Výpočet hodnosti matice pomocí elementárních transformací. Určení hodnosti matice. Výpočet hodnosti matice podle definice

Definice. Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků považovaných za vektory.

Věta 1 o hodnosti matice. Hodnost matice je maximální řád nenulové minority matice.

Pojem moll jsme již probrali v lekci o determinantech a nyní jej zobecníme. Vezměme několik řádků a několik sloupců v matici a toto „něco“ by mělo být menší než počet řádků a sloupců matice a pro řádky a sloupce by toto „něco“ mělo být stejné číslo. Pak na průsečíku kolika řádků a kolika sloupců bude matice menšího řádu než naše původní matice. Determinant této matice bude k-tého řádu menší, pokud zmíněné "něco" (počet řádků a sloupců) označíme k.

Definice. Méně důležitý ( r+1)-tý řád, uvnitř kterého leží vybraný moll r-tý řád, se pro daný moll nazývá hraniční.

Dvě nejčastěji používané metody zjištění hodnosti matice. Tento způsob ovlivňování nezletilých A metoda elementárních transformací(Gaussovou metodou).

Metoda ohraničení nezletilých využívá následující větu.

Věta 2 o hodnosti matice. Je-li možné z prvků matice poskládat moll rřádu, který se nerovná nule, pak se hodnost matice rovná r.

U metody elementárních transformací se používá následující vlastnost:

Pokud elementárními transformacemi získáme lichoběžníkovou matici ekvivalentní té původní, pak hodnost této matice je počet řádků v něm kromě řádků sestávajících výhradně z nul.

Zjištění hodnosti matice metodou ohraničení nezletilých

Hraniční moll je ve vztahu k danému moll vyššího řádu, pokud tento moll vyššího řádu obsahuje danou moll.

Například vzhledem k matici

Vezměme si nezletilého

lemování budou takové nezletilé:

Algoritmus pro zjištění hodnosti matice další.

1. Najdeme nezletilé druhého řádu, které se nerovnají nule. Pokud jsou všichni nezletilí druhého řádu rovni nule, pak bude hodnost matice rovna jedné ( r =1 ).

2. Pokud existuje alespoň jeden moll 2. řádu, který není roven nule, pak tvoříme hraniční moll třetího řádu. Pokud jsou všechny nezletilé osoby třetího řádu nulové, pak je hodnost matice dvě ( r =2 ).

3. Pokud alespoň jeden z ohraničujících nezletilých třetího řádu není roven nule, pak skládáme nezletilé, které jej ohraničují. Pokud jsou všechny hraniční nezletilé čtvrtého řádu nulové, pak je hodnost matice tři ( r =2 ).

4. Pokračujte tak dlouho, dokud to velikost matice dovolí.

Příklad 1 Najděte hodnost matice

.

Řešení. Minor druhého řádu .

Zarámujeme to. Budou tam čtyři sousedící nezletilí:

,

,

Všechny hraničící nezletilé třetího řádu se tedy rovnají nule, proto je hodnost této matice dvě ( r =2 ).

Příklad 2 Najděte hodnost matice

Řešení. Hodnost této matice je 1, protože všichni nezletilí druhého řádu této matice jsou rovni nule (v tomto, stejně jako v případech hraničních nezletilých v následujících dvou příkladech, jsou milí studenti vyzváni, aby si sami ověřili, možná pomocí pravidel pro výpočet determinantů) a mezi nezletilými 1. řádu, tedy mezi prvky matice, se nerovnají nule.

Příklad 3 Najděte hodnost matice

Řešení. Menší místo druhého řádu této matice je a všechny minority třetího řádu této matice jsou nulové. Proto je hodnost této matice dvě.

Příklad 4 Najděte hodnost matice

Řešení. Hodnost této matice je 3, protože pouze menší třetí řád této matice je 3.

Zjištění hodnosti matice metodou elementárních transformací (Gaussovou metodou)

Již v příkladu 1 je vidět, že problém určení hodnosti matice metodou ohraničení nezletilých vyžaduje výpočet velkého počtu determinantů. Existuje však způsob, jak snížit objem výpočtů na minimum. Tato metoda je založena na použití elementárních maticových transformací a nazývá se také Gaussova metoda.

Elementární transformace matice znamenají následující operace:

1) násobení libovolného řádku nebo sloupce matice číslem jiným než nula;

2) přidání odpovídajících prvků jiného řádku nebo sloupce k prvkům libovolného řádku nebo sloupce matice, vynásobených stejným číslem;

3) prohození dvou řádků nebo sloupců matice;

4) odstranění "nulových" řádků, to znamená těch, jejichž všechny prvky jsou rovny nule;

5) vymazání všech proporcionálních řádků kromě jednoho.

Teorém. Elementární transformace nemění hodnost matice. Jinými slovy, pokud použijeme elementární transformace z matice A přejít na matrice B, Že .

>> Pořadí matice

Hodnost matice

Určení hodnosti matice

Uvažujme obdélníkovou matici. Pokud v této matici vybíráme libovolně k linky a k sloupce, pak prvky v průsečíku vybraných řádků a sloupců tvoří čtvercovou matici k-tého řádu. Determinant této matice se nazývá k-tého řádu menšího matice A. Je zřejmé, že matice A má minory libovolného řádu od 1 do nejmenšího z čísel man. Mezi všemi nenulovými minoritními skupinami matice A je alespoň jeden minoritní, jehož pořadí je největší. Zavolá se největší z nenulových řádů minorů dané matice hodnost matrice. Pokud je hodnost matice A r, pak to znamená, že matice A má nenulový menší řád r, ale každý menší řádu větší než r, rovná se nule. Hodnost matice A je označena r(A). Je zřejmé, že vztah

Výpočet hodnosti matice pomocí nezletilých

Hodnost matice se zjistí buď ohraničením nezletilých, nebo metodou elementárních transformací. Při výpočtu hodnosti matice prvním způsobem by se mělo přejít od nezletilých nižších řádů k nezletilým vyššího řádu. Pokud již byl nalezen nenulový minor D k-tého řádu matice A, pak je třeba počítat pouze (k + 1)-tého řádu minoritů ohraničující minor D, tzn. obsahující ji jako nezletilou. Pokud jsou všechny nulové, pak je pořadí matice k.

Příklad 1Najděte hodnost matice metodou ohraničení nezletilých

.

Řešení.Začínáme nezletilými 1. řádu, tzn. z prvků matice A. Zvolme např. vedlejší (prvek) М 1 = 1 umístěný v prvním řádku a prvním sloupci. Ohraničením pomocí druhého řádku a třetího sloupce získáme vedlejší M 2 = , které je odlišné od nuly. Nyní se obracíme na nezletilé 3. řádu, hraničící s M 2 . Jsou pouze dva (můžete přidat druhý sloupec nebo čtvrtý). Vypočítáme je: = 0. Ukázalo se tedy, že všichni hraničící nezletilí třetího řádu jsou rovni nule. Hodnost matice A je dvě.

Výpočet hodnosti matice pomocí elementárních transformací

ZákladníNásledující maticové transformace se nazývají:

1) permutace libovolných dvou řádků (nebo sloupců),

2) vynásobení řádku (nebo sloupce) nenulovým číslem,

3) přidání do jednoho řádku (nebo sloupce) dalšího řádku (nebo sloupce) vynásobeného nějakým číslem.

Dvě matice se nazývají ekvivalent, jestliže jeden z nich získáme od druhého pomocí konečné množiny elementárních transformací.

Ekvivalentní matice nejsou, obecně řečeno, stejné, ale jejich pozice jsou stejné. Pokud jsou matice A a B ekvivalentní, zapíše se to takto: A~b.

KanonickýMatice je matice, která má několik jedniček v řadě na začátku hlavní úhlopříčky (jejíž počet může být nula) a všechny ostatní prvky jsou rovny nule, např.

.

Pomocí elementárních transformací řádků a sloupců lze libovolnou matici zredukovat na kanonickou. Hodnost kanonické matice se rovná počtu jedniček na její hlavní diagonále.

Příklad 2Najděte hodnost matice

A=

a převést jej do kanonické podoby.

Řešení. Odečtěte první řádek od druhého řádku a uspořádejte tyto řádky:

.

Nyní od druhého a třetího řádku odečtěte první vynásobený 2 a 5:

;

odečtěte první od třetího řádku; dostaneme matrici

B = ,

která je ekvivalentní matici A, protože je z ní získána pomocí konečné množiny elementárních transformací. Je zřejmé, že hodnost matice B je 2, a tudíž r(A)=2. Matici B lze snadno redukovat na kanonickou. Odečtením prvního sloupce, vynásobeného vhodnými čísly, od všech následujících, vynulujeme všechny prvky prvního řádku, kromě prvního, a prvky zbývajících řádků se nemění. Poté odečtením druhého sloupce, vynásobeného příslušnými čísly, od všech následujících, vynulujeme všechny prvky druhého řádku, kromě druhého, a získáme kanonickou matici:

.

A také zvažte důležitou praktickou aplikaci tématu: studium soustavy lineárních rovnic pro kompatibilitu.

Jaká je hodnost matice?

Vtipný epigraf článku obsahuje velké množství pravdy. Samotné slovo „hodnost“ je obvykle spojeno s nějakou hierarchií, nejčastěji s kariérním žebříčkem. Čím více znalostí, zkušeností, schopností, vazeb atd. člověk má. - čím vyšší je jeho postavení a rozsah příležitostí. Z hlediska mládeže se hodnost vztahuje k celkovému stupni „houževnatosti“.

A naši matematickí bratři žijí podle stejných principů. Vezměme si na procházku několik libovolných nulové matice:

Přemýšlejme, jestli v matici samé nuly, tak o jaké hodnosti můžeme mluvit? Každý zná neformální výraz „celková nula“. V matrixové společnosti je všechno úplně stejné:

Pořadí nulové maticejakákoliv velikost je nula.

Poznámka : nulová matice je označena řeckým písmenem "theta"

Abychom lépe pochopili hodnost matice, dále budu čerpat z materiálů analytická geometrie. Zvažte nulu vektor našeho trojrozměrného prostoru, který neurčuje určitý směr a je pro budování nepoužitelný afinní základ. Z algebraického hlediska se zapisují souřadnice daného vektoru matice"jedna po třech" a logické (ve stanoveném geometrickém smyslu) předpokládejme, že hodnost této matice je nulová.

Nyní se na některé podíváme nenulové sloupcové vektory A řádkové vektory:


Každá instance má alespoň jeden nenulový prvek, a to je něco!

Hodnost libovolného nenulového řádkového vektoru (vektoru sloupce) je rovna jedné

A obecně řečeno - pokud je v matici libovolné velikosti má alespoň jeden nenulový prvek, pak jeho hodnost ne méně Jednotky.

Algebraické řádkové a sloupcové vektory jsou do určité míry abstraktní, vraťme se tedy znovu ke geometrické asociaci. nenulová vektor nastavuje dobře definovaný směr v prostoru a je vhodný pro konstrukci základ, takže hodnost matice bude považována za rovna jedné.

Teoretický odkaz : v lineární algebře je vektor prvkem vektorového prostoru (definovaného pomocí 8 axiomů), kterým může být zejména uspořádaný řádek (nebo sloupec) reálných čísel s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovaným pro ně. Další informace o vektorech najdete v článku Lineární transformace.

lineárně závislé(vyjádřeno skrze sebe). Z geometrického hlediska obsahuje druhý řádek souřadnice kolineárního vektoru , která věc stavebně neposunula trojrozměrný základ, které jsou v tomto smyslu nadbytečné. Hodnost této matice je tedy také rovna jedné.

Souřadnice vektorů přepíšeme do sloupců ( transponovat matici):

Co se změnilo z hlediska hodnosti? Nic. Sloupce jsou proporcionální, což znamená, že pořadí je rovno jedné. Mimochodem, všimněte si, že všechny tři řádky jsou také proporcionální. Lze je identifikovat pomocí souřadnic tři kolineární vektory roviny, z toho jen jeden užitečné pro konstrukci "plochého" základu. A to je v plném souladu s naším geometrickým smyslem pro hodnost.

Z výše uvedeného příkladu vyplývá důležité tvrzení:

Pořadí matice podle řádků se rovná pořadí matice podle sloupců. Už jsem to trochu zmínil v lekci o efektivní metody výpočtu determinantu.

Poznámka : lineární závislost řádků vede k lineární závislosti sloupců (a naopak). Ale abych ušetřil čas a ze zvyku, budu téměř vždy mluvit o lineární závislosti strun.

Pokračujme ve výcviku našeho milovaného mazlíčka. Přidejte souřadnice dalšího kolineárního vektoru do matice ve třetím řádku :

Pomohl nám při budování trojrozměrného základu? Samozřejmě že ne. Všechny tři vektory chodí tam a zpět po stejné cestě a hodnost matice je stejná. Můžete vzít tolik kolineárních vektorů, kolik chcete, řekněme 100, umístit jejich souřadnice do matice 100 x 3 a hodnost takového mrakodrapu zůstane stále jedna.

Seznámíme se s maticí, jejíž řádky lineárně nezávislé. Pro konstrukci trojrozměrné báze je vhodná dvojice nekolineárních vektorů. Hodnost této matice je dvě.

Jaká je hodnost matice? Čáry se nezdají být proporcionální... takže teoreticky tři. Hodnost této matice je však také rovna dvěma. Přidal jsem první dva řádky a dole zapsal výsledek, tzn. lineárně vyjádřeno třetí řádek přes první dva. Geometricky řádky matice odpovídají souřadnicím tří koplanární vektory a mezi touto trojicí je dvojice nekolineárních soudruhů.

Jak můžete vidět lineární závislost v uvažované matrici to není zřejmé a dnes se jen naučíme, jak ji přivést „do čisté vody“.

Myslím, že mnoho lidí tuší, jaká je hodnost matice!

Uvažujme matici, jejíž řádky lineárně nezávislé. Tvoří se vektory afinní základ a hodnost této matice je tři.

Jak víte, jakýkoli čtvrtý, pátý, desátý vektor trojrozměrného prostoru bude lineárně vyjádřen pomocí základních vektorů. Pokud se tedy do matice přidá libovolný počet řádků, pak její hodnost budou ještě tři.

Podobné úvahy lze provést pro matice větších velikostí (jasně, již bez geometrického významu).

Definice : matice rank je maximální počet lineárně nezávislých řádků. Nebo: hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých sloupců. Ano, vždy se shodují.

Z výše uvedeného vyplývá důležitý praktický návod: hodnost matice nepřesahuje její minimální rozměr. Například v matrice čtyři řádky a pět sloupců. Minimální rozměr je čtyři, takže hodnost této matice určitě nepřesáhne 4.

Notový zápis: ve světové teorii a praxi neexistuje obecně uznávaná norma pro označování hodnosti matice, nejběžnější lze nalézt: - jak se říká, Angličan píše jedno, Němec druhé. Na základě známé anekdoty o americkém a ruském pekle proto označme hodnost matrice rodným slovem. Například: . A pokud je matice „bezejmenná“, kterých je hodně, můžete jednoduše napsat.

Jak zjistit hodnost matice pomocí nezletilých?

Pokud by naše babička měla v matici pátý sloupec, pak se měl počítat další moll 4. řádu („modrá“, „malina“ + 5. sloupec).

Závěr: maximální řád nenulového moll je tři, takže .

Možná ne každý plně pochopil tuto frázi: moll 4. řádu se rovná nule, ale mezi nezletilými 3. řádu byla nenulová jednička - tedy max. nenulové vedlejší a rovné třem.

Nabízí se otázka, proč rovnou nevypočítat determinant? Za prvé, ve většině úloh není matice čtvercová a za druhé, i když získáte nenulovou hodnotu, bude úloha s vysokou pravděpodobností zamítnuta, protože obvykle znamená standardní „zdola nahoru“ řešení. A v uvažovaném příkladu nám nulový determinant 4. řádu dokonce umožňuje tvrdit, že hodnost matice je pouze menší než čtyři.

Musím přiznat, že analyzovaný problém jsem si vymyslel sám, abych lépe vysvětlil způsob ohraničování nezletilých. V reálné praxi je vše jednodušší:

Příklad 2

Najděte hodnost matice metodou lemování nezletilých

Řešení a odpověď na konci lekce.

Kdy běží algoritmus nejrychleji? Vraťme se ke stejné matici čtyři krát čtyři . Je zřejmé, že řešení bude nejkratší v případě „dobré“ rohové nezletilé:

A když , tak , jinak - .

Myšlení není vůbec hypotetické – existuje mnoho příkladů, kdy je celá věc omezena pouze na hranaté nezletilé.

V některých případech je však účinnější a vhodnější jiná metoda:

Jak zjistit hodnost matice pomocí Gaussovy metody?

Tato sekce je určena čtenářům, kteří již znají Gaussova metoda a krůček po krůčku se jim to dostalo do rukou.

Z technického hlediska není metoda nová:

1) pomocí elementárních transformací přivedeme matici do stupňovitého tvaru;

2) hodnost matice se rovná počtu řádků.

To je celkem jasné použití Gaussovy metody nemění hodnost matice a podstata je zde velmi jednoduchá: podle algoritmu jsou v průběhu elementárních transformací identifikovány a odstraněny všechny zbytečné proporcionální (lineárně závislé) čáry, v důsledku čehož zůstává „suchý zbytek“ - maximální počet lineárně nezávislé čáry.

Pojďme transformovat starou známou matici se souřadnicemi tří kolineárních vektorů:

(1) První řádek byl přidán k druhému řádku, vynásobený -2. První řádek byl přidán ke třetímu řádku.

(2) Nulové řádky se zrušují.

Zbývá tedy jeden řádek, tedy . Netřeba dodávat, že je to mnohem rychlejší než vypočítat devět nula minor 2. řádu a teprve potom vyvozovat závěr.

Připomínám vám to samo o sobě algebraická matice nelze nic změnit a transformace se provádějí pouze za účelem zjištění hodnosti! Mimochodem, zastavme se znovu u otázky, proč ne? Zdrojová matice nese informaci, která se zásadně liší od maticové a řádkové informace. V některých matematických modelech (bez nadsázky) může být rozdíl v jednom čísle otázkou života a smrti. ... Vzpomněl jsem si na školní učitele matematiky základních a středních tříd, kteří nemilosrdně ukrátili známku o 1-2 body za sebemenší nepřesnost nebo odchylku od algoritmu. A bylo strašné zklamání, když místo zdánlivě zaručené „pětky“ to dopadlo „dobře“ nebo ještě hůř. Pochopení přišlo mnohem později – jak jinak svěřit člověku satelity, jaderné hlavice a elektrárny? Ale nebojte se, v těchto oblastech nepracuji =)

Přejděme ke smysluplnějším úlohám, kde se mimo jiné seznámíme s důležitými výpočetními technikami Gaussova metoda:

Příklad 3

Najděte hodnost matice pomocí elementárních transformací

Řešení: vzhledem k matici čtyři krát pět, což znamená, že její pořadí rozhodně není větší než 4.

V prvním sloupci není žádná 1 nebo -1, proto jsou nutné další kroky k získání alespoň jedné jednotky. Za celou dobu existence webu jsem opakovaně dostával otázku: „Je možné přeskupit sloupce během elementárních transformací?“. Zde - přeskupeno první nebo druhý sloupec a vše je v pořádku! Ve většině úkolů kde Gaussova metoda, sloupce lze opravdu přeskupit. ALE NE. A nejde ani tak o případnou záměnu s proměnnými, jde o to, že v klasickém kurzu vyšší matematiky se s tímto jednáním tradičně nepočítá, proto se na takové ukřivdění bude pohlížet VELMI křivě (nebo dokonce nuceno vše předělat) .

Druhý bod se týká čísel. Při rozhodování je užitečné řídit se následujícím obecným pravidlem: elementární transformace by měly pokud možno snížit čísla matice. Ve skutečnosti je mnohem jednodušší pracovat s jedna-dva-tři než například s 23, 45 a 97. A první akce je zaměřena nejen na získání jednotky v prvním sloupci, ale také na odstranění čísel 7 a 11.

Nejprve úplné řešení, poté komentáře:

(1) První řádek byl přidán k druhému řádku, vynásobený -2. První řádek byl přidán ke třetímu řádku, vynásobený -3. A k hromadě: ke 4. řádku byl přidán 1. řádek vynásobený -1.

(2) Poslední tři řádky jsou proporcionální. Smazán 3. a 4. řádek, druhý řádek byl přesunut na první místo.

(3) První řádek byl přidán k druhému řádku, vynásobený -3.

Matice zmenšená do stupňovitého tvaru má dva řádky.

Odpovědět:

Nyní je řada na vás, abyste mučili matrici čtyři na čtyři:

Příklad 4

Najděte hodnost matice pomocí Gaussovy metody

To ti připomínám Gaussova metoda neznamená jednoznačnou rigiditu a vaše řešení se bude s největší pravděpodobností lišit od mého řešení. Krátká ukázka úkolu na konci lekce.

Jakou metodu použít k nalezení hodnosti matice?

V praxi se často vůbec neříká, jakou metodou se má hodnost najít. V takové situaci je třeba analyzovat podmínku - pro některé matice je racionálnější provádět řešení prostřednictvím nezletilých, zatímco pro jiné je mnohem výhodnější použít elementární transformace:

Příklad 5

Najděte hodnost matice

Řešení: ten první způsob jaksi hned zmizí =)

O něco výše jsem doporučil nedotýkat se sloupců matice, ale když je tam nulový sloupec nebo proporcionální / odpovídající sloupce, stále stojí za to amputovat:

(1) Pátý sloupec je nulový, odstraníme jej z matice. Hodnost matice je tedy nejvýše čtyři. První řádek se vynásobí -1. Toto je další charakteristická vlastnost Gaussovy metody, díky které je následující akce příjemnou procházkou:

(2) Ke všem řádkům, počínaje druhým, byl přidán první řádek.

(3) První řádek byl vynásoben -1, třetí řádek byl vydělen 2, čtvrtý řádek byl vydělen 3. Druhý řádek vynásobený -1 byl přidán k pátému řádku.

(4) Třetí řádek byl přidán k pátému řádku, vynásobený -2.

(5) Poslední dva řádky jsou proporcionální, pátý škrtneme.

Výsledkem jsou 4 řádky.

Odpovědět:

Standardní pětipatrová budova pro vlastní průzkum:

Příklad 6

Najděte hodnost matice

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Nutno podotknout, že slovní spojení „matrix rank“ není v praxi tak běžné a ve většině problémů se bez něj obejdete. Existuje však jeden úkol, kde je uvažovaný koncept hlavní postavou, a na závěr článku zvážíme tuto praktickou aplikaci:

Jak zkoumat kompatibilitu systému lineárních rovnic?

Často kromě řešení soustav lineárních rovnic podle podmínky je nejprve nutné prověřit její kompatibilitu, tedy prokázat, že nějaké řešení vůbec existuje. Klíčovou roli v tomto ověřování hraje Kronecker-Capelliho věta, kterou zformuluji v požadovaném tvaru:

Pokud hodnost systémové matice rovna hodnosti systém rozšířené matice, pak je systém konzistentní, a pokud se dané číslo shoduje s počtem neznámých, pak je řešení jedinečné.

Pro studium kompatibility systému je tedy nutné zkontrolovat rovnost , kde - systémové matice(pamatujte si terminologii z lekce Gaussova metoda), A - systém rozšířené matice(tj. matice s koeficienty u proměnných + sloupec volných členů).

Uvažujme matici \(A\) typu \((m,n)\). Nechť pro jistotu \(m \leq n\). Vezměte \(m\) řádky a vyberte \(m\) sloupce matice \(A\), na průsečíku těchto řádků a sloupců dostaneme čtvercovou matici řádu \(m\), jejíž determinant se nazývá menší objednávka \(m\) matice \(A\). Je-li tato minorita odlišná od 0, je volána základní moll a řekněme, že hodnost matice \(A\) je \(m\). Pokud je tento determinant roven 0, pak se volí další \(m\) sloupce, v jejich průsečíku jsou prvky tvořící další moll řádu \(m\). Pokud je vedlejší 0, pokračujeme v postupu. Pokud mezi všemi možnými minoritami řádu \(m\) nejsou žádné nenulové jedničky, vybereme \(m-1\) řádky a sloupce z matice \(A\), v jejich průsečíku čtvercovou matici řádu \ (m-1\) se objeví , jeho determinant se nazývá menší řád \(m-1\) původní matice. Pokračujeme v postupu a hledáme nenulového nezletilého, procházíme všechny možné nezletilé a snižujeme jejich pořadí.

Definice.

Volá se nenulová moll dané matice nejvyššího řádu základní moll původní matice se nazývá její řád hodnost matice \(A\), řádky a sloupce, v jejichž průsečíku je základní moll, se nazývají základní řádky a sloupce. Hodnost matice je označena \(rang(A)\).

Z této definice vyplývají jednoduché vlastnosti hodnosti matice: je to celé číslo a hodnost nenulové matice splňuje nerovnosti: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\ ).

Jak se změní pořadí matice, pokud je řádek přeškrtnut? Přidat nějaký řádek?

Zkontrolujte odpověď

1) Pořadí se může snížit o 1.

2) Pořadí se může zvýšit o 1.

Nechť \(A\) je matice typu \((m,n)\). Uvažujme sloupce matice \(A\) - jedná se o sloupce s čísly \(m\). Označme je \(A_1,A_2,...,A_n\). Nechť \(c_1,c_2,...,c_n\) jsou nějaká čísla.

Definice.

Sloupec \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] se nazývá lineární kombinace sloupců \(A_1,A_2,...,A_n\), čísel \(c_1,c_2 ,...,c_n\) se nazývají koeficienty této lineární kombinace.

Definice.

Nechť jsou dány \(p\) sloupce \(A_1, A_2, ..., A_p\). Pokud existují čísla \(c_1,c_2,...,c_p\) taková, že

1. ne všechna tato čísla jsou nula,

2. lineární kombinace \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) se rovná nulovému sloupci (tedy sloupci, jehož všechny prvky jsou nuly), pak říkáme, že sloupce \( A_1, A_2, ..., A_p\) jsou lineárně závislé. Pokud pro danou sadu sloupců žádná taková čísla \(c_1,c_2,...,c_n\) neexistují, říká se, že sloupce jsou lineárně nezávislé.

Příklad. Zvažte 2 sloupce

\[ A_1=\left(\begin(pole)(c) 1 \\ 0 \end(pole) \right), A_2=\left(\begin(pole)(c) 0 \\ 1 \end(pole) \right), \] pak pro libovolná čísla \(c_1,c_2\) máme: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(pole)(c) 1 \\ 0 \end(pole) \right) + c_2\left(\begin(pole)(c) 0 \\ 1 \end(pole) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(pole) \right). \]

Tato lineární kombinace je rovna nulovému sloupci právě tehdy, když jsou obě čísla \(c_1,c_2\) rovna nule. Tyto sloupce jsou tedy lineárně nezávislé.

Prohlášení. Aby byly sloupce lineárně závislé, je nutné a postačující, aby jeden z nich byl lineární kombinací ostatních.

Nechť jsou sloupce \(A_1,A_2,...,A_m\) lineárně závislé, tzn. pro některé konstanty \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), z nichž všechny nejsou 0, se provede následující: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k =0 \ ] (na pravé straně - nulový sloupec). Nechť například \(\lambda _1 \neq 0\). Potom \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tzn. první sloupec je lineární kombinací zbytku.

Pro jakoukoli nenulovou matici \(A\) platí následující:

1. Základní sloupce jsou lineárně nezávislé.

2. Jakýkoli sloupec matice je lineární kombinací jejích základních sloupců.

(Totéž platí pro struny).

Nechť pro jednoznačnost \((m,n)\) je typ matice \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) a základ minor se nachází v prvním \( r\) matice řádků a sloupců \(A\). Nechť \(s\) je libovolné číslo mezi 1 a \(m\), \(k\) je libovolné číslo mezi 1 a \(n\). Uvažujme menší z následujícího tvaru: \[ D=\left| \begin(pole)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(pole) \right| , \] tj. základní moll jsme přiřadili \(s-\)tý sloupec a \(k-\)tý řádek. Podle definice pořadí matice je tento determinant roven nule (pokud jsme zvolili \(s\leq r\) nebo \(k \leq r\) , pak má tento minor 2 stejné sloupce nebo 2 stejné řádky, pokud \( s>r\) a \(k>r\) - podle definice hodnosti zaniká menší velikost větší než \(r\). Rozšířením tohoto determinantu přes poslední řádek dostaneme: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks)A_ (ks) = 0. \quad \quad(16) \]

Zde čísla \(A_(kp)\) jsou algebraické doplňky prvků ze spodního řádku \(D\). Jejich hodnoty nezávisí na \(k\), protože jsou tvořeny pomocí prvků z prvních \(r\) řádků. V tomto případě je \(A_(ks)\) základní menší než 0. Označte \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks)=c_s \neq 0 \). Přepišme (16) do nového zápisu: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] nebo, dělíme \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Tato rovnost platí pro jakoukoli hodnotu \(k\), takže \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ ( 2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ .................... . ................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_(m1) + \lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Takže \(s-\)-tý sloupec je lineární kombinací prvních \(r\) sloupců. Věta byla prokázána.

Komentář.

Základní vedlejší věta znamená, že hodnost matice se rovná počtu jejích lineárně nezávislých sloupců (což se rovná počtu lineárně nezávislých řádků).

Důsledek 1.

Pokud je determinant nula, pak má sloupec, který je lineární kombinací zbývajících sloupců.

Důsledek 2.

Pokud je hodnost matice menší než počet sloupců, pak jsou sloupce matice lineárně závislé.

Některé transformace matice nemění její pořadí. Takové transformace lze nazvat elementárními. Odpovídající fakta lze snadno ověřit pomocí vlastností determinantů a definice hodnosti matice.

1. Přeuspořádání sloupců.

2. Násobení prvků libovolného sloupce nenulovým faktorem.

3. Přidání do sloupce libovolného jiného sloupce, vynásobené libovolným číslem.

4. Přeškrtněte nulový sloupec.

Totéž platí pro struny.

Pomocí těchto transformací lze matici transformovat do tzv. "lichoběžníkového" tvaru - matice, pod jejíž hlavní diagonálou jsou pouze nuly. Pro "lichoběžníkovou" matici je pořadím počet nenulových prvků na hlavní diagonále a základem minor je menší, jehož úhlopříčka odpovídá množině nenulových prvků na hlavní diagonále transformované matice.

Příklad. Zvažte matrici

\[ A=\left(\begin(pole)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \konec(pole)\vpravo). \] Transformujeme jej pomocí výše uvedených transformací. \[ A=\left(\begin(pole)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(pole) \right) \mapsto \left(\begin(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(pole) \vpravo) \mapsto \left(\začátek(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(pole) \vpravo) \mapsto \] \[ \left(\begin(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole) \right)\mapsto \left(\begin(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(pole)\vpravo). \]

Zde důsledně postupujeme takto: 1) přeskupíme druhou řadu nahoru, 2) odečteme první řadu od zbytku vhodným faktorem, 3) odečteme 4x druhou řadu od třetí, přidáme druhou řadu ke čtvrté, 4) škrtněte nulové řady - třetí a čtvrtý . Naše finální matice získala požadovaný tvar: na hlavní diagonále jsou nenulová čísla, pod hlavní diagonálou nuly. Poté se procedura zastaví a počet nenulových prvků na hlavní diagonále se rovná hodnosti matice. V tomto případě jsou základní moll první dva řádky a první dva sloupce. V jejich průsečíku je matice řádu 2 s nenulovým determinantem. Zároveň, když se vrátíme po řetězci transformací v opačném směru, lze vysledovat, odkud se ten či onen řádek (ten či onen sloupec) v konečné matici vzal, tzn. určit základní řádky a sloupce v původní matici. V tomto případě tvoří první dva řádky a první dva sloupce základ minor.

Pro práci s pojmem hodnost matice potřebujeme informace z tématu "Algebraické doplňky a vedlejší. Druhy vedlejších a algebraických doplňků" . Především jde o pojem "matice minor", jelikož hodnost matice určíme právě přes nezletilé.

Hodnost matice jmenujte maximální pořadí jeho nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden, který se nerovná nule.

Ekvivalentní matice jsou matice, jejichž pořadí jsou si navzájem rovné.

Pojďme si to vysvětlit podrobněji. Předpokládejme, že mezi nezletilými druhého řádu je alespoň jeden jiný než nula. A všichni nezletilí, jejichž pořadí je vyšší než dva, se rovnají nule. Závěr: hodnost matice je 2. Nebo například mezi nezletilými desátého řádu je alespoň jedna, která se nerovná nule. A všichni nezletilí, jejichž pořadí je vyšší než 10, se rovnají nule. Závěr: hodnost matice je 10.

Hodnost matice $A$ je označena následovně: $\rang A$ nebo $r(A)$. Hodnost nulové matice $O$ je nastavena na nulu, $\rang O=0$. Připomínám, že pro vytvoření matice minor je nutné proškrtnout řádky a sloupce, ale nelze vyškrtnout více řádků a sloupců, než obsahuje matice samotná. Pokud má například matice $F$ velikost $5\krát 4$ (tj. obsahuje 5 řádků a 4 sloupce), pak je maximální pořadí jejích vedlejších hodnot čtyři. Již nebude možné vytvářet nezletilé pátého řádu, protože budou vyžadovat 5 sloupců (a my máme pouze 4). To znamená, že hodnost matice $F$ nemůže být větší než čtyři, tzn. $\rang F≤4$.

V obecnější podobě výše uvedené znamená, že pokud matice obsahuje $m$ řádků a $n$ sloupců, pak její hodnost nemůže překročit nejmenší z čísel $m$ a $n$, tzn. $\rang A≤\min(m,n)$.

V zásadě způsob jeho zjištění vyplývá ze samotné definice hodnosti. Proces hledání pořadí matice podle definice lze schematicky znázornit takto:

Dovolte mi vysvětlit tento diagram podrobněji. Začněme uvažovat úplně od začátku, tzn. s nezletilými prvního řádu nějaké matice $A$.

1. Pokud jsou všechny nezletilé 1. řádu (tj. prvky matice $A$) rovny nule, pak $\rang A=0$. Pokud je mezi nezletilými prvního řádu alespoň jeden, který se nerovná nule, pak $\rang A≥ 1$. Přecházíme na ověřování nezletilých druhého řádu.
2. Pokud jsou všichni nezletilí druhého řádu rovni nule, pak $\rang A=1$. Pokud je mezi nezletilými 2. řádu alespoň jeden, který se nerovná nule, pak $\rang A≥ 2$. Přecházíme na ověřování nezletilých třetího řádu.
3. Pokud jsou všichni nezletilí třetího řádu rovni nule, pak $\rang A=2$. Pokud je mezi nezletilými třetího řádu alespoň jeden, který se nerovná nule, pak $\rang A≥ 3$. Přejděme ke kontrole nezletilých čtvrtého řádu.
4. Pokud jsou všichni nezletilí čtvrtého řádu rovni nule, pak $\rang A=3$. Pokud existuje alespoň jeden nenulový moll čtvrtého řádu, pak $\rang A≥ 4$. Přecházíme na ověřování nezletilých pátého řádu a tak dále.

Co nás čeká na konci této procedury? Je možné, že mezi minoritními skupinami k-tého řádu je alespoň jedna, která se liší od nuly, a všechny minority (k + 1)-tého řádu se budou rovnat nule. To znamená, že k je maximální řád nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden, který se nerovná nule, tzn. hodnost se bude rovnat k. Může nastat jiná situace: mezi nezletilými k-tého řádu bude alespoň jeden, který není roven nule, a nezletilé (k + 1)-ho řádu nelze vytvořit. V tomto případě je hodnost matice také rovna k. Ve zkratce, pořadí posledního složeného nenulového moll a bude se rovnat hodnosti matice.

Přejděme k příkladům, na kterých bude názorně ilustrován proces hledání hodnosti matice podle definice. Ještě jednou zdůrazňuji, že v příkladech tohoto tématu najdeme hodnost matic pouze pomocí definice hodnosti. Další metody (výpočet hodnosti matice metodou ohraničení nezletilých, výpočet hodnosti matice metodou elementárních transformací) jsou uvedeny v následujících tématech.

Mimochodem, není vůbec nutné zahajovat postup zjišťování hodnosti od nezletilých nejmenšího řádu, jak tomu bylo v příkladech č. 1 a č. 2. Okamžitě můžete přejít k nezletilým vyšších řádů (viz příklad č. 3).

Příklad #1

Najděte pořadí matice $A=\left(\begin(pole)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(pole)\vpravo)$.

Tato matice má velikost $3\krát 5$, tzn. obsahuje tři řádky a pět sloupců. Z čísel 3 a 5 je 3 minimum, takže hodnost matice $A$ je maximálně 3, tzn. $\rank A≤ 3 $. A tato nerovnost je zřejmá, protože již nemůžeme tvořit minory čtvrtého řádu - potřebují 4 řádky a my máme jen 3. Pokračujme přímo k procesu hledání hodnosti dané matice.

Mezi vedlejšími 1. řádu (tedy mezi prvky matice $A$) jsou nenulové jedničky. Například 5, -3, 2, 7. Obecně nás celkový počet nenulových prvků nezajímá. Je tam alespoň jeden nenulový prvek – a to stačí. Protože mezi nezletilými prvního řádu je alespoň jeden nenulový, dojdeme k závěru, že $\rang A≥ 1$ a přistoupíme ke kontrole nezletilých druhého řádu.

Začněme zkoumat nezletilé druhého řádu. Například na průsečíku řádků #1, #2 a sloupců #1, #4 jsou prvky následujícího vedlejšího: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (pole) \vpravo| $. U tohoto determinantu jsou všechny prvky druhého sloupce rovny nule, proto je samotný determinant roven nule, tzn. $\left|\begin(pole)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(pole) \right|=0$ (viz vlastnost #3 ve vlastnosti determinantů). Nebo můžete tento determinant jednoduše vypočítat pomocí vzorce č. 1 z části o výpočtu determinantů druhého a třetího řádu:

$$ \left|\begin(pole)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(pole) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

První moll druhého řádu, který jsme zkontrolovali, se ukázal být roven nule. Co to říká? O nutnosti další kontroly nezletilých druhého řádu. Buď se ukáže, že jsou všechny nulové (a pak bude hodnost rovna 1), nebo je mezi nimi alespoň jeden menší než nula. Zkusme udělat lepší volbu tím, že napíšeme moll druhého řádu, jehož prvky jsou umístěny na průsečíku řádků #1, #2 a sloupců #1 a #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(pole)\vpravo|$. Pojďme najít hodnotu této minority druhého řádu:

$$ \left|\begin(pole)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(pole) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Tato minorita se nerovná nule. Závěr: mezi nezletilými druhého řádu je alespoň jeden jiný než nula. Proto $\rank A≥ 2$. Je nutné přistoupit ke studiu nezletilých třetího řádu.

Pokud pro tvoření nezletilých osob třetího řádu zvolíme sloupec č. 2 nebo sloupec č. 4, pak se takové nezletilé budou rovnat nule (protože budou obsahovat nulový sloupec). Zbývá zkontrolovat pouze jeden moll třetího řádu, jehož prvky se nacházejí na průsečíku sloupců č. 1, č. 3, č. 5 a řad č. 1, č. 2, č. 3. Zapišme si tuto minoritu a zjistíme její hodnotu:

$$ \left|\begin(pole)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(pole) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Takže všichni nezletilí třetího řádu jsou rovni nule. Poslední nenulový moll, který jsme sestavili, byl druhého řádu. Závěr: maximální řád nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden jiný než nula, je roven 2. Proto $\rang A=2$.

Odpovědět: $\rank A=2$.

Příklad č. 2

Najděte pořadí matice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(pole) \vpravo)$.

Máme čtvercovou matici čtvrtého řádu. Hned si všimneme, že hodnost této matice nepřesahuje 4, tzn. $\rank A≤ 4 $. Začněme hledat hodnost matice.

Mezi minoritními skupinami prvního řádu (tedy mezi prvky matice $A$) je alespoň jeden, který není roven nule, tedy $\rang A≥ 1$. Přecházíme na ověřování nezletilých druhého řádu. Například na průsečíku řádků č. 2, č. 3 a sloupců č. 1 a č. 2 dostaneme následující moll druhého řádu: $\left| \begin(pole) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(pole) \right|$. Pojďme si to spočítat:

$$ \left| \begin(pole) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(pole) \right|=0-10=-10. $$

Mezi nezletilými druhého řádu je alespoň jeden, který se nerovná nule, takže $\rang A≥ 2$.

Přejděme k nezletilcům třetího řádu. Najdeme např. nezletilého, jehož prvky jsou umístěny na průsečíku řad č. 1, č. 3, č. 4 a sloupců č. 1, č. 2, č. 4:

$$ \left | \begin(pole) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(pole) \right|=105-105=0. $$

Vzhledem k tomu, že tento minor třetího řádu se ukázal být roven nule, je nutné prošetřit další minor třetího řádu. Buď se všechny budou rovnat nule (pak bude hodnost rovna 2), nebo mezi nimi bude alespoň jeden, který se nebude rovnat nule (pak začneme studovat nezletilé čtvrtého řádu). Uvažujme moll třetího řádu, jehož prvky jsou umístěny na průsečíku řad č. 2, č. 3, č. 4 a sloupců č. 2, č. 3, č. 4:

$$ \left| \begin(pole) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(pole) \right|=-28. $$

Mezi nezletilými třetího řádu je alespoň jeden nenulový nezletilý, takže $\rang A≥ 3$. Přejděme ke kontrole nezletilých čtvrtého řádu.

Jakákoli moll čtvrtého řádu se nachází v průsečíku čtyř řádků a čtyř sloupců matice $A$. Jinými slovy, moll čtvrtého řádu je determinantem matice $A$, protože tato matice obsahuje pouze 4 řádky a 4 sloupce. Determinant této matice byl vypočten v příkladu č. 2 tématu "Snížení řádu determinantu. Rozklad determinantu v řádku (sloupci)" , takže vezměme jen hotový výsledek:

$$ \left| \začátek(pole) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (pole)\vpravo|=86. $$

Takže moll čtvrtého řádu se nerovná nule. Již nemůžeme tvořit nezletilé pátého řádu. Závěr: nejvyšší pořadí nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden jiný než nula, je 4. Výsledek: $\rang A=4$.

Odpovědět: $\rank A=4$.

Příklad č. 3

Najděte pořadí matice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( pole)\right)$.

Všimněte si hned, že tato matice obsahuje 3 řádky a 4 sloupce, takže $\rang A≤ 3$. V předchozích příkladech jsme proces hledání hodnosti zahájili uvažováním nezletilých nejmenšího (prvního) řádu. Zde se pokusíme okamžitě zkontrolovat nezletilé nejvyššího možného řádu. Pro matici $A$ se jedná o nezletilé třetího řádu. Uvažujme moll třetího řádu, jehož prvky leží na průsečíku řad č. 1, č. 2, č. 3 a sloupců č. 2, č. 3, č. 4:

$$ \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(pole) \right|=-8-60-20=-88. $$

Takže nejvyšší řád nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden, který se nerovná nule, je 3. Hodnost matice je tedy 3, tzn. $\rank A=3$.

Odpovědět: $\rank A=3$.

Obecně je nalezení hodnosti matice podle definice v obecném případě poměrně časově náročný úkol. Například relativně malá matice $5\krát 4$ má 60 nezletilých druhého řádu. A i když se 59 z nich rovná nule, pak se 60. moll může ukázat jako nenulový. Pak musíte prozkoumat nezletilé třetího řádu, kterých má tato matrice 40 kusů. Obvykle se snaží použít méně těžkopádné metody, jako je metoda ohraničení nezletilých nebo metoda ekvivalentních transformací.