Vlastnosti řešení úlohy lineárního programování. Vlastnosti řešení problému lineárního programování Schůdným řešením zpp je

Komponenty matematického modelu

Základem řešení ekonomických problémů jsou matematické modely.

matematický model problém je soubor matematických vztahů, které popisují podstatu problému.

• výběr proměnné úlohy
• sestavení systému omezení
• volba objektivní funkce

Úkolové proměnné se nazývají veličiny X1, X2, Xn, které plně charakterizují ekonomický proces. Obvykle se zapisují jako vektor: X=(X1, X2,...,Xn).

Systém omezeníúlohy jsou souborem rovnic a nerovnic, které popisují omezené zdroje v uvažovaném problému.

cílová funkceúloha se nazývá funkce proměnných úlohy, která charakterizuje kvalitu úlohy a jejíž extrém je třeba najít.

Obecně lze problém lineárního programování napsat takto:

Tento záznam znamená následující: najděte extrém účelové funkce (1) a odpovídající proměnné X=(X1, X2,...,Xn) za předpokladu, že tyto proměnné splňují systém omezení (2) a nezápornost podmínky (3).

Přijatelné řešení(plán) úlohy lineárního programování je libovolný n-rozměrný vektor X=(X1, X2,...,Xn), který vyhovuje systému omezení a podmínek nezápornosti.

Soubor možných řešení (plánů) problému tvoří řadu proveditelných řešení(ODR).

Optimální řešení(plán) úlohy lineárního programování je takové proveditelné řešení (plán) úlohy, ve kterém účelová funkce dosahuje extrému.

Stav: Pro výrobu n druhů výrobků se používá m druhů zdrojů. Vytvořte matematický model.

Známý:

• bi (i = 1,2,3,...,m) - rezervy každého i-tého typu zdroje;
• aij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) - náklady na každý i-tý typ zdroje na výrobu jednotkového objemu j-tý typ produktu;
• cj (j = 1,2,3,...,n) - zisk z prodeje jednotkového objemu j-tého druhu produktu.

Je nutné sestavit plán výroby produktů, které poskytují maximální zisk s daným omezením zdrojů (surovin).

Řešení:

Zaveďme vektor proměnných X=(X1, X2,...,Xn), kde xj (j = 1,2,...,n) je objem výroby j-tého typu produktu.

Náklady i-tého typu zdroje na výrobu daného objemu xj výrobků se rovnají aijxj, takže omezení využití zdrojů na výrobu všech druhů výrobků má podobu:
Zisk z prodeje j-tého typu produktu je roven cjxj, takže účelová funkce je rovna:

Odpovědět- Matematický model vypadá takto:

Kanonická forma úlohy lineárního programování

V obecném případě je problém lineárního programování napsán tak, že jak rovnice, tak nerovnice jsou omezení a proměnné mohou být buď nezáporné, nebo se libovolně mění.

V případě, že všechna omezení jsou rovnicemi a všechny proměnné splňují podmínku nezápornosti, nazývá se problém lineárního programování kanonický.

Může být znázorněn v souřadnicovém, vektorovém a maticovém zápisu.

Kanonický problém lineárního programování v souřadnicovém zápisu má tvar:

Kanonický problém lineárního programování v maticovém zápisu má tvar:

• A - matice koeficientů soustavy rovnic
• X - matice-sloupec úkolových proměnných
• A0 - matice-sloupec pravých částí systému omezení

Často se používají problémy lineárního programování, nazývané symetrické, které v maticovém zápisu mají tvar:

Redukce obecného problému lineárního programování na kanonickou formu

Ve většině metod řešení problémů lineárního programování se předpokládá, že systém omezení se skládá z rovnic a přirozených podmínek pro nezápornost proměnných. Při sestavování modelů ekonomických problémů se však omezení tvoří především v podobě soustavy nerovnic, proto je nutné umět přejít od soustavy nerovnic k soustavě rovnic.

Vezměme lineární nerovnost a1x1+a2x2+...+anxn≤b a na její levou stranu připočtěme nějakou hodnotu xn+1, takže se z nerovnosti stane rovnost a1x1+a2x2+...+anxn+xn+1=b. Navíc tato hodnota xn+1 je nezáporná.

Zvažme vše na příkladu.

Redukujte problém lineárního programování na kanonickou formu:

Řešení:
Přejděme k problému hledání maxima účelové funkce.
K tomu měníme znaménka koeficientů účelové funkce.
Pro převedení druhé a třetí nerovnosti systému omezení na rovnice zavedeme nezáporné doplňkové proměnné x4 x5 (tato operace je na matematickém modelu označena písmenem D).
Proměnná x4 se zadává na levé straně druhé nerovnosti se znaménkem "+", protože nerovnost má tvar "≤".
Proměnná x5 se zadává na levé straně třetí nerovnosti se znaménkem "-", protože nerovnost má tvar "≥".
Proměnné x4 x5 se zadávají do účelové funkce s koeficientem. rovna nule.
Problém zapíšeme v kanonické podobě:

Je těžké najít jehlu

kupka sena, ale ještě těžší

najít konkrétní slámu

v tomto zásobníku.

Azh-Grinder

Dobré směry přinášejí

o nic menší užitek

než dobré příklady.

Seneca

Rozhodování - problémy rozhodování - manažerské rozhodování - faktory rozhodovacího procesu - přijatelné rozhodnutí - optimální řešení - strukturované problémy - slabě strukturované problémy - nestrukturované problémy - "nové" paradigma - provozně uzavřený systém - vlastní chování systému - pravidelné management - změny managementu - sebeorganizace - ekologický management

Problémy spojené s hledáním cest k dosažení stanovených cílů s přihlédnutím k dostupným příležitostem, tzn. problémy rozhodování prostupují celou lidskou praxí (veřejnou i osobní), a proto jsou velmi rozmanité. Na základě toho se zamyslíme nad některými obecnými teoretickými otázkami, které lze brát jako moderní metodologický základ nejen pro rozhodování vládního managementu. Ukazují se také jako užitečné při manažerských rozhodnutích v různých oblastech podnikání, v tzv. třetím sektoru, což jsou všechny veřejné organizace, v každé jednotlivé organizaci, obě se složitou strukturou (nadnárodní korporace, holdingy, finanční a průmyslové skupiny a další asociace) as tradičními strukturami (funkční, lineárně-funkční atd.).

V odborné literatuře lze nalézt různé výklady pojmu „řešení“. Rozhodnutí je chápáno jak jako výsledek volby, tak i jako proces a jako akt volby. Tyto výklady samotného pojmu „řešení“ si neodporují, ale pouze se doplňují a kladou různé akcenty v závislosti na kontextu výzkumu a konkrétních manažerských aktivitách. Takže vzhledem k řešení jako proces, plynoucí v čase, můžeme hovořit o jeho fázích. Řešení jako výsledek výběru - toto je recept na akci, ale jak akt volby- tvůrčí složka manažerské činnosti, která považuje rozhodnutí za neoddělitelné od něčeho, jako je "mocná vůle". Rozhodnutí je tedy chápáno jako proces a výsledek a akt volby cíle a způsobu jeho dosažení.

V závislosti na klasifikaci se rozlišují: rozhodovací úkoly:

Strukturované, volně strukturované a nestrukturované;

Jedinečné a opakující se;

Statické a dynamické;

Za podmínek jistoty a za podmínek nejistoty (zejména pod rizikem, za protiakci);

S pevnou sadou alternativ (možnosti rozhodování, strategie) a formované v procesu rozhodování;

S jedním kritériem (cílová funkce, ukazatel kvality nebo efektivity) as mnoha (několika) kritérii;

a také zvážit:

Úkoly výběru jedné nejlepší (optimální) alternativy nebo výběru několika nejlepších alternativ, seřazení (rozdělení do uspořádaných tříd) všech nebo pouze nejlepších alternativ, které jsou rozlišeny;

Individuální a kolektivní řešení;

dobrovolná, intelektuální a emocionální rozhodnutí;

Technické, technologické atd.;

Operační, taktické a strategické;

Rutinní a jedinečné;

Intuitivní a racionální;

Složité a jednoduché atd.

Rozhodovací procesy managementu zaujímají ústřední místo v řídících činnostech. Všimněte si, že ne každý řešení je manažerský, ale pouze takový, který je za prvé výsledkem volby mezi více alternativami, ve většině případů přibližně rovnocennými z pohledu rozhodovatele, a za druhé, když výsledek volby jako sociální jev ovlivňuje ostatní lidi a je jimi vnímané jako povinné k provedení. Není-li splněna první podmínka, rozhodnutí, které má být učiněno, je buď diktováno jinými lidmi, nebo okolnostmi, které osoba činící rozhodnutí nemůže ovlivnit. V tomto případě máme co do činění s tzv rituál

řízení. Pokud není splněna druhá podmínka, nastává manažerská utopie a neskutečnýřízení.

Proces rozhodování jako nedílná součást každé z řídících funkcí vyžaduje následující faktory:

1. rozhodovatel (DM)- osoba nebo skupina lidí obdařená potřebnou pravomocí k rozhodování a nesoucí za něj odpovědnost.

2. Řízené proměnné, situace, kterých se problém týká, tj. soubor faktorů a podmínek, které způsobují výskyt konkrétního problému, který může být řízen osobou s rozhodovací pravomocí.

3. Nespravované proměnné- situace, na které se vztahuje problém, které ten, kdo rozhoduje, nemůže ovlivnit, ale které jiné osoby ovlivnit mohou. Spolu s řízenými proměnnými mohou nekontrolované proměnné ovlivnit výsledek volby, tvoří pozadí problému nebo jeho prostředí.

4. Omezení(interní a externí) na hodnotách řízených a neřízených veličin, které společně určují oblast proveditelných řešení.

5. Kritérium(nebo kritéria) pro hodnocení alternativních řešení. Kritérium může být specifikováno kvantitativním modelem nebo kvalitativně (z hlediska individuálních preferencí nebo z hlediska fuzzy logiky).

6. rozhodovací pravidlo(neboli systém rozhodovacích pravidel) - principy a metody výběru řešení, v jehož důsledku jsou získána doporučení nebo doporučené řešení (i když konečná volba zůstává na rozhodovateli).

7. Alternativy(možné výsledky), v závislosti jak na hodnotách kvalitativních nebo kvantitativních řízených a neřízených proměnných, tak na samotné volbě.

8. Řešení, za předpokladu existence alespoň dvou alternativ chování (výsledků); v opačném případě problém s rozhodováním nevzniká z důvodu nedostatku volby.

9. Možnosti provedení zvoleného nebo přijatého rozhodnutí. Rozhodovací funkce lze vnímat jako úkol

(byť s různým obsahem) je třeba neustále řešit v procesu řídících činností a který má následující formulaci: určit nejlepší postup k dosažení cílů. Tady pod účel jsou chápány jako vize žádoucího stavu řízeného systému a výsledek správné (v určitém smyslu) řídící činnosti. Zároveň existuje problém, pokud požadovaný stav systému neodpovídá skutečnému stavu. Problém na vašem Pozadí(soubor problémů a situací) je problematická situace. K vyřešení problémové situace se ten, kdo rozhoduje, snaží vybrat „nejlepší“, v určitém smyslu optimální řešení a doufat, že si tuto vlastnost zachová i v budoucnu. Pokud je rozhodnutí přijímáno za podmínek nejistoty (existuje nadbytek nebo nedostatek informací, několik kritérií pro hodnocení alternativ atd.), pak má smysl hovořit o rozhodnutích, která jsou optimální, podle V. Pareto(italský ekonom) hledat mezi nezlepšitelnými alternativami.

Řešeníúloha se nazývá přípustná, pokud splňuje omezení, která vážou řízené i neřízené proměnné. Možné řešení se nazývá optimální, pokud poskytuje požadovaný extrém kritéria výběru.

problémy, u kterých jsou závislosti mezi proměnnými odhaleny tak, že je lze reprezentovat čísly nebo formalizovat tak, že případně umožňují i ​​numerické odhady, jsou definovány jako strukturovaný(nebo kvantifikované). Problémy obsahující pouze název nejdůležitějších charakteristik, zdrojů a znaků, mezi nimiž nejsou kvantitativní vztahy definovány, se nazývají nestrukturované(kvalitativně vyjádřeno). Problémy, které obsahují jak kvalitativní, tak kvantitativní prvky, přičemž kvalitativní a nejisté aspekty problému mají tendenci narůstat, se nazývají volně strukturovaný. Model (popis) slabý-! strukturované problémy lze budovat pouze na základě dodatečných informací získaných od osoby nebo skupiny osob podílejících se na řešení takového problému, jejichž složky se vyznačují neostrostí, vícerozměrností a přibližnou (i když se zachováním struktury) typ popisu.

Pokud popis (nebo model) problémové situace obsahuje dynamický systém vzájemných závislostí mezi velkým počtem proměnných: vysoké dimenze s přítomností nelineárních vztahů mezi nimi a také náhodných faktorů, pak takové problémová situace definováno jako obtížné, hotovost Pokud je úloha statická, malého rozměru, bez nelinearit a náhodných faktorů, pak je taková úloha klasifikována jako, jednoduchý úkol. Všimněte si, že termín "složitost" se vztahuje konkrétně na popis problémové situace, nikoli na povahu řešeného problému.

Přestože rozhodovací úkoly provázejí lidstvo od jeho počátku, jejich systematické studium začalo až ve 20. století. V posledních desetiletích se to jasně uznává problém rozhodování je interdisciplinární a vyžaduje systematický přístup. Proto se v současné době intenzivně rozvíjejí úzce související matematické, psychologické, organizační, informační a další teorie.

rozhodování. Problém rozhodování v řízení společenských procesů se zdá být natolik komplexní, že spolu s využitím systematického přístupu vyžaduje vytvoření vazeb mezi myšlenkami různých vědních oborů, filozofickými tradicemi, často přesahujícími rámec vědy v jeho tradiční smysl a generování prvků nové vize reality. Hovoříme tedy o pronikání „nového“ paradigmatu do teorie a praxe managementu.

Je známo, že v prvních desetiletích našeho století fyzikální výzkum, podle fyzika, nositele Nobelovy ceny F. Capra,„přivedl do kontaktu s podivnou a nečekanou realitou, která otřásla fyziky v základech jejich pohledu na svět a přinutila je přemýšlet zcela novým způsobem. Svět, který pozorovali, už nebyl stroj složený z mnoha samostatných objektů, byl to nedělitelný celek: síť vztahů, která nutně zahrnovala i pozorovatele. Ve snaze pochopit podstatu jevů se vědci nemohli ubránit zjištění, že jejich základní pojmy, jazyk a celý způsob myšlení nejsou vhodné pro popis zjevené reality. Za posledních 30 let se o paradigmatech a jejich změně začalo mluvit i mimo vědu. Například tzv Nový(nebo "třetí") paradigma je považován za vytvořený prvním a druhým paradigmatem. Pojďme si každou z nich velmi stručně popsat.

V jádru první paradigma myšlení spočívá v projekci vnějšího světa člověka na jeho vnitřní svět, který je iracionální, intuitivní, nevědomý. Zvláštní roli hrají dovednosti, dovednosti, rituály. Toto je mytologický způsob myšlení. V jádru druhé paradigma - racionální přístup s lineárními vztahy příčina-následek. Zde přichází na řadu invence a design. Vznikla myšlenka světa jako hodinového mechanismu - mechanistické znázornění světa. V procesech analýzy a modelování komplexních systémů se objevil koncept zpětné vazby s důrazem na negativní zpětnou vazbu. V rámci druhého paradigmatu vzniká technogenní výroba („mechanický život“). Syntaxí tohoto paradigmatu je kalkul. Procesní modelování je založeno na konceptu „kontinuity“, což vede k tzv. špatnému nekonečnu a řadě logických paradoxů. Třetí, nebo nové paradigma představuje komunikaci prvního a druhého paradigmatu, která je založena na principu rovnováhy mezi racionálním a iracionálním, vědomým a nevědomým, vědeckým poznáním a intuicí. V rámci třetího paradigmatu jako by se projekce vnějšího světa vracela do vnitřního světa člověka a samotné paradigma je chápáno jako soubor myšlenek, vjemů a hodnot, které vytvářejí určitou vizi reality, která se ukazuje jako základ sebeorganizace společnosti. Třetí paradigma využívá syntaxi kvantové mechaniky s vlastními čísly a vlastními funkcemi. Mechanistický model světa ustupuje biologickému s popisem složitých systémů jako živých. Vývoj nového („třetího“) paradigmatu je tedy jednou z možností formování moderní metodologie činnosti, včetně přijímání kompetentních rozhodnutí integrací existujících zkušeností, intuice s úspěchy moderní vědy nashromážděnými v minulosti. 40-50 let.

S moderním racionálním přístupem se doporučení (nebo změny shora dolů), které se z racionálního hlediska jeví jako optimální, ne-li a priori odsouzené k neúspěchu, nakonec změní v nabubřelé, zkreslené verze původních plánů a nedostatečnou srozumitelnost přeměňuje byrokratické organizace v mechanismy pro vyhýbání se odpovědnosti. Nástroje nového paradigmatu řízení mohou být „měkké“ analytické metody, stejně jako „měkké“ technologie rozhodování a „měkké“ technologie řízení.

Systémy řízení organizace lze popsat různými způsoby. Popis systému jako osvědčeného mechanismu je poměrně účinný, má však řadu nevýhod. Fungování organizace je přitom zaměřeno na dosažení konečného cíle a samotný proces dosažení je považován za nástroj nebo za jednu z možných alternativ. Při absenci jasně formulovaného cíle se takový přístup k jeho dosažení jeví jako velmi obtížný a vágní.

Sociální systém je komplexní systém. Tato komplexnost je dále umocněna tím, že předmět řízení takového systému je sám zahrnut do řízeného systému, čímž do něj vnáší ještě větší nepředvídatelnost, nejistotu se svými subjektivními, emocionálními reakcemi, jeho popisy a představami o tomto systému samotném. což jsou také atributy spravovaného systému. Jinými slovy, přítomnost pozorovatele zařazeného do systému je pro takové systémy zásadní. Zaujmout pozici vnějšího pozorovatele ve vztahu ke společenskému systému se jeví (i z čistě teoretických úvah) problematické. Řečeno jazykem „manažera – systém“ to znamená, že manažer je začleněn do systému a tím, že systém ovládá, ovládá sám sebe. Navíc říkat, že manažer řídí systém, je stejně pravdivé jako říkat, že systém ovládá manažera.

Jedním z nejdůležitějších výsledků takového popisu je pochopení, že management je neoddělitelný od systému a žádná skupina manažerů netvoří izolovaný blok. Každý manažer je uvnitř systému, je s ním propojen složitou sítí interakcí a; dá se říci, že si sama vládne ve struktuře systému. Tato uzavřená situace je základem mnoha paradoxů, včetně jednoho z nejstarších

paradoxy Epimenides asi holič, který dostal příkaz oholit ty, kteří se neholí sami. Není problém, dokud nevyvstane otázka, co by měl dělat samotný holič. Pak máme neřešitelný problém: holí-li se holič, pak se nesmí oholit, ale pokud se neholí, pak se oholit musí, tzn. z kterékoli z těchto premis vyplývá její negace a následně se tvrzení shoduje s její negací. Paradox lháře je podobný tomuto: obyvatel ostrova říká, že každý, kdo na ostrově žije, je lhář. V matematice existuje paradox Russell: množina všech množin, které neobsahují samy sebe jako svůj prvek. Matematika vysvětluje vznik paradoxů nepredikativní povahou definic, kdy to, co je definováno, se účastní svých vlastních definic. Pokud je pozorovatel součástí systému, který pozoruje, a manažer se řídí jako součást organizace, pak je vidět nepředvídatelnost a paradoxnost takové situace. V tomto případě říkáme, že existuje sémantická smyčka a systém se nazývá provozně uzavřena(nebo živý). Z této slepé uličky existuje cesta ven: objevují se nové přístupy ke strukturování situací tohoto druhu založené na moderních matematických přístupech, které využívají vícehodnotové logiky, fuzzy množiny, fraktální struktury, moderní (formální i neformální) metody analýzy dat atd. Provozně uzavřené systémy zaujímají jakoby mezipolohu mezi otevřenými a uzavřenými systémy. Na jednu stranu dokážou reagovat na vstupní signál, čímž se podobají otevřeným systémům, na druhou stranu jsou to systémy „zlobivé“, systémy s „charakterem“, s „náladou“ nebo, jak se říká, mají vnitřní stav. Je vhodné připomenout příklad známý z psychologie, kdy někteří lidé při pohledu na stejnou kresbu vidí profily dvou lidských tváří umístěných proti sobě, jiní zase obrys květinové vázy. Nejjednodušší formální modely takových systémů jsou netriviální stroje W. Ashby a biologické automaty slavného sovětského matematika M. Tsetlin.

Živé systémy reagovat na příchozí signál v závislosti na jejich vnitřním stavu. Přitom vliv prostředí na systém může generovat kontinuum reakcí (tj. tolik reakcí, kolik je bodů na přímce), takže z hlediska teoretického vnějšího pozorovatele může být taková situace považováno za nedostatečnou odezvu na příchozí signál (vlastnost autonomie). Má se za to, že prostředí ovlivňuje systém pouze jako zdroj modulací, které způsobují spontánní změny ve struktuře vnitřních vazeb v rámci omezení uložených organizací systému. Reakce systému na stejné, z pohledu vnějšího pozorovatele, vlivy prostředí tedy mohou být zcela odlišné a obecně řečeno reakcemi nemusí být. Děje se tak nejen proto, že chování systému je dáno především aktuálním stavem konstrukce, který je pro vnějšího pozorovatele neviditelný, ale také proto, že některý příchozí signál, fixovaný pozorovatelem, nemusí být systémem vnímán jako příchozí a naopak.

Provozně uzavřený systém funguje podle dva principy sebeorganizace:

Provozně uzavřený systém má své vlastní chování;

Provozně uzavřený systém se mění přirozeným driftem.

Nativní chování systému- to je takový zvláštní stav systému, který se v procesu fungování stává výsledkem stabilizace posloupnosti jeho stavů. Pokud tedy vezmeme jako příklad proces projednávání určitého problému státními úředníky, pak lze chování systému interpretovat jako situaci „dohody“ nebo „řešení“ tohoto problému. Pokud považujeme množinu stavů systému v procesu jeho činnosti za nekonečnou posloupnost, pak lze ukázat, že jako limita má své vlastní chování systému, které, jak se ukazuje, v souladu se získaným matematickým vztahem , se shoduje se samotným procesem, tzn. ve smyslu matematické rovnosti jsou výsledek a proces nerozlišitelné.

Proto je možný dvojí přístup k procesům řízení a rozhodování: důraz lze klást na formulaci a dosažení konečného cíle, nebo je možné se zaměřit na rozumnou, v určitém smyslu správnou organizaci organizace. proces řízení nebo proces rozhodování. První přístup, zaměřený na konečné stanovení cíle, je v konceptu pravidelné vedení, stanovení základních standardů, postupů a pravidel řízení. Tento přístup je v teorii i praxi managementu zcela tradiční. Druhý přístup, zaměřený na správnou organizaci samotného rozhodovacího a řídícího procesu, je z hlediska kontextu relevantnější. řízení změn, nebo ovládání v reálném čase. Jeden přístup nevylučuje druhý, pouze se doplňují, stejně jako je ve fyzice světlo považováno za vlnu i za částici.

Efektivita použití toho či onoho přístupu v praxi závisí na obsahu konkrétního problému, který je třeba řešit. V různých rozhodovacích technologiích v různých fázích lze tyto přístupy používat jak nezávisle na sobě, tak se vzájemně prolínat v různých kombinacích. V tomto případě je vývoj procesu reprezentován jako posun z jednoho vlastního stavu do jiného vlastního stavu.

systémy. Pod přirozený drift pochopit nestabilní pohyb systému v blízkosti jeho vlastního chování. Proto, evoluční vývoj systému lze považovat za pohyb systému podle jeho vlastního chování (hodnot). Navíc je známo, že provozně uzavřený systém má konečný nebo spočetný počet vlastních chování. Množina vlastních chování provozně uzavřeného systému je tedy diskrétní a fungování systému z pozice teoretického vnějšího pozorovatele je sekvenčním diskrétním přechodem systému z jednoho vlastního stavu do druhého. Takový proces se nazývá kvantizace sociálních systémů.

Popis fungování provozně uzavřeného systému svou syntaxí připomíná popis pohybu elektronu v modelu atomu N. Bora, kde přítomnost elektronu na oběžné dráze odpovídá správnému chování systému, „skáče“ z jedné dráhy na druhou – k přechodu systému z jednoho vlastního stavu do druhého.

Představíme-li si prostředí jako živý systém se samoorganizujícím se chováním, je zřejmé, že systém sám o sobě může ve skutečnosti obdařit vnější prostředí svými vlastními významy. Vyplývá to také z existence prediktivní vlastnosti živého systému související s tím, že každý popis, je-li považován za reálný, má důsledky. Nebo, jak je uvedeno J. Soros,"popis utváří budoucnost." V tomto ohledu se na základě formování efektivních pragmatických map účastníků rozhodovacího procesu stává nutností generovat „mapu budoucnosti“, během níž je důležité nejen porozumět současné a žádoucí situaci, ale také zažít nějaké zkušenosti. Je to dáno utvářením situace a vytvářením podmínek pro možnou sebeorganizaci systému. podstata sebeorganizace spočívá v tom, že existují samogenerující se struktury, které generují mapy budoucnosti takovým způsobem, že interagují s mapou budoucnosti

Pro ilustraci toho, co je sebeorganizace, lze uvést následující příklad. V publiku je několik tisíc lidí, každý drží hůl, z nichž jedna polovina je zelená a druhá polovina červená. Na zelené obrazovce je zobrazen kruh a na něm zelená „pětka“ - číslo pět je zelené. Vedoucí navrhují, aby se ti, kteří sedí v sále, podívali na obrazovku a poté zvednutím hůlky se zeleným nebo červeným koncem obnovili obraz na obrazovce (poté, co z ní byl odstraněn). Probíhá skenování místnosti. Zpočátku se na obrazovce objevují červené a zelené skvrny náhodných a neurčitých konfigurací, ale za méně než čtyři minuty se obraz ustálí: obraz na obrazovce se obnoví. Tento příklad ukazuje, že ačkoli nikdo nemohl

dokonce navrhnout, jak dojít k výsledku a že problém je v zásadě řešitelný, ale vizualizací budoucnosti a nastavením situace zcela konkrétním, syntakticky správným způsobem lidé v publiku prostě DALI správnou odpověď na výzvu vedoucí. Udělali to bez jakéhokoli návodu, pouze VIDĚLI požadovaný výsledek. Toto je příklad toho, jak může živý systém se správnou syntaxí a „zformovaným“ požadovaným výsledkem dosáhnout takového výsledku. Tyto systémy nejprve generují své vlastní popisy, které se pak stávají jejich vlastními hodnotami (jejich vlastním chováním). Výsledek lze tedy získat jako odpověď na výzvu s vizí výsledku, s vírou a touhou jej dosáhnout, s upoutáním pozornosti ostatních na něj: k dosažení pragmatických vlastních významů je zapotřebí jasná struktura.

Podstatou „nového paradigmatu“ je určitý odklon od manažerského racionalismu, od původního přesvědčení, že o úspěchu organizace rozhoduje především racionalizace procesů v ní. Organizace se musí postarat o přizpůsobivost svých interních systémů, aby z dostupných příležitostí vytěžily maximum. V tomto případě se organizační mechanismy více přizpůsobují identifikaci nových problémů a vývoji nových řešení než kontrole těch již přijatých. Manévr při přidělování zdrojů je ceněn více než dochvilnost při jejich utrácení. Organizace, která je agresivní ve svém prostředí, inovativní z vědeckého a technického hlediska, zaměřená spíše na kvalitu než kvantitu, adaptivní ve vnitřní struktuře svých systémů, je stále více závislá na lidském faktoru, který je neoddělitelný od kompetence, týmového efektu, systémů. strategické řízení nasazení.

Jak bylo uvedeno výše, autonomní systém reaguje na otřesy řízení nepředvídatelným způsobem. Je také známo, že výsledek lidského jednání jen částečně odpovídá záměrům a vypočítavosti. Typickými příklady omezené ovladatelnosti sociálních systémů jsou vyjednávání, diskuse o problému, hledání řešení skupinou odborníků. Zde nikdo nekontroluje situaci jako celek, spíše samotný proces ovládá účastníky.

Jak řekl světoznámý anglický vědec Cm pivo:„Správa systému je schopnost komunikovat s ní, rozumět jejímu vnitřnímu jazyku a být schopen jej používat, být kompetentním partnerem. Jinými slovy, musíme usilovat o to, aby syntaxe analýzy, popisu systému a jeho řízení odpovídaly syntaxi fungování samotného systému. To je to, co mají na mysli, když o tom mluví Management životního prostředí. V souvislosti s poslední poznámkou v rámci moderních analytických technologií, rozhodovacích technologií a řízení sociálních systémů,

spojený se změnou paradigmatu se objevuje tzv. ekologický přístup k problému: od ekologie myšlení k ekologii řízení s požadavkem, aby každý popis byl šetrný k životnímu prostředí.

Všimněte si, že popis systému jako otevřeného nebo provozně uzavřeného je generován pozorovatelem. Tyto popisy nejsou v rozporu ani se navzájem nevylučují: každý z nich má svou vlastní oblast účinnosti. Je však zřejmé, že takové systémy, jako jsou ekologické, sociální, geopolitické a další, lze prezentovat jako provozně uzavřené v souladu s jejich organizací.

Nástrojem pro analýzu a rozhodování v rámci nového paradigmatu může být metodologie „měkkých“ systémů, metamodel, modely „přesnosti“, systémová technologie intervence, organizační rozvoj a další, např. stejně jako nové technologie pro analýzu informací, které fungují v „měkkém“ kontextu. To znamená, že spolu s využitím moderního formálního (matematického) aparátu v manažerském a analytickém výzkumu i v procesu manažerského rozhodování je vhodné využívat jako zdroj odborné zkušenosti a intuici manažerských subjektů.

Schopnost přijímat kvalitní informace, prezentovat je užitečným způsobem a na jejich základě efektivně jednat je jednou z nejcennějších dovedností při řízení společenských procesů. To je důležité zejména v kontextu dynamického chaotického utváření sociálních vztahů, kdy není vhodné a ani možné sociální systémy analyzovat pouze pomocí formálního aparátu. Za těchto podmínek dochází k odklonu od racionálních metod analýzy a mechanistického popisu systému a přechodu k popisu organizace jako živé, s „měkkými“ a neformálními přístupy k její analýze, rozhodování a řízení. takového systému.

Literatura

Vir St. Mozek firmy. - M., 1993.

Diev B.C. Manažerská rozhodnutí: nejistota, modely, intuice. -Novosibirsk, 1998.

Zotov V. B.Územní správa (metodika, teorie, praxe). -M., 1998.

Capra F. Lekce moudrosti. - M., 1996.

Kupryashin G.L., Solovjov A.M. Veřejná správa: Učebnice. -M., 1996.

Soros J. Alchymie financí. - M., 1997.

Řízení organizace: Učebnice / Ed. A.G. Porshneva, Z.P. Rumyantseva, N.A. Solomatina. - M, 1998.

Fatkhutdinov R.A. Vývoj manažerského rozhodnutí: Učebnice. -M., 1997.

Hayek F.A. Zhoubná arogance. - M., 1992. Yukaeva B.C. Manažerská rozhodnutí: Učebnice. - M., 1999.

Konvexní množiny a jejich vlastnosti. Abychom mohli studovat vlastnosti ZLP, je nutné podat rigorózní definici konvexní množiny. Dříve byla konvexní množina definována jako množina, která spolu s libovolnými dvěma svými body obsahuje úsečku spojující je.

Zobecněním pojmu úsečka pro více bodů je jejich konvexní lineární kombinace.

Bod X se nazývá konvexní lineární kombinace body, pokud jsou splněny podmínky

Sada bodů je konvexní jestliže spolu s kterýmkoli ze svých dvou bodů obsahuje jejich libovolnou konvexní, lineární kombinaci.

O reprezentaci konvexního mnohostěnu lze dokázat následující větu.

Věta 1.1. Konvexní n-rozměrný mnohostěn je konvexní lineární kombinace jeho rohových bodů.

Z věty 1.1 vyplývá, že konvexní mnohostěn je generován svými rohovými body nebo vrcholy: úsečka - dvěma body, trojúhelník - třemi, čtyřstěn - čtyřmi body atd. Zároveň konvexní polyedrická oblast, která je neomezenou množinou, není jednoznačně určena svými rohovými body: žádný z jejích bodů nelze reprezentovat jako konvexní lineární kombinaci rohových bodů.

Vlastnosti úlohy lineárního programování. Dříve byly zvažovány různé formy problému lineárního programování a ukázalo se, že jakýkoli problém lineárního programování může být reprezentován jako obecný nebo kanonický problém.

Pro doložení vlastností problému lineárního programování a metod jeho řešení je vhodné zvážit další dva typy zápisu kanonické úlohy.

Maticový zápis:

Tady S- řádková matice, A je matrice systému, X– maticový sloupec proměnných, V– maticový sloupec volných členů:

Vektorový zápis:

kde vektory odpovídají sloupcům koeficientů pro neznámé.

Následující věta byla uvedena výše, ale nebyla prokázána v obecné formě.

Věta 1.2. Množina všech přípustných řešení omezovacího systému úlohy lineárního programování je konvexní.

Důkaz: Nechat - dvě proveditelná řešení LLP uvedená v maticové formě. Pak a . Uvažujme konvexní lineární kombinaci řešení, tzn.

a ukázat, že je to také proveditelné řešení systému (1.3). Vskutku

tj. řešení X vyhovuje systému (1.3). Ale od té doby X>0, tzn. řešení splňuje podmínku nezápornosti.

Bylo tedy prokázáno, že množina všech přípustných řešení úlohy lineárního programování je konvexní, respektive představuje konvexní mnohostěn nebo konvexní mnohostěnnou oblast, kterou dále budeme nazývat jedním výrazem - různá řešení.

Odpověď na otázku, v jakém bodě mnohostěnu řešení je možné optimální řešení úlohy lineárního programování, dává následující základní věta.

Věta 1.3. Pokud má problém lineárního programování optimální řešení, pak lineární funkce nabývá maximální hodnoty v jednom z rohových bodů mnohostěnu řešení. Pokud lineární funkce nabývá maximální hodnoty ve více než jednom rohovém bodě, pak ji nabývá v libovolném bodě, který je konvexní lineární kombinací těchto bodů.

Důkaz: Předpokládáme, že mnohostěn řešení je ohraničený. Jeho rohové body označíme , a optimální řešení je přes X*. Pak F(X*)³ F(X) za všechny body Xřešení mnohostěn. Li X* je rohový bod, pak je dokázána první část věty.

Pojďme to předstírat X* není rohový bod, pak na základě věty 1.1 X* lze znázornit jako konvexní lineární kombinaci rohových bodů mnohostěnu řešení, tzn.

Protože F(X) je lineární funkce, dostáváme

V tomto rozšíření mezi hodnotami volíme maximum. Nechte to odpovídat rohovému bodu X k(1 £ k£ R); označme to tím M, těch. . Nahraďte každou hodnotu ve výrazu (1.5) touto maximální hodnotou M. Pak

Podle předpokladu X* je tedy na jednu stranu optimální řešení, ale na druhou stranu je to dokázáno
F(X*)£ M, tedy kde X k- rohový bod. Existuje tedy rohový bod X k, ve kterém lineární funkce nabývá maximální hodnoty.

Abychom dokázali druhou část věty, předpokládáme, že účelová funkce nabývá maximální hodnoty ve více než jednom rohovém bodě, například v bodech , Kde , Pak

Nechat X je konvexní lineární kombinace těchto rohových bodů, tzn.

V tomto případě s ohledem na funkci F(X) je lineární, dostáváme

těch. lineární funkce F nabývá maximální hodnoty v libovolném bodě X, což je konvexní lineární kombinace rohových bodů.

Komentář. Požadavek, aby mnohostěn řešení byl ve větě ohraničen, je zásadní, protože v případě neomezené mnohostěnné oblasti, jak je uvedeno ve větě 1.1, nelze každý bod takové oblasti znázornit konvexní lineární kombinací jejích rohových bodů.

Dokázaná věta je základní, protože ukazuje základní způsob řešení problémů lineárního programování. Podle této věty je totiž místo studia nekonečné množiny proveditelných řešení, abychom mezi nimi našli požadované optimální řešení, nutné studovat pouze konečný počet rohových bodů mnohostěnu řešení.

Následující věta je věnována analytické metodě hledání rohových bodů.

Věta 1.4. Každému přípustnému základnímu řešení úlohy lineárního programování odpovídá rohový bod mnohostěnu řešení a naopak každému rohovému bodu mnohostěnu řešení odpovídá přípustné základní řešení.

Důkaz: Nechť je přípustné základní řešení systému omezení LLP (1.4), ve kterém je první T komponenta - hlavní proměnné a zbytek p - t složka - nebázické proměnné rovné nule v základním řešení (pokud tomu tak není, pak lze odpovídající proměnné přečíslovat). Pojďme si to ukázat X

Předpokládejme opak, tj. Co X není rohový bod. Pak bod X může být reprezentován jako vnitřní bod segmentu spojující dva různé, neshodující se s X, body

jinými slovy, konvexní lineární kombinace bodů roztokový mnohostěn, tzn.

kde (předpokládáme, že , protože jinak bod X se shoduje s pointou X 1 nebo X 2).

Zapišme vektorovou rovnost (1.6) v souřadnicovém tvaru:

Protože všechny proměnné a koeficienty jsou nezáporné, pak od posledního p-t rovnosti z toho vyplývá, že , tzn. v rozhodnutích X 1 , X 2 a X soustava rovnic (1.4) hodnot p - t složky jsou v tomto případě nulové. Tyto složky lze považovat za hodnoty nezákladních proměnných. Ale hodnoty nezákladních proměnných jednoznačně určují hodnoty hlavních, proto

Takže všechno P součást řešení X 1 , X 2 a X se shodují, což znamená, že body X 1 a X 2 sloučit, což je v rozporu s předpokladem. Proto, X je rohový bod mnohostěnu řešení.

Dokažme opačné tvrzení. Dovolit být rohový bod řešení mnohostěnu a jeho první T souřadnice jsou kladné. Pojďme si to ukázat X je přípustné základní řešení. není rohový bod, což je v rozporu s podmínkou. Proto je náš předpoklad mylný, tzn. vektory jsou lineárně nezávislé a X je přípustné základní řešení úlohy (1.4).

Z vět 1.3 a 1.4 okamžitě vyplývá důležitý důsledek: pokud má problém lineárního programování optimální řešení, pak se shoduje s alespoň jedním z jeho proveditelných základních řešení.

Tak, optimum lineární funkce problému lineárního programování je třeba hledat mezi konečným počtem jeho přípustných základních řešení.

Základem řešení ekonomických problémů jsou matematické modely.

matematický model problém je soubor matematických vztahů, které popisují podstatu problému.

• výběr proměnné úlohy
• sestavení systému omezení
• volba objektivní funkce

Úkolové proměnné se nazývají veličiny X1, X2, Xn, které plně charakterizují ekonomický proces. Obvykle se zapisují jako vektor: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).

Systém omezeníúlohy jsou souborem rovnic a nerovnic, které popisují omezené zdroje v uvažovaném problému.

cílová funkceúloha se nazývá funkce proměnných úlohy, která charakterizuje kvalitu úlohy a jejíž extrém je třeba najít.

Obecně lze problém lineárního programování napsat takto:

Tento záznam znamená následující: najděte extrém účelové funkce (1) a odpovídající proměnné X=(X 1 , X 2 ,...,X n) za předpokladu, že tyto proměnné splňují systém omezení (2) a ne -podmínky negativity (3) .

Přijatelné řešení(plán) úlohy lineárního programování je libovolný n-rozměrný vektor X=(X 1 , X 2 ,...,X n), který vyhovuje systému omezení a podmínek nezápornosti.

Soubor možných řešení (plánů) problému tvoří řadu proveditelných řešení(ODR).

Optimální řešení(plán) úlohy lineárního programování je takové proveditelné řešení (plán) úlohy, ve kterém účelová funkce dosahuje extrému.

Příklad sestavení matematického modelu

Úkol využívat zdroje (suroviny)

Stav: Pro výrobu n druhů výrobků se používá m druhů zdrojů. Vytvořte matematický model.

Známý:

• b i (i = 1,2,3,...,m) jsou zásoby každého i-tého typu zdroje;
• a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) jsou náklady každého i-tého typu zdroje na výrobu jednotkového objemu j-tý typ produktu;
• c j (j = 1,2,3,...,n) je zisk z prodeje jednotkového objemu j-tého typu produktu.

Je nutné sestavit plán výroby produktů, které poskytují maximální zisk s daným omezením zdrojů (surovin).

Řešení:

Zavedeme vektor proměnných X=(X 1 , X 2 ,...,X n), kde x j (j = 1,2,...,n) je objem produkce j-tého typu produkt.

Náklady i-tého typu zdroje na výrobu daného objemu x j výrobků se rovnají a ij x j , proto má omezení využití zdrojů na výrobu všech druhů výrobků podobu:
Zisk z prodeje j-tého typu produktu se rovná c j x j , takže účelová funkce je rovna:

Odpovědět- Matematický model vypadá takto:

Kanonická forma úlohy lineárního programování

V obecném případě je problém lineárního programování napsán tak, že jak rovnice, tak nerovnice jsou omezení a proměnné mohou být buď nezáporné, nebo se libovolně mění.

V případě, že všechna omezení jsou rovnicemi a všechny proměnné splňují podmínku nezápornosti, nazývá se problém lineárního programování kanonický.

Může být znázorněn v souřadnicovém, vektorovém a maticovém zápisu.

Kanonický problém lineárního programování v souřadnicovém zápisu má tvar:

Kanonický problém lineárního programování v maticovém zápisu má tvar:

• A je matice koeficientů soustavy rovnic
• X je sloupcová matice proměnných úlohy
• Ao je maticový sloupec pravých částí systému omezení

Často se používají problémy lineárního programování, nazývané symetrické, které v maticovém zápisu mají tvar:

Redukce obecného problému lineárního programování na kanonickou formu

Ve většině metod řešení problémů lineárního programování se předpokládá, že systém omezení se skládá z rovnic a přirozených podmínek pro nezápornost proměnných. Při sestavování modelů ekonomických problémů se však omezení tvoří především v podobě soustavy nerovnic, proto je nutné umět přejít od soustavy nerovnic k soustavě rovnic.

Vezměte lineární nerovnost a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b a přidejte na její levou stranu nějakou hodnotu x n+1 tak, aby se z nerovnosti stala rovnost a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+a n x n +x n+1 =b. Navíc tato hodnota x n+1 je nezáporná.

Zvažme vše na příkladu.

Redukujte problém lineárního programování na kanonickou formu:

Řešení:
Přejděme k problému hledání maxima účelové funkce.
K tomu měníme znaménka koeficientů účelové funkce.
Pro převedení druhé a třetí nerovnosti systému omezení na rovnice zavedeme nezáporné doplňkové proměnné x 4 x 5 (tato operace je na matematickém modelu označena písmenem D).
Proměnná x 4 se zadává na levé straně druhé nerovnosti se znaménkem "+", protože nerovnost má tvar "≤".
Proměnná x 5 se zadává na levé straně třetí nerovnosti se znaménkem "-", protože nerovnost má tvar "≥".
Proměnné x 4 x 5 se zadávají do účelové funkce s koeficientem. rovna nule.
Úlohu zapisujeme v kanonické podobě.

Obecná formulace problému lineárního programování (LPP). Příklady PLP

Lineární programování je obor matematiky, který studuje metody řešení extrémních problémů, které se vyznačují lineárním vztahem mezi proměnnými a lineárním kritériem optimality. Pár slov k samotnému pojmu lineární programování. Vyžaduje správné pochopení. Programování v tomto případě samozřejmě není kompilace počítačových programů. Programování by zde mělo být interpretováno jako plánování, tvorba plánů, vývoj akčního programu. Mezi matematické problémy lineárního programování patří studium specifických výrobních a ekonomických situací, které jsou v té či oné podobě interpretovány jako problémy optimálního využití omezených zdrojů. Spektrum problémů řešených metodami lineárního programování je poměrně široké. Toto je například:

• - problém optimálního využití zdrojů při plánování výroby;
• - problém směsí (plánování složení výrobků);
• - problém hledání optimální kombinace různých typů produktů pro skladování ve skladech (řízení zásob nebo "batohový problém");
• - dopravní úkoly (analýza umístění podniku, pohyb zboží). Lineární programování je nejrozvinutější a nejrozšířenější částí matematického programování (kromě toho sem patří: celočíselné, dynamické, nelineární, parametrické programování). To je vysvětleno následovně:
• - matematické modely velkého množství ekonomických problémů jsou lineární s ohledem na požadované proměnné;
• - tento typ problémů je v současnosti nejvíce studován. Pro něj byly vyvinuty speciální metody, s jejichž pomocí se tyto problémy řeší, a odpovídající počítačové programy;
• - mnoho řešených problémů lineárního programování našlo široké uplatnění;
• - některé problémy, které v původní formulaci nejsou lineární, se po řadě dodatečných omezení a předpokladů mohou stát lineárními nebo je lze redukovat do takové podoby, že je lze řešit metodami lineárního programování. Ekonomický a matematický model každého problému lineárního programování zahrnuje: objektivní funkci, jejíž optimální hodnotu (maximum nebo minimum) je třeba najít; omezení ve formě soustavy lineárních rovnic nebo nerovnic; požadavek nezápornosti proměnných. Obecně je model napsán takto:
• - Objektivní funkce:

C1x1 + c2x2 + ... + cnxn > max(min);- omezení:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn(?=?)b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn(?=?)b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn (? = ?) bm;

Požadavek na nezápornost:

V tomto případě jsou aij, bi, cj () dané konstanty. Problém je najít optimální hodnotu funkce (2.1) za podmínek (2.2) a (2.3). Systém omezení (2.2) se nazývá funkční omezení problému a omezení (2.3) se nazývají přímé. Vektor, který splňuje podmínky (2.2) a (2.3), se nazývá proveditelné řešení (plán) úlohy lineárního programování. Plán, pro který funkce (2.1) dosáhne své maximální (minimální) hodnoty, se nazývá optimální.

Dále uvedeme příklady některých typických problémů řešených metodami lineárního programování. Takové úkoly mají skutečný ekonomický obsah. Nyní je pouze formulujeme z hlediska LLP a níže zvážíme metody řešení takových problémů.

1. Problém optimálního využití zdrojů při plánování výroby. Obecný význam problémů této třídy je následující. Společnost vyrábí n různých produktů. Jejich výroba vyžaduje m různých druhů zdrojů (suroviny, materiály, pracovní doba atd.). Zdroje jsou omezené, jejich rezervy v plánovacím období jsou b1, b2,..., bm konvenčních jednotek. Známé jsou také technologické koeficienty aij, které ukazují, kolik jednotek i-tého zdroje je potřeba k výrobě jednotky produktu j-tého typu (). Zisk podniku z prodeje výrobku j-tého typu se rovná cj. V období plánování zůstávají hodnoty aij, bi a cj konstantní. Je třeba vypracovat takový plán výroby výrobků, při jehož realizaci by byl zisk podniku největší. Níže uvádíme jednoduchý příklad problému této třídy.

Firma se specializuje na výrobu hokejek a šachových setů. Každá hůl přináší společnosti zisk 2 $ a každá šachová sada - 4 $. Výroba jedné tyčinky trvá čtyři hodiny práce v lokalitě A a dvě hodiny práce v lokalitě B. -hodin denně, sekce B - 72 n hodin a sekce C - 10 n hodin. Kolik klubů a šachových sad by měla společnost vyrábět denně, aby maximalizovala zisk?

Podmínky problémů této třídy jsou často prezentovány v tabulkové formě (viz tabulka 2.1).

Za této podmínky formulujeme problém lineárního programování. Označme: x1 - počet denně vyrobených hokejek, x2 - počet denně vyrobených šachových sad. Složení PLP:

4x1 + 6x2? 120

Zdůrazňujeme, že každá nerovnost v systému funkčních omezení odpovídá v tomto případě jednomu nebo druhému místu výroby, a to: první - sekci A, druhá - sekci B, třetí - sekci C.

Systém proměnných v problematice optimalizace struktury osevních ploch se zohledněním osevních postupů