توابع حساسیت معادله کنترلر دیجیتال PID تنظیم متناوب مدل

تابع انتقال یک جسم واقعی P(s) می تواند در حین کار با مقدار DP تغییر کند، به عنوان مثال، به دلیل تغییر در بار روی شفت موتور، تعداد تخم ها در انکوباتور، سطح یا ترکیب مایع موجود در اتوکلاو به دلیل پیری و فرسودگی مواد، ظاهر شدن ضربه، تغییرات روغن کاری و غیره. یک سیستم کنترل خودکار با طراحی مناسب باید شاخص های کیفیت خود را نه تنها در شرایط ایده آل، بلکه در حضور عوامل مضر ذکر شده حفظ کند. برای ارزیابی تأثیر یک تغییر نسبی در تابع انتقال شی DP / P بر تابع انتقال سیستم بسته Gcl

y(s) = r(s)، Gcl(s) = (8)

dGcl دیفرانسیل را پیدا کنید:

با تقسیم دو طرف این برابری بر Gcl و جایگزینی Gcl = PR/(1+PR) به سمت راست، به دست می‌آید:

شکل 17 - ارزیابی بهره و حاشیه فاز برای یک سیستم با هودوگراف نشان داده شده در شکل 15

از (10) معنای ضریب S قابل مشاهده است - میزان تأثیر تغییر نسبی در تابع انتقال جسم را بر تغییر نسبی در تابع انتقال حلقه بسته مشخص می کند ، یعنی S ضریب است. حساسیت حلقه بسته به تغییر در تابع انتقال جسم. از آنجایی که ضریب S \u003d S (jsh) وابسته به فرکانس است، تابع حساسیت نامیده می شود.

به شرح زیر از (10)

بیایید نماد را معرفی کنیم:

مقدار T تابع حساسیت مکمل (اضافی) نامیده می شود، زیرا S + T = 1. تابع حساسیت به شما اجازه می دهد تا تغییر در ویژگی های سیستم را پس از بسته شدن بازخورد ارزیابی کنید. از آنجایی که تابع انتقال یک سیستم باز برابر است با G = PR، و یک سیستم بسته Gcl = PR/(1+PR)، پس نسبت آنها Gcl/G = S است. به طور مشابه، برای یک سیستم باز، تابع انتقال از ورودی اختلالات d به خروجی یک سیستم بسته است (نگاه کنید به ) P(s)/(1 + P(s)R(s))، و حلقه باز P(s) است، بنابراین نسبت آنها نیز است. S. برای تابع انتقال از ورودی نویز اندازه گیری n به خروجی سیستم، همان نسبت S را می توان به دست آورد.

بنابراین، با دانستن شکل تابع S(jw) (به عنوان مثال، شکل 18)، می توان گفت که چگونه سرکوب تأثیرات خارجی بر روی سیستم برای فرکانس های مختلف پس از بسته شدن حلقه بازخورد تغییر خواهد کرد. بدیهی است که نویزهای موجود در محدوده فرکانسی که در آن |S(jш)| > 1، پس از بسته شدن بازخورد افزایش می یابد و نویز با فرکانس هایی که در آن |S(jш)|< 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены.

بدترین حالت (بزرگترین تقویت تأثیرات خارجی) در حداکثر فرکانس Ms مدول تابع حساسیت مشاهده می شود (شکل 18):

حداکثر تابع حساسیت را می توان به حاشیه پایداری sm مربوط کرد (شکل 15). برای این کار به این نکته توجه می کنیم که |1 + G(jш)| نشان دهنده فاصله نقطه [-1, j0] تا نقطه فعلی در هودوگراف تابع G(jш) است. بنابراین حداقل فاصله از نقطه [-1, j0] تا

تابع G(jш) برابر است با:

با مقایسه (13) و (14) می توان نتیجه گرفت که sm = 1/Ms. اگر ماژول G(jsh) با افزایش فرکانس کاهش یابد، همانطور که در شکل 15 مشاهده می شود، (1-sm)؟ 1/ گرم با جایگزینی نسبت sm = 1/Ms، تخمینی از حاشیه بهره بیان شده بر حسب حداکثر تابع حساسیت به دست می آوریم:

به طور مشابه، اما با فرضیات درشت تر، می توانیم برآورد حاشیه فاز را بر حسب حداکثر تابع حساسیت بنویسیم:

به عنوان مثال، برای Ms = 2 ما gm ? 2 و؟ 29 درجه

شکل 18 - توابع حساسیت برای سیستم با هودوگراف نشان داده شده در شکل 13

استحکام توانایی یک سیستم برای حفظ حاشیه پایداری معین با تغییرات در پارامترهای آن ناشی از تغییر بار است (به عنوان مثال، زمانی که بار کوره تغییر می کند، ثابت های زمانی آن تغییر می کند)، گسترش تکنولوژیکی پارامترها و پیری آنها، تأثیرات خارجی. ، خطاهای محاسباتی و خطای مدل شی. با استفاده از مفهوم حساسیت، می توان گفت که استحکام حساسیت کم حاشیه پایداری به تغییرات در پارامترهای یک جسم است.

اگر پارامترهای جسم در محدوده های کوچک تغییر کنند، زمانی که می توان از جایگزینی دیفرانسیل با افزایش محدود استفاده کرد، می توان تأثیر تغییرات پارامترهای جسم را بر تابع انتقال سیستم بسته با استفاده از تابع حساسیت (10). به طور خاص، می توان نتیجه گرفت که در فرکانس هایی که مدول تابع حساسیت کوچک است، تأثیر تغییرات در پارامترهای شی بر روی تابع انتقال یک سیستم بسته و بر این اساس، بر حاشیه پایداری کم خواهد بود.

برای ارزیابی تأثیر تغییرات بزرگ در پارامترهای شی، تابع انتقال شی را در قالب دو عبارت نشان می دهیم:

P = P0 + DP، (17)

در جایی که P0 تابع انتقال محاسبه شده است، DP انحراف از P0 است که باید یک تابع انتقال پایدار باشد. سپس بهره حلقه یک سیستم باز را می توان به صورت G = RP0 + RDP = G0 + RDP نشان داد. از آنجایی که فاصله از نقطه [-1, j0] تا نقطه فعلی A در هودوگراف سیستم بدون اغتشاش (که DP = 0) برابر است با |1 + G0| (شکل 19)، شرایط پایداری برای یک سیستم با RDP انحراف بهره حلقه را می توان به صورت زیر نشان داد:

|RDP|< |1+G0|,

که در آن T یک تابع حساسیت اضافی است (12). در نهایت می توانیم نسبت را بنویسیم:

که باید برآورده شود تا زمانی که پارامترهای فرآیند با مقدار DP(jsh) تغییر می کنند، سیستم پایدار بماند.

کاهش صفر و قطب. از آنجایی که تابع انتقال حلقه باز G = RP حاصلضرب دو تابع انتقال است که عموماً هم صورت و هم مخرج دارند، می توان قطب هایی را که در نیم صفحه سمت راست قرار دارند یا نزدیک به آن قرار دارند، لغو کرد. از آنجایی که در شرایط واقعی، زمانی که پارامترها پراکنده می شوند، چنین کاهشی به طور نادرست انجام می شود، ممکن است وضعیتی ایجاد شود که یک تحلیل نظری به این نتیجه برسد که سیستم پایدار است، هرچند در واقع، با انحراف کمی از پارامترهای فرآیند. از مقادیر محاسبه شده، ناپایدار می شود.

بنابراین، هر بار که قطب ها کاهش می یابد، لازم است که پایداری سیستم با پراکندگی واقعی پارامترهای جسم بررسی شود.

شکل 19 - توضیح اشتقاق نسبت (18)

دومین اثر کوتاه شدن قطب ها، بروز اختلاف معنی داری بین زمان ته نشینی فرآیند گذرا در یک سیستم بسته تحت تأثیر سیگنال نقطه تنظیم و اغتشاشات خارجی است. بنابراین، لازم است پاسخ کنترل کننده سنتز شده را تحت تأثیر نه تنها سیگنال نقطه تنظیم، بلکه همچنین اختلالات خارجی بررسی کنید.

تغییر حالت های کنترل بدون شوک در کنترلرهای PID، ممکن است حالت هایی وجود داشته باشد که پارامترهای آنها به طور ناگهانی تغییر کند. به عنوان مثال، زمانی که نیاز به تغییر ثابت یکپارچه سازی در یک سیستم در حال اجرا است یا زمانی که پس از کنترل دستی سیستم، لازم است به حالت خودکار تغییر دهید. در مواردی که توضیح داده شد، در صورت عدم اتخاذ تدابیر خاص، ممکن است بیش از حد نامطلوب متغیر کنترل شده رخ دهد. بنابراین، مشکل تعویض صاف ("بدون شوک") حالت های عملکرد یا پارامترهای کنترلر ایجاد می شود. روش اصلی حل مشکل، ساختن چنین ساختار کنترل کننده ای است، زمانی که تغییر پارامتر قبل از مرحله یکپارچه سازی انجام شود. به عنوان مثال، با تغییر پارامتر Ti = Ti (t)، عبارت انتگرال را می توان به دو شکل نوشت:

I(t) = یا I(t) = .

در حالت اول، هنگامی که Ti (t) به طور ناگهانی تغییر می کند، عبارت انتگرال به طور ناگهانی تغییر می کند، در حالت دوم، به آرامی تغییر می کند، زیرا Ti (t) زیر علامت انتگرال است، که مقدار آن نمی تواند ناگهان تغییر کند.

روش مشابهی در فرم افزایشی کنترل کننده PID (به بخش "فرم افزایشی کنترل کننده PID دیجیتال") و در شکل سریال کنترل کننده PID، که در آن ادغام در مرحله نهایی محاسبه کنترل انجام می شود، اجرا می شود.

حاشیه نویسی:تابع حساسیت ایجاد شده توسط مسئله برنامه ریزی محدب در نظر گرفته شده است، ویژگی های یکنواختی، تفاوت پذیری و بسته بودن آن بررسی می شود. ارتباطی با مجموعه برآوردهای بهینه پارتو برای مسئله بهینه‌سازی محدب چندهدفه برقرار می‌شود. نقش آن در سیستم های مسائل بهینه سازی روشن شده است. مشخص شده است که راه حل چنین سیستم هایی اغلب به حداقل کردن تابع حساسیت در یک مجموعه محدب کاهش می یابد. روش های عددی برای حل چنین مسائلی پیشنهاد شده و همگرایی آنها اثبات می شود. کتاب مقدس 20.

کلید واژه ها: تابع حساسیت، ویژگی های تابع حساسیت، مسائل بهینه سازی محدب چندهدفه، همگرایی الگوریتم عددی.

نسخه انگلیسی:
ریاضیات محاسباتی و فیزیک ریاضی، 2011، 51 :12, 2000-2016

پایگاه های مرجع:
نوع انتشار:مقاله
UDC: 519.658.4
دریافت شده توسط: 30.05.2011

نمونه استنادی: A. S. Antipin، A. I. Golikov، E. V. Khoroshilova، «تابع حساسیت، خواص و کاربردهای آن»، 51:12 (2011)، 2126-2142; محاسبه کنید. ریاضی. ریاضی. فیزیک ، 51:12 (2011)، 2000-2016

نقل قول در قالب AMSBIB

\Bibitem(AntGolKho11)
\توسط A.~S.~Antipin, A.~I.~Golikov, E.~V.~Khoroshilova
تابع حساسیت کاغذ، خواص و کاربردهای آن
\jour J. Vychisl. ریاضی. و حصیر. فیزیکی
سال 2011
\جلد 51
\ شماره 12
\ صفحات 2126--2142
\mathnet(http://mi.site/zvmmf9582)
\mathscinet(http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2933399)
\ ترجمه
\jour Comput. ریاضی. ریاضی. فیزیک
سال 2011
\جلد 51
\ شماره 12
\ صفحات 2000--2016
\crossref(https://doi.org/10.1134/S0965542511120049)
\isi(http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=00040903)
\scopus(http://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-84055223604)

نمونه لینک های این صفحه:

حساسیت واکنش دستگاه های مختلف به تغییر در پارامترهای اجزای آن نامیده می شود.

فاکتور حساسیت (تابع حساسیت یا به سادگی حساسیت ) یک ارزیابی کمی از تغییر در پارامترهای دستگاه (از جمله AED) برای یک تغییر معین در پارامترهای اجزای آن است.

نیاز به محاسبه تابع حساسیت زمانی ایجاد می شود که هنگام محاسبه تلورانس های مورد نیاز برای پارامترهای اجزاء، هنگام تعیین، تأثیر عوامل محیطی (دما، تابش و غیره) بر ویژگی های AED در نظر گرفته شود. درصد خروجی آی سی، در مسائل بهینه سازی، مدل سازی و غیره.

تابع حساسیت پارامتر دستگاه yتغییر در پارامتر جزء به عنوان یک مشتق جزئی تعریف می شود

این عبارت بر اساس بسط در یک سری تیلور تابعی از چندین متغیر به دست می آید که در آن

با غفلت از مشتقات جزئی مرتبه دوم یا بیشتر، رابطه بین تابع حساسیت و انحراف پارامتر را بدست می آوریم:

.

انواع مختلفی از تابع حساسیت وجود دارد:

¨ حساسیت مطلق، انحراف مطلق برابر است با ;

¨ حساسیت نسبی ، انحراف نسبی است ;

¨ حساسیت نیمه نسبی , .

انتخاب نوع تابع حساسیت با نوع مشکل حل شده تعیین می شود، به عنوان مثال، برای ضریب انتقال مختلط حساسیت نسبی برابر است با حساسیت مدول نسبی (قسمت واقعی) و حساسیت فاز نیمه نسبی (قسمت خیالی):

برای مدارهای ساده، محاسبه تابع حساسیت را می توان با تمایز مستقیم تابع مدار، که به شکل تحلیلی ارائه شده است، انجام داد. برای مدارهای پیچیده، به دست آوردن یک بیان تحلیلی از تابع مدار یک کار دشوار است، می توان از محاسبه مستقیم تابع حساسیت از طریق افزایش استفاده کرد. در این مورد، لازم است n تجزیه و تحلیل از طرح انجام شود، که برای طرح های پیچیده بسیار غیر منطقی است.

یک روش غیرمستقیم برای محاسبه حساسیت از توابع انتقال وجود دارد که توسط بیخوفسکی پیشنهاد شده است. طبق این روش، تابع حساسیت، به عنوان مثال، بهره مستقیم برابر است با حاصلضرب توابع انتقال از ورودی مدار به عنصری که حساسیت نسبت به آن جستجو می شود، و تابع انتقال "عنصر - خروجی مدار" (شکل 8.4a).

از آنجایی که محاسبه تابع حساسیت به محاسبه توابع انتقال کاهش می یابد، می توان برای مثال از روش تعمیم یافته پتانسیل های گرهی برای یافتن آنها استفاده کرد. روش غیرمستقیم محاسبه توسط توابع انتقال، یافتن توابع حساسیت مرتبه بالاتر را ممکن می سازد. شکل 8.4b یافتن تابع حساسیت مرتبه دوم را نشان می دهد. به طور کلی، n وجود دارد! مسیرهای انتقال سیگنال، که هر کدام شامل n + 1 عامل است.

روش محاسبه تابع حساسیت در زیر توضیح داده شده است، که روش تمایز مستقیم و روش غیرمستقیم را با توابع انتقال ترکیب می کند، که به فرد امکان می دهد حساسیت به n عنصر مدار را در یک تحلیل پیدا کند. بیایید این روش را با استفاده از مثال هایی از به دست آوردن عبارات برای حساسیت مطلق مرتبه اول پارامترهای S مدارهای الکترونیکی که توسط ماتریس رسانایی [Y] توصیف شده است، در نظر بگیریم.

در نمایش ماتریسی، ویژگی های مدارهای الکترونیکی، از جمله پارامترهای پراکندگی [S]، به عنوان نسبت های مکمل های جبری ماتریس [Y] تعریف می شوند (به بخش زیر 7.2 مراجعه کنید). پارامتر متغیر در برخی از عناصر اضافات جبری گنجانده شده است. تعریف تابع حساسیت در این مورد به یافتن مشتقات نسبت های متمم های جبری (یا متمم های جبری و تعیین کننده) با توجه به عناصر حاوی پارامتر متغیر خلاصه می شود. در صورتی که پارامتر متغیر به صورت عملکردی در عناصر مکمل های تعیین کننده گنجانده شود، حساسیت به عنوان یک مشتق پیچیده تعریف می شود.

برای تعیین مشتقات متمم های جبری با توجه به پارامترهای متغیر عناصر موجود در آنها، از قضیه ای استفاده می کنیم که بیان می کند مشتق تعیین کننده نسبت به هر عنصر با متمم جبری این عنصر برابر است. اثبات قضیه بر اساس بسط لاپلاس دترمینان است

.

عبارت کلی برای پارامترهای S از نظر مکمل های جبری است (به بخش 7.2 مراجعه کنید)

.

اجازه دهید توابع حساسیت پارامترهای پراکندگی را به یک شبکه دو ترمینالی غیرفعال متصل بین گره های دلخواه k و l تعیین کنیم (شکل 8.5a را ببینید).

هنگام بدست آوردن این عبارات و عبارات بعدی، از روابط ماتریسی زیر استفاده می شود:

برای مدارهای الکترونیکی حاوی BT، مدل‌سازی شده توسط ITUT (به بخش فرعی 2.4.1 مراجعه کنید)، ما حساسیت پارامترهای S را به رسانایی شاخه کنترل و پارامتر منبع کنترل‌شده a را تعیین می‌کنیم که به ترتیب بین گره‌های k، l، و متصل است. p, q (شکل 8.5b):

اگر مدار الکترونیکی حاوی FET‌هایی باشد که توسط ITUN مدل‌سازی شده‌اند (به بخش فرعی 2.4.1 مراجعه کنید)، در این صورت حساسیت پارامترهای پراکندگی به شیب S موجود بین گره‌های p, q در گره‌های کنترل k, l (شکل 8.5c) برابر است با

حساسیت سیستم کنترل 2 در شرایط صنعتی به دلایلی (تغییر دما، فرسودگی تجهیزات، کاهش فعالیت کاتالیزور، کاهش رسانایی حرارتی و غیره)، پارامترهای سیستم کنترل به تدریج تغییر می کند و مقادیر واقعی آنها همیشه با آنها متفاوت است. محاسبه شده تأثیر تغییرات پارامترهای سیستم بر خواص استاتیکی و دینامیکی آن را اختلالات پارامتریک و انحرافات حاصل از ویژگی های سیستم از مقادیر محاسبه شده را خطاهای پارامتری می نامند.

حساسیت سیستم کنترل 3 حساسیت به عنوان ویژگی یک سیستم برای تغییر ویژگی های خروجی آن (شاخص های کیفیت) زمانی که پارامترهای خاصی از مقادیر اسمی (محاسبه شده) خود منحرف می شوند، درک می شود. برای نشان دادن خاصیت مقابل، از اصطلاح درشتی یا استحکام استفاده می شود. سیستم هایی که خواص خود را تحت هر گونه اغتشاش پارامتری حفظ می کنند، خشن یا قوی نامیده می شوند.

حساسیت سیستم کنترل 4 حساسیت سیستم کنترل با استفاده از توابع حساسیت اندازه گیری می شود. توابع حساسیت مشتقات جزئی مختصات i سیستم با توجه به پارامتر j ام هستند:, u =1,2,... (1) یا مشتقات جزئی از معیار کیفیت استفاده شده با توجه به j- پارامتر ام: u =1،2،. ..، (2)

حساسیت سیستم کنترل 5 ترتیب تابع حساسیت کجاست. 0 شاخصی است که حالت اسمی را نشان می دهد که تابع حساسیت نسبت به آن تعیین می شود. گسترده ترین توابع حساسیت مرتبه 1.

توابع حساسیت زمان بندی 6 این توابع حساسیت برای ارزیابی تأثیر انحرافات کوچک پارامترهای سیستم از مقادیر محاسبه شده بر روی ویژگی های زمان بندی سیستم کنترل (عملکرد گذرا، تابع وزن و غیره) استفاده می شود. سیستم اولیه سیستمی است که در آن تمام پارامترها برابر با مقادیر محاسبه شده هستند و تغییراتی ندارند. این سیستم با جنبش به اصطلاح اساسی مطابقت دارد.

توابع حساسیت پاسخ های زمانی 7 یک سیستم متنوع سیستمی است که در پارامترها دچار تغییراتی شده است. حرکت آن را حرکت متغیر می نامند. حرکت اضافی تفاوت بین حرکت متنوع و اصلی است. اجازه دهید سیستم اصلی با مجموعه ای از معادلات غیرخطی مرتبه اول توصیف شود: (i=1،...، n) (3)

توابع حساسیت زمانی 8 بیایید تغییرات لحظه ای پارامترها را در نظر بگیریم تا پارامترها مقادیری را بگیرند. اگر تغییرات پارامتر باعث تغییر در ترتیب معادله دیفرانسیل نشود، تغییر حرکت با مجموعه ای از معادلات توصیف می شود: (i=1،...، n) (4) برای حرکت اضافی، می توانیم بنویسیم. : (5)

توابع حساسیت مشخصه های زمانی 9 تحت شرایط تمایز پذیری و از نظر پارامترها، حرکت اضافی را می توان در یک سری تیلور گسترش داد. برای تغییرات کوچک پارامترها، مجاز است خود را به شرایط خطی بسط محدود کنیم. سپس معادله تقریب اول را برای حرکت اضافی بدست می آوریم: (6) مشتقات جزئی داخل پرانتز در مقادیر متغیرهای مربوط به حرکت پایه (یعنی در = 0) گرفته می شوند.

توابع حساسیت زمان بندی 10 بنابراین، اولین تقریب برای حرکت اضافی را می توان با توابع حساسیت شناخته شده یافت. توجه داشته باشید که استفاده از توابع حساسیت برای یافتن حرکت اضافی در مقایسه با فرمول مستقیم (5) راحت تر است، زیرا دومی در بسیاری از موارد به دلیل نیاز به تفریق دو مقدار نزدیک می تواند خطاهای زیادی بدهد. با تغییرات قابل توجه، ممکن است لازم باشد از تقریب دوم با حفظ هر دو عبارت خطی و درجه دوم در سری تیلور استفاده شود.

توابع حساسیت مشخصه های زمانی 11 تمایز معادلات اولیه (4) با توجه به منجر به معادلات حساسیت: (7) i=1,2,...,n; j=1،2،...،m. حل این معادلات توابع حساسیت U ij را به دست می دهد. اکنون به سیستم های خطی می پردازیم. اجازه دهید سیستم با مجموعه ای از معادلات مرتبه اول توصیف شود: (i=1،2،...،n)، (8)

توابع حساسیت پاسخ زمانی 12 که در آن a ik و b iq ضرایب ثابت هستند، x i مختصات فاز هستند و f q (t) یک تأثیر خارجی است. شرایط اولیه در سیستم: در t=0. معادلات حساسیت از (8) با تمایز با توجه به یک پارامتر متغیر به دست می‌آیند که ضرایب a ik و b iq ممکن است به آن بستگی داشته باشند: (i=1،2،...،n)، (9) مشتقات جزئی از ضرایب سیستم معادلات (8) با توجه به پارامتر متغیر.

توابع حساسیت مشخصه های زمانی 13 معادله (9) با شرایط اولیه مطابقت دارد: (i=1,2,...,n). اگر شرایط اولیه به پارامتر بستگی نداشته باشد، شرایط صفر اولیه با معادلات (9) مطابقت دارد. برای حل (9) ابتدا باید مجموعه معادلات (8) را حل کرده و حرکت اولیه (i=1,...,n) را مشخص کرد.

توابع حساسیت زمان 14 برای یافتن تابع حساسیت و حرکت اضافی، استفاده از عملکردهای انتقال سیستم راحت است. برای مثال، اجازه دهید مقدار کنترل شده y(t) با نیروی محرکه با وابستگی مرتبط باشد: (10) که در آن G(s) تصویر عمل محرکه است. تابع حساسیت را می توان از (10) با تمایز آن با توجه به پارامتر بدست آورد: (11)

توابع حساسیت مشخصه های زمانی 15 در اینجا، تابع حساسیت تابع انتقال (12) معرفی می شود که اولین تقریب تابع انتقال اضافی را تعیین می کند، که برابر است با تفاوت بین متغیر و توابع انتقال اصلی زمانی که پارامتر تغییر می کند. (13) این وابستگی ها در مواردی معتبر هستند که تغییرات پارامتر ترتیب سیستم های معادله مشخصه را تغییر ندهند.

توابع حساسیت پاسخ زمانی 17 بیایید یک تابع انتقال اضافی برای موردی پیدا کنیم که تابع انتقال اصلی را می توان به صورت نسبتی از دو چند جمله ای نشان داد: (15) که در آن و تغییرات چند جمله ای های صورت و مخرج تابع انتقال هستند.

توابع حساسیت مشخصه های زمانی 19 بیایید برای مثال یک مدل حساسیت برای تابع انتقال یک سیستم بسته بسازیم: (16) با تغییرات پارامتر. مطابق با موارد فوق، در می یابیم برابری افزایش های صورت و مخرج Ф(های) به ما امکان می دهد طرح مدل را ساده کنیم.

توابع حساسیت مشخصه های زمانی 21 یکی از مهمترین ویژگی های یک سیستم کنترل معمولی، متشکل از یک دستگاه کنترل (رگولاتور) W p (s) و یک شی W 0 (s)، تابع حساسیت نسبی است: (17) K 0 بهره جسم است. اجازه دهید در (17) تابع انتقال یک سیستم بسته را با توجه به عمل محرک (18) نشان دهیم و جایگزین کنیم.

توابع حساسیت پاسخ زمانی 22 (19) در حالت کلی، زمانی که تابع انتقال به تعدادی از پارامترهای متغیر بستگی دارد، تابع انتقال اضافی عبارت است از: هر تأثیر خارجی.

توابع حساسیت معیارهای کیفیت 23 اگر تعدادی از پارامترها در سیستم تغییر کرده باشند، تغییر حاصل در برخی از ارزیابی کیفیت استفاده می شود: (20) که در آن مقدار متغیر ارزیابی کیفیت و مقدار اولیه آن را می توان با استفاده از مقدار کامل محاسبه کرد. فرمول دیفرانسیل:

توابع حساسیت معیارهای کیفیت 24 از آنجایی که در بیشتر موارد فقط تخمین های احتمالی تغییرات شناخته شده است، استفاده از روش های احتمالی توصیه می شود. بنابراین، اگر حداکثر انحرافات ممکن مشخص باشد، اگر مستقل از یکدیگر باشند، می توان حداکثر ریشه میانگین مربع انحراف ارزیابی کیفیت را پیدا کرد: (22) و حداکثر نسبی ریشه میانگین مربع. : (23)

توابع حساسیت معیارهای کیفیت 25 اگر واریانس انحرافات و انحرافات پارامتر مستقل باشند، می توانیم واریانس ارزیابی کیفیت را پیدا کنیم: (24) و غیره.

مثال 26 اجازه دهید تابع انتقال یک سیستم باز به شکل زیر باشد: تعیین حداکثر انحراف ریشه میانگین مربع شاخص نوسان، اگر و، و تغییرات در پارامترها مستقل هستند، لازم است. اجازه دهید ابتدا مقدار اولیه شاخص نوسان را تعیین کنیم. برای انجام این کار، لازم است حداکثر مدول تابع انتقال فرکانس (AFH) سیستم بسته را پیدا کنید:

2 توابع حساسیت در صورت حداکثر انحراف RMS: بنابراین، در سیستم مورد بررسی، شاخص نوسان" title="Example 27 مطالعه برای حداکثر به دست می دهد: در CT2 توابع حساسیت، اگر حداکثر انحراف RMS: بنابراین، در سیستم مورد نظر، شاخص نوسان" class="link_thumb"> 27 !}مثال 27 بررسی حداکثر بازده: در CT2 توابع حساسیت در صورت حداکثر انحراف RMS: بنابراین، در سیستم مورد بررسی، شاخص نوسان 2 تابع حساسیت در صورت حداکثر انحراف RMS: بنابراین، در سیستم مورد بررسی، شاخص نوسان "> 2 تابع حساسیت در صورت حداکثر انحراف RMS: بنابراین، در سیستم مورد بررسی، شاخص نوسان"> 2 تابع حساسیت در صورت انحراف RMS حداکثر: بنابراین، در سیستم مورد بررسی، شاخص نوسان" title="Example 27 مطالعه برای حداکثر به دست می دهد: در CT2 توابع Sensitivity، اگر حداکثر انحراف Root-mean-square: بنابراین، در سیستم شاخص نوسان در نظر گرفته شده است"> title="مثال 27 بررسی حداکثر بازده: در CT2 توابع حساسیت در صورت حداکثر انحراف RMS: بنابراین، در سیستم مورد بررسی، شاخص نوسان"> !}

سوالات کنترلی معنای فیزیکی حساسیت چیست؟ 2. تفسیر ریاضی حساسیت چیست؟ 3. معادله حساسیت چگونه به دست می آید؟ 4. شرایط اولیه را برای حل معادلات حساسیت چگونه بدست می آورید؟ 5. دلیل راحتی استفاده از توابع حساسیت تابع انتقال چیست؟ 6. از مدل حساسیت چه اطلاعاتی به دست می آید؟ 7. منظور از توابع حساسیت معیارهای کیفیت چیست؟

ادبیات توصیه شده Krivosheev V.P. مبانی تئوری کنترل: نکات سخنرانی. قسمت 2. Vladivostok: VGUEiS Publishing House, - 83 p. 2. لوکاس وی. تئوری کنترل خودکار. – م.: ندرا، – 416 ص.

30 استفاده از مطالب ارائه استفاده از این ارائه فقط با توجه به الزامات قوانین فدراسیون روسیه در مورد حق چاپ و مالکیت معنوی و همچنین با در نظر گرفتن الزامات این بیانیه انجام می شود. ارائه متعلق به نویسندگان است. شما می توانید یک کپی از هر بخشی از ارائه را برای استفاده شخصی و غیرتجاری خود چاپ کنید، اما نمی توانید هیچ بخشی از ارائه را به منظور دیگری چاپ کنید یا به هر دلیلی هیچ بخشی از ارائه را تغییر دهید. استفاده از هر بخشی از ارائه در اثر دیگر، اعم از چاپی، الکترونیکی یا غیر آن، و همچنین استفاده از هر بخشی از ارائه در ارائه دیگر با مرجع یا غیر آن، تنها پس از کسب رضایت کتبی نویسندگان مجاز است. .

دانستن توابع حساسیت این تابع هدف برای مدیریت عملیاتی وضعیت حساب جاری شرکت تحت تاثیر ریسک ها بسیار مفید خواهد بود.

3.3. انواع و خواص توابع حساسیت

هنگام محاسبه توابع حساسیت، باید بین تأثیر کوتاه مدت و بلندمدت رویدادهای ریسک تمایز قائل شد. بر این اساس، ما دو نوع تابع حساسیت را تعریف می کنیم:

حساسیت محلی- حساسیت به تأثیر محلی (کوتاه مدت در زمان) پارامتر ریسک، به عنوان مثال. زمانی که انحراف فقط در طول یک یا چند دوره به طور قابل توجهی کمتر از کل افق برنامه ریزی رخ می دهد (شکل 3.2).

حساسیت جهانی - حساسیت به نفوذ جهانی (بلند مدت).پارامتر ریسک، آن ها زمانی که انحراف می تواند در کل افق برنامه ریزی، از یک لحظه خاص شروع شود (شکل 3.3).

اینکه کدام یک از گزینه های حساسیت داده شده باید انتخاب شود بستگی به مدت زمان ماندگاری رویدادهای خطر خاص در یک موقعیت واقعی دارد.

در اینجا، یک قیاس با تجزیه و تحلیل پاسخ سیستم های خطی بر اساس ویژگی های ضربه ای و گذرای دومی مناسب است. اگر دلتا-

تابع دیراک - δ (t-τ)، سپس پاسخ سیستم در شرایط اولیه صفر عددی برابر با پاسخ ضربه ای سیستم g(t- τ) خواهد بود. اگر تابع Heaviside (تک پرش) - 1 (t-τ) به عنوان یک عمل منفرد در نقطه ای از زمان استفاده شود، پاسخ سیستم در شرایط اولیه صفر عددی برابر با پاسخ گذرا سیستم h( t-τ).

در مورد ما، نقش تابع دلتا را می توان با جهش در پارامتر ریسک LdX(t-τ) محلی در زمان بازی کرد، سپس واکنش پروژه سرمایه گذاری متناسب با حساسیت محلی LS (t-τ) خواهد بود. به یک تاثیر معین تابع Heaviside 1 (t-τ) با یک تغییر زمان جهانی در پارامتر خطر GdX (t-τ) مطابقت دارد، که به

پاسخ متناسب با تابع حساسیت جهانی GS (t- τ). شکل 3.2 قیاس های عملکردی مربوطه را نشان می دهد.

قیاس محلی

قیاس جهانی

شکل 3.4. قیاس با سیستم های خطی

همانطور که می دانید، برای سیستم های خطی، اصل برهم نهی معتبر است، یعنی: واکنش سیستم به مجموعه ای از تأثیرات برابر است با مجموع واکنش های هر تأثیر به طور جداگانه. بر اساس این اصل، با دانستن ویژگی های سیستم g(t) یا h(t) می توان هم ارتباط بین آنها و هم پاسخ سیستم به هر نوع ضربه را پیدا کرد. در مورد ما، از اصل برهم نهی، می توانیم ارتباطی بین توابع حساسیت جهانی و محلی مربوطه به دست آوریم. اجازه دهید زمان بطور مجزا تغییر کند:

t = 0، 1، 2، … n، … N،

که در آن t = N افق برنامه ریزی است.

t = k لحظه شروع تاثیر ریسک جهانی است.

t = k+j، (j = 0، 1، … n–k) - لحظات وجود خطرات محلی.

t = n ≥ k+j لحظه دلخواه (جریان) مشاهده پاسخ سیستم به یک ضربه معین است.

سپس حساسیت جهانی، که واکنش سیستم را به تأثیر یک رویداد ریسک جهانی که در لحظه t = k آغاز شده و تا افق برنامه ریزی ادامه دارد، توصیف می کند، می تواند به عنوان برهم نهی حساسیت های محلی مربوط به کل تأثیرات بیان شود. خطرات محلی (مدت یک دوره) که در لحظاتی از t = k و ظاهر می شوند تا t = k + j، (j = 0، 1، … n – k)، برای مثال:

لازم به ذکر است که توابع حساسیت محلی همیشه سریعتر از توابع جهانی با همین نام برای تمام دوره های زمانی کاهش می یابد. این با این واقعیت توضیح داده می شود که اثر محلی هر ریسک مدت کوتاهی است و ریسک جهانی (برابر مجموع ریسک های محلی) در تمام مدت از لحظه وقوع آن معتبر است و اثر آن از دوره انباشته می شود. به دوره. می توان گفت که توابع حساسیت جهانی منعکس کننده پیامدهای استراتژیک تأثیر انحرافات پارامترهای بلندمدت بر پروژه سرمایه گذاری است. در عین حال، حساسیت های محلی منعکس کننده پیامدهای تاکتیکی تغییرات کوتاه مدت در محیط کسب و کار خارجی و داخلی است.

ویژگی های توابع هدف مدل جریان های مالی

هنگام استفاده از دستگاه تحلیلی برای تجزیه و تحلیل سیستم‌های خطی، باید در نظر داشت که مدل مالی یک پروژه سرمایه‌گذاری ممکن است کاملاً خطی نباشد، همانطور که آزمایش‌ها بر روی بسیاری از پروژه‌های سرمایه‌گذاری مختلف نشان داده است، حتی در محدوده وسیعی از تغییرات در پارامترهای ریسک، دقت تجزیه و تحلیل حساسیت کاملا قابل قبول باقی مانده است. با این حال، قبل از استفاده از این تکنیک، توصیه می شود تابع هدف یک پروژه سرمایه گذاری خاص را برای خطی بودن با توجه به پارامترهای ریسک انتخاب شده بررسی کنید. برای انجام این کار کافی است انجام شرط تناسب زیر را بررسی کنید:

که در آن a مقداری ثابت دلخواه است.

موقعیت هایی را در نظر بگیرید که تابع هدف غیر خطی است:

1. NPV به طور غیر خطی به نرخ تنزیل بستگی دارد، زیرا دومی به توان "t" ارتقا می یابد.

2. تابع هدف ممکن است به طور غیر خطی به نرخ بانکی وام بستگی داشته باشد در مواردی که پرداخت سود به تعویق افتاده است، زیرا در این صورت بهره بر اساس طرح بهره مرکب تعلق می گیرد که منجر به غیرخطی بودن می شود.

3. تابع هدف ( NPV، مانده جریان های مالی انباشته، جریان خالص مالی انباشته، و غیره) ممکن است به طور غیرخطی به قیمت محصول فروخته شده بستگی داشته باشد، اگر حجم طبیعی فروش این محصول به طور قابل توجهی به قیمت آن بستگی داشته باشد.

4. اگر در مرحله اولیه پروژه سود خالص وجود نداشته باشد (زیان رخ دهد)، آنگاه توابع هدف نسبت به غیر خطی خواهند بود.پارامترهای ریسک در این دوره های زمانی، زیرا وابستگی سود خالص به پارامترهای ریسک، توابع خطی تکه ای خواهد بود. پس از انتشار پروژه

سود خالص مثبت، غیر خطی بودن مشخص شده ناچیز می شود.

علاوه بر حساسیت های مرتبه اول (3.2)، پیشنهاد می کنیم در مواردی که غیرخطی بودن تابع هدف برای برخی از پارامترهای ریسک قابل توجه است و نمی توان از آنها غفلت کرد، از حساسیت های مرتبه دوم استفاده کرد. این رویکرد با جزئیات بیشتر در بخش 3.7 زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

اجازه دهید به مطالعه خواص توابع هدف ادامه دهیم. اگر قیمت های فروش کالاهای تولیدی در طول اجرای پروژه سرمایه گذاری به عنوان پارامترهای ریسک انتخاب شود، در هر دوره برنامه ریزی تابع هدف (به عنوان مثال، جریان خالص مالی انباشته در مورد دو کالا) به صورت زیر خواهد بود:

Y = a (p1 Q 1 + p 2 Q 2 ) + b

که در آن p 1.2 - قیمت ها، و Q 1.2 - حجم فروش طبیعی است. اگر وابستگی Q(p) را بتوان نادیده گرفت، با استفاده از (3.2) توابع حساسیت را برای دوره مورد نظر بدست می آوریم:

به راحتی می توان دریافت که نسبت این توابع حساسیت برابر با نسبت حجم فروش بر حسب پولی کالاهای مربوطه در یک دوره معین خواهد بود. در نتیجه، ساختار توابع حساسیت قیمت دقیقاً با ساختار حجم فروش از نظر پولی مطابقت دارد، یعنی.

این نتیجه گیری برای هر تعداد از کالاهای موجود در مجموعه معتبر است. اگر گروه‌های تکی کالاهای موجود در مجموعه دارای نرخ‌های مالیات بر ارزش افزوده متفاوتی باشند، در صورتی که از قیمت‌های بدون مالیات بر ارزش افزوده در محاسبات حساسیت و در محاسبات ساختار حجم فروش استفاده شود، نتیجه‌گیری فوق معتبر خواهد بود.

این ویژگی توابع حساسیت قیمت به فرد امکان می دهد تا میزان محاسبات دومی را در مورد طیف گسترده ای از کالاها به میزان قابل توجهی کاهش دهد، در صورتی که نیاز به دانستن حساسیت برای همه قیمت ها باشد.

اگر وابستگی Q(p) نشان داده شده در بالا را نتوان نادیده گرفت، در این صورت ارتباط بین توابع حساسیت و ساختار فروش در سطح کیفی باقی خواهد ماند، به عنوان مثال. هر چه سهم این محصول در مقایسه با سایر محصولات در کل درآمد بیشتر باشد، حساسیت آن نسبت به قیمت بیشتر می شود.

بعد، علامت تابع حساسیت را در نظر بگیرید. اگر با افزایش (کاهش) انحراف پارامتر ریسک، مقدار تابع هدف افزایش (کاهش) پیدا کند، تابع حساسیت برای تمام نقاط زمانی مثبت خواهد بود، مشروط بر اینکه خود تابع هدف مثبت باشد. به عنوان مثال، حساسیت‌های تراز انباشته جریان‌های مالی به قیمت‌ها و حجم طبیعی فروش کالاهای تولیدی همیشه مثبت است، در حالی که حساسیت‌های همان تابع هدف به انحراف هر گونه هزینه و همچنین به نرخ‌های بانکی وام‌ها هستند. همیشه منفی استثنا از این قاعده