راه حلی برای zlp پیدا کنید. روش گرافیکی برای حل مسائل lp. نمونه ای از حل مسئله برنامه ریزی خطی با روش گرافیکی

راه حل در سه مرحله انجام می شود:

1. انتقال به KZLP. هر LLP به شکل ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b (F(X) → extr) به شکل ax = b , F(X) → max ;
2. انتقال به SZLP. QZLP شکل ax = b به شکل ax ≤ b , F(X) → max کاهش می یابد.
3. حل به روش سیمپلکس؛

دستورالعمل. تعداد متغیرها و تعداد ردیف ها (تعداد محدودیت) را انتخاب کنید. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود.

انتقال از مسئله کمینه سازی تابع هدف به مسئله بیشینه سازی

F(x) → دقیقه

F(x) → حداکثر

عنصر پیشرو (اجازه دهنده).ضریب مجهول آزاد است که به ضریب اصلی تبدیل می شود و خود ضریب به وحدت تبدیل می شود.
خط راهنما- رشته عنصر پیشرو، که در آن مجهول اصلی با یک ضریب واحد قرار دارد، که در طول تبدیل حذف شده است (رشته با حداقل ضریب حد، به زیر مراجعه کنید).
ستون راهنماستون عنصر اصلی است که مجهول مجهول آن به اصلی ترجمه شده است (ستون با حداکثر سود، در زیر ببینید).

متغیرهای x 1 , …, x m , که با ضرایب واحد فقط در یک معادله از سیستم گنجانده شده اند و با صفر - در بقیه، نامیده می شوند. پایه اییا وابسته. در سیستم متعارف، هر معادله دقیقاً با یک متغیر اساسی مطابقت دارد. انتقال با استفاده از روش گاوس-جردن انجام می شود. ایده اصلی این روش کاهش سیستم معادلات m با n مجهول به شکل متعارف با استفاده از عملیات ابتدایی روی رشته ها است.
متغیرهای n-m باقیمانده (x m +1 ,…, x n) فراخوانی می شوند غیر اساسییا متغیرهای مستقل.

راه حل اساسیتماس گرفت راه حل اساسی قابل قبول، اگر مقادیر متغیرهای پایه در آن xj ≥0 باشد که معادل شرط عدم منفی b j ≥0 است.
راه حل اساسی قابل قبول است نقطه گوشهمجموعه S قابل قبول یک مسئله برنامه ریزی خطی است و گاهی اوقات نامیده می شود طرح مرجع.
اگر بین اعداد غیر منفی b j برابر با صفر باشد، جواب پایه قابل قبول نامیده می شود. منحط(نقطه گوشه منحط) و مسئله برنامه ریزی خطی مربوطه نامیده می شود منحط.

مثال شماره 1. مشکل برنامه نویسی خطی را به استاندارد ZLP کاهش دهید.
F(X) = x 1 + 2x 2 - 2x 3 → min تحت محدودیت ها:
4x 1 + 3x 2 - x 3 ≤10
- 2x2 + 5x3 ≥3
x 1 + 2x 3 = 9
برای آوردن LLP به شکل متعارف، لازم است:
1. علامت تابع هدف را تغییر دهید. اجازه دهید مسئله F(X) → min را به مسئله F(X) → max کاهش دهیم. برای این کار F (X) را در (-1) ضرب می کنیم. در اولین نابرابری معنی (≤)، متغیر پایه x 4 را معرفی می کنیم. در نابرابری دوم معنی (≥)، متغیر پایه x 5 را با علامت منفی معرفی می کنیم.
4x1 + 3x2 -1x3 + 1x4 + 0x5 = 10
0x1 -2x2 + 5x3 + 0x4 -1x5 = 3
1x1 + 0x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 = 9
F(X) = - x 1 - 2x 2 + 2x 3
انتقال به SZLP.
ماتریس توسعه یافته سیستم قیود-برابری های این مسئله:

مثال شماره 2. ابتدا با روش گرافیکی و سپس با روش سیمپلکس حل مسئله را پیدا کنید
F(X) \u003d x 1 + x 2 - x 3 + x 5 +15 → حداکثر (دقیقه) تحت محدودیت‌ها:
-3x1 + x2 + x3 =3
4x 1 + 2x 2 - x 4 =12
2x 1 - x 2 + x 5 =2
x 1 ≥ 0، x 2 ≥ 0، x 3 ≥ 0، x 4 ≥ 0، x 5 ≥ 0

این روش روشی برای شمارش هدفمند راه حل های مرجع یک مسئله برنامه ریزی خطی است. این اجازه می دهد تا تعداد محدودی از مراحل را یا برای یافتن راه حل بهینه یا ایجاد عدم وجود راه حل بهینه انجام دهیم.

1. روشی را برای یافتن راه حل مرجع بهینه مشخص کنید
2. روش انتقال از یک راه حل مرجع به راه حل دیگر را مشخص کنید، که در آن مقدار تابع هدف به مقدار بهینه نزدیکتر باشد، یعنی. راهی برای بهبود راه حل مرجع نشان می دهد
3. معیارهایی را تنظیم کنید که به شما امکان می دهد به موقع شمارش راه حل های پشتیبانی را روی راه حل بهینه متوقف کنید یا نتیجه گیری کنید که راه حل بهینه وجود ندارد.

الگوریتم روش سیمپلکس برای حل مسائل برنامه ریزی خطی

1. مشکل را به شکل متعارف بیاورید
2. یک راه حل مرجع اولیه با "بنای واحد" پیدا کنید (اگر راه حل مرجع وجود نداشته باشد، مشکل به دلیل ناسازگاری سیستم محدودیت ها راه حلی ندارد)
3. تخمین بسط های برداری را بر اساس مبنای حل مرجع محاسبه کنید و جدول روش سیمپلکس را پر کنید.
4. اگر معیار منحصر به فرد بودن راه حل بهینه برآورده شود، آنگاه راه حل مسئله به پایان می رسد.
5. اگر شرط وجود مجموعه ای از راه حل های بهینه برآورده شود، با شمارش ساده، همه راه حل های بهینه پیدا می شوند.

نمونه ای از حل مسئله به روش سیمپلکس

با استفاده از روش سیمپلکس مشکل را حل کنید:

راه حل:

مشکل را به شکل متعارف می آوریم.

برای انجام این کار، یک متغیر اضافی x 6 با ضریب +1 را در سمت چپ اولین محدودیت نابرابری معرفی می کنیم. متغیر x 6 با ضریب صفر در تابع هدف قرار می گیرد (یعنی شامل نمی شود).

ما گرفتیم:

ما راه حل مرجع اولیه را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، متغیرهای آزاد (حل نشده) را با صفر برابر می کنیم x1 = x2 = x3 = 0.

ما گرفتیم راه حل مرجع X1 = (0.0.0.24.30.6) با پایه واحد B1 = (A4, A5, A6).

محاسبه تخمین های تجزیه برداریشرایط بر اساس محلول مرجع طبق فرمول:

Δ k \u003d C b X k - c k

• C b = (с 1 , с 2 , ... , с m) بردار ضرایب تابع هدف با متغیرهای پایه است.
• X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) بردار انبساط بردار مربوطه A k بر حسب مبنای حل مرجع است.
• C k - ضریب تابع هدف برای متغیر x k.

تخمین بردارهای موجود در مبنا همیشه برابر با صفر است. راه حل مرجع، ضرایب بسط و تخمین بسط بردارهای شرایط بر حسب مبنای راه حل مرجع در نوشته شده است. جدول سیمپلکس:

در بالای جدول، برای راحتی محاسبه برآوردها، ضرایب تابع هدف نوشته شده است. ستون اول "B" شامل بردارهای موجود در پایه راه حل مرجع است. ترتیب نوشتن این بردارها مطابق با تعداد مجهولات مجاز در معادلات محدودیت است. در ستون دوم جدول «با b» ضرایب تابع هدف با متغیرهای پایه به همان ترتیب نوشته شده است. با چیدمان صحیح ضرایب تابع هدف در ستون «C b»، برآورد بردارهای واحد موجود در مبنا همیشه برابر با صفر است.

در سطر آخر جدول با تخمین Δ k در ستون "A 0" مقادیر تابع هدف روی حل مرجع Z(X 1) نوشته شده است.

راه حل مرجع اولیه بهینه نیست، زیرا در مسئله حداکثر تخمین Δ1 = -2، Δ3 = -9 برای بردارهای A 1 و A 3 منفی است.

با توجه به قضیه بهبود راه حل مرجع، اگر حداقل یک بردار در مسئله ماکزیمم تخمین منفی داشته باشد، می توان راه حل مرجع جدیدی را یافت که مقدار تابع هدف بیشتر باشد.

اجازه دهید تعیین کنیم که کدام یک از دو بردار منجر به افزایش بیشتر تابع هدف می شود.

افزایش تابع هدف با فرمول بدست می آید:

ما مقادیر پارامتر θ 01 را برای ستون های اول و سوم با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

ما θ 01 = 6 را برای l = 1، θ 03 = 3 برای l = 1 دریافت می کنیم (جدول 26.1).

افزایش تابع هدف را زمانی می یابیم که اولین بردار ΔZ 1 = - 6 * (- 2) = 12 به پایه وارد شود و بردار سوم ΔZ 3 = - 3 * (- 9) = 27.

بنابراین، برای رویکرد سریعتر به جواب بهینه، لازم است که بردار A3 را به جای اولین بردار پایه A6 به پایه حل مرجع وارد کنیم، زیرا حداقل پارامتر θ 03 در ردیف اول به دست آمده است. (l = 1).

تبدیل جردن را با عنصر X13 = 2 انجام می دهیم، راه حل مرجع دوم X2 = (0.0.3.21.42.0) را با پایه B2 = (A3, A4, A5) بدست می آوریم. (جدول 26.2)

این راه حل بهینه نیست، زیرا بردار A2 دارای تخمین منفی Δ2 = - 6 است. برای بهبود راه حل، لازم است بردار A2 را به اساس راه حل مرجع معرفی کنیم.

تعداد بردار حاصل از مبنا را تعیین می کنیم. برای انجام این کار، پارامتر θ 02 را برای ستون دوم محاسبه می کنیم، برای l = 2 برابر است با 7. بنابراین، بردار پایه دوم A4 را از پایه استخراج می کنیم. تبدیل جردن را با عنصر x 22 = 3 انجام می دهیم، سومین راه حل مرجع X3 = (0.7.10.0.63.0) B2 = (A3، A2، A5) را به دست می آوریم (جدول 26.3).

این راه حل تنها راه حل بهینه است، زیرا برای همه بردارهایی که در پایه گنجانده نشده اند، برآوردها مثبت هستند

Δ 1 \u003d 7/2، Δ 4 \u003d 2، Δ 6 \u003d 7/2.

پاسخ:حداکثر Z(X) = 201 در X = (0.7،10،0.63).

روش برنامه ریزی خطی در تحلیل اقتصادی

روش برنامه ریزی خطیتوجیه بهینه ترین راه حل اقتصادی را در مواجهه با محدودیت های شدید مربوط به منابع مورد استفاده در تولید (دارایی های ثابت، مواد، منابع نیروی کار) ممکن می سازد. کاربرد این روش در تحلیل اقتصادی به ما امکان می دهد تا مشکلات مربوط به برنامه ریزی فعالیت های سازمان را حل کنیم. این روش به تعیین مقادیر بهینه خروجی و همچنین جهت استفاده بهینه از منابع تولیدی در دسترس سازمان کمک می کند.

با استفاده از این روش، حل مسائل به اصطلاح فوق العاده انجام می شود که شامل یافتن مقادیر شدید، یعنی حداکثر و حداقل توابع متغیرها است.

این دوره بر اساس حل یک سیستم معادلات خطی در مواردی است که پدیده های اقتصادی تجزیه و تحلیل شده توسط یک وابستگی خطی و کاملاً عملکردی به هم متصل می شوند. روش برنامه ریزی خطی برای تجزیه و تحلیل متغیرها در حضور عوامل محدود کننده خاص استفاده می شود.

حل مسئله حمل و نقل با استفاده از روش برنامه ریزی خطی بسیار رایج است. محتوای این وظیفه به حداقل رساندن هزینه های انجام شده در ارتباط با کارکرد وسایل نقلیه تحت محدودیت های موجود در مورد تعداد وسایل نقلیه، ظرفیت حمل آنها، مدت زمان کار آنها در صورت نیاز به خدمات رسانی به حداکثر تعداد مشتریان است. .

علاوه بر این، این روش به طور گسترده ای در حل مشکل زمان بندی استفاده می شود. این وظیفه عبارت است از توزیع زمان عملکرد پرسنل این سازمان که هم برای اعضای این پرسنل و هم برای مشتریان سازمان قابل قبول ترین باشد.

هدف، به حداکثر رساندن تعداد مشتریان خدمات دهی شده در عین محدود کردن تعداد کارکنان موجود و ساعات کاری است.

بنابراین، روش برنامه ریزی خطی در تحلیل محل قرارگیری و استفاده از انواع منابع و همچنین در فرآیند برنامه ریزی و پیش بینی فعالیت های سازمان ها بسیار رایج است.

با این وجود، برنامه ریزی ریاضی را می توان برای آن دسته از پدیده های اقتصادی که رابطه بین آنها خطی نیست نیز به کار برد. برای این منظور می توان از روش های برنامه ریزی غیرخطی، پویا و محدب استفاده کرد.

برنامه نویسی غیرخطی به ماهیت غیر خطی تابع هدف یا محدودیت ها یا هر دو متکی است. اشکال تابع هدف و نابرابری های محدودیت در این شرایط می تواند متفاوت باشد.

برنامه ریزی غیرخطی در تجزیه و تحلیل اقتصادی استفاده می شود، به ویژه در هنگام ایجاد رابطه بین شاخص های بیانگر اثربخشی فعالیت های سازمان و حجم این فعالیت، ساختار هزینه های تولید، شرایط بازار و غیره.

برنامه نویسی پویا بر اساس ساخت درخت تصمیم است. هر ردیف از این درخت به عنوان مرحله ای برای تعیین پیامدهای تصمیم قبلی و برای حذف انواع بی اثر این تصمیم عمل می کند. بنابراین، برنامه نویسی پویا دارای یک کاراکتر چند مرحله ای و چند مرحله ای است. این نوع برنامه نویسی در تحلیل های اقتصادی به منظور یافتن بهترین گزینه ها برای توسعه سازمان چه در حال حاضر و چه در آینده استفاده می شود.

برنامه نویسی محدب نوعی برنامه نویسی غیر خطی است. این نوع برنامه نویسی ماهیت غیرخطی رابطه بین نتایج فعالیت های سازمان و هزینه های متحمل شده توسط آن را بیان می کند. برنامه نویسی محدب (در غیر این صورت مقعر) توابع هدف محدب و سیستم های محدودیت محدب (نقاط ویژگی) را تجزیه و تحلیل می کند. از برنامه نویسی محدب در تحلیل فعالیت های اقتصادی به منظور به حداقل رساندن هزینه ها استفاده می شود و برنامه ریزی مقعر به منظور به حداکثر رساندن درآمد در شرایط محدودیت های موجود بر روی عملکرد عواملی که بر شاخص های تحلیل شده برعکس تاثیر می گذارند استفاده می شود. در نتیجه، تحت انواع برنامه‌نویسی مورد بررسی، توابع هدف محدب به حداقل می‌رسند و توابع مقعر به حداکثر می‌رسند.

اگر نیاز به حل یک مشکل برنامه ریزی خطی با استفاده از جداول سیمپلکس دارید، خدمات آنلاین ما به شما کمک بزرگی خواهد کرد. روش سیمپلکس مستلزم شمارش متوالی تمام رئوس محدوده مقادیر قابل قبول است تا رأسی را پیدا کنیم که در آن تابع یک مقدار شدید می گیرد. در مرحله اول راه حلی پیدا می شود که در هر مرحله بعدی بهبود می یابد. چنین راه حلی اساسی نامیده می شود. در اینجا دنباله ای از اقدامات هنگام حل یک مسئله برنامه ریزی خطی با استفاده از روش سیمپلکس آمده است:

گام اول. در جدول کامپایل شده، اول از همه، باید به ستون با اعضای آزاد نگاه کنید. اگر حاوی عناصر منفی باشد، لازم است به مرحله دوم بروید، اگر نه، سپس به مرحله پنجم بروید.

مرحله دوم. در مرحله دوم، لازم است تصمیم بگیرید که کدام متغیر را از مبنا حذف کنید و کدام یک را برای محاسبه مجدد جدول سیمپلکس لحاظ کنید. برای این کار به ستون با اعضای آزاد نگاه می کنیم و یک عنصر منفی در آن پیدا می کنیم. خطی با عنصر منفی خط پیشرو نامیده می شود. در آن ما حداکثر عنصر منفی را در مقدار مطلق پیدا می کنیم، ستون مربوط به آن پیرو است. اگر مقادیر منفی در بین اعضای رایگان وجود داشته باشد، اما در ردیف مربوطه نباشد، چنین جدولی راه حلی نخواهد داشت. متغیر ردیف اول که در ستون اعضای آزاد قرار دارد از مبنا حذف می شود و متغیر مربوط به ستون پیشرو در مبنا قرار می گیرد.

میز 1.

مرحله سوم. در مرحله سوم، کل جدول سیمپلکس را با استفاده از فرمول های خاص دوباره محاسبه می کنیم، این فرمول ها با استفاده از .

مرحله چهارم. اگر پس از محاسبه مجدد، عناصر منفی در ستون اعضای آزاد باقی ماند، سپس به مرحله اول بروید، اگر هیچ کدام وجود نداشت، به مرحله پنجم بروید.

مرحله پنجم. اگر به مرحله پنجم رسیده اید راه حل قابل قبولی پیدا کرده اید. با این حال، این بدان معنا نیست که بهینه است. تنها در صورتی بهینه خواهد بود که همه عناصر در ردیف F مثبت باشند. اگر اینطور نیست، پس باید راه حل را بهبود داد، که برای آن سطر و ستون اول را برای محاسبه مجدد بعدی طبق الگوریتم زیر پیدا می کنیم. در ابتدا، حداقل عدد منفی را در ردیف F، به استثنای مقدار تابع، پیدا می کنیم. ستونی که این عدد را دارد، ستون اول خواهد بود. برای یافتن سطر اول، نسبت عضو آزاد متناظر و عنصر از ستون پیشرو را به شرط مثبت بودن آنها پیدا می کنیم. حداقل نسبت خط پیشرو را تعیین می کند. ما جدول را با توجه به فرمول ها دوباره محاسبه می کنیم، یعنی. به مرحله 3 بروید

ساده ترین و بصری ترین روش برنامه ریزی خطی (LP) روش گرافیکی است. برای حل مسائل LP با دو متغیر استفاده می شود. مشکل LP را به شکل استاندارد در نظر بگیرید:

حداکثر f(x1 , x 2 , ..., x n) = ,

, i = 1، 2، …، m،

x j 0، j = 1، 2، …، n.

بگذاریم n=2و ما مشکل را در هواپیما بررسی خواهیم کرد. بگذارید سیستم نابرابری ها سازگار باشد (حداقل یک راه حل دارد).

هر نابرابری این سیستم از نظر هندسی نیم صفحه ای را با خط مرزی a i 1 x 1 + a i 2 x 2 = b i، i = 1، 2 تعریف می کند. …, متر شرایط غیرمنفی به ترتیب نیم صفحات با خطوط مرزی x 1 = 0، x 2 = 0 را تعریف می کند. این سیستم سازگار است، بنابراین نیم صفحه ها مانند مجموعه های محدب متقاطع، قسمت مشترکی را تشکیل می دهند که مجموعه ای محدب و مجموعه ای از نقاط است که مختصات هر نقطه حل این سیستم است. مجموعه این نقاط را چندضلعی حل می نامند. این می تواند یک نقطه، یک پاره خط، یک پرتو، یک چند ضلعی محدود یا نامحدود باشد.

بنابراین، از نظر هندسی، LPP جستجو برای چنین نقطه ای از چند ضلعی حل است، که مختصات آن به تابع خطی هدف حداکثر (حداقل) مقدار را می دهد و همه نقاط چند ضلعی حل، راه حل های امکان پذیر هستند.

یک معادله خطی مجموعه ای از نقاط را توصیف می کند که روی یک خط مستقیم قرار دارند. نابرابری خطی قسمتی از صفحه را توصیف می کند. اجازه دهید تعیین کنیم که کدام قسمت از صفحه با نابرابری 2x 1 + 3x 2 12 توصیف می شود.

ابتدا یک خط 2×1 + می سازیم Zx 2= 12. از نقاط (6; 0) و (0; 4) عبور می کند. برای تعیین اینکه کدام نیم صفحه نابرابری را برآورده می کند، باید هر نقطه از نمودار را که به خط مستقیم تعلق ندارد انتخاب کرد و مختصات آن را جایگزین نامساوی کرد. اگر نابرابری برقرار باشد، نقطه داده شده یک راه حل امکان پذیر است و نیم صفحه حاوی نقطه نابرابری را برآورده می کند. برای جایگزینی در نابرابری، استفاده از نقطه مبدا راحت است. x 1 = x 2 = 0 را به نامعادله 2x 1 + Zx 2 12 جایگزین می کنیم. 2x0 + 3x0 12 به دست می آید. این عبارت درست است، بنابراین، نابرابری 2x 1 + Zx 2 12 مربوط به نیمه صفحه پایینی است که شامل نقطه (0; 0). این در نمودار نشان داده شده در شکل منعکس شده است. 1.1.

به طور مشابه، تمام محدودیت های مسئله LP را می توان به صورت گرافیکی نشان داد.

راه حل هر نابرابری از سیستم محدودیت LLP یک نیم صفحه است که حاوی خط مرزی است و در یک طرف آن قرار دارد. محل تلاقی نیم صفحه ها که هر کدام از آنها با نابرابری متناظر سیستم تعیین می شود، حوزه راه حل های امکان پذیر یا حوزه تعریف نامیده می شود. باید به خاطر داشت که دامنه راه حل های امکان پذیر شرایط غیر منفی را برآورده می کند ( x j 0, j = 1، 2، … n). مختصات هر نقطه متعلق به حوزه تعریف راه حل معتبری برای مسئله است.

برای یافتن مقدار شدید تابع هدف در حل گرافیکی مسائل LP، از یک بردار گرادیان استفاده می شود که مختصات آن مشتقات جزئی تابع هدف هستند، یعنی.

این بردار جهت سریعترین تغییر در تابع هدف را نشان می دهد. خط مستقیم c 1 x 1 + c 2 x 2 = f (x 0)عمود بر بردار گرادیان، خط تراز تابع هدف است. در هر نقطه از خط سطح، تابع هدف همان مقدار را می گیرد. تابع هدف را با یک مقدار ثابت برابر کنید "آ". با تغییر مقدار "a"، خانواده ای از خطوط موازی را به دست می آوریم که هر کدام یک خط تراز تابع هدف هستند.

یک ویژگی مهم خط تراز یک تابع خطی این است که با جابجایی موازی خط در یک جهت، سطح فقط افزایش می‌یابد و با جابجایی در جهت دیگر، فقط کاهش می‌یابد.

از نقطه نظر هندسی، در یک مسئله برنامه ریزی خطی، چنین نقطه گوشه ای یا مجموعه ای از نقاط از مجموعه قابل قبولی از راه حل ها جستجو می شود که در آن خط بالاترین (پایین تر) سطح، دورتر (نزدیکتر) از دیگران در جهت سریعترین رشد.

روش گرافیکی برای حل LLP شامل مراحل زیر است.

1. یک منطقه چند ضلعی از راه حل های امکان پذیر (ODD) از LLP ساخته شده است.

2. یک بردار گرادیان تابع هدف (TF) در نقطه ای x 0 متعلق به ODR ساخته شده است:

3. خط سطح c 1 x 1 + c 2 x 2 \u003d a (a یک مقدار ثابت است) - یک خط مستقیم عمود بر بردار گرادیان - در صورت به حداکثر رساندن f (x 1) در جهت این بردار حرکت می کند. ، x 2) تا زمانی که از ODR خارج شود. نقطه حد (یا نقاط) منطقه در طول این حرکت حداکثر نقطه f (x 1, x 2) است.

4. برای یافتن مختصات حداکثر نقطه، کافی است دو معادله خطوط مستقیم که از محدودیت های مربوطه به دست آمده و حداکثر نقطه را در تقاطع به دست می آورند، حل کنیم. مقدار f(x 1 , x 2) یافت شده در نقطه حاصل حداکثر است.

هنگام کمینه سازی (بیشینه سازی) تابع f(x 1 , x 2)، خط تراز در جهت مخالف بردار گرادیان حرکت می کند. اگر خط مستقیم مربوط به خط تراز در طول حرکت خود از ODR خارج نشود، حداقل (حداکثر) تابع f(x 1, x 2) وجود ندارد.

اگر خط تراز موازی با هر محدودیت عملکردی مسئله باشد، مقدار بهینه CF در هر نقطه از این محدودیت، که بین دو نقطه گوشه بهینه قرار دارد، به دست می‌آید و بر این اساس، هر یک از این نقاط بهینه است. راه حل LLP موقعیت های ممکن حل گرافیکی مسائل LP در جدول ارائه شده است. 1.3.

جدول 1.3

حل گرافیکی مسائل برنامه ریزی خطی را با استفاده از مثال زیر در نظر بگیرید.

مثال 1.1. برنامه ریزی خروجی یک شرکت خیاطی (مشکل لباس).

قرار است دو نوع لباس - مردانه و زنانه منتشر شود. لباس زنانه به 1 متر پشم، 2 متر لوسان و 1 مرد در روز کار نیاز دارد. برای کت و شلوار مردانه - 3.5 متر پشم، 0.5 متر لوسان و 1 نفر در روز کار. در مجموع 350 متر پشم، 240 متر لوسان و 150 نفر در روز کار وجود دارد. در صورتی که سود حاصل از فروش کت و شلوار زنانه 10 واحد پولی و از کت و شلوار مردانه 20 واحد پولی باشد باید مشخص شود که چه تعداد کت و شلوار از هر نوع باید دوخته شود تا حداکثر سود حاصل شود. در عین حال باید در نظر داشت که حداقل 60 کت و شلوار مردانه باید دوخته شود.

ما نام های زیر را معرفی می کنیم: x 1 - تعداد کت و شلوارهای زنانه؛ x 2 - تعداد کت و شلوار مردانه. سود حاصل از فروش کت و شلوار زنانه 10×1 و از فروش کت و شلوار مردانه 20×2 است، یعنی. حداکثر کردن تابع هدف ضروری است:

10x1 + 20x2

محدودیت های وظیفه عبارتند از:

x 1 + x 2 150،

2 × 1 + 0.5 × 2 240،

x 1 + 3.5x 2 350،

x 2 60,

x 1 0.

اولین محدودیت در زایمان x 1 + x 2 150. خط مستقیم x 1 + x 2 \u003d 150 از نقاط (150؛ 0) و (0؛ 150) عبور می کند (شکل 1.2).

دومین محدودیت در lavsan 2 x 1 + 0.5 x 2 240 است. خط مستقیم 2 x 1 + 0.5 x 2 \u003d 240 از نقاط (120؛ 0) و (0؛ 480) می گذرد. محدودیت سوم پشم x 1 + 3.5 x 2 350. محدودیت چهارم را در تعداد کت و شلوار مردانه x 2 اضافه کنید 60. راه حل این نابرابری نیم صفحه ای است که بالای خط مستقیم قرار دارد x 2 \u003d 60. در شکل. 1.3 ناحیه راه حل های امکان پذیر سایه دار است. برای تعیین جهت حرکت به سمت بهینه، یک بردار گرادیان می سازیم که مختصات آن مشتقات جزئی تابع هدف هستند، یعنی.

برای ساختن چنین برداری، باید نقطه (10;20) را با مبدا وصل کنید. هنگام ماکزیمم کردن تابع هدف، باید در جهت بردار گرادیان حرکت کرد و هنگام کمینه سازی در جهت مخالف. برای راحتی، می توانید بردار متناسب با بردار بسازید. بنابراین، در شکل. 1.4 یک بردار گرادیان را نشان می دهد (30؛ 60).

برای تعیین جهت حرکت به سمت بهینه، یک بردار گرادیان می سازیم که مختصات آن مشتقات جزئی تابع هدف هستند، یعنی.

در مورد ما، ما خط سطح را تا زمانی که از منطقه راه حل های امکان پذیر خارج شود، حرکت می دهیم. در نقطه گوشه، حداکثر تابع هدف به دست می آید. برای یافتن مختصات این نقطه، کافی است دو معادله خطوط مستقیم را که از قیود مربوطه به دست آمده و حداکثر نقطه را در محل تقاطع به دست می‌آوریم، حل کنیم:

x 1 + 3.5x 2 \u003d 350،

x 1 + x 2 = 150.

از اینجا به راحتی می توان راه حل LLP اصلی را یادداشت کرد: حداکثر f(x)= 2300 و در x 1 = 70 و x 2 = 80 به دست می آید (شکل 1.4 را ببینید).

1.3. فن آوری برای حل مسائل برنامه ریزی خطی با استفاده از جستجوی راه حل در محیط اکسل

1.3.1. اطلاعات کلی در مورد کار با صفحه گسترده اکسل

اجازه دهید برخی از جنبه های کار با پردازنده صفحه گسترده اکسل را در نظر بگیریم که محاسبات لازم برای حل مسائل بهینه سازی را ساده می کند. پردازشگر صفحه گسترده یک محصول نرم افزاری است که برای خودکارسازی پردازش داده ها به صورت جدولی طراحی شده است.

عناصر صفحه نمایش اکسل پس از راه اندازی اکسل، جدولی روی صفحه ظاهر می شود که نمای آن در شکل 1.5 نشان داده شده است.

به این تصویر کاربرگ می گویند. این شبکه ای از ردیف ها و ستون ها است که محل تلاقی آنها مستطیل هایی به نام سلول است. کاربرگ ها برای وارد کردن داده ها، انجام محاسبات، سازماندهی پایگاه اطلاعاتی و غیره طراحی شده اند. پنجره اکسل عناصر اصلی برنامه را نمایش می دهد: نوار عنوان، نوار منو، نوار وضعیت، دکمه های کنترل پنجره.

کار با فرمول هادر برنامه های صفحه گسترده، از فرمول ها برای انجام محاسبات مختلف استفاده می شود. با استفاده از اکسل، می توانید به سرعت یک فرمول ایجاد کنید. فرمول دارای سه بخش اصلی است:

1) علامت مساوی؛

2) مجموعه ای از مقادیر یا مراجع سلولی که محاسبات با آنها انجام می شود.

3) اپراتورها

4) اگر علامت مساوی وجود نداشته باشد، اکسل داده ها را نه به عنوان یک فرمول، بلکه به عنوان ورود داده به سلول تفسیر می کند. فرمول ها را می توان مستقیماً در یک سلول یا در نوار فرمول، به صورت متن یا به صورت عدد وارد کرد. در این صورت باید مراحل زیر را انجام دهید:

سلولی که باید حاوی فرمول باشد را انتخاب کنید و علامت (=) را وارد کنید.

یک اپراتور یا علامت عمل را وارد کنید.

سلول دیگری موجود در فرمول را انتخاب کنید.

· کلید Enter را فشار دهید.

فرمول وارد شده در نوار فرمول ظاهر می شود و نتیجه محاسبه در سلول ظاهر می شود.

استفاده در فرمول توابع برای سهولت در وارد کردن فرمول ها، می توانید از توابع اکسل استفاده کنید. توابع فرمول هایی هستند که در اکسل ساخته شده اند. اکسل حاوی فرمول های زیادی است. آنها به انواع مختلفی دسته بندی می شوند: منطقی، ریاضی، مهندسی، آماری و غیره.

برای فعال کردن یک فرمول خاص، دکمه‌های Insert، Functions را فشار دهید. پنجره Function Wizard که در سمت چپ ظاهر می شود حاوی لیستی از انواع عملکردها است. پس از انتخاب نوع، لیستی از خود توابع در سمت راست قرار می گیرد. انتخاب عملکرد با کلیک کردن روی دکمه ماوس روی نام مربوطه انجام می شود.

توابع مختلف انواع مختلفی از محاسبات را طبق قوانین خاصی انجام می دهند. هنگامی که یک تابع یک شی منفرد در یک سلول کاربرگ است، با علامت (=) شروع می شود، به دنبال آن نام تابع، و به دنبال آن آرگومان های تابع در داخل پرانتز قرار می گیرد.

Solver یک افزونه اکسل است که به شما امکان می دهد مشکلات بهینه سازی را حل کنید. اگر دستور Find Solution در منوی Tools وجود ندارد، باید این افزونه را دانلود کنید. دستور Tools => Add-ins را انتخاب کرده و افزونه Find a solution را فعال کنید. اگر این افزونه در کادر محاوره ای افزونه ها نیست، باید به کنترل پنل ویندوز بروید، روی نماد افزودن یا حذف برنامه ها کلیک کنید و از نصب کننده اکسل (یا آفیس) برای نصب افزونه Find Solution استفاده کنید. -که در.

پس از انتخاب دستورات Tools => Search for a solution، کادر محاوره ای Search for a solution ظاهر می شود.

سه گزینه اصلی در کادر محاوره ای Find Solution وجود دارد.

سلول هدف را تنظیم کنید.

تغییر سلول ها

محدودیت های.

ابتدا باید فیلد Set target cell را پر کنید. در تمام وظایف ابزار Solver، نتیجه در یکی از سلول های کاربرگ بهینه می شود. سلول هدف با استفاده از فرمول ها به سلول های دیگر در این کاربرگ متصل می شود. ابزار Find Solution از فرمول هایی استفاده می کند که منجر به سلول هدف برای آزمایش راه حل های ممکن می شود. شما می توانید انتخاب کنید که کوچکترین یا بزرگترین مقدار را برای سلول هدف جستجو کنید یا یک مقدار خاص را تعیین کنید.

دومین گزینه مهم در ابزار Solver گزینه By changecell ها است. در اینجا سلول هایی را مشخص می کنید که مقادیر آنها برای بهینه سازی نتیجه در سلول هدف تغییر می کند. شما می توانید تا 200 سلول متغیر را برای جستجوی راه حل مشخص کنید. دو الزام اصلی برای این سلول ها وجود دارد: آنها نباید حاوی فرمول باشند و تغییر در مقادیر آنها باید در تغییر نتیجه در سلول هدف منعکس شود. به عبارت دیگر، سلول هدف به سلول هایی که اصلاح می شوند بستگی دارد.

سومین پارامتری که باید در تب Solver وارد شود، محدودیت ها است.

برای حل مشکل لازم است:

1) آدرس سلول هایی را که نتیجه راه حل در آنها قرار می گیرد (تغییر سلول) را مشخص کنید.

2) داده های اولیه را وارد کنید.

3) یک وابستگی برای تابع هدف معرفی کنید.

4) وابستگی هایی را برای محدودیت معرفی کنید،

5) دستور Search for Solutions را اجرا کنید.

6) یک سلول برای تابع هدف اختصاص دهید (سلول هدف را تنظیم کنید).

7) ایجاد محدودیت

8) پارامترهای حل LLP را وارد کنید.

فناوری راه حل را با استفاده از شرایط مثال 1.1 (مسئله لباس ها) در نظر بگیرید.

مدل اقتصادی و ریاضی مسئله

اجازه دهید x 1 تعداد کت و شلوارهای زنانه باشد. x 2 - تعداد کت و شلوارهای مردانه،

حداکثر 10 x 1 + 20 x 2 حداکثر

محدودیت های وظیفه عبارتند از:

x 1 + x 2 150 - محدودیت در کار؛

2 x 1 + 0.5 x ایکس 2 240 - محدودیت در لاوسان;

x 1 + 3.5 x 2 350 - محدودیت پشم؛

x 2 60 - محدودیت در کت و شلوار مردانه;

x 1 0 - محدودیت کت و شلوار زنانه.

1. آدرس سلول هایی که نتیجه راه حل در آنها قرار می گیرد (تغییر سلول ها) را مشخص کنید.

تعداد کت و شلوارهای هر نوع را با x 1، x 2 نشان دهید. در مشکل ما، مقادیر بهینه بردار = (x 1، x 2) در سلول های A2 قرار می گیرد: B2، مقدار بهینه تابع هدف - در سلول C3.

2. داده های اولیه را وارد کنید.

همانطور که در شکل نشان داده شده است، داده های اولیه کار را وارد کنید. 1.6.

3. یک وابستگی برای تابع هدف وارد کنید.

· مکان نما را در سلول "SZ" قرار دهید، سلول انتخاب خواهد شد.

· مکان نما را روی دکمه Function Wizard واقع در نوار ابزار قرار دهید.

· Enter را وارد کنید. کادر محاوره ای Function Wizard مرحله 1 از 2 روی صفحه ظاهر می شود.

· در پنجره Functions، خط SUMPRODUCT را انتخاب کنید (شکل 1.7). روی صفحه نمایش

· کادر محاوره ای SUMPRODUCT ظاهر می شود (شکل 1.8).

در خط آرایه 1 وارد کنید A2: B2.

· در خط آرایه 2 AZ:VZ را وارد کنید.

آرایه 1 هنگام تزریق محدودیت برای محدودیت ها استفاده می شود، بنابراین این آرایه باید به طور مطلق ارجاع داده شود. روی انجیر 1.9 نشان می دهد که یک تابع به سلول C3 وارد شده است.

5. وابستگی ها را برای محدودیت ها وارد کنید (شکل 1.10).

مکان نما را در سلول SZ قرار دهید.

· کپی به دکمه Clipboard در نوار ابزار.

مکان نما را در سلول C4 قرار دهید.

مکان نما را در سلول C5 قرار دهید.

چسباندن از دکمه Clipboard در نوار ابزار.

· مکان نما را در سلول Sat قرار دهید.

چسباندن از دکمه Clipboard در نوار ابزار.

مکان نما را در سلول C7 قرار دهید.

· روی دکمه Paste from Clipboard در نوار ابزار کلیک کنید. (محتوای سلول های C4-C7 باید بررسی شود. آنها باید حاوی اطلاعات باشند، همانطور که برای مثال در شکل 1.11 نشان داده شده است؛ محتویات سلول C5 به عنوان مثال نشان داده شده است.)

· در نوار منو، نشانگر ماوس را روی Service قرار دهید. در منوی باز شده، دستور Search solution را انتخاب کنید. کادر گفتگوی Search for a solution ظاهر می شود (شکل 1.12).

5. دستور Search for a solution را اجرا کنید.

6. یک سلول برای تابع هدف اختصاص دهید (سلول هدف را تنظیم کنید)، آدرس سلول هایی را که باید تغییر کنند را مشخص کنید.

· مکان نما را در ردیف قرار دهید سلول هدف را تنظیم کنید.

· آدرس سلول $C$3 را وارد کنید.

· نوع تابع هدف را بسته به شرایط وظیفه خود وارد کنید. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که تابع هدف برابر است - مقدار حداکثر یا مقدار حداقل.

· با تغییر سلول ها مکان نما را در یک ردیف قرار دهید.

· آدرس متغیرهای مورد نیاز A$2:B$2 را وارد کنید (شکل 1.13).

7. ایجاد محدودیت.

· نشانگر ماوس را روی دکمه Add قرار دهید. کادر محاوره ای Add Constraint ظاهر می شود.

· علامت حد را وارد کنید.

· در خط محدودیت، آدرس $D$4 را وارد کنید (شکل 1.14).

· نشانگر ماوس را روی دکمه Add قرار دهید. کادر محاوره ای Add Constraint دوباره روی صفحه ظاهر می شود.

· محدودیت های باقیمانده مسئله را طبق الگوریتم توضیح داده شده در بالا وارد کنید.

· پس از وارد کردن آخرین محدودیت، دکمه OK را فشار دهید. کادر محاوره ای Search for a solution با شرایط وارد شده روی صفحه ظاهر می شود (شکل 1.15).

8. پارامترهایی را برای حل مسئله برنامه ریزی خطی وارد کنید.

· در کادر محاوره ای، نشانگر ماوس را روی دکمه Options قرار دهید. کادر محاوره ای گزینه های جستجوی راه حل روی صفحه ظاهر می شود (شکل 1.16).

· چک باکس ها را در مدل Linear (این کار استفاده از روش سیمپلکس را تضمین می کند) و مقادیر غیر منفی را تنظیم کنید.

· نشانگر ماوس را روی دکمه OK قرار دهید. کادر محاوره ای Find Solution روی صفحه ظاهر می شود.

· نشانگر ماوس را روی دکمه Run قرار دهید.

پس از مدت کوتاهی، کادر محاوره ای Solution Search Results و جدول اصلی با سلول های پر شده A3:B3 برای مقادیر x i و سلول C3 با حداکثر مقدار تابع هدف ظاهر می شود (شکل 1.17).

اگر نوع گزارش ثبات را مشخص کنید، می توانید اطلاعات بیشتری در مورد راه حل بهینه دریافت کنید (شکل 1.18).

در نتیجه رفع مشکل پاسخ داده شد: دوخت 70 عدد لازم است. کت و شلوار زنانه و 80 عدد. کت و شلوار مردانه برای دریافت حداکثر سود 2300 تومان.

1.4. دوگانگی در برنامه ریزی خطی. تجزیه و تحلیل راه حل های بهینه به دست آمده

در سال 1975 هموطن ما L.V. کانتوروویچ جایزه نوبل اقتصاد (به همراه اقتصاددان آمریکایی تی. کوپمنز) را برای توسعه نظریه استفاده بهینه از منابع دریافت کرد (به پیوست 1 مراجعه کنید).

مشکل خطی دیگری به نام دوگانه با هر مسئله برنامه ریزی خطی ارتباط نزدیک دارد. مشکل اصلی، اصلی یا مستقیم نامیده می شود. ارتباط بین مسائل اصلی و دوگانه، به ویژه در این واقعیت نهفته است که راه حل یکی از آنها را می توان مستقیماً از راه حل دیگری به دست آورد.

متغیرهای وظیفه دوگانه y i برآوردهای تعیین شده عینی، یا برآوردهای دوگانه، یا "قیمت" منابع، یا قیمت های سایه نامیده می شوند.

هر یک از مسائل زوج دوتایی در واقع یک مسئله برنامه ریزی خطی مستقل است و می تواند مستقل از دیگری حل شود.

مشکل دوگانه در رابطه با مشکل اصلی طبق قوانین زیر جمع آوری می شود:

1) تابع هدف مسئله اصلی برای ماکزیمم و تابع هدف مسئله دوگانه برای حداقل فرموله می شود، در حالی که در مسئله برای حداکثر همه نابرابری ها در قیود تابعی شکل () را در مسئله دارند. برای حداقل - فرم ( );

2) ماتریس A، متشکل از ضرایب محدودیت های ناشناخته در سیستم محدودیت های مسئله اصلی، و ماتریس مشابه A T در مسئله دوگانه، با جابجایی از یکدیگر به دست می آیند.

3) تعداد متغیرها در مسئله دوگانه برابر است با تعداد قیود عملکردی مسئله اصلی و تعداد قیود در سیستم مسئله دوگانه برابر با تعداد متغیرهای مشکل اصلی است.

4) ضرایب مجهولات در تابع هدف مسئله دوگانه عبارت های آزاد در سیستم قیود مسئله اصلی هستند و ضلع های سمت راست در قیود مسئله دوگانه ضرایب مجهولات در مسئله هستند. تابع هدف اصلی؛ j0.

دو مسئله داده شده یک جفت مسئله دوگانه متقارن را تشکیل می دهند. ادعاهای اصلی در مورد مسائل دوگانه متقابل در دو قضیه زیر آمده است.

اولین قضیه دوگانگی. برای مشکلات دوگانه متقابل، یکی از موارد انحصاری متقابل اتفاق می افتد.

1. در مسائل مستقیم و دوگانه راه حل های بهینه وجود دارد.
در حالی که مقادیر توابع هدف روی جواب های بهینه عمل می کنند
همخوانی داشتن

2. در مسئله مستقیم، مجموعه مجاز خالی نیست و تابع هدف در این مجموعه از بالا محدود نمی شود. در این صورت مسئله دوگانه یک مجموعه قابل قبول خالی خواهد داشت.

3. در مسئله دوگانه، مجموعه مجاز خالی نیست و تابع هدف در این مجموعه در زیر محدود نمی شود. در این صورت، مجموعه قابل قبول برای مشکل مستقیم خالی می شود.

4. هر دو مشکل در نظر گرفته شده دارای مجموعه های قابل قبول خالی هستند.

قضیه دوگانگی دوم (قضیه سستی مکمل). بگذار = ( x 1، x 2,..., x n) یک راه حل امکان پذیر برای مسئله مستقیم است، a = (y 1 ,y 2 ,…,y t) یک راه حل امکان پذیر برای مسئله دوگانه است. برای اینکه آنها به ترتیب راه حل های بهینه برای مسائل مستقیم و دوگانه باشند، لازم و کافی است که روابط زیر برقرار باشد:

شرایط (1.4) و (1.5) اجازه می دهد تا با دانستن راه حل بهینه یکی از مسائل دوگانه متقابل، راه حل بهینه مسئله دیگر را بیابید.

اجازه دهید یک قضیه دیگر را در نظر بگیریم که در ادامه از مشتقات آن استفاده خواهد شد.

قضیه تخمین. مقادیر متغیرهای y i در حل بهینه مسئله دوگانه تخمین‌هایی از تأثیر عبارت‌های آزاد b i از سیستم محدودیت‌ها (نابرابری‌ها) مسئله مستقیم بر مقدار است.

با حل LLP به روش سیمپلکس، به طور همزمان LLP دوگانه را حل می کنیم. متغیرهای مسئله دوگانه y i برآوردهای تعیین شده عینی نامیده می شوند.

تفسیر اقتصادی مسئله دوگانه را با استفاده از مسئله فرش به عنوان مثال در نظر بگیرید.

مثال 1 .2. با استفاده از بیان مسئله در مورد فرش، کارهای زیر را کامل کنید.

1. با استفاده از داده های جدول، یک مدل اقتصادی و ریاضی از مسئله فرش برای به حداکثر رساندن هزینه کل تولید فرموله کنید. 1.1.

2. با استفاده از جستجوی راه حل، چنین طرح تولیدی را پیدا کنید که هزینه کل تولید برای آن حداکثر باشد.

3. یک مدل اقتصادی-ریاضی از مسئله دوگانه برای مسئله فرش فرموله کنید.

4. طرح بهینه برای مسئله دوگانه را بیابید، با استفاده از قضیه دوگانگی، برابری X 1 و X 4 را به صفر توضیح دهید.

5. با استفاده از پروتکل های جستجوی راه حل، راه حل بهینه به دست آمده از مسئله اصلی را تجزیه و تحلیل کنید.

6. نحوه تغییر هزینه کل و طرح تولید با افزایش 12 واحدی موجودی لوله را تعیین کنید.

1. بیایید مدل اقتصادی-ریاضی مسئله را فرموله کنیم.

تعداد فرش های هر نوع را با X 1 , X 2 , X 3 , X 4 مشخص کنید. تابع هدف دارای فرم است

F(X) \u003d ZX 1 + 4X 2 + ZX 3 + X 4 حداکثر،

و محدودیت منابع

7X 1 + 2X 2 + 2X 3 + 6X 4 80,

5X 1 + 8X 2 + 4 X 3 + ZX 4 480,

2X 1 + 4 X 2 + X 3 + 8X 4 130،

X 1، X 2، X 3، X 4 0.

2. برنامه انتشار بهینه را جستجو کنید.

ما می توانیم با استفاده از افزونه اکسل جستجو برای راه حل مشکل را حل کنیم. فناوری حل مشکل به طور مفصل در مسئله لباس در نظر گرفته شد. در مسئله ما، مقادیر بهینه بردار X=(X 1 , X 2 , X 3 , X 4) در سلول های OT قرار می گیرد: EZ، مقدار بهینه تابع هدف - در سلول F4.

بیایید داده های اولیه را وارد کنیم. ابتدا تابع هدف را با استفاده از تابع - SUMPRODUCT توصیف می کنیم (شکل 1.19). و سپس داده های قسمت های سمت چپ محدودیت ها را وارد می کنیم. در جستجوی راه حل، جهت تابع هدف، آدرس متغیرهای مورد نیاز را وارد کرده و محدودیت ها را اضافه می کنیم. کادر گفتگوی Search for a solution با شرایط وارد شده روی صفحه ظاهر می شود (شکل 1.20).

پس از وارد کردن پارامترهای حل LLP روی دکمه Run کلیک کنید. پیامی بر روی صفحه ظاهر می شود که راه حلی پیدا شده است (شکل 1.21).

راه حل حاصل به این معنی است که حداکثر درآمد 150 هزار روبل است. کارخانه می تواند 30 فرش از نوع دوم و 10 فرش از نوع سوم را در هنگام رهاسازی دریافت کند. ضمناً از منابع «کار» و «تجهیزات» به طور کامل استفاده می شود و از 480 کیلوگرم نخ (منبع «مواد اولیه») 280 کیلوگرم استفاده می شود.

تهیه گزارش از نتایج یافتن راه حل. اکسل به شما امکان می دهد نتایج جستجوی یک راه حل را در قالب یک گزارش ارائه دهید (جدول 1.4). سه نوع از این گونه گزارش ها وجود دارد:

· نتایج (پاسخ). این گزارش شامل منبع و مقادیر نهایی سلول های هدف و اصلاح شده، اطلاعات اضافی در مورد محدودیت ها است.

ثبات (حساسیت). گزارشی حاوی اطلاعاتی در مورد حساسیت یک محلول به تغییرات کوچک در سلول هایی که فرمول ها را تغییر می دهند یا محدود می کنند.

محدودیت ها علاوه بر مقادیر مبدا و مقصد سلول‌های متغیر و هدف، این گزارش شامل کران‌های بالا و پایین مقادیری است که سلول‌های تأثیرگذار می‌توانند دریافت کنند، به شرط رعایت محدودیت‌ها.

روش گرافیکی برای حل مسائل LP با دو متغیر کاملاً ساده و واضح است. بر اساس آن است هندسینمایش راه حل های قابل قبول و فیلتر دیجیتالی مشکل.

هر یک از نابرابری های مسئله LP در صفحه مختصات تعریف می شود (ایکس 1 ،ایکس 2 ) مقداری نیم صفحه (شکل 1) و سیستم نابرابری ها به عنوان یک کل محل تلاقی صفحات مربوطه است. مجموعه نقاط تقاطع این نیم صفحه ها نامیده می شود قابل قبولتصمیمات(ODR). ODR همیشه است محدبشکل، یعنی که دارای خاصیت زیر است: اگر دو نقطه A و B متعلق به این شکل باشد، کل قطعه AB متعلق به آن است. ODR را می توان به صورت گرافیکی با یک چند ضلعی محدب، یک ناحیه چند ضلعی محدب نامحدود، یک قطعه، یک پرتو، یک نقطه نشان داد. در صورت ناسازگاری سیستم محدودیت های مسئله، ODE یک مجموعه خالی است.

توجه داشته باشید № 1. تمام موارد فوق در موردی نیز اعمال می شود که سیستم محدودیت ها (1.1) شامل برابری ها باشد، زیرا هر برابری

a il x 1 + a i 2 x 2 =b

را می توان به عنوان یک سیستم از دو نابرابری نشان داد (شکل 1)

A i 2 x 2<Ь 1э +a i 2 x 2 >bj.

CF L(x)= с1х1 + с2х2 در یک مقدار ثابت L(х)=L یک خط مستقیم с1х1 را در صفحه تعریف می کند. + c2x2 = L. با تغییر مقادیر L، خانواده ای از خطوط موازی به دست می آوریم که به نام خطوط سطح

این به این دلیل است که تغییر در مقدار L فقط طول قطعه قطع شده توسط خط تراز در محور x2 (مرتبط اولیه) را تغییر می‌دهد و شیب خط مستقیم tga = -- باقی می‌ماند. ثابت (شکل 1).

بنابراین، برای حل، ساختن یکی از خطوط سطح، با انتخاب دلخواه مقدار L کافی است.

بردار C = (c1;c2) با مختصاتی از ضرایب CF در x1 و x2 عمود بر هر یک از خطوط تراز است (شکل 1 را ببینید). جهتبردار C منطبق استبا جهت افزایش می یابد CF که نکته مهمی برای حل مشکلات است. جهت نزولی CF مقابلجهت بردار C.

ماهیت روش گرافیکی به شرح زیر است. در جهت (برخلاف جهت) بردار C در ODS، جستجو برای نقطه بهینه X = (x1; x2) ). نقطه بهینه نقطه ای است که خط سطح L max (L min) از آن عبور می کند که مربوط به بزرگترین (کوچکترین) مقدار تابع L (x) است. راه حل بهینه همیشه در مرز ODT قرار دارد، برای مثال، در آخرین راس چند ضلعی ODT که خط هدف از آن عبور می کند، یا در کل سمت آن.

هنگام جستجوی راه حل بهینه برای مشکلات LP، شرایط زیر امکان پذیر است: یک راه حل منحصر به فرد برای مشکل وجود دارد. بی نهایت راه حل وجود دارد (اپتیوم جایگزین)؛ CF محدود نیست. منطقه راه حل های امکان پذیر یک نقطه است. مشکل راه حلی ندارد

منطقه مجاز - نیم صفحه

تصویر 1

1.2. روش شناسی حل مسائل LP با روش گرافیکی

I. در محدوده مسئله، علائم نابرابری ها را با علائم برابری دقیق جایگزین کنید و خطوط مستقیم مربوطه را بسازید.

II. نیم صفحه های مجاز توسط هر یک از محدودیت های نابرابری مسئله را بیابید و سایه بزنید. برای انجام این کار، مختصات یک نقطه [به عنوان مثال، (0; 0)] را با یک نابرابری خاص جایگزین کنید و صحت نابرابری حاصل را بررسی کنید.

اگرنابرابری واقعی، که لازم است نیم صفحه حاوی نقطه داده شده را سایه بزنید. در غیر این صورت (نابرابری نادرست است) لازم است نیم صفحه ای که نقطه داده شده را در بر ندارد سایه بزنید.

زیرا x1 و x2 باید غیر منفی باشد، سپس مقادیر معتبر آنها همیشه بالای محور x1 و در سمت راست محور x2 خواهد بود، یعنی. در ربع 1

قیود برابری فقط به نقاطی اجازه می دهد که روی خط مربوطه قرار دارند، بنابراین چنین خطوطی را در نمودار انتخاب کنید.

RDT را به عنوان بخشی از هواپیما که به تمام مناطق مجاز به طور همزمان تعلق دارد، تعریف کرده و آن را انتخاب کنید. در غیاب ODR، وظیفه نه راه حل هایی دارد که نتیجه گیری مناسب را در مورد آن انجام دهید.

اگر ODS یک مجموعه خالی نیست، خط هدف را بسازید، یعنی. هر یک از خطوط سطح با 1 x 1 + با 2 x 2 = L، که در آن L یک عدد دلخواه است، برای مثال، مضربی از 1 و با 2، یعنی. مناسب برای محاسبات روش ساخت مشابه ساخت قیود مستقیم است.

V. یک بردار C = (c 1 ,c 2) بسازید که از نقطه (0;0) شروع می شود و در نقطه (c 1 ,c 2) به پایان می رسد. اگر خط هدف و بردار C به درستی ساخته شده باشند، آنها خواهند بود عمود هستند.

VI. هنگام جستجوی حداکثر CF، خط هدف را حرکت دهید در جهت بردار C، هنگام جستجوی فیلتر دیجیتال min - خلاف جهت بردار C. آخردر جهت حرکت، بالای ODR نقطه حداکثر یا حداقل فیلتر دیجیتال خواهد بود. اگر چنین نقطه ای وجود ندارد، استنباط کنید نامحدود بودن فیلتر دیجیتال روشن است بسیاری از طرح ها از بالا (هنگام جستجوی دقیقه) یا از پایین (هنگام جستجوی دقیقه).

مختصات نقطه max (min) CF X = (x1 * ; x2 *) را تعیین کنید ) و مقدار فیلتر دیجیتال l(x*) را محاسبه کنید. برای محاسبه مختصات نقطه بهینه X * ، سیستم معادلات خطوط مستقیم را که در تقاطع آنها X * قرار دارد حل کنید.

وظیفه 1

اجازه دهید راه حل بهینه برای مسئله ای که مدل ریاضی آن شکل دارد را پیدا کنیم

L(X) = 3x 1 + 2x2 → حداکثر

x 1 + 2 x 2< 6, (1)

2x 1 + x 2< 8, (2)

x 1 + x 2<1, (3)

x 2< 2, (4)

x 1 > 0، x 2 > 0.

بیایید قیود مستقیم بسازیم، که مختصات نقاط تقاطع این خطوط را با محورهای مختصات محاسبه می کنیم (شکل 2).

x 1 + 2x 2 = 6، (1)

2x1+ x2=8، (2)

(1) x1=0، x1=6، x2=3، x2=0،

(2) x1=0، x1=4، x2=8، x2=0،

(3) x1=0، x1=-1، x2=1، x2=0،

خط مستقیم (4) از نقطه x 2 = 2 موازی با محور L(X) می گذرد.

برنج. 2. حل گرافیکی مسئله

بیایید ODR را تعریف کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید نقطه (0;0) را با محدودیت اصلی (3) جایگزین کنیم، 0 دریافت می کنیم.< 1, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой (или штрихованием) обозначим полуплоскость, حاوینقطه (0;0)، یعنی. واقع در سمت راست و زیر خط مستقیم (3). به طور مشابه، نیم صفحه های مجاز را برای محدودیت های باقی مانده تعریف می کنیم و آنها را با فلش های نزدیک به محدودیت های مستقیم مربوطه نشان می دهیم (شکل 2). کل مساحت مجاز توسط همه محدودیت ها، یعنی. ODR چند ضلعی ABCDEF است.

خط هدف را می توان با استفاده از معادله ساخت

بردار C را از نقطه (0;0) تا نقطه (3;2) می سازیم. نقطه E آخرین راس چند ضلعی راه حل های امکان پذیر ABCDEF است که خط هدف از آن عبور می کند و حرکت می کند. به سمت بردار C. بنابراین، E حداکثر نقطه فیلتر دیجیتال است. اجازه دهید مختصات نقطه E را از سیستم معادلات قیود مستقیم (1) و (2) تعیین کنیم.

X1 +2x 2 =6، (1) x1=10/3=3 1/3، x2=4/3=1 1/3

2 X1 + x 2 = 8، (2) E 3 1/3; 1 1/3

حداکثر مقدار فیلتر دیجیتال L(E) = 3*10/3+2*4/3 = 12 2 / 3 است.