تابع چیست؟ وابستگی تابعی، یا تابع، چنین رابطه ای بین دو متغیر است که در آن هر مقدار از متغیر مستقل است. وابستگی های تابعی و پایگاه های داده رابطه ای

عادی سازی پایگاه داده برجسته می شود یا وابستگی عملکردی وضعیتی است که در آن یک مقدار به شما امکان انجام آن را می دهد انتقال آرامبه مقدار بعدی در دنباله بدون هیچ وقفه. برای این نوع شرایط، جریانی از اطلاعات در پایگاه داده وجود دارد که بدون هیچ تاخیر و مشکلی جریان دارد و یکپارچگی خود داده ها حفظ می شود. وابستگی عملکردی برای ایجاد و بهره برداری از پایگاه های داده رابطه ای حیاتی است زیرا شامل تداعی نور با یک مقدار واحد یا نوع داده با مقادیر مرتبط است.

یکی از مهمترین راه های سادهبرای درک اینکه وابستگی عملکردی چگونه کار می کند، استفاده از یک شماره شناسایی دولتی مانند شماره تامین اجتماعی است که به طور منظم برای هر شهروند روسیه صادر می شود. با استفاده از این شماره به عنوان ابزار شناسایی، دسترسی کارفرمایان به اطلاعات صاحب این شماره امکان پذیر است. طلبکاران بالقوه و سایر بستانکاران می توانند از شماره دسترسی برای دسترسی به اطلاعات مالی مربوطه در مورد متقاضی استفاده کنند و این شماره امکان دسترسی به اطلاعاتی مانند مالیات، اقلام تعهدی و مالیات پرداختی، درآمد از یک سال به سال دیگر، و محاسبه بازنشستگی زمانی که شخص پس از بازنشستگی از شایستگی برخوردار خواهند شد. در بسیاری از موارد، کارفرمایان ممکن است در واقع از همان شماره اولیه استفاده کنند یک شماره شناساییکارمند یا بخشی از تعدادی ابزار رابطه ای برای دسترسی به بقیه فایل الکترونیکیکارگر.

به عنوان بخشی از طراحی و عملیات پایگاه داده، وابستگی عملکردی به کاربران اجازه می دهد مقادیری را وارد کنند که صف می تواند برای به دست آوردن اطلاعات مورد نظر استفاده شود. به عنوان مثال، یک فروشنده می تواند یک مقدار نام شرکت را وارد کند تا تمام رکوردهای مرتبط با مخاطبین مرتبط با آن را بازیابی کند. مشتری شرکتی. به طور مشابه، فروشنده ای که در حال برنامه ریزی برای فروش است، می تواند نام شهر را به عنوان مقدار و به عنوان یک دسترسی به نام و نام آن وارد کند. اطلاعات تماسهمه مشتریان نزدیک به مقصدش، ترتیب قرار ملاقات با آن مشتریان را برای او آسان تر می کند.

در حالی که ساختار دقیق، مانند سیستمی که یک وابستگی عملکردی را فراهم می کند، ممکن است بسته به کاربرد متفاوت باشد، نتیجه نهایی همچنان یکسان خواهد بود. یک مقدار به مقدار دیگر پیوند داده می شود و امکان دسترسی به آن را فراهم می کند اطلاعات لازمبا سهولت نسبی با رکوردهای بسیار زیادی که به جای تکیه بر آنها در پایگاه های داده ذخیره شده است روش قدیمیفایل های کپی سخت، این نوع وابستگی رابطه ای برای یافتن و استفاده از داده های مربوطه بسیار مهم است.

هنگام طراحی پایگاه داده DBMS رابطه ایهدف اصلی توسعه یک مدل داده منطقی، ایجاد یک نمایش دقیق از داده ها، روابط بین آنها و محدودیت های مورد نیاز است. برای انجام این کار، ابتدا باید مجموعه مناسبی از روابط را تعیین کرد. روشی که برای این کار استفاده می شود نرمال سازی نامیده می شود. عادی سازی نوعی از رویکرد پایین به بالا برای طراحی پایگاه داده است که با ایجاد روابط بین ویژگی ها شروع می شود.

هدف عادی سازی

عادی سازی -روشی برای ایجاد مجموعه ای از روابط با ویژگی های مشخص شده بر اساس نیازهای داده ای که در یک سازمان ایجاد شده است.

عادی سازی اغلب به عنوان مجموعه ای از آزمایش ها بر روی برخی از رابطه ها انجام می شود تا بررسی شود که آیا با الزامات یک فرم معمولی مطابقت دارد (یا ناموفق است).

فرآیند عادی سازی یک روش رسمی است که به روابط اجازه می دهد بر اساس کلیدهای اصلی آنها (یا کلیدهای کاندید، مانند BCNF) و وابستگی های عملکردی که بین ویژگی های آنها وجود دارد، شناسایی شوند. طراحان پایگاه داده می‌توانند از نرمال‌سازی در قالب مجموعه‌ای از آزمون‌های اعمال شده بر روی روابط فردی برای عادی‌سازی یک طرح‌واره رابطه‌ای به یک فرم خاص استفاده کنند، بنابراین از بروز ناهنجاری‌های به‌روزرسانی جلوگیری می‌کنند.

هدف اصلی طراحی یک پایگاه داده رابطه‌ای، گروه‌بندی ویژگی‌ها و روابط به‌گونه‌ای است که افزونگی داده‌ها را به حداقل برساند و در نتیجه میزان حافظه مورد نیاز برای ذخیره فیزیکی روابط نمایش داده‌شده به صورت جداول را کاهش دهد.

وابستگی های عملکردی

وابستگی عملکردی رابطه بین صفات را توصیف می کند و یکی از مفاهیم اساسی عادی سازی است. این بخش این مفهوم را تعریف می‌کند و بخش‌های زیر رابطه آن را با فرآیندهای عادی‌سازی روابط پایگاه داده توضیح می‌دهند.

وابستگی عملکردی- رابطه بین صفات رابطه را توصیف می کند. به عنوان مثال، اگر در رابطه. R حاوی ویژگی‌های A و B، ویژگی B از نظر عملکردی به ویژگی A (که با AB مشخص می‌شود) وابسته است، سپس هر مقدار از ویژگی A تنها با یک مقدار از ویژگی B مرتبط است. از یک یا چند ویژگی.)

وابستگی عملکردی یک ویژگی معنایی (یا معنایی) صفات رابطه است. معناشناسی یک رابطه مشخص می‌کند که چگونه ویژگی‌های آن می‌توانند به یکدیگر مرتبط شوند و همچنین وابستگی‌های عملکردی بین ویژگی‌ها را در قالب محدودیت‌هایی که بر برخی ویژگی‌ها اعمال می‌شود، تعریف می‌کند.

رابطه بین ویژگی های A و B را می توان به صورت شماتیک در قالب یک نمودار نشان داده شده در شکل 5 نشان داد.

تعیین کننده- یک تعیین کننده وابستگی عملکردی یک ویژگی یا گروهی از ویژگی ها است که در نمودار وابستگی عملکردی در سمت چپ نماد فلش قرار دارند.

شکل 5 - نمودار وابستگی عملکردی

اگر یک وابستگی تابعی وجود داشته باشد، صفت یا گروهی از صفات که در نمودار آن در سمت چپ نماد فلش قرار دارند، تعیین کننده نامیده می شوند. به عنوان مثال، در شکل. 6.1 ویژگی A تعیین کننده ویژگی B است.

مفهوم وابستگی عملکردی در فرآیند عادی سازی نقش اساسی دارد.

وابستگی های ویژگی

اگر هر مقدار A فقط با یک مقدار B مطابقت داشته باشد، ویژگی B از نظر عملکردی به ویژگی A وابسته است.

نماد: A B

2. اگر وابستگی عملکردی به شکل A B و B A وجود داشته باشد، بین A و B یک مطابقت به هم پیوسته یا وابستگی متقابل عملکردی وجود دارد.

نماد: A B

وابستگی عملکردی جزئی این وابستگی یک ویژگی غیر کلیدی به بخشی از یک کلید ترکیبی است.

وابستگی عملکردی کامل

هنگامی که یک ویژگی غیر کلیدی کاملاً به یک کلید ترکیبی وابسته است.

و غیره: دپارتمان (نام کامل، باید، حقوق، ارشدیت، d_تجربه، گروه، موضوع، گروه، نوع شغل)

بخش نام کامل

موقعیت نام کامل

اگر شرایط A B و B C برای ویژگی های A، B، C برآورده شوند، ویژگی C به طور گذرا به A بستگی دارد، اما رابطه معکوس A C وجود ندارد.

مثال. نام حقوق پست

با توجه به r-ویژگی B، اگر هر مقدار A مربوط به مجموعه ای از مقادیر B باشد که به سایر ویژگی های r مرتبط نیست، به طور چند ارزشی به ویژگی A بستگی دارد.

سمبل A B، A B، A B موضوع نام کامل

نکته: به طور کلی، وابستگی های تابعی و چند ارزشی (1:1، 1:M،M:M) می توانند بین دو ویژگی یک رابطه وجود داشته باشند. وابستگی بین صفات علت ناهنجاری هاست، پس باید رابطه با وابستگی های صفت را به چندین رابطه شکست. نتیجه مجموعه ای از روابط مرتبط است که روابط بین آنها وابستگی بین ویژگی های روابط مختلف را نشان می دهد.

دو یا چند ویژگی متقابل مستقل نامیده می شوند اگر هیچ یک از این ویژگی ها از نظر عملکردی به ویژگی های دیگر وابسته نباشند (نشان A¬
که در).

پیدا کردن وابستگی بین ویژگی ها

شناسایی وابستگی ها بین ویژگی ها برای انجام طراحی پایگاه داده با استفاده از روش فرم های معمولی ضروری است.

راه اصلی برای تعیین وابستگی عملکردی، تجزیه و تحلیل دقیق است معناشناسی صفت.

A1 A3

علاوه بر این، A2 ¬ A1، A3 ¬ A1

با فهرست کردن تمام وابستگی های تابعی موجود با توجه به r، مجموعه کاملی از وابستگی های تابعی را به دست می آوریم که با F + نشان داده می شوند.

با دانستن برخی از وابستگی های تابعی، با استفاده از بدیهیات استنتاج، می توان مجموعه کامل F + را برای برخی از رابطه ها به دست آورد.

برای رابطه "بخش":

حقوق با نام کامل

موقعیت نام کامل

تجربه نام کامل

بخش نام کامل

نام کامل d_experience

تجربه d_experience

حقوق پست

موقعیت حقوق و دستمزد

نام.معلم.گروه نوع شغل

عادی سازی روابط

در یک پایگاه داده رابطه ای، هر رابطه ای باید نرمال سازی شود. فرم معمولی محدودیتی بر روی طرح پایگاه داده است که از بروز ناهنجاری در هنگام افزودن، حذف و تغییر داده ها جلوگیری می کند.

یک رابطه نرمال شده (1NF) در نظر گرفته می شود اگر هر مقدار از هر ویژگی در هر تاپل یک عنصر تقسیم ناپذیر (اتمی) باشد. چنین مقادیر اتمی انواع داده های ساده ای هستند.

2NF اساساً سه شکل عادی وجود دارد.

برای همه اشکال عادی، قانون تودرتو رعایت می شود

مزایای عادی سازی:

سازماندهی بهتر پایگاه داده، که کار را برای کاربران و مدیران پایگاه داده آسان تر می کند.

افزونگی اطلاعات کاهش می یابد، که منجر به ساده سازی ساختار و استفاده منطقی از فضای دیسک می شود.

اطلاعات تکراری به حداقل می رسد.

عادی سازی با تقسیم پایگاه داده به جداول کوچکتر انعطاف پذیری بیشتری را هنگام تغییر ساختار داده می دهد.

امنیت پایگاه داده بیشتر

پس از عادی سازی پایگاه داده، سازماندهی حفاظت از اطلاعات موجود در آن بسیار ساده شده است.

ایرادات :

کاهش عملکرد هنگام اجرای پرس و جو در پایگاه داده.

تعاریف:

یک رابطه در 1NF است اگر همه عناصر حوزه های مربوطه برای هر ویژگی در رابطه اصلی اتمی باشند. رابطه اولیه به گونه ای ساخته شده است که در 1NF باشد.

مقداری غیر اتمی است اگر به صورت تکه توسط یک برنامه استفاده شود.

تبدیل رابطه به شکل عادی بعدی با روش تجزیه بدون تلفات انجام می شود.

چنین تجزیه ای باید اطمینان حاصل کند که پرس و جوهای مربوط به رابطه اصلی و روابط حاصل از تجزیه نتیجه یکسانی خواهند داشت.

عملیات اصلی در روش، عملیات طرح ریزی است.

r (A,B,C,D,E) C D

r1(A,B,C,E) r2(C,D) πCD(r)

اتکای جزئی به کلید ویژگی‌های غیرکلیدی منجر به موارد زیر می‌شود:

1. تکرار صریح و ضمنی اضافی داده ها وجود دارد، به عنوان مثال، تکرار طول خدمت، سمت و حقوق معلمی که کلاس ها را در چندین گروه و / یا در موضوعات مختلف برگزار می کند. داده‌های حقوق و دستمزد تکراری برای همان موقعیت یا داده‌های کمک هزینه ارشد.

پیامد تکرار بیش از حد، مشکل ویرایش داده ها است. بخشی از افزونگی هنگام عبور به 2NF حذف می شود.

یک رابطه در 2NF است اگر:

رابطه در 1NF است.

هر ویژگی غیر کلیدی از نظر عملکردی کاملاً به کلید اصلی وابسته است.

برای حذف وابستگی جزئی و انتقال رابطه به 2NF، باید:

طرحی را بدون ویژگی هایی بسازید که تا حدی از نظر عملکردی به کلید اصلی وابسته هستند.

بر روی قسمت‌هایی از کلید اولیه مرکب و ویژگی‌هایی که به این بخش‌ها بستگی دارد، یک طرح ایجاد کنید.

در نتیجه دو رابطه r1,r2 به دست می آوریم که در 2NF هستند:

انتقال به 2NF امکان حذف افزونگی آشکار داده ها با توجه به r2 را فراهم می کند، با این حال، تکراری بودن داده ها باقی می ماند و بنابراین تبدیل r2 به 3NF ضروری است.

Def.1: یک رابطه در 3NF است اگر:

تمام الزامات 2NF برآورده شده است.

اگر هر ویژگی غیر کلیدی به طور گذرا به کلید اصلی وابسته نباشد.

Def.2: یک رابطه در 3NF است اگر همه ویژگی های غیر کلیدی متقابل مستقل و کاملاً به کلید اصلی وابسته باشند.

نام کامل موقعیت حقوق

تجربه نام کامل D_experience

نام حقوق پست

وابستگی های گذرا نیز تولید داده های اضافی را تولید می کنند.

برای از بین بردن وابستگی های گذرا، باید از یک طرح ریزی بر روی ویژگی هایی که باعث این وابستگی های گذرا می شوند استفاده کنید.

در نتیجه، دریافت می کنیم:

در عمل، در بیشتر موارد، کاهش به 3NF کافی است و هیچ عادی سازی بیشتری انجام نمی شود.

اگر این رابطه وابستگی ویژگی های یک کلید ترکیبی به ویژگی های غیر کلیدی داشته باشد، باید به 3NF قوی رفت که به آن BCNF می گویند.

Def. یک رابطه در BCNF است اگر در 3NF باشد و هیچ وابستگی کلیدی (ویژگی های کلید ترکیبی) به ویژگی های غیر کلیدی وجود نداشته باشد.

محدودیت منحصربه‌فرد تحمیل‌شده توسط اعلان‌های کلید اولیه و نامزد یک رابطه، یک مورد خاص از محدودیت مرتبط با مفهوم است. وابستگی های عملکردی.

برای توضیح مفهوم وابستگی تابعی به مثال زیر توجه کنید.

اجازه دهید یک رابطه حاوی داده های مربوط به نتایج یک جلسه خاص به ما داده شود. طرح واره این رابطه به صورت زیر است:

جلسه ( ثبت شماره کتاب ، نام و نام خانوادگی، مورد ، مقطع تحصیلی)؛

ویژگی‌های «شماره کتاب نمره» و «موضوع» ترکیبی را تشکیل می‌دهند (از آنجایی که دو ویژگی به عنوان یک کلید اعلام می‌شوند) کلید اصلیاین رابطه در واقع، این دو ویژگی می توانند به طور منحصر به فرد مقادیر سایر ویژگی ها را تعیین کنند.

با این حال، علاوه بر محدودیت منحصر به فرد مرتبط با این کلید، رابطه الزاماً باید مشروط به این باشد که یک کتاب نمره برای یک صادر شود. شخص خاصو از این رو برای آن موضوع چند برابر می شود همان تعداددفترچه ثبت باید حاوی همان مقادیرویژگی های "نام خانوادگی"، "نام" و "نام پدر".

اگر قطعه زیر از پایگاه داده مشخصی از دانش آموزان یک مؤسسه آموزشی را پس از یک جلسه خاص داشته باشیم، در چند تاپل با نمره کتاب نمره 100، ویژگی های "نام خانوادگی"، "نام" و "نام پدر" یکسان است. ، و ویژگی های "موضوع" و "ارزیابی" - مطابقت ندارند (که قابل درک است، زیرا آنها در مورد موضوعات مختلف و عملکرد در آنها صحبت می کنند). این بدان معنی است که ویژگی های "نام خانوادگی"، "نام" و "نام پدر" از نظر عملکردی وابسته استدر ویژگی "شماره کتاب نمره"، در حالی که ویژگی های "موضوع" و "ارزیابی" از نظر عملکردی مستقل هستند.

بدین ترتیب، وابستگی عملکردییک وابستگی تک ارزشی است که در سیستم های مدیریت پایگاه داده جدول بندی شده است.

ما اکنون یک تعریف دقیق از وابستگی عملکردی ارائه می دهیم.

تعریف: اجازه دهید X، Y زیر طرح های طرح رابطه S باشند که روی طرح S تعریف می شوند. نمودار وابستگی عملکردی X > Y("X arrow Y" را بخوانید). بیایید تعریف کنیم محدودیت های وابستگی عملکردی inv > Y>به عنوان بیانیه ای که در رابطه با طرحواره S، هر دو تاپلی که در طرح ریزی بر روی طرح فرعی X مطابقت دارند، باید در طرح ریزی با طرح فرعی Y نیز مطابقت داشته باشند.

بیایید همان تعریف را به شکل فرمول بنویسیم:

inv > Y> r(اس) = تی 1 , تی 2 ? r(تی 1 [ایکس] = تی 2 [ایکس] ? تی 1 [Y] = تی 2 [Y]), ایکس, Y? S;

جالب اینجاست که این تعریف از مفهوم عملیات طرح ریزی یکپارچه استفاده می کند که قبلا با آن مواجه شدیم. در واقع، اگر از این عملیات استفاده نکنید، چگونه برابری دو ستون جدول رابطه و نه سطرها را به یکدیگر نشان دهید؟ بنابراین، بر حسب این عملیات نوشته‌ایم که همزمانی تاپل‌ها در طرح‌ریزی بر روی برخی از ویژگی‌ها یا چندین ویژگی (زیرزشما X) در صورتی که Y از نظر عملکردی وابسته باشد، قطعاً مستلزم انطباق همان ستون‌ها - تاپل‌ها در زیر طرح Y است. در X

جالب است بدانید که در مورد وابستگی عملکردی Y به X نیز می‌گویند که X عملکردی تعریف می کند Y یا چه Y از نظر عملکردی وابسته استروی X. در نمودار وابستگی تابعی X > Y، زیرمدار X سمت چپ و زیرمدار Y نامیده می شود. سمت راست.

در عمل طراحی پایگاه داده، طرح وابستگی عملکردی معمولاً برای اختصار به عنوان وابستگی عملکردی نامیده می شود.

پایان تعریف.

در حالت خاصی که سمت راست وابستگی عملکردی، یعنی طرح فرعی Y، با کل طرحواره رابطه مطابقت دارد، محدودیت وابستگی عملکردی به یک محدودیت منحصر به فرد کلید اولیه یا نامزد تبدیل می شود. واقعا:

inv<ک > اس> r(اس) = ? تی 1 , تی 2 ? r(تی 1 [ک] = تی 2 [ک] > تی 1 (اس) = تی 2 (اس)), ک ? اس;

فقط این است که در تعریف وابستگی تابعی، به جای طرح فرعی X، باید نام کلید K را انتخاب کنید و به جای سمت راست وابستگی تابعی، طرح فرعی Y، کل طرح روابط S را انتخاب کنید، یعنی: در واقع، محدودیت در منحصر به فرد بودن کلیدهای روابط، یک مورد خاص از محدودیت وابستگی عملکردی است، زمانی که سمت راست، طرح‌های مساوی وابستگی عملکردی در سراسر طرح رابطه است.

در اینجا نمونه هایی از تصویر وابستگی عملکردی آورده شده است:

(شماره دفترچه حساب) > (نام خانوادگی، نام، نام خانوادگی)؛

(شماره کتاب نمره، موضوع) > (امتیاز);

2. قواعد استنتاج آرمسترانگ

اگر هر یک از رابطه‌های پایه وابستگی‌های تابعی تعریف‌شده بردار را برآورده کند، با کمک قوانین استنتاج ویژه مختلف، می‌توان وابستگی‌های تابعی دیگری را به دست آورد که مطمئناً این رابطه پایه برآورده می‌کند.

یک مثال خوب از این قبیل قوانین خاص، قوانین استنتاج آرمسترانگ است.

اما قبل از اینکه به تحلیل خود قواعد استنتاج آرمسترانگ بپردازیم، اجازه دهید یک نماد فرازبانی جدید "+" را معرفی کنیم که به نام نماد فرا ادعای مشتق پذیری. این نماد هنگام تدوین قواعد بین دو عبارت نحوی نوشته می شود و نشان می دهد که فرمول سمت راست آن از فرمول سمت چپ آن مشتق شده است.

حال اجازه دهید خود قواعد استنتاج آرمسترانگ را در قالب قضیه زیر فرموله کنیم.

قضیه.قوانین زیر معتبر هستند که قوانین استنتاج آرمسترانگ نامیده می شوند.

قانون استنتاج 1.+ X > X;

قانون استنتاج 2. X > Y + X ? Z > Y;

قانون استنتاج 3. X > Y، Y؟ W>Z+X؟ W>Z;

در اینجا X، Y، Z، W طرح‌های فرعی دلخواه از طرح رابطه S هستند. نماد فراگزاره مشتق‌پذیری فهرست‌های مقدمات و فهرست‌هایی از ادعاها (نتیجه‌گیری) را از هم جدا می‌کند.

1. اولین قانون استنتاج نامیده می شود انعکاس پذیریو به شرح زیر می‌خواند: «قانون مشتق شده است: «X از نظر عملکردی X را به همراه دارد». این ساده ترین قواعد استنتاج آرمسترانگ است. به معنای واقعی کلمه از هوا خارج می شود.

جالب است بدانید که یک وابستگی تابعی که دارای دو قسمت چپ و راست است نامیده می شود انعکاسی. طبق قانون بازتاب، محدودیت وابستگی بازتابی به طور خودکار انجام می شود.

2. قانون استنتاج دوم نامیده می شود دوباره پر کردنو به شرح زیر می‌خواند: «اگر X از نظر عملکردی Y را تعیین می‌کند، این قانون مشتق می‌شود: «اتحاد زیرمدارهای X و Z از نظر عملکردی Y را به دنبال دارد». قانون دوباره پر کردن به شما امکان می دهد گسترش دهید سمت چپمحدودیت های وابستگی عملکردی

3- قاعده استنتاج سوم نامیده می شود شبه گذرو به شرح زیر است: «اگر زیرمدار X از نظر عملکردی مستلزم زیرمدار Y باشد و اتحاد زیرمدارهای Y و W از نظر عملکردی مستلزم Z باشد، آنگاه این قانون مشتق می‌شود: «اتحاد زیرمدارهای X و W از نظر عملکردی زیرمدار Z را تعیین می‌کند».

قانون شبه گذرا، قانون گذر مربوط به حالت خاص W: = 0 را تعمیم می دهد. اجازه دهید یک نماد رسمی از این قانون ارائه دهیم:

لازم به ذکر است که مقدمات و نتیجه گیری هایی که قبلا ارائه شد به صورت مختصر با نامگذاری طرح های وابستگی عملکردی ارائه شده است. در شکل توسعه یافته، آنها با محدودیت های وابستگی عملکردی زیر مطابقت دارند.

قانون استنتاج 1. inv X> r(S);

قانون استنتاج 2. inv Y> r(S) ? inv Y>r(S);

قانون استنتاج 3. inv Y> r(S) & inv Z> r(S) ? inv Z > r(S);

خرج کنیم اثباتاین قوانین استنتاج

1. اثبات قاعده انعکاس پذیریزمانی که طرح فرعی X با زیرمدار Y جایگزین می شود، مستقیماً از تعریف محدودیت وابستگی عملکردی ناشی می شود.

در واقع، محدودیت وابستگی عملکردی را در نظر بگیرید:

inv Y> r(S) و X را به جای Y در آن جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:

inv X> r(S)، و این قانون بازتاب است.

قانون بازتاب اثبات شده است.

2. اثبات قاعده دوباره پر کردنبیایید نمودارهای وابستگی عملکردی را نشان دهیم.

اولین نمودار نمودار بسته است:

بسته: X > Y

نمودار دوم:

نتیجه گیری: X Z > Y

اجازه دهید تاپل ها روی X برابر باشند؟ Z. سپس آنها بر روی X برابر هستند. طبق فرض، آنها در Y نیز برابر خواهند بود.

قانون دوباره پر کردن ثابت شده است.

3. اثبات قاعده شبه گذرهمچنین در نمودارها نشان داده شده است که در این مورد خاصسه وجود خواهد داشت.

نمودار اول مقدمه اول است:

فرض 1: X > Y

فرض 2: بله؟ W>Z

و در نهایت، نمودار سوم، نمودار نتیجه گیری است:

نتیجه گیری: X W>Z

اجازه دهید تاپل ها روی X برابر باشند؟ W. سپس آنها در هر دو X و W برابر هستند. طبق فرض 1، آنها در Y برابر خواهند بود. بنابراین، طبق فرض 2، آنها در Z نیز برابر خواهند بود.

قانون شبه گذر اثبات شده است.

همه قوانین ثابت شده است.

3. قواعد استنتاج مشتق شده

نمونه دیگری از قواعدی که در صورت لزوم می توان قواعد جدیدی از وابستگی عملکردی را استخراج کرد، به اصطلاح قوانین استنتاج مشتق شده.

این قوانین چیست، چگونه به دست می آیند؟

مشخص است که اگر از برخی قواعد موجود با روش های منطقی مشروع دیگران استنباط شود، آنگاه این قواعد جدید، به نام مشتقات، می تواند همراه با قوانین اصلی استفاده شود.

به ویژه باید توجه داشت که این قوانین بسیار دلخواه دقیقاً از قواعد استنتاج آرمسترانگ که قبلاً از آن عبور کرده ایم، «مشتقات» هستند.

اجازه دهید قوانین مشتق شده برای استخراج وابستگی های تابعی را در قالب قضیه زیر فرموله کنیم.

قضیه.

قوانین زیر از قواعد استنتاج آرمسترانگ به دست آمده است.

قانون استنتاج 1.+X؟ Z > X;

قانون استنتاج 2. X > Y، X > Z + X؟ Y > Z;

قانون استنتاج 3. X > Y ? Z + X > Y، X > Z;

در اینجا X، Y، Z، W، مانند مورد قبلی، طرح‌های فرعی دلخواه از طرح رابطه S هستند.

1. اولین قانون مشتق شده نامیده می شود قانون بی اهمیتیو اینگونه می خواند:

"قانون مشتق شده است: "اتحاد زیرمدارهای X و Z از نظر عملکردی مستلزم X است."

یک وابستگی تابعی که سمت چپ آن زیرمجموعه ای از سمت راست است نامیده می شود ناچیز. طبق قانون بی اهمیتی، محدودیت های وابستگی بی اهمیت به طور خودکار اجرا می شوند.

جالب توجه است که قاعده بی اهمیتی تعمیم قاعده بازتابی است و مانند دومی، می تواند مستقیماً از تعریف محدودیت وابستگی عملکردی استخراج شود. مشتق شدن این قاعده تصادفی نیست و به کامل بودن سیستم قواعد آرمسترانگ مربوط می شود. کمی بعد در مورد کامل بودن سیستم قوانین آرمسترانگ بیشتر صحبت خواهیم کرد.

2. دومین قانون مشتق شده نامیده می شود قانون افزایشیو به شرح زیر است: "اگر زیرمدار X به طور عملکردی زیرمدار Y را تعیین می کند و X به طور همزمان به طور عملکردی Z را تعیین می کند، قاعده زیر از این قوانین استنتاج می شود: "X به طور عملکردی اتحاد زیرمدارهای Y و Z را تعیین می کند".

3. سومین قانون مشتق شده نامیده می شود قانون طرح ریزییا قانون وارونگی افزایشی". به شرح زیر است: "اگر زیرمدار X به طور عملکردی اتحاد زیرمدارهای Y و Z را تعیین می کند، قانون زیر از این قانون استنتاج می شود: "X به طور عملکردی زیرمدار Y را تعیین می کند و در همان زمان X به طور عملکردی زیر مدار Z را تعیین می کند". ، این یک قانون مشتق شده است قانون افزودنی معکوس.

عجیب است که قواعد افزودنی و فرافکنی که برای وابستگی‌های عملکردی با همان قسمت‌های چپ اعمال می‌شود، به فرد اجازه می‌دهد تا قسمت‌های راست وابستگی را ترکیب یا برعکس، تقسیم کند.

هنگام ساخت زنجیره‌های استنتاج، پس از فرمول‌بندی همه مقدمات، قاعده گذرا به منظور گنجاندن یک وابستگی عملکردی با سمت راست در نتیجه‌گیری اعمال می‌شود.

خرج کنیم اثباتقوانین استنتاج دلخواه فهرست شده است.

1. اثبات قاعده چیزهای بی اهمیت.

اجازه دهید آن را، مانند تمام شواهد بعدی، گام به گام اجرا کنیم:

1) داریم: X > X (از قاعده بازتابی استنتاج آرمسترانگ).

قاعده بی اهمیتی ثابت شده است.

2. ما یک اثبات گام به گام قانون را انجام خواهیم داد افزایشی:

1) داریم: X > Y (این مقدمه 1 است).

2) داریم: X > Z (این مقدمه 2 است).

3) ما داریم: Y؟ Z > Y ? Z (از قانون بازتاب استنتاج آرمسترانگ)؛

4) داریم: X ? Z > Y ? Z (با اعمال قاعده شبه گذری استنتاج آرمسترانگ و سپس در نتیجه مراحل اول و سوم اثبات به دست می آید).

5) داریم: X؟ X > Y ? Z (با اعمال قانون شبه گذری استنتاج آرمسترانگ به دست می آید و سپس از مراحل دوم و چهارم می آید).

6) ما X > ​​Y داریم؟ Z (از مرحله پنجم دنبال می شود).

قانون افزودنی ثابت شده است.

3. و در نهایت برهان قاعده را می سازیم فرافکنی:

1) ما داریم: X > Y ? Z، X > Y؟ Z (این یک بسته است)؛

2) داریم: Y > Y, Z > Z (با استفاده از قانون بازتابی استنتاج آرمسترانگ استنتاج شده است).

3) ما داریم: Y؟ z > y، Y ? z > Z (به دست آمده از قانون تکمیل استنتاج آرمسترانگ و نتیجه ای از مرحله دوم اثبات).

4) داریم: X > Y، X > Z (با اعمال قاعده شبه گذری استنتاج آرمسترانگ و سپس در نتیجه مراحل اول و سوم اثبات به دست می‌آید).

قاعده فرافکنی اثبات شده است.

تمام قوانین استنتاج مشتق اثبات شده است.

4. کامل بودن سیستم قوانین آرمسترانگ

اجازه دهید اف(اس) - مجموعه ای معین از وابستگی های عملکردی که روی یک طرح رابطه تعریف شده اند اس.

با نشان دادن inv <اف(اس)> محدودیت اعمال شده توسط این مجموعه از وابستگی های عملکردی. بیایید آن را بنویسیم:

inv <اف(اس)> r(اس) = ?X > Y ? اف(اس) [inv Y> r(اس)].

بنابراین، مجموعه ای از محدودیت های اعمال شده توسط وابستگی های عملکردی به شرح زیر رمزگشایی می شود: برای هر قانون از سیستم وابستگی های عملکردی X > Y متعلق به مجموعه وابستگی های عملکردی اف(اس), محدودیت وابستگی عملکردی inv اعمال می شود Y> r(اس), بر روی مجموعه ای از روابط تعریف شده است r(اس).

اجازه دهید کمی نگرش r(اس) این محدودیت را برآورده می کند.

اعمال قوانین استنتاج آرمسترانگ برای وابستگی های تابعی تعریف شده برای یک مجموعه اف(اس), همانطور که قبلاً گفته شد و قبلاً توسط ما ثابت شد، می توان وابستگی های عملکردی جدیدی را به دست آورد. و، که قابل توجه است، به محدودیت های این وابستگی های عملکردی، رابطه اف(اس) به طور خودکار برآورده می شود، همانطور که از شکل توسعه یافته قواعد استنتاج آرمسترانگ مشاهده می شود. به خاطر آوردن فرم کلیاین قوانین استنتاج گسترده:

قانون استنتاج 1. inv < X >X > r(اس);

قانون استنتاج 2. inv Y> r(اس) ? inv ? Z>Y> r(اس);

قانون استنتاج 3. inv Y> r(اس) & inv ? W>Z> r(اس) ? inv ? W>Z>;

با بازگشت به استدلال خود، اجازه دهید مجموعه را کامل کنیم اف(اس) با وابستگی های جدید به دست آمده از آن با استفاده از قوانین آرمسترانگ. تا زمانی که دیگر وابستگی های عملکردی جدیدی دریافت نکنیم، این روش تکمیل را اعمال خواهیم کرد. در نتیجه این ساخت، مجموعه جدیدی از وابستگی های عملکردی به نام دریافت خواهیم کرد بستهمجموعه ها اف(اس) و نشان داده شده است F+(S).

در واقع ، چنین نامی کاملاً منطقی است ، زیرا ما شخصاً ، از طریق یک ساخت طولانی ، بسیاری از وابستگی های عملکردی موجود را روی خود "بستیم" و همه وابستگی های عملکردی جدید ناشی از وابستگی های موجود را اضافه کردیم (از این رو "+").

لازم به ذکر است که این فرآیند ساخت یک بسته محدود است، زیرا خود طرح رابطه که تمام این ساخت و سازها بر روی آن انجام می شود، متناهی است.

ناگفته نماند که یک بسته سوپرمجموعه ای از بسته شدن مجموعه است (در واقع، بزرگتر است!) و با بسته شدن مجدد به هیچ وجه تغییر نمی کند.

اگر آنچه را که گفته شد به صورت فرمولی بنویسیم، دریافت می کنیم:

اف(اس) ? اف + (اس), [اف + (اس)] + = اف + (اس);

علاوه بر این، از حقیقت اثبات شده (یعنی قانونی بودن، مشروعیت) قواعد استنباط آرمسترانگ و تعریف بسته شدن، چنین بر می آید که هر رابطه ای که محدودیت های مجموعه معینی از وابستگی های عملکردی را برآورده کند، محدودیت وابستگی متعلق به بسته شدن را برآورده می کند. .

X > Y ? اف + (اس) ? ?r(اس) [inv <اف(اس)> r(اس) ? inv Y> r(اس)];

بنابراین، قضیه کامل بودن آرمسترانگ برای سیستم قواعد استنتاج بیان می‌کند که استلزام خارجی می‌تواند کاملاً مشروع و موجه با معادل جایگزین شود.

(ما اثبات این قضیه را در نظر نخواهیم گرفت، زیرا خود فرآیند اثبات در دوره خاص سخنرانی ما چندان مهم نیست.)

تابع چیست؟ وابستگی تابعی یا تابع، رابطه بین دو متغیر است که در آن هر مقدار متغیر مستقل با یک مقدار واحد از متغیر وابسته مطابقت دارد. متغیر مستقل در غیر این صورت آرگومان نامیده می شود و متغیر وابسته تابعی از آن آرگومان است. تمام مقادیری که متغیر مستقل می گیرد، محدوده تابع را تشکیل می دهد.

چندین راه برای تنظیم یک تابع وجود دارد: 1. استفاده از جدول. 2. گرافیک. 3. با استفاده از فرمول. نمودار یک تابع مجموعه ای از تمام نقاط صفحه مختصات است که ابسیساهای آن برابر با مقادیر آرگومان و مختصات آن برابر با مقادیر مربوط به تابع است.

تابع خطی تابعی است که می توان آن را با فرمولی به شکل y=kx+b تعریف کرد، جایی که x یک متغیر مستقل است، k و b اعداد داده می شوند. برای ساخت یک نمودار تابع خطیکافی است مختصات دو نقطه را در نمودار پیدا کنید، این نقاط را در صفحه مختصات علامت بزنید و یک خط مستقیم از بین آنها بکشید. تناسب مستقیم تابعی از شکل y \u003d kx است که x یک متغیر مستقل است، k یک عدد غیر صفر است. نمودار متناسب مستقیم خط مستقیمی است که از مبدا می گذرد.

رسم نمودار یک تابع خطی برای رسم نمودار یک تابع خطی، باید: - هر دو مقدار متغیر x (آرگمون) را انتخاب کنید، به عنوان مثال، 0 و 1. - مقادیر مربوط به متغیر y (تابع) را محاسبه کنید. ثبت نتایج به دست آمده در جدول x01 y راحت است - نقاط A و B به دست آمده در سیستم مختصات نشان داده شده است. - نقاط A و B را در امتداد خط کش به هم وصل می کنیم. مثال. بیایید یک تابع خطی y = -3 x+6 رسم کنیم. x01 y63

تناسب معکوس تابعی است که می تواند با فرمولی به شکل y \u003d k / x مشخص شود که x یک متغیر مستقل و k یک عدد غیر صفر است. دامنه چنین تابعی مجموعه ای از همه اعداد غیر صفر است. اگر x و y نسبت معکوس باشند، رابطه عملکردی بین آنها با معادله y = k / x بیان می شود که k مقداری ثابت است. نمودار تناسب معکوس یک خط منحنی است که از دو شاخه تشکیل شده است. این نمودار هذلولی نامیده می شود. بسته به علامت k، شاخه های هذلولی یا در ربع مختصات 1 و 3 قرار دارند (k مثبت است) یا در ربع مختصات 2 و 4 (k منفی است). شکل نموداری از تابع y = k/x را نشان می دهد که k یک عدد منفی است.

موارد خاص یک تابع خطی. y=kx، k0، b=0 - تناسب مستقیم،. نمودار - یک خط مستقیم که از مبدا می گذرد. y=b، k=0، b0. (b>0، بالای محور OX؛ ب 0، بالای محور OX؛ b"> 0، بالای محور OX؛ b"> 0، بالای محور OX. b" title=" موارد خاص یک تابع خطی. y=kx، k0، b=0 - تناسب مستقیم،. نمودار - خط مستقیمی که از مبدا می گذرد؛ y=b، k=0، b0. (b> 0، بالای محور OX b"> title="موارد خاص یک تابع خطی. y=kx، k0، b=0 - تناسب مستقیم،. نمودار - یک خط مستقیم که از مبدا می گذرد. y=b، k=0، b0. (b>0، بالای محور OX؛ ب"> !}