«Syntéza lineárních filtrů. R. G. Gareeva syntéza lineárních frekvenčních filtrů Prvky teorie syntézy lineárních frekvenčních filtrů

Elektrické filtry jsou čtyřsvorkové sítě, které při zanedbatelném útlumu ∆A přenášejí oscilace v určitých frekvenčních rozsazích f 0 ... f 1 (propustná pásma) a prakticky nevysílají oscilace v jiných rozsazích f 2 ... f 3 (stop nebo nepřenosová pásma).

Rýže. 2.1.1. Dolní propust (LPF). Rýže. 2.1.2. Horní propust (HPF).

Existuje mnoho různých typů implementací elektrických filtrů: pasivní LC filtry (obvody obsahují indukční a kapacitní prvky), pasivní RC filtry (obvody obsahují odporové a kapacitní prvky), aktivní filtry (obvody obsahují operační zesilovače, odporové a kapacitní prvky), vlnovod, digitální filtry a další. Mezi všemi typy filtrů zaujímají LC filtry zvláštní postavení, protože jsou široce používány v telekomunikačních zařízeních v různých frekvenčních rozsazích. Pro filtry tohoto typu existuje dobře zavedená technika syntézy a syntéza jiných typů filtrů ji do značné míry využívá.

metodologie. Proto se práce v kurzu zaměřuje na syntézu

Rýže. 2.1.3. Pásmový filtr (PF). pasivní LC filtry.

Úkol syntézy elektrického filtru je definovat filtrační obvod s minimálním možným počtem prvků, jehož frekvenční charakteristika by vyhovovala stanoveným technickým požadavkům. Často jsou kladeny požadavky na charakteristiku provozního útlumu. Na obrázcích 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 jsou požadavky na provozní útlum dány úrovněmi maximálního přípustného útlumu v propustném pásmu A a úrovněmi minimálního přípustného útlumu v propustném pásmu As. Úkol syntézy je rozdělen do dvou fází: aproximační problém požadavky na provozní útlum fyzicky realizovanou funkcí a implementační úkol nalezená aproximační funkce elektrickým obvodem.

Řešení aproximačního problému spočívá v nalezení takové funkce minimálního možného řádu, která za prvé vyhovuje stanoveným technickým požadavkům na frekvenční charakteristiku filtru a za druhé vyhovuje podmínkám fyzikální proveditelnosti.

Řešením implementačního problému je určení elektrického obvodu, jehož frekvenční charakteristika se shoduje s funkcí zjištěnou v důsledku řešení aproximačního problému.

2.1. ZÁKLADY PRO SYNTÉZU FILTRŮ DLE PRACOVNÍCH PARAMETRŮ.

Uvažujme některé vztahy charakterizující podmínky přenosu energie přes elektrický filtr. Elektrofiltr se zpravidla používá v podmínkách, kdy jsou zařízení připojena ze strany jeho vstupních svorek, které lze v náhradním obvodu reprezentovat jako aktivní dvousvorkovou síť s parametry E(jω), R1 a zařízení jsou připojena ze strany výstupních svorek, které jsou na náhradním obvodu reprezentovány odporovým odporem R2. Obvod pro zapnutí elektrického filtru je znázorněn na obrázku 2.2.1.

Na obrázku 2.2.2 je schéma, ve kterém je místo filtru a odporu R2 k ekvivalentnímu generátoru (s parametry E(jω), R1) připojen zatěžovací odpor, jehož hodnota je rovna odporu generátoru R1. Jak víte, generátor dodává maximální výkon do odporové zátěže, pokud je odpor zátěže roven vnitřnímu ztrátovému odporu generátoru R1.

Průchod signálu čtyřsvorkovou sítí je charakterizován pracovní přenosovou funkcí T(jω). Funkce pracovního přenosu umožňuje porovnat výkon S 0 (jω) dodávaný generátorem do zátěže R1 (v souladu s jeho vlastními parametry) s výkonem S 2 (jω) dodávaným zátěži R2 po průchodu filtrem:

Argument pracovní přenosové funkce arg(T(jω)) charakterizuje fázový vztah mezi emf. E(jω) a výstupní napětí U 2 (jω). Nazývá se konstanta přenosu pracovní fáze (označovaná řeckým písmenem „beta“):

Při přenosu energie čtyřsvorkovou sítí jsou změny výkonu, napětí a proudu v absolutní hodnotě charakterizovány modulem funkce pracovního přenosu. Při hodnocení selektivních vlastností elektrických filtrů se používá míra, která je určena logaritmickou funkcí. Tato míra je pracovní útlum (označovaný řeckým písmenem "alfa"), který souvisí s modulem pracovní přenosové funkce poměry:

, (Np); nebo (2.2)

, (dB). (2.3)

Při použití vzorce (2.2) je provozní útlum vyjádřen v neperech a při použití vzorce (2.3) v decibelech.

Hodnota se nazývá pracovní přenosová konstanta kvadripólu (označuje se řeckým písmenem „gama“). Funkce pracovního přenosu může být reprezentována pomocí pracovního útlumu a pracovní fáze jako:

V případě, že vnitřní ztrátový odpor generátoru R1 a zatěžovací odpor R2 jsou odporové, jsou aktivní výkony S 0 (jω) a S 2 (jω). Je vhodné charakterizovat průchod výkonu filtrem pomocí koeficientu přenosu výkonu, definovaného jako poměr maximálního výkonu P max přijatého z generátoru jím přizpůsobenou zátěží k výkonu P2 vstupujícímu do zátěže R2:

Reaktivní síť se čtyřmi svorkami nespotřebovává činnou energii. Potom se činný výkon P 1 daný generátorem rovná výkonu P 2 spotřebovanému zátěží:

Vyjádřeme hodnotu vstupního proudového modulu: a dosadíme do (2.5).

Pomocí algebraických transformací znázorníme (2.5) ve tvaru:

Čitatele na pravé straně rovnice představujeme ve tvaru:

Levá strana rovnice (2.6) je převrácená hodnota poměru přenosu výkonu:

Následující výraz je koeficient odrazu výkonu od vstupních svorek čtyřpólu:

Koeficient odrazu (napětí nebo proud) od vstupních svorek čtyřsvorkové sítě se rovná

charakterizuje přizpůsobení vstupní impedance filtru s odporem R1.

Pasivní síť se čtyřmi svorkami nemůže zajistit zisk výkonu, tzn.

Proto je pro takové obvody vhodné použít pomocnou funkci definovanou výrazem:

Představme si pracovní útlum v jiné formě, vhodnější pro řešení problému syntézy filtru:

Je zřejmé, že povaha frekvenční závislosti pracovního útlumu souvisí s frekvenční závislostí funkce, nazývané filtrační funkce: nuly a póly filtrační funkce se shodují s nulami a póly útlumu.

Na základě vzorců (2.7) a (2.9) je možné reprezentovat koeficient odrazu výkonu ze vstupních svorek kvadripólu:

Přejděme k zápisu obrázků operátorů podle Laplacea, vezmeme-li v úvahu, že p = jω, a také to, že druhá mocnina modulu komplexní hodnoty je vyjádřena například . Výraz (2.10) ve formě operátoru má tvar

Operátorové výrazy , , jsou racionální funkce komplexní proměnné "p", a proto je lze zapsat jako

kde , , - jsou polynomy, například:

Ze vzorce (2.11), vezmeme-li v úvahu (2.12), můžeme získat vztah mezi polynomy:

Ve fázi řešení aproximačního problému je určeno vyjádření filtrační funkce, to znamená, že jsou určeny polynomy h(p), w(p); z rovnice (2.13) lze nalézt polynom v(p).

Pokud je výraz (2.8) uveden ve tvaru operátora, pak lze funkci vstupní impedance filtru získat ve tvaru operátora:

Podmínky fyzické realizovatelnosti jsou následující:

1. v(p) - musí být Hurwitzův polynom, to znamená, že jeho kořeny leží v levé polovině roviny komplexní proměnné p=α+j Ω (požadavek na stabilitu řetězce);

2. w(p) - musí být buď sudý, nebo lichý polynom (pro LPF w(p) - sudý, takže při ω=0 není žádný útlumový pól; pro HPF w(p) - lichý);

3. h(p) je libovolný polynom s reálnými koeficienty.

2.2. NAŘÍZENÍ O ODPORU A FREKVENCE.

Číselné hodnoty parametrů prvků L, C, R a mezní frekvence reálných filtrů mohou nabývat v závislosti na technických podmínkách různých hodnot. Použití současně malých a velkých veličin ve výpočtech vede k významné chybě výpočtu.

Je známo, že povaha frekvenčních závislostí filtru nezávisí na absolutních hodnotách koeficientů funkcí, které tyto závislosti popisují, ale je určena pouze jejich poměry. Hodnoty koeficientů jsou určeny hodnotami parametrů L, C, R filtrů. Proto normalizace (změna o stejný počet časů) koeficientů funkcí vede k normalizaci hodnot parametrů filtračních prvků. Místo absolutních hodnot odporů filtračních prvků se tedy berou jejich relativní hodnoty, vztažené k zatěžovacímu odporu R2 (nebo R1).

Kromě toho, pokud jsou hodnoty frekvence normalizovány vzhledem k mezní frekvenci šířky pásma (tato hodnota se nejčastěji používá), dále to zúží rozptyl hodnot použitých ve výpočtech a zvýší přesnost výpočtů. Normalizované hodnoty frekvence jsou zapsány ve tvaru a jsou to bezrozměrné veličiny a normalizovaná hodnota mezní frekvence šířky pásma.

Uvažujme například odpor sériově zapojených prvků L, C, R:

Jmenovitá odolnost: .

Uveďme normalizované hodnoty frekvence do posledního výrazu: kde normalizované parametry jsou: .

Skutečné (denormalizované) hodnoty parametrů prvku jsou určeny:

Změnou hodnot f 1 a R2 je možné z původního obvodu získat nové obvody zařízení pracujících v jiných frekvenčních rozsazích a pod jiným zatížením. Zavedení normalizace umožnilo vytvářet katalogy filtrů, což v mnoha případech redukuje obtížný problém syntézy filtrů na práci s tabulkami.

2.3. KONSTRUKCE DUÁLNÍCH SCHÉMŮ.

Duální veličiny, jak známo, jsou odpor a vodivost. Pro každý obvod elektrického filtru lze nalézt obvod duální. V tomto případě se vstupní odpor prvního obvodu bude rovnat vstupní vodivosti druhého, vynásobené koeficientem. Je důležité poznamenat, že pracovní přenosová funkce T(p) pro obě schémata bude stejná. Příklad stavby duálního okruhu je na obrázku 2.3.

Takové transformace se často ukazují jako vhodné, protože umožňují snížit počet indukčních prvků. Jak víte, induktory jsou ve srovnání s kondenzátory objemné a nekvalitní prvky.

Jsou určeny normalizované parametry prvků duálního obvodu (když =1):

2.4. APROXIMACE FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK.

Obrázky 2.1.1 - 2.1.3 ukazují grafy funkcí pracovního útlumu dolní propusti (LPF), horní propusti (HPF), pásmové propusti (BPF). Stejné grafy ukazují úrovně požadovaného útlumu. V propustném pásmu f 0 ... f 1 se nastavuje maximální dovolená hodnota útlumu (tzv. nerovnoměrnost útlumu) ΔА; v dorazovém pásmu f 2 …f 3 je nastavena minimální dovolená hodnota útlumu A S; v přechodové oblasti frekvencí f 1 ... f 2 nejsou kladeny požadavky na útlum.

Než se přistoupí k řešení aproximačního problému, požadované charakteristiky provozního útlumu ve frekvenci jsou normalizovány, například pro dolní propust a horní propust:

Požadovaná aproximační funkce musí splňovat podmínky fyzikální proveditelnosti a dostatečně přesně reprodukovat požadovanou frekvenční závislost provozního útlumu. Pro odhad chyby aproximace existují různá kritéria, na kterých jsou založeny různé typy aproximace. V problémech aproximace amplitudově-frekvenčních charakteristik se nejčastěji používají Taylorova a Čebyševova kritéria optimality.

2.4.1. Aproximace podle Taylorova kritéria.

V případě použití Taylorova kritéria má požadovaná aproximační funkce následující tvar (normalizovaná hodnota):

kde je druhá mocnina modulu filtrační funkce;

– pořadí polynomu (nabývá celočíselné hodnoty);

ε je koeficient nerovnoměrnosti. Jeho hodnota souvisí s hodnotou ∆A - nerovnoměrnost útlumu v propustném pásmu (obr. 2.4). Protože při mezní frekvenci propustného pásma Ω 1 =1, tedy

Filtry s frekvenčními závislostmi útlumu (2.16) se nazývají filtry s extrémně ploché charakteristiky útlumu, nebo filtry s Butterworthovy vlastnosti, který jako první použil při řešení problému syntézy filtrů aproximaci podle Taylorova kritéria.

Pořadí aproximační funkce je určeno na základě podmínky, že při mezní frekvenci zádržného pásma Ω 2 překročí provozní útlum minimální přípustnou hodnotu:

kde . (2,19)

Protože řád polynomu musí být celé číslo, výsledná hodnota

Obr.2.4. zaokrouhleno nahoru na nejbližší vyšší

celočíselná hodnota.

Výraz (2.18) lze reprezentovat ve formě operátoru pomocí transformace jΩ→ :

Pojďme najít kořeny polynomu: , odkud

K = 1, 2, …, NB (2,20)

Kořeny nabývají komplexně konjugovaných hodnot a jsou umístěny na kruhu o poloměru. K vytvoření Hurwitzova polynomu je nutné použít pouze ty kořeny, které se nacházejí v levé polovině komplexní roviny:

Obrázek 2.5 ukazuje příklad umístění kořenů polynomu 9. řádu se zápornou reálnou složkou do komplexní roviny. Modulový čtverec

Rýže. 2.5. filtrační funkce podle (2.16) se rovná:

Polynom s reálnými koeficienty; je polynom sudého řádu. Tím jsou splněny podmínky fyzické realizovatelnosti.

2.4.2. Aproximace podle Čebyševova kritéria.

Při použití mocninných polynomů Ω 2 N B pro Taylorovu aproximaci se získá dobrá aproximace k ideální funkci v blízkosti bodu Ω=0, ale aby byla zajištěna dostatečná strmost aproximační funkce pro Ω>1, musí se řád polynomu (a následně i pořadí schématu) zvětšit.

Nejlepší strmost v oblasti přechodové frekvence lze získat, pokud jako aproximační nezvolíme monotónní funkci (obr. 2.4), ale funkci, která osciluje v rozsahu hodnot 0 ... ΔА v propustném pásmu na 0.<Ω<1 (рис. 2.7).

Nejlepší aproximaci podle Čebyševova kritéria poskytuje použití Čebyševových polynomů P N (x) (obr. 2.6). V intervalu -1< x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.

V intervalu -1< x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением

P N (x) = cos(N arccos(x)), (2,21)

pro N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,

pro N=2 P 2 (x) = cos(2 arccos(x)) = 2 cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2 x 2 – 1,

pro N≥3 lze polynom P N (x) vypočítat pomocí opakujícího se vzorce

PN + 1 (x) = 2 x PN (x) - PN - 1 (x).

Pro x > 1 se hodnoty Čebyševových polynomů monotónně zvyšují a jsou popsány výrazem

P N (x) = ch(N Arch(x)). (2,22)

Funkce pracovního útlumu (obr. 2.7) je popsána výrazem

kde ε je koeficient nerovnoměrnosti určený vzorcem (2.17);

Čtvercový funkční modul filtru;

P N (Ω) je Čebyševův polynom řádu N.

Provozní útlum v pásmu stop musí překročit hodnotu A S:

Dosazením výrazu (2.22) pro hodnoty frekvencí zastavovacího pásma do této nerovnosti to vyřešíme s ohledem na hodnotu N = NЧ - řád Čebyševova polynomu:

Řád polynomu musí být celé číslo, takže výsledná hodnota musí být zaokrouhlena nahoru na nejbližší vyšší celé číslo.

Druhá mocnina modulu pracovní přenosové funkce (normalizovaná hodnota)

Protože nuly útlumu (jsou to kořeny Hurwitzova polynomu) jsou umístěny v propustném pásmu, je třeba do tohoto výrazu dosadit výraz (2.21) pro frekvence propustného pásma.

Výraz (2.25) lze reprezentovat ve formě operátoru pomocí transformace jΩ→ :

Kořeny polynomu jsou určeny vzorcem:

K = 1, 2, … , NЧ, (2,26)

Komplexně konjugované kořeny v komplexní rovině jsou umístěny na elipse. Hurwitzův polynom je tvořen pouze kořeny se zápornou reálnou složkou:

Funkce filtru modul čtverec ; proto najdeme polynom pomocí rekurzivního vzorce:

Je polynom s reálnými koeficienty; je polynom sudého stupně. Jsou splněny podmínky fyzické realizovatelnosti.

2.5. REALIZACE PŘIBLIŽNÉ FUNKCE ELEKTRICKÝM OBVODEM.

Jedna z metod řešení implementačního problému je založena na pokračujícím zlomkovém rozšiřování funkce vstupního odporu

Postup rozkladu je popsán v literatuře: , . Expanze kontinuální frakce může být stručně vysvětlena následovně.

Funkce je poměrem polynomů. Nejprve se polynom čitatele vydělí polynomem jmenovatele; pak se polynom, který byl dělitelem, stane dělitelným a výsledný zbytek se stane dělitelem a tak dále. Kvocienty získané dělením tvoří spojitý zlomek. Pro obvod na obrázku 2.8 má pokračující zlomek tvar (pro =1):

V případě potřeby můžete z přijatých

schémata jdou do duálu.

2.6. FREKVENČNÍ PROMĚNNÁ KONVERZNÍ METODA.

Pro syntézu HPF a PF se používá metoda frekvenčně proměnné konverze. Transformace platí pouze pro normalizované frekvence Ω.

2.6.1. Syntéza HPF. Porovnáním charakteristik LPF a HPF na obrázcích 2.9 a 2.10 můžete vidět, že jsou vzájemně inverzní. To znamená, že pokud změníme frekvenční proměnnou

ve vyjádření charakteristiky dolní propusti, pak bude získána charakteristika horní propusti. Například pro filtr s Butterworthovou charakteristikou

Použití této transformace je ekvivalentní nahrazení kapacitních prvků indukčními a naopak:

To znamená

To je .

Chcete-li syntetizovat horní propust pomocí metody transformace frekvenční proměnné, musíte provést následující.

Rýže. 2.9. LPF s normalizovaným Obr. 2.10. HPF s normal

charakteristický. charakteristický.

1. Normalizujte frekvenční proměnnou.

2. Použijte vzorec (2.27) pro transformaci frekvenční proměnné

Přepočtené požadavky na provozní útlum jsou požadavky na provozní útlum tzv. prototypu LPF.

3. Syntéza LPF prototypu.

4. Použijte vzorec (2.27) pro přechod od prototypu LPF k požadovanému HPF.

5. Proveďte denormalizaci parametrů prvků syntetizovaného HPF.

2.6.2. Syntéza PF. Obrázek 2.1.3. je zobrazena symetrická charakteristika provozního útlumu pásmové propusti. Toto je název charakteristiky, geometricky symetrické podle průměrné frekvence.

Chcete-li syntetizovat PF pomocí metody transformace frekvenční proměnné, musíte provést následující.

1. Pro přechod od požadované symetrické charakteristiky PF k normalizované charakteristice prototypu LPF (a použití již známé techniky syntézy) je nutné vyměnit frekvenční proměnnou (obrázek 2.11)

2.7. AKTIVNÍ FILTRY.

Aktivní filtry se vyznačují nepřítomností induktorů, protože vlastnosti indukčních prvků lze reprodukovat pomocí aktivních obvodů obsahujících aktivní prvky (operační zesilovače), rezistory a kondenzátory. Taková schémata jsou označena: schémata ARC. Nevýhodou induktorů je nízký kvalitativní faktor (velké ztráty), velké rozměry, vysoká výrobní cena.

2.7.1. Základy teorie ARC filtrů. Pro lineární čtyřsvorkovou síť (včetně lineárního ARC filtru) je poměr mezi vstupním a výstupním napětím (ve formě operátora) vyjádřen funkcí přenosu napětí:

kde w(p) je sudý (K p 0 pro LPF) nebo lichý (pro HPF) polynom,

v(p) je Hurwitzův polynom řádu N.

Pro LPF lze přenosovou funkci (normalizovanou hodnotu) reprezentovat jako součin faktorů

kde К = Н U (0) = К2 1 ·К2 2 · … ·К2 (N /2) je hodnota funkce H U (p) (pro filtr sudého řádu) při přenosu konstantního napětí (tj. při f=0 nebo ve formě operátora při p=0);

faktory ve jmenovateli jsou tvořeny součinem komplexně konjugovaných kořenů

v případě filtru lichého řádu existuje jeden faktor vytvořený pomocí kořene Hurwitzova polynomu s reálnou hodnotou .

Každý činitel přenosové funkce může být implementován pomocí aktivního dolního filtru (ARC) druhého nebo prvního řádu. A celá daná přenosová funkce H U (p) je kaskádovým propojením takových čtyřterminálních sítí (obrázek 2.13).

Aktivní čtyřsvorkové zařízení založené na operačním zesilovači má velmi užitečnou vlastnost - jeho vstupní impedance je mnohem větší než výstupní. Připojení k síti se čtyřmi svorkami jako velmi velká odporová zátěž (tento režim provozu se blíží režimu nečinnosti) neovlivňuje vlastnosti samotné sítě se čtyřmi svorkami.

H U (p) = H1 U (p) H2 U (p) ... Hk U (p)

Například aktivní dolní propust 5. řádu lze realizovat obvodem, který je kaskádovým zapojením dvou kvadripólů druhého řádu a jednoho kvadripólu prvního řádu (obr. 2.14), a dolní propust 4. řádu tvoří kaskádové zapojení dvou kvadripólů druhého řádu. K přenosové cestě signálu jsou nejprve připojeny čtyřpóly s vyšším činitelem kvality; jako poslední se připojuje čtyřsvorkové zařízení prvního řádu (s nejnižším činitelem kvality a nejnižší strmostí frekvenční charakteristiky).

2.7.2. Syntéza ARC filtru vytvořené pomocí funkce přenosu napětí (2.29). Frekvenční normalizace se provádí vzhledem k mezní frekvenci f c. Při mezní frekvenci je hodnota funkce přenosu napětí 3krát menší než maximální Hmax a hodnota útlumu je 3 dB.

Rýže. 2.14. ARC dolní propust 5. řádu.

Normalizace frekvenčních charakteristik se provádí relativně k f c . Pokud vyřešíme rovnice (2.16) a (2.23) s ohledem na mezní frekvenci, pak dostaneme výrazy

Pro LPF s Butterworthovou charakteristikou;

S charakteristikou Čebyševa.

V závislosti na typu filtrační charakteristiky - Butterworth nebo Chebyshev - je pořadí aproximační funkce určeno vzorci (2.19) nebo (2.26).

Kořeny Hurwitzova polynomu jsou určeny vzorci (2.20) nebo (2.26). Napěťovou přenosovou funkci pro kvadripól 2. řádu lze vytvořit pomocí dvojice komplexně sdružených kořenů a navíc ji vyjádřit parametry prvků obvodu (obr. 2.14). Rozbor obvodu a odvození výrazu (2.31) nejsou uvedeny. Podobným způsobem se zapisuje výraz (2.32) pro čtyřpól prvního řádu.

Protože hodnota zatěžovacího odporu neovlivňuje charakteristiky aktivního filtru, je denormalizace provedena na základě následujícího. Nejprve jsou vybrány přijatelné hodnoty odporových odporů (10 ... 30 kOhm). Poté se určí skutečné hodnoty parametrů kapacity; k tomu se ve výrazu (2.15) používá f c.

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace

Biysk technologický institut (pobočka)

státní vzdělávací instituce

vyšší odborné vzdělání

„Altajská státní technická univerzita

jim. I.I. Polzunov"
R.G. Gareeva
syntéza lineárních frekvenčních filtrů

Bijsk

Vydavatelství Altai State Technical

Univerzita. I.I. Polzunová

MDT 621 372,54 (076,5)

Recenzent: Alexandrovič V.M., Ph.D.,

Docent IUS BTI AltSTU

Gareeva, R.G.

S
G 20
syntéza lineárních frekvenčních filtrů: směrnice pro provádění laboratorních prací na disciplíně "Transformace měřicích signálů" / R.G. Gareeva; Alt. Stát tech. un-t, ZISZ. - Biysk: Alt. Stát tech. un-ta, 2011. - 21 s.

Metodická doporučení obsahují souhrn teoretických informací o elektrických filtrech, jejich typech a hlavních charakteristikách. Podrobně je zvažován problém syntézy kontinuálních dolnopropustných filtrů Butterworthova typu a na jejich základě - pásmové propusti a hornopropustné filtry.

MDT 621 372,54 (076,5)

Zkontrolováno a schváleno

Na poradě oddělení MCIA.

Zápis č. 10 ze dne 30.12.2010

© Gareeva R.G., 2011

BTI AltSTU, 2011

1 TEORETICKÁ ČÁST

1.1 Elektrické filtry

Filtrace neboli filtrace je rozšířený a používaný technologický proces.

Elektrické filtry nazývaná zařízení zahrnutá v elektrickém obvodu a navržená tak, aby propouštěla ​​proudy nebo napětí určitých frekvencí a zeslabovala proudy nebo napětí jiných frekvencí. Elektrické filtry jsou vyrobeny z induktorů, kondenzátorů a rezistorů.

Teorie filtrů se obvykle dělí do dvou širokých oblastí, které spolu úzce souvisejí – analýzy a syntézy. Úkolem rozboru je najít vnější a vnitřní charakteristiky elektrického systému, jehož struktura je předem určena např. formou schématu zapojení. Úloha syntézy je diametrálně odlišná - vnější charakteristika, jako je koeficient přenosu frekvenčního napětí, vstupní nebo výstupní odpor atd., se považuje za známou. Je nutné najít obvodovou strukturu, která tuto charakteristiku implementuje.

Na rozdíl od analýzy je řetězová syntéza obecně nejednoznačný postup. Proto je třeba mezi souborem struktur se stejnými vlastnostmi najít tu, která je v určitém smyslu optimální. Vždy je tedy žádoucí, aby syntetizovaný obvod obsahoval co nejmenší počet prvků. V mnoha případech je nutné, aby obvod nebyl citlivý na volbu hodnot prvků v něm obsažených.

Zvažte nejjednodušší problém syntézy frekvenčních filtrů, což jsou lineární kvadripóly tvořené prvky L, S A R. Výchozí data pro syntézu budou ve všech případech dána amplitudově-frekvenčními charakteristikami.

1.2 Typy elektrických filtrů

Existují následující typy filtrů:

1) Nízkopropustné filtry (LPF). Hlavním účelem takových zařízení je přenášet signály na výstup s minimálním útlumem, jehož frekvence nepřesahují danou mezní frekvenci, tzv. mezní frekvence filtru . Vysokofrekvenční signály by měly být výrazně utlumeny.

Pro dolnopropustný filtr s mezní frekvencí je ideální amplitudová frekvenční odezva (AFC) popsána vzorcem

A je to znázorněno na obrázku 1.

Obrázek 1 - Dolní propust

2) Vysokopropustné filtry (HPF). Hlavním účelem HPF je maximální útlum signálů, jejichž frekvence nepřesahují specifikovanou mezní frekvenci, a minimální útlum signálů s vyššími frekvencemi (obrázek 2).

Obrázek 2 - Horní propust

3) Pásmové filtry (PF). Pásmové filtry musí propouštět signály s frekvencemi, které jsou v určitém pásmu poblíž frekvence volal střední frekvence propustného pásma nebo několik frekvencí
... (v tomto případě se filtr nazývá vícepásmový ) (obrázek 3).

Obrázek 3 - Pásmový filtr

4)Zářezové (lapací) filtry (RF). Hlavním účelem takových filtrů je potlačit signály, jejichž frekvence jsou důležité nebo se nachází v úzkém pásmu vzhledem k frekvenci (obrázek 4).

Obrázek 4 - Notch filtr

1.3 Vlastnosti fyzikálně implementovaných filtrů

Uvažujme obecnější než frekvenční charakteristiku systému - přenosovou funkci
. Ve většině praktických případů se získá nahrazením proměnné
ve frekvenční odezvě
do proměnné
, kde  je úsečka konvergence.

Přenosová funkce je zavedena analogicky s frekvenční charakteristikou
podle poměru:

,

Kde
– Laplaceovy obrázky funkcí
:

,
.

Pro lineární systémy s konstantními parametry má přenosová funkce tvar:

, (1)

Kde
je konstantní hodnota;

jsou kořeny polynomu čitatele (nuly přenosové funkce);

jsou kořeny jmenovatele polynomu (póly přenosové funkce).

Pro stabilitu elektrického filtru je nutné, aby póly jeho přenosové funkce měly zápornou reálnou část, tedy aby byly umístěny v levé polorovině komplexní roviny a tvořily komplexní konjugované páry (obrázek 5).

Obrázek 5 - Umístění pólů stabilního systému

Obvykle se zavádí další podmínka - počet nul přenosové funkce G(p) nesmí překročit počet pólů (stupeň polynomu čitatele funkce musí být menší než stupeň polynomu jmenovatele m n).

Na rozdíl od pólů nuly funkce G(p) stabilního lineárního systému může být umístěn jak v levé, tak v pravé polorovině proměnné p. Volají se systémy, které nemají nuly přenosové funkce v pravé polorovině minimální fáze .

Umístění funkčních nul G(p) souvisí s topologickou strukturou řetězce. V teorii obvodů je dokázáno, že každá čtyřterminová síť, u které lze zcela zastavit přenos signálu ze vstupu na výstup přerušením jediné větve, bude minimální fází. U elektrických filtrů je nutné, aby byl systém minimálně fázový.

Pro fyzickou proveditelnost elektrického filtru musí být splněno Paley-Wienerovo kritérium: frekvenční odezva musí být taková, aby existoval integrál.

(2)

Dříve uvažované frekvenční charakteristiky ideálních filtrů (obrázky 1–4) jsou zjevně nerealizovatelné, protože funkce zmizí H() znemožňuje existenci integrálu (2).

Ideální charakteristiky musí být aproximovány takovými analytickými závislostmi H(), který by měl tendenci k nule, ale nedosáhl jí.

1.4 Výkonové charakteristiky filtrů

Při výpočtu stupně propustnosti či nepropustnosti filtrem signálu o určité frekvenci je vhodné použít výkonové nebo energetické charakteristiky.

Poměr přenosu výkonu Je obvyklé nazývat druhou mocninou modulu frekvenční odezvy:

Na rozdíl od komplexní frekvenční charakteristiky je funkce
je reálné, což je mnohem pohodlnější pro nastavení počátečních dat při syntéze filtru. Podle vzorce (3) je koeficient přenosu výkonu sudou funkcí frekvence.

Pokud ve funkci místo proměnné  dosadíme proměnnou p, pak získat funkce přenosu energie :

. (4)

Vzorec (4) stanoví následující skutečnost: pokud bod
je singulární bod (nula nebo pól) funkce G(p), pak funkci K p (p) bude mít stejný singulární bod jako pro
tak s

Jinými slovy, singulární body funkce přenosu výkonu mají kvadrantová symetrie , to znamená, že jsou umístěny v komplexní rovině se středem symetrie v počátku (obrázek 6). Tato vlastnost umožňuje obnovit přenosovou funkci G(p) známou funkcí K p (p).

Obrázek 6 - Póly v kvadrantové symetrii

1.5 Etapy syntézy elektrických filtrů

Syntéza frekvenčních filtrů obvykle začíná volbou nějaké idealizované funkce, která popisuje frekvenční závislost koeficientu přenosu výkonu K p ().

Protože idealizovaná frekvenční charakteristika zpravidla není fyzikálně realizovatelná, spočívá druhý stupeň syntézy v její aproximaci takovou funkcí, která může patřit k fyzikálně realizovatelnému systému.

Podle typu přenosové funkce implementace obvody, to znamená, že obdrží schéma zapojení filtru, včetně jmenovitých hodnot vstupních prvků.

1.6 Návrh spojitých dolních propustí

Historicky zavádění filtrů začalo průběžnými filtry, pro které již byla vytvořena standardní zařízení, byly sestaveny referenční knihy atd. Spojité filtry slouží jako prototypy pro diskrétní filtry.

Začněme úvahou o fyzikálně realizovatelných charakteristikách dolnopropustných filtrů, protože použitím dolnopropustných filtrů můžete získat filtry jiných typů.

Pro dolní propust s mezní frekvencí je ideální frekvenční závislost koeficientu přenosu výkonu popsána vzorcem

(to znamená fyzické frekvence >0) a je znázorněn na obrázku 7.

Obrázek 7 - Koeficient přenosu výkonu pro LPF

Taková charakteristika je pro fyzikální systémy nerealizovatelná, protože je v rozporu s Paley-Wienerovým kritériem (2).

Problém výběru přípustné aproximační funkce je nejednoznačný. Strmé omezení lze aproximovat mnoha funkcemi, ale pokaždé budete muset čelit rozporům: buď zeslabte signál v propustném pásmu
, nebo jej slabě potlačit mimo propustné pásmo
, nebo obojí dohromady.

1.6.1 Butterworthovy filtry

Jedním ze způsobů, jak aproximovat ideální odezvu dolní propusti, je použít koeficient přenosu výkonu v následujícím tvaru:

, (5)

Kde
– bezrozměrný normalizovaná frekvence ;

n je nazýváno celé číslo pořadí filtrů .

V obecném případě může koeficient přenosu výkonu (5) obsahovat libovolný škálovací faktor.

Dolní propust s takovými frekvenčními vlastnostmi se nazývá filtr s maximální plochou odezvou nebo Butterworthův filtr (pojmenovaný po vědci, který navrhl aproximační funkci (5)). Pro jakékoli n tento typ filtru je implementován.

V propustném pásmu Butterworthova filtru, tedy při , koeficient přenosu výkonu plynule klesá s rostoucí frekvencí. Za zmínku stojí zejména hladkost (absence pulsací) uvažované funkce.

Na mezní frekvenci, bez ohledu na pořadí systému,
. Čím vyšší pořadí n, tím přesněji je popsána ideální nízkofrekvenční odezva (obrázek 8).

Pořadí filtru se obvykle volí na základě požadavků na útlum signálů s frekvencemi
. Pro posouzení stupně útlumu signálu se používá hodnota

Vyjádřeno v decibelech.

Obrázek 8 - Koeficient přenosu výkonu Butterworthových filtrů při n= 1 a n= 5

Na
, tj. při frekvenci vstupního signálu je útlum zavedený filtrem
.

Pokud je frekvence signálu mnohem vyšší než mezní frekvence filtru (
), pak ze vzorce (5) vyplývá, že
, a útlum je

1.6.2 Funkce přenosu Butterworthova filtru

Aby bylo možné dále syntetizovat obvodovou strukturu, je nutné přejít od koeficientu přenosu výkonu zvoleného ve tvaru (5) k přenosové funkci G(p). K tomu zavedeme normalizovanou komplexní frekvenci
a zapište funkci přenosu energie jako:

, (7)

Jak je jasné, že v letadle funkce
nemá nuly a má 2 n póly, které jsou kořeny rovnice

, (8)

Pomocí polárního zápisu zapíšeme kořen ve tvaru:

Všechny kořeny rovnice (8) leží na kružnici o jednotkovém poloměru se středem v počátku, tzn
. Proto,

Konečně se dostáváme

Zvažte odděleně sudé a liché pořadí filtrů.

1) n - sudé číslo.

V tomto případě

Kde
.

Například pro
dostaneme čtyři kořeny odpovídající úhlům:

.

Pro
dostaneme osm kořenů odpovídajících úhlům:

Umístění kořenů na komplexní rovině pro uvedené příklady je znázorněno na obrázku 9.

Obrázek 9 - Póly převodového poměru výkonu

Butterworthův filtr na n= 2 a n= 4

2) n - liché číslo.

V tomto případě

Kde
.

Například pro
dostaneme dva kořeny odpovídající úhlům:

Pro
dostaneme šest kořenů odpovídajících úhlům:

Umístění kořenů pro uvedené příklady je znázorněno na obrázku 10.

Obrázek 10 - Póly převodového poměru výkonu

Butterworthův filtr na n= 1 a n= 3

Obecné pravidlo pro všechny n je následující: všechny póly jsou umístěny ve stejné vzdálenosti od sebe, rovny . U filtrů s lichým číslem jsou dva kořeny umístěné na reálné ose; neexistují žádné skutečné kořeny pro filtry se sudými čísly.

Abychom přešli na přenosovou funkci Butterworthova filtru, rozšíříme jmenovatele funkce
pro faktory:

Nyní využijeme toho, že póly funkce přenosu výkonu mají kvadrantovou symetrii, to znamená, že jejich počet a konfigurace umístění v obou polorovinách jsou stejné. To nám umožňuje uvažovat, že pouze póly umístěné v levé polorovině odpovídají syntetizovanému filtru. Jejich "zrcadlové kopie" v pravé polorovině odkazují na funkci
a neberou se v úvahu Přenosová funkce Butterworthova filtru tedy bude mít tvar (číslování kořenů v levé polorovině je od 1 do n):

Butterworthův filtr 1. řádu.

My máme:
;

Vyberte stabilní kořen: .

Přenosová funkce bude zapsána takto:

.

Vzhledem k tomu
, konečně dostáváme:

. (11)

V procesu aproximace ideální charakteristiky dolní propusti s danou mezní frekvencí pomocí Butterworthovy aproximace 1. řádu se tedy pól
.

Butterworthův filtr 2. řádu.

My máme:
.

Podle (9)

Vybereme stabilní kořeny a očíslujeme je:

Pro vazby 2. řádu budou kořeny vždy komplexně konjugované.

Přenosová funkce odkazu bude mít podobu:

.

Udělejme přechod

(12)

Obecný výraz pro přenosovou funkci spojů 2. řádu je:

, (13)

Kde je vlastní frekvence kmitání systému;

z je koeficient útlumu systému (at
se nazývá odkaz oscilační , na
– aperiodický ).

Z porovnání funkcí (12) a (13) vyplývá, že Butterworthův filtr 2. řádu je oscilační článek s koeficientem tlumení
a vlastní kmitočet kmitů rovný meznímu kmitočtu filtru
.

Butterworthův filtr 3. řádu.

My máme:
A

Vybereme stabilní kořeny a očíslujeme je.

První kořen odpovídá vazbě 1. řádu s přenosovou funkcí
.

.

Butterworthovy filtry lichého řádu jsou tedy sériovým zapojením spojky 1. řádu a několika spojek 2. řádu s různými koeficienty útlumu. Filtry sudého řádu jsou sestaveny zapojením spojů 2. řádu do série s různými koeficienty útlumu.

1.7 Syntéza horní propusti

Horní propust je navržena tak, aby propouštěla ​​s nízkým útlumem oscilace, jejichž frekvence přesahuje mezní frekvenci. . Pokud je známa implementace dolní propusti, lze poměrně jednoduše získat obvod horní propusti se stejnou mezní frekvencí. To se provádí pomocí techniky známé v teorii obvodů jako frekvenční převod .

Pojďme dále od proměnné R, používaný k popisu LPF, na novou frekvenční proměnnou , takže Hz, při frekvenci rovné Hz, by zajistil útlum signálu ne horší než db.

2. Na základě kroku 1 syntetizujte Butterworthův pásmový filtr, jehož střední frekvence propustného pásma je 2krát vyšší než mezní frekvence dolní propusti.

Možnost 2.

1. Provést syntézu dolnopropustného Butterworthova filtru, který by byl na mezní frekvenci rovné Hz při frekvenci rovné Hz by zajistilo útlum signálu ne horší než dB.

2. Na základě kroku 1 syntetizujte horní propust Butterworthův filtr, jehož mezní frekvence je rovna mezní frekvenci dolní propusti.

2.2 Účel a cíle laboratorní práce

cíl laboratorní prací je syntéza Butterworthových filtrů různých typů (LPF, HPF, PF), zajišťujících daný útlum signálu.

K dosažení tohoto cíle je nutné vyřešit následující úkoly :

1. 
   výpočet pomocí vztahů (5), (6) nejmenšího řádu dolní propusti Butterworthova filtru, poskytujícího daný útlum signálu;
2. 
   určení pomocí výrazů (9) nebo (10) úhlů odpovídajících pólům funkce přenosu výkonu;
3. 
   tvorba ze stabilních pólů článků tvořících filtr (určení jejich počtu a pořadí);
4. 
   odvození výrazů pro přenosové funkce jednotlivých vazeb 1. nebo 2. řádu analogií s výrazy (11), (12); pro spoje 2. řádu výpočet koeficientů útlumu podle výrazu (15);
5. 
   výpočet frekvenční charakteristiky jednotlivých spojů a filtru jako celku, konstrukce jejich grafů;
6. 
   výpočet přenosové funkce HPF nebo PF pomocí substituce (16) nebo (17) v přenosové funkci každého ze spojení, které tvoří LPF;
7. 
   výpočet a vykreslení frekvenční charakteristiky horní propusti nebo PF, srovnání s podobnou charakteristikou dolní propusti.

2.3 Ochrana laboratorní práce

Obhajoba laboratorních prací probíhá v průběhu semestru podle rozvrhu výuky. Provádí se formou individuálního rozhovoru, pokud má student programovou část obsahující řešení úkolu a zprávu, která by měla obsahovat téma a účel laboratorní práce, teoretickou a praktickou část a také závěr či závěry.
LITERATURA

1. 
   Sadovský, G.A. Teoretické základy zařízení pro měření informací / G.A. Sadovský. - M.: Vyšší škola, 2008. - 480 s.
2. 
   Baskakov, S.I. Radiotechnické obvody a signály / S.I. Baskakov. - M.: Vyšší škola, 2005. - 462 s.
3. 
   Sergienko, A.B. Digitální zpracování signálu / A.B. Sergienko. - M: Peter, 2002. - 604 s.

Gareeva Renata Gegelevna

syntéza lineárních frekvenčních filtrů

disciplína "Převod měřicích signálů"

Editor Solovieva S.V.

Podepsáno k publikaci 15. února 2011. Formát 6084 1/16

Konv. p. l. - 1.2. Uch.-ed. l. - 1.3

Tisk - risografie, kopírování
přístroj "RISO EZ300"

Náklad 65 výtisků. Objednávka 2011-43

Vydavatelství státu Altaj

Technická univerzita

656038, Barnaul, Lenin Ave., 46

Původní rozložení připravilo IIO BTI AltSTU

Vytištěno v IIO BTI AltSTU

59305, Biysk, ul. Trofimová, 27

Cílová: Zvládnutí techniky syntézy lineárních filtrů (dolní propust, horní propust a pásmová propust) na základě maximálně ploché a Čebyševovy aproximace.

Stručné teoretické informace: K provedení této práce potřebujete schopnost analyzovat různé typy lineárních obvodů a najít jejich hlavní charakteristiky. (součinitel přenosu frekvence, přenosová funkce a její póly); znalost principů syntézy lineárních dolnopropustných filtrů na základě maximálně ploché a Čebyševovy aproximace a principů přechodu ze známých obvodů dolnopropustných filtrů na obvody horních propustí a pásmové filtry.

Dolní propusti jsou určeny k přenosu s minimálním útlumem kmitů, jejichž frekvence nepřesahují určitou mezní frekvenci, která je tzv. mezní frekvence, zatímco oscilace s frekvencemi většími než mezní frekvence by měly být výrazně utlumeny.

Vlastnosti přenosové funkce čtyřpólu :

Póly přenosové funkce kvadripólu musí být umístěny v levé polorovině komplexní frekvence p. Mohou být skutečné nebo tvořit složité konjugované páry.

Počet pólů přenosové funkce musí vždy přesáhnout počet nul.

Na rozdíl od pólů mohou být nuly přenosové funkce umístěny v libovolné polorovině, tj. po celé rovině komplexní frekvence p.

Etapy syntézy filtrů :

Formulace technických požadavků na vlastnosti filtrů v závislosti na dané šířce pásma. V tomto případě nejsou kladena žádná omezení na strukturu filtru. Tento přístup se nazývá syntéza podle dané frekvenční charakteristiky. Ideální charakteristika zpravidla není v praxi realizovatelná.

Aproximace ideální charakteristiky pomocí takové funkce, která může patřit do fyzikálně realizovatelného obvodu.

Implementace vybrané přibližné funkce a získání schématu zapojení filtru s hodnotami jejích prvků.

Nejrozšířenější jsou dva typy aproximace: maximum-flat a Chebyshev.

Maximální-plochá aproximace je založen na použití funkce koeficientu přenosu frekvenčního výkonu zadané jako:

Kde
je bezrozměrná normalizovaná frekvence.

Zavolá se filtr, jehož frekvenční charakteristika takové funkci vyhovuje filtr s maximální plochou odezvou nebo Butterworthův filtr.

Postup syntézy začíná určením pólů přenosové funkce filtru, pro které je nutné přejít na normalizovanou komplexní frekvenci R n a určete póly funkce zesílení výkonu frekvenčního filtru:

;

V obecném případě lze kořeny této rovnice určit pomocí Moivreho vzorce (výpočet kořenů n mocnina z komplexního čísla). V tomto případě je nutné vzít v úvahu hodnotu fáze komplexního čísla z= - 1 (=).

Při hledání kořenů této rovnice pro libovolný řád filtru n musí být provedeno následující Všeobecné pravidelnost: všechny póly jsou umístěny ve stejné úhlové vzdálenosti od sebe a tato vzdálenost je vždy rovna ; Li n je lichý, pak je první pól vždy 1, jestliže n je sudý, pak první pól
.

S využitím vlastnosti kvadrantové symetrie umístění pólů funkce frekvenčního koeficientu přenosu výkonu a podmínek stability a fyzikální proveditelnosti kvadripólů je pro přenosovou funkci filtru nutné vybrat pouze ty póly, které se nacházejí v levé polorovině komplexní frekvence a za ně zapsat reprezentace nulového pólu přenosová funkce.

Věda zušlechťuje mysl;

Učením se zbystří paměť.

Kozma Prutkov

kapitola 15

PRVKY SYNTÉZY LINEÁRNÍCH STACIONÁRNÍCH OBVODŮ

15.1. Studované problémy

S syntéza analogových bipolárních sítí. Syntéza stacionárních čtyřpólů podle dané frekvenční charakteristiky. Butterworth a Chebyshev filtry.

Pokyny. Při studiu problematiky je nutné jasně pochopit nejednoznačnost řešení problému syntézy dvoukoncových sítí a konkrétních způsobů řešení problému podle Fostera a Cauera, jakož i získat schopnost určit možnost implementace té či oné funkce vstupní impedance dvoukoncové sítě. Při syntéze elektrických filtrů na základě prototypových filtrů je důležité porozumět výhodám a nevýhodám Chebyshevova a Butterworthova aproximace charakteristik útlumu. Je nutné umět rychle vypočítat parametry prvků libovolného typu filtrů (LPF, HPF, BPF) pomocí vzorců pro převod frekvence.

15.2. Stručné teoretické informace

V teorii obvodů je zvykem mluvit o strukturální a parametrické syntéze. Hlavním úkolem strukturní syntézy je volba struktury (topologie) obvodu, která splňuje předem stanovené vlastnosti. Při parametrické syntéze se určují pouze parametry a typ prvků obvodu, jehož struktura je známa. V následujícím textu se budeme zabývat pouze parametrickou syntézou.

Jako výchozí bod při syntéze dvousvorkových sítí se obvykle používá vstupní odpor

Je-li funkce dána, pak ji lze realizovat pasivním obvodem za následujících podmínek: 1) všechny koeficienty polynomů čitatele a jmenovatele jsou reálné a kladné; 2) všechny nuly a póly jsou buď v levé polorovině nebo na pomyslné ose a póly a nuly na pomyslné ose jsou jednoduché; tyto body jsou vždy buď skutečné, nebo tvoří složité konjugované páry; 3) vyšší a nižší stupeň polynomů v čitateli a jmenovateli se neliší o více než jednu. Je třeba také poznamenat, že postup syntézy není jedinečný, tj. stejnou vstupní funkci lze implementovat několika způsoby.

Jako počáteční struktury syntetizovaných dvousvorkových sítí se obvykle používají Fosterovy obvody, které jsou sériovým nebo paralelním zapojením několika komplexních odporů a vodivostí vůči vstupním svorkám, stejně jako Cauerovy žebříkové obvody.

Metoda syntézy dvoukoncových sítí je založena na skutečnosti, že daný vstup funguje nebo je podroben řadě postupných zjednodušení. Současně je v každé fázi přidělen výraz, který je spojen s fyzickým prvkem syntetizovaného obvodu. Pokud jsou všechny komponenty vybrané struktury identifikovány s fyzikálními prvky, je problém syntézy vyřešen.

Syntéza kvadripólů je založena na teorii prototypových filtrů dolní propusti. Možné varianty prototypu LPF jsou znázorněny na Obr. 15.1.

Při výpočtu lze použít kterékoli ze schémat, protože jejich charakteristiky jsou identické. Označení na Obr. 15.1 mají následující význam: - indukčnost sériové cívky nebo kapacita paralelního kondenzátoru; – odpor generátoru if , nebo vodivost generátoru if ; – zátěžový odpor , jestliže nebo vodivost zátěže, jestliže .

Hodnoty prvků prototypů jsou normalizovány tak, aby mezní frekvence . Přechod z normalizovaných prototypových filtrů na jinou úroveň odporů a frekvencí se provádí pomocí následujících transformací prvků obvodu:

;

.

Hodnoty s tahy se vztahují k normalizovanému prototypu a bez tahů k transformovanému řetězci. Výchozí hodnotou pro syntézu je útlum pracovního výkonu, vyjádřený v decibelech:

, dB,

je maximální výkon generátoru s vnitřním odporem a emf , je výstupní výkon v zátěži.

Obvykle se frekvenční závislost aproximuje nejplošší (Butterworthovou) charakteristikou (obr. 15.2, Obr. A)

Kde .

Hodnota provozního útlumu odpovídající meznímu kmitočtu se obvykle volí rovna 3 dB. V čem . Parametr n se rovná počtu aktivních prvků obvodu a určuje pořadí filtru.

Teorie obvodů je obvykle rozdělena do dvou širokých oblastí, které spolu úzce souvisejí - analýza a syntéza. Úkolem rozboru je najít vnější a vnitřní charakteristiky elektrického obvodu, jehož struktura je předem dána např. formou schématu zapojení. Úloha obvodové syntézy je diametrálně odlišná - vnější charakteristika, jako je koeficient přenosu frekvenčního napětí, vstupní nebo výstupní odpor atd., se považuje za známou. Je nutné najít obvodovou strukturu, která tuto charakteristiku implementuje.

Na rozdíl od analýzy je řetězová syntéza obecně nejednoznačný postup. Proto je třeba mezi souborem struktur se stejnými vlastnostmi najít tu, která je v určitém smyslu optimální. Vždy je tedy žádoucí, aby syntetizovaný obvod obsahoval co nejmenší počet prvků. V mnoha případech je nutné, aby obvod nebyl citlivý na volbu hodnot prvků v něm obsažených.

Syntéza obvodů je rozvinutou oblastí moderního teoretického radiotechniky. Byla vyvinuta řada syntetických metod, někdy velmi složitých, se kterými se může čtenář seznámit sám. Metody obvodové syntézy nabyly mimořádně velkého významu v souvislosti se zaváděním počítačově podporovaných konstrukčních systémů pro radiotechnická zařízení.

V této kapitole budeme studovat nejjednodušší problém syntézy frekvenčních filtrů, což jsou lineární stacionární kvadripóly tvořené prvky L, C a R. Výchozí data pro syntézu budou ve všech případech dána amplitudově-frekvenčními charakteristikami.

13.1. Kmitočtové charakteristiky čtyřpólů

Čtyřpóly se nazývají elektrické obvody, které vypadají jako "černá skříňka" se dvěma páry dostupných svorek. Jeden pár je vstup, druhý je výstup signálu. V provozním režimu je na vstup připojen zdroj signálu a výstupní svorky jsou zatíženy zatěžovacími odpory

Předpokládá se, že čtenář zná metody analýzy čtyřpólů, které jsou uvedeny v kurzu teorie obvodů. Materiál této části osvětluje určité aspekty podstatné pro syntézu čtyřpólů.

Popis matice.

Nejdůležitější vlastností lineárního stacionárního kvadripólu je to, že čtyři komplexní amplitudy při libovolné frekvenci vnějšího působení jsou spojeny dvěma lineárními algebraickými rovnicemi. Dvě libovolně zvolené komplexní amplitudy lze brát jako nezávislé veličiny, zatímco zbylé dvě je třeba určit v jejich pojmech. To slouží jako základ pro maticový popis lineárních čtyřpólů. Často se tedy používá přenosová matice (-matice), za předpokladu, že napětí a proud na výstupu jsou nezávislé proměnné. V čem

Koeficienty A, B, C a D mají různé fyzické rozměry a lze je určit ze zkoušek naprázdno a nakrátko. Přenosové matice jsou vhodné zejména pro popis kaskádového zapojení čtyřpólů, protože výsledná matice je součinem matic jednotlivých vazeb.

Pokud je dána matice čtyřsvorkové sítě a zatěžovací odpor, pak lze vypočítat tzv. obvodové funkce, mezi které patří např.:

a) vstupní impedance

b) přenosový odpor

c) koeficient přenosu frekvenčního napětí

Funkce obvodu závisí v obecném případě na frekvenci. Libovolná funkce obvodu je vyjádřena prvky kvadripólové matice a zatěžovacím odporem. Takže když rozdělíme levou a pravou stranu rovnice (13.1) na sebe, zjistíme, že vstupní impedance

Podobně koeficient přenosu frekvenčního napětí

Věnujme pozornost tomu, že funkce závisí na směru přenosu energie v systému. Pokud jsou zdroj a zátěž obráceny, pak se frekvenční zesílení zavede v opačném směru (zátěž vlevo):

Přenosová funkce čtyřpólu.

V budoucnu se bude jako argument koeficientu přenosu frekvence používat nejen proměnná, ale i komplexní frekvence, tedy spolu s funkcí bude uvažována obecnější charakteristika - přenosová funkce. Přenosová funkce kvadripólu má všechny vlastnosti přenosových funkcí lineárních stacionárních systémů uvažovaných v kap. 8.

Funkce tedy odpovídá lineární kvadripól s konstantními parametry

kde je konstantní hodnota. Pokud je obvod stabilní, pak by póly měly být umístěny v levé polorovině a tvořit složité konjugované páry.

Obvykle se zavádí dodatečná podmínka - počet pólů funkce musí přesáhnout počet nul, tedy v nekonečně vzdáleném bodě nesmí být pól, ale nula přenosové funkce. Pak impulsní odezva obvodu

se ukazuje jako omezená, protože při nekonečně velkém poloměru integrační kontury C může exponenciální faktor integrandu "zhasnout" integrál podél oblouku.

Umístění nul přenosové funkce.

Na rozdíl od pólů mohou být nuly funkce stabilního lineárního kvadripólu umístěny jak v levé, tak v pravé polorovině proměnné . Pokud to skutečně znamená, že u některých obraz výstupního napětí zmizí. To není v rozporu s vlastnostmi stabilních systémů.

Čtyřpóly, které nemají nuly přenosové funkce v pravé polorovině, se nazývají obvody s minimální fází. Pokud jsou v pravé polorovině nuly, pak se takové kvadripóly nazývají neminimální fázové obvody.

Tato terminologie je spojena s následujícími okolnostmi. Uvažujme rovinu komplexní frekvence, na které jsou naznačeny některé body v levé a pravé polorovině. Nechť jsou tyto body nulami přenosové funkce čtyřsvorkové sítě. Pokud je obvod pod harmonickým externím působením, tak tyto body odpovídají dvěma vektorům v komplexní rovině: které odpovídají odpovídajícím faktorům v čitateli vzorce (13.5). Oba vektory rotují a mění svou délku se změnou frekvence, rozdíl mezi nimi je v tom, že vektor se změnou frekvence z na zvětšuje fázový úhel zesílení frekvence o radiány, zatímco vektor za stejných podmínek fázi o stejnou hodnotu snižuje. Přenosový koeficient kvadripólu je zlomková racionální funkce, jejíž argument se mění

Proto při stejném počtu nul a pólů obvod s neminimální fází poskytuje větší absolutní hodnotu změny fáze přenosového koeficientu ve srovnání s obvodem s minimální fází.

Umístění nul funkce souvisí s topologickou strukturou obvodu. V teorii obvodů je ukázáno, že jakákoliv síť se čtyřmi terminály s následující vlastností bude mít minimální fázi: přenos signálu ze vstupu na výstup lze zcela zastavit přerušením jediné větve. Zejména obvody s minimální fází budou libovolné čtyřpóly žebříkové struktury.

Neminimální fázové čtyřpóly mají zpravidla strukturu můstkových (křížených) obvodů, ve kterých výstupní signál prochází dvěma nebo více kanály. Nejjednodušším neminimálně fázovým obvodem je symetrický můstkový čtyřpól tvořený prvky. Zde, jak je snadné vidět, je funkce přenosu napětí

Tato funkce má jedinou nulu, která je v pravé polorovině.

Mostní konstrukce však automaticky nezaručuje, že obvod patří do třídy neminimální fáze. V každém jednotlivém případě by měla být zkontrolována přítomnost nebo nepřítomnost nul přenosové funkce v pravé polorovině.

Vztah mezi frekvenční odezvou a fázovou odezvou minimálněfázové čtyřsvorkové sítě.

Přenosová funkce libovolného stabilního kvadrupólu v pravé polorovině proměnné je analytickou funkcí. Pokud navíc tato čtyřsvorková síť patří do počtu obvodů typu minimální fáze, pak její přenosová funkce v pravé polorovině také nemá nuly. To znamená, že funkce je analytická

V souladu s materiálem Ch. 5 jsou hraniční hodnoty reálné a imaginární části funkce na imaginární ose, tedy at, propojeny dvojicí Hilbertových transformací:

Při realizaci daného AFC čtyřsvorkové sítě typu s minimální fází je tedy v tomto případě nemožné získat žádné PFC.

Na základě vlastností Hilbertových transformací lze například tvrdit, že pokud frekvenční charakteristika minimálněfázové dvoukoncové sítě dosáhne na nějaké frekvenci maxima, pak PFC v okolí této frekvence prochází nulou.

Pokud kvadripól patří do třídy neminimálních fázových obvodů, pak frekvenční odezva a fázová odezva jsou na sobě nezávislé. Mezi neminimálními fázovými obvody hrají zvláště důležitou roli tzv. všepropustné kvadripóly, u kterých je modul koeficientu přenosu konstantní a nezávisí na frekvenci. Příkladem je symetrická čtyřsvorková síť, pro kterou je v souladu s rovností (13.6)

Podobné kvadripóly se používají pro fázovou korekci signálů. Umožňují částečně kompenzovat zkreslení tvaru signálů, které prošly radiotechnickými zařízeními.