Двоичная система счисления перевод обычных чисел. Перевод чисел в различные системы счисления с решением

Самой короткой системой счисления является двоичная. Она полностью основана на позиционной форме записи числа. Основной характеристикой считается принцип удвоения цифры при выполнении перехода от определённой позиции к последующей. Из одной системы счисления в другую можно осуществить перевод как при помощи специальной программы, так и вручную.

Вконтакте

Историческое признание

Появление двоичной СС в истории связано с учёным математиком В.Г. Лейбницем. Именно он впервые заговорил о правилах выполнения операций с числовыми значениями данного рода. Но первоначально этот принцип остался невостребованным . Мировое признание и применение алгоритм получил на заре возникновения вычислительных машин.

Удобство и несложность выполнения операций привели к необходимости более детального изучения данного подраздела арифметики, который стал незаменимым при развитии компьютерной технологии с программным обеспечением. Впервые такие механизмы появились на немецком и французском рынках.

Внимание! Конкретную точку над превосходством двоичной системы по отношению десятичной, именно в данной отрасли, было поставлено в 1946 году и обосновано в статье А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж.Фон Неймана.

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Особенности двоичной арифметики

Вся двоичная СС основана на применении только двух символов , которые очень точно совпадают с особенностями цифровой схемы. Каждый из символов отвечает за определённое действие, которое зачастую подразумевает два состояния:

• наличие отверстия или его отсутствие, к примеру, перфокарты или перфоленты;
• на магнитных носителях отвечает за состояние намагничивания или размагничивания;
• по уровню сигнала, высокий или низкий.

В науке, в которой применяется СС, введена определённая терминология, суть ее состоит в следующем:

• Бит – двоичный разряд , который состоит из двух составляющих, несущих в себе определённый смысл. Размещённый слева, определяется как старший и является приоритетным, а справа – младшим, являющийся менее весомым.
• Байт – это единица, которая состоит из восьми битов .

Многие модули воспринимают и обрабатывают информацию порциями или словами . Каждое слово имеет разный вес и может состоять из 8-ми, 16-ти или 32-х битов .

Правила переводов из одной системы в другую

Одним из важнейших факторов арифметики машин является перевод из одной СС в другую . Поэтому обратим внимание на основные алгоритмы выполнения процесса, который покажет, как перевести число в двоичную систему.

Переводим десятичную систему в двоичную

Первоначально обратимся к вопросу, как осуществить перевод системы из десятичной в двоичную систему счисления. Для этого существует правило перевода из десятичных чисел в двоичный код, которое подразумевает математические действия .

Необходимо число, записанное в десятичном виде разделить на 2 . Деление выполнять до тех пор, пока в частном не останется единица . Если необходима двоичная система счисления перевод осуществляется так:

186:2=93 (ост. 0)

93:2=46 (ост. 1)

46:2=23 (ост. 0)

23:2=11 (ост. 1)

11:2=5 (ост. 1)

5:2=2 (ост.1)

После того, как процесс деления закончен, то единицу в частном и все остатки записываем последовательно в обратном делению порядке . То есть, 18610=1111010. Правило перевода десятичных чисел в СС надо соблюдать всегда.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную.

Перевод из десятичной СС в восьмеричную

Аналогичный процесс проводится при переводе из десятичной СС в восьмеричную. Его ещё называют «правилом замещения ». Если в предыдущем примере деление данных осуществлялось на 2, то здесь необходимо делить на 8. Алгоритм перевода числа X10 в восьмеричную состоит из следующих шагов:

1. Число X10 начинают делить на 8. Полученное частное берём для следующего деления, а остаток записывается, как бит младшего порядка .
2. Продолжаем деление до тех пор, пока не получим в результат частного равного нулю или остаток, который по своему значению меньше восьми . При этом все остатки записываем, как младшие порядки бита .

К примеру, необходимо перевести число 160110 в восьмеричное.

1601:8=200 (ост. 1)

200:8=25 (ост. 0)

25:8=3 (ост.1)

Итак, получим: 161010=31018.

Перевод из десятичной системы в восьмеричную.

Записываем десятичное число шестнадцатеричным

Перевод из десятичной в шестнадцатиричную СС осуществляется аналогично с использованием системы замещения. Но кроме цифр применяют ещё и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. Где A обозначает остаток 10, а F остаток 15. Десятичное число делят на 16. К примеру, переводим 10710 в шестнадцатеричную:

107:16=6 (ост. 11 – заменяем В)

6 – меньше, чем шестнадцать. Деление прекращаем и записываем 10710=6В16.

Переходим из другой системы в двоичную

Следующий вопрос, как преобразовать из восьмеричной в двоичную запись числа. Перевод чисел из любой системы в двоичную выполняется достаточно просто. Помощником в этом деле выступает таблица для систем счисления .

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

Пример.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Замечание 1

Если вы хотите перевести число из одной системы счисления в другую, то удобнее для начала перевести его в десятичную систему счисления, и уже только потом из десятичной перевести в любую другую систему счисления.

Правила перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

В вычислительной технике, использующей машинную арифметику, большую роль играет преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Ниже приведем основные правила таких преобразований (переводов).

При переводе двоичного числа в десятичное требуется представить двоичное число в виде многочлена , каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $2$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_2=A_n \cdot 2^{n-1} + A_{n-1} \cdot 2^{n-2} + A_{n-2} \cdot 2^{n-3} + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Рисунок 1. Таблица 1

Пример 1

Число $11110101_2$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $1$ степеней основания $2$, представим число в виде многочлена:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_{10}$

Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в десятичную требуется представить его в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $8$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_8 = A_n \cdot 8^{n-1} + A_{n-1} \cdot 8^{n-2} + A_{n-2} \cdot 8^{n-3} + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Рисунок 2. Таблица 2

Пример 2

Число $75013_8$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $2$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_{10}$

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную необходимо его представить в виде многочлена, каждый элемент которого представлен в виде произведения цифры числа и соответствующей степени числа основания, в данном случае $16$, а затем нужно вычислить многочлен по правилам десятичной арифметики:

$X_{16} = A_n \cdot 16^{n-1} + A_{n-1} \cdot 16^{n-2} + A_{n-2} \cdot 16^{n-3} + ... + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Рисунок 3. Таблица 3

Пример 3

Число $FFA2_{16}$ перевести в десятичную систему счисления.

Решение. Используя приведенную таблицу $3$ степеней основания $8$, представим число в виде многочлена:

$FFA2_{16} = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_{10}$

Правила перевода чисел из десятичной системы счисления в другую

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную его необходимо последовательно делить на $2$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $1$. Число в двоичной системе представить как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 4

Число $22_{10}$ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

Рисунок 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в восьмеричную его необходимо последовательно делить на $8$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $7$. Число в восьмеричной системе счисления представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 5

Число $571_{10}$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Для перевода числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на $16$ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный $15$. Число в шестнадцатеричной системе представить как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример 6

Число $7467_{10}$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Рисунок 6.

$7467_{10} = 1D2B_{16}$

Для того чтобы перевести правильную дробь из десятичной системы счисления в недесятичную, необходимо дробную часть преобразуемого числа последовательно умножить на основание той системы, в которую ее требуется перевести. Дробь в новой системе будет представлена в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Например: $0,3125_{(10)}$ в восьмеричной системе счисления будет выглядеть как $0,24_{(8)}$.

В данном случае можно столкнуться с проблемой, когда конечной десятичной дроби может соответствовать бесконечная (периодическая) дробь в недесятичной системе счисления. В данном случае количество знаков в дроби, представленной в новой системе, будет зависеть от требуемой точности. Также нужно отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.

Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в другую

• Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, его необходимо разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, затем каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.

Рисунок 7. Таблица 4

Пример 7

Число $1001011_2$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение . Используя таблицу 4, переведем число из двоичной системы счисления в восьмеричную:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его следует разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, затем каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой согласно таблице 4.

Использование привычной всем десятичной системы в компьютерной документации и программировании очень неудобно. Преобразования из двоичной в десятичную системы и обратно - весьма трудоемкие процессы.

Происхождение восьмеричной системы, так же как и десятичной, связывают со счетом на пальцах. Но считать нужно не пальцы, а промежутки между ними. Их как раз восемь.

Решением проблемы стала восьмеричная . По крайней мере на заре компьютерной техники. Когда разрядность процессоров была невелика. Восьмеричная система позволила с легкостью переводить как двоичные числа в восьмеричные, так и наоборот.

Восьмеричная система счисления - система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Преобразование

Во всех системах счисления, кроме десятичной, знаки читаются по одному. Например, в восьмеричной системе число 610 произносится «шесть, один, ноль».

Видео по теме

У компонентов электронных машин, к которым относятся и компьютеры, есть только два различимых состояния: есть ток и нет тока. Их обозначают "1" и "0" соответственно. Поскольку таких состояний только два, многие процессы и операции в электронике можно описать с помощью двоичных чисел.

Инструкция

Делим десятичное число на два до тех пор, пока не получим неделимый на два остаток. На шаге получим остаток 1 (если число было нечетным) или 0 (если делимое делится на два без остатка). Все эти остатки обязательно должны быть учтены. Последнее частное, полученное в результате такого пошагового деления, всегда будет единицей.
Записываем последнюю единицу в старший разряд искомого двоичного , а полученные в процессе остатки записываем за этой единицей в обратном порядке. Здесь надо быть внимательным и не пропускать нули.
Таким образом, числу 235 в двоичном коде будет соответствовать число 11101011.

Теперь переведем в двоичную систему счисления дробную часть десятичного числа. Для этого последовательно умножаем дробную часть числа на 2 и фиксируем целые полученных . Эти целые части дописываем к полученному в предыдущем шаге числу после двоичной в прямом порядке.
Тогда десятичному дробному числу 235.62 соответствует двоичное дробное 11101011.100111.

Видео по теме

Обратите внимание

Двоичная дробная часть числа будет конечной, только если дробная часть исходного числа конечна и заканчивается на 5. Простейший случай: 0.5 х 2 = 1, следовательно 0.5 в десятичной системе - это 0.1 в двоичной.

Источники:

• Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления в 2019

Совет 4: Как перевести в десятичную систему двоичные числа

Двоичная или бинарная система счисления применяется для отображения электронной информации. Любое число можно записать в двоичном виде. Двоичная система используется во всех вычислительных машинах. Каждая запись в них кодируется по определенным правилам с помощью набора двух символов: 0 и 1. Перевести двоичное число в его десятичное представление, более удобное пользователю, можно с помощью разработанного алгоритма.

Инструкция

Представьте число в виде записи степеней по 2. Для этого все восемь цифр последовательно умножаем на число 2, возведенное в . Степень должна соответствовать разряду цифры. Разряд считается от нуля, начиная с младшего, самого правого символа двоичного числа . Все восемь составленных произведений запишите в .

Совет 5: Как записывать десятичное число в двоичной системе счисления

Десятичная система счисления – одна из самых распространенных в математической теории. Однако с появлением информационных технологий, двоичная система получила не менее широкое распространение, поскольку она является основным способом представления информации в компьютерной памяти.

Инструкция

Преобразование из десятичной системы в двоичную реализуется как для целых чисел, так и для дробных. Перевод целого десятичного числа производится методом последовательного деления его на 2. При этом количество итераций (действий) увеличивается до тех пор, пока частное не станет равно нулю, а итоговое двоичное число записывается в виде полученных остатков справа налево.

Например, преобразования числа 19 выглядит так:19/2 = 18/2 + 1 = 9, в остатке – 1, пишем 1;9/2 = 8/2 + 1 = 4, в остатке – 1, пишем 1;4/2 = 2, остаток отсутствует, пишем 0;2/2 = 1, остаток отсутствует, пишем 0;1/2 = 0 + 1, в остатке – 1, пишем 1.Итак, после метода последовательного деления к числу 19 получилось двоичное число 10011.

В повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, знакомой нам еще со школьной скамьи. Однако помимо нее, существует и множество других систем. Как записывать цифры не в десятичной, а, например, в ?

Как перевести в двоичную любое число из десятичной системы

Необходимость перевести десятичное число в двоичный вид выглядит пугающей только на первый взгляд. На самом деле это довольно просто - необязательно искать даже онлайн-сервисы для совершения операции.

• Для образца возьмем число 156, записанное в привычной нам десятичной форме, и попробуем перевести его в двоичный вид.
• Алгоритм будет выглядеть следующим образом - начальное число понадобится разделить на два, затем еще раз на 2, и еще раз на 2 до тех пор, пока в ответе не останется единица.
• При совершении деления для перевода в двоичный код имеют значения не целые числа - а остатки. Если при делении в ответе получилось четное число, то остаток записывается в виде цифры 0, если нечетное - то в виде цифры 1.
• На практике можно легко убедиться, что начальный двоичный ряд остатков для числа 156 будет выглядеть следующим образом - 00111001. Для того, чтобы превратить его в полноценный двоичный код, этот ряд понадобится записать в обратном порядке - то есть, 10011100.

Двоичное число 10011100, полученное в результате нехитрой операции, и будет двоичным выражением числа 156.

Ещё один пример, но уже на картинке

Перевод двоичного числа в десятичную систему

Обратный перевод - из двоичной в десятичную систему - может показаться чуть более сложным. Но если использовать простой метод удвоения, то и с этой задачей получится справиться за пару минут. Для примера возьмем все то же число, 156, но в двоичном виде - 10011100.

• Метод удвоения основан на том, что при каждом шаге вычисления берут так называемый предыдущий итог и прибавляют к нему следующую цифру.
• Поскольку на первом шаге предыдущего итога еще не существует, здесь всегда берут 0, удваивают его и прибавляют к нему первую цифру выражения. В нашем примере это будет 0 * 2 + 1 = 1.
• На втором шаге мы уже располагаем предыдущим итогом - он равен 1. Это цифру нужно удвоить, а потом прибавить к ней следующую по порядку, то есть - 1 * 2 + 0 = 2.
• На третьем, четвертом и последующем шагах все так же берутся предыдущие итоги и складываются с последующей цифрой в выражении.

Когда в двоичной записи останется только одна последняя цифра, и прибавлять больше будет нечего, операция будет завершена. При помощи нехитрой проверки можно убедиться, что в ответе получится нужное десятичное число 156.