تجزیه و تحلیل رگرسیون همبستگی در مثال حل اکسل. کنراد کارلبرگ. تجزیه و تحلیل رگرسیون در مایکروسافت اکسل

که در برتری داشتنراه سریع‌تر و راحت‌تری برای ترسیم رگرسیون خطی وجود دارد (و حتی انواع اصلی رگرسیون‌های غیرخطی، در زیر ببینید). این را می توان به صورت زیر انجام داد:

1) ستون های دارای داده را انتخاب کنید ایکسو Y(آنها باید به این ترتیب باشند!)

2) تماس بگیرید جادوگر نمودارو در یک گروه انتخاب کنید تایپ کنید – خط چینو بلافاصله فشار دهید آماده;

3) بدون لغو انتخاب نمودار، آیتم منوی اصلی ظاهر شده را انتخاب کنید نمودار، که در آن باید مورد را انتخاب کنید خط روند را اضافه کنید;

4) در محاوره ای که ظاهر می شود خط روندبرگه تایپ کنیدانتخاب کنید خطی;

5) برگه گزینه هاسوئیچ را می توان فعال کرد معادله را روی نمودار نشان دهید، که به شما امکان می دهد معادله رگرسیون خطی (4.4) را مشاهده کنید که در آن ضرایب (4.5) محاسبه می شود.

6) در همان تب می توانید سوئیچ را فعال کنید مقدار اطمینان تقریبی را روی نمودار قرار دهید (R^2). این مقدار مجذور ضریب همبستگی (4.3) است و نشان می دهد که معادله محاسبه شده چقدر وابستگی تجربی را توصیف می کند. اگر آر 2 نزدیک به وحدت است، سپس معادله رگرسیون نظری وابستگی تجربی را به خوبی توصیف می کند (نظریه به خوبی با آزمایش موافق است) و اگر آر 2 نزدیک به صفر است، پس این معادله برای توصیف وابستگی تجربی مناسب نیست (نظریه با آزمایش موافق نیست).

در نتیجه انجام اقدامات توصیف شده، نموداری با نمودار رگرسیون و معادله آن دریافت خواهید کرد.

§4.3. انواع اصلی رگرسیون غیر خطی

رگرسیون سهموی و چند جمله ای

سهمویوابستگی به ارزش Yاز ارزش ایکسوابستگی بیان شده توسط یک تابع درجه دوم (پارابولای مرتبه دوم) نامیده می شود:

این معادله نامیده می شود رگرسیون سهموی Yبر ایکس. گزینه ها آ, ب, باتماس گرفت ضرایب رگرسیون سهموی. محاسبه ضرایب رگرسیون سهموی همیشه دست و پا گیر است، بنابراین توصیه می شود از رایانه برای محاسبات استفاده کنید.

معادله (4.8) رگرسیون سهموی یک مورد خاص از یک رگرسیون عمومی تر به نام چند جمله ای است. چند جمله ایوابستگی به ارزش Yاز ارزش ایکسوابستگی بیان شده توسط چند جمله ای نامیده می شود n- مرتبه:

اعداد کجا هستند یک من (من=0,1,…, n) نامیده می شوند ضرایب رگرسیون چند جمله ای.

رگرسیون قدرت.

قدرتوابستگی به ارزش Yاز ارزش ایکسوابستگی شکل نامیده می شود:

این معادله نامیده می شود معادله رگرسیون توان Yبر ایکس. گزینه ها آو بتماس گرفت ضرایب رگرسیون توان.

ln=ln آ+بلوگاریتم ایکس. (4.11)

این معادله یک خط مستقیم را در صفحه با محورهای مختصات لگاریتمی ln توصیف می کند. ایکسو ln. بنابراین، معیار کاربردی بودن رگرسیون توانی این شرط است که نقاط لگاریتم داده های تجربی ln x iو ln مننزدیکترین به خط مستقیم بودند (4.11).

رگرسیون نمایی

نمونه(یا نمایی) وابستگی به کمیت Yاز ارزش ایکسوابستگی شکل نامیده می شود:

(یا ). (4.12)

این معادله نامیده می شود معادله نمایی(یا نمایی) رگرسیون Yبر ایکس. گزینه ها آ(یا ک) و بتماس گرفت نمایی(یا نمایی) پسرفت.

اگر لگاریتم دو طرف معادله رگرسیون توان را بگیریم، معادله را بدست می آوریم.

ln = ایکسلوگاریتم آ+ln ب(یا ln = k x+ln ب). (4.13)

این معادله وابستگی خطی لگاریتم یک کمیت ln به کمیت دیگر را توصیف می کند. ایکس. بنابراین، ملاک کاربردی بودن رگرسیون توان این است که داده‌های تجربی به اندازه یکسان باشند. x iو لگاریتمی با مقدار دیگری ln مننزدیکترین به خط مستقیم بودند (4.13).

رگرسیون لگاریتمی

لگاریتمیوابستگی به ارزش Yاز ارزش ایکسوابستگی شکل نامیده می شود:

=آ+بلوگاریتم ایکس. (4.14)

این معادله نامیده می شود رگرسیون لگاریتمی Yبر ایکس. گزینه ها آو بتماس گرفت ضرایب رگرسیون لگاریتمی.

رگرسیون هایپربولیک

هایپربولیکوابستگی به ارزش Yاز ارزش ایکسوابستگی شکل نامیده می شود:

این معادله نامیده می شود معادله رگرسیون هذلولی Yبر ایکس. گزینه ها آو بتماس گرفت ضرایب رگرسیون هایپربولیکو با روش حداقل مربعات تعیین می شوند. استفاده از این روش به فرمول های زیر منجر می شود:

در فرمول های (4.16-4.17)، جمع بر روی شاخص انجام می شود مناز یک به تعداد مشاهدات n.

متاسفانه در برتری داشتنهیچ تابعی وجود ندارد که ضرایب رگرسیون هذلولی را محاسبه کند. در مواردی که به طور قطع مشخص نیست که مقادیر اندازه گیری شده با نسبت معکوس مرتبط هستند، توصیه می شود به جای معادله رگرسیون هذلولی به دنبال معادله رگرسیون توان بگردید، بنابراین در برتری داشتنروشی برای یافتن آن وجود دارد. اگر یک وابستگی هذلولی بین مقادیر اندازه گیری شده در نظر گرفته شود، ضرایب رگرسیون آن باید با استفاده از جداول محاسبه کمکی و عملیات جمع با استفاده از فرمول های (4.16-4.17) محاسبه شود.

رگرسیون و تحلیل همبستگی - روشهای تحقیق آماری. اینها رایج ترین راه ها برای نشان دادن وابستگی یک پارامتر به یک یا چند متغیر مستقل هستند.

در زیر، با استفاده از مثال‌های عملی عینی، این دو تحلیل بسیار محبوب در میان اقتصاددانان را بررسی خواهیم کرد. ما همچنین مثالی از به دست آوردن نتایج در هنگام ترکیب آنها خواهیم داد.

تجزیه و تحلیل رگرسیون در اکسل

تأثیر برخی از مقادیر (مستقل، مستقل) را بر روی متغیر وابسته نشان می دهد. به عنوان مثال، چگونگی تعداد جمعیت فعال اقتصادی به تعداد شرکت ها، دستمزدها و سایر پارامترها بستگی دارد. یا: سرمایه گذاری های خارجی، قیمت انرژی و غیره چگونه بر سطح تولید ناخالص داخلی تأثیر می گذارد.

نتیجه تجزیه و تحلیل به شما امکان می دهد اولویت بندی کنید. و بر اساس عوامل اصلی، پیش بینی، برنامه ریزی توسعه حوزه های اولویت دار، تصمیم گیری های مدیریتی.

رگرسیون اتفاق می افتد:

• خطی (y = a + bx)؛
• سهمی (y = a + bx + cx 2)؛
• نمایی (y = a * exp(bx));
• توان (y = a*x^b)؛
• هذلولی (y = b/x + a)؛
• لگاریتمی (y = b * 1n(x) + a)؛
• نمایی (y = a * b^x).

مثال ساخت یک مدل رگرسیون در اکسل و تفسیر نتایج را در نظر بگیرید. بیایید یک نوع رگرسیون خطی در نظر بگیریم.

وظیفه. در 6 شرکت، میانگین حقوق ماهانه و تعداد کارکنانی که ترک کردند، تجزیه و تحلیل شد. تعیین وابستگی تعداد کارکنان بازنشسته به میانگین حقوق ضروری است.

مدل رگرسیون خطی به شکل زیر است:

Y \u003d a 0 + a 1 x 1 + ... + a k x k.

جایی که a ضرایب رگرسیون، x متغیرهای تاثیرگذار و k تعداد عوامل است.

در مثال ما، Y نشانگر ترک کار است. عامل تأثیرگذار دستمزد (x) است.

اکسل دارای توابع داخلی است که می توان از آنها برای محاسبه پارامترهای یک مدل رگرسیون خطی استفاده کرد. اما افزونه Analysis ToolPak این کار را سریعتر انجام می دهد.

یک ابزار تحلیلی قدرتمند را فعال کنید:

پس از فعال شدن، افزونه در تب Data در دسترس خواهد بود.

حال به طور مستقیم به تحلیل رگرسیون می پردازیم.

اول از همه به مربع R و ضرایب توجه می کنیم.

R-square ضریب تعیین است. در مثال ما، 0.755 یا 75.5٪ است. این بدان معناست که پارامترهای محاسبه شده مدل، رابطه بین پارامترهای مورد مطالعه را 75.5 درصد توضیح می دهد. هر چه ضریب تعیین بالاتر باشد، مدل بهتر است. خوب - بالای 0.8. ضعیف - کمتر از 0.5 (چنین تجزیه و تحلیل به سختی می تواند معقول در نظر گرفته شود). در مثال ما - "بد نیست".

ضریب 64.1428 نشان می دهد که اگر همه متغیرهای مدل مورد نظر برابر با 0 باشند Y چقدر خواهد بود. یعنی عوامل دیگری که در مدل توضیح داده نشده اند نیز بر مقدار پارامتر تحلیل شده تأثیر می گذارند.

ضریب -0.16285 وزن متغیر X را بر Y نشان می دهد. یعنی میانگین حقوق ماهانه در این مدل بر تعداد افراد ترک با وزن 0.16285- تأثیر می گذارد (این درجه تأثیر کمی است). علامت "-" نشان دهنده تأثیر منفی است: هر چه حقوق و دستمزد بالاتر باشد، ترک کار کمتر است. که منصفانه است.

تجزیه و تحلیل همبستگی در اکسل

تجزیه و تحلیل همبستگی به تعیین اینکه آیا رابطه ای بین شاخص ها در یک یا دو نمونه وجود دارد کمک می کند. به عنوان مثال بین زمان کارکرد دستگاه و هزینه تعمیرات، قیمت تجهیزات و مدت زمان کارکرد، قد و وزن کودکان و غیره.

اگر یک رابطه وجود داشته باشد، پس آیا افزایش در یک پارامتر منجر به افزایش (همبستگی مثبت) یا کاهش (منفی) در پارامتر دیگر می شود. تحلیل همبستگی به تحلیلگر کمک می کند تا تعیین کند که آیا می توان از مقدار یک شاخص برای پیش بینی مقدار احتمالی شاخص دیگر استفاده کرد یا خیر.

ضریب همبستگی r نشان داده می شود. از +1 تا -1 متغیر است. طبقه بندی همبستگی ها برای حوزه های مختلف متفاوت خواهد بود. وقتی مقدار ضریب 0 باشد، هیچ رابطه خطی بین نمونه ها وجود ندارد.

نحوه استفاده از اکسل برای یافتن ضریب همبستگی را در نظر بگیرید.

تابع CORREL برای یافتن ضرایب جفت شده استفاده می شود.

وظیفه: تعیین کنید که آیا رابطه ای بین زمان کار ماشین تراش و هزینه نگهداری آن وجود دارد یا خیر.

مکان نما را در هر سلولی قرار دهید و دکمه fx را فشار دهید.

1. در دسته «آماری»، تابع CORREL را انتخاب کنید.
2. آرگومان "آرایه 1" - اولین محدوده مقادیر - زمان ماشین: A2: A14.
3. آرگومان "آرایه 2" - دومین محدوده مقادیر - هزینه تعمیرات: B2:B14. روی OK کلیک کنید.

برای تعیین نوع اتصال، باید به عدد مطلق ضریب نگاه کنید (هر زمینه فعالیت مقیاس خاص خود را دارد).

برای تجزیه و تحلیل همبستگی چندین پارامتر (بیش از 2)، استفاده از "تحلیل داده ها" (افزونه "بسته تجزیه و تحلیل") راحت تر است. در لیست، شما باید یک همبستگی را انتخاب کنید و یک آرایه را تعیین کنید. همه.

ضرایب حاصل در ماتریس همبستگی نمایش داده می شود. شبیه این یکی:

تحلیل همبستگی-رگرسیون

در عمل، این دو تکنیک اغلب با هم استفاده می شوند.

مثال:

اکنون داده های تحلیل رگرسیون قابل مشاهده است.

پردازش داده های آماری نیز می تواند با استفاده از افزونه انجام شود بسته تحلیلی(شکل 62).

از بین موارد پیشنهادی، مورد را انتخاب کنید " پسرفت” و با دکمه سمت چپ ماوس روی آن کلیک کنید. بعد روی OK کلیک کنید.

پنجره نشان داده شده در شکل. 63.

ابزار تحلیل « پسرفت» برای جا دادن یک نمودار به مجموعه ای از مشاهدات با استفاده از روش حداقل مربعات استفاده می شود. رگرسیون برای تجزیه و تحلیل اثر بر روی یک متغیر وابسته واحد از مقادیر یک یا چند متغیر مستقل استفاده می شود. به عنوان مثال، عملکرد ورزشی یک ورزشکار تحت تأثیر عوامل مختلفی از جمله سن، قد و وزن است. می توان میزان تأثیر هر یک از این سه عامل را بر عملکرد یک ورزشکار محاسبه کرد و سپس از داده های به دست آمده برای پیش بینی عملکرد ورزشکار دیگر استفاده کرد.

ابزار Regression از تابع استفاده می کند LINEST.

جعبه گفتگوی REGRESS

اگر سطر اول یا ستون اول محدوده ورودی شامل عناوین باشد، برچسب ها را انتخاب کنید. اگر هدر وجود ندارد، این کادر را پاک کنید. در این صورت سرصفحه های مناسب برای داده های جدول خروجی به صورت خودکار تولید می شوند.

سطح قابلیت اطمینان کادر را انتخاب کنید تا یک سطح اضافی در جدول کل خروجی گنجانده شود. در قسمت مربوطه، علاوه بر سطح اطمینان 95% پیش فرض، سطح اطمینانی را که می خواهید اعمال کنید وارد کنید.

ثابت - صفر کادر را علامت بزنید تا خط رگرسیون از مبدا عبور کند.

محدوده خروجی یک مرجع به سلول سمت چپ بالای محدوده خروجی وارد کنید. حداقل هفت ستون برای جدول خروجی نتایج اختصاص دهید که شامل: نتایج تحلیل واریانس، ضرایب، خطای استاندارد محاسبه Y، انحرافات استاندارد، تعداد مشاهدات، خطاهای استاندارد برای ضرایب خواهد بود.

کاربرگ جدید این کادر را علامت بزنید تا یک کاربرگ جدید در کتاب کار باز شود و نتایج تجزیه و تحلیل از سلول A1 شروع شود. در صورت لزوم، یک نام برای برگه جدید در فیلد مقابل موقعیت دکمه رادیویی مناسب وارد کنید.

کتاب کار جدید این کادر را علامت بزنید تا یک کتاب کار جدید ایجاد کنید که در آن نتایج به یک برگه جدید اضافه می شود.

باقیمانده ها کادر را برای قرار دادن باقیمانده ها در جدول خروجی انتخاب کنید.

باقیمانده های استاندارد شده، کادر بررسی را برای گنجاندن باقیمانده های استاندارد شده در جدول خروجی انتخاب کنید.

نمودار باقیمانده برای رسم باقیمانده ها برای هر متغیر مستقل کادر را علامت بزنید.

Fit Plot برای رسم مقادیر پیش‌بینی‌شده در مقابل مقادیر مشاهده‌شده، کادر را علامت بزنید.

نمودار احتمال عادیبرای ترسیم احتمال عادی، کادر را علامت بزنید.

تابع LINEST

برای انجام محاسبات، سلولی را که می خواهیم مقدار میانگین را با مکان نما در آن نمایش دهیم انتخاب کرده و کلید = را روی صفحه کلید فشار دهید. بعد در قسمت Name مثلا تابع مورد نظر را مشخص کنید میانگین(شکل 22).

تابع LINESTآمار یک سری را با استفاده از روش حداقل مربعات برای محاسبه خط مستقیمی که به بهترین وجه داده های موجود را تقریب می کند محاسبه می کند و سپس آرایه ای را برمی گرداند که خط مستقیم حاصل را توصیف می کند. شما همچنین می توانید تابع را ترکیب کنید LINESTبا توابع دیگر برای محاسبه انواع مدل های دیگر که در پارامترهای مجهول خطی هستند (که پارامترهای مجهول آن خطی هستند)، از جمله سری های چند جمله ای، لگاریتمی، نمایی و توانی. از آنجا که یک آرایه از مقادیر برگردانده می شود، تابع باید به عنوان یک فرمول آرایه مشخص شود.

معادله یک خط مستقیم:

y=m 1 x 1 +m 2 x 2 +…+b (در مورد چندین محدوده از مقادیر x)،

در جایی که مقدار وابسته y تابعی از مقدار مستقل x است، مقادیر m ضرایب مربوط به هر متغیر مستقل x است و b یک ثابت است. توجه داشته باشید که y، x و m می توانند بردار باشند. تابع LINESTآرایه ای را برمی گرداند (mn;mn-1;…;m 1 ;b). LINESTهمچنین ممکن است آمار رگرسیون اضافی را برگرداند.

LINEST(مقادیر_y_مقادیر، مقادیر_x_شناخته_مقادیر_کنست، آمار)

مقادیر Known_y - مجموعه ای از مقادیر y که قبلاً برای رابطه y=mx+b شناخته شده اند.

اگر آرایه Known_y دارای یک ستون باشد، هر ستون از آرایهknown_x به عنوان یک متغیر جداگانه تفسیر می شود.

اگر آرایه Known_y یک ردیف داشته باشد، هر ردیف از آرایه Known_x به عنوان یک متغیر جداگانه تفسیر می شود.

مقادیر Known_x - مجموعه ای اختیاری از مقادیر x که قبلاً برای رابطه y=mx+b شناخته شده اند.

آرایه Known_x می تواند شامل یک یا چند مجموعه از متغیرها باشد. اگر فقط از یک متغیر استفاده شود، آرایه های_known_y_values ​​و شناخته شده_x_values ​​می توانند به هر شکلی باشند - تا زمانی که ابعاد یکسانی داشته باشند. اگر بیش از یک متغیر استفاده می شود، باید شناخته شده_y یک بردار باشد (یعنی یک ردیف بالا یا یک ستون عرض).

اگر array_known_x حذف شود، این آرایه (1;2;3;...) به اندازه array_known_y در نظر گرفته می شود.

Const یک مقدار بولی است که مشخص می کند آیا ثابت b باید 0 باشد یا خیر.

اگر آرگومان "const" درست باشد یا حذف شود، ثابت b به طور معمول ارزیابی می شود.

اگر آرگومان "const" FALSE باشد، مقدار b برابر 0 در نظر گرفته می شود و مقادیر m به گونه ای انتخاب می شوند که رابطه y=mx برآورده شود.

Statistics یک مقدار بولی است که نشان می دهد که آیا آمار رگرسیون اضافی باید برگردانده شود یا خیر.

اگر آمار درست باشد، LINEST آمار رگرسیون اضافی را برمی‌گرداند. آرایه برگشتی به این صورت خواهد بود: (mn;mn-1;...;m1;b:sen;sen-1;...;se1;seb:r2;sey:F;df:ssreg;ssresid).

اگر آمار FALSE یا حذف شده باشد، LINEST فقط ضرایب m و ثابت b را برمی گرداند.

آمار رگرسیون اضافی. (جدول 17)

شکل زیر ترتیب برگرداندن آمار رگرسیون اضافی را نشان می دهد (شکل 64).

یادداشت:

هر خط مستقیمی را می توان با شیب و تقاطع آن با محور y توصیف کرد:

شیب (m): برای تعیین شیب یک خط، که معمولا با m نشان داده می شود، باید دو نقطه از خط (x 1 ,y 1) و (x 2 ,y 2) بگیرید. شیب برابر با (y 2 -y 1) / (x 2 -x 1) خواهد بود.

تقاطع Y (b): تقاطع y یک خط که معمولاً با b نشان داده می شود، مقدار y برای نقطه ای است که خط با محور y قطع می کند.

معادله خط مستقیم به شکل y=mx+b است. اگر مقادیر m و b مشخص باشد، هر نقطه از خط را می توان با جایگزین کردن مقادیر y یا x در معادله محاسبه کرد. همچنین می توانید از تابع TREND استفاده کنید.

اگر فقط یک متغیر مستقل x وجود داشته باشد، می توانید شیب و قطع y را مستقیماً با استفاده از فرمول های زیر بدست آورید:

شیب: INDEX(LINEST(known_y's،known_x's)، 1)

مقطع Y: INDEX(LINEST(y'sknown_y's, known_x's)، 2)

دقت تقریب با استفاده از خط مستقیم محاسبه شده توسط تابع LINEST به درجه پراکندگی داده ها بستگی دارد. هر چه داده ها به یک خط مستقیم نزدیکتر باشند، مدل مورد استفاده LINEST دقیق تر است. تابع LINEST از روش حداقل مربعات برای تعیین بهترین تناسب با داده ها استفاده می کند. هنگامی که فقط یک متغیر مستقل x وجود دارد، m و b با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شوند:

که در آن x و y میانگین های نمونه هستند، به عنوان مثال x = AVERAGE (شناخته‌های_x) و y = AVERAGE (شناخته‌های_y).

توابع برازش LINEST و LGRFPRIBL می توانند منحنی مستقیم یا نمایی را محاسبه کنند که بهترین تناسب با داده ها را دارد. با این حال، آنها به این سوال پاسخ نمی دهند که کدام یک از دو نتیجه برای حل مشکل مناسب تر است. همچنین می‌توانید تابع TREND (مقادیر_Y-مقادیر؛ مقادیر_x-مقدار) TREND را برای یک خط مستقیم یا تابع GROWTH(مقادیر_y_مقادیر؛ مقادیر_x_دانسته) را برای یک منحنی نمایی محاسبه کنید. این توابع، اگر از آرگومان new_x_values ​​حذف شوند، آرایه ای از مقادیر y محاسبه شده را برای مقادیر x واقعی طبق یک خط مستقیم یا منحنی برمی گرداند. سپس می توانید مقادیر محاسبه شده را با مقادیر واقعی مقایسه کنید. همچنین می توانید نمودارهایی برای مقایسه بصری بسازید.

هنگام انجام تجزیه و تحلیل رگرسیون، مایکروسافت اکسل برای هر نقطه، مجذور اختلاف بین مقدار y پیش بینی شده و مقدار y واقعی را محاسبه می کند. مجموع این مجذور تفاوت ها را مجموع مجذورات باقیمانده (ssresid) می گویند. سپس مایکروسافت اکسل مجموع مجذورات (sstotal) را محاسبه می کند. اگر const = TRUE یا اگر این آرگومان مشخص نشده باشد، مجموع مجذورات برابر با مجموع مجذور تفاوت مقادیر y واقعی و میانگین مقادیر y خواهد بود. اگر const = FALSE باشد، مجموع مربع ها برابر با مجموع مربع های مقادیر y واقعی خواهد بود (بدون کسر میانگین y از ضریب y). پس از آن، مجموع رگرسیون مربع ها را می توان به صورت زیر محاسبه کرد: ssreg = sstotal - ssresid. هر چه مجموع باقیمانده مربع ها کوچکتر باشد، مقدار ضریب جبر r2 بیشتر است، که نشان می دهد معادله به دست آمده با استفاده از تحلیل رگرسیون چقدر روابط بین متغیرها را توضیح می دهد. ضریب r2 برابر با ssreg/sstotal است.

در برخی موارد، یک یا چند ستون X (با فرض اینکه مقادیر Y و X در ستون‌ها هستند) ارزش پیش‌بینی اضافی در سایر ستون‌های X ندارند. به عبارت دیگر، حذف یک یا چند ستون X می‌تواند به مقادیر Y منجر شود. با همان دقت محاسبه می شود. در این حالت، ستون‌های X اضافی از مدل رگرسیون حذف خواهند شد. این پدیده را "هم خطی" می نامند زیرا ستون های اضافی X را می توان به صورت مجموع چندین ستون غیر زائد نشان داد. LINEST همخطی بودن را بررسی می کند و در صورت یافتن هر ستون X اضافی را از مدل رگرسیون حذف می کند. ستون‌های X حذف‌شده را می‌توان در خروجی LINEST با ضریب ۰ و مقدار se برابر با ۰ شناسایی کرد. حذف یک یا چند ستون به‌عنوان زائد، مقدار df را تغییر می‌دهد زیرا بستگی به تعداد ستون‌های X دارد که واقعاً برای اهداف پیش‌بینی استفاده می‌شوند. برای جزئیات بیشتر در مورد محاسبه df به مثال 4 زیر مراجعه کنید. هنگامی که df به دلیل حذف ستون های اضافی تغییر می کند، مقادیر sey و F نیز تغییر می کنند. اغلب استفاده از هم خطی توصیه نمی شود. با این حال، اگر برخی از ستون های X حاوی 0 یا 1 به عنوان شاخصی باشد که نشان می دهد موضوع آزمایش در یک گروه جداگانه قرار دارد، باید از آن استفاده شود. اگر const = TRUE یا اگر این آرگومان مشخص نشده باشد، LINEST یک ستون X اضافی را برای شبیه سازی نقطه تقاطع وارد می کند. اگر ستونی با مقادیر 1 برای مردان و 0 برای زنان و ستونی با مقادیر 1 برای زنان و 0 برای مردان وجود داشته باشد، آخرین ستون حذف می شود زیرا مقادیر آن را می توان از زیر به دست آورد. ستون "نشانگر مرد".

محاسبه df برای مواردی که X ستون ها به دلیل همخطی بودن از مدل حذف نمی شوند به این صورت است: اگر k ستون شناخته شده_x وجود داشته باشد و const = TRUE یا مشخص نشده باشد، df = n - k - 1. اگر const = FALSE، سپس df = n -k. در هر دو مورد، حذف ستون های X به دلیل همخطی بودن، مقدار df را 1 افزایش می دهد.

فرمول هایی که آرایه ها را برمی گرداند باید به عنوان فرمول های آرایه وارد شوند.

به عنوان مثال، هنگام وارد کردن آرایه ای از ثابت ها به عنوان آرگومان شناخته شده_x_values، از یک نقطه ویرگول برای جدا کردن مقادیر در همان خط و یک دو نقطه برای جدا کردن خطوط استفاده کنید. کاراکترهای جداکننده ممکن است بسته به تنظیمات پنجره "زبان و استانداردها" در کنترل پنل متفاوت باشد.

توجه داشته باشید که مقادیر y پیش بینی شده توسط معادله رگرسیون ممکن است درست نباشند اگر خارج از محدوده مقادیر y باشند که برای تعریف معادله استفاده شده است.

الگوریتم اصلی مورد استفاده در تابع LINEST، با الگوریتم اصلی توابع متفاوت است شیبو بخش خط. تفاوت بین الگوریتم ها می تواند منجر به نتایج متفاوتی برای داده های نامشخص و خطی شود. به عنوان مثال، اگر نقاط داده آرگومان Known_y 0 و نقاط داده آرگومانknown_x 1 باشد، آنگاه:

تابع LINESTمقداری برابر با 0 برمی گرداند. الگوریتم تابع LINESTبرای برگرداندن مقادیر مناسب برای داده های خطی استفاده می شود که در این صورت حداقل یک پاسخ می توان یافت.

توابع SLOPE و INTERCEPT خطای #DIV/0! را برمی‌گردانند. الگوریتم توابع SLOPE و INTERCEPT برای یافتن تنها یک پاسخ استفاده می شود و در این حالت ممکن است چندین پاسخ وجود داشته باشد.

علاوه بر محاسبه آمار برای سایر انواع رگرسیون، LINEST می تواند برای محاسبه محدوده سایر انواع رگرسیون با وارد کردن توابع متغیرهای x و y به عنوان یک سری متغیر x و y برای LINEST استفاده شود. به عنوان مثال، فرمول زیر:

LINEST(y- مقادیر، x-values^COLUMN($A:$C))

با یک ستون از مقادیر Y و یک ستون از مقادیر X برای محاسبه تقریب مکعب (چند جمله ای درجه 3) به شکل زیر کار می کند:

y=m 1 x+m 2 x 2 +m 3 x 3 +b

این فرمول را می توان برای محاسبات سایر انواع رگرسیون تغییر داد، اما در برخی موارد، تنظیمات مربوط به مقادیر خروجی و سایر آمارها مورد نیاز است.

در یادداشت های قبلی، تمرکز اغلب بر روی یک متغیر عددی واحد بوده است، مانند بازده صندوق سرمایه گذاری مشترک، زمان بارگذاری صفحه وب یا مصرف نوشابه. در این یادداشت و نکات بعدی، روش هایی را برای پیش بینی مقادیر یک متغیر عددی بسته به مقادیر یک یا چند متغیر عددی دیگر در نظر خواهیم گرفت.

مطالب با یک مثال از طریق نشان داده خواهد شد. پیش بینی حجم فروش در یک فروشگاه پوشاک 25 سال است که فروشگاه های زنجیره ای لباس های تخفیف دار Sunflowers به ​​طور مداوم در حال گسترش است. با این حال، این شرکت در حال حاضر یک رویکرد سیستماتیک برای انتخاب فروشگاه های جدید ندارد. مکانی که شرکت قصد دارد یک فروشگاه جدید افتتاح کند بر اساس ملاحظات ذهنی تعیین می شود. معیار انتخاب شرایط اجاره مطلوب یا ایده مدیر از مکان ایده آل فروشگاه است. تصور کنید که شما رئیس بخش پروژه های ویژه و برنامه ریزی هستید. شما وظیفه دارید یک برنامه استراتژیک برای افتتاح فروشگاه های جدید تهیه کنید. این طرح باید شامل پیش بینی فروش سالانه در فروشگاه های تازه افتتاح شده باشد. شما معتقدید که فروش فضا به طور مستقیم با درآمد مرتبط است و می خواهید این واقعیت را در فرآیند تصمیم گیری خود لحاظ کنید. چگونه یک مدل آماری ایجاد می کنید که فروش سالانه را بر اساس اندازه فروشگاه جدید پیش بینی می کند؟

معمولاً از تحلیل رگرسیون برای پیش‌بینی مقادیر یک متغیر استفاده می‌شود. هدف آن توسعه یک مدل آماری است که مقادیر متغیر وابسته یا پاسخ را از روی مقادیر حداقل یک متغیر مستقل یا توضیحی پیش بینی کند. در این یادداشت، ما یک رگرسیون خطی ساده را در نظر خواهیم گرفت - یک روش آماری که به ما امکان می دهد مقادیر متغیر وابسته را پیش بینی کنیم. Yتوسط مقادیر متغیر مستقل ایکس. یادداشت های زیر یک مدل رگرسیون چندگانه را توصیف می کنند که برای پیش بینی مقادیر متغیر مستقل طراحی شده است Yبا مقادیر چندین متغیر وابسته ( X 1، X 2، …، X k).

دانلود یادداشت به صورت یا فرمت، نمونه ها در قالب

انواع مدل های رگرسیون

جایی که ρ 1 ضریب همبستگی است. اگر ρ 1 = 0 (بدون خود همبستگی)، D≈ 2; اگر ρ 1 ≈ 1 (خودهمبستگی مثبت)، D≈ 0; اگر ρ 1 = -1 (خودهمبستگی منفی)، D ≈ 4.

در عمل، استفاده از معیار دوربین واتسون مبتنی بر مقایسه مقدار است Dبا ارزش های نظری انتقادی d Lو d Uبرای تعداد معینی از مشاهدات nتعداد متغیرهای مستقل مدل ک(برای رگرسیون خطی ساده ک= 1) و سطح معنی داری α. اگر D< d L ، فرضیه استقلال انحرافات تصادفی رد می شود (از این رو، یک خودهمبستگی مثبت وجود دارد). اگر D > d U، فرضیه رد نمی شود (یعنی خود همبستگی وجود ندارد). اگر دسی لیتر< D < d U دلیل کافی برای تصمیم گیری وجود ندارد. زمانی که مقدار محاسبه شده است Dپس از 2 تجاوز کند d Lو d Uاین خود ضریب نیست که مقایسه می شود Dو عبارت (4- D).

برای محاسبه آمار دوربین واتسون در اکسل، به جدول پایین در شکل 1 می رویم. 14 برداشت موجودی. عدد در عبارت (10) با استفاده از تابع = SUMMQDIFF(array1, array2) و مخرج = SUMMQ(آرایه) محاسبه می شود (شکل 16).

برنج. 16. فرمول های محاسبه آمار دوربین واتسون

در مثال ما D= 0.883. سوال اصلی این است: چه مقداری از آمار دوربین واتسون را باید به اندازه کافی کوچک در نظر گرفت تا نتیجه گیری شود که یک خودهمبستگی مثبت وجود دارد؟ لازم است که مقدار D را با مقادیر بحرانی مرتبط کنیم ( d Lو d U) بسته به تعداد مشاهدات nو سطح اهمیت α (شکل 17).

برنج. 17. مقادیر بحرانی آمار دوربین واتسون (قطعه جدول)

بنابراین، در مشکل حجم فروش در فروشگاهی که کالا را به منزل شما تحویل می دهد، یک متغیر مستقل وجود دارد ( ک= 1)، 15 مشاهده ( n= 15) و سطح معنی داری α = 0.05. از این رو، d L= 1.08 و دU= 1.36. از آنجا که D = 0,883 < d L 08/1 =، بین باقیمانده ها همبستگی مثبت وجود دارد، روش حداقل مربعات را نمی توان اعمال کرد.

آزمون فرضیه های شیب و ضریب همبستگی

رگرسیون فوق صرفاً برای پیش بینی اعمال شد. برای تعیین ضرایب رگرسیون و پیش بینی مقدار یک متغیر Yبرای یک مقدار متغیر معین ایکساز روش حداقل مربعات استفاده شد. علاوه بر این، خطای استاندارد برآورد و ضریب همبستگی مختلط را در نظر گرفتیم. اگر تجزیه و تحلیل باقیمانده تأیید کند که شرایط کاربرد روش حداقل مربعات نقض نمی شود و مدل رگرسیون خطی ساده کافی است، بر اساس داده های نمونه، می توان استدلال کرد که بین متغیرهای جامعه رابطه خطی وجود دارد.

کاربردتی - معیارهای شیببا بررسی اینکه آیا شیب جمعیت β 1 برابر با صفر است، می توان تعیین کرد که آیا رابطه آماری معنی داری بین متغیرها وجود دارد یا خیر. ایکسو Y. اگر این فرضیه رد شود، می توان استدلال کرد که بین متغیرها ایکسو Yیک رابطه خطی وجود دارد فرضیه های صفر و جایگزین به صورت زیر فرموله می شوند: H 0: β 1 = 0 (بدون رابطه خطی)، H1: β 1 ≠ 0 (رابطه خطی وجود دارد). الف - مقدماتی تی- آمار برابر است با تفاوت بین شیب نمونه و شیب فرضی جمعیت، تقسیم بر خطای استاندارد برآورد شیب:

(11) تی = (ب 1 – β 1 ) / Sb 1

جایی که ب 1 شیب رگرسیون مستقیم بر اساس داده های نمونه است، β1 شیب فرضی جمعیت عمومی مستقیم است، ، و آمار تست تیاین دارد تی- توزیع با n - 2درجه آزادی.

بیایید بررسی کنیم که آیا رابطه آماری معناداری بین اندازه فروشگاه و فروش سالانه در α = 0.05 وجود دارد یا خیر. تیهنگام استفاده، معیارها همراه با سایر پارامترها نمایش داده می شود بسته تحلیلی(گزینه پسرفت). نتایج کامل بسته تحلیلی در شکل نشان داده شده است. 4، یک قطعه مربوط به آمار t - در شکل. 18.

برنج. 18. نتایج برنامه تی

چون تعداد فروشگاه ها n= 14 (نگاه کنید به شکل 3)، مقدار بحرانی تی-آمار در سطح معناداری α = 0.05 را می توان با فرمول پیدا کرد: تی ال=STUDENT.INV(0.025;12) = -2.1788 که در آن 0.025 نیمی از سطح معنی داری و 12 = است. n – 2; t U\u003d STUDENT.INR (0.975، 12) \u003d +2.1788.

از آنجا که تی-statistics = 10.64 > t U= 2.1788 (شکل 19)، فرضیه صفر H 0رد می شود. از طرف دیگر، آر-ارزش برای ایکس\u003d 10.6411، محاسبه شده با فرمول \u003d 1-STUDENT.DIST (D3, 12, TRUE) تقریباً برابر با صفر است، بنابراین فرضیه H 0دوباره رد می شود این حقیقت که آر- ارزش تقریباً صفر است، به این معنی که اگر هیچ رابطه خطی واقعی بین اندازه فروشگاه و فروش سالانه وجود نداشت، یافتن آن با استفاده از رگرسیون خطی تقریباً غیرممکن بود. بنابراین بین میانگین فروش سالانه فروشگاه و اندازه فروشگاه رابطه خطی معناداری از نظر آماری وجود دارد.

برنج. 19. آزمون فرضیه شیب جمعیت عمومی در سطح معنی داری 05/0 و 12 درجه آزادی.

کاربرداف - معیارهای شیبیک رویکرد جایگزین برای آزمایش فرضیه‌های مربوط به شیب رگرسیون خطی ساده استفاده از آن است اف-شاخص. به یاد بیاورید که اف- معیار برای آزمایش رابطه بین دو واریانس استفاده می شود (به جزئیات مراجعه کنید). هنگام آزمایش فرضیه شیب، معیار خطاهای تصادفی واریانس خطا (مجموع مجذور خطاها تقسیم بر تعداد درجه آزادی) است. اف-تست از نسبت واریانس توضیح داده شده توسط رگرسیون استفاده می کند (یعنی مقادیر SSRتقسیم بر تعداد متغیرهای مستقل ک، به واریانس خطا ( MSE=SYایکس 2 ).

الف - مقدماتی اف-آمار برابر است با میانگین مجذور انحرافات ناشی از رگرسیون (MSR) تقسیم بر واریانس خطا (MSE): اف = MSR/ MSE، جایی که MSR=SSR / کMSE =SSE/(n– k – 1)، kتعداد متغیرهای مستقل در مدل رگرسیونی است. آمار تست افاین دارد اف- توزیع با کو n– k – 1درجه آزادی.

برای سطح اهمیت معین α، قاعده تصمیم به صورت زیر فرموله می شود: اگر F > FU، فرضیه صفر رد می شود. در غیر این صورت رد نمی شود. نتایج که در قالب یک جدول خلاصه از تحلیل واریانس ارائه شده است، در شکل 1 نشان داده شده است. 20.

برنج. 20. جدول تحلیل واریانس برای آزمون فرضیه معنی دار بودن آماری ضریب رگرسیون.

به همین ترتیب تی-معیار اف-معیار هنگام استفاده در جدول نمایش داده می شود بسته تحلیلی(گزینه پسرفت). نتایج کامل کار بسته تحلیلیدر شکل نشان داده شده است. 4، قطعه مربوط به افآمار - در شکل. 21.

برنج. 21. نتایج برنامه اف- معیارهای به دست آمده با استفاده از بسته ابزار تجزیه و تحلیل اکسل

آماره F 113.23 است و آر-مقدار نزدیک به صفر (سلول اهمیتاف). اگر سطح معناداری α 0.05 باشد، مقدار بحرانی را تعیین کنید اف-توزیعات با یک و 12 درجه آزادی را می توان از فرمول بدست آورد F U\u003d F. OBR (1-0.05؛ 1؛ 12) \u003d 4.7472 (شکل 22). از آنجا که اف = 113,23 > F U= 4.7472 و آر-مقدار نزدیک به 0< 0,05, нулевая гипотеза H 0منحرف می شود، یعنی اندازه یک فروشگاه ارتباط نزدیکی با حجم فروش سالانه آن دارد.

برنج. 22. آزمون فرضیه شیب جمعیت عمومی در سطح معنی داری 05/0، با یک و 12 درجه آزادی.

فاصله اطمینان حاوی شیب β 1 .برای آزمایش فرضیه وجود رابطه خطی بین متغیرها، می توانید یک فاصله اطمینان حاوی شیب β 1 بسازید و مطمئن شوید که مقدار فرضی β 1 = 0 به این بازه تعلق دارد. مرکز فاصله اطمینان حاوی شیب β 1 شیب نمونه است ب 1 ، و مرزهای آن کمیت ها هستند b 1 ±t n –2 Sb 1

همانطور که در شکل نشان داده شده است. 18، ب 1 = +1,670, n = 14, Sb 1 = 0,157. تی 12 \u003d STUDENT.OBR (0.975، 12) \u003d 2.1788. از این رو، b 1 ±t n –2 Sb 1 = 2.1788 ± 1.670 * 0.157 = 0.342 ± 1.670، یا + 1.328 ≤ β 1 ≤ +2.012. بنابراین، شیب جمعیت با احتمال 0.95 در محدوده 1.328 + تا 2.012 + قرار دارد (یعنی از 1،328،000 تا 2،012،000 دلار). از آنجایی که این مقادیر بزرگتر از صفر هستند، رابطه خطی آماری معناداری بین فروش سالانه و منطقه فروشگاه وجود دارد. اگر فاصله اطمینان حاوی صفر باشد، هیچ رابطه ای بین متغیرها وجود نخواهد داشت. علاوه بر این، فاصله اطمینان به این معنی است که هر 1000 متر مربع. فوت منجر به افزایش میانگین فروش 1,328,000 تا 2,012,000 دلار می شود.

استفادهتی - معیارهای ضریب همبستگی.ضریب همبستگی معرفی شد r، که معیاری از رابطه بین دو متغیر عددی است. برای تعیین اینکه آیا بین دو متغیر رابطه آماری معناداری وجود دارد یا خیر می توان از آن استفاده کرد. اجازه دهید ضریب همبستگی بین جمعیت های هر دو متغیر را با نماد ρ نشان دهیم. فرضیه های صفر و جایگزین به صورت زیر فرموله می شوند: H 0: ρ = 0 (بدون همبستگی)، H 1: ρ ≠ 0 (همبستگی وجود دارد). بررسی وجود همبستگی:

جایی که r = + ، اگر ب 1 > 0, r = – ، اگر ب 1 < 0. Тестовая статистика تیاین دارد تی- توزیع با n - 2درجه آزادی.

در مشکل فروشگاه های زنجیره ای آفتابگردان r2= 0.904 و ب 1- 1.670+ (شکل 4 را ببینید). از آنجا که ب 1> 0، ضریب همبستگی بین فروش سالانه و اندازه فروشگاه است r= +√0.904 = +0.951. بیایید این فرضیه صفر را آزمایش کنیم که بین این متغیرها همبستگی وجود ندارد تی- آمار:

در سطح معناداری 0.05 = α، فرضیه صفر باید رد شود زیرا تی= 10.64 > 2.1788. بنابراین می توان ادعا کرد که از نظر آماری رابطه معناداری بین فروش سالانه و اندازه فروشگاه وجود دارد.

هنگام بحث در مورد استنباط در مورد شیب جمعیت، فواصل اطمینان و معیارهای آزمون فرضیه ها ابزارهای قابل تعویض هستند. با این حال، محاسبه فاصله اطمینان حاوی ضریب همبستگی دشوارتر است، زیرا شکل توزیع نمونه آماری rبستگی به ضریب همبستگی واقعی دارد.

برآورد انتظارات ریاضی و پیش بینی مقادیر فردی

در این بخش روش هایی برای تخمین پاسخ مورد انتظار بحث می شود Yو پیش بینی ارزش های فردی Yبرای مقادیر داده شده متغیر ایکس.

ایجاد فاصله اطمینان.در مثال 2 (به بخش بالا مراجعه کنید روش حداقل مربعات) معادله رگرسیون امکان پیش بینی مقدار متغیر را فراهم می کند Y ایکس. در مشکل انتخاب مکان برای یک فروشگاه خرده فروشی، میانگین فروش سالانه در یک فروشگاه با مساحت 4000 متر مربع است. فوت معادل 7.644 میلیون دلار بوده است، اما این برآورد از انتظارات ریاضی عموم مردم یک نقطه است. برای برآورد انتظارات ریاضی جمعیت عمومی، مفهوم فاصله اطمینان پیشنهاد شد. به همین ترتیب، می توان مفهوم را معرفی کرد فاصله اطمینان برای انتظار ریاضی از پاسخبرای یک مقدار معین از یک متغیر ایکس:

جایی که , = ب 0 + ب 1 X i– متغیر مقدار پیش بینی شده Yدر ایکس = X i, S YXمیانگین مربعات خطا است، nحجم نمونه است، ایکسمن- مقدار داده شده متغیر ایکس, µ Y|ایکس = ایکسمن- انتظارات ریاضی از یک متغیر Yدر ایکس = Х i,SSX=

تجزیه و تحلیل فرمول (13) نشان می دهد که عرض فاصله اطمینان به عوامل متعددی بستگی دارد. در سطح معینی از اهمیت، افزایش دامنه نوسانات در اطراف خط رگرسیون، که با استفاده از میانگین مربعات خطا اندازه‌گیری می‌شود، منجر به افزایش عرض بازه می‌شود. از سوی دیگر، همانطور که انتظار می رود، افزایش حجم نمونه با کاهش فاصله زمانی همراه است. علاوه بر این، عرض فاصله بسته به مقادیر تغییر می کند ایکسمن. اگر مقدار متغیر Yبرای مقادیر پیش بینی شده است ایکس، نزدیک به مقدار متوسط ، معلوم می شود که فاصله اطمینان از زمانی که پاسخ برای مقادیر دور از میانگین پیش بینی می شود باریک تر است.

فرض کنید هنگام انتخاب مکان برای یک فروشگاه، می‌خواهیم یک فاصله اطمینان 95% برای میانگین فروش سالانه در تمام فروشگاه‌های با مساحت 4000 متر مربع ایجاد کنیم. پا:

بنابراین میانگین حجم فروش سالیانه در تمامی فروشگاه های با مساحت 4000 متر مربع می باشد. فوت، با احتمال 95 درصد در محدوده 6.971 تا 8.317 میلیون دلار قرار دارد.

فاصله اطمینان را برای مقدار پیش بینی شده محاسبه کنید.علاوه بر فاصله اطمینان برای انتظار ریاضی از پاسخ برای مقدار معینی از متغیر ایکس، اغلب لازم است که فاصله اطمینان برای مقدار پیش بینی شده را بدانیم. اگرچه فرمول محاسبه چنین فاصله اطمینانی بسیار شبیه فرمول (13) است، اما این بازه حاوی یک مقدار پیش بینی شده است و نه تخمینی از پارامتر. فاصله زمانی برای پاسخ پیش بینی شده Yایکس = شیبرای مقدار خاصی از متغیر ایکسمنبا فرمول تعیین می شود:

بیایید فرض کنیم که هنگام انتخاب مکان برای یک فروشگاه خرده فروشی، می خواهیم یک فاصله اطمینان 95٪ برای حجم فروش سالانه پیش بینی شده در فروشگاهی با مساحت 4000 متر مربع ایجاد کنیم. پا:

بنابراین، حجم فروش سالانه پیش بینی شده برای 4000 متر مربع. فوت، با احتمال 95% در محدوده 5.433 تا 9.854 میلیون دلار قرار دارد.همانطور که می بینید، فاصله اطمینان برای مقدار پاسخ پیش بینی شده بسیار گسترده تر از فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی آن است. این به این دلیل است که تنوع در پیش‌بینی مقادیر فردی بسیار بیشتر از تخمین مقدار مورد انتظار است.

مشکلات و مسائل اخلاقی مرتبط با استفاده از رگرسیون

مشکلات مرتبط با تحلیل رگرسیون:

• نادیده گرفتن شرایط کاربرد روش حداقل مربعات.
• برآورد اشتباه از شرایط برای کاربرد روش حداقل مربعات.
• انتخاب اشتباه روش های جایگزین بر خلاف شرایط کاربرد روش حداقل مربعات.
• کاربرد تحلیل رگرسیون بدون شناخت عمیق موضوع مورد مطالعه.
• برون یابی رگرسیون فراتر از محدوده متغیر توضیحی.
• سردرگمی بین روابط آماری و علی.

استفاده گسترده از صفحات گسترده و نرم افزارهای آماری، مشکلات محاسباتی را که مانع استفاده از تحلیل رگرسیون می شد، از بین برده است. با این حال، این منجر به این واقعیت شد که تجزیه و تحلیل رگرسیون توسط کاربرانی که صلاحیت و دانش کافی ندارند مورد استفاده قرار گرفت. اگر بسیاری از آنها اصلاً از شرایط کاربرد روش حداقل مربعات اطلاعی ندارند و نمی دانند چگونه اجرای آنها را بررسی کنند، چگونه کاربران از روش های جایگزین مطلع می شوند؟

محقق نباید با خرد کردن اعداد - محاسبه شیب، شیب و ضریب همبستگی مختلط غافل شود. او به دانش عمیق تری نیاز دارد. بیایید این را با یک مثال کلاسیک برگرفته از کتاب های درسی نشان دهیم. Anscombe نشان داد که هر چهار مجموعه داده نشان داده شده در شکل. 23 پارامترهای رگرسیون یکسانی دارند (شکل 24).

برنج. 23. چهار مجموعه داده مصنوعی

برنج. 24. تحلیل رگرسیون چهار مجموعه داده مصنوعی. تمام شده با بسته تحلیلی(برای بزرگنمایی تصویر روی تصویر کلیک کنید)

بنابراین، از نقطه نظر تحلیل رگرسیون، همه این مجموعه داده ها کاملاً یکسان هستند. اگر تحلیل به همین جا ختم می شد، اطلاعات مفید زیادی را از دست می دادیم. این توسط نمودارهای پراکندگی (شکل 25) و نمودارهای باقیمانده (شکل 26) ساخته شده برای این مجموعه داده ها مشهود است.

برنج. 25. نمودارهای پراکنده برای چهار مجموعه داده

نمودارهای پراکنده و نمودارهای باقیمانده نشان می دهد که این داده ها با یکدیگر متفاوت هستند. تنها مجموعه ای که در امتداد یک خط مستقیم توزیع می شود مجموعه A است. نمودار باقیمانده های محاسبه شده از مجموعه A هیچ الگوی ندارد. این را نمی توان برای مجموعه های B، C، و D گفت. نمودار پراکندگی ترسیم شده برای مجموعه B یک الگوی درجه دوم را نشان می دهد. این نتیجه با نمودار باقیمانده ها که شکل سهمی دارد تأیید می شود. نمودار پراکندگی و نمودار باقیمانده نشان می دهد که مجموعه داده B حاوی یک نقطه پرت است. در این شرایط، لازم است که اطلاعات پرت را از مجموعه داده ها حذف کرده و تجزیه و تحلیل را تکرار کنید. تکنیک تشخیص و حذف موارد پرت از مشاهدات، تحلیل تأثیر نامیده می شود. پس از حذف موارد پرت، نتیجه ارزیابی مجدد مدل ممکن است کاملاً متفاوت باشد. نمودار پراکندگی ترسیم شده از مجموعه داده D وضعیت غیرعادی را نشان می دهد که در آن مدل تجربی به شدت به یک پاسخ وابسته است ( X 8 = 19, Y 8 = 12.5). چنین مدل‌های رگرسیونی باید به‌ویژه با دقت محاسبه شوند. بنابراین، نمودارهای پراکندگی و باقیمانده ابزاری ضروری برای تحلیل رگرسیون هستند و باید جزء لاینفک آن باشند. بدون آنها، تحلیل رگرسیون معتبر نیست.

برنج. 26. قطعه های باقیمانده برای چهار مجموعه داده

چگونه از مشکلات در تحلیل رگرسیون جلوگیری کنیم:

• تحلیل رابطه احتمالی بین متغیرها ایکسو Yهمیشه با یک نمودار پراکنده شروع کنید.
• قبل از تفسیر نتایج تحلیل رگرسیون، شرایط کاربردی بودن آن را بررسی کنید.
• باقیمانده ها را در مقابل متغیر مستقل رسم کنید. این امر به تعیین چگونگی مطابقت مدل تجربی با نتایج مشاهدات و تشخیص نقض ثبات واریانس کمک می‌کند.
• از هیستوگرام ها، نمودارهای ساقه و برگ، نمودارهای جعبه ای و نمودارهای توزیع نرمال برای آزمایش فرض توزیع نرمال خطاها استفاده کنید.
• اگر شرایط کاربردی روش حداقل مربعات برآورده نشد، از روش‌های جایگزین استفاده کنید (مثلاً مدل‌های رگرسیون درجه دوم یا چندگانه).
• اگر شرایط کاربرد روش حداقل مربعات برآورده شود، لازم است فرضیه مربوط به معنادار بودن آماری ضرایب رگرسیون را آزمایش کرد و فواصل اطمینان حاوی انتظارات ریاضی و مقدار پاسخ پیش‌بینی‌شده را ساخت.
• از پیش بینی مقادیر متغیر وابسته خارج از محدوده متغیر مستقل خودداری کنید.
• به خاطر داشته باشید که وابستگی های آماری همیشه علی نیستند. به یاد داشته باشید که همبستگی بین متغیرها به معنای وجود رابطه علی بین آنها نیست.

خلاصه.همانطور که در بلوک دیاگرام (شکل 27) نشان داده شده است، یادداشت یک مدل رگرسیون خطی ساده، شرایط کاربردی بودن آن و راه های آزمایش این شرایط را توصیف می کند. در نظر گرفته شده تی-معیار آزمون اهمیت آماری شیب رگرسیون. برای پیش بینی مقادیر متغیر وابسته از مدل رگرسیون استفاده شد. یک مثال مربوط به انتخاب مکانی برای یک فروشگاه خرده فروشی در نظر گرفته شده است که در آن وابستگی حجم فروش سالانه به منطقه فروشگاه بررسی می شود. اطلاعات به دست آمده به شما این امکان را می دهد که مکان فروشگاه را با دقت بیشتری انتخاب کنید و فروش سالانه آن را پیش بینی کنید. در یادداشت های بعدی، بحث تحلیل رگرسیون و همچنین مدل های رگرسیون چندگانه ادامه خواهد داشت.

برنج. 27. بلوک نمودار یک یادداشت

از مطالب کتاب لوین و همکاران آمار برای مدیران استفاده شده است. - م.: ویلیامز، 2004. - ص. 792-872

اگر متغیر وابسته مقوله ای باشد، باید از رگرسیون لجستیک استفاده شود.

تحلیل همبستگی-رگرسیون درام‌اس برتری داشتن

1. یک فایل داده منبع در MS Excel ایجاد کنید (به عنوان مثال، جدول 2)

2. ساخت میدان همبستگی

برای ایجاد یک فیلد همبستگی در خط فرمان، منو را انتخاب کنید درج / نمودار. در کادر محاوره ای که ظاهر می شود، نوع نمودار را انتخاب کنید: خط چین; چشم انداز: طرح پراکنده، به شما امکان می دهد جفت مقادیر را با هم مقایسه کنید (شکل 22).

شکل 22 - انتخاب نوع نمودار

2. در منوی زمینه، دستور را انتخاب کنید یک خط روند اضافه کنید.

3. در کادر محاوره ای ظاهر شده، نوع نمودار (در مثال ما خطی) و پارامترهای معادله را مانند شکل 26 انتخاب کنید.

شکل 27 - زمینه همبستگی وابستگی بهره وری نیروی کار به نسبت سرمایه به نیروی کار

به طور مشابه، ما یک میدان همبستگی برای وابستگی بهره‌وری نیروی کار به نسبت تغییر تجهیزات ایجاد می‌کنیم. (شکل 28).

از ضریب تغییر تجهیزات

3. ساخت ماتریس همبستگی.

برای ساخت ماتریس همبستگی در منو سرویسانتخاب کنید تحلیل داده ها.

استفاده از ابزار تجزیه و تحلیل داده ها پسرفتعلاوه بر نتایج آمار رگرسیون، تحلیل واریانس و فواصل اطمینان، می توانید باقیمانده ها و نمودارهای برازش خط رگرسیون، باقیمانده ها و احتمال نرمال را بدست آورید. برای انجام این کار، باید دسترسی به بسته تجزیه و تحلیل را بررسی کنید. از منوی اصلی، را انتخاب کنید خدمات / افزونه ها. کادر را علامت بزنید بسته تحلیلی(شکل 29)

پس از کلیک بر روی OK، در کادر محاوره ای که ظاهر می شود، فاصله ورودی (در مثال ما A2: D26)، گروه بندی (در مورد ما بر اساس ستون ها) و پارامترهای خروجی را مشخص کنید، همانطور که در شکل 31 نشان داده شده است.

نتیجه محاسبات در جدول 4 ارائه شده است.

جدول 4 - ماتریس همبستگی

تجزیه و تحلیل رگرسیون تک متغیری

با استفاده از ابزار رگرسیون

برای انجام یک تحلیل رگرسیونی از وابستگی بهره وری نیروی کار به نسبت سرمایه به کار در منو سرویسانتخاب کنید تحلیل داده هاو ابزار تحلیل را مشخص کنید پسرفت(شکل 32).