ماتریس عاملی مشکلات در ماتریس عاملی تحلیل عاملی

تحلیل عاملی

ایده پشت تحلیل عاملی

در مطالعه اجسام، پدیده ها، سیستم های پیچیده، عواملی که خصوصیات این اشیاء را تعیین می کنند اغلب نمی توانند مستقیماً اندازه گیری شوند و حتی گاهی اوقات تعداد و معنای آنها نیز مشخص نیست. اما ممکن است کمیت های دیگری برای اندازه گیری در دسترس باشند، به هر طریقی بسته به عوامل مورد علاقه ما. علاوه بر این، هنگامی که تأثیر یک عامل ناشناخته مورد علاقه ما در چندین ویژگی یا ویژگی اندازه گیری شده یک شی ظاهر می شود، این ویژگی ها می توانند رابطه نزدیکی با یکدیگر نشان دهند و تعداد کل عوامل می تواند بسیار کمتر از تعداد اندازه گیری شده باشد. متغیرها

روش های تحلیل عاملی برای شناسایی عواملی که ویژگی های اندازه گیری شده اشیاء را تعیین می کنند استفاده می شود.

به عنوان نمونه ای از کاربرد تحلیل عاملی می توان به بررسی ویژگی های شخصیتی بر اساس آزمون های روان شناختی اشاره کرد. ویژگی های شخصیتی به طور مستقیم قابل اندازه گیری نیستند. آنها را فقط می توان بر اساس رفتار یک فرد یا ماهیت پاسخ به سؤالات قضاوت کرد. برای توضیح نتایج آزمایش‌ها، آنها تحت تحلیل عاملی قرار می‌گیرند، که این امکان را فراهم می‌کند تا آن دسته از ویژگی‌های شخصی را که بر رفتار فرد تأثیر می‌گذارند، شناسایی کنند.
روش‌های مختلف تحلیل عاملی بر این فرضیه استوار است: پارامترهای مشاهده‌شده یا اندازه‌گیری‌شده فقط ویژگی‌های غیرمستقیم شی مورد مطالعه هستند، در واقع پارامترها و ویژگی‌های داخلی (پنهان، نهفته، مستقیماً مشاهده نشده) وجود دارد که تعداد آنها وجود دارد. کوچک است و مقادیر پارامترهای مشاهده شده را تعیین می کند. این پارامترهای داخلی فاکتور نامیده می شوند.

هدف از تحلیل عاملی متمرکز کردن اطلاعات اولیه، بیان تعداد زیادی از ویژگی های در نظر گرفته شده از طریق تعداد کمتری از ویژگی های داخلی ظرفیت بیشتری از پدیده است، که با این حال، نمی توان به طور مستقیم اندازه گیری کرد.

مشخص شده است که انتخاب و نظارت بعدی بر سطح عوامل رایج، تشخیص حالت های پیش از خرابی یک شی را در مراحل اولیه توسعه یک نقص ممکن می کند. تجزیه و تحلیل عاملی به شما امکان می دهد تا ثبات همبستگی بین پارامترهای فردی را ردیابی کنید. این همبستگی بین پارامترها و همچنین بین پارامترها و عوامل مشترک است که حاوی اطلاعات اصلی تشخیصی در مورد فرآیندها است. استفاده از بسته ابزار Statistica هنگام انجام تحلیل عاملی، نیاز به ابزارهای محاسباتی اضافی را از بین می برد و تحلیل را برای کاربر واضح و قابل درک می کند.

نتایج تحلیل عاملی در صورتی موفق خواهد بود که بتوان عوامل شناسایی شده را بر اساس معنی شاخص های مشخص کننده این عوامل تفسیر کرد. این مرحله از کار بسیار مسئولیت پذیر است. این امر مستلزم درک روشنی از معنای معنی دار شاخص هایی است که در تحلیل دخیل هستند و بر اساس آنها عوامل شناسایی می شوند. بنابراین، در انتخاب دقیق اولیه شاخص ها برای تجزیه و تحلیل عاملی، باید بر اساس معنای آنها هدایت شود، نه با تمایل به گنجاندن هر چه بیشتر آنها در تجزیه و تحلیل.

ماهیت تحلیل عاملی

در اینجا چند شرط اساسی تحلیل عاملی وجود دارد. اجازه دهید برای ماتریس ایکسپارامترهای شی اندازه گیری شده، یک ماتریس کوواریانس (همبستگی) وجود دارد سی، جایی که آرتعداد پارامترها است، nتعداد مشاهدات است. با تبدیل خطی ایکس=QY+Uمی توان ابعاد فضای عامل اصلی را کاهش داد ایکسسطح کردن Y، که در آن آر"<<آر. این مربوط به تبدیل نقطه ای است که وضعیت جسم را مشخص می کند jفضای بعدی، به فضای جدیدی از اندازه گیری ها با ابعاد پایین تر آربدیهی است که مجاورت هندسی دو یا مجموعه ای از نقاط در فضای عامل جدید به معنای ثبات وضعیت جسم است.

ماتریس Yحاوی عوامل غیرقابل مشاهده است که اساساً فراپارامترهایی هستند که عمومی ترین ویژگی های شی مورد تجزیه و تحلیل را مشخص می کنند. عوامل مشترک اغلب به صورت مستقل از نظر آماری انتخاب می شوند که تفسیر فیزیکی آنها را تسهیل می کند. بردار ویژگی های مشاهده شده ایکسپیامدهای تغییر این فراپارامترها را درک می کند.

ماتریس Uشامل عوامل باقیمانده است که عمدتاً شامل خطاهای اندازه گیری ویژگی است ایکس(من). ماتریس مستطیل شکل سشامل بارهای عاملی است که رابطه خطی بین ویژگی ها و فراپارامترها را تعریف می کند.
بارهای عاملی مقادیر ضرایب همبستگی هر یک از ویژگی های اولیه با هر یک از عوامل شناسایی شده است. هر چه رابطه این ویژگی با عامل مورد نظر نزدیکتر باشد، مقدار بار عاملی بیشتر می شود. علامت مثبت بار عاملی نشان دهنده رابطه مستقیم (و علامت منفی - معکوس) این ویژگی با عامل است.

بنابراین، داده‌های بارهای عاملی به ما امکان می‌دهد در مورد مجموعه ویژگی‌های اولیه که منعکس‌کننده یک عامل دیگر و وزن نسبی یک ویژگی فردی در ساختار هر عامل است، نتیجه‌گیری کنیم.

مدل تحلیل عاملی مشابه مدل های رگرسیون چند متغیره و ANOVA است. تفاوت اساسی مدل تحلیل عاملی در این است که بردار Y عوامل غیرقابل مشاهده است و در تحلیل رگرسیون این پارامترها ثبت می شوند. در سمت راست معادله (8.1)، مجهولات ماتریس بارهای عاملی Q و ماتریس مقادیر عوامل مشترک Y هستند.

برای یافتن ماتریس بارهای عاملی، از معادله QQ t = S–V استفاده می شود، که در آن Q t ماتریس انتقال یافته Q است، V ماتریس کوواریانس عوامل باقیمانده U است، یعنی. . معادله با تکرارهایی با تقریب صفر معینی از ماتریس کوواریانس V(0) حل می شود. پس از یافتن ماتریس بارهای عاملی Q، فاکتورهای کلی (هیپرپارامترها) با استفاده از معادله محاسبه می شوند.
Y=(Q t V -1)Q -1 Q t V -1 X

بسته تجزیه و تحلیل آماری Statistica به شما امکان می دهد به طور تعاملی ماتریس بارگذاری عامل و همچنین مقادیر چندین عامل اصلی از پیش تعریف شده را محاسبه کنید، اغلب دو - بر اساس دو جزء اصلی اول ماتریس پارامتر اصلی.

تحلیل عاملی در سیستم آماری

دنباله ای از تحلیل عاملی را در مثال پردازش نتایج یک نظرسنجی پرسشنامه از کارکنان شرکت در نظر بگیرید. شناسایی عوامل اصلی تعیین کننده کیفیت زندگی کاری ضروری است.

اولین قدم انتخاب متغیرها برای تحلیل عاملی است. محقق با استفاده از تحلیل همبستگی سعی می کند رابطه ویژگی های مورد مطالعه را شناسایی کند که به نوبه خود این فرصت را به او می دهد تا با ترکیب ویژگی های به شدت همبسته مجموعه ای کامل و غیر زائد از ویژگی ها را انتخاب کند.

اگر تحلیل عاملی را برای همه متغیرها انجام دهید، ممکن است نتایج کاملاً عینی نباشند، زیرا برخی از متغیرها توسط داده های دیگر تعیین می شوند و نمی توانند توسط کارکنان سازمان مورد نظر تنظیم شوند.

برای درک اینکه کدام شاخص‌ها باید حذف شوند، بیایید با استفاده از داده‌های موجود، ماتریسی از ضرایب همبستگی در Statistica بسازیم: Statistics/ Basic Statistics/ Correlation Matrices/ Ok. در پنجره شروع این روش محصول-لحظه و همبستگی جزئی (شکل 4.3)، از دکمه فهرست یک متغیر برای محاسبه ماتریس مربع استفاده می شود. همه متغیرها را انتخاب کنید (انتخاب همه)، Ok، Summary. ماتریس همبستگی را دریافت می کنیم.

اگر ضریب همبستگی از 0.7 تا 1 متغیر باشد، این به معنای همبستگی قوی شاخص ها است. در این حالت، یک متغیر با همبستگی قوی را می توان حذف کرد. برعکس، اگر ضریب همبستگی کوچک باشد، می توانید متغیر را حذف کنید زیرا چیزی به کل اضافه نمی کند. در مورد ما، بین هیچ یک از متغیرها همبستگی قوی وجود ندارد و ما برای مجموعه کامل متغیرها، تحلیل عاملی را انجام خواهیم داد.

برای اجرای تحلیل عاملی، باید ماژول Statistics / Multivariate Exploratory Techniques (روش های تحقیق چند متغیره) / Factor Analysis (تحلیل عاملی) را فراخوانی کنید. پنجره ماژول Factor Analysis روی صفحه ظاهر می شود.

برای تجزیه و تحلیل، ما همه متغیرهای صفحه گسترده را انتخاب می کنیم. متغیرها: همه را انتخاب کنید، Ok. فایل ورودی خط (نوع فایل داده ورودی) داده های خام (داده های اولیه) را نشان می دهد. دو نوع داده اولیه در ماژول امکان پذیر است - داده های خام (داده های اولیه) و ماتریس همبستگی - یک ماتریس همبستگی.

بخش حذف MD نحوه رسیدگی به مقادیر از دست رفته را مشخص می کند:
* Casewise - راهی برای حذف مقادیر از دست رفته (پیش فرض)؛
* دو به دو - یک راه جفت برای از بین بردن مقادیر از دست رفته.
* جایگزینی میانگین - جایگزینی میانگین به جای مقادیر از دست رفته.
روش Casewise نادیده گرفتن تمام ردیف‌های صفحه‌گسترده حاوی داده‌هایی است که حداقل یک مقدار گمشده دارند. این برای همه متغیرها صدق می کند. در روش Pairwise، مقادیر از دست رفته نه برای همه متغیرها، بلکه فقط برای جفت انتخاب شده نادیده گرفته می شوند.

بیایید راهی را برای رسیدگی به مقادیر از دست رفته انتخاب کنیم.

Statistica مقادیر از دست رفته را به روش مشخص شده پردازش می کند، ماتریس همبستگی را محاسبه می کند و انتخابی از چندین روش تحلیل عاملی را ارائه می دهد.

قسمت بالای پنجره اطلاعاتی است. می گوید که مقادیر از دست رفته با روش Casewise مدیریت می شوند. 17 مشاهده پردازش شد و 17 مشاهده برای محاسبات بیشتر پذیرفته شد. ماتریس همبستگی برای 7 متغیر محاسبه می شود. قسمت پایین پنجره شامل 3 تب است: Quick، Advanced، Descriptives.

تب Descriptives دارای دو دکمه است:
1- مشاهده همبستگی ها، میانگین و انحراف معیار.
2- رگرسیون چندگانه بسازید.

با کلیک بر روی دکمه اول می توانید میانگین و انحراف معیار، همبستگی ها، کوواریانس ها را مشاهده کنید، نمودارها و هیستوگرام های مختلف بسازید.

در تب Advanced در سمت چپ روش (Extraction method) تحلیل عاملی: اجزای اصلی (روش اجزای اصلی) را انتخاب کنید. در سمت راست، حداکثر تعداد فاکتورها (2) را انتخاب می کنیم. یا حداکثر تعداد فاکتورها (حداکثر تعداد فاکتورها) یا حداقل مقدار ویژه مشخص شده است: 1 (مقدار ویژه).

روی Ok کلیک کنید، Statistica به سرعت محاسبات را انجام می دهد. پنجره Factor Analysis Results روی صفحه ظاهر می شود. همانطور که قبلا ذکر شد، نتایج تحلیل عاملی به صورت مجموعه ای از بارهای عاملی بیان می شود. بنابراین، ما به کار با تب Loadings ادامه می دهیم.

قسمت بالای پنجره اطلاعاتی است:
تعداد متغیرها (تعداد متغیرهای تحلیل شده): 7;
روش (روش انتخاب عامل): مولفه های اصلی (مولفه های اصلی);
لاگ (10) تعیین کننده ماتریس همبستگی: -1.6248;
تعداد عوامل استخراج شده (تعداد عوامل انتخابی): 2;
مقادیر ویژه (مقادیر ویژه): 3.39786 و 1.19130.
در پایین پنجره دکمه های عملکردی وجود دارد که به شما امکان می دهد نتایج تجزیه و تحلیل را به صورت عددی و گرافیکی به طور جامع مشاهده کنید.
چرخش عامل - چرخش فاکتورها، در این کادر کشویی می توانید چرخش های مختلف محورها را انتخاب کنید. با چرخاندن سیستم مختصات، می توانید مجموعه ای از راه حل ها را به دست آورید که باید از بین آنها یک راه حل قابل تفسیر انتخاب کنید.

روش های مختلفی برای چرخش مختصات فضایی وجود دارد. بسته Statistica هشت روش را ارائه می دهد که در ماژول تحلیل عاملی ارائه شده است. بنابراین، برای مثال، روش varimax با یک تبدیل مختصات مطابقت دارد: چرخشی که واریانس را به حداکثر می‌رساند. در روش واریماکس، شرح ساده شده ای از ستون های ماتریس عامل به دست می آید که همه مقادیر را به 1 یا 0 کاهش می دهد. در این حالت، واریانس مربع های بارهای عامل در نظر گرفته می شود. ماتریس عاملی که با استفاده از روش چرخش واریماکس به دست می‌آید نسبت به انتخاب مجموعه‌های مختلف متغیرها تا حد زیادی ثابت است.

چرخش با روش کوارتیمکس تنها در رابطه با ردیف‌های ماتریس عامل ساده‌سازی مشابهی را هدف قرار می‌دهد. Equimax یک موقعیت متوسط ​​را اشغال می کند؟ هنگام چرخش فاکتورها با این روش، سعی می شود به طور همزمان ستون ها و سطرها ساده شوند. روش های چرخش در نظر گرفته شده به چرخش های متعامد اشاره دارد، یعنی. نتیجه عوامل غیر مرتبط است. روش‌های چرخش مستقیم oblimin و promax به چرخش‌های مایل اشاره می‌کنند که منجر به عوامل همبسته می‌شوند. اصطلاح ?نرمال شده؟ در نام روش ها نشان می دهد که بارهای عامل نرمال شده است، یعنی آنها را با جذر واریانس مربوطه تقسیم می کنند.

از بین تمام روش های پیشنهادی، ابتدا به نتیجه تحلیل بدون چرخش سیستم مختصات - Unrotated نگاه خواهیم کرد. اگر نتیجه به دست آمده قابل تفسیر باشد و برای ما مناسب باشد، می توانیم در آنجا متوقف شویم. اگر نه، می توانید محورها را بچرخانید و راه حل های دیگر را ببینید.

روی دکمه Factor Loading کلیک می کنیم و بارهای فاکتور را به صورت عددی نگاه می کنیم.

به یاد داشته باشید که بارهای عاملی مقادیر ضرایب همبستگی هر یک از متغیرها با هر یک از عوامل شناسایی شده است.

مقدار بار عاملی بزرگتر از 0.7 نشان می دهد که ویژگی یا متغیر داده شده ارتباط نزدیکی با عامل در نظر گرفته شده دارد. هر چه رابطه این ویژگی با عامل مورد نظر نزدیکتر باشد، مقدار بار عاملی بیشتر می شود. علامت مثبت بار عاملی نشان دهنده رابطه مستقیم (و علامت منفی؟ - معکوس) این ویژگی با عامل است.
بنابراین از جدول بارهای عاملی دو عامل شناسایی شد. اولی RSD را تعریف می کند - احساس رفاه اجتماعی. بقیه متغیرها ناشی از عامل دوم هستند.

در خط Expl. Var (شکل 8.5) پراکندگی قابل انتساب به یک یا آن عامل را نشان می دهد. در خط Prp. Totl نسبت واریانس قابل انتساب به عوامل اول و دوم را نشان می دهد. در نتیجه عامل اول 48.5 درصد از کل واریانس را به خود اختصاص می دهد و عامل دوم 17.0 درصد از کل واریانس را به خود اختصاص می دهد و مابقی را سایر عوامل محاسبه نشده تشکیل می دهند. در نتیجه، دو عامل شناسایی شده 5/65 درصد از کل واریانس را توضیح می دهند.

در اینجا ما همچنین دو گروه از عوامل را می بینیم - RSD و بقیه مجموعه متغیرها، که JSR از بین آنها متمایز است - تمایل به تغییر شغل. ظاهراً منطقی است که بر اساس جمع آوری داده های اضافی این میل را با دقت بیشتری بررسی کنیم.

انتخاب و اصلاح تعداد عوامل

هنگامی که اطلاعاتی در مورد میزان واریانس تخصیص هر عامل به دست آوردیم، می‌توانیم به این سؤال بازگردیم که چند عامل باید باقی بماند. طبیعتاً این تصمیم خودسرانه است. اما برخی از دستورالعمل های کلی وجود دارد که در عمل، رعایت آنها بهترین نتیجه را می دهد.

تعداد فاکتورهای رایج (هیپرپارامترها) با محاسبه مقادیر ویژه (شکل 8.7) ماتریس X در ماژول تحلیل عاملی تعیین می شود. برای این کار در تب Explained variance (شکل 8.4) روی دکمه Scree plot کلیک کنید.

حداکثر تعداد فاکتورهای مشترک می تواند برابر با تعداد مقادیر ویژه ماتریس پارامتر باشد. اما با افزایش تعداد عوامل، دشواری های تفسیر فیزیکی آنها به میزان قابل توجهی افزایش می یابد.

در ابتدا فقط فاکتورهایی با مقادیر ویژه بزرگتر از 1 را می توان انتخاب کرد در اصل این بدان معناست که اگر عاملی واریانسی معادل حداقل یک متغیر استخراج نکند، حذف می شود. این معیار پرکاربردترین است. در مثال بالا، بر اساس این معیار، تنها 2 عامل (دو جزء اصلی) باید حفظ شود.

می توانید مکانی را در نمودار پیدا کنید که کاهش مقادیر ویژه از چپ به راست تا حد امکان کند می شود. فرض بر این است که فقط "فضای فاکتوری" در سمت راست این نقطه قرار دارد. مطابق با این معیار می توانید 2 یا 3 عامل را در مثال بگذارید.
از انجیر مشاهده می شود که عامل سوم اندکی سهم واریانس کل را افزایش می دهد.

تجزیه و تحلیل عاملی پارامترها این امکان را فراهم می کند که در مراحل اولیه نقض گردش کار (وقوع نقص) در اشیاء مختلف شناسایی شود که اغلب با مشاهده مستقیم پارامترها غیرممکن است. این با این واقعیت توضیح داده می شود که نقض همبستگی بین پارامترها بسیار زودتر از تغییر در یک پارامتر اتفاق می افتد. چنین تحریف همبستگی ها امکان تشخیص به موقع تحلیل عاملی پارامترها را فراهم می کند. برای این کار کافی است آرایه هایی از پارامترهای ثبت شده داشته باشید.

شما می توانید توصیه های کلی در مورد استفاده از تحلیل عاملی، صرف نظر از حوزه موضوعی ارائه دهید.
* هر عامل باید حداقل دو پارامتر اندازه گیری شده را در نظر بگیرد.
* تعداد اندازه گیری پارامترها باید بیشتر از تعداد متغیرها باشد.
* تعداد عوامل باید بر اساس تفسیر فیزیکی فرآیند توجیه شود.
* همیشه باید تلاش کرد که تعداد عوامل بسیار کمتر از تعداد متغیرها باشد.

معیار Kaiser گاهی اوقات عوامل بسیار زیادی را ذخیره می کند، در حالی که معیار scree گاهی اوقات عوامل بسیار کمی را ذخیره می کند. با این حال، هر دو معیار در شرایط عادی، زمانی که عوامل نسبتا کمی و متغیرهای زیادی وجود دارد، کاملاً خوب هستند. در عمل، این سوال که چه زمانی می توان راه حل حاصل را تفسیر کرد، اهمیت بیشتری دارد. بنابراین معمولاً چندین راه حل با فاکتورهای کم و بیش مورد بررسی قرار می گیرد و سپس راه حلی انتخاب می شود که منطقی تر باشد.

فضای ویژگی های اولیه باید در مقیاس های اندازه گیری همگن ارائه شود، زیرا این امکان استفاده از ماتریس های همبستگی را در محاسبه فراهم می کند. در غیر این صورت، مشکل "وزن" پارامترهای مختلف به وجود می آید که منجر به نیاز به استفاده از ماتریس های کوواریانس در محاسبه می شود. از این رو، یک مشکل اضافی در مورد تکرارپذیری نتایج تحلیل عاملی ممکن است زمانی ایجاد شود که تعداد ویژگی ها تغییر کند. لازم به ذکر است که این مشکل به سادگی در بسته Statistica با تغییر به شکل استاندارد ارائه پارامتر حل می شود. در این حالت، همه پارامترها از نظر میزان ارتباط آنها با فرآیندهای موضوع مورد مطالعه معادل می شوند.

اگر متغیرهای اضافی در مجموعه داده های اولیه وجود داشته باشد و حذف آنها با تجزیه و تحلیل همبستگی انجام نشده باشد، ماتریس معکوس (8.3) قابل محاسبه نیست. به عنوان مثال، اگر یک متغیر مجموع دو متغیر دیگر انتخاب شده برای آن تحلیل باشد، ماتریس همبستگی برای آن مجموعه از متغیرها قابل معکوس نیست و تحلیل عاملی اساساً قابل انجام نیست. در عمل، این اتفاق زمانی رخ می‌دهد که فرد سعی می‌کند تحلیل عاملی را برای مجموعه‌ای از متغیرهای شدیداً وابسته اعمال کند، که گاهی اوقات برای مثال در پردازش پرسشنامه‌ها اتفاق می‌افتد. سپس می توان با افزودن یک ثابت کوچک به عناصر مورب ماتریس، تمام همبستگی های موجود در ماتریس را به طور مصنوعی کاهش داد و سپس آن را استاندارد کرد. این روش معمولاً منجر به ماتریسی می شود که می تواند معکوس شود و بنابراین می توان تحلیل عاملی را برای آن اعمال کرد. علاوه بر این، این روش بر مجموعه عوامل تأثیر نمی گذارد، اما تخمین ها دقیق تر هستند.

سیستم متغیر حالت (SVS) سیستمی است که پاسخ آن نه تنها به عملکرد ورودی، بلکه به یک پارامتر ثابت زمانی تعمیم یافته که وضعیت را تعیین می کند، بستگی دارد. تقویت کننده یا تضعیف کننده قابل تنظیم؟ این نمونه ای از ساده ترین SPS است که در آن ضریب انتقال را می توان به طور مجزا یا هموار طبق برخی از قوانین تغییر داد. مطالعه SPS معمولاً برای مدل‌های خطی انجام می‌شود، که در آن فرآیند گذرا مرتبط با تغییر در پارامتر حالت تکمیل شده در نظر گرفته می‌شود.

تضعیف کننده های ساخته شده بر اساس اتصالات L، T و U شکل دیودهای سری و موازی بیشترین استفاده را دارند. مقاومت دیودها تحت تأثیر جریان کنترل می تواند در محدوده وسیعی متفاوت باشد که به شما امکان می دهد پاسخ فرکانس و میرایی در مسیر را تغییر دهید. استقلال تغییر فاز در تنظیم میرایی در چنین تضعیف کننده ها با استفاده از مدارهای راکتیو موجود در ساختار اصلی به دست می آید. بدیهی است که با نسبت متفاوتی از مقاومت دیودهای موازی و سری، می توان همان سطح میرایی معرفی شده را بدست آورد. اما تغییر در تغییر فاز متفاوت خواهد بود.

اجازه دهید امکان ساده‌سازی طراحی خودکار تضعیف‌کننده‌ها را بررسی کنیم، به استثنای بهینه‌سازی مضاعف مدارهای اصلاحی و پارامترهای عناصر کنترل‌شده. به عنوان SPS مورد مطالعه، از یک تضعیف کننده کنترل شده الکتریکی استفاده خواهیم کرد که مدار معادل آن در شکل نشان داده شده است. 8.8. حداقل سطح تضعیف در مورد مقاومت عنصر کم Rs و مقاومت عنصر بالا Rp ارائه می شود. با افزایش مقاومت عنصر Rs و کاهش مقاومت عنصر Rp، تضعیف درج افزایش می یابد.

وابستگی تغییر در تغییر فاز به فرکانس و تضعیف مدار بدون اصلاح و با اصلاح در شکل نشان داده شده است. به ترتیب 8.9 و 8.10. در تضعیف کننده اصلاح شده، در محدوده میرایی 1.3-7.7 دسی بل و باند فرکانس 0.01-4.0 گیگاهرتز، تغییر تغییر فاز بیش از 0.2 درجه به دست آمد. در یک تضعیف کننده اصلاح نشده، تغییر در تغییر فاز در همان باند فرکانس و محدوده میرایی به 3 درجه می رسد. بنابراین، تغییر فاز به دلیل اصلاح تقریباً 15 برابر کاهش می یابد.

ما پارامترهای تصحیح و کنترل را به عنوان متغیرها یا عوامل مستقلی در نظر خواهیم گرفت که بر تضعیف و تغییر در تغییر فاز تأثیر می‌گذارند. این امکان را با استفاده از سیستم Statistica، انجام تجزیه و تحلیل فاکتوریل و رگرسیون SPS به منظور ایجاد الگوهای فیزیکی بین پارامترهای مدار و ویژگی‌های فردی، و همچنین ساده‌سازی جستجو برای پارامترهای مدار بهینه می‌دهد.

داده های اولیه به شرح زیر تشکیل شد. برای پارامترهای تصحیح و مقاومت‌های کنترلی که با موارد بهینه بالا و پایین در شبکه فرکانس 0.01-4 گیگاهرتز متفاوت هستند، تضعیف درج و تغییر در تغییر فاز محاسبه شد.

روش‌های مدل‌سازی آماری، به‌ویژه، تحلیل فاکتوریل و رگرسیون، که قبلاً برای طراحی دستگاه‌های گسسته با حالت‌های متغیر مورد استفاده قرار نمی‌گرفت، امکان آشکارسازی الگوهای فیزیکی عملکرد عناصر سیستم را فراهم می‌آورد. این به ایجاد ساختار دستگاه بر اساس یک معیار بهینه معین کمک می کند. به طور خاص، این بخش تضعیف کننده فاز-ناغیر را به عنوان یک نمونه معمولی از یک سیستم متغیر حالت در نظر گرفته است. شناسایی و تفسیر بارهای عاملی که بر ویژگی‌های مختلف تحت مطالعه تأثیر می‌گذارند، تغییر روش سنتی را ممکن می‌سازد و جستجوی پارامترهای تصحیح و پارامترهای کنترل را به طور قابل توجهی ساده می‌کند.

مشخص شده است که استفاده از یک رویکرد آماری برای طراحی چنین دستگاه هایی هم برای ارزیابی فیزیک عملکرد آنها و هم برای اثبات نمودارهای مدار توجیه می شود. مدل سازی آماری می تواند میزان تحقیقات تجربی را به میزان قابل توجهی کاهش دهد.

نتایج

• مشاهده عوامل مشترک و بارهای عاملی مربوطه، شناسایی ضروری الگوهای داخلی فرآیندها است.
• به منظور تعیین مقادیر بحرانی فواصل کنترل شده بین بارهای عاملی، جمع آوری و تعمیم نتایج تحلیل عاملی برای فرآیندهای هم نوع ضروری است.
• کاربرد تحلیل عاملی به ویژگی های فیزیکی فرآیندها محدود نمی شود. تحلیل عاملی هم یک روش قدرتمند برای نظارت بر فرآیندها است و هم برای طراحی سیستم ها برای اهداف مختلف قابل استفاده است.

همانطور که از ماتریس همبستگی مشخص است، متغیرهای مربوط به رضایت در کار با یکدیگر همبستگی بیشتری دارند و متغیرهای مربوط به رضایت در خانه نیز همبستگی بیشتری با یکدیگر دارند. همبستگی بین این دو نوع متغیر (متغیرهای مربوط به رضایت در کار و متغیرهای مربوط به رضایت در خانه) نسبتاً کم است. بنابراین قابل قبول به نظر می رسد که دو عامل نسبتاً مستقل (دو نوع عامل) در ماتریس همبستگی منعکس شده است: یکی به رضایت شغلی و دیگری به رضایت از زندگی در خانه مربوط می شود.

بارهای عاملی

مرحله دوم تحلیل عاملی، انتخاب اولیه عوامل یا به روش اجزای اصلی یا به روش عوامل اصلی است. نتیجه مثال ما یک راه حل دو عاملی است. همبستگی بین متغیرها و دو عامل (یا متغیرهای "جدید") را در نظر بگیرید. این همبستگی ها را همبستگی عاملی می نامند.

جدول 3.16

جدول بارهای عاملی (تحلیل مؤلفه اصلی)

همانطور که از جدول 3.16 مشاهده می شود، عامل اول بیشتر از عامل دوم با متغیرها همبستگی دارد (زیرا مقادیر بارهای وزنی برای هر متغیر عامل اول بیشتر از عامل دوم است). این امر بدیهی است زیرا همانطور که در بالا ذکر شد، عوامل به صورت متوالی استخراج می شوند و دارای واریانس کلی کمتر و کمتری هستند (به بخش مراجعه کنید مقادیر ویژه و تعداد عوامل متمایز، صفحه 61).

روش های چرخش عاملی

مرحله سوم تحلیل عاملی، چرخش بارهای عاملی حاصل از مرحله قبل است. روش های چرخش معمولی استراتژی ها هستند varimax, کوارتیمکس، و equimax. هدف از این روش ها به دست آوردن یک ماتریس بارگذاری قابل فهم (قابل تفسیر) است، یعنی عواملی که به وضوح با بارهای زیاد (مثلاً بیشتر از 0.7) برای برخی از متغیرها و بارهای کم برای برخی دیگر مشخص می شوند. این مدل کلی گاهی اوقات نامیده می شود ساختار ساده.

ایده چرخش با روش varimaxدر بالا توضیح داده شد (به بخش مراجعه کنید روش مؤلفه اصلی، صفحه 60). این روش را می توان برای مثال مورد بررسی نیز اعمال کرد. مانند قبل، وظیفه ما یافتن چرخشی است که پراکندگی را در امتداد محورهای جدید به حداکثر برساند. یا به عبارتی برای هر عامل ماتریسی از بارها به گونه ای بدست آوریم که تا حد امکان با هم تفاوت داشته باشند و امکان تفسیر ساده آنها وجود داشته باشد. در زیر جدولی از بارهای فاکتورهای چرخشی آورده شده است.

جدول 3.17

جدول بار عاملی (چرخش - واریماکس)

همانطور که از جدول 3.17 مشاهده می شود، عامل اول با بارهای زیاد بر روی متغیرهای مرتبط با رضایت در کار مشخص می شود و عامل دوم با رضایت در خانه مشخص می شود. از این جا می توان نتیجه گرفت که رضایت اندازه گیری شده توسط پرسشنامه از دو بخش رضایت از خانه و کار تشکیل شده است. بدین ترتیب تولید شد طبقه بندیمتغیرهای مورد مطالعه بر اساس طبقه بندی به دست آمده، عامل اول را می توان عامل رضایت شغلی (یا عامل ارزش های اجتماعی) و بر این اساس، عامل دوم را عامل رضایت از خانه (یا عامل ارزش های شخصی) نامید.

تفسیر نتایج تحلیل عاملی

مرحله نهایی تحلیل عاملی، تفسیر معناداری از عوامل به دست آمده در نتیجه چرخش است. در اینجا، محقق ملزم به داشتن پیشینه نظری و دانش خوبی از نتایج تجربی است که قبلاً در این زمینه تحقیق انباشته شده است.

در عمل، تفسیر عوامل شامل تخصیص وزن عامل (متغیرهای مرجع) قابل توجه برای هر یک از عوامل است. معیار دقیقی برای تمایز بین وزن عامل (بارها) مهم و ناچیز وجود ندارد. به عنوان مثال، در مورد نمونه های بزرگ (چند صد نفر یا بیشتر)، بارگذاری های 0.3 یا بیشتر گاهی اوقات قابل توجه در نظر گرفته می شود. هنگامی که نمونه به چند ده نفر کاهش می یابد، وزن های مرتبه 0.4-0.5 به عنوان وزن قابل توجه استفاده می شود.

تفسیر عوامل همیشه به آرامی پیش نمی رود. در برخی موارد فقط فرضی است (به عنوان مثال، در مورد استفاده از داده های مربوط به انواع مختلف مقیاس)، و گاهی اوقات نویسندگان به طور کامل آن را رها می کنند، زیرا این عامل شامل آزمون هایی است که در آنها به سختی می توان چیز مشترکی را مشاهده کرد.

در حالت ایده آل (توزیع متغیرها با نرمال تفاوتی ندارد)، تفسیر نتایج تحلیل عاملی را می توان با تجزیه و تحلیل ماتریس همبستگی آغاز کرد، سپس به بارهای عاملی (انتخاب متغیرهای مرجع) ادامه داد. مرحله بعدی مقایسه نتایج ماتریس همبستگی و عوامل انتخاب شده حاوی وزن های معنی دار است. و در نهایت مرحله آخر، تحلیل کلیات به دست آمده از محتوا و ماهیت آن دسته از متغیرها (ویژگی ها) است که بیشترین همبستگی را با این عامل دارند. نامگذاری عوامل با در نظر گرفتن آن دسته از متغیرهای مرجع انجام می شود که بیشترین وزن را دریافت کرده اند و بیشترین همبستگی را با عامل دارند. به عنوان مثال، اگر آزمایش‌هایی که توانایی گرفتن مواد غیرمعنا را ارزیابی می‌کنند، بارهای وزن بالایی روی این عامل داشته باشند، می‌توان آن را عامل «حافظه چرخشی» نامید.

تحلیل عاملی شاخه ای از آمار ریاضی است. هدف آن، مانند هدف سایر بخش‌های آمار ریاضی، توسعه مدل‌ها، مفاهیم و روش‌هایی است که امکان تجزیه و تحلیل و تفسیر آرایه‌های داده‌های تجربی یا مشاهده‌شده را بدون توجه به شکل فیزیکی آنها فراهم می‌کند.

یکی از معمولی‌ترین اشکال نمایش داده‌های تجربی، ماتریس است که ستون‌های آن با پارامترهای مختلف، ویژگی‌ها، آزمایش‌ها و غیره مطابقت دارد و ردیف‌ها با اشیاء، پدیده‌ها، حالت‌هایی که با مجموعه‌ای از مقادیر پارامتر خاص توصیف می‌شوند، مطابقت دارند. در عمل، ابعاد ماتریس بسیار بزرگ است: به عنوان مثال، تعداد ردیف های این ماتریس می تواند از چند ده تا چند صد هزار متغیر باشد (به عنوان مثال، در بررسی های جامعه شناختی)، و تعداد ستون ها می تواند متفاوت باشد. از یک تا دو تا چند صد تجزیه و تحلیل مستقیم و "بصری" ماتریس هایی با این اندازه غیرممکن است، بنابراین، در آمار ریاضی، بسیاری از رویکردها و روش ها برای "فشرده کردن" اطلاعات اولیه موجود در ماتریس به اندازه قابل مدیریت، استخراج "ضروری" طراحی شده اند. ، دور انداختن "ثانویه"، "تصادفی".

هنگام تجزیه و تحلیل داده های ارائه شده در قالب یک ماتریس، دو نوع مشکل ایجاد می شود. وظایف نوع اول با هدف به دست آوردن یک "توضیح کوتاه" از توزیع اشیاء است و وظایف نوع دوم با هدف آشکار کردن روابط بین پارامترها است.

باید در نظر داشت که محرک اصلی برای ظهور این مشکلات نه تنها و نه چندان در تمایل به رمزگذاری کوتاه مدت تعداد زیادی از اعداد، بلکه در شرایط بسیار اساسی تر از ماهیت روش شناختی نهفته است: به محض اینکه می‌توان مجموعه‌ای از اعداد را به اختصار توصیف کرد، سپس می‌توان باور داشت که نظم عینی خاصی کشف شده است که امکان ارائه یک توصیف کوتاه را فراهم کرده است. و دقیقاً جستجوی الگوهای عینی است که هدف اصلی است که معمولاً داده ها برای آن جمع آوری می شود.

روش‌ها و روش‌های ذکر شده برای پردازش یک ماتریس داده‌ها در این که چه نوع وظیفه پردازش داده‌ای را برای حل آن در نظر گرفته‌اند، و در چه اندازه ماتریس‌هایی قابل اجرا هستند، متفاوت است.

در مورد مشکل توضیح کوتاه روابط بین پارامترها با تعداد متوسط ​​​​این پارامترها، در این مورد ماتریس همبستگی متناظر حاوی چندین ده یا صدها عدد است و به خودی خود هنوز نمی تواند به عنوان "توضیح کوتاه" عمل کند. روابط موجود بین پارامترها، اما باید به منظور پردازش بیشتر.

تحلیل عاملی تنها مجموعه ای از مدل ها و روش هایی است که برای فشرده سازی اطلاعات موجود در ماتریس همبستگی طراحی شده اند. مدل‌های مختلف تحلیل عاملی بر این فرضیه استوار است: پارامترهای مشاهده‌شده یا اندازه‌گیری شده تنها ویژگی‌های غیرمستقیم شی یا پدیده مورد مطالعه هستند، اما در واقع پارامترها یا ویژگی‌های درونی (پنهان، نه مستقیماً مشاهده‌شده) وجود دارند که تعداد آنها وجود دارد. کوچک است و مقادیر پارامترهای مشاهده شده را تعیین می کند. این پارامترهای داخلی فاکتور نامیده می شوند. وظیفه تجزیه و تحلیل عاملی این است که پارامترهای مشاهده شده را در قالب ترکیب خطی عوامل و شاید برخی مقادیر اضافی "بی ربط" - "صداها" نشان دهد. واقعیت قابل توجه این است که اگرچه خود عوامل شناخته شده نیستند، اما می توان چنین تجزیه ای را به دست آورد و علاوه بر این، چنین عواملی را می توان تعیین کرد. برای هر شی می توان مقادیر هر فاکتور را مشخص کرد.

تحلیل عاملی، صرف نظر از روش‌های مورد استفاده، با پردازش جدولی از همبستگی‌های به‌دست‌آمده در مجموعه‌ای از آزمون‌ها، که به عنوان ماتریس همبستگی شناخته می‌شود، آغاز می‌شود و با به دست آوردن یک ماتریس عامل پایان می‌یابد. جدولی که وزن یا بار هر یک از فاکتورها را برای هر آزمون نشان می دهد. جدول 1 یک ماتریس عاملی فرضی است که تنها شامل دو عامل است.

فاکتورها در ردیف بالای جدول از مهم ترین تا کم اهمیت ترین و وزن آنها در هر یک از 10 آزمون در ستون های مربوطه آورده شده است.

میز 1

ماتریس عاملی فرضی

محورهای مختصاتمرسوم است که عوامل را به صورت هندسی در قالب محورهای مختصاتی نشان می دهند که هر آزمون را می توان به عنوان یک نقطه نشان داد. برنج. 1 این روش را توضیح می دهد. در این نمودار، هر یک از 10 تست نشان داده شده در جدول 1 به صورت نقطه نسبت به دو عامل مربوط به محورهای I و II نشان داده شده است. بنابراین، آزمون 1 با یک نقطه با مختصات 0.74 در امتداد محور I و 0.54 در امتداد محور II نشان داده می شود. نقاط نشان دهنده 9 تست باقی مانده به روشی مشابه با استفاده از مقادیر وزن جدول 1 ساخته شده اند. 1.

لازم به ذکر است که موقعیت محورهای مختصات توسط داده ها ثابت نمی شود. جدول همبستگی اصلی فقط موقعیت آزمون ها را تعیین می کند (یعنی نقاط در شکل 1) نسبت به یکدیگرهمان نقاط را می توان در صفحه ای با هر موقعیتی از محورهای مختصات رسم کرد. به همین دلیل، هنگام انجام تحلیل عاملی، چرخش محورها تا رسیدن به قابل قبول ترین و به راحتی قابل تفسیرترین نمایش رایج است.

برنج. 1. نگاشت عاملی فرضی که وزن دو عامل گروه را برای هر یک از 10 آزمون نشان می دهد.

روی انجیر 1 بدست آمده پس از چرخش محور I" و II" با خطوط نقطه چین نشان داده شده است. این چرخش بر اساس معیارهای پیشنهادی تورستون انجام شد. تنوع مثبت و ساختار سادهاولین مورد شامل چرخش محورها به موقعیتی است که در آن همه وزنه های منفی قابل توجه حذف شوند. اکثر روانشناسان بارهای عامل منفی را منطقاً برای آزمون های توانایی نامناسب می دانند، زیرا چنین بارگذاری به این معنی است که هر چه نمره فرد در یک عامل خاص بالاتر باشد، نمره او در آن آزمون کمتر خواهد بود. معیار ساختار ساده اساساً به این معنی است که هر آزمون باید تا حد امکان بر روی عوامل کمتری بارگذاری داشته باشد.

تحقق هر دو معیار عواملی را به دست می دهد که می توانند به راحتی و بدون ابهام تفسیر شوند. اگر آزمونی روی یک عامل بار زیادی داشته باشد و روی عوامل دیگر بار قابل توجهی نداشته باشد، با بررسی محتوای آزمون می توانیم در مورد ماهیت آن عامل اطلاعاتی کسب کنیم. در مقابل، اگر آزمایشی دارای بارگذاری متوسط ​​یا کم بر روی شش عامل باشد، در مورد ماهیت هر یک از آنها اطلاعات کمی به ما خواهد داد.

روی انجیر شکل 1 به وضوح نشان می دهد که پس از چرخش محورهای مختصات، همه آزمون های کلامی (1-5) در امتداد یا بسیار نزدیک به محور I قرار دارند و آزمون های عددی (6-10) به طور نزدیک حول محور II" گروه بندی می شوند. بارهای عامل جدید اندازه گیری شده نسبت به محورهای چرخیده در جدول نشان داده شده است. 2. بارهای عاملی در جدول. 2 مقادیر منفی ندارند، به جز مقادیر ناچیز که به وضوح به خطاهای نمونه نسبت داده می شوند. تمام تست های شفاهی بارهای بالایی برای فاکتور I" و تقریباً صفر - برای فاکتور II دارند. آزمایش‌های عددی، برعکس، بارهای بالایی برای فاکتور II و بارهای ناچیز برای فاکتور I دارند. بنابراین، چرخش محورهای مختصات، شناسایی و نامگذاری هر دو عامل و همچنین شرح ترکیب عاملی هر آزمون را بسیار ساده کرد. در عمل، تعداد عوامل اغلب بیش از دو به نظر می رسد، که البته، نمایش هندسی و تجزیه و تحلیل آماری آنها را پیچیده می کند، اما ماهیت رویه در نظر گرفته شده را تغییر نمی دهد.

جدول 2

ماتریس عامل پس از چرخش

برخی از محققان با مدل نظری به عنوان اصل چرخش محورها هدایت می شوند. همچنین ثبات یا تأیید عوامل مشابه را در مطالعات مستقل اما قابل مقایسه در نظر می گیرد.

تفسیر عوامل.پس از به دست آوردن جواب عامل (یا به عبارت ساده تر، ماتریس عامل) پس از روال چرخش، می توانیم به تفسیر و نامگذاری فاکتورها بپردازیم. این مرحله از کار به شهود روانی نیاز دارد تا آمادگی آماری. برای درک ماهیت یک عامل خاص، چاره‌ای نداریم جز اینکه تست‌هایی را که بار زیادی روی این عامل دارند مطالعه کنیم و سعی کنیم فرآیندهای روان‌شناختی مشترک آنها را کشف کنیم. هرچه آزمایش های بیشتری با بارهای زیاد روی این فاکتور انجام شود، آشکار کردن ماهیت آن آسان تر است. از جدول. 2، برای مثال، بلافاصله مشخص می شود که عامل I کلامی است و عامل II عددی است. در جدول آورده شده است. 2 بار عاملی همبستگی هر آزمون را با عامل نشان می دهد.

مراحل تحلیل عاملی

نه مرحله تحلیل عاملی وجود دارد. برای وضوح، ما این مراحل را در نمودار ارائه می دهیم و سپس به توضیح مختصری می پردازیم.

مراحل تحلیل عاملی در شکل نشان داده شده است.

برنج.

فرمول بندی مسئله و ساخت ماتریس همبستگی

فرمول مسأله.لازم است اهداف تحلیل عاملی به وضوح تعریف شود. متغیرهای مورد تجزیه و تحلیل عاملی بر اساس تحقیقات گذشته، محاسبات نظری یا بنا به صلاحدید محقق تنظیم می شوند. متغیرها باید در اندازه گیری شوند فاصلهیا نسبت فامیلیمقیاس تجربه نشان می دهد که حجم نمونه باید چهار تا پنج برابر بیشتر از تعداد متغیرها باشد.

ساخت ماتریس همبستگی.تحلیل بر اساس ماتریس همبستگی بین متغیرها است. مصلحت انجام تحلیل عاملی با وجود همبستگی بین متغیرها تعیین می شود. اگر همبستگی بین همه متغیرها کم باشد، تحلیل عاملی بی فایده است. متغیرهایی که ارتباط نزدیکی با یکدیگر دارند تمایل زیادی به همبستگی بالایی با عامل یا عوامل یکسان دارند.

برای آزمایش امکان سنجی استفاده از مدل فاکتوریل، آمارهای متعددی وجود دارد. آزمون کروی بودن بارتلت این فرضیه صفر را آزمایش می کند که بین متغیرها در جامعه همبستگی وجود ندارد. این بدان معنی است که ما این جمله را در نظر می گیریم که ماتریس همبستگی جمعیت یک ماتریس هویتی است که در آن همه عناصر مورب برابر با یک و بقیه برابر با صفر هستند. آزمون کروی بر اساس تبدیل تعیین کننده ماتریس همبستگی به آماره کای اسکوئر است. اگر آمار بزرگ باشد، فرض صفر رد می شود. اگر فرضیه صفر رد نشود، تحلیل عاملی نامناسب است. یکی دیگر از آمارهای مفید، آزمون کفایت نمونه Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) است. این ضریب مقادیر ضرایب همبستگی مشاهده شده را با مقادیر ضرایب همبستگی جزئی مقایسه می کند. مقادیر کوچک KMO - آمار نشان می دهد که همبستگی بین جفت متغیرها توسط متغیرهای دیگر قابل توضیح نیست، به این معنی که استفاده از تحلیل عاملی نامناسب است.

معادلات پایه

پیش از این، تقریباً تمام کتاب‌های درسی و تک نگاری‌های تحلیل عاملی توضیحی در مورد چگونگی انجام محاسبات پایه به صورت «دستی» یا با استفاده از یک دستگاه محاسبه ساده (حساب‌سنج یا ماشین‌حساب) ارائه می‌کردند. امروزه به دلیل پیچیدگی و حجم زیاد محاسبات مورد نیاز برای ایجاد ماتریس روابط، شناسایی عوامل و چرخش آنها، احتمالاً حتی یک نفر باقی نمانده است که از رایانه های قدرتمند و برنامه های مرتبط در هنگام انجام تحلیل عاملی استفاده نکند.

بنابراین، ما بر روی مهم‌ترین ماتریس‌ها (مجموعه‌های داده) که می‌توان در دوره تحلیل عاملی به دست آورد، چگونگی ارتباط آنها با یکدیگر و نحوه استفاده از آنها برای تفسیر داده‌ها تمرکز خواهیم کرد. تمام محاسبات لازم را می توان با استفاده از هر برنامه کامپیوتری (به عنوان مثال SPSS یا STADIA) انجام داد.

که در برگه 1فهرستی از مهم ترین ماتریس ها برای تحلیل مؤلفه های اصلی و تحلیل عاملی ارائه شده است. این فهرست عمدتاً شامل ماتریس‌های رابطه (بین متغیرها، بین عوامل، بین متغیرها و عوامل)، نمرات استاندارد شده (بر اساس متغیرها و عوامل)، وزن‌های رگرسیونی (برای محاسبه نمرات عامل با استفاده از امتیازات بر اساس متغیرها) و ماتریس‌های نگاشت رابطه عاملی بین عوامل است. و متغیرهای بعد از چرخش مورب. که در برگه 1ماتریس مقادیر ویژه و بردارهای ویژه مربوطه نیز داده شده است. مقادیر ویژه (مقادیر ویژه) و بردارهای ویژه به دلیل اهمیت آنها برای انتخاب عوامل، استفاده از تعداد زیادی از اصطلاحات خاص در این زمینه و همچنین ارتباط نزدیک بین مقادیر ویژه و واریانس در مطالعات آماری توصیف شده است.

میز 1

ماتریس هایی که بیشتر در تحلیل عاملی استفاده می شوند

توجه داشته باشید.هنگام تعیین اندازه، تعداد ردیف ها x تعداد ستون ها داده می شود: آر- تعداد متغیرها ن- تعداد مشاهدات، f- تعداد عوامل یا اجزاء. اگر ماتریس رابطه آرمنحط نیست و دارای رتبه ای برابر است R،سپس در واقع برجسته می شود آرمقادیر ویژه و بردارهای ویژه، نه f. با این حال، تنها از علاقه fاز آنها بنابراین، باقی مانده p-fنشان داده نمی شوند.

به ماتریس ها اسو اففقط چرخش مایل اعمال می شود، بقیه - چرخش متعامد و مایل.

مجموعه داده های تهیه شده برای تحلیل عاملی شامل نتایج اندازه گیری (نظرسنجی) تعداد زیادی از آزمودنی ها (پاسخگویان) در مقیاس های معین (متغیرها) است. که در برگه 2آرایه ای از داده ها ارائه شده است که به طور مشروط می توان آن ها را برآورده کننده الزامات تحلیل عاملی در نظر گرفت.

از پنج پاسخ دهنده ای که برای خرید بلیط به یک استراحتگاه ساحلی به آژانس مسافرتی مراجعه کرده بودند، سؤالاتی در مورد اهمیت چهار شرط (متغیر) برای انتخاب مقصد تعطیلات تابستانی برای آنها پرسیده شد. این شرایط متغیر عبارت بودند از: هزینه تور، راحتی مجموعه، دمای هوا، دمای آب. هر چه از نظر پاسخگو، این یا آن شرط برای او مهمتر باشد، اهمیت بیشتری برای آن قائل است. هدف پژوهش، بررسی مدل رابطه بین متغیرها و شناسایی علل ریشه ای بود که انتخاب تفرجگاه را تعیین می کند. (البته مثال برای اهداف توضیحی و آموزشی بسیار ساده شده است و نباید از جنبه معنادار جدی گرفته شود.)

ماتریس رابطه ( برگه 2) به صورت همبستگی محاسبه شد. به ساختار روابط در آن توجه کنید که با خطوط عمودی و افقی برجسته شده است. همبستگی های بالا در ربع بالا سمت چپ و پایین سمت راست نشان می دهد که رتبه بندی برای هزینه تور و راحتی مجموعه و همچنین رتبه بندی برای دمای هوا و دمای آب به هم مرتبط هستند. دو ربع دیگر نشان می دهد که دمای هوا و آسایش مجتمع و همچنین راحتی مجتمع و دمای آب به هم مرتبط هستند.

اکنون بیایید سعی کنیم از تحلیل عاملی برای تشخیص این ساختار همبستگی ها استفاده کنیم که به راحتی با چشم غیر مسلح در یک ماتریس همبستگی کوچک قابل مشاهده است (در یک ماتریس بزرگ، انجام این کار بسیار دشوار است).

جدول 2

داده ها برای تحلیل عاملی (مطالعه موردی)

ماتریس همبستگی

فاکتورسازی

یک قضیه مهم از جبر ماتریسی بیان می‌کند که ماتریس‌هایی که شرایط خاصی را برآورده می‌کنند، می‌توانند قطری شوند، به عنوان مثال. تبدیل به ماتریسی با اعداد در مورب اصلی و صفر در تمام موقعیت های دیگر. ماتریس های رابطه به طور خاص به نوع ماتریس های قطری تعلق دارند. تبدیل طبق فرمول انجام می شود:

آن ها ماتریس R با ضرب آن در ابتدا (از سمت چپ) در ماتریس جابجا شده V که با V' نشان داده می شود و سپس (از سمت راست) در خود ماتریس V قطری می شود.

به ستون های ماتریس V بردار ویژه و مقادیر روی قطر اصلی ماتریس L را مقادیر ویژه می گویند. اولین بردار ویژه با اولین مقدار ویژه مطابقت دارد و به همین ترتیب. (برای جزئیات بیشتر به پیوست 1 مراجعه کنید).

با توجه به اینکه در مثال فوق چهار متغیر در نظر گرفته شده است، چهار مقدار ویژه با بردارهای ویژه مربوط به آنها به دست می آید. اما از آنجایی که هدف تحلیل عاملی تعمیم ماتریس رابطه از طریق حداقل عوامل ممکن است و هر مقدار ویژه با عوامل بالقوه متفاوت مطابقت دارد، معمولاً فقط عواملی با مقادیر ویژه بزرگ در نظر گرفته می شوند. با یک راه حل عامل "خوب"، ماتریس روابط محاسبه شده با استفاده از این مجموعه محدود از عوامل، عملاً ماتریس رابطه را کپی می کند.

در مثال ما، زمانی که محدودیتی در تعداد فاکتورها وجود ندارد، مقادیر ویژه 2.02، 1.94، 0.04 و .00 برای هر یک از چهار عامل ممکن محاسبه می شود. فقط برای دو عامل اول، مقادیر ویژه به اندازه کافی بزرگ هستند که موضوع بررسی بیشتر باشد. بنابراین، تنها دو عامل اول دوباره استخراج می شوند. آنها دارای مقادیر ویژه 2.00 و 1.91 هستند که در جدول 1 نشان داده شده است. 3. با استفاده از رابطه (6) و درج مقادیر مثال بالا، به دست می آید:

(همه مقادیر محاسبه شده توسط رایانه یکسان هستند؛ محاسبات "دستی" ممکن است به دلیل عدم دقت گرد کردن متفاوت باشد.)

ضرب چپ ماتریس بردارهای ویژه در بردار منتقل شده به آن، ماتریس هویت E را به دست می‌دهد (با یکهایی در مورب اصلی و صفرهای دیگر). بنابراین، می توان گفت که تبدیل ماتریس رابطه طبق فرمول (6) خود آن را تغییر نمی دهد، بلکه آن را به شکل راحت تری برای تجزیه و تحلیل تبدیل می کند:

مثلا:

جدول 3

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه مربوطه برای مطالعه موردی مورد بررسی

از آنجایی که ماتریس همبستگی قطری است، جبر ماتریس بردارهای ویژه و مقادیر ویژه را می توان برای به دست آوردن نتایج تحلیل عاملی روی آن اعمال کرد (پیوست 1 را ببینید). اگر یک ماتریس قابل مورب باشد، تمام اطلاعات ضروری در مورد ساختار عامل به شکل مورب آن موجود است. در تحلیل عاملی، مقادیر ویژه با واریانس توضیح داده شده توسط عوامل مطابقت دارد. عاملی که بیشترین مقدار ویژه را دارد، بزرگترین واریانس را توضیح می دهد و به همین ترتیب تا زمانی که به عواملی با مقادیر ویژه کوچک یا منفی می رسد که معمولاً از تحلیل حذف می شوند. محاسبات مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بسیار پر زحمت است و توانایی محاسبه آنها برای یک روانشناس که به تحلیل عاملی برای اهداف عملی خود تسلط دارد یک ضرورت مطلق نیست. با این حال، آشنایی با این روش ضرری ندارد، بنابراین در پیوست 1 به عنوان مثال محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه در یک ماتریس کوچک را ارائه می دهیم.

برای یافتن مقادیر ویژه یک ماتریس مربع p x p، باید ریشه های یک چند جمله ای درجه p را پیدا کرد و برای یافتن بردارهای ویژه، باید معادلات p را با مجهولات p با قیود جانبی اضافی حل کرد که برای p >3 به ندرت به صورت دستی انجام می شود. هنگامی که بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یافت می شوند، بقیه تحلیل عاملی (یا تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی) کمابیش واضح می شود (معادلات 8-11 را ببینید).

معادله (6) را می توان به صورت: R=V'LV، (8) نشان داد.

آن ها ماتریس رابطه را می توان به عنوان حاصل ضرب سه ماتریس در نظر گرفت - ماتریس مقادیر ویژه، ماتریس بردارهای ویژه مربوطه و ماتریس منتقل شده به آن.

پس از تبدیل، ماتریس مقادیر ویژه L را می توان به صورت زیر نشان داد:

و بنابراین: R=VÖLÖL V’ (10)

یا (که یکسان است): R=(VÖL)(ÖL V’)

نشان دهید: A=(VÖL) و A’=(ÖL V’)، سپس R=AA’ (11)

آن ها ماتریس رابطه را می توان به صورت حاصل ضرب دو ماتریس که هر کدام ترکیبی از بردارهای ویژه و جذرهای مقادیر ویژه هستند، نشان داد.

معادله (11) اغلب معادله بنیادی تحلیل عاملی نامیده می شود. این ادعا را بیان می کند که ماتریس رابطه حاصلضرب ماتریس بارگذاری عاملی (A) و جابجایی آن است.

معادلات (10) و (11) نیز نشان می دهد که نسبت قابل توجهی از محاسبات در روش های تحلیل عاملی و مولفه های اصلی، برای تعیین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه است. هنگامی که اینها شناخته شدند، ماتریس عامل پیش چرخش با ضرب مستقیم ماتریس به دست می آید:

در مثال ما:

ماتریس بارگذاری عاملی، ماتریسی از روابط (به عنوان ضرایب همبستگی) بین عوامل و متغیرها است. ستون اول همبستگی بین اولین عامل و هر متغیر به نوبه خود است: هزینه تور (400--)، راحتی مجتمع (0.251)، دمای هوا (0.932)، دمای آب (. 956). ستون دوم همبستگی بین عامل دوم و هر متغیر است: هزینه تور (900/0)، آسایش مجموعه (947/0-)، دمای هوا (348/0)، دمای آب (286/0). فاکتور بر اساس متغیرهایی که به شدت با آن مرتبط است (یعنی داشتن بارهای زیاد بر روی آن) تفسیر می شود. بنابراین، عامل اول عمدتاً "اقلیمی" (دمای هوا و آب) است، در حالی که عامل دوم "اقتصادی" است (هزینه تور و راحتی مجموعه).

در تفسیر این عوامل باید به این نکته توجه داشت که متغیرهایی که بارهای بالایی بر روی عامل اول (دمای هوا و دمای آب) دارند، همبستگی مثبت دارند، در حالی که متغیرهایی که بار بالایی دارند بر عامل دوم (هزینه یک تور و آسایش مجتمع) همبستگی منفی دارند. عامل اول تک قطبی نامیده می شود (همه متغیرها در یک قطب گروه بندی می شوند) و دومی دو قطبی نامیده می شود (متغیرها به دو گروه مخالف تقسیم می شوند - دو قطب). متغیرهای دارای بار عاملی با علامت مثبت یک قطب مثبت و متغیرهایی با علامت منفی قطب منفی را تشکیل می دهند. در عین حال، نام دو قطب «مثبت» و «منفی» در تفسیر عامل، معنای ارزشی «بد» و «خوب» را ندارد. علامت به طور تصادفی در طول محاسبات انتخاب می شود. جایگزین کردن همه نشانه ها با متضادهایشان (همه مثبت ها با منفی ها و همه منفی ها با مثبت ها) راه حل را تغییر نمی دهد. تجزیه و تحلیل نشانه ها فقط برای شناسایی گروه ها (آنچه در مقابل چیست) ضروری است. با همین موفقیت می توان یک قطب را راست و دیگری را چپ نامید. در مثال ما، هزینه متغیر کوپن در قطب مثبت (راست) است؛ این با راحتی متغیر مجتمع در قطب منفی (چپ) مخالف است. و این عامل را می توان به «اقتصاد و آسایش» تعبیر کرد (نام برد). پاسخ دهندگانی که مشکل پس انداز برای آنها قابل توجه است در سمت راست قرار گرفتند - آنها مقادیر فاکتوریل را با علامت مثبت دریافت کردند. هنگام انتخاب یک استراحتگاه، بیشتر روی ارزان بودن آن تمرکز می کنند و کمتر روی راحتی. پاسخ دهندگانی که در تعطیلات پول پس انداز نمی کنند (قیمت کوپن خیلی آنها را آزار نمی دهد) و می خواهند اول از همه در شرایط راحت استراحت کنند، در سمت چپ قرار گرفتند - آنها مقادیر فاکتور را با یک عدد دریافت کردند. علامت "منهای".

با این حال، باید در نظر داشت که همه متغیرها با هر دو عامل همبستگی بالایی دارند. در چارچوب این مثال ساده، تفسیر واضح است، اما در مورد داده های واقعی، همه چیز چندان ساده نیست. معمولاً تفسیر یک عامل آسانتر است اگر فقط بخش کوچکی از متغیرها با آن همبستگی بالایی داشته باشند و بقیه با آن ارتباط نداشته باشند.

چرخش متعامد

چرخش معمولاً پس از استخراج عامل برای به حداکثر رساندن همبستگی های بالا و به حداقل رساندن همبستگی های پایین اعمال می شود. روش‌های چرخش متعددی وجود دارد، اما رایج‌ترین روش چرخش واریماکس است که یک روش به حداکثر رساندن واریانس است. این چرخش با افزایش بارهای زیاد و بارهای کم کمتر از روز هر عامل، واریانس های بار عاملی را به حداکثر می رساند. این هدف از طریق محقق می شود ماتریس های تبدیل L:

A قبل از پیچ L=A بعد از پیچ،

آن ها ماتریس بارهای عاملی قبل از چرخش در ماتریس تبدیل ضرب می شود و نتیجه ماتریس بارهای عامل بعد از چرخش است. در مثال ما:

مقایسه ماتریس های قبل و بعد از چرخش توجه داشته باشید که ماتریس بعد از چرخش دارای وزن عامل کم کمتر و وزن عامل بالا بیشتر از ماتریس قبل از چرخش است. تفاوت تاکید شده در بارها تفسیر عامل را تسهیل می کند و امکان انتخاب بدون ابهام متغیرهایی را که به شدت با آن در ارتباط هستند را ممکن می سازد.

عناصر ماتریس تبدیل تفسیر هندسی خاصی دارند:

ماتریس تبدیل ماتریس سینوس ها و کسینوس های زاویه ψ است که چرخش از طریق آن انجام می شود. (از این رو نام تبدیل چرخش است، زیرا از نظر هندسی، محورها حول مبدا فضای عامل می چرخند.) در مثال ما، این زاویه تقریباً 19 درجه است: cos19°=.946 و sin19°. =.325. از نظر هندسی، این مربوط به چرخش محورهای فاکتوریل به میزان 19 درجه حول مبدا است. (برای اطلاعات بیشتر در مورد جنبه های هندسی چرخش به زیر مراجعه کنید.)