تابع خطی. تابع خطی Y 2 3 خط نمودار تابع خطی

تعریف تابع خطی

اجازه دهید تعریف تابع خطی را معرفی کنیم

تعریف

تابعی به شکل $y=kx+b$ که $k$ غیر صفر است، تابع خطی نامیده می شود.

نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. عدد $k$ را شیب خط می نامند.

برای $b=0$ تابع خطی تابع تناسب مستقیم $y=kx$ نامیده می شود.

شکل 1 را در نظر بگیرید.

برنج. 1. معنای هندسی شیب خط مستقیم

مثلث ABC را در نظر بگیرید. می بینیم که $BC=kx_0+b$. نقطه تقاطع خط $y=kx+b$ را با محور $Ox$ پیدا کنید:

\ \

بنابراین $AC=x_0+\frac(b)(k)$. بیایید نسبت این اضلاع را پیدا کنیم:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

از سوی دیگر، $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

بنابراین می توان نتیجه زیر را گرفت:

نتیجه

معنای هندسی ضریب $k$. شیب خط مستقیم $k$ برابر است با مماس شیب این خط مستقیم بر محور $Ox$.

مطالعه تابع خطی $f\left(x\right)=kx+b$ و نمودار آن

ابتدا تابع $f\left(x\right)=kx+b$ را در نظر بگیرید که در آن $k > 0$ است.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. بنابراین، این تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. هیچ نقطه افراطی وجود ندارد.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. نمودار (شکل 2).

برنج. 2. نمودارهای تابع $y=kx+b$، برای $k > 0$.

حالا تابع $f\left(x\right)=kx$ را در نظر بگیرید که در آن $k است

1. دامنه همه اعداد است.
2. دامنه همه اعداد است.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. تابع نه زوج است و نه فرد.
4. برای $x=0،f\left(0\right)=b$. برای $y=0,0=kx+b،\ x=-\frac(b)(k)$.

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: $\left(-\frac(b)(k)،0\right)$ و $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. بنابراین، تابع نقطه عطف ندارد.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. نمودار (شکل 3).

یک تابع خطی تابعی به شکل y=kx+b است که x یک متغیر مستقل است، k و b هر عددی هستند.
نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است.

1. برای رسم نمودار تابع،ما به مختصات دو نقطه متعلق به نمودار تابع نیاز داریم. برای پیدا کردن آنها، باید دو مقدار x بگیرید، آنها را در معادله تابع جایگزین کنید و مقادیر y مربوطه را از آنها محاسبه کنید.

برای مثال، برای رسم تابع y= x+2، راحت است که x=0 و x=3 را در نظر بگیریم، سپس مختصات این نقاط برابر با y=2 و y=3 خواهد بود. امتیاز A(0;2) و B(3;3) را بدست می آوریم. بیایید آنها را به هم وصل کنیم و نمودار تابع y= x+2 را بدست آوریم:

2. در فرمول y=kx+b عدد k را ضریب تناسب می نامند:
اگر k>0 باشد، تابع y=kx+b افزایش می یابد
اگر ک
ضریب b تغییر نمودار تابع را در امتداد محور OY نشان می دهد:
اگر b>0 باشد، نمودار تابع y=kx+b از نمودار تابع y=kx با جابجایی b واحد به بالا در امتداد محور OY به دست می آید.
اگر ب
شکل زیر نمودار توابع y=2x+3 را نشان می دهد. y= ½x+3; y=x+3

توجه داشته باشید که در تمام این توابع ضریب k بالای صفر،و توابع هستند افزایش می یابد.علاوه بر این، هر چه مقدار k بیشتر باشد، زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور OX بیشتر است.

در همه توابع b=3 - و می بینیم که همه نمودارها محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

حال نمودارهای توابع y=-2x+3 را در نظر بگیرید. y=- ½ x+3; y=-x+3

این بار در تمامی توابع ضریب k کمتر از صفرو ویژگی ها نزول کردن.ضریب b=3 و نمودارها مانند حالت قبل از محور OY در نقطه (0;3) عبور می کنند.

نمودار توابع y=2x+3 را در نظر بگیرید. y=2x; y=2x-3

حال در تمام معادلات توابع ضرایب k برابر با 2 است و سه خط موازی به دست آوردیم.

اما ضرایب b متفاوت است و این نمودارها محور OY را در نقاط مختلف قطع می کنند:
نمودار تابع y=2x+3 (b=3) از محور OY در نقطه (0;3) عبور می کند.
نمودار تابع y=2x (b=0) از محور OY در نقطه (0;0) - مبدا عبور می کند.
نمودار تابع y=2x-3 (b=-3) از محور OY در نقطه (0;-3) عبور می کند.

بنابراین، اگر نشانه های ضرایب k و b را بدانیم، بلافاصله می توانیم تصور کنیم که نمودار تابع y=kx+b چگونه است.
اگر k 0

اگر k>0 و b>0، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k>0 و b، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k=0، سپس تابع y=kx+b به تابع y=b تبدیل می شود و نمودار آن به شکل زیر است:

مختصات تمام نقاط نمودار تابع y=b برابر با b است اگر b=0، سپس نمودار تابع y=kx (نسبت مستقیم) از مبدأ عبور می کند:

3. به طور جداگانه نمودار معادله x=a را یادداشت می کنیم.نمودار این معادله یک خط مستقیم موازی با محور OY است که تمام نقاط آن دارای ابسیسا x=a هستند.

برای مثال نمودار معادله x=3 به شکل زیر است:
توجه!معادله x=a یک تابع نیست، زیرا یک مقدار آرگومان مربوط به مقادیر مختلف تابع است که با تعریف تابع مطابقت ندارد.

4. شرط موازی بودن دو خط:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 با نمودار تابع y=k 2 x+b 2 موازی است اگر k 1 =k 2

5. شرط عمود بودن دو خط مستقیم:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 بر نمودار تابع y=k 2 x+b 2 عمود است اگر k 1 *k 2 =-1 یا k 1 =-1/k 2

6. نقاط تلاقی نمودار تابع y=kx+b با محورهای مختصات.

با محور OY آبسیسا هر نقطه متعلق به محور OY برابر با صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OY، باید به جای x در معادله تابع، صفر را جایگزین کنید. y=b می گیریم. یعنی نقطه تقاطع با محور OY مختصات (0;b) دارد.

با محور x: ترتیب هر نقطه متعلق به محور x صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OX، باید به جای y در معادله تابع، صفر را جایگزین کنید. 0=kx+b می گیریم. بنابراین x=-b/k. یعنی نقطه تقاطع با محور OX دارای مختصاتی است (-b / k؛ 0):

تابع خطیتابع فرم نامیده می شود y = kx + b، بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. اینجا ک- ضریب زاویه ای (عدد واقعی) ب – عضو رایگان (شماره واقعی)، ایکسیک متغیر مستقل است.

در یک مورد خاص، اگر k = 0، یک تابع ثابت بدست می آوریم y=b، که نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور Ox است که از نقطه ای با مختصات می گذرد. (0; ب).

اگر b = 0، سپس تابع را دریافت می کنیم y=kx، که است به نسبت مستقیم

ب – طول قطعه، که خط را در امتداد محور Oy قطع می کند، با شمارش از مبدا.

معنای هندسی ضریب ک – زاویه شیبمستقیم به جهت مثبت محور Ox خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته می شود.

ویژگی های تابع خطی:

1) دامنه یک تابع خطی کل محور واقعی است.

2) اگر k ≠ 0، سپس محدوده تابع خطی کل محور واقعی است. اگر k = 0، سپس محدوده تابع خطی از عدد تشکیل شده است ب;

3) یکنواختی و عجیب بودن یک تابع خطی به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب.

آ) b ≠ 0، k = 0،از این رو، y = b زوج است.

ب) b = 0، k ≠ 0،از این رو y = kx فرد است.

ج) b ≠ 0، k ≠ 0،از این رو y = kx + b یک تابع کلی است.

د) b = 0، k = 0،از این رو y = 0 هم یک تابع زوج و هم یک تابع فرد است.

4) تابع خطی خاصیت تناوب را ندارد.

5) نقاط تقاطع با محورهای مختصات:

گاو: y = kx + b = 0، x = -b/k، از این رو (-b/k؛ 0)- نقطه تقاطع با محور آبسیسا.

اوه: y=0k+b=b، از این رو (0; ب)نقطه تقاطع با محور y است.

توجه داشته باشید.اگر b = 0و k = 0، سپس تابع y=0برای هر مقدار از متغیر ناپدید می شود ایکس. اگر b ≠ 0و k = 0، سپس تابع y=bبرای هیچ مقداری از متغیر ناپدید نمی شود ایکس.

6) فواصل ثبات علامت به ضریب k بستگی دارد.

آ) k > 0; kx + b > 0، kx > -b، x > -b/k.

y = kx + b- مثبت در ایکساز جانب (-b/k؛ +∞),

y = kx + b- منفی در ایکساز جانب (-∞؛ -b/k).

ب) ک< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- مثبت در ایکساز جانب (-∞؛ -b/k),

y = kx + b- منفی در ایکساز جانب (-b/k؛ +∞).

ج) k = 0، b > 0; y = kx + bمثبت در سراسر حوزه تعریف،

k = 0، b< 0; y = kx + b در سراسر حوزه تعریف منفی است.

7) فواصل یکنواختی یک تابع خطی به ضریب بستگی دارد ک.

k > 0، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف افزایش می یابد،

ک< 0 ، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

8) نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. برای کشیدن یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است. موقعیت خط مستقیم در صفحه مختصات به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب. در زیر جدولی وجود دارد که به وضوح این موضوع را نشان می دهد.