. efektivní hodnota periodického neharmonického proudu já je zcela určen efektivními hodnotami jeho harmonických já k a nezávisí na jejich počátečních fázích k.

Podobně zjistíme efektivní hodnotu periodického nesinusového napětí:
(5.19)

Průměrná hodnota proudu se stanoví podle obecného výrazu (3.9). A obvykle vezměte průměrnou hodnotu i(t) v absolutní hodnotě
(5.20)

Podobně definováno U cf(2) .

Z hlediska teorie obvodů je velmi zajímavý průměrný činný výkon neharmonického signálu a jeho rozdělení mezi jednotlivé harmonické.

Průměrný činný výkon periodického nesinusového signálu
(5.21)
Kde
(5.22)

k- fázový posun mezi proudem a napětím k harmonická.

Dosazování hodnot i(t) A u(t) z (5.22) do rovnice (5.21), po integraci dostaneme:
(5.23)
m, tj. průměrný činný výkon periodického neharmonického signálu za období je roven součtu výkonů jednotlivých harmonických. Vzorec (5.23) je jednou z forem známého Parsevalovy rovnosti.

Podobně zjistíme jalový výkon
(5.24)
a plný výkon
(5.25)

Je třeba zdůraznit, že na rozdíl od harmonických signálů pro neharmonické signály
(5.26)

Hodnota P ic = je nazýván zkreslení a charakterizuje míru odlišnosti současných forem i(t) a stres u(t).

Kromě síly zkreslení se periodické neharmonické signály vyznačují řadou koeficienty:výkon, km = P/S; formy Kf \u003d U/U cf (2); amplitudy Ka = U m/U; zkreslení k a = Ui/U; harmonické k r = atd.

Pro sinusový signál k f = /21,11; k a = 1,41; k u = 1; k r = 0.

5.3. Spektra periodických neharmonických signálů

Uvažujme posloupnost pravoúhlých pulzů znázorněnou na obr. 5.3, A. Signály této formy jsou velmi široce používány v radiotechnice a telekomunikacích: telegrafie, digitální přenosové systémy, vícekanálové komunikační systémy s kanály s časovým dělením, různá pulzní a digitální zařízení atd. (viz kapitola 19). Sekvence pulzů je charakterizována následujícími hlavními parametry: amplituda pulzu A a a může mít význam jak napětí, tak proudu."> , jeho trvání t a období T. Poměr období T na trvání t a zavolal pracovní cyklus a je označena q = T/t a. Hodnoty pulsního pracovního cyklu se obvykle pohybují od několika jednotek (v měřicí technice, diskrétním přenosu a zařízeních pro zpracování informací) až po několik stovek nebo tisíců (v radaru).

K nalezení spektra posloupnosti pravoúhlých pulzů použijeme Fourierovu řadu v komplexním tvaru (5.6). Komplexní amplituda k harmonická je rovna podle (5.8) po návratu k původní proměnné t.

(5.27)

Nahrazení hodnoty A k do rovnice (5.6), dostaneme expanzi ve Fourierově řadě:
(5.28)

Na Obr. 5.4 ukazuje spektrum komplexních amplitud pro q= 2 a q= 4. Jak je patrné z obrázku, spektrum posloupnosti pravoúhlých pulzů je diskrétní spektrum s obálkou (přerušovaná čára na obr. 5.4), které je popsáno funkcí
(5.29)
tzv. počítací funkce (viz kap. 19). Počet spektrálních čar mezi počátkem podél frekvenční osy a první nulou obálky je q- 1. DC složka signálu (průměrná hodnota) a efektivní hodnotu A= , tj. čím větší je pracovní cyklus, tím nižší je úroveň konstantní složky a efektivní hodnota signálu. S rostoucím pracovním cyklem q zvyšuje se počet diskrétních složek - spektrum se stává hustším (viz obr. 5.4, b) a harmonická amplituda klesá pomaleji. Je třeba zdůraznit, že v souladu s (5.27) je spektrum uvažované sekvence pravoúhlých impulsů reálné.

Ze spektra komplexních amplitud (5.27) lze vyčlenit amplitudu A k = |A k| a fázové spektrum k=arg A k znázorněno na Obr. 5.5 pro případ q= 4. Z obrázků je vidět, že amplitudové spektrum je sudé a fázové spektrum je lichá funkce frekvence. Navíc fáze jednotlivých harmonických nabývají buď nulové hodnoty mezi uzly, kde je sinus kladný, nebo ±, kde je sinus záporný (obr. 5.5, Obr. b)

Na základě vzorce (5.28) získáme trigonometrický tvar rozšíření Fourierovy řady v sudých harmonických (srovnej s (5.15)):
(5.30)

Při posunu sekvence impulzů podél časové osy (obr. 5.2, b) v souladu s (5.13), jeho amplitudové spektrum zůstane stejné, ale fázové spektrum se změní:
(5.31)

V případě, kdy má periodická sekvence bipolární tvar (viz obr. 5.1), nebude ve spektru žádná konstantní složka (srovnej (5.30) a (5.31) s (5.14) a (5.15)).

Podobně lze zkoumat spektrální složení periodických neharmonických signálů jiné formy. Tabulka 5.1 ukazuje Fourierovu expanzi některých nejběžnějších signálů.

Tabulka 5.1

	Typy signálů	Fourierova expanze
1
2
3
4
5
6

5.4. Výpočet obvodů s periodickými neharmonickými účinky

Výpočet lineárních elektrických obvodů pod vlivem periodických neharmonických signálů je založen na principu superpozice. Jeho podstatou, jak je aplikováno na neharmonické efekty, je rozšířit neharmonický periodický signál do jedné z forem Fourierovy řady (viz 5.1. Neharmonické periodické signály. Rozšíření Fourierovy řady) a určit odezvu obvodu od každé harmonické zvlášť. Výslednou reakci zjistíme superpozicí (superpozicí) výsledných dílčích reakcí. Výpočet obvodů pod periodickými neharmonickými vlivy tedy zahrnuje problém analýzy spektrálního složení signálu (jeho expanze ve Fourierově řadě), výpočet obvodu z každé harmonické složky a problém syntézy v důsledku který je výsledný výstupní signál určen jako funkce času (frekvence) nebo jeho efektivní (hodnota amplitudy).

Při řešení analytického problému obvykle používají trigonometrický (5.3) nebo komplexní (5.6) tvar Fourierovy řady s omezeným počtem členů rozšíření, což vede k určité chybě v aproximaci skutečného signálu. Koeficienty rozkladu a k A b k v (5.3) popř A k A k v (5.6) jsou určeny pomocí rovnic (5.4), (5.7) a (5.8). V tomto případě vstupní signál F a) musí být stanoveny analyticky. Pokud je signál specifikován graficky, například ve formě oscilogramu, pak pro nalezení expanzních koeficientů a k A b k lze použít graficko-analytickou metodu (viz (5.16)).

Výpočet obvodu z jednotlivých harmonických se obvykle provádí symbolickou metodou. Přitom je třeba mít na paměti, že k harmonická indukční reaktance X L(k) = kL a kapacita X C(k) = 1/(kС), tj. na k harmonická indukční reaktance v k krát více a kapacitní k krát menší než první harmonická. To vysvětluje zejména skutečnost, že vysoké harmonické jsou výraznější v kapacitě a slabší v indukčnosti než v napětí, které je na ně přiváděno. Aktivní odpor R při nízkých a středních frekvencích lze považovat za nezávislé na frekvenci.

Po určení požadovaných proudů a napětí z jednotlivých harmonických se superpozicí zjistí výsledná odezva obvodu na neharmonický periodický efekt. V tomto případě se určí buď okamžitá hodnota výsledného signálu na základě výpočtu amplitud a fází jednotlivých harmonických, nebo jeho amplituda či efektivní hodnoty podle rovnic (5.18), (5.19). Při určování výsledné odezvy je třeba pamatovat na to, že v souladu se znázorněním periodických neharmonických kmitů na komplexní rovině rotují vektory různých harmonických s různými úhlovými frekvencemi.

Příklad. K obvodu znázorněnému na Obr. 5,6 napětí u(t) ve formě obdélníkových impulsů s periodou opakování T= 2t a amplituda A a \u003d 1V (viz obr. 5.3, b). Určete okamžité a efektivní hodnoty napětí na kapacitě.

Rozšíření tohoto napětí ve Fourierově řadě je určeno vzorcem (5.31). Omezíme se na první tři členy expanze (5.31): k-tá harmonická je takový stav elektrického obvodu, který se skládá z reaktivních prvků různých charakteristik, ve kterém dochází k fázovému posunu mezi vstupním proudem a přiloženým napětím. k-x harmonické je nula. Jev rezonance lze použít k izolaci jednotlivých harmonických z periodického nesinusového signálu. Je třeba zdůraznit, že proudové rezonance na jedné frekvenci a napěťové rezonance na jiné lze v obvodu dosáhnout současně.

Příklad. Pro obvod znázorněný na Obr. 5.7, pro danou 1, L 1 najít hodnotu C 1 a C 2, při kterém dochází současně k napěťové rezonanci na 1. harmonické a proudové rezonanci na 5. harmonické.

Z podmínky napěťové rezonance zjistíme, že vstupní reaktance obvodu na první harmonické by měla být nulová:
(5.32)

a na páté - nekonečno (vstupní reaktivní vodivost při páté harmonické by se měla rovnat nule):
(5.33)

Z podmínek (5.32) a (5.33) zjistíme požadovanou hodnotu kapacit:

Analýza obvodu v časové oblasti metodou stavových veličin za konstantních vlivů

4.1 Fourierova expanze dané periodické sekvence pulsů

Schéma elektrického obvodu s přihlédnutím k tabulce 1 je znázorněno na Obr. 7.

Jakákoli periodická funkce f(t), která splňuje Dirichletovy podmínky, může být rozšířena do Fourierovy řady. Označme periodu funkce jako T a základní frekvenci jako _ . Fourierova řada může být zapsána dvěma způsoby.

První vstupní formulář:

Druhá forma psaní:

V obou formách je A 0 konstantní složkou řady; A k je amplituda k-té harmonické řady; k - počáteční fáze k-té harmonické;

Z Eulerova vzorce to vyplývá. Proto,

S ohledem na to můžeme psát Fourierovy řady v komplexní formě.

Vytvořme výraz pro komplexní amplitudu.

Když to vezmeme v úvahu, dostaneme výraz pro periodickou funkci času:

Porovnáním výsledného výrazu se vzorcem (12) získáme:

V tomto ohledu je v našem případě možné získat koeficienty pro elektrickou formu záznamu Fourierovy řady z hodnot amplitudových a fázových spekter získaných v předchozí části. Počet členů aproximace volíme s ohledem na šířku spektra vstupního signálu.

Diskrétní amplitudová a fázová spektra jsou znázorněna na obrázcích 25, 26. Jejich výpočty jsou shrnuty v tabulce 5.

"vpravo">Tabulka 5.

Amplitudy a fáze na odpovídajících harmonických

Rýže. 25. Diskrétní amplitudové spektrum vstupního signálu

Andronov-Hopfova bifurkace

Je nám dán následující systém: x1=m*x1+ x2+m*x12- x12- x1*x22 x2=- x1+ x22 První variace hodnoty bifurkace > > Během řešení jsme dostali 4 singulární body, zvažte každý z a určit jejich typ. První singulární bod >> > > > To jsme dostali v bodě (0...

Diskrétní matematika

Nechť F je binární funkce n proměnných. Předpokládejme, že F není shodně nula. Nechť T1, T2,…, Tk jsou všechny body její definice, kde F=1. Lze dokázat, že platí následující vzorec: , kde, j=1,2,…, k...

Diferenciální vlastnosti hyperbolických funkcí

Nalezněme expanzi hlavních hyperbolických funkcí v Taylorově řadě v okolí bodu, tzn. do série druhů nazývaných Maclaurin série. Exponenciální a hyperbolické funkce Nechť, pak pro libovolné ...

Metody matematického návrhu

Je nutné provést simulaci šumu s Rayleighovým zákonem rozdělení pravděpodobnosti a disperzí D=12, kde y=. K získání implementací šumu s daným distribučním zákonem se používá metoda inverzní funkce ...

Normované prostory

Teorie interpolace má četné aplikace v teorii Fourierových řad. Definice. Nechť je periodická funkce taková, že. Norma v prostoru je číslo a Fourierovy koeficienty funkce jsou čísla...

Základy diskrétní matematiky

Věta 1. Jakákoli logická funkce může být reprezentována v SDNF: , (1) kde m, a disjunkce je převzata přes všechny 2m množiny hodnot proměnných х1,…хm . Funkce f je rozšířena v prvních n-proměnných...

Fourierova transformace a některé její aplikace

(1) Fourierův integrální vzorec. Nejprve zavedeme pojem hlavní hodnoty integrálu. Nechť je funkce integrovatelná na libovolném segmentu reálné čáry. Definice 1.1. Pokud existuje konečná mez, (1...

Podívejme se na systém. Sestrojíme soustavu s danou sudou částí. Dejte nám vědět sudou část. Použijme vzorec a transformujme jej Proto můžeme psát Odtud, když víme, dostaneme, kde je odrazná funkce systému ...

Goniometrické rovnice

Rovnici přivedeme do tvaru f(x)=0 a levou stranu rovnice znázorníme jako součin f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Potom se tato rovnice redukuje na sadu rovnic: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Mělo by se pamatovat...

Goniometrické rovnice a nerovnice

Faktorizační metoda je následující: pokud je jakékoli řešení rovnice řešením množiny rovnic Opačné tvrzení je, obecně řečeno, nepravdivé: ne každé řešení množiny je řešením rovnice ...

Jacobiho eliptické funkce

Protože Jacobiho funkce snu, cnu, dnu splňují podmínku Dirichletovy věty pro reálné hodnoty argumentů, lze pro ně zkonstruovat odpovídající Fourierovy řady. Funkce f(x) splňuje Dirichletovy podmínky v intervalu (?l,l)...