نحوه تبدیل آنلاین به سیستم اعداد باینری اعداد را از یک سیستم اعداد به هر سیستم دیگری بصورت آنلاین تبدیل کنید

بیایید یکی از مهمترین موضوعات در علوم کامپیوتر را تجزیه و تحلیل کنیم -. در برنامه درسی مدرسه ، به احتمال زیاد به دلیل کمبود ساعات اختصاص داده شده برای آن ، به طور "متواضع" آشکار می شود. دانش در مورد این موضوع، به ویژه در ترجمه سیستم های اعداد، پیش نیاز گذراندن موفقیت آمیز آزمون و پذیرش در دانشگاه ها در دانشکده های مربوطه می باشد. در زیر مفاهیمی مانند سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی، نمونه هایی از این سیستم های اعداد آورده شده است، قوانینی برای تبدیل اعداد اعشاری اعشاری صحیح، کسرهای اعشاری منظم و اعداد اعشاری مختلط به هر سیستم اعداد دیگری، تبدیل اعداد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، تبدیل سیستم های اعداد هشت و هگزادسیمال به سیستم اعداد باینری هستند. ارایه شده. امتحانات شامل تعداد زیادی مشکل در این موضوع است. توانایی حل آنها یکی از الزامات متقاضیان است. به زودی: برای هر موضوع از بخش، علاوه بر مطالب نظری دقیق، تقریباً تمام گزینه های ممکن ارائه خواهد شد. وظایفبرای مطالعه مستقل علاوه بر این، شما این فرصت را خواهید داشت که راه حل های آماده و دقیق برای این کارها را از یک سرویس میزبانی فایل به صورت رایگان دانلود کنید و راه های مختلفی را برای دریافت پاسخ مناسب به تصویر بکشید.

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم های اعداد غیر موقعیتی- سیستم های عددی که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی ندارد.

سیستم های اعداد غیر موقعیتی شامل، به عنوان مثال، رومی هستند، که در آن به جای اعداد، حروف لاتین وجود دارد.

در اینجا، حرف V صرف نظر از مکان آن، مخفف 5 است. با این حال، قابل ذکر است که اگرچه سیستم اعداد رومی یک نمونه کلاسیک از یک سیستم اعداد غیر موقعیتی است، اما کاملاً غیر موقعیتی نیست، زیرا. عدد کوچکتر قبل از عدد بزرگتر از آن کم می شود:

سیستم های اعداد موقعیتی

سیستم های اعداد موقعیتی- سیستم های اعدادی که در آنها مقدار کمی یک رقم به مکان آن در عدد بستگی دارد.

به عنوان مثال، اگر در مورد سیستم اعداد اعشاری صحبت کنیم، در عدد 700 عدد 7 به معنای "هفت صد" است، اما همان رقم در عدد 71 به معنای "هفت ده" و در عدد 7020 - "هفت هزار" است. .

هر یک سیستم اعداد موقعیتیخود را دارد پایه. پایه یک عدد طبیعی بزرگتر یا مساوی دو است. برابر است با تعداد ارقام استفاده شده در این سیستم اعداد.

مثلا:
• دودویی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 2.
• کواترنر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 4.
• پنج برابر- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 5.
• هشتی- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 8.
• هگزادسیمال- سیستم اعداد موقعیتی با پایه 16.

برای حل موفقیت آمیز مسائل در موضوع "سیستم های اعداد"، دانش آموز باید از روی اعداد باینری، اعشاری، هشت و هگزادسیمال تا 16 10 به طور قلب بداند:

دانستن اینکه چگونه اعداد در این سیستم های اعداد به دست می آیند مفید است. شما می توانید حدس بزنید که در هشت، هگزادسیمال، سه تایی و غیره سیستم های اعداد موقعیتیهمه چیز مشابه سیستم اعشاری که برای ما آشناست اتفاق می افتد:

یک عدد به عدد اضافه می شود و عدد جدیدی بدست می آید. اگر مکان واحدها با پایه سیستم اعداد برابر شود، تعداد ده ها را 1 افزایش می دهیم و به همین ترتیب.

این "انتقال یک" دقیقاً همان چیزی است که بیشتر دانش آموزان را می ترساند. در واقع، همه چیز بسیار ساده است. اگر رقم واحد برابر شود، انتقال رخ می دهد پایه سیستم اعدادتعداد ده‌ها را 1 افزایش می‌دهیم. بسیاری، با یادآوری سیستم اعشاری خوب قدیمی، فوراً در تخلیه و در این انتقال گیج می‌شوند، زیرا ده‌های اعشاری و مثلاً ده‌های باینری چیزهای متفاوتی هستند.

از این رو، دانش‌آموزان مدبر هنگام پر کردن، مثلاً جداول صدق، «روش‌های» خود را دارند (در کمال تعجب ... کار می‌کنند) که اولین ستون‌ها (مقادیر متغیرها) آن‌ها در واقع با اعداد باینری به ترتیب صعودی پر می‌شوند. .

به عنوان مثال، بیایید نگاهی به دریافت اعداد بیندازیم سیستم اکتال: به عدد اول (0) 1 اضافه می کنیم، 1 می گیریم. سپس 1 به 1 اضافه می کنیم، 2 می گیریم و غیره. تا 7. اگر یک را به 7 اضافه کنیم، عددی برابر با پایه سیستم اعداد، یعنی. 8. سپس باید رقم ده ها را یک عدد افزایش دهید (ده هشتی می گیریم - 10). بدیهی است که اعداد 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 20، ...، 27، 30، ...، 77، 100، 101 ...

قوانین تبدیل از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

1 اعداد اعشاری صحیح را به هر سیستم اعداد دیگری تبدیل کنید.

عدد باید بر تقسیم شود پایه اعداد جدید. اولین باقیمانده تقسیم، اولین رقم کم اهمیت عدد جدید است. اگر ضریب تقسیم کمتر یا مساوی با پایه جدید باشد، آن (ضریب) باید دوباره بر پایه جدید تقسیم شود. تقسیم را باید تا زمانی ادامه داد که ضریب کمتر از پایه جدید را بدست آوریم. این بالاترین رقم عدد جدید است (باید به یاد داشته باشید که مثلاً در سیستم هگزادسیمال حروف بعد از 9 دنبال می شوند، یعنی اگر در باقیمانده 11 گرفتید، باید آن را به صورت B بنویسید).

مثال ("تقسیم بر یک گوشه"): بیایید عدد 173 10 را به سیستم اعداد اکتالی ترجمه کنیم.

بنابراین، 173 10 \u003d 255 8

2 تبدیل کسرهای اعشاری صحیح به هر سیستم اعداد دیگری.

عدد باید در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود. رقمی که به قسمت صحیح وارد شده است، بالاترین رقم قسمت کسری عدد جدید است. برای به دست آوردن رقم بعدی، قسمت کسری حاصلضرب باید دوباره در پایه جدید سیستم اعداد ضرب شود تا زمانی که انتقال به قسمت صحیح رخ دهد. ضرب را ادامه می دهیم تا جزء کسری برابر با صفر شود یا به دقت مشخص شده در مسئله برسیم («... با دقت مثلاً دو رقم اعشار محاسبه کن»).

مثال: بیایید عدد 0.65625 10 را به سیستم اعداد اکتالی ترجمه کنیم.

نتیجه قبلاً دریافت شده است!

سیستم های اعداد

سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی وجود دارد. سیستم اعداد عربی که ما در زندگی روزمره از آن استفاده می کنیم، موقعیتی است، در حالی که سیستم رومی نیست. در سیستم های اعداد موقعیتی، موقعیت یک عدد به طور منحصر به فرد بزرگی عدد را تعیین می کند. این را با استفاده از مثال عدد 6372 در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیرید. با شروع از صفر این عدد را از راست به چپ شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 6372 را می توان به صورت زیر نشان داد:

6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .

عدد 10 سیستم اعداد را تعریف می کند (در این مورد 10 است). مقادیر موقعیت عدد داده شده به عنوان درجه در نظر گرفته می شود.

عدد اعشاری واقعی 1287.923 را در نظر بگیرید. آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به سمت چپ و به راست شماره گذاری می کنیم:

سپس عدد 1287.923 را می توان به صورت زیر نشان داد:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .

به طور کلی، فرمول را می توان به صورت زیر نشان داد:

C n س n + C n-1 س n-1 +...+C 1 س 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

که در آن C n یک عدد صحیح در موقعیت است n، D -k - عدد کسری در موقعیت (-k)، س- سیستم شماره

چند کلمه در مورد سیستم اعداد. مجموعه ای از ارقام (0،1، 2،3،4،5،6،7)، در سیستم باینری - از مجموعه ارقام (0.1)، در سیستم اعداد هگزا دسیمال - از مجموعه ارقام (0، 1،2،3،4،5،6، 7،8،9،A،B،C،D،E،F)، که در آن A،B،C،D،E،F با اعداد 10،11 مطابقت دارد، 12،13،14،15 در جدول 1 اعداد در سیستم های اعداد مختلف نشان داده شده اند.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

برای ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر، ساده ترین راه این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و سپس از سیستم اعداد اعشاری، آن را به سیستم اعداد مورد نیاز ترجمه کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

با استفاده از فرمول (1)، می توانید اعداد را از هر سیستم عددی به سیستم اعشاری تبدیل کنید.

مثال 1. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد باینری (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

مثال2. عدد 1011101.001 را از سیستم اعداد هشتگانه (SS) به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

مثال 3 . عدد AB572.CDF را از هگزادسیمال به SS اعشاری تبدیل کنید. راه حل:

اینجا آ 10 جایگزین شد، ب- ساعت 11 سی- در ساعت 12، اف- ساعت 15

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، باید قسمت صحیح عدد و قسمت کسری عدد را جداگانه ترجمه کنید.

قسمت صحیح عدد از SS اعشاری به سیستم اعداد دیگری ترجمه می شود - با تقسیم متوالی قسمت صحیح عدد بر پایه سیستم اعداد (برای SS باینری - بر 2، برای SS 8 رقمی - بر 8، برای 16 رقم - توسط 16 و غیره) برای به دست آوردن کل باقیمانده، کمتر از پایه SS.

مثال 4 . بیایید عدد 159 را از SS اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم:

همانطور که در شکل دیده میشود. 1، عدد 159، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 79 و باقیمانده 1 می شود. علاوه بر این، عدد 79، وقتی بر 2 تقسیم می شود، ضریب 39 و باقیمانده 1 می شود و غیره. در نتیجه، با ساختن یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ)، یک عدد در SS باینری بدست می آوریم: 10011111 . بنابراین، می توانیم بنویسیم:

159 10 =10011111 2 .

مثال 5 . بیایید عدد 615 را از SS اعشاری به SS هشتی تبدیل کنیم.

هنگام تبدیل یک عدد از SS اعشاری به SS هشتی، باید عدد را به ترتیب بر 8 تقسیم کنید تا زمانی که یک باقیمانده عدد صحیح کمتر از 8 بدست آورید. در نتیجه، یک عدد از باقیمانده تقسیم (از راست به چپ) می سازیم. یک عدد در SS octal بدست آورید: 1147 (شکل 2 را ببینید). بنابراین، می توانیم بنویسیم:

615 10 =1147 8 .

مثال 6 . بیایید عدد 19673 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 3 مشاهده می شود، با تقسیم متوالی عدد 19673 بر 16، باقی مانده های 4، 12، 13، 9 را به دست می آوریم. عدد هگزادسیمال ما 4CD9 است.

برای تبدیل کسرهای اعشاری صحیح (یک عدد واقعی با یک عدد صحیح صفر) به یک سیستم اعداد با پایه s، این عدد باید به طور متوالی در s ضرب شود تا قسمت کسری به صفر خالص برسد، یا تعداد ارقام لازم را بدست آوریم. اگر حاصل ضرب عددی با جزء صحیح غیر از صفر باشد، این قسمت صحیح در نظر گرفته نمی شود (آنها به ترتیب در نتیجه گنجانده می شوند).

بیایید با مثال به موارد بالا نگاه کنیم.

مثال 7 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

همانطور که از شکل 4 مشاهده می شود، عدد 0.214 به صورت متوالی در 2 ضرب می شود. و عدد با یک عدد صحیح صفر نوشته می شود. اگر با ضرب عددی با جزء صحیح صفر به دست آید، در سمت چپ آن صفر نوشته می شود. فرآیند ضرب تا زمانی ادامه می یابد که در قسمت کسری یک صفر خالص به دست آید یا تعداد ارقام لازم به دست آید. با نوشتن اعداد پررنگ (شکل 4) از بالا به پایین، عدد مورد نیاز را در سیستم باینری بدست می آوریم: 0. 0011011 .

بنابراین، می توانیم بنویسیم:

0.214 10 =0.0011011 2 .

مثال 8 . بیایید عدد 0.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم.

برای تبدیل عدد 0.125 از SS اعشاری به باینری این عدد متوالی در 2 ضرب می شود در مرحله سوم 0 به دست آمد بنابراین نتیجه زیر به دست آمد:

0.125 10 =0.001 2 .

مثال 9 . بیایید عدد 0.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم.

به دنبال مثال های 4 و 5، اعداد 3، 6، 12، 8، 11، 4 را به دست می آوریم. اما در SS هگزادسیمال، اعداد C و B با اعداد 12 و 11 مطابقت دارند. بنابراین، داریم:

0.214 10 = 0.36C8B4 16.

مثال 10 . بیایید عدد 0.512 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هشتی ترجمه کنیم.

بدست آورد:

0.512 10 =0.406111 8 .

مثال 11 . بیایید عدد 159.125 را از سیستم اعداد اعشاری به SS باینری ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 4) و قسمت کسری عدد (مثال 8) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب این نتایج بدست می آوریم:

159.125 10 =10011111.001 2 .

مثال 12 . بیایید عدد 19673.214 را از سیستم اعداد اعشاری به SS هگزادسیمال ترجمه کنیم. برای این کار، قسمت صحیح عدد (مثال 6) و قسمت کسری عدد (مثال 9) را جداگانه ترجمه می کنیم. با ترکیب بیشتر این نتایج به دست می آوریم.

1. شمارش ترتیبی در سیستم های اعداد مختلف.

در زندگی مدرن، ما از سیستم های اعداد موقعیتی استفاده می کنیم، یعنی سیستم هایی که در آنها عدد نشان داده شده با یک رقم به موقعیت رقم در نماد عدد بستگی دارد. بنابراین، در آینده فقط در مورد آنها صحبت خواهیم کرد و اصطلاح "موضعی" را حذف خواهیم کرد.

به منظور یادگیری نحوه ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر، بیایید درک کنیم که چگونه ضبط متوالی اعداد با استفاده از سیستم اعشاری به عنوان مثال انجام می شود.

از آنجایی که ما یک سیستم اعداد اعشاری داریم، 10 کاراکتر (رقم) برای ساخت اعداد داریم. شمارش ترتیبی را شروع می کنیم: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. اعداد تمام شده اند. ظرفیت عدد را افزایش می دهیم و مرتبه پایین را بازنشانی می کنیم: 10. سپس دوباره مرتبه پایین را افزایش می دهیم تا تمام ارقام تمام شود: 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19. ترتیب بالا را افزایش دهید. 1 و ترتیب پایین را روی صفر قرار می دهیم: 20. وقتی از همه ارقام برای هر دو رقم استفاده می کنیم (عدد 99 را می گیریم) دوباره ظرفیت رقمی عدد را افزایش می دهیم و ارقام موجود را تنظیم می کنیم: 100. و به همین ترتیب.

بیایید سعی کنیم همین کار را در سیستم های 2، 3، و 5 انجام دهیم (بیایید نماد سیستم دوم، برای سیستم 3 و غیره را معرفی کنیم):

اگر سیستم اعداد دارای پایه بزرگتر از 10 باشد، باید کاراکترهای اضافی وارد کنیم، مرسوم است که حروف الفبای لاتین را وارد کنیم. به عنوان مثال، برای سیستم هگزادسیمال، علاوه بر ده رقم، به دو حرف (و) نیاز داریم:

2. انتقال از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم دیگر.

برای تبدیل یک عدد اعشاری مثبت کامل به یک سیستم اعداد با پایه متفاوت، باید این عدد را بر پایه تقسیم کنید. ضریب حاصل دوباره بر پایه تقسیم می شود و بیشتر تا زمانی که ضریب از پایه کمتر شود. در نتیجه، ضریب آخر و تمام باقیمانده ها را در یک خط بنویسید و از آخرین آن شروع کنید.

مثال 1بیایید عدد اعشاری 46 را به سیستم اعداد باینری ترجمه کنیم.

مثال 2بیایید عدد اعشاری 672 را به سیستم اعداد اکتالی ترجمه کنیم.

مثال 3بیایید عدد اعشاری 934 را به سیستم اعداد هگزادسیمال ترجمه کنیم.

3. ترجمه از هر سیستم عددی به اعشاری.

برای اینکه یاد بگیریم چگونه اعداد را از هر سیستم دیگری به اعشار ترجمه کنیم، بیایید نماد اعشاری آشنا را تجزیه و تحلیل کنیم.
به عنوان مثال، عدد اعشاری 325 5 واحد، 2 ده و 3 صد است، یعنی.

در سایر سیستم های اعداد نیز وضعیت دقیقاً به همین منوال است، فقط ما نه در 10، 100 و غیره بلکه در درجه پایه سیستم اعداد ضرب خواهیم کرد. برای مثال، بیایید عدد 1201 را در سیستم اعداد سه تایی در نظر بگیریم. ارقام را از راست به چپ با شروع از صفر شماره گذاری می کنیم و عدد خود را به صورت مجموع حاصلضرب یک رقم در سه برابر درجه یک رقم عددی نشان می دهیم:

این نماد اعشاری عدد ما است، یعنی.

مثال 4بیایید عدد اکتال 511 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم.

مثال 5بیایید عدد هگزادسیمال 1151 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم.

4. انتقال از یک سیستم باینری به یک سیستم با پایه "قدرت دو" (4، 8، 16، و غیره).

برای تبدیل یک عدد باینری به عددی با پایه "قدرت دو"، باید دنباله دودویی را بر اساس تعداد ارقام برابر درجه از راست به چپ به گروه‌هایی تقسیم کرد و هر گروه را با رقم مربوطه جایگزین کرد. سیستم شماره جدید

به عنوان مثال، اجازه دهید عدد باینری 1100001111010110 را به هشتی تبدیل کنیم. برای انجام این کار، بیایید آن را به گروه های 3 کاراکتری تقسیم کنیم که از سمت راست شروع می شود (زیرا ) و سپس از جدول مطابقت استفاده کرده و هر گروه را با یک عدد جدید جایگزین می کنیم:

نحوه ساخت جدول مکاتبات را در بند 1 یاد گرفتیم.

آن ها

مثال 6بیایید عدد باینری 1100001111010110 را به سیستم هگزادسیمال تبدیل کنیم.

5. انتقال از یک سیستم با پایه "قدرت دو" (4، 8، 16، و غیره) به باینری.

این ترجمه مشابه ترجمه قبلی است که در جهت مخالف انجام شده است: ما هر رقم را با گروهی از ارقام در سیستم باینری از جدول مطابقت جایگزین می کنیم.

مثال 7بیایید عدد هگزادسیمال C3A6 را به سیستم اعداد باینری ترجمه کنیم.

برای انجام این کار، هر رقم از عدد را با یک گروه 4 رقمی (زیرا ) از جدول مطابقت جایگزین می کنیم و در صورت لزوم گروه را با صفر در ابتدا تکمیل می کنیم:

برای تبدیل سریع اعداد از اعشار به باینری، باید اعداد "2 به توان" را به خوبی بدانید. به عنوان مثال، 2 10 \u003d 1024 و غیره. این به شما امکان می دهد چند نمونه را برای ترجمه در عرض چند ثانیه حل کنید. یکی از این وظایف است task A1 از نسخه ی نمایشی USE 2012. البته می توانید عدد را طولانی و خسته کننده بر "2" تقسیم کنید. اما بهتر است متفاوت تصمیم بگیرید و در وقت ارزشمند امتحان صرفه جویی کنید.

روش بسیار ساده است. ماهیت آن این است: اگر عددی که باید از سیستم اعشاری تبدیل شود برابر با عدد "2 به توان" باشد، این عدد در سیستم دودویی شامل تعداد صفرهای برابر توان است. جلوی این صفرها یک "1" اضافه می کنیم.

• بیایید عدد 2 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 2=2 1 . بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 1 صفر است. "1" را در جلو قرار می دهیم و 10 2 می گیریم.
• بیایید 4 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 4=2 2 . بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 2 صفر است. "1" را در جلو قرار می دهیم و 100 2 می گیریم.
• بیایید 8 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 8=2 3. بنابراین در سیستم باینری عدد شامل 3 صفر است. "1" را در جلو قرار می دهیم و 1000 2 می گیریم.

به طور مشابه برای اعداد دیگر "2 به توان".

اگر عددی که باید ترجمه شود کمتر از عدد 2 به توان 1 باشد، در سیستم باینری این عدد فقط از واحدهایی تشکیل شده است که تعداد آنها برابر توان است.

• بیایید 3 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 3=2 2 -1. بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 2 یک است. 11 2 می گیریم.
• بیایید 7 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. 7=2 3 -1. بنابراین، در سیستم باینری، عدد شامل 3 یک است. ما 111 2 را دریافت می کنیم.

در شکل، مربع ها نمایش دودویی عدد را نشان می دهند و در سمت چپ، نمایش اعشاری صورتی است.

ترجمه برای سایر اعداد "2 به توان -1" مشابه است.

واضح است که ترجمه اعداد از 0 تا 8 را می توان به سرعت یا با تقسیم انجام داد و یا به سادگی نمایش آنها را در سیستم باینری دانست. من این مثال ها را آوردم تا اصل این روش را بفهمید و از آن برای ترجمه بیشتر «اعداد تأثیرگذار» استفاده کنید، مثلاً اعداد 127،128، 255، 256، 511، 512 و غیره را ترجمه کنید.

شما می توانید چنین وظایفی را زمانی انجام دهید که نیاز به ترجمه عددی داشته باشید که با عدد "2 به توان" برابر نیست، اما نزدیک به آن باشد. می تواند بزرگتر یا کمتر از عدد "2 به توان" باشد. تفاوت بین عدد ترجمه شده و عدد "2 به توان" باید کم باشد. به عنوان مثال، تا 3. نمایش اعداد از 0 تا 3 در سیستم باینری باید به سادگی بدون ترجمه شناخته شود.

اگر عدد بزرگتر از عدد باشد، آن را به صورت زیر حل می کنیم:

ابتدا عدد "2 به توان" را به سیستم باینری ترجمه می کنیم. و سپس تفاوت عدد "2 به توان" و عدد ترجمه شده را به آن اضافه می کنیم.

به عنوان مثال، بیایید 19 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. از عدد "2 به توان" 3 بزرگتر است.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

اگر عدد کمتر از عدد "2 به توان" باشد، استفاده از عدد "2 به توان -1" راحت تر است. ما اینطور تصمیم می گیریم:

ابتدا عدد "2 به توان -1" را به سیستم باینری ترجمه می کنیم. و سپس تفاوت بین عدد "2" را به توان -1 و عدد ترجمه شده از آن کم کنید.

به عنوان مثال، بیایید 29 را از سیستم اعشاری ترجمه کنیم. از عدد "2 به توان 1" 2 بزرگتر است. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

اگر تفاوت بین عدد ترجمه شده و عدد "2 به توان" بیش از سه باشد، می توانید عدد را به اجزاء تقسیم کنید، هر قسمت را به سیستم باینری تبدیل کرده و اضافه کنید.

به عنوان مثال، عدد 528 را از سیستم اعشاری ترجمه کنید. 528=512+16. 512 و 16 را جداگانه ترجمه می کنیم.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
حالا بیایید آن را روی هم جمع کنیم:

تبصره 1

اگر می خواهید عددی را از یک سیستم اعدادی به سیستم دیگر تبدیل کنید، راحت تر است که ابتدا آن را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید و تنها پس از آن آن را از سیستم اعداد اعشاری به هر سیستم اعداد دیگری منتقل کنید.

قوانین تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به اعشاری

در فناوری رایانه با استفاده از محاسبات ماشینی، تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم اعداد دیگر نقش مهمی دارد. در زیر قوانین اساسی برای چنین تبدیل (ترجمه) را ارائه می دهیم.

هنگام ترجمه یک عدد باینری به یک اعشاری، باید عدد باینری را به صورت چندجمله‌ای نشان داد، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 2 دلار نمایش داده می‌شود. $، و سپس باید چند جمله ای را طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

شکل 1. جدول 1

مثال 1

عدد $11110101_2$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $1$ از درجه پایه $2$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 4 16 +3 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10) دلار

برای تبدیل یک عدد از هشتی به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 8 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

X_8 $ = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

شکل 2. جدول 2

مثال 2

عدد $75013_8$ را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.

راه حل.با استفاده از جدول بالا $2$ از درجه پایه $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

برای تبدیل یک عدد از هگزادسیمال به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای نشان دهید، که هر عنصر آن به عنوان حاصلضرب یک رقم از عدد و توان متناظر عدد پایه، در این مورد 16 دلار، و سپس نمایش داده می شود. شما باید چند جمله ای را با توجه به قوانین حساب اعشاری محاسبه کنید:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

شکل 3. جدول 3

مثال 3

تبدیل عدد $FFA2_(16)$ به سیستم اعداد اعشاری.

راه حل.با استفاده از جدول فوق از توان های پایه $3$ از $8$، عدد را به صورت چند جمله ای نشان می دهیم:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعشاری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به دودویی، باید به طور متوالی بر 2$ تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی با $1$ باقی بماند. یک عدد در سیستم باینری به عنوان دنباله ای از آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نشان داده می شود.

مثال 4

عدد $22_(10)$ را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 4

$22_{10} = 10110_2$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به اکتال، باید به ترتیب بر 8 دلار تقسیم شود تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 7 دلار باشد. یک عدد را در سیستم اعداد هشتگانه به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس ارائه دهید.

مثال 5

عدد $571_(10)$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 5

$571_{10} = 1073_8$

• برای تبدیل یک عدد از اعشار به هگزادسیمال، باید آن را متوالی بر 16 دلار تقسیم کرد تا زمانی که باقیمانده کمتر یا مساوی 15 دلار باشد. یک عدد را به صورت هگزادسیمال به صورت دنباله ای از ارقام آخرین نتیجه تقسیم و باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس بیان کنید.

مثال 6

عدد $7467_(10)$ را به سیستم اعداد هگزادسیمال تبدیل کنید.

راه حل:

شکل 6

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

برای تبدیل کسر مناسب از سیستم اعداد اعشاری به غیر اعشاری، لازم است قسمت کسری عدد تبدیل شده را در پایه سیستمی که قرار است به آن تبدیل شود ضرب کنیم. کسری در سیستم جدید به عنوان بخش های کامل از محصولات ارائه می شود که از اول شروع می شود.

برای مثال: $0.3125_((10))$ در اکتال مانند $0.24_(((8))$ خواهد بود.

در این حالت، زمانی که یک کسر اعشاری متناهی می تواند با کسری نامتناهی (تناوبی) در یک سیستم اعداد غیر اعشاری مطابقت داشته باشد، ممکن است با مشکل مواجه شوید. در این مورد، تعداد ارقام در کسر نشان داده شده در سیستم جدید به دقت مورد نیاز بستگی دارد. همچنین باید توجه داشت که اعداد صحیح به صورت اعداد صحیح باقی می مانند و کسرهای مناسب در هر سیستم عددی کسر باقی می مانند.

قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد باینری به سیستم دیگر

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هشتی، باید آن را به سه گانه (سه رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، صفرها را به بالاترین سه گانه اضافه کرد، سپس طبق جدول، هر سه گانه را با رقم هشتی مربوطه جایگزین کرد. 4.

شکل 7. جدول 4

مثال 7

عدد $1001011_2$ را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.

راه حل. با استفاده از جدول 4، عدد را از باینری به هشتی ترجمه می کنیم:

$001 001 011_2 = 113_8$

• برای تبدیل یک عدد از دودویی به هگزا دسیمال، باید آن را به تتراد (چهار رقمی) تقسیم کرد، با کمترین رقم شروع کرد، در صورت لزوم، تتراد ارشد را با صفر تکمیل کرد، سپس هر تتراد باید با رقم هشتی مربوطه جایگزین شود. جدول 4.