تجزیه و تحلیل همبستگی سیگنال های گسسته. توابع همبستگی سیگنال تحلیل طیفی و همبستگی سیگنال های قطعی

آیا میدانستید، آزمایش فکری، آزمایش گدانکن چیست؟
این یک عمل وجود ندارد، یک تجربه ی ماورایی، تخیل چیزی است که واقعاً وجود ندارد. آزمایش های فکری مانند رویاهای روزانه هستند. آنها هیولا به دنیا می آورند. بر خلاف آزمایش فیزیکی، که یک آزمون آزمایشی فرضیه‌ها است، یک «آزمایش فکری» به طور جادویی یک آزمایش تجربی را با نتیجه‌گیری‌های مورد نظر و آزمایش‌نشده جایگزین می‌کند و ساختارهای منطقی را که در واقع خود منطق را نقض می‌کنند با استفاده از مقدمات اثبات‌نشده به‌عنوان موارد اثبات‌شده، دستکاری می‌کند. جایگزینی بنابراین، وظیفه اصلی متقاضیان "آزمایش های فکری" فریب شنونده یا خواننده با جایگزین کردن یک آزمایش فیزیکی واقعی با "عروسک" او است - استدلال ساختگی در آزادی مشروط بدون تأیید فیزیکی خود.
پر کردن فیزیک با "آزمایش های فکری" خیالی منجر به تصویری پوچ، سورئال و گیج کننده از جهان شده است. یک محقق واقعی باید اینگونه "لافی ها" را از ارزش های واقعی تشخیص دهد.

نسبیت‌گرایان و پوزیتیویست‌ها استدلال می‌کنند که «آزمایش فکری» ابزار بسیار مفیدی برای آزمایش نظریه‌ها (همچنین در ذهن ما) برای سازگاری است. در این کار آنها مردم را فریب می دهند، زیرا هر تأییدی فقط می تواند توسط منبعی مستقل از هدف تأیید انجام شود. خود متقاضی فرضیه نمی تواند آزمونی برای بیانیه خود باشد، زیرا دلیل این بیان خود عدم وجود تناقضات قابل مشاهده برای متقاضی در بیانیه است.

این را در مثال SRT و GR می بینیم که به نوعی دین حاکم بر علم و افکار عمومی تبدیل شده اند. هیچ مقدار واقعیتی که با آنها در تضاد باشد نمی تواند بر فرمول انیشتین غلبه کند: "اگر واقعیت با نظریه مطابقت ندارد، واقعیت را تغییر دهید" (در نسخه دیگری، "آیا واقعیت با نظریه مطابقت ندارد؟ - برای واقعیت خیلی بدتر است." ").

حداکثر چیزی که یک "آزمایش فکری" می تواند ادعا کند، فقط سازگاری درونی فرضیه در چارچوب منطق خود متقاضی است که اغلب به هیچ وجه درست نیست. رعایت تمرین این را بررسی نمی کند. یک آزمایش واقعی فقط می تواند در یک آزمایش فیزیکی واقعی انجام شود.

آزمایش یک آزمایش است، زیرا پالایش فکر نیست، بلکه آزمایش فکر است. فکری که در درون خود سازگار است نمی تواند خود را بیازماید. این را کورت گودل ثابت کرده است.

تابع همبستگی متقابل (CCF) سیگنال‌های مختلف (تابع همبستگی متقابل، CCF) هم میزان شباهت شکل دو سیگنال و هم موقعیت نسبی آنها را نسبت به یکدیگر در امتداد مختصات (متغیر مستقل) توصیف می‌کند. با تعمیم فرمول (6.1.1) تابع خودهمبستگی به دو سیگنال مختلف s(t) و u(t)، حاصل ضرب اسکالر زیر سیگنال ها را به دست می آوریم:

B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)

همبستگی متقابل سیگنال‌ها، همبستگی خاصی از پدیده‌ها و فرآیندهای فیزیکی نشان‌داده‌شده توسط این سیگنال‌ها را مشخص می‌کند و می‌تواند به عنوان معیاری برای "پایداری" این رابطه در هنگام پردازش سیگنال‌ها به طور جداگانه در دستگاه‌های مختلف عمل کند. برای سیگنال های انرژی محدود، CCF نیز محدود است، در حالی که:

|B su ()|  ||s(t)||||u(t)||،

که از نابرابری کوشی-بونیاکوفسکی و استقلال هنجارهای سیگنال از تغییر مختصات ناشی می شود.

هنگام تغییر متغیر t = t- در فرمول (6.2.1)، به دست می آید:

B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (-).

بنابراین شرط برابری برای VKF، B su ()  B su (-) برآورده نمی‌شود، و مقادیر VKF لازم نیست که حداکثر در  = 0 داشته باشند.

برنج. 6.2.1. سیگنال ها و VKF.

مقادیر یکسان CCF طبق فرمول های (6.2.1) و (6.2.1") در موقعیت متقابل سیگنال ها مشاهده می شود: هنگامی که سیگنال u(t) با فاصله  نسبت به جابجا می شود. s(t) به سمت راست در امتداد محور y و سیگنال s(t) نسبت به سیگنال u(t) به سمت چپ، یعنی B su () = B us (-

برنج. 6.2.2. توابع کوواریانس متقابل سیگنال ها.

سیگنال‌های s(t) و u(t) از نظر مکان زمانی یکسان هستند و ناحیه "همپوشانی" سیگنال حداکثر در =0 است که توسط تابع B su ثابت می‌شود. در عین حال، تابع B su به شدت نامتقارن است، زیرا با شکل سیگنال نامتقارن u(t) برای شکل متقارن s(t) (نسبت به مرکز سیگنال ها)، ناحیه "همپوشانی" سیگنال بسته به متفاوتی تغییر می کند. در جهت تغییر (علامت  با افزایش مقدار  از صفر). هنگامی که موقعیت اولیه سیگنال u(t) در امتداد محور اردینات به چپ منتقل می شود (پیش از سیگنال s(t) - سیگنال v(t)) شکل VKF بدون تغییر باقی می ماند و با همان تغییر به سمت راست تغییر می کند. مقدار - تابع B sv در شکل. 6.2.2. اگر عبارات توابع در (6.2.1) تعویض شوند، تابع جدید B vs یک تابع B sv خواهد بود که با توجه به =0 منعکس می شود.

با در نظر گرفتن این ویژگی ها، CCF کل، به عنوان یک قاعده، به طور جداگانه برای تاخیرهای مثبت و منفی محاسبه می شود:

B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1")

همبستگی متقابل سیگنال های نویزدار . برای دو سیگنال نویزدار u(t) = s1(t) + q1(t) و v(t) = s2(t) + q2(t)، از روش استخراج فرمول (6.1.13) با جایگزینی a استفاده می کنیم. کپی سیگنال s(t ) به سیگنال s2(t)، به راحتی می توان فرمول همبستگی متقاطع را به شکل زیر استخراج کرد:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

سه جمله آخر در سمت راست (6.2.2) با افزایش  به صفر می رسد. برای بازه های تنظیم سیگنال بزرگ، عبارت را می توان به شکل زیر نوشت:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

در مقادیر متوسط ​​صفر نویز و استقلال آماری از سیگنال ها، موارد زیر رخ می دهد:

B uv () → B s 1 s 2 ().

VKF سیگنال های گسسته. تمام ویژگی های سیگنال های آنالوگ VKF برای VKF سیگنال های گسسته نیز معتبر است، در حالی که ویژگی های سیگنال های گسسته که در بالا برای ACF گسسته توضیح داده شد نیز برای آنها معتبر است (فرمول های 6.1.9-6.1.12). به طور خاص، در t = const = 1 برای سیگنال‌های x(k) و y(k) با تعداد نمونه‌های K:

B xy (n) =
x k y k-n . (6.2.4)

هنگامی که در واحدهای توان نرمال می شود:

B xy (n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

تخمین سیگنال های دوره ای در نویز . یک سیگنال نویزدار را می توان برای همبستگی متقاطع با سیگنال "مرجع" با آزمون و خطا ارزیابی کرد و تابع همبستگی متقاطع را تا حداکثر مقدار آن تنظیم کرد.

برای سیگنال u(k)=s(k)+q(k) با استقلال آماری نویز و ← 0، تابع همبستگی متقابل (6.2.2) با الگوی سیگنال p(k) برای q2(k)=0 شکل می گیرد:

B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + .

و از → 0 با افزایش N، سپس B بالا (k) → B sp (k). بدیهی است که تابع B up (k) زمانی که p(k) = s(k) دارای حداکثر خواهد بود. با تغییر شکل الگوی p(k) و به حداکثر رساندن تابع B به بالا (k)، می‌توانیم تخمینی از s(k) را به شکل بهینه p(k) بدست آوریم.

تابع ضرایب همبستگی متقابل (VKF) یک نشانگر کمی درجه تشابه سیگنال های s(t) و u(t) است. مشابه تابع ضرایب خودهمبستگی، از طریق مقادیر متمرکز توابع محاسبه می شود (برای محاسبه کوواریانس متقابل، کافی است تنها یکی از توابع را در مرکز قرار دهیم) و به حاصل ضرب مقادیر نرمال می شود. از استانداردهای توابع s(t) و v(t):

 su () = C su ()/ s  v. (6.2.6)

فاصله تغییر در مقادیر ضرایب همبستگی در جابجایی  می تواند از -1 (همبستگی معکوس کامل) تا 1 (شباهت کامل یا همبستگی صد درصد) متفاوت باشد. در جابجایی های ، که در آن مقادیر صفر  su () مشاهده می شود، سیگنال ها از یکدیگر مستقل هستند (همبستگی ندارند). ضریب همبستگی متقاطع به شما امکان می دهد بدون توجه به ویژگی های فیزیکی سیگنال ها و بزرگی آنها، ارتباط بین سیگنال ها را برقرار کنید.

هنگام محاسبه CCF سیگنال های گسسته نویزدار با طول محدود با استفاده از فرمول (6.2.4)، احتمال وقوع مقادیر  su (n)| > 1.

برای سیگنال های دوره ای، مفهوم CCF معمولاً استفاده نمی شود، به جز سیگنال هایی با دوره مشابه، به عنوان مثال، سیگنال های ورود و خروج هنگام مطالعه ویژگی های سیستم ها.

همراه با رویکرد طیفی به توصیف سیگنال‌ها، در عمل اغلب مشخص می‌شود که مشخصه ضروری است که می‌تواند ایده‌ای در مورد برخی از ویژگی‌های سیگنال، به ویژه، سرعت تغییر در زمان، و همچنین مدت زمان سیگنال بدون تجزیه آن به اجزای هارمونیک.

به عنوان چنین ویژگی زمانی به طور گسترده استفاده می شود همبستگیعملکرد سیگنال

برای یک سیگنال قطعی س(تی) با مدت زمان محدود، تابع همبستگی با عبارت زیر تعیین می شود:

جایی که τ تغییر زمانی سیگنال است.

این فصل به سیگنال هایی می پردازد که توابع واقعی زمان هستند و نماد مزدوج پیچیده را می توان حذف کرد:

. (1.78)

از عبارت (1.78) می توان دریافت که ب س (تی) درجه اتصال (همبستگی) سیگنال را مشخص می کند س ( تی ) با جابجایی کپی آن توسط m در امتداد محور زمان. واضح است که عملکرد ب س ( تی ) در τ = 0 به حداکثر می رسد، زیرا هر سیگنال کاملاً با خودش همبستگی دارد. که در آن

, (1.79)

یعنی حداکثر مقدار تابع همبستگی برابر با انرژی سیگنال است.

با افزایش τ، تابع که در 8 (τ) کاهش می یابد (نه لزوما یکنواخت) و با تغییر نسبی سیگنال ها س(تی) و س(تی+ τ) برای مدتی بیش از مدت زمان سیگنال ناپدید می شود.

از تعریف کلی تابع همبستگی، واضح است که فرقی نمی‌کند سیگنال را نسبت به کپی آن با مقدار τ به راست یا چپ منتقل کنیم. بنابراین، عبارت (1.78) را می توان به صورت زیر تعمیم داد:

. (1.78)

این معادل گفتن آن است ب س (τ) است حتی عملکردτ.

برای سیگنال تناوبی که انرژی آن بی نهایت زیاد است، تعریف تابع همبستگی با استفاده از عبارات (1.129) یا (1.129") غیرقابل قبول است. در این مورد، از تعریف زیر استفاده می شود:

با این تعریف، تابع همبستگی بعد قدرت را به دست می آورد و ب Sne p (0) برابر است با توان متوسط ​​سیگنال تناوبی. به دلیل تناوب بودن سیگنال ها ( تی ) میانگین گیری محصول
یا
در امتداد یک خط بی نهایت تی باید با میانگین گیری در دوره T 1 منطبق باشد. بنابراین، عبارت (1.79) را می توان با عبارت جایگزین کرد

انتگرال های موجود در این عبارت چیزی جز تابع همبستگی سیگنال در بازه نیستند تی 1 . نشان دادن آن از طریق ب sTl (τ ) به رابطه می رسیم

همچنین واضح است که سیگنال تناوبی s( تی ) مربوط به تابع همبستگی دوره ای است ب س مسیر (τ). دوره عملکرد ب س مسیر (τ) مصادف با دوره است تی 1 سیگنال اصلی ( تی ). به عنوان مثال، برای ساده ترین نوسان (هارمونیک).
تابع همبستگی

زمانی که τ=0
میانگین توان یک نوسان هارمونیک با دامنه است آ 0 . توجه به این نکته ضروری است که تابع همبستگی
به فاز اولیه نوسان بستگی ندارد .

برای تخمین درجه اتصال بین دو سیگنال مختلف s 1 ( تی ) و s 2 ( تی ) از تابع همبستگی متقابل استفاده می شود که با عبارت کلی تعیین می شود

برای توابع واقعی s 1 (t) و s 2 (t)

تابع همبستگی بالا که در س (τ) یک مورد خاص از تابع است
وقتی s 1 ( تی ) =s 2 ( تی ).

بر خلاف
تابع همبستگی لزوماً حتی با توجه به τ نیست. علاوه بر این، تابع همبستگی متقابل نهلزومابه حداکثر می رسد در τ = 0.

تابع همبستگی سیگنالیک ویژگی زمانی است

که ایده ای از سرعت تغییر سیگنال در طول زمان و همچنین مدت زمان سیگنال بدون تجزیه آن به اجزای هارمونیک می دهد.

توابع خودهمبستگی و همبستگی متقابل وجود دارد. برای یک سیگنال قطعی f(t)، تابع خودهمبستگی با داده می شود

شیفت زمانی سیگنال کجاست

درجه اتصال (همبستگی) سیگنال f (t) را با آن مشخص می کند

یک کپی با مقداری در امتداد محور زمان جابجا شده است. بیایید یک تابع همبستگی خودکار (ACF) برای یک پالس مستطیلی f (t ) بسازیم. همانطور که در شکل نشان داده شده است سیگنال به سمت پیشرو منتقل می شود. 6.25.

در نمودار، هر مقدار با حاصلضرب آن و مساحت زیر نمودار تابع مطابقت دارد. عددی

مقادیر چنین مناطقی را برای τ متناظر می دهد و مختصات تابع را می دهد

با افزایش τ، کاهش می یابد (نه لزوما یکنواخت) و برای

یعنی بیشتر از مدت زمان سیگنال برابر با صفر است.

همچنین یک تابع تناوبی با دوره T است.

ویژگی های اصلی تابع خودهمبستگی را در نظر بگیرید:

1. ACF یک تابع زوج است، یعنی با افزایش تابع کاهش می یابد.

2. ACF به حداکثر می رسد، زیرا هر سیگنال به طور کامل با خودش همبستگی دارد. در این حالت حداکثر مقدار ACF برابر با انرژی است

هرچه طیف سیگنال گسترده تر باشد، فاصله همبستگی کمتر است، یعنی. مقدار shift، که در آن تابع همبستگی غیر صفر است. بر این اساس، هر چه بازه همبستگی سیگنال بزرگتر باشد، طیف آن باریکتر می شود.

تابع همبستگی همچنین می تواند برای تخمین درجه اتصال بین دو سیگنال مختلف f 1 (t) و f 2 (t) که بر اساس زمان جابجا شده اند استفاده شود.

در این مورد، تابع همبستگی متقابل (CCF) نامیده می شود و با عبارت:

تابع همبستگی لزوماً با توجه به τ یکنواخت نیست و لزوماً به حداکثر در نمی رسد. ساختار VKF برای دو سیگنال مثلثی f 1 (t) و f 2 (t) در شکل نشان داده شده است. 6.26. هنگامی که برش داده می شود

سیگنال f 2 (t) به سمت چپ (t\u003e 0، شکل 6.26، a)، تابع همبستگی سیگنال ابتدا افزایش می یابد، سپس به صفر کاهش می یابد. هنگامی که سیگنال f 2 (t) به سمت راست منتقل می شود (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1 (t)

f2 (t)

0 T t

0 t -T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1 (t)

f2 (t)

0 T

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. مفهوم سیگنال های مدوله شده مدولاسیون دامنه

سیگنال های فرکانس بالا برای انتقال اطلاعات از راه دور استفاده می شود. اطلاعات ارسال شده باید به هر طریقی در یک نوسان با فرکانس بالا که حامل نامیده می شود، جاسازی شود. انتخاب چای

مقدار ω سیگنال حامل به عوامل زیادی بستگی دارد، اما در هر صورت ω

باید بسیار بزرگتر از بالاترین فرکانس طیف پیام ارسالی باشد، یعنی.

بسته به ماهیت حامل، دو نوع مدولاسیون متمایز می شود:

– پیوسته - با یک حامل هارمونیک پیوسته در زمان؛

– پالس - با یک حامل به شکل یک دنباله دوره ای از پالس ها.

سیگنالی که حامل اطلاعات است را می توان به صورت نمایش داد

اگر و مقادیر ثابت هستند، پس این یک نوسان هارمونیک ساده است که اطلاعاتی را حمل نمی کند. اگر و مجبور به تغییر برای انتقال پیام باشند، نوسان مدوله می شود.

اگر A (t) تغییر کند، اگر زاویه زاویه ای باشد، این مدولاسیون دامنه است. مدولاسیون زاویه ای به دو نوع فرکانس (FM) و فاز (PM) تقسیم می شود.

از آن زمان، و به آرامی در حال تغییر توابع زمان. سپس می توانیم فرض کنیم که برای هر نوع مدولاسیون، پارامترهای سیگنال

(1) (دامنه، فاز و فرکانس) به قدری آهسته تغییر می کند که در یک دوره می توان نوسان فرکانس بالا را هارمونیک در نظر گرفت. این مقدمه زمینه ساز خواص سیگنال ها و طیف آنهاست.

مدولاسیون دامنه (AM). با AM، پوشش دامنه سیگنال حامل مطابق با قانون منطبق با قانون تغییر در پیام ارسالی، فرکانس تغییر می کند.تغییر نمی کند و فاز اولیه استبسته به لحظه شروع مدولاسیون ممکن است متفاوت باشد. عبارت کلی (6.22) را می توان جایگزین کرد

یک نمایش گرافیکی از یک سیگنال مدوله شده با دامنه نشان داده شده است. 6.27. در اینجا S(t) پیام پیوسته ارسال شده، دامنه سیگنال فرکانس بالا هارمونیک حامل است. پاکت A (t) مطابق با قانونی که پیام را بازتولید می کند تغییر می کند

S(t).

نوع الگوریتم دریافت بهینه، و همچنین شاخص های کیفی سیستم انتقال پیام گسسته، به طور قابل توجهی به ویژگی بستگی دارد.

که ما آن را تابع همبستگی موقعیت سیگنال مرجع مختلط و میدان دریافتی پیچیده متناظر با موقعیتی می نامیم که جابجایی زمانی بین آنها به دلیل ناسازگاری زمانی در کجاست.

این تابع معیاری از "تفاوت" (یا "مجاورت") سیگنال ها با شاخص ها است. پیاده سازی تداخل. به عنوان مثال، چنین ویژگی تشخیص سیگنال و تداخل در تعدادی از آثار استفاده شده است.

هنگام استخراج آخرین فرمول، روابط زیر از برابری پارسوال در نظر گرفته می شود:

توابع به ترتیب تابع همبستگی سیگنال های دریافتی و تابع همبستگی سیگنال های مزدوج در محل دریافت نامیده می شوند. اولین مورد ویژگی های دریافت منسجم بهینه را تعیین می کند، در حالی که برای مشخص کردن دریافت بهینه در یک فاز سیگنال نامشخص (دریافت نامنسجم)، فقط مدول (پاکت) تابع همبستگی پیچیده باید شناخته شود.

مرجع پیچیده مورد استفاده در طرح های دریافت منسجم بهینه (به زیر مراجعه کنید)

تابعی که جواب معادله انتگرال است کجاست

تابع همبستگی نویز افزودنی کجاست. از آنجایی که تابع همبستگی را می توان از نظر توابع خود به یک سری دوخطی گسترش داد

جایی که مقادیر ویژه هستند، سپس حل معادله انتگرال (1.52) را می توان به صورت نوشتاری

در حالتی که تداخل حاصل مجموع دو قسمت متمرکز و نوسان است، بدون همبستگی با یکدیگر، گسترش تابع همبستگی قسمت متمرکز تداخل به صورت سری (1.53)، به دست می‌آییم.

مقادیر ویژه و توابع ویژه مربوط به کجا هستند زیرا تابع همبستگی نویز سفید با چگالی طیفی برای هر مبنای متعارف را می توان به صورت

(همه مقادیر ویژه یکسان و برابر با N هستند)، سپس

با در نظر گرفتن (1.51)، تابع وزن شده [با وزن همبستگی متقابل مختلط را نیز می نامیم.

تابع دو تحقق سیگنال های پیچیده در نقطه دریافت بیان (1.51) را می توان به صورت نوشتاری

فرض کنید که تابع وزن همگن است، یعنی می توان نشان داد که و با یک جفت تبدیل هیلبرت مرتبط هستند. مجموعه سیگنال هایی که برای آنها

در محل دریافت متعامد با شیفت های زمانی دلخواه نامیده می شود.اگر شرط برآورده شود، در مورد سیستم متعامد سیگنال ها در محل دریافت صحبت خواهیم کرد.

اگر در (1-47) باشد، تابع همبستگی سیگنال های پیچیده دریافتی را فراخوانی می کنیم. در واقع، ما فقط می توانیم در مورد تحقق تقریبی شرط (1.59) صحبت کنیم، زیرا تحقق دقیق آن تنها در صورت استفاده از سیگنال هایی امکان پذیر است که طیف های آنها در هیچ کجا همپوشانی ندارند، که امکان پذیر نیست. در عمل، شرایط (1.59) اغلب فقط برای هر مقداری برآورده می شود

در این صورت می گوییم که اگر شاخص ها مطابقت نداشته باشند، شرط باریکی برای تابع همبستگی برقرار است و اگر شاخص ها منطبق باشند، شرط باریکی برای توابع همبستگی برآورده می شود.

اجازه دهید توابع همبستگی نرمال شده را برای

نسبت انرژی (سیگنال/نویز) سیگنال در محل دریافت. می توان نشان داد که بنابراین، تابع همبستگی نرمال شده (1.61) شرط را برآورده می کند، به طور مشابه، می توان نشان داد که تابع همبستگی نرمال شده سیگنال های مزدوج دریافتی، همان شرایط را برآورده می کند.

با فاز سیگنال نامحدود، در برخی موارد، ویژگی های گیرنده با پاکت (1.50) و بر این اساس، پاکت نرمال مشخص می شود.

اجازه دهید سیستم سیگنال های دریافتی را برای آن فراخوانی کنیم

متعامد به معنای پیشرفته برای جابجایی های زمانی دلخواه

اغلب ما با سیستمی از سیگنال‌ها سروکار داریم که شرایطی را برآورده می‌کند که با استفاده از اصطلاحات، آن را متعامد به معنای پیشرفته (در محل دریافت) می‌نامیم.

در عمل، شرایط (1.64) معمولاً فقط در محدوده (1.60) برآورده می شود.

مشابه ویژگی های معرفی شده سیگنال های دریافتی، می توان همبستگی وزنی و همبستگی متقاطع سیگنال های ارسالی را معرفی کرد:

این شرایط همچنین متعامد بودن سیگنال های دریافتی را به معنای افزایش یافته برای شیفت های زمانی دلخواه تضمین می کند.

با فازبندی معین در کانال، برای متعامد بودن معمول سیگنال های دریافتی، متعامد بودن سیگنال های ارسالی (با همان وزن) کافی است.

برای یک کانال تک پرتو، متعامد و متعامد به معنای افزایش یافته سیگنال های دریافتی برای هر جابجایی زمانی، به ترتیب برابر با متعامد و متعامد به معنای افزایش یافته برای هر جابجایی زمانی سیگنال های ارسالی با وزن است.

برای سیگنال‌های ارسالی و دریافتی باند باریک، متعامد بودن به معنای تقویت‌شده برای جابجایی‌های دلخواه غیرصفر معادل با متعامد بودن معمولی برای هر تغییر است. با این حال، برای چنین سیگنال‌هایی، متعامد بودن به معنای تقویت‌شده (برای) معادل متعامد معمولی نیست.