اگر 2 ردیف در ماتریس با هم برابر باشند. جبر خطی ماتریس ها و عوامل تعیین کننده. الگوریتم ساخت ماتریس معکوس

ماتریس مربع آسفارش nشما می توانید شماره det را مطابقت دهید آ(یا | آ|، یا )، او را صدا کرد تعیین کننده ، به روش زیر:

تعیین کننده ماتریس آبا او تماس بگیرید تعیین کننده . قانون محاسبه دترمینان برای ماتریس سفارش ندرک و کاربرد آن بسیار دشوار است. با این حال، روش‌هایی شناخته شده‌اند که امکان اجرای محاسبه تعیین‌کننده‌های مرتبه بالا را بر اساس تعیین‌کننده‌های مرتبه پایین‌تر فراهم می‌کنند. یکی از روش ها بر اساس خاصیت بسط دترمینانت بر حسب عناصر یک سری خاص است (خاصیت 7). در عین حال، ما توجه می کنیم که مطلوب است بتوانیم تعیین کننده های مرتبه های پایین (1، 2، 3) را طبق تعریف محاسبه کنیم.

محاسبه تعیین کننده مرتبه دوم توسط نمودار نشان داده شده است:

مثال 4.1.تعیین کننده های ماتریس را پیدا کنید

هنگام محاسبه تعیین کننده مرتبه 3، استفاده از آن راحت است قانون مثلث (یا ساروس)، که به طور نمادین می تواند به صورت زیر نوشته شود:

مثال 4.2.تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید

det آ = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

اجازه دهید ویژگی های اصلی تعیین کننده های ذاتی در تعیین کننده های همه ردیف ها را فرموله کنیم. اجازه دهید برخی از این ویژگی ها را با استفاده از تعیین کننده های مرتبه سوم توضیح دهیم.

ملک 1 ("برابری سطرها و ستون ها"). اگر سطرهای آن با ستون ها جایگزین شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند و بالعکس. به عبارت دیگر،

در ادامه، سطرها و ستون ها به سادگی فراخوانی می شوند ردیف های تعیین کننده .

ملک 2 . وقتی دو ردیف موازی با هم عوض می شوند، دترمینان علامت را تغییر می دهد.

ملک 3 . تعیین کننده ای که دو ردیف یکسان دارد صفر است.

ملک 4 . عامل مشترک عناصر هر ردیف از تعیین کننده را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

از خواص 3 و 4 نتیجه می شود که که اگر همه عناصر یک سری معین با عناصر متناظر یک سری موازی متناسب باشند، چنین تعیین کننده ای برابر با صفر است.

واقعا،

ملک 5 . اگر عناصر هر سری از دترمینال مجموع دو جمله باشند، می توان آن را به مجموع دو تعیین کننده متناظر تجزیه کرد.

مثلا،

ملک 6. ("تغییرهای ابتدایی دترمینان"). اگر به عناصر یک سطر، عناصر مربوط به سطر موازی را که در هر عددی ضرب کنیم، تعیین کننده تغییر نمی کند.

مثال 4.3. ثابت کنیم که

راه حل: در واقع با استفاده از خواص 5، 4 و 3 یاد می گیریم

ویژگی های بیشتر تعیین کننده ها با مفاهیم مکمل جزئی و جبری مرتبط است.

جزئیبرخی از عناصر aijتعیین کننده n-هفتم ترتیب را تعیین کننده می گویند n- مرتبه اول، با خط زدن ردیف و ستونی که در تقاطع آنها عنصر انتخاب شده قرار دارد، از نسخه اصلی به دست می آید. نشان داده شده است mij

جمع جبریعنصر aijدر صورت مجموع، تعیین کننده جزئی نامیده می شود که با علامت مثبت گرفته می شود i + jیک عدد زوج و با علامت منفی اگر این مجموع فرد باشد. نشان داده شده است آیج:

ملک 7 («تجزیه دترمین بر حسب ارکان یک سری معین»). دترمینان برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر یک سری معین و مکمل های جبری متناظر آنها.

در اینجا آن دسته از خصوصیاتی که معمولاً برای محاسبه دترمینال ها در درس استاندارد ریاضیات عالی استفاده می شود بیان خواهد شد. این یک مبحث فرعی است که در صورت نیاز از قسمت های باقی مانده به آن اشاره خواهیم کرد.

بنابراین، با توجه به مقداری ماتریس مربع $A_(n\times n)=\left(\begin(آرایه) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & a_(2n) \\ \ldots & a_(2n) \\ \ldots &\n) ) & \ldots & a_(nn) \\ \end(array) \right)$. هر ماتریس مربع دارای یک مشخصه به نام دترمینان (یا دترمینان) است. من در اینجا به اصل این مفهوم نمی پردازم. اگر نیاز به توضیح دارد، لطفاً در مورد آن در انجمن بنویسید و من در مورد این موضوع با جزئیات بیشتری صحبت خواهم کرد.

تعیین کننده ماتریس $A$ به صورت $\Delta A$، $|A|$ یا $\det A$ نشان داده می شود. ترتیب تعیین کنندهبرابر تعداد ردیف ها (ستون ها) در آن است.

1. اگر ردیف های آن با ستون های مربوطه جایگزین شوند، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. $\Delta A=\Delta A^T$.

   نمایش/پنهان کردن

   بیایید ردیف های موجود در آن را با ستون ها مطابق اصل جایگزین کنیم: "ردیف اول وجود داشت - ستون اول شد"، "ردیف دوم وجود داشت - ستون دوم شد":

   بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. همانطور که می بینید، مقدار تعیین کننده نسبت به جایگزینی تغییر نکرده است.

2. اگر دو ردیف (ستون) تعیین کننده را عوض کنید، علامت تعیین کننده به عکس تغییر می کند.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. بیایید مقدار آن را با استفاده از فرمول شماره 1 از مبحث محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم پیدا کنیم:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   حالا بیایید خط اول و دوم را با هم عوض کنیم. تعیین کننده $\left| را دریافت کنید \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. بنابراین، مقدار تعیین کننده اصلی (37-) بود و مقدار تعیین کننده با ترتیب ردیف تغییر یافته $-(-37)=37$ است. علامت تعیین کننده به عکس تغییر کرده است.

3. تعیین کننده ای که در آن تمام عناصر یک ردیف (ستون) برابر با صفر باشد، برابر با صفر است.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در $\ چپ| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ همه عناصر ستون سوم صفر هستند، سپس دترمینان صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. تعیین کننده ای که در آن همه عناصر یک ردیف خاص (ستون) برابر با عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون) برابر با صفر است.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در $\ چپ| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ همه عناصر ردیف اول برابر با عناصر مربوط به ردیف دوم هستند، سپس دترمینان برابر با صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. اگر در تعیین کننده همه عناصر یک ردیف (ستون) با عناصر متناظر یک ردیف دیگر (ستون) متناسب باشند، چنین تعیین کننده ای برابر با صفر است.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در $\ چپ| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ خط دوم و سوم متناسب هستند، یعنی. $r_3=-3\cdot(r_2)$، سپس دترمینان برابر با صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. اگر همه عناصر یک ردیف (ستون) یک عامل مشترک داشته باشند، می توان این عامل را از علامت تعیین کننده خارج کرد.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. توجه داشته باشید که تمام عناصر ردیف دوم بر 3 بخش پذیر هستند:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   عدد 3 فاکتور مشترک همه عناصر ردیف دوم است. بیایید سه گانه را از علامت تعیین کننده خارج کنیم:

   $$ \ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. اگر به تمام عناصر یک ردیف خاص (ستون) عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون) را که در یک عدد دلخواه ضرب می شود اضافه کنیم، تعیین کننده تغییر نمی کند.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید به عناصر خط دوم عناصر مربوط به خط سوم را در 5 ضرب کنیم. این عمل را به صورت زیر بنویسید: $r_2+5\cdot(r_3)$. خط دوم تغییر می کند، بقیه خطوط بدون تغییر باقی می مانند.

   $$ \ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. اگر یک سطر (ستون) معین در دترمینان ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) باشد، دترمینان برابر با صفر است.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   من بلافاصله توضیح خواهم داد که عبارت "ترکیب خطی" به چه معناست. اجازه دهید s ردیف (یا ستون) داشته باشیم: $A_1$، $A_2$،...، $A_s$. اصطلاح

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   که در آن $k_i\در R$ ترکیبی خطی از ردیف‌ها (ستون‌ها) $A_1$، $A_2$،...، $A_s$ نامیده می‌شود.

   به عنوان مثال، تعیین کننده زیر را در نظر بگیرید:

   $$ \ چپ| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array) \right| $$

   در این تعیین کننده، ردیف چهارم را می توان به صورت ترکیبی خطی از سه ردیف اول بیان کرد:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   بنابراین، تعیین کننده مورد نظر برابر با صفر است.

9. اگر هر عنصر از یک ردیف k-امین معین (ستون k-امین) یک تعیین کننده برابر با مجموع دو جمله باشد، چنین تعیین کننده ای برابر با مجموع عوامل تعیین کننده است که اولین آنها دارای جمله های اول در ردیف k-امین (ستون k-امین) و تعیین کننده دوم دارای جمله های دوم در ردیف k-امین (ستون k-امین) است. سایر عناصر این تعیین کننده ها یکسان هستند.

   نمونه ای از استفاده از این ویژگی: show\hide

   $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید عناصر ستون دوم را به این صورت بنویسیم: $\left| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. سپس چنین تعیین کننده ای برابر است با مجموع دو تعیین کننده:

   $$ \ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (cccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. دترمینان حاصل ضرب دو ماتریس مربعی هم‌ترتیب برابر است با حاصلضرب تعیین‌کننده‌های این ماتریس‌ها، یعنی. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. از این قانون، می توانید فرمول زیر را دریافت کنید: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. اگر ماتریس $A$ غیر مفرد است (یعنی تعیین کننده آن برابر با صفر نیست)، آنگاه $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

فرمول های محاسبه عوامل تعیین کننده

برای تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم، فرمول های زیر درست است:

\begin(معادله) \Delta A=\left| \begin(آرایه) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_(12)\cdot a_(21) \end(معادله) \begin(معادله) \begin(معادله) \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(11)\cdot a_(11)\cdot a_(11) a_(23)\cdot a_(31)+a_(21)\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(21)\cdot a_(21)\cdot a_(21)\cdot a_(21)\cdot a_(21)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22) _(11) \end(تراز شده) \end(معادله)

نمونه هایی از استفاده از فرمول های (1) و (2) در مبحث "فرمول های محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم. نمونه هایی از محاسبه دترمیناتور" آمده است.

تعیین کننده ماتریس $A_(n\times n)$ را می توان با استفاده از فرمول زیر در ردیف i-ام گسترش داد:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ldots+a_(in)A_(in) \end(معادله)

آنالوگ این فرمول نیز برای ستون ها وجود دارد. فرمول گسترش دترمینان در ستون j به شرح زیر است:

\begin(معادله)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ldots+a_(nj)A_(nj) \end(معادله)

قواعد بیان شده با فرمول های (3) و (4) به طور مفصل با مثال ها نشان داده شده و در مبحث کاهش ترتیب یک تعیین کننده توضیح داده شده است. تجزیه دترمینان در یک ردیف (ستون).

ما یک فرمول دیگر را برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مثلثی بالا و پایین نشان می دهیم (برای توضیح این اصطلاحات به مبحث "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. اصطلاحات اساسی" مراجعه کنید). تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با حاصلضرب عناصر در مورب اصلی است. مثال ها:

\ آغاز (تراز) &\ چپ| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \\end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)\\\-4. \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \\end(array) \right|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (تراز شده)

مشخصه عددی اصلی یک ماتریس مربع، تعیین کننده آن است. یک ماتریس مربع مرتبه دوم را در نظر بگیرید

تعیین کننده یا تعیین کننده مرتبه دوم عددی است که طبق قانون زیر محاسبه می شود

مثلا،

حال اجازه دهید ماتریس مربع مرتبه سوم را در نظر بگیریم

.

تعیین کننده مرتبه سوم عددی است که طبق قانون زیر محاسبه می شود

برای به خاطر سپردن ترکیب اصطلاحات موجود در عبارات برای تعیین تعیین کننده مرتبه سوم، معمولاً از قانون ساروس: اولین مورد از سه عبارت موجود در سمت راست با علامت مثبت حاصل ضرب عناصر روی قطر اصلی ماتریس است و هر یک از دو عبارت دیگر حاصلضرب عناصری است که در موازی این قطر قرار دارند و عنصری از گوشه مقابل ماتریس است.

سه عبارت آخر که با علامت منفی وارد می شوند به روشی مشابه، فقط با توجه به قطر ثانویه تعریف می شوند.

مثال:

ویژگی های اساسی تعیین کننده های ماتریس

1. وقتی ماتریس جابجا می شود، مقدار تعیین کننده تغییر نمی کند.

2. هنگام تنظیم مجدد ردیف ها یا ستون های ماتریس، تعیین کننده تنها علامت را تغییر می دهد، در حالی که مقدار مطلق را حفظ می کند.

3. تعیین کننده حاوی سطرها یا ستون های متناسب برابر با صفر است.

4. ضریب مشترک عناصر فلان سطر یا ستون را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

5. اگر همه عناصر یک سطر یا ستون برابر با صفر باشند، خود تعیین کننده برابر با صفر است.

6. اگر به عناصر یک سطر یا ستون جداگانه از تعیین کننده، عناصر یک سطر یا ستون دیگر را که در یک ضریب غیر انحطاط دلخواه ضرب کنیم، اضافه کنیم، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

جزئیماتریس تعیین کننده ای است که با حذف همان تعداد ستون و ردیف از یک ماتریس مربع به دست می آید.

اگر تمام مینورهای مرتبه بالا که می توان از ماتریس تشکیل داد برابر با صفر باشند و در بین مینورهای مرتبه حداقل یک غیر صفر باشد، به عدد گفته می شود. رتبه این ماتریس

جمع جبریعنصر تعیین‌کننده ترتیب، مینور آن را که با حذف سطر و ستون مربوطه به دست می‌آید، می‌گوییم که در محل تقاطع آن‌ها اگر مجموع شاخص‌ها برابر با یک عدد زوج باشد، عنصری با علامت مثبت گرفته می‌شود و در غیر این صورت با علامت منفی.

بدین ترتیب

,

ترتیب مربوطه کجاست

محاسبه دترمینان یک ماتریس با تجزیه بر روی عناصر یک ردیف یا ستون

تعیین کننده ماتریس برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر هر سطر (هر ستون) ماتریس و مکمل های جبری مربوط به عناصر این ردیف (این ستون). هنگام محاسبه تعیین کننده یک ماتریس به این روش، باید با قانون زیر هدایت شود: سطر یا ستونی را با بیشترین تعداد عناصر صفر انتخاب کنید. این تکنیک می تواند میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش دهد.

مثال: .

هنگام محاسبه این تعیین کننده، از روش بسط آن توسط عناصر ستون اول استفاده کردیم. همانطور که از فرمول بالا مشخص است، نیازی به محاسبه آخرین تعیین کننده مرتبه دوم نیست، زیرا در صفر ضرب می شود

محاسبه ماتریس معکوس

هنگام حل معادلات ماتریس، ماتریس معکوس به طور گسترده ای استفاده می شود. تا حدی جایگزین عمل تقسیم می شود که به صورت صریح در جبر ماتریسی وجود ندارد.

ماتریس های مربعی هم مرتبه که حاصلضرب آنها ماتریس هویت را می دهد، متقابل یا معکوس نامیده می شوند. ماتریس معکوس نشان داده شده است و برای آن صادق است

شما می توانید ماتریس معکوس را فقط برای چنین ماتریسی که برای آن .

الگوریتم کلاسیک برای محاسبه ماتریس معکوس

1. ماتریس انتقال یافته به ماتریس را یادداشت کنید.

2. هر عنصر ماتریس را با تعیین کننده به دست آمده در نتیجه حذف سطر و ستونی که در تقاطع آنها قرار دارد جایگزین کنید.

3. اگر مجموع شاخص های عنصر زوج باشد، این تعیین کننده با علامت مثبت همراه است و در غیر این صورت علامت منفی است.

4. ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم کنید.

- پرنده را به مرگ حتمی رها کنید!
بگذار آزادی او را نوازش کند!
و کشتی در حال حرکت است و راکتور در حال غرش است...
- پاش تو لجبازی؟

یادم هست قبل از کلاس هشتم جبر را دوست نداشتم. اصلا دوست نداشت او مرا عصبانی کرد. چون هیچی نفهمیدم

و سپس همه چیز تغییر کرد، زیرا من یک تراشه را قطع کردم:

در ریاضیات به طور کلی (و جبر به طور خاص) همه چیز بر اساس یک سیستم مناسب و سازگار از تعاریف است. شما تعاریف را می دانید، ماهیت آنها را درک می کنید - فهمیدن بقیه کار دشواری نخواهد بود.

این موضوع درس امروز است. ما چندین موضوع و تعاریف مرتبط را به تفصیل بررسی خواهیم کرد که به لطف آنها یک بار برای همیشه با ماتریس ها، تعیین کننده ها و تمام ویژگی های آنها سروکار خواهید داشت.

دترمینان ها یک مفهوم مرکزی در جبر ماتریسی هستند. مانند فرمول های ضرب اختصاری، آنها در طول دوره ریاضیات پیشرفته شما را آزار می دهند. بنابراین، ما به طور کامل می خوانیم، تماشا می کنیم و درک می کنیم. :)

و ما با صمیمی ترین شروع خواهیم کرد - ماتریس چیست؟ و نحوه کار با آن.

قرار دادن صحیح شاخص ها در ماتریس

یک ماتریس فقط یک جدول پر از اعداد است. نئو اینجا نیست.

یکی از ویژگی های کلیدی یک ماتریس ابعاد آن است، یعنی. تعداد سطرها و ستون هایی که از آن تشکیل شده است. معمولاً گفته می شود که یک ماتریس $A$ دارای اندازه $\left[ m\times n \right]$ است اگر دارای ردیف $m$ و ستون $n$ باشد. اینجوری بنویس:

یا مثل این:

عناوین دیگری نیز وجود دارد - همه اینها به ترجیحات استاد / حوزوی / نویسنده کتاب درسی بستگی دارد. اما در هر صورت، با این همه $\left[ m\times n \right]$ و $((a)_(ij))$، همان مشکل پیش می آید:

کدام شاخص چه کاری انجام می دهد؟ اول شماره سطر بعد شماره ستون؟ یا برعکس؟

هنگام خواندن سخنرانی ها و کتاب های درسی، پاسخ واضح به نظر می رسد. اما وقتی در امتحان فقط یک برگه با یک کار در مقابل شما باشد، می توانید نگران شوید و ناگهان گیج شوید.

پس بیایید یک بار برای همیشه به این موضوع بپردازیم. ابتدا، بیایید سیستم مختصات معمول را از درس ریاضی مدرسه یادآوری کنیم:

معرفی یک سیستم مختصات در هواپیما

او را به خاطر می آورید؟ دارای مبدا (نقطه $O=\left(0;0 \right)$) از محورهای $x$ و $y$ است، و هر نقطه در صفحه به طور منحصر به فرد توسط مختصات تعیین می شود: $A=\left(1;2 \right)$, $B=\left(3;1 \right)$ و غیره.

و حالا بیایید این ساختار را بگیریم و در کنار ماتریس قرار دهیم تا مبدا در گوشه سمت چپ بالا باشد. چرا آنجا؟ بله، زیرا هنگام باز کردن یک کتاب، از گوشه سمت چپ بالای صفحه شروع به خواندن می کنیم - به خاطر سپردن این موضوع آسان تر از همیشه است.

اما محورها را به کجا هدایت کنیم؟ آنها را طوری هدایت می کنیم که کل "صفحه" مجازی ما تحت پوشش این محورها قرار گیرد. درست است، برای این ما باید سیستم مختصات خود را بچرخانیم. تنها گزینه ممکن برای این مکان:

اکنون هر سلول ماتریس دارای مختصات تک مقداری $x$ و $y$ است. به عنوان مثال، ورودی $((a)_(24))$ به این معنی است که ما به عنصری با مختصات $x=2$ و $y=4$ دسترسی داریم. ابعاد ماتریس نیز با یک جفت عدد مشخص می شود:

فقط کافی است به این عکس دقت کنید. با مختصات بازی کنید (مخصوصاً وقتی با ماتریس ها و دترمینال های واقعی کار می کنید) - و خیلی زود متوجه خواهید شد که حتی در پیچیده ترین قضایا و تعاریف نیز کاملاً متوجه می شوید که چه چیزی در خطر است.

فهمیدم؟ خوب، بیایید به مرحله اول روشنگری برویم - تعریف هندسی تعیین کننده. :)

تعریف هندسی

اول از همه، من می خواهم توجه داشته باشم که تعیین کننده فقط برای ماتریس های مربعی به شکل $\left[n\times n \right]$ وجود دارد. تعیین کننده عددی است که طبق قوانین خاصی محاسبه می شود و یکی از ویژگی های این ماتریس است (ویژگی های دیگری نیز وجود دارد: رتبه، بردارهای ویژه، اما در دروس دیگر بیشتر به آن اشاره می شود).

خوب این ویژگی چیست؟ چه مفهومی داره؟ ساده است:

تعیین کننده یک ماتریس مربع $A=\left[n\times n \right]$ حجم یک متوازی الاضلاع $n$-بعدی است که اگر ردیف های ماتریس را بردارهایی در نظر بگیریم که لبه های این متوازی الاضلاع را تشکیل می دهند، تشکیل می شود.

به عنوان مثال، تعیین کننده یک ماتریس 2x2 فقط مساحت یک متوازی الاضلاع است، و برای یک ماتریس 3x3 حجم یک متوازی الاضلاع سه بعدی است - همان چیزی که همه دانش آموزان دبیرستانی را در درس های استریومتری بسیار خشمگین می کند.

در نگاه اول، این تعریف ممکن است کاملاً ناکافی به نظر برسد. اما بیایید در نتیجه گیری عجله نکنیم - بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم. در واقع، همه چیز ابتدایی است، واتسون:

وظیفه. تعیین کننده های ماتریس را پیدا کنید:

\[\چپ| \begin(ماتریس) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(ماتریس) \right|\quad \چپ| \begin(ماتریس) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(ماتریس) \right|\quad \ چپ| \ آغاز (ماتریس) 2 و 0 و 0 \\ 1 و 3 و 0 \\ 1 و 1 و 4 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

راه حل. دو عامل اول 2x2 هستند. بنابراین، اینها فقط مساحت متوازی الاضلاع هستند. بیایید آنها را بکشیم و مساحت را محاسبه کنیم.

اولین متوازی الاضلاع بر روی بردارهای $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ و $((v)_(2))=\left(0;3 \right)$ ساخته شده است:

تعیین کننده 2x2 مساحت متوازی الاضلاع است

بدیهی است که این فقط یک متوازی الاضلاع نیست، بلکه کاملاً یک مستطیل است. مساحت آن برابر است

متوازی الاضلاع دوم بر روی بردارهای $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ و $((v)_(2))=\left(2;2 \right)$ ساخته شده است. خب پس چی؟ این هم یک مستطیل:

یکی دیگر از تعیین کننده 2x2

اضلاع این مستطیل (در واقع طول بردارها) به راحتی با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه می شود:

\[\شروع(تراز) و \چپ| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \ چپ| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\ & S=\ چپ| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\پایان (تراز کردن)\]

باقی مانده است که با آخرین تعیین کننده مقابله کنیم - در حال حاضر یک ماتریس 3x3 وجود دارد. ما باید استریومتری را به خاطر بسپاریم:

تعیین کننده 3x3 حجم متوازی الاضلاع است

جالب به نظر می رسد، اما در واقع کافی است فرمول حجم یک موازی را به خاطر بیاوریم:

جایی که $S$ مساحت پایه است (در مورد ما مساحت متوازی الاضلاع در صفحه $OXY$ است)، $h$ ارتفاعی است که به این پایه کشیده شده است (در واقع، مختصات $z$ بردار $((v)_(3))$).

مساحت متوازی الاضلاع (ما آن را جداگانه ترسیم کردیم) نیز به راحتی قابل محاسبه است:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! پاسخ ها را یادداشت می کنیم.

پاسخ: 3; 4; 24.

یک نکته کوچک در مورد سیستم نشانه گذاری. احتمالاً کسی دوست ندارد که من "فلش" روی بردارها را نادیده بگیرم. ظاهراً از این طریق می توانید یک بردار را با یک نقطه یا چیز دیگری اشتباه بگیرید.

اما بیایید جدی باشیم: ما در حال حاضر پسران و دختران بالغی هستیم، بنابراین وقتی در مورد یک بردار صحبت می کنیم، و زمانی که در مورد یک نقطه صحبت می کنیم، کاملاً از زمینه درک می کنیم. فلش‌ها فقط روایت را پر می‌کنند، که قبلاً با فرمول‌های ریاضی پر شده است.

و بیشتر. در اصل، هیچ چیز مانع از در نظر گرفتن تعیین کننده یک ماتریس 1x1 نمی شود - چنین ماتریسی فقط یک سلول است و عدد نوشته شده در این سلول تعیین کننده خواهد بود. اما در اینجا یک نکته مهم وجود دارد:

بر خلاف حجم کلاسیک، تعیین کننده به ما به اصطلاح " حجم جهت دار"، یعنی حجم، با در نظر گرفتن دنباله در نظر گرفتن بردارهای ردیف.

و اگر می خواهید حجم را به معنای کلاسیک کلمه بدست آورید، باید مدول تعیین کننده را بگیرید، اما اکنون نباید نگران آن باشید - به هر حال، در عرض چند ثانیه یاد خواهیم گرفت که چگونه هر تعیین کننده را با هر علامت، اندازه و غیره بشماریم :)

تعریف جبری

با تمام زیبایی و وضوح رویکرد هندسی، یک اشکال جدی دارد: چیزی در مورد نحوه محاسبه این بسیار تعیین کننده به ما نمی گوید.

بنابراین، اکنون ما یک تعریف جایگزین - جبری را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. برای انجام این کار، ما به یک آماده سازی نظری مختصر نیاز داریم، اما در خروجی ابزاری به دست خواهیم آورد که به ما امکان می دهد هر چیزی را در ماتریس ها به دلخواه محاسبه کنیم.

درست است، یک مشکل جدید وجود خواهد داشت ... اما اول از همه.

جایگشت ها و وارونگی ها

بیایید یک خط از اعداد از 1 تا $n$ بنویسیم. شما چیزی شبیه به این دریافت می کنید:

حالا (صرفاً برای سرگرمی) اجازه دهید چند عدد را با هم عوض کنیم. شما می توانید همسایه را تغییر دهید

یا شاید خیلی همسایه نیست:

میدونی چیه؟ و هیچی! در جبر به این چرندیات جایگشت می گویند. و خواص بسیار زیادی دارد.

تعریف. جایگشت به طول $n$ رشته ای از $n$ اعداد مختلف است که به هر ترتیبی نوشته شده است. معمولاً اولین اعداد طبیعی $n$ در نظر گرفته می شوند (یعنی دقیقاً اعداد 1، 2، ...، $n$) و سپس آنها را به هم می زنند تا جایگشت مورد نظر به دست آید.

جایگشت ها به همان روش بردارها نشان داده می شوند - فقط یک حرف و شمارش متوالی عناصر آنها در پرانتز. به عنوان مثال: $p=\left(1;3;2 \right)$ یا $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. حرف می تواند هر چیزی باشد، اما بگذارید $p$ باشد. :)

علاوه بر این، برای سادگی ارائه، ما با جایگشت های طول 5 کار خواهیم کرد - آنها در حال حاضر به اندازه کافی جدی هستند تا هر گونه اثرات مشکوک را مشاهده کنند، اما هنوز برای یک مغز شکننده به اندازه جایگشت های طول 6 و بیشتر جدی نیستند. در اینجا نمونه هایی از این جابجایی ها آورده شده است:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \(راست) \\]

به طور طبیعی، یک جایگشت به طول $n$ را می توان به عنوان تابعی در نظر گرفت که در مجموعه $\left\( 1;2;...;n \right\)$ تعریف شده است و به صورت دوگانه این مجموعه را روی خودش نگاشت می کند. با بازگشت به جایگشت های $((p)_(1))$، $((p)_(2))$، و $((p)_(3))$ که به تازگی یادداشت کردیم، می توانیم به طور قانونی بنویسیم:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\left(2 \راست)=4;\]

تعداد جایگشت های مختلف با طول $n$ همیشه محدود و برابر است با $n!$ - این واقعیتی است که به راحتی از طریق ترکیبیات قابل اثبات است. به عنوان مثال، اگر بخواهیم همه جایگشت های طول 5 را بنویسیم، در این صورت تردید زیادی خواهیم داشت، زیرا چنین جایگشت هایی وجود خواهد داشت.

یکی از ویژگی های کلیدی هر جایگشت، تعداد وارونگی در آن است.

تعریف. وارونگی در جایگشت $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;(a)_(n)) \right)$ هر جفتی است $\left(((a)_(i));(a)_(j)) \right)$ به گونه ای که $i \lt j$) (a) (a)_ به بیان ساده، وارونگی زمانی است که یک عدد بزرگتر در سمت چپ عدد کوچکتر (نه لزوما یک عدد همسایه) قرار دارد.

ما از $N\left(p \right)$ برای نشان دادن تعداد وارونگی‌ها در جایگشت $p$ استفاده می‌کنیم، اما آماده باشید که نمادهای دیگر را در کتاب‌های درسی مختلف و توسط نویسندگان مختلف برآورده کنید - در اینجا استانداردهای یکسانی وجود ندارد. مبحث وارونگی بسیار گسترده است و درس جداگانه ای به آن اختصاص داده خواهد شد. اکنون وظیفه ما این است که یاد بگیریم چگونه آنها را در مسائل واقعی بشماریم.

برای مثال، بیایید تعداد وارونگی‌ها را در جایگشت $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ بشماریم:

\[\ چپ (4; 3 \ راست);\ چپ (4; 2 \ راست)؛ \ چپ (5; 3 \ راست)؛ \ چپ (5; 2 \ راست)؛ \ چپ (3; 2 \ راست).\]

بنابراین، $N\left(p \right)=5$. همانطور که می بینید، هیچ مشکلی در این مورد وجود ندارد. فوراً باید بگویم: در ادامه ما نه به عدد $N\left(p\right)$ بلکه به زوج/عجیب بودن آن علاقه خواهیم داشت. و در اینجا به آرامی به اصطلاح کلیدی درس امروز می رویم.

چه چیزی تعیین کننده است

اجازه دهید $A=\left[n\times n \right]$ یک ماتریس مربع باشد. سپس:

تعریف. تعیین کننده ماتریس $A=\left[n\times n \right]$ مجموع جبری $n!$ عبارت است که به صورت زیر تشکیل شده است. هر جمله حاصل ضرب عناصر ماتریس $n$ است که از هر سطر و هر ستون یکی گرفته می شود و در (-1) به توان تعداد وارونگی ها ضرب می شود:

\[\چپ| A \right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

نکته اساسی در انتخاب عوامل برای هر عبارت در تعیین کننده این واقعیت است که هیچ دو عاملی در یک ردیف یا در یک ستون قرار ندارند.

به لطف این، می‌توانیم بدون از دست دادن کلیت فرض کنیم که شاخص‌های $i$ فاکتورهای $((a)_(i;j))$ از مقادیر 1، ...، $n$، و شاخص‌های $j$ جایگشتی از اولین‌ها هستند:

و هنگامی که یک جایگشت $p$ وجود دارد، می‌توانیم به راحتی وارونگی‌های $N\left(p \right)$ را محاسبه کنیم - و جمله بعدی تعیین‌کننده آماده است.

به طور طبیعی، هیچ کس تعویض فاکتورها را در هیچ اصطلاحی ممنوع نمی کند (یا به طور همزمان - چرا با چیزهای بی اهمیت زحمت بکشید؟)، و سپس اولین شاخص ها نیز نوعی جابجایی را نشان خواهند داد. اما در نهایت، هیچ چیز تغییر نخواهد کرد: تعداد کل وارونگی‌ها در شاخص‌های $i$ و $j$ حتی تحت چنین انحرافی‌ها باقی می‌ماند، که کاملاً با قانون خوب قدیمی سازگار است:

با مرتب کردن مجدد عوامل، حاصل ضرب اعداد تغییر نمی کند.

اما نیازی نیست این قانون را به ضرب ماتریسی بکشید - برخلاف ضرب اعداد، جایگزینی نیست. اما من پرت می شوم. :)

ماتریس 2x2

در واقع، شما همچنین می توانید یک ماتریس 1x1 را در نظر بگیرید - یک سلول خواهد بود و تعیین کننده آن، همانطور که ممکن است حدس بزنید، برابر با عدد نوشته شده در این سلول است. هیچ چیز جالبی نیست

بنابراین بیایید یک ماتریس مربع 2x2 را در نظر بگیریم:

\[\ چپ[ \ آغاز (ماتریس) ((a)_(11)) و ((a)_(12)) \\ (((a)_(21)) و ((a)_(22)) \\\پایان(ماتریس) \راست]\]

از آنجایی که تعداد ردیف‌های موجود در آن $n=2$ است، پس تعیین کننده شامل $n!=2!=1\cdot 2=2$ خواهد بود. بیایید آنها را بنویسیم:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((\left(-1 \right))^(0))\cdot ((a)__(1)(a)__(1) ((الف)_(22))؛ \\ & ((\left(-1 \راست))^(N\left(2;1 \راست)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((\left(-1 \راست))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(12)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a)(a) 1)). \\\پایان (تراز کردن)\]

بدیهی است که هیچ وارونگی در جایگشت $\left(1;2 \right)$ که از دو عنصر تشکیل شده است وجود ندارد، بنابراین $N\left(1;2 \right)=0$. اما در جایگشت $\left(2;1 \right)$ یک وارونگی وجود دارد (در واقع، 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

در مجموع، فرمول جهانی برای محاسبه تعیین کننده برای یک ماتریس 2x2 به صورت زیر است:

\[\چپ| \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\پایان(ماتریس) \راست|=((a)_(11))((a)_(22)-(a)_(12)((a)_(12))

از نظر گرافیکی، این می تواند به عنوان حاصل ضرب عناصر در مورب اصلی، منهای حاصلضرب عناصر در ثانویه نشان داده شود:

بیایید به چند مثال نگاه کنیم:

\[\چپ| \begin(ماتریس) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(ماتریس) \right|;\quad \left| \ آغاز (ماتریس) 7 و 12 \\ 14 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \راست|.\]

راه حل. همه چیز در یک خط در نظر گرفته شده است. ماتریس اول:

و دومی:

پاسخ: -3; -161.

با این حال، خیلی آسان بود. بیایید به ماتریس های 3x3 نگاه کنیم - قبلاً در آنجا جالب است.

ماتریس 3x3

اکنون یک ماتریس مربع 3x3 را در نظر بگیرید:

\[\left[ \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)_(31) (3) ) \راست]\]

هنگام محاسبه تعیین کننده آن، عبارت‌های $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ را دریافت می‌کنیم - نه چندان برای وحشت، اما برای شروع به جستجوی برخی الگوها کافی است. ابتدا، بیایید تمام جایگشت های سه عنصر را بنویسیم و وارونگی هر یک از آنها را محاسبه کنیم:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\left(1;2;3 \right)=0; \\ & ((p)_(2))=\چپ(1;3;2 \راست)\راست فلش N\چپ(((p)_(2)) \راست)=N\left(1;3;2 \راست)=1; \\ & ((p)_(3))=\چپ(2;1;3 \راست)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1;3 \راست)=1; \\ & ((p)_(4))=\چپ(2;3;1 \راست)\راست فلش N\چپ(((p)_(4)) \راست)=N\چپ(2;3;1 \راست)=2; \\ & ((p)_(5))=\چپ(3;1;2 \راست)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1;2 \راست)=2; \\ & ((p)_(6))=\چپ(3;2;1 \راست)\پیکان راست N\چپ(((p)_(6)) \راست)=N\چپ(3;2;1 \راست)=3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همانطور که انتظار می رود، 6 جایگشت $((p)_(1))$، ... $((p)_(6))$ وجود دارد (به طور طبیعی، می توان آنها را به ترتیب دیگری نوشت - ماهیت این تغییر نخواهد کرد)، و تعداد وارونگی ها در آنها از 0 تا 3 متغیر است.

به طور کلی، ما سه جمله مثبت (که $N\left(p \right)$ زوج است) و سه جمله منفی دیگر خواهیم داشت. به طور کلی، تعیین کننده طبق فرمول محاسبه می شود:

\[\چپ| \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) و ((a)_(31)) و ((a)_(32) شروع(ماتریس) ((a)_ (11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))(a)_(23))((a)_(31))+(a)_(13))(a)_(21))((a)_(21))((a)_(21))(a) ((a)_(31))-((a)_(12))(a) _(21))((a)_(33))-((a)_(11))(a)_(23))((a)_(32)) \\\پایان(ماتریس)\]

فقط الان ننشین و با عصبانیت تمام این شاخص ها را جمع کن! به جای اعداد نامفهوم، بهتر است قانون یادگاری زیر را به خاطر بسپارید:

قانون مثلث برای پیدا کردن تعیین کننده یک ماتریس 3x3، باید سه حاصل از عناصر را در مورب اصلی و در رأس مثلث های متساوی الساقین با ضلعی موازی با این قطر اضافه کنید و سپس همان سه حاصل را کم کنید، اما در مورب ثانویه. از نظر شماتیک به این صورت است:

تعیین کننده ماتریس 3x3: قانون مثلث ها

این مثلث ها (یا پنتاگرام ها - هر طور که دوست دارید) هستند که آنها دوست دارند در انواع کتاب های درسی و کتاب های راهنمای جبر ترسیم کنند. با این حال، اجازه دهید در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نکنیم. بهتر است یکی از این عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم - برای گرم کردن قبل از یک قلع واقعی. :)

وظیفه. تعیین کننده را محاسبه کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 \\ 4 و 5 و 6 \\ 7 و 8 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

راه حل. ما طبق قانون مثلث کار می کنیم. ابتدا بیایید سه جمله تشکیل شده از عناصر روی مورب اصلی و موازی با آن را محاسبه کنیم:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end (تراز کردن)\]

حالا بیایید به مورب جانبی بپردازیم:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end (تراز کردن)\]

فقط باقی می ماند که دومی را از عدد اول کم کنیم - و پاسخ را می گیریم:

همین!

با این حال، عوامل تعیین کننده ماتریس های 3x3 هنوز اوج مهارت نیستند. جالب ترین چیز بیشتر در انتظار ما است. :)

طرح کلی برای محاسبه عوامل تعیین کننده

همانطور که می دانیم، با افزایش ابعاد ماتریس $n$، تعداد عبارات در تعیین کننده $n!$ است و به سرعت رشد می کند. به هر حال، فاکتوریل یک تابع نسبتاً سریع در حال رشد است.

در حال حاضر برای ماتریس های 4x4، شمارش تعیین کننده های پیش رو (یعنی از طریق جایگشت) به نوعی خوب نیست. من به طور کلی در مورد 5x5 و بیشتر سکوت می کنم. بنابراین، برخی از ویژگی های تعیین کننده به مورد مرتبط است، اما برای درک آنها کمی آمادگی نظری لازم است.

آماده؟ برو!

ماتریس مینور چیست؟

اجازه دهید یک ماتریس دلخواه $A=\left[ m\times n \right]$ داده شود. توجه: لزوماً مربع نیست. برخلاف عوامل تعیین کننده، مینورها چیزهای بامزه ای هستند که نه تنها در ماتریس های مربع خشن وجود دارند. ما چندین ردیف و ستون (مثلاً $k$) در این ماتریس با $1\le k\le m$ و $1\le k\le n$ انتخاب می کنیم. سپس:

تعریف. دستور جزئی $k$ تعیین کننده ماتریس مربع است که در تقاطع ستون ها و ردیف های $k$ انتخاب شده ظاهر می شود. ما همچنین خود این ماتریس جدید را جزئی می نامیم.

چنین جزئی با $((M)_(k))$ نشان داده می شود. به طور طبیعی، یک ماتریس می‌تواند یک دسته کامل از جزئی‌ها به ترتیب $k$ داشته باشد. در اینجا نمونه ای از سفارش 2 مینور برای ماتریس $\left[ 5\times 6 \right]$ آورده شده است:

انتخاب $k = 2$ ستون و ردیف برای تشکیل یک مینور

لازم نیست مانند مثال بالا سطرها و ستون های انتخاب شده در کنار هم باشند. نکته اصلی این است که تعداد سطرها و ستون های انتخاب شده یکسان باشد (این عدد $k$ است).

تعریف دیگری نیز وجود دارد. شاید کسی آن را بیشتر دوست داشته باشد:

تعریف. اجازه دهید یک ماتریس مستطیل شکل $A=\left[ m\times n \right]$ داده شود. اگر پس از حذف یک یا چند ستون و یک یا چند سطر در آن، یک ماتریس مربع به اندازه $\left[ k\times k \right]$ تشکیل شود، آنگاه تعیین کننده آن جزئی $((M)_(k))$ است. ما همچنین گاهی اوقات خود ماتریس را جزئی می نامیم - این از زمینه مشخص خواهد شد.

همانطور که گربه من می گفت، گاهی اوقات بهتر است یک بار از طبقه یازدهم غذا تهیه کنید تا اینکه در بالکن نشسته اید میو کنید.

مثال. اجازه دهید ماتریس

با انتخاب سطر 1 و ستون 2، مینور مرتبه اول را دریافت می کنیم:

\[((M)_(1))=\چپ| 7\راست|=7\]

با انتخاب ردیف‌های 2، 3 و ستون‌های 3، 4، یک مینور مرتبه دوم دریافت می‌کنیم:

\[((M)_(2))=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 5 و 3 \\ 6 و 1 \\\پایان (ماتریس) \راست|=5-18=-13\]

و اگر هر سه سطر و همچنین ستون های 1، 2، 4 را انتخاب کنید، یک جزئی از مرتبه سوم وجود خواهد داشت:

\[((M)_(3))=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 7 و 0 \\ 2 و 4 و 3 \\ 3 و 0 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

یافتن سایر موارد فرعی از سفارشات 1، 2 یا 3 برای خواننده دشوار نخواهد بود. بنابراین، ما ادامه می دهیم.

اضافات جبری

"خب، خوب، و این مینیون ها به ما خردسالان چه می دهند؟" حتما می پرسی به تنهایی هیچی اما در ماتریس های مربع، هر مینور یک "همراه" دارد - یک مینور اضافی و همچنین یک جمع جبری. و با هم این دو slapstick به ما این امکان را می‌دهند که روی عوامل تعیین‌کننده مانند مهره کلیک کنیم.

تعریف. اجازه دهید یک ماتریس مربع $A=\left[n\times n \right]$ داده شود که در آن مقدار جزئی $((M)_(k))$ انتخاب شده است. سپس مینور اضافی برای $((M)_(k))$ جزئی قطعه ای از ماتریس اصلی $A$ است که پس از حذف تمام سطرها و ستون های موجود در کامپایل مینور $((M)_(k))$ باقی می ماند:

جزئی اضافی به جزئی $((M)_(2))$

بیایید یک نکته را روشن کنیم: جزئی اضافی فقط "قطعه ای از ماتریس" نیست، بلکه تعیین کننده این قطعه است.

مینورهای اضافی با یک ستاره نشان داده می شوند: $M_(k)^(*)$:

که در آن عملیات $A\nabla ((M)_(k))$ به معنای واقعی کلمه "حذف ردیف ها و ستون های موجود در $((M)_(k)) از $A$ است. این عملیات به طور کلی در ریاضیات پذیرفته نشده است - من فقط برای زیبایی داستان آن را به ذهنم رساندم. :)

خردسالان مکمل به ندرت به تنهایی استفاده می شوند. آنها بخشی از یک ساختار پیچیده تر هستند - جمع جبری.

تعریف. متمم جبری جزئی $((M)_(k))$ فرعی $M_(k)^(*)$ ضرب در $((\left(-1 \راست))^(S))$ است، که $S$ مجموع اعداد تمام سطرها و ستون های دخیل در مینور اصلی $((M)$ است.

به عنوان یک قاعده، مکمل جبری جزئی $((M)_(k))$ با $((A)_(k))$ نشان داده می شود. از همین رو:

\[((A)_(k))=((\چپ(-1 \راست))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

دشوار؟ در نگاه اول بله. اما دقیقا اینطور نیست. چون واقعا آسان است. به یک مثال توجه کنید:

مثال. با توجه به یک ماتریس 4x4:

ما یک مینور از مرتبه دوم را انتخاب می کنیم

\[((M)_(2))=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 3 و 4 \\ 15 و 16 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

Captain Evidence، همانطور که بود، به ما اشاره می کند که ردیف های 1 و 4، و همچنین ستون های 3 و 4، در جمع آوری این جزئی نقش داشته اند. ما آنها را خط می زنیم - ما یک مینور اضافی دریافت می کنیم:

باقی مانده است که عدد $S$ را پیدا کرده و متمم جبری را بدست آوریم. از آنجایی که ما شماره ردیف های درگیر (1 و 4) و ستون های (3 و 4) را می دانیم، همه چیز ساده است:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\چپ(-1 \راست))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\چپ(-1 \راست))^(12))\cdot \چپ(-4 \راست)=-4\پایان(تراز)\]

پاسخ: $((A)_(2))=-4$

همین! در واقع، کل تفاوت بین یک جز جزئی اضافی و یک جمع جبری فقط در منهای جلو است و حتی در آن صورت همیشه نیست.

قضیه لاپلاس

و بنابراین به این نکته رسیدیم که چرا در واقع به این همه جزئی و اضافات جبری نیاز است.

قضیه لاپلاس در مورد تجزیه دترمینان. اجازه دهید ردیف‌های $k$ (ستون‌ها) در ماتریسی به اندازه $\left[n\times n \right]$ با $1\le k\le n-1$ انتخاب شوند. سپس تعیین کننده این ماتریس برابر است با مجموع همه محصولات جزئی مرتبه $k$ موجود در ردیف ها (ستون ها) انتخاب شده و مکمل های جبری آنها:

\[\چپ| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

علاوه بر این، دقیقاً چنین اصطلاحاتی $C_(n)^(k)$ وجود خواهد داشت.

خوب، باشه: در مورد $C_(n)^(k)$ - من قبلاً خودنمایی می کنم، در قضیه اصلی لاپلاس چیزی شبیه به آن وجود نداشت. اما هیچ کس ترکیبیات را لغو نکرده است و به معنای واقعی کلمه یک نگاه گذرا به این شرایط به شما امکان می دهد تا مطمئن شوید که دقیقاً این تعداد اصطلاح وجود خواهد داشت. :)

ما آن را ثابت نخواهیم کرد، اگرچه این امر به خصوص دشوار نیست - همه محاسبات به جایگشت های خوب قدیمی و وارونگی های زوج / فرد خلاصه می شود. با این حال، اثبات در یک پاراگراف جداگانه ارائه خواهد شد و امروز ما یک درس کاملاً عملی داریم.

بنابراین، به یک مورد خاص از این قضیه می پردازیم، زمانی که مینورها سلول های مجزای ماتریس هستند.

بسط سطر و ستون تعیین کننده

آنچه اکنون می خواهیم در مورد آن صحبت کنیم دقیقاً ابزار اصلی کار با تعیین کننده ها است که به خاطر آن همه این بازی با جایگشت ها ، جزئی ها و اضافات جبری آغاز شد.

بخوانید و لذت ببرید:

نتیجه از قضیه لاپلاس (تجزیه دترمینان در سطر/ستون). بگذارید یک ردیف در ماتریس $\left[n\times n \right]$ انتخاب شود. مینورهای این ردیف $n$ سلولهای مجزا خواهند بود:

\[((M)_(1))=((a)_(ij))،\quad j=1،...،n\]

مینورهای اضافی نیز به راحتی قابل محاسبه هستند: فقط ماتریس اصلی را بگیرید و سطر و ستون حاوی $((a)_(ij))$ را خط بزنید. ما چنین خردسالی را $M_(ij)^(*)$ می نامیم.

برای متمم جبری، عدد $S$ نیز مورد نیاز است، اما در مورد جزئی از مرتبه 1، این به سادگی مجموع "مختصات" سلول $((a)_(ij))$ است:

و سپس بر اساس قضیه لاپلاس، تعیین کننده اصلی را می توان بر حسب $((a)_(ij))$ و $M_(ij)^(*)$ نوشت:

\[\چپ| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \راست))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

همین است فرمول گسترش ردیف. اما در مورد ستون ها هم همینطور است.

از این نتیجه می توان چند نتیجه گرفت:

1. این طرح برای سطرها و ستون ها به یک اندازه خوب کار می کند. در واقع، اغلب تجزیه دقیقاً در امتداد ستون ها انجام می شود، نه در امتداد خطوط.
2. تعداد اصطلاحات در بسط همیشه دقیقاً $n$ است. این بسیار کمتر از $C_(n)^(k)$ و حتی کمتر از $n!$ است.
3. به جای یک تعیین کننده $\left[n\times n \right]$، باید چندین تعیین کننده با اندازه یک کمتر بشمارید: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \right) \right]$.

آخرین واقعیت بسیار مهم است. به عنوان مثال، به جای تعیین کننده وحشیانه 4x4، اکنون کافی است چندین تعیین کننده 3x3 را بشماریم - ما به نحوی با آنها کنار می آییم. :)

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 \\ 4 و 5 و 6 \\ 7 و 8 و 9 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

راه حل. بیایید این تعیین کننده را با خط اول گسترش دهیم:

\[\شروع(تراز)\چپ| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(ماتریس) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(ماتریس) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(ماتریس) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(ماتریس) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \ آغاز (ماتریس) 4 و 5 \\ 7 و 8 \\\پایان (ماتریس) \راست|= & \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(\-6 \t). \\\پایان (تراز کردن)\]

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (ماتریس) \\ راست|\]

راه حل. برای تغییر، اجازه دهید این بار با ستون ها کار کنیم. به عنوان مثال، در آخرین ستون به طور همزمان دو صفر وجود دارد - بدیهی است که این محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد. حالا خواهید دید که چرا.

بنابراین، ما تعیین کننده را در ستون چهارم گسترش می دهیم:

\[\begin(align)\left| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end(Matrix) \right|=0\cdot ((\left(-1 \tright))^(1+4)ftle)\c \begin(ماتریس) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \right))^(2+4))\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \right))^(3+4))\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+4))\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(ماتریس) \راست| &\\\پایان (تراز کردن)\]

و سپس - اوه، یک معجزه! - دو ترم فوراً از زهکشی عبور می کنند، زیرا دارای ضریب "0" هستند. دو عامل تعیین کننده 3x3 دیگر وجود دارد که می توانیم به راحتی با آنها مقابله کنیم:

\[\شروع(تراز) و \چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \ چپ| \begin (ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end (ماتریس) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

به منبع برمی گردیم و پاسخ را می یابیم:

\[\چپ| \begin (ماتریس) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (ماتریس) \right|=1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 & 1 & 1 & 0

باشه الان تموم شد و نه 4! = 24 عبارت لازم نیست شمارش شود. :)

پاسخ: -2

ویژگی های اساسی تعیین کننده

در آخرین مسئله، دیدیم که چگونه وجود صفرها در ردیف‌ها (ستون‌های) یک ماتریس، بسط دترمینان و به طور کلی همه محاسبات را به شدت ساده می‌کند. یک سوال طبیعی مطرح می شود: آیا می توان این صفرها را حتی در ماتریسی که در ابتدا وجود نداشتند ظاهر کرد؟

پاسخ روشن است: می توان. و در اینجا ویژگی های تعیین کننده به کمک ما می آیند:

1. اگر دو ردیف (ستون) را در مکان‌های مختلف عوض کنید، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.
2. اگر یک ردیف (ستون) در عدد $k$ ضرب شود، کل تعیین کننده نیز در عدد $k$ ضرب می شود.
3. اگر یک رشته را بردارید و آن را هر تعداد بار از رشته دیگر اضافه کنید (کم کنید)، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.
4. اگر دو ردیف از تعیین کننده یکسان یا متناسب باشند، یا یکی از ردیف ها با صفر پر شده باشد، کل تعیین کننده برابر با صفر است.
5. تمام ویژگی های بالا برای ستون ها نیز صادق است.
6. جابجایی یک ماتریس تعیین کننده را تغییر نمی دهد.
7. تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها برابر است با حاصلضرب دترمینان ها.

دارای ارزش ویژه سومین ویژگی است: ما می توانیم از یک ردیف (ستون) دیگر کم کنید تا صفرها در مکان های مناسب ظاهر شوند.

اغلب، محاسبات به "صفر کردن" کل ستون در همه جا به جز یک عنصر، و سپس گسترش تعیین کننده در امتداد این ستون، به دست آوردن یک ماتریس با اندازه 1 کمتر است.

بیایید ببینیم این در عمل چگونه کار می کند:

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 و 4 \\ 4 و 1 و 2 و 3 \\ 3 و 4 و 1 و 2 \\ 2 و 3 و 4 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

راه حل. صفرها در اینجا، همانطور که بود، به هیچ وجه مشاهده نمی شوند، بنابراین می توانید در هر ردیف یا ستون "توخالی" کنید - مقدار محاسبات تقریباً یکسان خواهد بود. بیایید ریزه کاری نکنیم و ستون اول را "صفر" نکنیم: از قبل یک سلول با یک واحد دارد، بنابراین فقط خط اول را بردارید و آن را 4 بار از دوم، 3 بار از سوم و 2 بار از آخرین کم کنید.

در نتیجه، ماتریس جدیدی دریافت خواهیم کرد، اما تعیین کننده آن یکسان خواهد بود:

\[\begin(ماتریس)\left| \begin(ماتریس) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ end (ماتریس) \راست|\ begin(ماتریس) \downnarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 ft = \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 و 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 2 & 1-3 \\t 2 & 1-3 &\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \\\end(ماتریس) \راست|= \\ =\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 و 4 \\ 0 & -7 و -10 و -13 \\ 0 & -2 & -8 و -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\\پایان (ماتریس) \راست| \\\پایان (ماتریس)\]

حال با همسانی Piglet این دترمینان را در ستون اول تجزیه می کنیم:

\[\begin(ماتریس) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(ماتریس) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(ماتریس) \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \راست| \\\پایان (ماتریس)\]

واضح است که فقط عبارت اول "بقا" خواهد داشت - در بقیه موارد من حتی تعیین کننده ها را ننوشتم ، زیرا آنها هنوز در صفر ضرب می شوند. ضریب جلوی دترمینال برابر با یک است، یعنی. ممکن است ضبط نشود

اما می توانید "منهای" را از هر سه خط تعیین کننده خارج کنید. در واقع، ما عامل (-1) را سه بار حذف کردیم:

\[\چپ| \begin(ماتریس) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(ماتریس) \right|=\cdot \left| \ آغاز (ماتریس) 7 و 10 و 13 \\ 2 و 8 و 10 \\ 1 و 2 و 7 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

ما یک تعیین کننده کوچک 3x3 دریافت کردیم که می توان آن را طبق قانون مثلث ها محاسبه کرد. اما ما سعی خواهیم کرد آن را در ستون اول تجزیه کنیم - فایده در خط آخر با افتخار یکی است:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin (ماتریس) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(ماتریس) \right|\begin(ماتریس) -7 \\ -2 \\ \uparrow \\\end (ماتریس)=\left(-1 \right)\cdot \ft| \begin(ماتریس) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(ماتریس) \راست|= \\ & =\cdot \left| \begin(ماتریس) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(ماتریس) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(ماتریس) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(ماتریس) \right| \\\پایان (تراز کردن)\]

البته، شما هنوز هم می توانید سرگرم شوید و ماتریس 2x2 را در یک ردیف (ستون) تجزیه کنید، اما ما با شما کافی هستیم، بنابراین ما فقط پاسخ را محاسبه می کنیم:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(ماتریس) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(ماتریس) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\]

اینگونه رویاها شکسته می شوند. فقط -160 در پاسخ. :)

پاسخ: -160.

چند نکته قبل از اینکه به آخرین کار برویم:

1. ماتریس اصلی با توجه به قطر ثانویه متقارن بود. همه مینورها در تجزیه نیز با توجه به همان قطر ثانویه متقارن هستند.
2. به بیان دقیق، ما اصلاً نمی‌توانستیم چیزی بچینیم، اما به سادگی ماتریس را به شکل مثلث بالایی برسانیم، زمانی که صفرهای جامد زیر مورب اصلی وجود دارد. سپس (به هر حال، مطابق با تفسیر هندسی) تعیین کننده برابر است با حاصلضرب $((a)_(ii))$، اعداد روی قطر اصلی.

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 1 و 1 و 1 \\ 2 و 4 و 8 و 16 \\ 3 و 9 و 27 و 81 \\ 5 و 25 و 125 و 625 \\\ پایان (ماتریس) \\راست|\]

راه حل. خوب، در اینجا خط اول فقط "صفر" را التماس می کند. ستون اول را می گیریم و دقیقاً یک بار از بقیه ستون ها کم می کنیم:

\[\شروع(تراز) و \چپ| \begin(ماتریس) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end (ماتریس) \راست|= \\ & =\چپ| \begin(ماتریس) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & 25-5 & 125-5 & 625-5 = \\\|right (ft = ri) \ آغاز (ماتریس) 1 و 0 و 0 و 0 \\ 2 و 2 و 6 و 14 \\ 3 و 6 و 24 و 78 \\ 5 و 20 و 120 و 620 \\\پایان (ماتریس) \راست| \\\پایان (تراز کردن)\]

سطر اول را باز کنید و سپس فاکتورهای مشترک را از سطرهای باقی مانده بردارید:

\[\cdot\left| \ آغاز (ماتریس) 2 و 6 و 14 \\ 6 و 24 و 78 \\ 20 و 120 و 620 \\\ پایان (ماتریس) \راست|=\cdot \ چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 3 و 7 \\ 1 و 4 و 13 \\ 1 و 6 و 31 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

دوباره اعداد "زیبا" را مشاهده می کنیم ، اما قبلاً در ستون اول - تعیین کننده را بر اساس آن تجزیه می کنیم:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(ماتریس) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(ماتریس) \right|\begin(ماتریس) \downnarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(ماتریس)=240\cdot \left| \begin(ماتریس) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(ماتریس) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1)\cdot \left| \begin(ماتریس) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end (ماتریس) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end (تراز کردن)\]

سفارش. مشکل حل شد.

جواب: 1440