تقریب عناصر غیر خطی تقریب خصوصیات غیرخطی تقریب ویژگی های عناصر غیر خطی

تبدیل سیگنال به غیر خطی

مهندسی رادیو زنجیر

اکثر فرآیندها (تقویت سیگنال غیرخطی، مدولاسیون،

دمودولاسیون، محدودیت، تولید، ضرب، تقسیم و انتقال فرکانس، و غیره) مرتبط با تبدیل طیف سیگنال ها، با استفاده از مدارهای غیر خطی و پارامتری انجام می شود. در مدارهای غیرخطی، پارامترهای عناصر به اعمال ورودی بستگی دارد و فرآیندهای رخ داده در آنها با معادلات دیفرانسیل غیرخطی توصیف می‌شوند. در این مورد، اصل برهم نهی در مورد آنها صدق نمی کند. این زنجیره ها بسیار متنوع هستند و بنابراین روش های کلی برای تجزیه و تحلیل آنها وجود ندارد.

ما تجزیه و تحلیل مدارهای غیر خطی را به در نظر گرفتن کلاس معین آنها محدود می کنیم. اینها مدارهای رادیویی هستند که تجزیه و تحلیل آنها عمدتاً با استفاده از مشخصات جریان-ولتاژ عناصر غیر خطی انجام می شود. یک موقعیت میانی بین مدارهای خطی و غیرخطی توسط مدارهای پارامتری اشغال می شود که خطی هستند و اصل برهم نهی در آنها اعمال می شود. با این حال، فرکانس های جدید ممکن است در طیف سیگنال خروجی چنین مدارهایی ظاهر شوند. مدارهای پارامتریک با معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر (به عنوان مثال وابسته به زمان) توصیف می شوند. نظریه این معادلات پیچیده تر از نظریه معادلات خطی با ضرایب ثابت است. برخی از مدارهای پارامتری در یک رژیم اساسا غیر خطی عمل می کنند. این امکان ترکیب روش‌شناختی مدارهای پارامتری با مدارهای غیرخطی را فراهم می‌کند، به ویژه از آنجایی که نتیجه پردازش سیگنال با تبدیل طیف آن همراه است.

تقریب ویژگی های عناصر غیر خطی

در حالت کلی، تجزیه و تحلیل فرآیند تبدیل سیگنال در مدارهای غیرخطی کار بسیار دشواری است که با مشکل حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی همراه است. در این مورد، اصل برهم نهی قابل اجرا نیست، زیرا پارامترهای یک مدار غیر خطی تحت تأثیر یک منبع سیگنال ورودی با پارامترهای آن در هنگام اتصال چندین منبع متفاوت است. با این حال، مطالعه مدارهای غیرخطی را می توان با روش های نسبتا ساده انجام داد، اگر عنصر غیر خطی (NE) شرایط بی اینرسی را داشته باشد. از نظر فیزیکی، اینرسی NE به معنای برقراری آنی یک پاسخ در خروجی آن به دنبال تغییر در عملکرد ورودی است. به بیان دقیق، عملا هیچ نوع اینرسی (مقاومتی، یا اهمی، یعنی فقط جذب انرژی سیگنال ورودی) وجود ندارد. همه عناصر غیر خطی - دیودها، ترانزیستورها، ریز مدارهای آنالوگ و دیجیتال - دارای خواص اینرسی هستند. در عین حال، دستگاه های نیمه هادی مدرن از نظر پارامترهای فرکانسی کاملاً عالی هستند و می توان آنها را از نقطه نظر عدم اینرسی ایده آل کرد.

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی با معادلات دیفرانسیل غیرخطی توصیف می‌شوند، در این سیستم‌ها لزوماً غیرخطی بودن وجود دارد. یک مدار غیر خطی را می توان نه تنها با عناصر تشکیل دهنده آن، بلکه با ویژگی های خارجی تعیین کرد، که با یک سیگنال ورودی هارمونیک، شامل موارد زیر است:

ü تفاوت از شکل سینوسی سیگنال خروجی.

ظهور در طیف نوسان خروجی هارمونیک سیگنال ورودی؛

ü غیر خطی بودن مشخصه دامنه انتقال.

ü وابستگی فاز سیگنال تقویت شده به دامنه.

روش های زیر برای تجزیه و تحلیل مدارهای غیر خطی شناخته شده است و زمانی که سیگنال های قطعی از آنها عبور می کنند استفاده می شود:

Ø خطی سازی ویژگی های یک عنصر غیر خطی (NE) در

فیلتر کردن هارمونیک های بالاتر سیگنال در خروجی مدار؛

Ø تحلیلی، به عنوان یک قاعده، روش های تقریبی حل سیستم

معادلات غیر خطی که عملکرد دستگاه را توصیف می کند.

Ø طیفی، تخمین خواص غیرخطی مدار از طیف

سیگنال خروجی؛

Ø روش های عددی برای حل یک سیستم معادلات غیر خطی با

با استفاده از کامپیوتر؛

متداول ترین روش مورد استفاده، تجزیه و تحلیل مدارهای غیر خطی است که بر اساس خطی شدن ویژگی های NE هنگام فیلتر کردن هارمونیک های بالاتر سیگنال در خروجی مدار است.

خطی سازی (از لات. خطی - خطی) - روش تقریبی

نمایش سیستم های غیرخطی بسته، که در آن مطالعه می شود

سیستم غیر خطی با تجزیه و تحلیل یک سیستم خطی جایگزین می شود که به نوعی معادل سیستم اصلی است. روش‌های خطی‌سازی محدود هستند، یعنی هم ارزی سیستم غیرخطی اولیه و تقریب خطی آن تنها تحت یک "حالت" معینی از سیستم حفظ می‌شود، و اگر سیستم از یک حالت عملکرد به حالت دیگر تغییر کند، مدل خطی آن نیز باید باشد. تغییر یافته. در عین حال، با استفاده از خطی‌سازی، می‌توان به بسیاری از ویژگی‌های کمی و کیفی یک سیستم غیرخطی پی برد.

به عنوان مثالی از مدارهای غیر خطی، یا بهتر بگوییم عناصر، می توان به یک دیود یکسو کننده نیمه هادی اشاره کرد که تنها امواج نیمه سینوسی تک قطبی (مثبت یا منفی) را از یک سیگنال سینوسی به جا می گذارد، یا ترانسفورماتوری که هسته آن از میدان مغناطیسی اشباع شده است. ، این با ظهور هارمونیک های فرکانس بنیادی همراه است و گاهی اوقات فرکانس هایی که مضرب فرکانس اساسی هستند، ساب هارمونیک ها).

هنگام استفاده از روش خطی سازی، تجزیه و تحلیل مسیر سیگنال

از طریق یک مدار غیر خطی نسبتا آسان برای پیاده سازی اگر غیر خطی است

المان شرایط عدم اینرسی را دارد. از نظر فیزیکی، غیر اینرسی یک عنصر غیر خطی (NE) به معنای تغییر لحظه ای در پاسخ در خروجی آن به دنبال تغییر در عمل ورودی است. به بیان دقیق، عملا هیچ NE اینرسی (مقاومتی، یا اهمی، یعنی جذب کننده انرژی سیگنال) وجود ندارد. همه NE ها - دیودها، ترانزیستورها، ریزمدارها، دستگاه های خلاء و غیره - دارای خواص اینرسی هستند. در عین حال، دستگاه های نیمه هادی مدرن از نظر پارامترهای فرکانس کاملاً کامل هستند و می توان آنها را از نقطه نظر عدم اینرسی ایده آل کرد.

اکثر مدارها و دستگاه های رادیویی غیر خطی با بلوک دیاگرام نشان داده شده در شکل 1 تعیین می شوند.

عکس. 1. نمودار ساختاری یک دستگاه غیر خطی

طبق این طرح، سیگنال ورودی مستقیماً بر عنصر غیر خطی تأثیر می گذارد که فیلتر به خروجی آن متصل است (مدار خطی).

در این موارد، فرآیند در مدار غیرخطی رادیویی الکترونیکی را می توان با دو عملیات مستقل از یکدیگر مشخص کرد.

در نتیجه اولین عملیات، عنصر غیرخطی بدون اینرسی دچار چنین تغییر شکل سیگنال ورودی می شود که در آن اجزای هارمونیک جدید در طیف آن ظاهر می شوند. عملیات دوم توسط فیلتری انجام می شود که اجزای طیفی مورد نظر سیگنال ورودی تبدیل شده را انتخاب می کند. با تغییر پارامترهای سیگنال های ورودی و استفاده از عناصر و فیلترهای غیر خطی مختلف، می توان تبدیل مورد نیاز طیف را انجام داد. بسیاری از طرح‌های تعدیل‌کننده، آشکارساز، خود نوسانگر، یکسوکننده، ضرب‌کننده، تقسیم‌کننده و مبدل فرکانس به چنین مدل نظری مناسبی کاهش می‌یابد.

به عنوان یک قاعده، مدارهای غیر خطی با یک رابطه پیچیده بین سیگنال ورودی و پاسخ خروجی مشخص می شوند که به طور کلی می توان آن را به صورت زیر نوشت:

در مدارهای غیر خطی با NE های بی اینرسی، راحت ترین حالت در نظر گرفتن ولتاژ ورودی به عنوان ضربه و جریان خروجی به عنوان پاسخ است که رابطه بین آن توسط یک وابستگی عملکردی غیرخطی تعیین می شود:

...................... (1)

این نسبت می تواند به صورت تحلیلی مشخصه معمول جریان-ولتاژ NE را نشان دهد. هر دو شبکه دو ترمینالی غیر خطی (دیود نیمه هادی) و شبکه چهار پایانه غیر خطی (ترانزیستور، آپمپ، میکرو مدار دیجیتال) که در حالت غیر خطی در دامنه های سیگنال ورودی مختلف کار می کنند، این ویژگی را دارند. مشخصه های جریان-ولتاژ (برای عناصر غیر خطی که به صورت تجربی به دست می آیند) اکثر NE ها شکل پیچیده ای دارند، بنابراین نمایش آنها با عبارات تحلیلی کار نسبتاً دشواری است. به عنوان یک قاعده، اگر کاهش خطاهای محاسباتی و پیچیدگی متناظر سیستم ها تأثیر محسوسی در افزایش دقت پردازش داده ها نداشته باشد، طراحی سیستم هایی برای تجزیه و تحلیل و پردازش سیگنال ها با استفاده از فرمول های با دقت بالا منطقی نیست. تحت همه این شرایط، مشکل تقریب به وجود می آید - نمایش توابع پیچیده اصلی با استفاده ساده و راحت برای استفاده عملی توابع نسبتاً ساده (یا مجموعه ای از آنها) به گونه ای که انحراف از ناحیه آن انتساب با توجه به یک معیار تقریبی خاص کوچکترین است. توابع را توابع تقریبی می نامند. یافتن یک تابع تحلیلی از مشخصه تجربی جریان-ولتاژ یک عنصر غیرخطی را تقریب می نامند.

در مهندسی رادیو و تئوری انتقال اطلاعات، از چندین روش برای تقریب ویژگی های NE استفاده می شود - توان، نمایی، خطی تکه ای (خط شکسته خطی). س m تقریب خطی چند جمله ای و تکه ای توابع مختلط.

تقریب ویژگی های IV توسط یک چند جمله ای توان

این نوع تقریب به ویژه برای دامنه‌های سیگنال ورودی کوچک (معمولاً کسری از ولت) در مواردی که مشخصه NE شکل یک منحنی صاف دارد، مؤثر است. منحنی و مشتقات آن پیوسته هستند و پرش ندارند. اغلب، هنگام تقریب، از سری تیلور به عنوان چند جمله ای توان استفاده می شود:

کجا ضرایب ثابت هستند.

- مقدار ولتاژی که نسبت به آن انبساط به صورت سری انجام می شود و نامیده می شود نقطه کار

ضرایب ثابت سری تیلور با فرمول شناخته شده تعیین می شود

. .................. (3)

بسته به دقت تقریبی مورد نیاز، تعداد بهینه عبارت‌ها در مجموعه گرفته می‌شود. هر چه تعداد اعضای مجموعه بیشتر انتخاب شود، تقریب دقیق تر است. تقریب مشخصه ها معمولاً می تواند با یک چند جمله ای که بالاتر از درجه دوم یا سوم نباشد کاملاً دقیق انجام شود. برای یافتن ضرایب مجهول سری (2)، باید محدوده، چندین مقدار ولتاژ ممکن و موقعیت نقطه کار را در این محدوده تنظیم کرد. اگر تعیین ضرایب سری لازم باشد، در یک مشخصه داده شده، نقاط با مختصات آنها انتخاب می شوند. برای ساده کردن محاسبات، یک نقطه با یک نقطه کاری دارای مختصات ترکیب می شود. دو نقطه دیگر در مرزهای محدوده انتخاب شده و . نقاط باقی مانده به صورت دلخواه مرتب شده اند، اما با در نظر گرفتن اهمیت بخش تقریبی CVC. با جایگزین کردن مختصات نقاط انتخاب شده به فرمول (2) سیستم معادلات تشکیل می شود که با توجه به ضرایب شناخته شده سری تیلور حل می شود.

2.7.1 مدارهای غیرخطی و تقریب ویژگی های عناصر غیرخطی

همه زنجیره هایی که تاکنون در نظر گرفته شده است، متعلق به کلاس سیستم های خطی بود. عناصر چنین زنجیره ای R، L و C ثابت و مستقل از قرار گرفتن در معرض هستند.مدارهای خطی با معادلات دیفرانسیل خطی توصیف می شوندبا ضرایب ثابت

اگر عناصر مدار الکتریکی R، L و C به تاثیر بستگی دارد، آن زنجیره با یک غیر خطی توصیف می شودمعادله دیفرانسیل وغیر خطی استمثلا، برای نوسانی RLC - مداری که مقاومت آن به ولتاژ بستگی دارد u c، دریافت می کنیم:

. (1)

چنین مدار نوسانیغیر خطی استعنصر یک مدار الکتریکی که پارامترهای آنبستگی به تأثیر دارد، غیر خطی نامیده می شود. عناصر غیر خطی مقاومتی و واکنشی وجود دارد.

برای مقاومتی غیر خطیعنصر مشخصه استاتصال غیر خطیبین جریان i و ولتاژ u، یعنی، مشخصه غیر خطی i = F(u). رایج ترین عناصر غیر خطی مقاومتی دستگاه های لوله و نیمه هادی هستند که برای تقویت و تبدیل سیگنال ها استفاده می شوند. برشکل 12.1 نشان می دهد مشخصه IV یک عنصر غیر خطی معمولی(دیود نیمه هادی).

برای عناصر غیر خطی مقاومتیپارامتر مهم است مقاومت آنها،که برخلاف خطیمقاومت ها ثابت نیست، اما بستگی به این دارد که در چه نقطه ای از CVC تعیین می شود.

شکل 12.1 - CVC یک عنصر غیر خطی

طبق CVC عنصر غیر خطیمقاومت قابل تعیین است.چگونه

(2)

جایی که U 0 - به یک عنصر غیر خطی اعمال می شودفشار ثابت;

I 0 = F (U 0 ) از طریق زنجیره جریان می یابدجریان مستقیم . این مقاومت DC (یا استاتیک) است. بستگی به ولتاژ اعمال شده دارد.

اجازه دهید عنصر غیر خطی تحت تأثیر قرار می گیردولتاژ u \u003d U 0 + U m cos w t و دامنه U m ، جزء متغیر کافی استکوچک (شکل 12.2)، به طوری که یکی بخش کوچکی از مشخصه I-V که در آن یک ولتاژ متناوب عمل می کند را می توان خطی در نظر گرفت. سپس جریان. جریان از طریق یک عنصر غیر خطی،ولتاژ را به شکل تکرار می کند: i \u003d I 0 + I m cos w t.

بیایید مقاومت را تعریف کنیم R تفاوت مانند نسبت دامنه ولتاژ AC U m به دامنه ACمن هستم (در نمودار، این نسبت افزایش ولتاژ است D u به افزایش فعلید من):

(3)

شکل 12.2 - اثر یک سیگنال هارمونیک کوچک بر روی یک عنصر غیر خطی

این مقاومت دیفرانسیل (دینامیک) نامیده می شودو نمایندگی می کندمقاومت یک عنصر غیر خطی در برابر جریان متناوب با دامنه کوچک.معمولا برو به حداین افزایش و تعیین کنیدمقاومت دیفرانسیل در فرمتفاوت R \u003d du/di.

دستگاه هایی که دارای مقاطع سقوط بر روی مشخصه I-V هستند، دستگاه هایی با مقاومت منفی نامیده می شوند، زیرا در این بخش ها مشتقات di/du< 0 и du/di < 0.

عناصر راکتیو غیر خطی شامل ظرفیت خازنی غیر خطی و اندوکتانس غیر خطی هستند. نمونه ای از ظرفیت خازن غیر خطی هر دستگاهی است که دارای مشخصه ولت کولن غیر خطی باشد. q = F(u) (مثلاً واریکوند و واریکاپ). اندوکتانس غیر خطی یک سیم پیچ با هسته فرومغناطیسی است که با جریان قوی در اطراف جریان دارد و هسته را به اشباع مغناطیسی می رساند.

یکی از مهمترین ویژگی های مدارهای غیر خطیآن استآنها انجام نمی شونداصل همپوشانیاز همین رو پیش بینی نتیجه عمل مجموع سیگنال ها غیرممکن است اگر واکنش های مدار به هر ترم عمل مشخص باشد.از آنچه گفته شد برمی آیدنامناسب بودن برای تحلیل مدارهای غیرخطی زمان و روش های طیفی،در تئوری مدارهای خطی استفاده می شود.

در واقع، اجازه دهید ویژگی های ولت آمپر(CVC) یک عنصر غیر خطی با عبارت توصیف می شود i = a u 2 . اگر در چنین عنصر سیگنال پیچیده را اجرا می کند u = u 1 + u 2، سپس پاسخ i = a (u 1 + u 2 ) 2 = a u 1 2 + a u 2 2 + 2 a u 1 u 2 با مجموع پاسخ ها به عمل هر جزء به طور جداگانه متفاوت است(a u 1 2 + a u 2 2 ) وجود یک جزء 2 a u 1 u 2 که تنها در صورت عمل همزمان هر دو جزء ظاهر می شود.

دومی را در نظر بگیریدویژگی متمایز مدارهای غیر خطی. اجازه دهید u = u 1 + u 2 = U m1 cos w 0 t + U m2 cos W t،

که در آن U m1 و U m2 - دامنه استرس u 1 و u 2 .

سپس جریان در یک عنصر غیر خطیبا CVC i \u003d a u 2 به نظر می رسد:

(4)

شکل 12.3 طیف ها را ترسیم می کند ولتاژ و جریان همهاجزای طیفی جریان جدید هستند، نه در تنش برگزار شد بدین ترتیب،اجزای طیفی جدید در مدارهای غیر خطی ظاهر می شوند. از این نظر، مدارهای غیر خطی پتانسیل بسیار بیشتری نسبت به مدارهای خطی دارند و به طور گسترده برای تبدیل سیگنال مربوط به تغییر طیف آنها استفاده می شود.

هنگام مطالعه نظریه مدارهای غیر خطیمی توان دستگاه عنصر غیر خطی را نادیده گرفتو فقط به ویژگی های خارجی آن تکیه می کنند، همانطور که هنگام مطالعه تئوری مدارهای خطی، دستگاه مقاومت خازن ها و سیم پیچ ها را در نظر نمی گیرند و فقط از پارامترهای آنها استفاده می کنند. R، L و C.

شکل 12.3 - طیف ولتاژ و جریان یک عنصر غیر خطی درجه دوم

تصویری از اثر نشان داده شده بر روی یک دیود نیمه هادی واقعی

2.7.2 تقریب خصوصیات عناصر غیر خطی

معمولا، CVC عناصر غیر خطی i = F(u) تجربی به دست آمده است.بنابراین اغلبآنها در قالب جداول یا نمودار آورده شده اند. به با عبارات تحلیلی برخورد کنید، حساب برای توسل به تقریب

مشخص کن جدول داده شده استیا به صورت گرافیکی CVC یک عنصر غیر خطی i = F V (u)، و تابع تحلیلی، آ تقریبیمشخصه داده شده، i = F(u، a 0، a 1، a 2، …، a N). که در آن 0، a 1، …، a N ضرایب این تابع هستند، یافت می شوددر نتیجه تقریب.

الف) در روش چبیشفضرایب a 0 , a 1 , … , a N تابع F(u) از شرط زیر بدست می آید:

, (5)

یعنی آنها در فرآیند به حداقل رساندن حداکثر انحراف تابع تحلیلی از تابع داده شده تعیین می شوند.در اینجا u k، k = 1، 2، ...، G مقادیر ولتاژ انتخاب شدهتو

با تقریب ریشه میانگین مربعضرایب a 0 , a 1 , …, a N باید باشد برای به حداقل رساندن ارزش

(6)

ب) تقریب تیلور یک تابعبر اساس نمایندگیتوابع i = F(u) نزدیک تیلور در مجاورت نقطه u = U 0 :

(7)

و تعیین ضرایباین تجزیه اگر خود را به دو دوره اول گسترش محدود کنیمدر یک سری تیلور، سپس در مورد جایگزینی وابستگی غیرخطی پیچیده صحبت خواهیم کرد F(u) ساده تر است وابستگی خطی. چنین جایگزینی، خطی سازی ویژگی ها نامیده می شود.

اولین مدت گسترش F(U 0 ) = I 0 نشان می دهدجریان مستقیم در نقطه عملیاتیبرای u = U 0 و جمله دوم

- (8)

شیب دیفرانسیل مشخصه جریان-ولتاژ در نقطه عملیاتی، یعنی برای u = U 0.

ب) بیشتر سلامعملکرد داده شدهدرون یابی است(روش امتیازهای انتخابی)،که در آن ضرایب a 0 , a 1 , …, a N تابع تقریبی F(u) از برابری این تابع و داده شده به دست می آیند F x (u) در نقاط انتخاب شده(گره های درون یابی) u k = 1، 2، ...، N+1.

ه) توان (چند جمله ای ) تقریب این نام را گرفتتقریب CVC توسط چند جمله ای توان:

(9)

گاهی حل مشکل تقریب راحت استمشخصه داده شدهدر مجاورت نقطه U 0، به نام کار کردن. سپس از یک چند جمله ای توان استفاده کنید

(10)

تقریب توانوسیع در تجزیه و تحلیل استفاده می شودکار غیر خطیدستگاه هایی که تغذیه نسبی دارندتأثیرات خارجی کوچک، از همین رو یک بازتولید به اندازه کافی دقیق از غیر خطی بودن مشخصه مورد نیاز استدر مجاورت نقطه عملیاتی

ه) تقریب خطی تکه ای.در مواردی کهیک عنصر غیر خطی تحت تنش هایی با دامنه های بزرگ قرار می گیرد،می تواند بیشتر اجازه دهدجایگزینی تقریبی مشخصه یک عنصر غیر خطیو بیشتر استفاده کنید توابع تقریب ساده. اغلب اوقات هنگام تجزیه و تحلیل عملکرد یک عنصر غیر خطیدر این حالت، واقعی است مشخصه جایگزین می شودبخش هایی از خطوط مستقیم با شیب های مختلف.

از نقطه نظر ریاضی، این بدان معنی است که چند جمله ای های توان درجه اول در هر بخش جایگزین شده از مشخصه استفاده می شود ( N=1 ) با ضرایب مختلف a 0، a 1، …، a N.

بدین ترتیب، وظیفه تقریب CVC عناصر غیرخطی انتخاب نوع تابع تقریبی و تعیین ضرایب آن است.یکی از روش های بالا

اثر یک سیگنال هارمونیک بر مدار با یک عنصر غیر خطی

هنگام مطالعه خواص مدارهای الکتریکی، به عنوان یک قاعده، می توان از پدیده هیسترزیس غفلت کرد. فقط هنگام مطالعه مدارهای مبتنی بر این پدیده (به عنوان مثال، عملکرد دستگاه های ذخیره مغناطیسی با یک حلقه پسماند مستطیلی)، پسماند باید در نظر گرفته شود.

روی انجیر 15.11، اما یک مشخصه متقارن معمولی y \u003d f (x) نشان داده شده است.

برای یک اندوکتانس غیر خطی، نقش x با مقدار لحظه ای القاء بازی می کند؛ نقش y مقدار لحظه ای شدت میدان H است. برای خازن غیر خطی، y ولتاژ است - بار q . برای مقاومت های غیر خطی (به عنوان مثال، مقاومت های تیریت)، نقش x توسط ولتاژ، y توسط جریان بازی می شود.

تعداد زیادی عبارات تحلیلی مختلف وجود دارد که کم و بیش برای توصیف تحلیلی ویژگی های عناصر غیرخطی مناسب هستند. هنگام انتخاب مناسب ترین عبارت تحلیلی برای تابع y \u003d f (x)، نه تنها از این واقعیت است که منحنی توصیف شده توسط عبارت تحلیلی باید با تمام نقاطش به اندازه کافی به منحنی به دست آمده تجربی در محدوده مورد انتظار نزدیک باشد. از جابجایی های نقطه عملیاتی روی آن، اما امکاناتی را که عبارت تحلیلی انتخاب شده در هنگام تجزیه و تحلیل خواص مدارهای الکتریکی ارائه می دهد، در نظر بگیرید.

در آینده، برای توصیف تحلیلی ویژگی های متقارن با توجه به نوع شکل. 15.11، اما ما از سینوس هذلولی استفاده خواهیم کرد:

در این عبارت - ضرایب عددی؛ و در آن واحدها بیان می شود که - در واحدهای متقابل واحدها، به طوری که محصول یک کمیت بدون بعد باشد. برای تعیین ضرایب مجهول، باید به طور دلخواه دو نقطه مشخصه را انتخاب کرد که منحنی تحلیلی باید از وابستگی به دست آمده تجربی y \u003d f (x) در محدوده عملیاتی مورد نظر عبور کند، مختصات این نقاط را در معادله (15.1) جایگزین کرد. ) و سپس سیستم دو معادله را با دو مجهول حل کنید.

مختصات این نقاط را بگذارید (شکل 15.11، a). سپس

نگرش

برای تعیین ضریب از معادله ماورایی (15.2) استفاده می شود. از این رو،

مثال 147. منحنی مغناطیسی فولاد ترانسفورماتور در شکل نشان داده شده است. 15.11، ب. ضرایب a و را پیدا کنید.

راه حل. دو نقطه از منحنی را انتخاب کنید:

طبق رابطه (15.2) مقادیر دلخواه را تنظیم کرده و محاسبات را انجام می دهیم:

بر اساس نتایج محاسبات، منحنی می سازیم و از آن پیدا می کنیم. بعد تعریف می کنیم

منحنی نقطه چین در شکل. 15.11، b مطابق معادله ساخته شده است. § 15.14. مفهوم توابع بسل در تجزیه و تحلیل مدارهای غیر خطی، از توابع بسل به طور گسترده استفاده می شود که حل معادله بسل است.

توابع بسل با سری های توانی بیان می شوند و جداول برای آنها کامپایل می شود. تابع بسل یک آرگومان با نشان داده می شود، که در آن ترتیب تابع بسل است. عبارت کلی برای در قالب یک سری توان را می توان به صورت زیر نوشت:

جدول 15.1

شکل 6.3

اولین خانواده از ویژگی ها در (6.1) ورودی نامیده می شود، دومی - ویژگی های خروجی (فرض می شود که قطب 1 به عنوان ورودی یک عنصر غیر خطی و قطب 2 - به عنوان خروجی عمل می کند). یک نمای کلی از مشخصات ورودی ترانزیستور در شکل 6 نشان داده شده است. 3، b، خروجی - در شکل 6. 3، c. از آنجایی که خانواده سوم در (6.2) اثر ولتاژ خروجی را بر ورودی مشخص می کند، آن را مشخصه بازخورد ولتاژ می نامند. خانواده چهارم مشخصه های انتقال جریان مستقیم یا از طریق مشخصه ها هستند.

مانند دو قطبی غیر خطی، عناصر سه قطبی در حالت سیگنال "کوچک" به خوبی با پارامترهای دیفرانسیل توصیف می شوند که می تواند با متمایز کردن ویژگی های استاتیکی تعیین شود. بنابراین، از خانواده اول، پارامتر را می توان یافت

که امپدانس ورودی دیفرانسیل نامیده می شود. خانواده 2 به شما امکان می دهد رسانایی خروجی دیفرانسیل را پیدا کنید

با کمک مدارهای غیر خطی تعدادی از مسائل که برای تمرین بسیار مهم هستند حل می شوند. بیایید به برخی از آنها توجه کنیم.

1. AC را به DC تبدیل کنید. دستگاه هایی که چنین تبدیلی را اجرا می کنند یکسو کننده نامیده می شوند.

2. DC را به AC تبدیل کنید. این دستگاه با استفاده از دستگاه هایی تولید می شود که در مهندسی رادیو اتوژنراتور و در الکترونیک صنعتی اینورتر نامیده می شوند.

3. ضرب فرکانس، یعنی به دست آوردن ولتاژی در خروجی دستگاه که فرکانس آن چندین برابر فرکانس سیگنال ورودی است. این تابع در ضریب های فرکانس پیاده سازی می شود.

4. مبدل های فرکانس - تغییر فرکانس موج حامل بدون تغییر نوع و ماهیت مدولاسیون.

5. اجرای انواع مدولاسیون; دستگاه هایی که امکان مدولاسیون را فراهم می کنند، مدولاتور نامیده می شوند.

6. دمدولاسیون سیگنال ها، یعنی انتخاب سیگنال کنترل فرکانس پایین از نوسان فرکانس بالا. دستگاه هایی که دمدولاسیون را انجام می دهند دمدولاتور یا آشکارساز نامیده می شوند.

7. تثبیت ولتاژ یا جریان، یعنی به دست آوردن ولتاژ یا جریانی در خروجی دستگاه که عملاً با تغییر ولتاژ ورودی و مقاومت بار در یک محدوده وسیع، مقدار آن تغییر نمی کند.

8. تبدیل شکل موج. به عنوان مثال، ولتاژ از شکل موج سینوسی به شکل موج مستطیلی.

9. افزایش قدرت سیگنال.

10. تبدیل و ذخیره سیگنال های گسسته.

تقریب خصوصیات غیر خطی

همانطور که در بخش قبل ذکر شد، شکل تحلیلی نمایش ویژگی های استاتیکی عناصر غیر خطی برای استفاده عملی راحت ترین است. به عنوان یک قاعده، یکی از دو رویکرد برای به دست آوردن یک توصیف تحلیلی از ویژگی ها استفاده می شود. اولین مورد شامل انجام تجزیه و تحلیل فرآیندهای فیزیکی است که در عنصر مورد بررسی اتفاق می‌افتد، معادلات توصیف‌کننده این فرآیندها را جمع‌آوری می‌کند، و سپس با حل معادلات فرمول‌شده، به جستجوی یک عبارت تحلیلی برای یک مشخصه استاتیک می‌پردازد. مزیت این رویکرد این است که روابط حاصل با پارامترهایی مشخص می شود که معنای فیزیکی خاصی دارند. با این حال، این رویکرد همچنین دارای اشکالات قابل توجهی است. اول، اطلاعات به اندازه کافی قابل اعتماد در مورد فرآیندهای فیزیکی رخ داده در عنصر مورد نیاز است. ثانیاً، معادلات توصیف کننده فرآیندهای داخلی در عناصر واقعی، به عنوان یک قاعده، نسبتاً پیچیده هستند؛ حل تحلیلی آنها تنها با معرفی مفروضات ساده کننده قابل توجه امکان پذیر است. در نتیجه، بیان تحلیلی حاصل ممکن است مشخصه استاتیک واقعی را تا حد بسیار کمی منعکس کند.

رویکرد دوم مبتنی بر تقریب ویژگی‌های عناصر غیرخطی است که به صورت تجربی یافت می‌شوند.

حالت های عملکرد عناصر می تواند متفاوت باشد. در برخی حالت ها، جریان و ولتاژ عنصر فقط در یک محله کوچک از یک نقطه استراحت خاص تغییر می کند، در حالت های دیگر، منطقه تغییر در جریان ها و ولتاژها کل مشخصه یا بیشتر آن را پوشش می دهد. مطابق با این، تابع تقریبی این مشخصه باید ناحیه کار را با بیشترین دقت بازتولید کند. هرچه بخش کاری منحنی کوچکتر باشد، تابعی که این بخش از مشخصه را تقریب می کند ساده تر می تواند انتخاب شود.

روش های تقریب مختلفی وجود دارد:

1) خطی؛

2) غیر خطی؛

3) خطی تکه ای؛

4) تکه ای غیر خطی.

تقریب خطی هنگام کارکردن یک عنصر غیر خطی در حالت سیگنال کوچک استفاده می شود. تقریب یک تابع غیرخطی در این مورد، به عنوان یک قاعده، توسط یک مماس، ترسیم یا محاسبه شده در نقطه مشخصه، که در مجاورت آن تغییرات در جریان ها و ولتاژها رخ می دهد، انجام می شود. در مورد یک شبکه دو ترمینالی مقاومتی غیر خطی، چنین تقریبی را می توان به عنوان جایگزینی در محاسبه مقاومت غیرخطی با یک مقاومت خطی، از نظر عددی برابر با مقاومت دیفرانسیل تفسیر کرد. مزیت تقریب خطی توانایی حرکت از تجزیه و تحلیل یک مدار غیر خطی به تجزیه و تحلیل یک مدار خطی (خطی) است که بسیار ساده تر است. نقطه ضعف آن این است که دقت چنین تقریبی کم است و حتی در حالت سیگنال کم، خطای محاسبه می تواند قابل توجه باشد.

در تقریب غیر خطی، بیشتر از سری های توانی مختلف استفاده می شود.

اجازه دهید فرض کنیم که یک عمل ثابت معین به یک شبکه دو ترمینالی غیرخطی اعمال می شود که حالت عملیاتی اولیه آن را تعیین می کند. ما این اثر را "جابجایی" می نامیم. در این حالت، مقدار تابع در نقطه اولیه است. اگر عمل اولیه با مقداری تغییر کند، آنگاه، که مقدار جدید تابع را به شکل یک سری تیلور نشان می دهد، به دست می آوریم.

مقادیر مشتقات تابع f (x) در نقطه کجا هستند.

از آنجایی که به جای (6. 3) می توانیم بنویسیم

آخرین رابطه، بسط تابع f(x) در سری تیلور در مجاورت نقطه است و توصیفی تحلیلی از ویژگی عنصر است. فرمول حاصل یک سری توان است. هر چه تعداد اعضای سریال بیشتر در نظر گرفته شود، ویژگی واقعی با دقت بیشتری بیان می شود. با رها کردن عبارت ها در بسط، یک چند جمله ای درجه هفتم به دست می آوریم. بنابراین، تقریب ویژگی ها توسط چند جمله ای ها به معادلات زیر منجر می شود:

الف) اگر، پس؛ (6.4)

ب) اگر، پس. (6.5)

ضرایب باید به گونه ای انتخاب شوند که معادله تقریبی بخش کاری مشخصه را با دقت قابل قبولی توصیف کند. برای اینکه محاسبات را پیچیده نکنند، سعی می کنند تعداد عبارت های معادلات تقریبی (6. 4) و (6.5) را به کوچکترین عدد ممکن محدود کنند.

در کنار چند جمله ای های توانی، می توان از انواع دیگر توابع (نمایی، مثلثاتی و غیره) نیز برای تقریب غیر خطی استفاده کرد. مزایای این رویکرد برای به دست آوردن یک توصیف تحلیلی از ویژگی های غیر خطی، اولاً در امکان یافتن یک عبارت دقیق دلخواه و ثانیاً عدم نیاز به دانش در مورد اصل عملکرد عنصر مورد بررسی است. اشکال این است که ضرایب عبارات تقریبی معنای فیزیکی ندارند، مقادیر عددی آنها را نمی توان از مفاد کلی و نظری تخمین زد و اصلاح کرد. تغییر جزئی در سیر مشخصه یا در نظر گرفتن منطقه تقریبی می تواند منجر به تغییرات قابل توجهی در مقادیر عددی ضرایب شود.

در عمل محاسبات مهندسی رادیو، روش تقریب خطی تکه ای به طور گسترده استفاده می شود. در این حالت، مشخصه عنصر غیر خطی با مجموعه خاصی از قطعات خطوط مستقیم جایگزین می شود که با دقت رضایت بخشی با منحنی واقعی منطبق است. نمونه ای از تقریب خطی تکه ای از CVC N شکل در شکل 6 نشان داده شده است. 4. بدیهی است که روابط تقریبی برای هر بخش متفاوت خواهد بود.

شکل 6.4

این روش، در حالی که مزایای تقریب خطی را حفظ می کند، در مقایسه با آن، به طور قابل توجهی دقت توصیف ویژگی ها را بهبود می بخشد و در عین حال، فرآیند تقریب خود را به طور قابل توجهی در مقایسه با تقریب غیرخطی ساده می کند.

نقطه ضعف تقریب خطی تکه ای، پیچیدگی الگوریتم محاسبه مدار الکتریکی به دلیل نیاز به نظارت مداوم بر مقادیر متغیرها است. اگر تنها یک عنصر در زنجیره تحلیل شده وجود داشته باشد، که برای آن از تقریب خطی تکه‌ای استفاده می‌شود، این روش مشکلی ایجاد نمی‌کند، اما با افزایش تعداد چنین عناصری می‌تواند بیش از حد پر زحمت باشد.

تقریب غیرخطی تکه ای در مواردی استفاده می شود که هیچ یک از سه روش تقریب در نظر گرفته شده به دلیل دقت کم و یا به دلیل پیچیدگی روابط به دست آمده (تعداد بیش از حد زیادی از عبارت ها هنگام تقریب با چند جمله ای توان، بسیار بزرگ، نتیجه رضایت بخشی به دست نمی دهد. تعداد قطعات در صورت تقریب تکه ای -خطی). گاهی اوقات در مواردی که در نتیجه تجزیه و تحلیل فرآیندهای فیزیکی در عنصر، رابطه ای به دست می آید که بخش قابل توجهی از مشخصه استاتیکی را به خوبی توصیف می کند، به تقریب غیرخطی تکه ای متوسل می شود، اما به سختی برای تغییر کیفی در عنصر قابل قبول است. حالت عملکرد عنصر غیر خطی (به عنوان مثال، پدیده شکست انتقال الکترون به حفره در دستگاه های نیمه هادی). اغلب، چنین تقریبی امکان توصیف مشخصه را با دقت لازم برای تعداد نسبتاً کمی از بخش هایی که با نسبت های مختلف توصیف می شوند (به عنوان یک قاعده، 2-3 بخش) امکان پذیر می کند.

به عنوان یک قاعده، CVC عناصر غیر خطی به صورت تجربی به دست می آید. یافتن آنها از تحلیل نظری کمتر ممکن است. برای مطالعه، لازم است یک تابع تقریبی انتخاب شود، به طوری که، بسیار ساده است، همه ویژگی های ممکن از ویژگی های تجربی گرفته شده را با درجه دقت کافی منعکس کند. اغلب از روش های زیر برای تقریب مشخصات جریان-ولتاژ شبکه های دو ترمینالی استفاده می شود: خطی تکه ای، توان، تقریب نمایی.

تقریب خطی تکه ای

چنین تقریبی معمولاً در محاسبه فرآیندها در معادلات غیرخطی در مورد دامنه های زیاد تأثیرات خارجی استفاده می شود. این روش مبتنی بر تقریب ویژگی های عناصر غیر خطی است، یعنی. در جایگزینی تقریبی مشخصه واقعی با بخش هایی از خطوط مستقیم با شیب های مختلف. شکل مشخصه ورودی یک ترانزیستور واقعی را نشان می دهد که توسط دو بخش خط تقریب شده است.

تقریب توسط دو پارامتر تعیین می شود - ولتاژ ابتدای مشخصه Un و شیب S. شکل ریاضی CVC تقریبی به شرح زیر است:

ولتاژ ابتدای مشخصات ورودی ترانزیستورهای دوقطبی از مرتبه 0.2-0.8 V است: شیب مشخصه جریان پایه ib (Ube) حدود 10 میلی آمپر / ولت است. شیب مشخصه ik (Ube) جریان کلکتور بسته به ولتاژ پایه-امیتر، سپس مقدار 10mA / V باید در h21e ضرب شود - ضریب تقویت جریان پایه. از آنجایی که h21e \u003d 100-200 است، شیب نشان داده شده در حد چند آمپر در هر ولت است.

تقریب توان

تقریب توان به طور گسترده ای در تجزیه و تحلیل عملکرد دستگاه های غیر خطی، که تحت تأثیرات خارجی نسبتاً کوچک قرار دارند، استفاده می شود. این روش مبتنی بر گسترش مشخصه جریان-ولتاژ غیرخطی i(u) در سری تیلور است که در مجاورت نقطه عملیاتی U0 همگرا می شود.

تعداد اصطلاحات بسط به دقت داده شده بستگی دارد. در نظر گرفتن مثال:

مشخصه ورودی ترانزیستور نقطه عملیاتی U0=0.7V. ما نقاط 0.5 را به عنوان گره های تقریبی انتخاب می کنیم. 0.7 و 0.9 V.

حل سیستم معادلات ضروری است:

ترکیب طیفی جریان در یک عنصر غیر خطی تحت عمل هارمونیک خارجی

مداری متشکل از یک اتصال سری از یک منبع سیگنال هارمونیک Uc(t) = coswt، یک منبع با ولتاژ بایاس ثابت U0 و یک عنصر غیر خطی غیر اینرسی را در نظر بگیرید. برای انجام این کار، شکل را در نظر بگیرید.

جریان در مدار سینوسی است.

شکل جریان و ولتاژ متفاوت است.

دلیل اعوجاج منحنی جریان ساده است: افزایش جریان نابرابر با افزایش ولتاژ یکسان مطابقت دارد، زیرا. ، و شیب دیفرانسیل CVC در مقاطع مختلف متفاوت است.

بیایید مشکل را به صورت تحلیلی در نظر بگیریم.

تابع غیرخطی i(u)=i(Uc,U0) را به ما اطلاع دهید. عنصر غیر خطی تحت تأثیر ولتاژ سیگنال Uc(t)=Umcos(wt+j) قرار می گیرد.

کمیت بدون بعد x=wt+j، سپس I(x)=I(Umcosx، U0) یک تابع تناوبی با توجه به آرگومان x با دوره 2T است. آن را در کنار فوریه تصور کنید با ضرایب .

تابع i(x) زوج است، بنابراین سری فوریه فقط شامل اجزای کسینوس خواهد بود: .

عوامل دامنه هارمونی

دو فرمول آخر یک راه حل کلی برای مسئله طیف جریان در یک عنصر غیر خطی تحت یک عمل خارجی هارمونیک ارائه می دهد:

آن ها جریان، علاوه بر مولفه ثابت I0، شامل یک دنباله بی نهایت هارمونی با دامنه های In است. دامنه هارمونی به پارامترهای Um و U0 و همچنین به شکل تابع تقریبی بستگی دارد.

اجازه دهید در نظر بگیریم که چگونه به نوع تابع تقریبی بستگی دارد.

خطی تکه ای

i(U)=

ولتاژ اعمال شده u(t)=U0+Umcoswt.

نمودار فعلی به شکل پالس کسینوس با یک برش است. زاویه قطع پالس های جریان از برابری تعیین می شود:

U0+Umcosq=Un Þ .

تقریب توان

اجازه دهید، در مجاورت نقطه عملیاتی U0، CVC یک عنصر غیرخطی