مکمل اساس سیستم بردارها. وجود مبنای فضای برداری

Golovizin V.V. سخنرانی در مورد جبر و هندسه. 5

سخنرانی در مورد جبر و هندسه. ترم 2.

سخنرانی 23. اساس یک فضای برداری.

خلاصه: معیار وابستگی خطی یک سیستم از بردارهای غیرصفر، زیرسیستم های یک سیستم بردار، سیستم مولد بردارها، حداقل سیستم مولد و حداکثر سیستم مستقل خطی، مبنای یک فضای برداری و 4 تعریف معادل آن، بعد یک فضای برداری، فضای برداری با ابعاد محدود و وجود پایه آن، مکمل پایه است.

مورد 1. معیار وابستگی خطی یک سیستم از بردارهای غیر صفر.

قضیه. سیستمی از بردارهای غیرصفر به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که بردار سیستم وجود داشته باشد که به صورت خطی بر حسب بردارهای قبلی این سیستم بیان شود.

اثبات اجازه دهید سیستم از بردارهای غیر صفر تشکیل شده و به صورت خطی وابسته باشد. سیستم یک بردار را در نظر بگیرید:
. زیرا
، سپس سیستم
مستقل خطی است یک وکتور به آن وصل کنید . اگر سیستم حاصله
مستقل خطی، سپس بردار زیر را به آن اضافه می کنیم: . و غیره. ادامه دهید تا زمانی که یک سیستم وابسته خطی به دست آوریم
، جایی که . قطعا چنین عددی وجود خواهد داشت، زیرا. سیستم منبع
به صورت خطی با فرض وابسته است.

بنابراین، با ساخت، ما یک سیستم وابسته خطی به دست آورده ایم
علاوه بر این، سیستم
مستقل خطی است

سیستم
بردار تهی را به روشی غیر پیش پا افتاده نشان می دهد، یعنی. چنین مجموعه ای از اسکالرهای غیر صفر وجود دارد
، چی

اسکالر کجاست
.

در واقع، در غیر این صورت، اگر
، در این صورت یک نمایش غیر معمولی از بردار صفر توسط یک سیستم مستقل خطی خواهیم داشت
، که غیر ممکن است.

تقسیم آخرین برابری بر یک اسکالر غیر صفر
، می توانیم یک بردار از آن بیان کنیم :

از آنجایی که برعکس آن آشکار است، قضیه ثابت می شود.

مورد 2. زیر سیستم های یک سیستم از بردارهای یک فضای برداری.

تعریف. هر زیر مجموعه غیر خالی از سیستم برداری
زیر سیستمی از سیستم بردارهای داده شده نامیده می شود.

مثال. اجازه دهید
سیستمی از 10 بردار است. سپس سیستم بردارها:
;
,
زیر سیستم های این سیستم از بردارها هستند.

قضیه. اگر سیستمی از بردارها دارای یک زیرسیستم وابسته خطی باشد، خود سیستم بردارها نیز به صورت خطی وابسته است.

اثبات اجازه دهید سیستمی از بردارها داده شود
و اجازه دهید، برای قطعیت، زیرسیستم
، جایی که
به صورت خطی وابسته است سپس بردار تهی را به روشی غیر پیش پا افتاده نشان می دهد:

جایی که در میان ضرایب
حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست. اما پس از آن تساوی زیر یک نمایش غیر اساسی از بردار تهی است:

از این رو، طبق تعریف، از وابستگی خطی سیستم پیروی می کند
، و غیره.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه. هر زیرسیستم یک سیستم بردار مستقل خطی مستقل خطی است.

اثبات بیایید برعکس فرض کنیم. اجازه دهید برخی از زیرسیستم های سیستم داده شده به صورت خطی وابسته باشد. سپس وابستگی خطی این سیستم از قضیه حاصل می شود که با شرط در تضاد است.

نتیجه آن ثابت شده است.

مورد 3. سیستم های ستونی فضای ستون بردار حسابی.

از نتایج بخش قبل، به عنوان یک مورد خاص، قضیه زیر به دست می آید.

1) یک سیستم ستونی به صورت خطی وابسته است اگر و تنها در صورتی که حداقل یک ستون در سیستم وجود داشته باشد که به صورت خطی بر حسب ستون های دیگر این سیستم بیان شود.

2) یک سیستم ستونی به صورت خطی مستقل است اگر و تنها در صورتی که هیچ ستونی از سیستم به صورت خطی بر حسب ستون های دیگر سیستم داده شده بیان نشود.

3) سیستم ستون های حاوی ستون صفر به صورت خطی وابسته است.

4) یک سیستم ستونی حاوی دو ستون مساوی به صورت خطی وابسته است.

5) یک سیستم ستونی حاوی دو ستون متناسب به صورت خطی وابسته است.

6) یک سیستم ستونی حاوی یک زیرسیستم وابسته خطی به صورت خطی وابسته است.

7) هر سیستم فرعی از یک سیستم مستقل خطی از ستون ها به صورت خطی مستقل است.

تنها چیزی که در اینجا ممکن است نیاز به توضیح داشته باشد، مفهوم ستون های متناسب است.

تعریف. دو ستون غیر صفر
در صورت وجود اسکالر متناسب نامیده می شود
، به طوری که
یا

,
, …,
.

مثال. سیستم
به صورت خطی وابسته است زیرا دو ستون اول آن متناسب هستند.

اظهار نظر. ما قبلاً می دانیم (به سخنرانی 21 مراجعه کنید) که اگر سیستم ستون ها (ردیف ها) آن به طور خطی وابسته باشد، تعیین کننده برابر با صفر است. بعداً ثابت می شود که گزاره معکوس نیز صادق است: اگر تعیین کننده برابر با صفر باشد، سیستم ستون های آن و سیستم ردیف های آن به طور خطی وابسته هستند.

مورد 4. اساس یک فضای برداری

تعریف. سیستم برداری
فضای برداری بر روی فیلد K به سیستم مولد (تولیدکننده) بردارهای این فضای برداری گفته می شود که هر یک از بردارهای آن را نشان دهد، یعنی. اگر چنین مجموعه ای از اسکالرها وجود داشته باشد
، چی .

تعریف. سیستمی از بردارها در یک فضای برداری، سیستم تولید حداقلی نامیده می‌شود که وقتی هر بردار از این سیستم حذف شود، دیگر یک سیستم مولد نیست.

اظهار نظر. از تعریف بلافاصله نتیجه می شود که اگر سیستم مولد بردارها حداقل نباشد، حداقل یک بردار از سیستم وجود دارد که پس از حذف آن از سیستم، سیستم بردارهای باقی مانده همچنان تولید می شود.

لما (در یک سیستم تولیدی وابسته به خطی.)

اگر در یک سیستم مولد و وابسته خطی از بردارها، یکی از بردارها به صورت خطی برحسب بردارهای دیگر بیان شود، آنگاه می توان آن را از سیستم حذف کرد و سیستم بردارهای باقی مانده تولید می شود.

اثبات اجازه دهید سیستم
به صورت خطی وابسته و مولد است و بگذارید یکی از بردارهای آن به صورت خطی بر حسب سایر بردارهای این سیستم بیان شود.

برای قطعیت و برای سادگی نمادگذاری، فرض می کنیم که

زیرا
پس یک سیستم مولد است
چنین مجموعه ای از اسکالرها وجود دارد
، چی

از این رو می گیریم

آن ها هر بردار x به صورت خطی بر حسب بردارهای سیستم بیان می شود
یعنی یک سیستم مولد و غیره است.

نتیجه 1. یک سیستم خطی وابسته و مولد بردارها حداقل نیست.

اثبات بلافاصله از لم و تعریف یک سیستم تولید حداقلی از بردارها پیروی می کند.

نتیجه 2. حداقل سیستم تولید بردارها به صورت خطی مستقل است.

اثبات با فرض برعکس، به یک تناقض با نتیجه 1 می رسیم.

تعریف. سیستمی از بردارها در یک فضای برداری را حداکثر سیستم مستقل خطی می نامند که وقتی هر بردار به این سیستم اضافه شود، به صورت خطی وابسته شود.

اظهار نظر. از تعریف بلافاصله نتیجه می شود که اگر سیستم به طور خطی مستقل باشد، اما حداکثر نباشد، یک بردار وجود دارد، هنگامی که به سیستم اضافه می شود، یک سیستم مستقل خطی به دست می آید.

تعریف. اساس یک فضای برداری V بر روی یک میدان K یک سیستم مرتب از بردارهای آن است که هر بردار فضای برداری را به روشی منحصر به فرد نشان می دهد.

به عبارت دیگر، سیستم بردارها
فضای برداری V بر روی یک میدان K را مبنای آن می نامند اگر
تنها یک مجموعه از اسکالرها وجود دارد
، به طوری که .

قضیه. (در چهار تعریف معادل یک مبنا.)

اجازه دهید
یک سیستم مرتب از بردارها در یک فضای برداری است. پس جملات زیرمعادل هستند:

1. سیستم
اساس است.

2. سیستم
یک سیستم خطی مستقل و مولد بردارها است.

3. سیستم
حداکثر سیستم مستقل خطی از بردارها است.

4. سیستم
حداقل سیستم تولید بردارها است.

اثبات

اجازه دهید سیستم بردارها
اساس است. بلافاصله از تعریف یک مبنا برمی‌آید که این سیستم از بردارها یک سیستم مولد بردارهای یک فضای برداری است، بنابراین فقط باید استقلال خطی آن را اثبات کنیم.

فرض کنید سیستم بردارهای داده شده به صورت خطی وابسته است. سپس دو نمایش از بردار صفر وجود دارد - بی اهمیت و غیر پیش پا افتاده، که با تعریف یک مبنا در تضاد است.

اجازه دهید سیستم بردارها
به صورت خطی مستقل و مولد است. ما باید ثابت کنیم که این سیستم مستقل خطی حداکثر است.

بیایید برعکس فرض کنیم. اجازه دهید سیستم مستقل خطی داده شده از بردارها حداکثر نباشد. سپس، به موجب تذکر بالا، یک بردار وجود دارد که می توان به این سیستم اضافه کرد و سیستم بردارها به صورت خطی مستقل باقی می ماند. با این حال، از طرف دیگر، بردار اضافه شده به سیستم را می توان به دلیل اینکه یک سیستم مولد است، به صورت ترکیبی خطی از سیستم اصلی بردارها نشان داد.

و ما دریافتیم که در سیستم جدید، توسعه یافته، بردارها، یکی از بردارهای آن به صورت خطی از طریق دیگر بردارهای این سیستم بیان می شود. چنین سیستمی از بردارها به صورت خطی وابسته است. ما دچار تناقض شدیم.

اجازه دهید سیستم بردارها
فضای برداری حداکثر به صورت خطی مستقل است. اجازه دهید ثابت کنیم که این یک سیستم تولید حداقلی است.

الف) ابتدا ثابت می کنیم که یک سیستم مولد است.

توجه داشته باشید که به دلیل استقلال خطی، سیستم
حاوی بردار تهی نیست. اجازه دهید یک بردار غیر صفر دلخواه باشد. بیایید آن را به سیستم بردارهای داده شده اضافه کنیم:
. سیستم حاصل از بردارهای غیر صفر به صورت خطی وابسته است، زیرا سیستم اصلی بردارها حداکثر به صورت خطی مستقل است. بنابراین، در این سیستم، یک بردار به صورت خطی از طریق بردارهای قبلی بیان شده است. در سیستم مستقل خطی اصلی
هیچ یک از بردارها را نمی توان بر حسب بردارهای قبلی بیان کرد، بنابراین فقط بردار x به صورت خطی بر حسب بردارهای قبلی بیان می شود. بنابراین سیستم
هر بردار غیر صفر را نشان می دهد. لازم به ذکر است که این سیستم به وضوح نشان دهنده بردار صفر است، یعنی. سیستم
مولد است.

ب) حال اجازه دهید حداقل بودن آن را ثابت کنیم. بیایید برعکس فرض کنیم. سپس یکی از بردارهای سیستم را می توان از سیستم حذف کرد و سیستم بردارهای باقی مانده همچنان یک سیستم مولد خواهد بود و بنابراین، بردار حذف شده از سیستم نیز به صورت خطی بر حسب بردارهای باقی مانده از سیستم بیان می شود. که با استقلال خطی سیستم اصلی بردارها در تضاد است.

اجازه دهید سیستم بردارها
فضای برداری یک سیستم تولید حداقلی است. سپس هر بردار فضای برداری را نشان می دهد. ما باید منحصر به فرد بودن نمایندگی را ثابت کنیم.

بیایید برعکس فرض کنیم. اجازه دهید برخی از بردار x را به دو صورت خطی بر حسب بردارهای سیستم داده شده بیان کنیم:

با کم کردن دیگری از یکی به دست می آید:

با نتیجه 2، سیستم
مستقل خطی است، یعنی بردار تهی را فقط به صورت بی اهمیت نشان می دهد، بنابراین تمام ضرایب این ترکیب خطی باید صفر باشد:

بنابراین، هر بردار x به صورت خطی بر حسب بردارهای سیستم داده شده به روشی منحصر به فرد بیان می شود، q.e.d.

قضیه ثابت شده است.

مورد 5. ابعاد فضای برداری

قضیه 1. (درباره تعداد بردارها در سیستمهای مستقل خطی و مولد بردارها.) تعداد بردارها در هر سیستم بردارهای مستقل خطی از تعداد بردارها در هیچ سیستم مولد بردارهای همان فضای برداری تجاوز نمی کند.

اثبات اجازه دهید
سیستم مستقل خطی دلخواه از بردارها،
یک سیستم تولید دلخواه است. بیایید آن را فرض کنیم.

زیرا
سیستم مولد، سپس هر بردار فضا، از جمله بردار را نشان می دهد . بیایید آن را به این سیستم اضافه کنیم. ما یک سیستم خطی وابسته و مولد بردارها را دریافت می کنیم:
. سپس یک بردار وجود دارد
از این سیستم که به صورت خطی بر حسب بردارهای قبلی این سیستم بیان می شود و به موجب لم می توان از سیستم حذف کرد و سیستم بردارهای باقی مانده همچنان در حال تولید خواهند بود.

. زیرا این سیستم در حال تولید است، سپس یک بردار را نشان می دهد
و با اضافه کردن آن به این سیستم، دوباره یک سیستم وابسته خطی و مولد بدست می آوریم: .

سپس همه چیز تکرار می شود. یک بردار در این سیستم وجود دارد که به صورت خطی بر حسب موارد قبلی بیان می شود و نمی تواند بردار باشد. ، زیرا سیستم منبع
مستقل خطی و برداری به صورت خطی بر حسب بردار بیان نمی شود
. بنابراین فقط می تواند یکی از بردارها باشد
. با حذف آن از سیستم، پس از شماره گذاری مجدد، سیستم را به دست می آوریم که سیستم تولید کننده خواهد بود. با ادامه این فرآیند، پس از مراحل، سیستم تولید بردارها را به دست می آوریم: , Where
، زیرا طبق حدس ما این بدان معنی است که این سیستم به عنوان یک مولد، بردار را نیز نشان می دهد که با شرط استقلال خطی سیستم در تضاد است.
.

قضیه 1 ثابت می شود.

قضیه 2. (در مورد تعداد بردارها در یک مبنا.) هر مبنای یک فضای برداری حاوی همان تعداد بردار است.

اثبات اجازه دهید
و
دو پایگاه فضایی بردار دلخواه هستند. هر پایه یک سیستم خطی مستقل و مولد بردارها است.

زیرا سیستم اول به صورت خطی مستقل است و سیستم دوم توسط قضیه 1 ایجاد می کند،
.

به طور مشابه، سیستم دوم به طور خطی مستقل است، و سیستم اول تولید می کند، سپس . از این رو نتیجه می شود که
، و غیره.

قضیه 2 ثابت شد.

این قضیه به ما اجازه می دهد تا تعریف زیر را معرفی کنیم.

تعریف. بعد یک فضای برداری V بر روی یک میدان K تعداد بردارهای پایه آن است.

تعیین:
یا
.

مورد 6. وجود مبنای فضای برداری.

تعریف. فضای برداری را در صورتی که دارای یک سیستم تولید متناهی از بردارها باشد، بعد محدود می نامند.

اظهار نظر. ما فقط فضاهای برداری با بعد محدود را مطالعه خواهیم کرد. علیرغم این واقعیت که ما قبلاً چیزهای زیادی در مورد اساس یک فضای برداری با ابعاد محدود می دانیم، ما مطمئن نیستیم که چنین مبنایی اصلا وجود داشته باشد. تمام خواصی که قبلاً به دست آمده بودند با این فرض به دست آمدند که اساس وجود دارد. قضیه زیر این موضوع را می بندد.

قضیه. (در مورد وجود مبنایی برای فضای برداری با بعد محدود.) هر فضای برداری محدود بعدی یک مبنای دارد.

اثبات با این فرض، یک سیستم تولید محدود از بردارهای یک فضای برداری با بعد محدود V وجود دارد:
.

بلافاصله توجه می کنیم که اگر سیستم تولید بردارها خالی باشد، به عنوان مثال. شامل هیچ بردار نیست، پس طبق تعریف فرض می شود که فضای برداری داده شده تهی است، یعنی.
. در این حالت، طبق تعریف، فرض بر این است که مبنای فضای برداری صفر، یک مبنای خالی است و بعد آن، بنا به تعریف، صفر فرض می شود.

اجازه دهید بیشتر، یک فضای برداری غیر صفر و
سیستم تولید محدود بردارهای غیر صفر. اگر مستقل خطی باشد، همه چیز ثابت می شود، زیرا سیستم مستقل خطی و مولد بردارهای فضای برداری اساس آن است. اگر سیستم بردارهای داده شده به صورت خطی وابسته باشد، یکی از بردارهای این سیستم به صورت خطی بر حسب بردارهای باقی مانده بیان می شود و می توان آن را از سیستم حذف کرد و سیستم بردارهای باقی مانده را به موجب لمای بخش 5. ، همچنان در حال تولید خواهد بود.

سیستم باقیمانده بردارها را مجدداً شماره گذاری می کنیم:
. استدلال بیشتر تکرار می شود. اگر این سیستم به صورت خطی مستقل باشد، یک پایه است. اگر نه، باز هم یک بردار در این سیستم وجود دارد که می توان آن را حذف کرد و سیستم باقی مانده در حال تولید خواهد بود.

با تکرار این فرآیند، نمی‌توانیم یک سیستم برداری خالی باقی بمانیم، زیرا در شدیدترین حالت، ما به یک سیستم تولید کننده یک بردار غیر صفر خواهیم رسید که به طور خطی مستقل است و بنابراین یک پایه است. بنابراین، در مرحله ای به یک سیستم خطی مستقل و مولد بردارها می رسیم، یعنی. به اساس.

قضیه ثابت شده است.

لما اجازه دهید . سپس:

1. هر سیستمی از بردار به صورت خطی وابسته است.

2. هر سیستم خطی مستقل از بردارها اساس آن است.

اثبات 1). با شرط لم، تعداد بردارها در مبنا مساوی است و اساس یک سیستم مولد است، بنابراین تعداد بردارها در هر سیستم مستقل خطی نمی تواند از .

2). همانطور که از آنچه اخیراً ثابت شد، بر می آید، هر سیستم مستقل خطی از بردارها در این فضای برداری، حداکثر است، و از این رو یک پایه است.

لم ثابت شده است.

قضیه (علاوه بر یک مبنا.) هر سیستم خطی مستقل از بردارهای یک فضای برداری را می توان به مبنایی از این فضا تکمیل کرد.

اثبات یک فضای برداری به ابعاد n و را در نظر بگیرید
برخی از سیستم های مستقل خطی از بردارهای آن. سپس
.

اگر
، پس با لم قبلی، این سیستم یک مبنا است و چیزی برای اثبات وجود ندارد.

اگر
، پس این سیستم یک سیستم مستقل خطی حداکثری نیست (در غیر این صورت مبنایی خواهد بود که غیرممکن است، زیرا ). بنابراین، یک بردار وجود دارد
، به گونه ای که سیستم
مستقل خطی است

اگر، اکنون، پس سیستم
اساس است.

اگر
، همه تکرار می شود. روند پر کردن سیستم نمی تواند به طور نامحدود ادامه یابد، زیرا. در هر مرحله، یک سیستم مستقل خطی از بردارها در فضا به دست می آوریم و با لم قبلی، تعداد بردارها در چنین سیستمی نمی تواند از ابعاد فضا بیشتر شود. در نتیجه در مرحله ای به اساس فضای داده شده خواهیم رسید.

قضیه ثابت شده است.

مورد 7. مثال.

1. اجازه دهید K یک میدان دلخواه باشد، یک فضای برداری حسابی از ستون های ارتفاع باشد. سپس . برای اثبات این موضوع، سیستم ستونی این فضا را در نظر بگیرید.

اگر دارای یک سیستم تولید متناهی از بردارها باشد، آن را بعد محدود می نامند.

اظهار نظر. ما فقط فضاهای برداری با بعد محدود را مطالعه خواهیم کرد. علیرغم این واقعیت که ما قبلاً اطلاعات زیادی در مورد اساس یک فضای برداری با ابعاد محدود داریم، مطمئن نیستیم که چنین فضایی حتی وجود داشته باشد. تمام مواردی که قبلاً به دست آمده بودند، با این فرض به دست آمدند که اساس وجود دارد. مورد بعدی این سوال را می بندد.

قضیه. (در مورد وجود مبنایی برای فضای برداری با ابعاد محدود.)

هر فضای برداری با ابعاد محدود، مبنایی دارد.

اثبات با فرض، یک سیستم مولد محدود از فضای برداری با بعد محدود V وجود دارد: .

بلافاصله توجه می کنیم که اگر سیستم تولید بردارها خالی باشد، به عنوان مثال. شامل هیچ بردار نیست، پس طبق تعریف فرض می شود که فضای برداری داده شده تهی است، یعنی. . در این حالت طبق تعریف فرض می شود که مبنای فضای برداری صفر یک پایه خالی است و طبق تعریف برابر با صفر فرض می شود.

اگر این سیستم مستقل باشد، پس همه چیز ثابت می شود، زیرا سیستم مستقل خطی و مولد بردارهای فضای برداری اساس آن است.

اگر سیستم بردارهای داده شده به صورت خطی وابسته باشد، یکی از بردارهای این سیستم به صورت خطی بر حسب بردارهای باقی مانده بیان می شود و می توان آن را از سیستم حذف کرد و سیستم بردارهای باقی مانده همچنان در حال تولید خواهند بود.

بیایید سیستم باقیمانده بردارها را دوباره شماره گذاری کنیم: . استدلال بیشتر تکرار می شود.

اگر این سیستم به صورت خطی مستقل باشد، یک پایه است. اگر نه، باز هم یک بردار در این سیستم وجود دارد که می توان آن را حذف کرد و سیستم باقی مانده در حال تولید خواهد بود.

قضیه ثابت شده است.

لما (در مورد سیستم بردارها در فضای برداری n بعدی.)

اجازه دهید . سپس:

1. هر سیستمی از بردار به صورت خطی وابسته است.

2. هر سیستم خطی مستقل از بردارها اساس آن است.

اثبات 1). با شرط لم، تعداد بردارها در مبنا مساوی است و اساس یک سیستم مولد است، بنابراین تعداد بردارها در هر سیستم مستقل خطی نمی تواند از . هر سیستمی که حاوی بردار باشد به صورت خطی وابسته است.

لم ثابت شده است.

قضیه (علاوه بر یک مبنا.) هر سیستم خطی مستقل از بردارهای یک فضای برداری را می توان به مبنایی از این فضا تکمیل کرد.

اثبات اجازه دهید یک فضای برداری با بعد n و یک سیستم مستقل خطی از بردارهای آن باشد. سپس .

اگر، پس با لم قبلی، این سیستم یک مبنا است و چیزی برای اثبات وجود ندارد.

اگر، پس این سیستم یک نظام مستقل حداکثری نیست (در غیر این صورت مبنایی خواهد بود که غیر ممکن است، زیرا ). بنابراین، یک بردار وجود دارد که سیستم مستقل خطی است

اگر، اکنون، پس سیستم اساس است.

اگر چنین است، همه چیز تکرار می شود. روند پر کردن سیستم نمی تواند به طور نامحدود ادامه یابد، زیرا. در هر مرحله، یک سیستم مستقل خطی از بردارها در فضا به دست می آوریم و با لم قبلی، تعداد بردارها در چنین سیستمی نمی تواند از ابعاد فضا بیشتر شود. در نتیجه، در مرحله ای به مبنای فضای داده شده و غیره می رسیم.

تعریف. اساس

فضای برداری محاسباتی ستون هایی با ارتفاع n متعارف یا طبیعی نامیده می شود.

اجازه دهید Vفضای برداری روی زمین آر, اس- سیستم بردارها از V.

تعریف 1. اساس سیستم بردارها اسچنین زیرسیستم مستقل خطی منظمی نامیده می شود ب 1, ب 2, ..., ب آرسیستم های اس، که هر بردار سیستم استرکیب خطی بردارها ب 1, ب 2, ..., ب آر.

تعریف 2. رتبه سیستم بردارها استعداد بردارهای پایه سیستم است اس. رتبه سیستم بردارها مشخص می شود اسسمبل آر= رتبه اس.

اگر S = ( 0 ، پس سیستم هیچ مبنایی ندارد و فرض می شود که زنگ زده است اس= 0.

مثال 1اجازه دهید سیستمی از بردارها داده شود آ 1 = (1,2), آ 2 = (2,3), آ 3 = (3,5), آ 4 = (1،3). بردار آ 1 , آ 2 اساس این سیستم را تشکیل می دهند، زیرا آنها به صورت خطی مستقل هستند (به مثال 3.1 مراجعه کنید) و آ 3 = آ 1 + آ 2 , آ 4 = 3آ 1 - آ 2. رتبه این سیستم از بردارها دو است.

قضیه 1(قضیه در مورد مبانی). فرض کنید S یک سیستم متناهی از بردارهای V باشد, اس ≠{0 }. سپس ادعاها درست است.

1 ° هر زیرسیستم مستقل خطی از سیستم S را می توان به یک پایه تکمیل کرد.

2 ° سیستم S یک پایه دارد.

2 ° هر دو پایه از سیستم S شامل همان تعداد بردار است، یعنی رتبه سیستم به انتخاب مبنا بستگی ندارد.

4 ° اگر آر= رتبه اس, سپس هر r بردار مستقل خطی اساس سیستم S را تشکیل می دهد.

5 ° اگر آر= رتبه اس, سپس هر بردار k > r سیستم S به صورت خطی وابسته هستند.

6 ° هر بردار آ€ S به صورت خطی منحصر به فرد بر حسب بردارهای پایه بیان می شود، یعنی اگر ب 1, ب 2, ..., بپس R پایه ای از سیستم S است

آ = آ1 ب 1 + آ2 ب 2 +...+ آآرب آر; آ1 , آ2 , ..., آن€ P،(1)

و این دیدگاه تنها است.

بر اساس 5 درجه این است حداکثر زیرسیستم مستقل خطیسیستم های اس، و رتبه سیستم استعداد بردارها در چنین زیر سیستمی.

نمایش برداری آ به شکل (1) نامیده می شود تجزیه یک بردار در بردارهای پایهو اعداد a1 و a2 , ...، آر نامیده می شوند مختصات برداری آ در این مبنا

اثبات 1 درجه اجازه دهید ب 1, ب 2, ..., ب ک- زیرسیستم مستقل خطی سیستم اس. اگر هر بردار سیستم اسبه صورت خطی بر حسب بردارهای زیرسیستم ما بیان می شود، سپس طبق تعریف، اساس سیستم است. اس.

اگر بردار در سیستم وجود دارد اس، که به صورت خطی بر حسب بردار بیان نمی شود ب 1, ب 2, ..., ب ک، سپس آن را با علامت گذاری می کنیم ب ک+1. سپس سیستم ها ب 1, ب 2, ..., ب ک, ب ک+1 - مستقل خطی. اگر هر بردار سیستم اسبه صورت خطی بر حسب بردارهای این زیرسیستم بیان می شود، سپس طبق تعریف، اساس سیستم است. اس.

اگر بردار در سیستم وجود دارد اس، که به صورت خطی بر حسب بیان نمی شود ب 1, ب 2, ..., ب ک, ب ک+1، سپس استدلال را تکرار می کنیم. با ادامه این روند یا به اساس سیستم می رسیم اس، یا تعداد بردارها را در یک سیستم مستقل خطی یک عدد افزایش دهید. از آنجایی که در سیستم استعداد محدودی از بردارها، سپس جایگزین دوم نمی تواند به طور نامحدود ادامه یابد و در مرحله ای اساس سیستم را به دست می آوریم. اس.

2 درجه اجازه دهید اسسیستم محدود بردارها و اس ≠{0 ). سپس در سیستم اسبردار داشته باشد ب 1 ≠ 0، که یک زیرسیستم مستقل خطی از سیستم را تشکیل می دهد اس. با توجه به قسمت اول، می توان آن را به اساس سیستم تکمیل کرد اس. بنابراین سیستم اسمبنایی دارد.

3 درجه فرض کنید که سیستم اسدارای دو پایه:

ب 1, ب 2, ..., ب آر , (2)

سی 1, سی 2, ..., سی اس , (3)

با تعریف مبنا، سیستم بردارها (2) مستقل خطی و (2) Н است اس. علاوه بر این، با تعریف مبنا، هر بردار سیستم (2) ترکیبی خطی از بردارهای سیستم (3) است. سپس با قضیه اصلی در دو سیستم بردار آر £ اس. به همین ترتیب ثابت می شود که اس £ آر. این دو نابرابری دلالت دارند آر = اس.

4 درجه اجازه دهید آر= رتبه اس, آ 1, آ 2, ..., آ آر- زیرسیستم مستقل خطی اس. اجازه دهید نشان دهیم که اساس سیستم ها است اس. اگر مبنا نباشد، با قسمت اول می توان آن را به یک مبنا تکمیل کرد و مبنا را به دست می آوریم آ 1, آ 2, ..., آ آر, آ آر+1,..., آ آر+تیحاوی بیش از آر

5 درجه اگر کبردارها آ 1, آ 2, ..., آ ک (ک > آر) سیستم های اسبه صورت خطی مستقل هستند، سپس در قسمت اول این سیستم بردارها را می توان به یک مبنا تکمیل کرد و یک پایه به دست آوردیم. آ 1, آ 2, ..., آ ک, آ ک+1,..., آ ک+تیحاوی بیش از آربردارها این با آنچه در قسمت سوم ثابت شد در تضاد است.

6 درجه اجازه دهید ب 1, ب 2, ..., ب آراساس سیستم اس. با تعریف پایه، هر بردار آ € استرکیبی خطی از بردارهای پایه است:

آ = a1 ب 1 + a2 ب 2 +...+ar ب آر.

برای اثبات منحصر به فرد بودن چنین نمایشی، برعکس فرض می کنیم که یک نمایش دیگر وجود دارد:

آ = b1 ب 1 + b2 ب 2 +...+br ب آر.

با کم کردن تساوی ها به صورت ترم، متوجه می شویم

0 = (a1 - b1) ب 1 + (a2 - b2) ب 2 +...+ (ar - br) ب آر.

از آنجا که اساس ب 1, ب 2, ..., ب آرسیستم مستقل خطی، سپس تمام ضرایب ai - bi = 0. من = 1, 2, ..., آر. بنابراین ai = bi ; من = 1, 2, ..., آرو منحصر به فرد بودن ثابت می شود.