Notový zápis. Nepoziční číselné soustavy Které číselné soustavy jsou nepoziční

test

Poziční a nepoziční číselné soustavy

Různé číselné soustavy, které existovaly v minulosti a které se používají dnes, lze rozdělit na nepoziční a poziční. Znaky používané k zápisu čísel se nazývají číslice.

V nepozičních číselných soustavách poloha číslice v číselném zápisu nezávisí na hodnotě, kterou představuje. Příkladem nepoziční číselné soustavy je římská soustava, která jako čísla používá latinská písmena.

V pozičních číselných soustavách závisí hodnota označovaná číslicí v čísle na jeho pozici. Počet použitých číslic se nazývá základ číselné soustavy. Místo každé číslice v čísle se nazývá pozice. Prvním nám známým systémem založeným na pozičním principu je babylonský sexagezimál. Čísla v něm byla dvou typů, z nichž jeden označoval jednotky, druhý - desítky.

V současnosti jsou poziční číselné soustavy rozšířenější než nepoziční číselné soustavy. Umožňují totiž psát velká čísla pomocí relativně malého počtu znaků. Ještě důležitější výhodou pozičních systémů je jednoduchost a snadnost provádění aritmetických operací s čísly zapsanými v těchto systémech.

Nejčastěji se používá indoarabská desítková soustava. Indové byli první, kdo použil nulu k označení polohového významu veličiny v řetězci čísel. Tato soustava se nazývá desítková, protože má deset číslic.

Rozdíl mezi pozičními a nepozičními číselnými soustavami nejsnáze pochopíme porovnáním dvou čísel. V pozičním číselném systému dochází ke srovnání dvou čísel následovně: v uvažovaných číslech se zleva doprava porovnávají číslice na stejných pozicích. Větší číslo odpovídá hodnotě většího čísla. Například pro čísla 123 a 234 je 1 menší než 2, takže 234 je větší než 123. V nepoziční číselné soustavě toto pravidlo neplatí. Příkladem toho může být srovnání dvou čísel IX a VI. I když je I menší než V, IX je větší než VI.

Základ číselné soustavy, ve kterém je číslo zapsáno, je obvykle označen dolním indexem. Například 555 7 je číslo zapsané v desítkové číselné soustavě. Pokud je číslo zapsáno v desítkové soustavě, pak se základ obvykle neuvádí. Základem systému je také číslo a uvádí se v obvyklé desítkové soustavě. Jakékoli celé číslo v pozičním systému lze zapsat v polynomickém tvaru:

Х s =(A n A n-1 A n-2 ...A 2 A 1 ) s =A n ·S n-1 +A n-1 ·S n-2 +A n-2 ·S n- 3 +...+A 2 · S 1 +A 1 · S 0

kde S je základ číselné soustavy a n jsou číslice čísla zapsaného v této číselné soustavě, n je počet číslic čísla.

Takže například číslo 6293 10 bude zapsáno v polynomickém tvaru takto:

6293 10 = 6 10 3 + 2 10 2 + 9 10 1 + 3 10 0

Příklady pozičních číselných soustav:

· Binární (neboli základ 2) je kladný celočíselný poziční (místní) číselný systém, který umožňuje reprezentovat různé číselné hodnoty pomocí dvou symbolů. Nejčastěji jsou to 0 a 1.

· Osmičková je poziční celočíselný číselný systém založený na základu 8. K reprezentaci čísel používá číslice 0 až 7. Osmičková se často používá v oblastech zahrnujících digitální zařízení. Dříve byl široce používán v programování a počítačové dokumentaci, ale nyní byl téměř zcela nahrazen hexadecimálním.

· Desetinná číselná soustava je poziční číselná soustava založená na celočíselném základu 10. Nejběžnější číselná soustava na světě. Nejčastěji používané symboly pro psaní čísel jsou 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nazývané arabské číslice.

· Duodecimální (ve starověku široce používané, v některých konkrétních oblastech se používá dodnes) - poziční číselný systém s celočíselným základem 12. Používaná čísla jsou 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Některé národy Nigérie a Tibetu stále používají duodecimální číselný systém, ale jeho ozvěny lze nalézt téměř v každé kultuře. V ruštině je slovo „tucet“, v angličtině „tucet“, někde je místo „deset“ použito slovo dvanáct, jako kulaté číslo například počkejte 12 minut.

· Hexadecimální (nejběžnější v programování, stejně jako ve fontech) je poziční číselný systém založený na celočíselném základu 16. Obvykle se jako hexadecimální číslice používají desetinné číslice od 0 do 9 a latinská písmena od A do F se používají k reprezentaci čísla od 10 do 15. Široce se používá v nízkoúrovňovém programování a v počítačové dokumentaci obecně, protože v moderních počítačích je minimální jednotkou paměti 8bitový bajt, jehož hodnoty jsou pohodlně zapsány ve dvou hexadecimálních číslicích.

· Hexadecimální (měření úhlů a zejména zeměpisné délky a šířky) je poziční číselný systém založený na celočíselném základu 60. Používaný ve starověku na Blízkém východě. Důsledkem této číselné soustavy je rozdělení úhlových a obloukových stupňů (a také hodin) na 60 minut a minut na 60 sekund.

Největší zájem při práci na počítači jsou číselné soustavy se základy 2, 8 a 16. Tyto číselné soustavy většinou stačí k plnému chodu člověka i počítače, ale občas se kvůli různým okolnostem stejně musíte obrátit na jiné číselné systémy, například na ternární, septální nebo základní 32 číselné systémy.

Chcete-li pracovat s čísly zapsanými v takových netradičních systémech, musíte mít na paměti, že se v zásadě neliší od obvyklé desítkové soustavy. Sčítání, odčítání a násobení v nich se provádějí podle stejného schématu.

Jiné číselné soustavy se nepoužívají hlavně proto, že v běžném životě jsou lidé zvyklí používat desítkovou číselnou soustavu a žádná jiná není potřeba. V počítačích se používá binární číselný systém, protože je docela jednoduché pracovat s čísly zapsanými v binárním tvaru.

Hexadecimální systém se často používá v informatice, protože zápis čísel v něm je mnohem kratší než zápis čísel ve dvojkové soustavě. Může vyvstat otázka: proč nepoužít číselnou soustavu, například základ 50, k zápisu velmi velkých čísel? Taková číselná soustava vyžaduje 10 běžných číslic plus 40 znaků, které by odpovídaly číslům od 10 do 49, a je nepravděpodobné, že by s těmito čtyřiceti znaky chtěl někdo pracovat. Proto se v reálném životě číselné soustavy založené na základech větších než 16 prakticky nepoužívají.

Úvod do fraktálů

Logaritmická funkce v problémech

Příklad43. Řešení soustavy rovnic Řešení Převeďme druhou rovnici na soustavu s použitím definice logaritmu as ohledem na to, že výraz pod logaritmickým znaménkem musí být přísně kladný: Odpověď: . Příklad 44...

Poziční hry

Poziční hry

Navrhování hodin matematiky na téma "Číslování" s využitím moderních výukových nástrojů

Poziční číselný systém se poprvé objevil ve starověkém Babylonu. V Indii systém funguje ve formě pozičního desítkového číslování pomocí nuly, arabský národ si tento číselný systém vypůjčil od Indů a od nich zase...

Číselný systém je způsob záznamu (reprezentace) čísel. Různé číselné soustavy, které existovaly dříve a které se v současnosti používají, se dělí do dvou skupin: · poziční, · nepoziční...

Notový zápis. Záznam akcí na čísla

Různé číselné soustavy, které existovaly v minulosti a které se používají dnes, lze rozdělit na nepoziční a poziční. Znaky používané k zápisu čísel se nazývají číslice...

Notový zápis. Záznam akcí na čísla

Binární číselný systém vynalezli matematici a filozofové ještě před příchodem počítačů (XVII - XIX století). Některé z myšlenek binárního systému byly v podstatě známy ve starověké Číně...

Notový zápis. Záznam akcí na čísla

Nejběžnější číselné soustavy jsou binární, hexadecimální a desítkové a osmičkové...

1.1 Historie vzniku různých číselných soustav Pračlověk téměř nemusel počítat. „Jeden“, „dva“ a „mnoho“ - to jsou všechna jeho čísla. Jenže my – moderní lidé – se musíme s čísly potýkat doslova na každém kroku...

Číselné soustavy a základy binárních kódování

V nejstarším číslování se používal pouze znak „|“. za jedničku a každé přirozené číslo bylo zapsáno opakováním symbolu jednotky tolikrát, kolik jednotek v tomto čísle je...

Číselné soustavy a základy binárních kódování

Kromě desítkové číselné soustavy jsou možné poziční číselné soustavy s jakýmkoli jiným přirozeným základem. V různých historických obdobích mnoho národů široce používalo různé číselné soustavy...

Číselné soustavy a základy binárních kódování

1.5.1 Sčítání a odčítání V soustavě se základem i se k označení nuly a prvního c-1 přirozených čísel používají čísla 0, 1, 2, ..., c - 1. K provedení operace sčítání a odčítání se sestavuje tabulka pro sčítání jednociferných čísel.. .

Číselné soustavy a základy binárních kódování

Nám tak známá desítková soustava se pro počítače ukázala jako nepohodlná. Pokud v mechanických výpočetních zařízeních, která používají desítkovou soustavu, stačí jednoduše použít vícestavový prvek (kolo s devíti zuby) ...

Fraktály - nový obor matematiky

Koncept L-systémů, úzce souvisejících se sebepodobnými fraktály, se objevil až v roce 1968 díky Aristrid Lindenmayerové. Zpočátku byly L-systémy zavedeny při studiu formálních jazyků...

Úvod

Tématem eseje pro kurz „Informatika-1“ je „Číselné soustavy“.

Účel psaní abstraktu: Seznámit se s pojmem číselná soustava a klasifikace; převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé.

Koncept číselné soustavy. Poziční a nepoziční číselné soustavy

celočíselná algebraická binární

Číselný systém je systém technik a pravidel, které umožňují stanovit vzájemnou shodu mezi libovolným číslem a jeho reprezentací jako množinou konečného počtu symbolů. Sada symbolů používaných pro tuto reprezentaci se nazývá číslice.

zápis:

poskytuje reprezentace sady čísel (celých čísel a/nebo reálných hodnot);

dává každému číslu jedinečnou reprezentaci (nebo alespoň standardní reprezentaci);

odráží algebraickou a aritmetickou strukturu čísel.

Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční. V nepolohových systémech je jakékoli číslo definováno jako nějaká funkce číselných hodnot sady číslic reprezentujících toto číslo. Číslice v nepozičních číselných soustavách odpovídají určitým pevným číslům. Příkladem nepoziční soustavy je římská číselná soustava.

Historicky první číselné soustavy byly nepoziční soustavy. Jednou z hlavních nevýhod je obtížnost psaní velkých čísel. Psaní velkých čísel v takových systémech je velmi těžkopádné a abeceda systému je extrémně velká.

Nepolohové systémy se ve výpočtech nepoužívají. 3

Číselný systém se nazývá poziční, pokud stejná číslice může nabývat různých číselných hodnot v závislosti na číselném čísle této číslice v sadě číslic představujících dané číslo. Příkladem takového systému je arabská desítková číselná soustava.

Základ poziční číselné soustavy určuje její název. Ve výpočetní technice se používají binární, osmičkové, desítkové a šestnáctkové soustavy.

V současnosti jsou poziční číselné soustavy rozšířenější než nepoziční číselné soustavy. Umožňují totiž psát velká čísla pomocí relativně malého počtu znaků. Ještě důležitější výhodou pozičních systémů je jednoduchost a snadnost provádění aritmetických operací s čísly zapsanými v těchto systémech.

Zde jsou příklady, kde můžete najít použití pozičních číselných soustav:

binární v diskrétní matematice, informatice, programování;

desítkové - používané všude;

duodecimal - počítání po desítkách;

hexadecimální - používá se v programování, informatice;

sexagesimální - jednotky času, měření úhlů a zejména souřadnic, zeměpisné délky a šířky.

Při studiu kódování jsem si uvědomil, že číselným soustavám dost dobře nerozumím. Přesto jsem často používal 2-, 8-, 10-, 16-té systémy, převáděl jsem jeden na druhý, ale vše se dělalo „automaticky“. Po přečtení mnoha publikací mě překvapilo, že o takovém základním materiálu neexistuje jediný článek v jednoduchém jazyce. Proto jsem se rozhodl napsat vlastní, ve kterém jsem se snažil přístupně a uspořádaně podat základy číselných soustav.

Úvod

Co to znamená? Například před sebou vidíte několik stromů. Vaším úkolem je spočítat je. Chcete-li to provést, můžete ohnout prsty, udělat zářezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zářez) nebo spojit 10 stromů s předmětem, například kamenem, a jeden vzorek s tyčí a umístit je na zemi, jak počítáte. V prvním případě je číslo reprezentováno jako řetězec ohnutých prstů nebo zářezů, ve druhém - složení kamenů a tyčinek, kde kameny jsou vlevo a tyče vpravo

Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční a poziční zase na homogenní a smíšené.

Nepoziční- nejstarší, v něm má každá číslice čísla hodnotu, která nezávisí na její poloze (číslici). To znamená, že pokud máte 5 řádků, pak je číslo také 5, protože každý řádek, bez ohledu na jeho místo v řádku, odpovídá pouze 1 položce.

Polohový systém- význam každé číslice závisí na její pozici (číslici) v čísle. Například 10. číselná soustava, která je nám známá, je poziční. Uvažujme číslo 453. Číslo 4 označuje počet stovek a odpovídá číslu 400, 5 - počet desítek a je podobný hodnotě 50 a 3 - jednotky a hodnotě 3. Jak vidíte, čím větší číslice, tím vyšší hodnota. Konečné číslo lze vyjádřit jako součet 400+50+3=453.

Homogenní systém- pro všechny číslice (pozice) čísla je sada platných znaků (číslic) stejná. Jako příklad si vezměme již zmíněný 10. systém. Při zápisu čísla v homogenní 10. soustavě můžete v každé číslici použít pouze jednu číslici od 0 do 9, je tedy povoleno číslo 450 (1. číslice - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nikoliv, protože znak F není součástí množiny čísel 0 až 9.

Smíšený systém- v každé číslici (pozici) čísla se sada platných znaků (číslic) může lišit od sad ostatních číslic. Pozoruhodným příkladem je systém měření času. V kategorii sekund a minut je možných 60 různých symbolů (od „00“ do „59“), v kategorii hodin – 24 různých symbolů (od „00“ do „23“), v kategorii dne – 365 atd.

Nepolohové systémy

Systém čísel jednotek

Pro pohodlí začali lidé seskupovat tyčinky do 3, 5 a 10 kusů. Každá skupina přitom odpovídala konkrétnímu znaku nebo předmětu. Zpočátku se k počítání používaly prsty, takže se první znaky objevily pro skupiny po 5 a 10 kusech (jednotkách). To vše umožnilo vytvořit pohodlnější systémy pro záznam čísel.

Starověký egyptský desítkový systém

Proč se tomu říká desítkové? Jak bylo uvedeno výše, lidé začali seskupovat symboly. V Egyptě zvolili seskupení 10, přičemž číslo „1“ zůstalo nezměněno. V tomto případě se číslo 10 nazývá základní desítková číselná soustava a každý symbol je do určité míry reprezentací čísla 10.

Čísla ve staroegyptském číselném systému byla zapsána jako kombinace těchto
znaky, z nichž každý se neopakoval více než devětkrát. Konečná hodnota se rovnala součtu prvků čísla. Stojí za zmínku, že tento způsob získávání hodnoty je charakteristický pro každou nepoziční číselnou soustavu. Příkladem může být číslo 345:

Babylonský sexagezimální systém

Babylonský šestinásobný systém je prvním číselným systémem založeným částečně na pozičním principu. Tato číselná soustava se používá dodnes např. při určování času – hodina se skládá z 60 minut, minuta ze 60 sekund.

římský systém

Metody pro určení hodnoty čísla:

1. Hodnota čísla se rovná součtu hodnot jeho číslic. Například číslo 32 v římské číselné soustavě je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
2. Pokud je vlevo od větší číslice menší, pak se hodnota rovná rozdílu mezi větší a menší číslicí. Zároveň může být levá číslice menší než pravá maximálně o jeden řád: například pouze X(10) se může objevit před L(50) a C(100) mezi „nejnižšími“ , a pouze před D(500) a M(1000) C(100), před V(5) - pouze I(1); číslo 444 v uvažovaném číselném systému bude zapsáno jako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
3. Hodnota se rovná součtu hodnot skupin a čísel, které se nevejdou do bodů 1 a 2.

Poziční číselné soustavy

Desetinná číselná soustava

Vezměme si například číslo 503. Pokud by toto číslo bylo zapsáno v nepoziční soustavě, pak by jeho hodnota byla 5+0+3 = 8. Máme ale poziční soustavu a to znamená, že každá číslice čísla musí být vynásobený základem systému, v tomto případě číslem „10“, umocněným na mocninu rovnající se číslici. Ukazuje se, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k záměně při práci s několika číselnými soustavami současně, je základ označen jako dolní index. Tedy 503 = 503 10.

Kromě desítkové soustavy si zvláštní pozornost zaslouží 2-, 8- a 16. soustava.

Binární číselná soustava

Binární poziční číselný systém má základ 2 a pro zápis čísel používá 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každé číslici je povolena pouze jedna číslice – buď 0, nebo 1.

Příkladem je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desítkové číselné soustavě. Chcete-li převést z 2 na 10, musíte vynásobit každou číslici binárního čísla základem „2“ umocněným na mocninu rovnou hodnotě místa. Tedy číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.

No, pro stroje je 2. číselná soustava pohodlnější, ale často vidíme a používáme čísla v 10. soustavě na počítači. Jak potom stroj určí, jaké číslo uživatel zadává? Jak přeloží číslo z jednoho systému do druhého, protože má pouze 2 symboly - 0 a 1?

Aby mohl počítač pracovat s binárními čísly (kódy), musí být někde uloženy. K uložení každé jednotlivé číslice se používá spoušť, což je elektronický obvod. Může být ve 2 stavech, z nichž jeden odpovídá nule, druhý jedné. K zapamatování jednoho čísla slouží registr - skupina spouštěčů, jejichž počet odpovídá počtu číslic v binárním čísle. A sada registrů je RAM. Číslo obsažené v registru je strojové slovo. Aritmetické a logické operace se slovy provádí aritmetická logická jednotka (ALU). Pro zjednodušení přístupu k registrům jsou očíslovány. Číslo se nazývá adresa registru. Pokud například potřebujete sečíst 2 čísla, stačí uvést čísla buněk (registrů), ve kterých se nacházejí, a ne čísla samotná. Adresy se zapisují v osmičkové a šestnáctkové soustavě (o nich bude řeč níže), protože přechod z nich do dvojkové soustavy a zpět je poměrně jednoduchý. Pro převod z 2. na 8. musí být číslo rozděleno do skupin po 3 číslicích zprava doleva a pro přesun na 16. - 4. Pokud není dostatek číslic ve skupině číslic zcela vlevo, jsou vyplněny zleva s nulami, kterým se říká vedení. Vezměme si jako příklad číslo 101100 2. V osmičkové soustavě je to 101 100 = 54 8 a v šestnáctkové soustavě je to 0010 1100 = 2C 16. Skvělé, ale proč na obrazovce vidíme desetinná čísla a písmena? Když stisknete klávesu, do počítače se přenese určitá sekvence elektrických impulsů a každý symbol má svou vlastní sekvenci elektrických impulsů (nuly a jedničky). Program ovladače klávesnice a obrazovky přistoupí k tabulce kódů znaků (například Unicode, která umožňuje zakódovat 65536 znaků), určí, kterému znaku odpovídá výsledný kód, a zobrazí jej na obrazovce. Texty a čísla jsou tedy uloženy v paměti počítače v binárním kódu a jsou programově převedeny na obrázky na obrazovce.

Osmičková číselná soustava

Příklad osmičkového čísla: 254. Pro převod do 10. soustavy musí být každá číslice původního čísla vynásobena 8 n, kde n je ciferné číslo. Ukazuje se, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.

Hexadecimální číselná soustava

Vezměme si jako příklad číslo 4F5 16. Pro převod do osmičkové soustavy nejprve převedeme hexadecimální číslo na binární a poté jej rozdělíme do skupin po 3 číslicích na osmičkové. Chcete-li převést číslo na 2, musíte každou číslici reprezentovat jako 4bitové binární číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale ve skupinách 1 a 3 je málo číslic, takže každou vyplňte úvodními nulami: 0100 1111 0101. Nyní musíte výsledné číslo rozdělit do skupin po 3 číslicích zprava doleva: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 . Převeďme každou binární skupinu na osmičkovou soustavu, každou číslici vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .

Kromě uvažovaných pozičních číselných soustav existují další, například:
1) Trojice
2) Čtvrtohory
3) Duodecimální

Polohové systémy se dělí na homogenní a smíšené.

Homogenní poziční číselné soustavy

Smíšené číselné soustavy

Na základě věty můžeme formulovat pravidla pro převod z P-tého do Q-tého systému a naopak:

1. Chcete-li převést z Q-té na P-tou, musíte rozdělit číslo v Q-té soustavě do skupin n číslic, počínaje pravou číslicí, a každou skupinu nahradit jednou číslicí v P-té soustavě. .
2. Pro převod z P-té na Q-tou je nutné převést každou číslici čísla v P-té soustavě na Q-tou a chybějící číslice doplnit úvodními nulami s výjimkou levé tak, aby každé číslo v soustavě se základem Q se skládá z n číslic .

Smíšené číselné systémy jsou také například:
1) Faktorový
2) Fibonacci

Převod z jedné číselné soustavy do druhé

Převod na desítkovou číselnou soustavu

Příklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10

Převod z desítkové soustavy čísel na jiné

1. Celou část desetinného čísla postupně dělíme základem soustavy, do které převádíme, dokud se desetinné číslo nerovná nule.
2. Zbytky získané při dělení jsou číslice požadovaného čísla. Číslo v novém systému se zapisuje od posledního zbytku.

1. Desetinnou část desetinného čísla vynásobíme základem soustavy, na kterou chceme převést. Oddělte celou část. Pokračujeme v násobení zlomkové části základem nového systému, dokud se nerovná 0.
2. Čísla v novém systému jsou složena z celých částí výsledků násobení v pořadí odpovídajícím jejich výrobě.

Po sepsání všech zbytků zdola nahoru dostaneme konečné číslo 17. Tedy 15 10 = 17 8.

Převod z dvojkové soustavy na osmičkovou a šestnáctkovou

Vezměme si jako příklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8

Pro převod do šestnáctkové soustavy rozdělíme binární číslo do skupin po 4 číslicích zprava doleva, pak obdobně jako při převodu z 2. na 8. místo.

Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy na binární

Zvažte například číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2

Překlad z 16. na 2. - každou číslici hexadecimálního čísla převedeme na binární 4místné číslo dělením 2, přičemž chybějící vnější číslice doplníme úvodními nulami.

Převod zlomkové části libovolné číselné soustavy na desítkovou

Převod se provádí stejným způsobem jako u celých částí s tím rozdílem, že číslice čísla se násobí základem na mocninu „-n“, kde n začíná od 1.

Příklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10

Převod zlomkové části binárního čísla na 8. a 16

Příklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8

Převod zlomkové části desítkové soustavy na jakoukoli jinou

Například převedeme 10,625 10 na binární:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapsáním všech zbytků shora dolů dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2

Základní pojmy

Notový zápis je soubor pravidel pro zápis čísel pomocí konečné množiny symbolů (číslic).

Číselné soustavy jsou:

• nepoziční (v těchto systémech hodnota číslice nezávisí na její pozici - pozici v číselném záznamu);
• poziční (význam čísla závisí na poloze).

Nepoziční číselné soustavy

Příklady: unární, římský, staroruský atd.

Poziční číselné soustavy

p i = s i,

Číslice čísla se číslují zprava doleva, přičemž nejméně významná číslice celé části (před oddělovačem - čárkou nebo tečkou) má číslo nula. Číslice zlomkové části mají záporná čísla:

Převod na desítkovou číselnou soustavu

Podle definice vypouštěcí hmotnosti

p i = s i,
kde i je ciferné číslo a s je základ číselné soustavy.

Potom, označíme-li číslice čísla jako i, můžeme reprezentovat libovolné číslo zapsané v poziční číselné soustavě ve tvaru:

x = a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...

Například pro základní 4 číselný systém:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Po dokončení výpočtů obdržíme hodnotu původního čísla zapsanou v desítkové číselné soustavě (přesněji v té, ve které výpočty provádíme). V tomto případě:

1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Chcete-li tedy převést číslo z libovolné číselné soustavy na desítkovou, měli byste:

1. očíslujte číslice původního čísla;
2. zapište součet, jehož členy jsou získány jako součin další cifry základem číselné soustavy, umocněné na mocninu rovné cifernému číslu;
3. proveďte výpočty a zapište výsledek (s uvedením základu nové číselné soustavy - 10).

Příklady:

Převod z desítkové číselné soustavy

Připomeňme si příklad převodu ze základní 4 číselné soustavy na desítkovou:

1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Jinak to lze napsat takto:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4

Z toho můžeme vidět, že když je 114 děleno 4, zbytek by měl být 2 - to je nejnižší číslice při zápisu v kvartérní soustavě. Kvocient bude stejný

(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

Vydělením 4 dostaneme zbytek - další číslici (0) a podíl 1 ⋅ 4 + 3. Pokračováním v krocích získáme zbývající číslice stejným způsobem.

Obecně platí, že chcete-li převést celočíselnou část čísla z desítkové soustavy čísel na soustavu s jiným základem, musíte:

1. Proveďte sekvenční dělení se zbytkem původní číslo a každý výsledný podíl na základě nové číselné soustavy.
2. Zapište vypočítané zůstatky počínaje posledním (tj. v opačném pořadí)

Příklady:

Číselné soustavy s více bázemi

Při práci s počítači je široce používána binární číselná soustava (protože na ní je reprezentace informace v počítači založena), dále osmičková a šestnáctková, jejichž záznam je pro člověka kompaktnější a pohodlnější. Na druhou stranu, vzhledem k tomu, že 8 a 16 jsou mocniny 2, probíhá přechod mezi zápisem v binárním systému a jedním z těchto systémů bez výpočtů.

Stačí nahradit každou číslici hexadecimálního zápisu čtyřmi (16=24) číslicemi binárního (a naopak) podle tabulky.

Překlad mezi binárními a osmičkovými soustavami probíhá podobně, pouze osmičková číslice odpovídá třem dvojkovým číslicím (8 = 2 3)

Aritmetický

Aritmetické operace v pozičním systému s libovolnou bází se provádějí podle stejných pravidel: sčítání, odčítání a násobení „ve sloupci“ a dělení v „rohu“. Podívejme se na příklad provádění operací sčítání a odčítání v binárních, osmičkových a hexadecimálních číselných soustavách.

Přidání

Binární systém:

Na nulové číslici: 1 + 0 = 0

V první číslici: 1 + 1 = 2. 2 se přenese na nejvyšší (2.) číslici a změní se na přenosnou jednotku. První číslice zůstává 2 - 2 = 0.

Na druhé číslici: 0 + 1 + 1 (přenášet) = 2; Přesunut do vyšší hodnosti

Pokračujeme ve výpočtech, dostáváme:

10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2

Osmičková soustava:

Výpočty provádíme podobně jako ve dvojkové soustavě, ale na nejvýznamnější číslici převedeme 8. Dostaneme:

34261 8 + 4435 8 = 40716 8

Hexadecimální systém:

A391 16 + 8534 16 = 128C5 16

Odčítání

Binární systém:

Systém čísel jednotek

Potřeba psát čísla začala mezi lidmi vznikat v dávných dobách poté, co se naučili počítat. Svědčí o tom archeologické nálezy v místech táborů primitivních lidí, které pocházejí z období paleolitu (10$-11$ tisíc let před naším letopočtem). Zpočátku byl počet předmětů zobrazen pomocí určitých znaků: čárky, zářezy, kruhy označené na kamenech, dřevě nebo hlíně, stejně jako uzly na lanech.

Obrázek 1.

Vědci tento systém označování čísel nazývají jednotka (unární), jelikož číslo v něm je tvořeno opakováním jednoho znaku, který jeden symbolizuje.

Nevýhody systému:

při psaní velkého čísla je nutné použít velké množství tyčinek;

Při aplikaci tyčinek může být snadné dělat chyby.

Později, aby bylo počítání jednodušší, začali lidé tato znamení kombinovat.

Příklad 1

Příklady použití jednotkové číselné soustavy lze nalézt v našich životech. Malé děti se například snaží na prstech znázornit, jak jsou staré, nebo se k výuce počítání v první třídě používají počítací tyčinky.

Jednotkový systém ne úplně pohodlné, jelikož zápisy vypadají hodně zdlouhavě a jejich psaní je dost zdlouhavé, tak se postupem času začaly objevovat praktičtější číselné soustavy.

Zde jsou nějaké příklady.

Starověký egyptský desítkový nepoziční číselný systém

Tento číselný systém se objevil kolem roku 3000 před naším letopočtem. v důsledku toho, že obyvatelé Starověkého Egypta přišli s vlastním číselným systémem, ve kterém při označování klíčových čísel $1$, $10$, $100$ atd. používaly se hieroglyfy, což se hodilo při psaní na hliněné tabulky, které nahrazovaly papír. Další čísla z nich byla vyrobena pomocí sčítání. Nejprve se zapsalo číslo nejvyššího řádu a poté nižšího. Egypťané se množili a rozdělovali a postupně zdvojnásobovali počet. Každá číslice se může opakovat až 9 $ krát. Příklady čísel tohoto systému jsou uvedeny níže.

Obrázek 2

Římský číselný systém

Tento systém se v zásadě příliš neliší od předchozího a přežil dodnes. Je založen na následujících příznacích:

$I$ (jeden prst) pro číslo $1$;

$V$ (otevřená dlaň) pro číslo $5$;

$X$ (dvě složené dlaně) za $10$;

k označení čísel $100$, $500$ a $1000$ byla použita první písmena odpovídajících latinských slov ( Сentum- sto, Demimille- půl tisíce, míle- tisíc).

Při skládání čísel Římané používali tato pravidla:

Číslo se rovná součtu hodnot několika identických „číslic“ umístěných v řadě, které tvoří skupinu prvního typu.

Číslo se rovná rozdílu hodnot dvou „číslic“, pokud je menší nalevo od větší. V tomto případě se hodnota menšího odečte od větší hodnoty. Společně tvoří skupinu druhého typu. V tomto případě může být levá „číslice“ menší než pravá o maximálně $1$ objednávku: pouze $X(10$) může být před $L(50)$ a $C(100$), mezi „nejnižšími“ může být pouze $X(10$) před $D(500$) a $M(1000$) – pouze $C(100$), před $V(5) – I( 1) $.

Číslo se rovná součtu skupinových hodnot a „číslic“, které nejsou zahrnuty ve skupinách $1$ nebo $2$.

Obrázek 3

Římské číslice se používají od starověku: označují data, čísla svazků, oddíly a kapitoly. Dříve jsem si myslel, že běžné arabské číslice lze snadno zfalšovat.

Abecední číselné soustavy

Tyto číselné systémy jsou pokročilejší. Patří mezi ně řečtina, slovanština, fénická, židovská a další. V těchto systémech byla čísla od $1$ do $9$, stejně jako počet desítek (od $10$ do $90$), stovek (od $100$ do $900$) označena písmeny abecedy.

Ve starověkém řeckém abecedním číselném systému byla čísla $1, 2, ..., 9$ reprezentována prvními devíti písmeny řecké abecedy atd. Následující písmena $9$ byla použita k označení čísel $10, 20, ..., 90$ a poslední písmena $9$ byla použita k označení čísel $100, 200, ..., 900 $.

U slovanských národů byly číselné hodnoty písmen stanoveny v souladu s pořadím slovanské abecedy, která zpočátku používala hlaholici a poté cyrilici.

Obrázek 4.

Poznámka 1

Abecední systém byl také používán ve starověké Rusi. Až do konce 17. století se jako čísla používaly cyrilice za 27 $.

Nepoziční číselné systémy mají řadu významných nevýhod:

Neustále je potřeba zavádět nové symboly pro záznam velkých čísel.

Je nemožné reprezentovat zlomková a záporná čísla.

Je obtížné provádět aritmetické operace, protože neexistují žádné algoritmy pro jejich provádění.